Bab 2 Akar Persamaan Tak Linear

Catatan Kuliah Metode Numerik

BAB 2Akar Persaman Tak LinearAkar Persaman Tak Linear

1 Lokalisasi Akar1. Lokalisasi Akar2. Metode Bagi Dua3 Metode Posisi-palsu3. Metode Posisi palsu4. Iterasi Titik-tetap5 Metode Newton-Raphson5. Metode Newton Raphson6. Metode Secant7 Modifikasi Metode Newton-Raphson7. Modifikasi Metode Newton Raphson

Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand 1


Mencari penyelesaian persamaan berbentuk f(x) = 0 , yakni bilangan-bilangan sedemikian sehingga f( ) sama dengan nol Dalam hal ini fbilangan x0 sedemikian sehingga f(x0) sama dengan nol. Dalam hal ini, fsuatu persamaan atau fungsi tak linear yang diberikan. Nilai-nilai x yang memenuhi itu disebut akar atau titik nol persamaan/fungsi tersebut.

Fungsi f(x) dapat berbentuk :1. Persamaan Aljabar.

Mi l f i li b d 2Misalnya fungsi polinom berordo > 2

2 Persamaan Transenden persamaan yang mengandung fungsi fungsi

2,0,0... 012

21

1 >=+++++ naaxaxaxaxa nnnnn2. Persamaan Transenden, persamaan yang mengandung fungsi-fungsi

trigonometri, logaritma atau eksponen.

Misalnya : 02ln;0sin ==+ xxe x3. Persamaan Campuran, persamaan yang mengandung persamaan

polinom dan persamaan transenden

Misalnya : 0ln;03sin 32 =+=+ xxxxMisalnya :


0ln;03sin =+=+ xxxx


1. Lokalisasi AkarP hi i dil k k i if k i di l kPenghitungan numeris dilakukan secara iteratif, karena itu diperlukansebuah tebakan awal. Untuk memperoleh tebakan awal, akan diselidikilokasi akar persamaan tersebut. Penyelidikan dilakukan sebagai berikut:

C G fik dit k t k d h t ka. Cara Grafik, diterapkan untuk persamaan yang mudah untukmenggambarkan grafiknya. Dibedakan lagi,- Cara grafik tunggal : akar diperoleh pada perpotongan grafik /

f i d bpersamaan fungsi dengan sumbu-x.- Cara grafik ganda : akar diperoleh pada absis titik potong keduagrafik / persamaan fungsi tersebut.

Contoh 2.1: Lokasi interval yang mengandung akar dari f(x) = e-x x

f1(x) = x

akarakar

f1( )

f2(x) = e-x

f(x) = e-x- x



b. Cara Tabulasi, nilai-nilai fungsi pada interval yang diminati dihitungmemakai suatu lebar interval tertentu Untuk memudahkan nilai-nilaimemakai suatu lebar interval tertentu. Untuk memudahkan nilai-nilaitersebut dituliskan dalam suatu bentuk tabulasi. Apabila nilai fungsiberubah tanda pada suatu interval, maka pada interval tersebut akanterdapat suatu akar.terdapat suatu akar.

Contoh 2.2 : Lokasi interval yang mengandung akar dari f(x) = e-x x

x f(x)0,0 1,000

0,2 0,619, , 9

0,4 0,270

0,6 -0,251

0 8 0 351

Terdapat akar padainterval (0,4 ; 0,6)

Untuk persamaan yang agak rumit digunakan kombinasi kedua cara di

0,8 -0.351

1,0 -0,632

Untuk persamaan yang agak rumit digunakan kombinasi kedua cara diatas.



Lokasi Akar untuk Persamaan Polinom00)( 21nnPersamaan polinom :

p(x) = 0 mempunyai tepat n akar, termasuk akar bilangan imajiner.U t k l k ik k k l di k if t k it

,0,0...)( 012

21

1 =+++++= nnnnn aaxaxaxaxaxp

Untuk melokasikan akar-akar yang real digunakan sifat akar, yaitu

1. Aturan tanda Descartes

a Akar real positifa. Akar real positif.u = banyak kali pergantian tanda koefisien ai dari p(x).np = banyak akar real positif.pMaka berlaku : np u dan u np = 0, 2 , 4,

b. Akar real negatif.b k k li i d k fi i d i ( )v = banyak kali pergantian tanda koefisien ai dari p(-x).

ng = banyak akar real negatif.Maka berlaku : n v dan v n = 0, 2 , 4, Maka berlaku : ng v dan v ng 0, 2 , 4,



2. Selang akarMisalkan += kamaksr 1MisalkanMaka semua akar p(x) akan terletak pada interval [-r, r ].

Contoh 2.3

+

n

nk amaksr1

1

Diberikan polinomTentukan komposisi akar-akar dari polinom tersebut.

