BAB I

PENDAHULUAN1.1Pendahuluan

Dalam pembuatan makalah ini, kami memilih judul Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Harga Mutlak karena, Materi ini merupakan teori dasar yang biasa sering digunakan dalam kehidupan sehari - hari.

Dalam Maklah ini kita akan membahas tentang Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Harga Mutlak, dalam bagian makalah ini dibahas tentang Konsep Dasar Harga Mutlak, Sifat-sifat Persamaan Nilai Harga mutlak, sifat-sifat Pertidaksamaan Nilai Harga Mutlak. Materi ini merupakan Persyaratan dasar dalam Mempelajari Matematika Lainnya.Dan tidak hanya itu, dalam pengambilan judul ini karena, masih banyak beberapa pembaca yang belum mengetahui dan memahami tentang materi ini. Sehingga sering membuat keliruan dalam mengaplikasikanya dalam kehidupan sehari hari.1.2Tujuan

Adapun tujuan dalam pembuatan Maklah ini, yakni : Memberikan dan menambah wawasan kepada pembaca.

memberikan kemudahan dalam pembelajaran

Dan diutamakan untuk memenuhi tugas Kapita Selekta.

BAB II

PEMBAHASAN

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN DENGAN HARGA MUTLAKA. PERSAMAAN DENGAN HARGA MUTLAKa. Harga Mutlak

Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali kita diharapkan pada permasalahan yang berhubungan dengan jarak. Misalnya kita ingin menghitung jarak antara kota yang satu dengan kota yang lainya, atau jarak antara dua patok tertentu. Dalam kaitannya dengan pengukuran jarak antara dua tempat ini, timbulah sesuatu keistimewaan, bahwa jarak ini harganya selalu positif. Dengan kata lain pengukuran jarak antara dua tempat nilainya tidak pernah negatif.

Secara khusus, dalam matematika untuk memberikan jaminan bahea sesuatu itu nilainya selalu positif diberikanlah suatu pengertian yang sering kita namakan sebagai harga mutlak. Jadi, harga mutlak atau nilai mutlak adalah suatu konsep dalam matematika yang menyatakan selalu positif. Secara matematis pengertian harga mutlak dari setiap bilangan real x yang ditulis dengan simbol x, ialah nilai positif dari nilai x dan -x. Untuk lebih jelasnya lagi, kita akan merancang konsep harga mutlak dari suatu bilangan real x hubungannya dengan konsep jarak secara geometri dari x ke 0. Sekarangkita perhatikan penjelasan untuk jarak pada garis bilangan seperti berikut ini

Untuk setiap bilanga real x, harga mutlak dari x ditulis xdan

x , x > 0x=

x , x < 0

Contoh. 1 :

Contoh. 2 :

(a)3 = 3(b)(-3)= -(-3)= 3 (c) = (d) 0= 0(a) -2--6= 2-6=-4=4

(b) 13 + -1-4-3--8=13+-5-3-8

= 13 + 5 - 3 - 8 = 7

b. Persamaan dan Kesamaan

Teorema 1

Jika P(x), Q(x), dan R(x) bentuk-bentuk akar dalam x, maka untuk setiap nilai x, yang mana P(x), Q(x) dan R(x) real, kalimat terbuka P(x) = R(x) adalah ekuvalen dengan tiap-tiap dari yang berikut :

A. P(x) +R(x) = Q(x) +R(x) untuk x {x/ R(x) 0B. P(x) .R(x) = Q(x) .R(x) C. c. Persamaan Harga MutlakSebagaimana telah kita ketahui dalam membahas fungsi rasional, bahwamuntuk setiap bilangan real x, bahwa x2 real dan tidak negatif, dan juga jika x 0 maka x2 = x karena x adalah satu-satunya bilangan yang tidak negatif dan kuadratnya sama dengan x2. Jika x < 0, maka x2 = -x, karena (-x) > 0 dan (-x)2 = x2. Jadi untuk setiap bilangan real x x = x= x jika x 0

= -x jika x < 0

(Ingat bentuk-bentuk akar dan bilangan berpangkat).Selanjutnya dengan memperhatikan definisi harga mutlak dan kaitannya dengan

penarikan akar di atas, kita akan melihat beberapa teorema harga mutlak, diantaranya :

Teorema 2

Untuk setiap bilangan real x berlaku

(a) x=-x (b)x2 = -x2 = x

Bukti (a) :

x = x2 = (-x2) = -xBukti (b) :

x2= (x2) 2 = (x) 2 jika x > 0

= (-x) 2 jika x < 0

= x 2 (1)x2= (x2) 2 = (x2 ) sebab x 2 > 0

= x 2 ..(2)

Dari (1) dan (2)

x2 x2 = x2Teorema 3

Untuk setiap x R dan y R (himpunan bilangan real), maka berlaku

(a) xy=x.y(b) = B. PERTIDAKSAMAAN DENGAN HARGA MUTLAK

a. Pertidaksamaan

Pertidaksamaan adalah kalimat matematika terbuka yang memuat ungkapan >, , 2,dan sebagainya , untuk setiap x, y R (himpunan bilangan real).