Jawab

13)( 235 += xxxxp

Jawab.Pola tanda kefisien p(x) : + - + - . Jadi u = 3 sehingga u - np = 0 atau 2. Akibatnya np = 3 atau np = 1. Pola tanda kefisien p( x) : - + + - Jadi v = 2 sehingga u n = 0 atau 2Pola tanda kefisien p(-x) : - + + - . Jadi v = 2 sehingga u - ng = 0 atau 2. Akibatnya ng = 2 atau ng = 0. Dari dua hal di atas, disimpulkan komposisi akar,

1 tiga akar real positif dan dua akar real negatif1. tiga akar real positif dan dua akar real negatif2. tiga akar real positif dan dua akar bilangan imajiner3. satu akar real positif, dua akar real negatif dan dua akar bilangan imajiner4. satu akar real positif dan empat akar bilangan imajiner



Agar interval akar dapat ditentukan, harus dihitung r. Dalam hal ini r = 4. Jadi semua akar akanterletak dalam interval [ 4 4 ] Buat tabulasi polinomJadi semua akar akanterletak dalam interval [-4, 4 ]. Buat tabulasi polinomdalam interval ini.

Dari tabulasi terlihat bahwa terjadi pergantianx p(x)tanda sebanyak tiga kali yaitu pada interval

(-2, -1), (-1, 0), dan (1, 2).

Kesimpulan komposisi akar:

p( )-4 -817

-3 -43

2 5 Kesimpulan komposisi akar:

- satu akar real positif

- dua akar real negatif

-2 -5

-1 2

0 -1 dua akar real negatif

- dua akar bilangan imajiner1 -2

2 11

3 170

Setelah lokasi akar diketahui maka sebagai tebakan awal dapat diambil

3 7

4 847

Setelah lokasi akar diketahui, maka sebagai tebakan awal dapat diambilnilai-nilai yang terletak di dalam interval tersebut.



2. Metode BagiDua (Bisection)Metode bagidua didasarkan pada teorema nilai antara untuk fungsikontinu, yaitu

Misalkan fungsi f kontinu pada interval [a b] Apabila nilai f(a) danMisalkan fungsi f kontinu pada interval [a, b]. Apabila nilai f(a) danf(b) berlawanan tanda atau f(a).f(b) < 0 maka terdapat x dalam(a, b) sehingga f(x) = 0.

Metode ini memerlukan dua nilai sebagai tebakanMetode ini memerlukan dua nilai sebagai tebakanawal, misal a dan b dengan a < b dan f(a).f(b) < 0.Selang (a, b) mengandung satu akar.Pertama selang (a, b) dibagi dua sama panjang,

b t titik D i t l b di l h itsebut titiknya T. Dua interval baru diperoleh yaituinterval (a, T) dan (T, b) yang salah satunya pastimengandung akar.Berikutnya yang ditinjau adalah interval yang

f(a)

Berikutnya yang ditinjau adalah interval yangmengandung akar tersebut.Proses diulang dengan membagi dua interval danmemeriksa setengah interval mana yang mengan-dung akar Pembagi duaan interval ini dilanjutkan

a bT

f(T) T

f(T)


dung akar. Pembagi duaan interval ini dilanjutkansampai lebar interval yang ditinjau cukup kecil.

f(b)


Algoritma Metode BagiduaMasukan : f(x) a b dan epsilonMasukan : f(x), a, b dan epsilonKeluaran : akarLangkah-langkah :

ba +1. 2. Jika f(a).f(T) < 0 maka jika tidak3 Jika b a < epsilon maka dan Selesai

2baT +

Tb Ta Takar 3. Jika b a < epsilon maka dan Selesai

4. Ulangi kembali ke langkah 1.Takar

Metode bagidua selalu menghasilkan akar sehingga metode ini selalukonvergen Besarnya epsilon tergantung ketelitian yang diinginkankonvergen. Besarnya epsilon tergantung ketelitian yang diinginkan, semakin kecil epsilon yang diberikan semakin teliti hampiran akar yang diperoleh.

Contoh 2.4Gunakan metode bagidua untuk menentukan salah satu akar daripersamaan f(x) = ex 4x.


persamaan f(x) e 4x.


Jawab.Setelah mencari lokasi akar baik cara grafik atau cara tabulasi diperolehSetelah mencari lokasi akar, baik cara grafik atau cara tabulasi, diperolehf(x) mempunyai dua akar pada interval (0, 1) dan (2, 3). Akan ditentukanhampiran akar pada interval (0, 1).It i 1 0 00000 f( ) 1 00000 0Iterasi 1 : a = 0.00000, f(a) = 1.00000 > 0

b = 1.00000, f(b) = -1.28172 < 0T = (0.00000 + 1.00000)/2 = 0.50000, f(T) = -0.35128 < 0Karena f(a).f(T) < 0 maka b = T

Iterasi 2 : a = 0.00000, f(a) = 1.00000 > 0b = 0.50000, f(b) = -0.35128 < 0T = (0.00000 + 0.50000)/2 = 0.25000, f(T) = 0.28403 > 0Karena f(a).f(T) > 0 maka a = T

Iterasi 3 : a = 0.25000, f(a) = 0.28403 > 0b = 0.50000, f(b) = -0.35128 < 0T = (0.25000 + 0.50000)/2 = 0.37500, f(T) = -0.04501 < 0Karena f(a).f(T) < 0 maka b = TKarena f(a).f(T) < 0 maka b T

Bila ditetapkan epsilon = 0.00001, metode ini akan berhenti pada iterasike-17 dan akan menghasilkan T = 0.357399 dan f(T)= 1.0252e-05. Jadidiperoleh Akar = 0 357399


diperoleh Akar = 0.357399.Tentukan juga akar pada interval (2, 3).


3. Metode Posisi-palsu (Regula-false)Metode bagidua belum memanfaatkan nilai fungsi untuk menghitung hampiranakar. Metode posisi-palsu memanfaatkan perbandingan antara nilai f(a) danf(b) yang mana lebih dekat ke nol akan ikut menentukan posisi akar, apakahlebih dekat ke ujung kiri atau ujung kanan blebih dekat ke ujung kiri a atau ujung kanan b.Misalkan diketahui titik (a, f(a)) dan (b, f(b)). Hampiran akar diperoleh dariperpotongan garis yang melalui titik (a, f(a)) dan (b,f(b)) dengan sumbu-x.

Mi lk titik t t b t d l h titik ( 0)

)()()(

afbfabbfbc =

Misalkan titik potong tersebut adalah titik (c, 0) maka dari persamaan garis lurus diperoleh

Akibatnya akar akan terletak pada interval (a, c)atau (c, b). Selanjutnya penentuan interval manayang mengandung akar memakai cara yang

f(a)

)()( afbf

yang mengandung akar memakai cara yangsama seperti metode bagidua.Menghentikan iterasi dengan ketentuan lebarselang tidak dapat dipakai lagi. Iterasi akan

a bc

f(c)

c

f(c)


dihentikan bila dua hampiran akar yangberuntun sudah hampir sama nilainya.

f(b)


Algoritma Metode Posisi-palsuMasukan : f(x) a b dan epsilonMasukan : f(x), a, b dan epsilonKeluaran : akarLangkah-langkah :

1.

2.

abclama 2

)()()(

afbfabbfbc

3. Jika f(a).f(c) < 0 maka jika tidak

4 Jika maka dan Selesai

cb ca cakar

)()( afbf

ilcc lama 4. Jika maka dan Selesai

5. Jika tidak , kembali ke langkah 2.

cakar epsilonc

lama cclama

Contoh 2.4Gunakan metode posisi-palsu untuk menentukan salah satu akar dari

f( ) 4


persamaan f(x) = ex 4x.


Jawab.Akan ditentukan hampiran akar pada interval (0 1)Akan ditentukan hampiran akar pada interval (0, 1).Iterasi 1 : a = 0.00000, f(a) = 1.00000 > 0

b = 1.00000, f(b) = -1.28172 < 0c = 0.43827, f(c) = -0.20305 < 0Karena f(a).f(c) < 0 maka b = c

Iterasi 2 : a = 0.00000, f(a) = 1.00000 > 0b = 0.43827, f(b) = -0.20305 < 0c = 0.36430, f(c) = -0.01769 < 0, ( )Karena f(a).f(c) < 0 maka b = c