Seperti pada persamaan dalam pertidaksamaan tidak berlaku untuk setiap pengganti variabelnya. Nilai-nilai variabel yang memenuhi pertidaksamaan disebut penyelesaian, dan himpunan semua pengganti variabel yang menyebabkan pertidaksamaan itu menjadi kalimat tertutup yang benar disebut himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan.

Sebaliknya, suatu pertidaksamaan mutlak atau pertidaksamaan absolut adalah suatu pertidaksamaan yang selalu benar untuk setiap nilai pengganti variabelnya. Pertidaksamaan mutlak ini sering pula disebut ketidaksamaan dan tentunya ketidaksamaan ini merupakan kalimat matematika tertutup.

Contoh :

(1). (x - 1)2 0

(2). X + 2 > x + 1

(3). -3x2 - 7x - 6 < 0

(4). -(x - 1)2 0

(5).3x4 > - -1

Selain itu ada pula suatu pertidaksamaan yang selalu salah untuk setiap pengganti variabelnya yang disebut pertidaksamaan palsu.Contoh :

(1). X2 + 2 0

(2). X + 2 x + 3

(3). (x - 2)2 < 0

(4).2x - 3 > --x

b. Sifat-sifat Pertidaksamaan

Teorema 4

Jika P(x), Q(x), dan R(x) adalah ungkapan-ungkapan dalam x, maka untuk semua harga-harga x, P(x), Q(x), dan R(x) yang real, kalimat terbuka P(x) < Q(x) adalah ekivalen dengan tiap-tiap dari yang berikut :

A. P(x) + R(x) < Q(x) + R(x)

B. P(x) . R(x) < Q(x) . R(x)

untuk x { x/R(x) > 0 }C. D. P(x). R(x) > Q(x) . R(x) untuk x { x/R(x) > 0 }E. demikian pula untuk kalimat terbuka P(x) Q(x) adalah ekuivalen dengan kalimat-kalimat terbuka dari bentuk A sampai bentuk E dengan mengganti < (atau >) dengan (atau ) dengan syarat yang sama pula, yaitu R(x) > 0 dan R(x) < 0 seperti di atas.

c. Pertidaksamaan Harga Mutlak

Teorema 5

Jika x R, a R, dan a > 0, maka x < a, jika dan hanya jika -a < x < a.

Untuk membuktikan teorema ini harus dibuktikan dua bagian, yaitu :

(1). Jikax< a, maka -a < x < a.

(2). Jika -a < x < a, maka x < a

Bukti :

Untuk tiap x R,x 0.

Karena a > 0, maka -a < 0

Jadi untuk tiap x, -a x > -a atau -a < x < a (terbukti).

Teorema 6

Jika x R, a R, dan a > 0, makax> a, jika dan hanya jika x < -a atau x > a.

Buktinya dipersilakan kepada para pembaca yang mempelajarinya untuk

mencobanya.

Contoh :

Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x + 1< 3.

Penyelesaian :

Menurut teorema 5,

x + 1< 3.

Jika dan hanya jika

-3 < x + 1 < 3

Tiap ruas ditambah dengan -1, didapat -4 < x < 2

Jadi himpunan penyelesaiannya

{ x / -4 < x < 2 }

Himpunan penyelesaian dapat pula ditulis dengan menggunakan simbul irisan :

{ x / x > -4 } { x / x < 2 }.

Teorema 7

Untuk setiap R, x x.

Bukti : Jika x 0, maka x = x(definisi)

Jika x < 0, maka x < x , sebab x 0

Jadi dalam hal ini x x dan x |-x| karena |x| = |x| = xTeorema 8

Jika x R, y R, maka

(1). x - yx-y

(2). x +y x+y

BAB III

PROBLEM

Diketahui, sifat-sifat persamaan dan pertidaksamaan nilai harga mutlak :

1. Persamaan Nilai Mutlak :

Untuk setiap x R dan y R (himpunan bilangan real), maka berlaku(a) xy=x.y

(b) = 2. Pertidaksamaan Nilai Mutlak :Jika x R, y R, maka

(a). x - yx-y

(b). x +y x+y

(c). |x| - |y|x - yPenyelesaian Problem : 1. Persamaan Nilai Mutlak :(a) xy=x.y

xy= (xy)2

= x2.y2= x2 . y2=x.y ( Terbukti )

Ataux.y= x2 . y2

= x2.y2

= (xy)2=xy( Terbukti )(b) = == = = ( Terbukti )Atau = = = ( Terbukti )

2. Pertidaksamaan Nilai Mutlak :(a). x - yx+y

Menurut teorema 7 diatas x |x| dan x |-x| karena |x| = |x| = xjuga

-y |-y| = |y| dan y |y|Dengan menjumlahkan didapat :x y |x| + |y| dan (-x+y) = - (x y ) |x| + |y|dan menurut teorema 8 bagian 1x yx+y (Terbukti)

(b). x +y x+y| x + y | = | x - (-y)| < | x | + | y |

Menurut teorema 2(a) : | y | = | -y |, maka

| x + y | < | x | + | y | (Terbukti)

(c). |x| - |y|x - y

tulis x = (x y) + y maka, dengan menggunakan ketaksamaan segitiga akan dapat : x = (x y) + yx - y+y jadi x-yx - y. Kemudian dariy=y x + xy x+x. Jadi-x y= -y xx-y. Dari kedua kombinasi ini kita dapatkan yang akan dibuktikan.