Iterasi 3 : a = 0.25000, f(a) = 0.28403 > 0b = 0.36430, f(b) = -0.01769 < 0c = 0 35797 f(c) = 0 00145 < 0c = 0.35797, f(c) = -0.00145 < 0Karena f(a).f(c) < 0 maka b = c

Bila ditetapkan epsilon = 0.00001, metode ini akan berhenti pada iterasike 6 dan akan menghasilkan c = 0 35740 dan f(c) = 8 34465e 05 Jadike-6 dan akan menghasilkan c = 0.35740 dan f(c) = -8.34465e-05. Jadidiperoleh Akar = 0.35740.Catatan : jika grafik fungsi berbentuk konveks di sekitar akar, maka selama


proses iterasi salah satu ujung akan tetap nilainya, yang bergeser hanyaujung yang satunya.


4. Iterasi Titik-tetapMetode iterasi numeris adalah metode memilih suatu x0 sebarang sebagaitebakan awal dan secara berurutan menghitung barisan x1 , x2 , x3 , secara rekursif dari relasi berbentuk

xn+1 = g(xn), untuk n = 0, 1, 2, 3, Dengan g terdefinisi pada interval yang memuat x0 dan rentang g terletakpada interval tersebut. Jadi secara berurutan akan dihitung x1 = g(x0), p g 1 g( 0)x2 = g(x1) , x3 = g(x2) , Solusi dari bentuk f(x) = 0 yang ditransformasikan menjadi x = g(x) disebutsolusi titik tetap dari g. Hasil transformasi yang diberikan mungkin ber-g y g gpadanan beberapa persamaan dan kelakuan khususnya dari segi kekon-vergenan, barisan iterasi x0 , x1 , x2 , x3 , mungkin berbeda ( dan mungkinjuga tergantung dari pilihan x0). Syarat cukup kekonvergenen, diatur olehteorema berikut.

Misalkan x = s adalah suatu solusi dari x = g(x) dan g mempunyai turunankontinu dalam interval I yang memuat s Jika dalam I maka1)('


Contoh 2.5Gunakan iterasi titik tetap untukmencari salah satu akar dari persamaanGunakan iterasi titik tetap untukmencari salah satu akar dari persamaanf(x) = x3 + x 1 = 0.JawabAk t l t k d k t 1 P d t dit li d l b t kAkar terletak dekat x = 1. Persamaan dapat ditulis dalam bentuk,

sehingga

Maka untuk sebarang x sehingga akan konvergen untuk21 1

1)(x

xgx +== 21 11

nn x

x +=+1)(


5. Metode Newton-RaphsonMetode Newton-Raphson adalah metode iterasi lain untuk memecahkanpersamaan f(x) = 0, dengan f diasumsikan mempunyai turunan kontinu f .Secara geometris, metode ini sama dengan metode posisi-palsu, yaitumenggunakan garis lurus sebagai hampiran fungsi pada suatu interval.Bedanya yang dipakai adalah garis singgung.Mula-mula diberikan suatu nilai x0 sebagai tebakan awal yang diperoleh0 g y g pdengan melokasikan akar-akar f(x) terlebih dahulu. Tetapkan x1 adalah titikpotong antara sumbu-x dan garis singgung pada kurva f di titik x0. Kemiringangaris singgung di titik x0 sama dengan turunan pertama di titik tersebut.

)(f )(fMaka, sehingga

Pada iterasi kedua,10

00

)()(xx

xfxf = )(')(

0

001 xf

xfxx =

)(')(

1

112 xf

xfxx =)(xf

y=f(x)y

Dan seterus untuk iterasi ke-i,

Pada metode ini, prinsip pengurungan akar tidakdigunakan lagi, sehingga tidak dijamin kekon-

)( 1f

)(')(

1

11

=i

iii xf

xfxx


g g , gg jvergenannya. Iterasi dihentikan bila iterasi yangberurutan menghasilkan akar yang sama.

x0x1 xx2


Dalam rumus iterasi pada penyebut terdapat suku f (xi). Agar metode iniberhasil maka selama iterasi nilai ini tidak boleh sama dengan nolberhasil, maka selama iterasi nilai ini tidak boleh sama dengan nol.

Algoritma Metode Newton-RaphsonMasukan : f(x), f (x), x0, epsilon, M (maksimum banyak iterasi)Keluaran : akarLangkah-langkah :

1. 1Iterasi1. 2. Jika f (x0) = 0 maka proses gagal dan selesai

3. )(')( 0

0 fxfxxbaru

1Iterasi

4. Jika maka dan Selesai)(' 0xf

epsilonx

xx

baru

baru 0 baruxakar 5.

6.

7. Jika , kembali ke langkah 2.

baruxx 01+ IterasiIterasi

MIterasi


7. Jika , kembali ke langkah 2.

8. Proses belum konvergen/divergen dan selesai.MIterasi


Contoh 2.6Gunakan metode Newton-Raphson menentukan akar dari persamaan

JawabJika f(x) = ex 4x maka turunan pertamanya adalah f (x) = ex 4

Gunakan metode Newton-Raphson menentukan akar dari persamaanf(x) = ex 4x dengan x0 = 0 dan epsilon = 0.00001.

Jika f(x) e 4x maka turunan pertamanya adalah f (x) e 4. Sehingga diperoleh berturut-turut,

x1 = 0.333333x2 = 0.357246 Nilai hampiran akar diperoleh x = 0.3574032x3 = 0.357403x4 = 0.357403

Contoh 2.7Susun suatu iterasi Metode Newton-Raphson untuk mencari akar kuadratdari bilangan positif c yang diberikan. Dalam hal ini c = 2 dan x0 = 1.Contoh 2.8Menggunakan metode Newton-Raphson, tentukan penyelesaian positif dari2 sin x = x dengan x0 = 2.Contoh 2.9


Terapkan metode Newton-Raphson dengan x0 = 1 pada persamaanf(x) = x3 + x 1 = 0


6. Metode SecantM t d S t di l h d i t d N t d tiMetode Secant diperoleh dari metode Newton dengan cara mengganti f (x) dengan beda terbagi.

Kemudian sebagai ganti skema iterasi Newton diperoleh1

1)()()(

nn

nnn xx

xfxfxf

Kemudian sebagai ganti skema iterasi Newton diperoleh,

Secara geometris metode Newton xn+1 merupakan perpotongan sumbu-x)()(

)(1

11

+ =

nn

nnnnn xfxf

xxxfxx

Secara geometris, metode Newton xn+1 merupakan perpotongan sumbu x dengan garis singgung di xn. Sedangkan metode Secant xn+1 berupa perpo-tongan sumbu-x dengan tali busur kurva f(x) yang berpadanan terhadap xn-1dan xn. Metode Secant memerlukan dua tebakan awal,Metode Secant memerlukan dua tebakan awal,

x0 dan x1, tapi menghindari penghitunganturunan.Metode Secant lebih lambat dari metode Newton.

y=f(x)y

Algoritmanya hampir sama dengan metode NewtonTidak dianjurkan menuliskan skema di atas seperti

)()()()( 11

1

+= nnnnnn ff

xfxxfxxx


Karena akan menimbulkan kesukaran bila xn = xn-1.x0x1 xx2x3 )()( 1

1

+ nnnn xfxf


Contoh 2.10Tentukan solusi positif dari f(x) = x 2 sin x = 0 menggunakan metodeTentukan solusi positif dari f(x) = x 2 sin x = 0 menggunakan metodeSecant, mulai dengan tebakan awal x0 = 2 dan x1 = 1.9.Jawab

895747.1)()(

)(01

01112 =

=xfxf

xxxfxx

xx 895494.1)()(

)(12

12223 == xfxf

xxxfxx

Jadi hampiran akar adalah x3 = 1.895494 dengan ketelitian sampai 5 p 3 g pangka.



7. Modifikasi Metode Newton-Raphson untuk PersamaanPolinomPolinom

Untuk persamaan polinom, metode Newton memerlukan modifikasi agar lebihefisien. Misalkan persamaan polinom p(x) = 0 berderajat m mempunyaiskema iterasi )(xpskema iterasi,

Diperlukan cara yang efisien untuk penghitungan p(xn) dan p(xn) yang berulang-ulang dan untuk x yang berlainan

)(')(

1n

nnn xp

xpxx =+

berulang ulang dan untuk xn yang berlainan.

Menghitung p(xn) untuk suatu x = k.