BAB IVPENUTUP

2.1 Kesimpulan

Telah kita ketahui bahwa matematika adalah ilmu dasar dari hamper semua mata pelajaran, dan sering digunakan pula dalam kehidupan sehari hari. dalam matri nilai harga mutlak merupakan salah satu ilmu yang biasa digunakan dalam pembangunan, karena hasil nilai yang selalu positif memudahkan untuk menyelesaikan berbagi mascam masalah. dan kaerana sifat-sifatnya yang tidak terlalu banyak dan mudah dipahami. sehingga membuat materi ini sering diaplikasikan kedalam kehidupan sehari-hari.2.2 Usul dan Saran

Dalam mempelajari materi harga mutlak ini, terlebih dahulu kita harus memahami konsep dari harga mutlak itu sendiri, sehingga kita bisa lebih mudah dalam menyelesaikan soal-soal baik persamaan maupun pertidaksamaan harga mutlak.dengan mempelajari materi harga mutlakjuga, kita bisa menerapkanya dalam kehidupan sehari-hari, contohnya ; jika kita ingin menghitung jarak antar kota yang satu dengan kota yang lain atau jarak antara dua patok tertentu kita bisa menggunakan konsep harga mutlak.2.3 Penutup

Sekian materi yang dapat kami sampaikan, semoga materi yang terkandung dalam makalah ini, bermanfaat bagi pembaca. Ucapan terimakasih tidak luput kami ucapkan kepada dosen pembimbing kami (Dina Pratiwi D.S., S.Pd) yang telah memberikan arahan kepada kami untuk menyelesaikan makalah ini, sehingga selesai tepat dengan waktunya . Dan kami semuapun tau bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu kritik dan saran kepada pembaca sangatlah kami harapkan utuk penyempurnaan makalah ini atau berikutnya. Dan diakhir kata kami ucapkan.

Wassalammualaikum wr. wb.MAKALAH

Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Harga Mutlak

Diajukan untuk memenuhi tugas Kapita Selekta

Semester 1

UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI

Jl. Pemuda No. 32 Telp. (0231) 206558 Fax. (0231) 236742 Cirebon 45131E-mail : unswagati@unswagati-ac.idwww://unswagati-crb.ac.id2011 2012

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat dan karunia-NYA kepada kami, sehingga kami bisa berhasil menyelesaikan Makalah ini yang alhamdullilah selesai tepat pada waktunya yang berjudul Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Harga Mutlak

Makalah ini Berisikan ringkasan materi tentang Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Harga Mutlak dan khususnya sifat-sifat Persamaan dan Pertidaksamaan nilai Harga Mutlak. Diharapkan makalah ini dapat memberikan informasi sebaik-baiknya tenteng materi Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Harga Mutlak.

Kami menyadari bahwa, Makalah ini masih jauh dari sari sempurna. Oleh karena itu, kritik dan saran dari semua pihak yang bersifat membangun selalu kami harapkan untuk penyempurnaan Makalah ini.

Akhir kata kami ucapkan terimakasih kepada semua pihak yang telah berperan serta dalam pembuatan Makalah ini dari awal sampai dengan akhir. Semoga Allah SWT meridhai segala usaha kita. Amien.

November 2011

Penyusun

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR IDAFTAR ISI

IIBAB I (PENDAHULUAN) 11.1Pendahuluan 11.2Tujuan

1BAB II (PEMBAHASAN)

2PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

DENGAN HARGA MUTLAK 2A. PERSAMAAN DENGAN HARGA MUTLAK 2a. Harga Mutlak 2b. Persamaan dan Kesamaan 3c. Persamaan Harga Mutlak 3B. PERTIDAKSAMAAN DENGAN HARGA MUTLAK 4a. Pertidaksamaan 4b. Sifat-sifat Pertidaksamaan 5c. Pertidaksamaan Harga Mutlak 5BAB III (PROBLEM)

7 BAB IV (PENUTUP)

9

Disusun oleh : Arie Koesherawati111070120

Eryanti111070225

Fagil Rachman D.P111070096

Diah Lutfiahtul H.111070270

Cita Pramudiana111070267

Kelasa : 1K

I

II

SHAPE \* MERGEFORMAT

10