Sxp )(m

m xaxaxaaxp ++++= ...)( 2210Tuliskan : dengan

Diperoleh,kx

Sxqkx

xp+= )(

)( 12321 ...)(

++++= mm xaxbxbbxqS Konstanta sisa

Skxxqxp += ))(()(

Substitusikan nilai p(x) dan q(x) ke persamaan di atas, diperolehUntuk x = k p(k) = S

Skxxbxbxbbxaxaxaa mm +++++=++++ ))(( 123212210Samakan koefisien dari x yang berpangkat sama, diperoleh m+1 persamaan:


Skxxbxbxbbxaxaxaa mm +++++++++ ))(...(... 321210


kbSa = 10 Untuk membuat algoritma, misal S = b0,kbbakbba==

322

211

bm = amUntuk i = m - 1 m - 2 0 maka

Untuk membuat algoritma, misal S b0, maka diperoleh algoritma :

mm

mmm

bakbba

== 11

... Untuk i = m - 1, m - 2, , 0 makabi = ai + kbi +1

S = b0

Menghitung p(xn) untuk suatu x = kTurunan pertama dari adalahSkxxqxp += ))(()( )())((')(' xqkxxqxp +=Untuk x = k p(k) = q(k)

Tulis Tkxxrxq += ))(()( dengan22

432 ...)(++++= mm xcxcxccxr

T Konstanta sisaT Konstanta sisa

Substitusikan nilai p(x) dan q(x) ke persamaan di atas, diperolehTkxxcxcxccxbxbxbb mm

mm +++++=++++ ))(...(... 22432123121


Samakan koefisien dari x yang berpangkat sama, diperoleh m persamaan:


kcTb = 21 Untuk membuat algoritma, misal T = c1,kccbkccb

==

433

322

cm = bmUntuk i = m - 1 m - 2 1 maka

Untuk membuat algoritma, misal T c1, maka diperoleh algoritma :

mm

mmm

cbkccb

== 11

... Untuk i = m - 1, m - 2, , 1 makaci = bi + kci +1

T = c1

Algoritma Metode Newton-Raphson untuk polinomMasukan : m : derajat polinomMasukan : m : derajat polinom

ai, i = 0, 1, 2, , m : koefisien-koefisien polinomx0 : tebakan awalEpsilon : ketelitianEpsilon : ketelitianmaks : maksimum iterasi

Keluaran : akar



Langkah-langkah :

1. 2. Untuk

Untuk

mmmm bcab :maksiterasi ...,,2,1

1...,,2,1 mmi10 ++ iii bxab10 ++ iii cxbc

bb 1000 bxab +Jika c1 = 0 maka algoritma gagal dan selesai

00

bxxb 1

0 cxxbaru

Jika epsilonx

xx

baru

baru 0 maka baruxakar dan selesaiba u

baruxx 0



Contoh 2.11Gunakan algoritma metode Newton-Raphson untuk polinom untukGunakan algoritma metode Newton-Raphson untuk polinom, untukmenentukan hampiran polinom p(x) = x3 + x 3 = 0 dengan tebakanawal x0 = 1.1 untuk akar yangterletak pada [1, 2].JawabDiketahui ao = -3, a1 = 1, a2 = 0 dan a3 = 1Maka b3 = a3 = 1, c3 = b3 = 1,

m 3m = 3Iterasi = 1 : b2 = a2 + x0b3 = 0 + (1.1)1 = 1.1

c2 = b2 + x0c3 = 1.1 + (1.1)1 = 2.2b1 = a1 + x0b2 = 1 + (1.1)(1.1) = 2.211 1 0 2 ( )( )c1 = b1 + x0c2 = 2.21 + (1.1)(2.2) = 4.63b0 = a0 + x0b1 = -3 + (1.1)(2.21) = -0.569xbaru = x0 (b0/c1) = 1.1 (-0.569 / 4.63) = 1.222894

Iterasi = 2 : b = a + x b = 0 + (1 222894)1 = 1 222894Iterasi = 2 : b2 = a2 + x0b3 = 0 + (1.222894)1 = 1.222894c2 = b2 + x0c3 = 1.222894 + (1.222894)1 = 2.445789b1 = a1 + x0b2 = 1 + (1.222894)(1.222894) = 2.49547c1 = b1 + x0c2 = 2.49547 + (1.222894)(2.445789) = 5.48641


0b0 = a0 + x0b1 = -3 + (1.222894)(2.49547) = 0.51696xbaru = x0 (b0/c1) = 1.222894 (0.51696 / 5.48641) = 1.213472


Dengan cara yang sama, diperoleh pada:

Iterasi = 3 : xbaru = 1.213412

Iterasi = 4 : xbaru = 1.213412


Bab 2 Akar Persamaan Tak Linear

Documents

Transcript of Bab 2 Akar Persamaan Tak Linear