Persamaan Dan Pertidaksamaan Ok

HIMPUNAN

A. PENDAHULUAN :

1. Himpunan ( Set ) : Sekelompok atau satu koleksi / daftar dari obyek-obyek

yang berada dalam satu kesatuan.

Obyeknya berupa bilangan, orang , huruf dsb.

Obyek tersebut dinamakan elemen atau unsur atau anggota.

2. Notasi : Himpunan dinyatakan dengan huruf besar

Misalkan sbb : A, B, C, dst.

Obyeknya dinyatakan dengan huruf kecil : misalkan a, b, c, dst.

Mis : D = {a, b, c, d} disebut a D

3. Cara menyatakan suatu himpunan :

a. Pendaftaran ( tabular ) :

Contoh :

A= { 1, 2, 3, 4, 10}

b. Ciri-ciri

Ditandai dengan{}

A= { x | x adalah nama bulan dalam setahun }

R= { x | 3 adalah < x < 9 , x bilangan asli }

4. Beberapa statement :

Ada himpunan yang tidak bisa dinyatakan denagn cara pencirian seperti :

X ={ baju si A, sepeda si B, ayam si C, cincin si D }

Himpunan finite adalah himpunan terbatas, sedangkan himpunan infinite

merupakan himpunan tak terbatas.

Contoh :

- Himpunan finite : A = { 1, 2, 3, ..1000 }

- Himpunan infinite : B = { 1, 2, 3, . }

Contoh: 1. Yang merupakan himpunan adalah:

a. Himpunan warna lampu lalu lintas

b. Kumpulan bilangan prima kurang dari 10

c. I = { x x < 10, x bilangan cacah }

d. H = { 1, 3, 5, 6 }

Penjelasan:

a. Obyek pada himpunan warna lampu lalu lintas dapat didefinisikan dengan jelas, yaitu merah, kuning dan hijau.

b. Obyek pada kumpulan bilangan prima kurang dari 10 adalah 2, 3 ,5 dan 7. c. Obyek pada himpunan I adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9 d. Obyek pada himpuanan H sudah jelas yaitu 1, 3, 5 dan 6

2. Yang bukan merupakan himpunan adalah:

a. Kumpulan warna yang menarik b. Kumpulan lukisan yang indah c. Kumpulan siswa yang pintar d. Kumpulan rumah bagus

B. MACAM MACAM HIMPUNAN :

1. HIMPUNAN YANG SAMA.

Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B , jika kedua himpunan itu

memiliki anggota yang sama.

Contoh :

A = { 2, 3, 4 } B = { 2, 3, 4 }

C = { 1, 2, 2, 1 } D = { 1, 2 }

Dikatakan A = B dan C = D

2. HIMPUNAN KOSONG

Himpunan yang tidak memiliki anggota. Dilambangkan dengan : { } atau

Catatan :

Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari seluruh himpunan.

Contoh

1. Himpunan bilangan genap kurang dari 2

2. Himp Bilangan Genap yang habis dibagi 3

3. HIMPUNAN BAGIAN ( subset ) :

Dilambangkan dengan :

A disebut himpunan bagian dari B, jika setiap elemen atau unsur himpunan

A, juga anggota himpunan B.

Contoh :

A = { 5, 6, 7 }

B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

Dikatakan : A B

Himpunan Bagian Murni : Jika setiap anggota A juga anggota B, dan

sekurang-kurangnya ada satu anggota himpunan B yang bukan

anggota himpunan A.

Dinyatakan dengan : A B dan A B

Contoh : C = { 1, 3, 5 }

D = { 5, 4, 3, 2, 1 }

Dikatakan C D

Catatan : A B (subset), dapat ditulis dengan

B A (superset)

Jumlah himpunan bagian dari suatu himpunan dirumuskan sbb :

Banyak himpunan bagian = 2n

n : jumlah unsur himpunan tersebut

contoh :

Misalkan A = {a, b, c }, berapa buah himpunan bagian dari A ?

Jawab : Himpunan bagian dari A : 23 = 8 buah.

4. Anggota himpunan:

Setiap benda atau obyek yang termasuk dalam suatu himpunan disebut anggota atau elemen dan dilambangkan dengan " ", sedang untuk menyatakan bahwa suatu benda atau obyek bukan anggota suatu himpunan digunakan lambang " ".

Contoh: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } P = { 2, 4, 6, 8, 10 } dan Q = { 1, 3, 5 }

Maka : 2 P atau 2 anggota P

6 P atau 6 anggota P 3 P atau 3 bukan anggota P

1 P atau 1 bukan anggota P

3 Q atau 3 anggota Q

5 Q atau 5 anggota Q

Diagram Garis (line diagram) :

Cara lain untuk menggambarkan hubungan-hubungan diantara himpunan,

disebut dengan diagram garis.

Contohnya :

- A B digambarkan sbb : B

A

- A B dan B C : C

B

A

- Mis P = { a }

Q = { b }

R = { a, b }

Maka diagram garisnya sbb : R

P Q

LATIHAN :

Buat diagram garis dari :

A= {x}

B= {x, y }

C= {x, y, z}

D= {x, y, w}

4. PERBANDINGAN HIMPUNAN

- Himpunan A dan himpunan B dapat dibandingkan jika A B atau B A

- Dua himpunan tidak dapat dibandingkan jika :

A B ; B A

Contoh :

A= {a, b, c, d}

B= {b,c}

C= {b, c, d, e}

Maka himpunan A dapat dibandingkan dengan himpunan B.

5. HIMPUNAN SEMESTA ( Universal Set )

Suatu himpunan yang punya anggota-anggota dari lingkup masalah yang

diselidiki.

Misalkan :

U = adalah himpunan dari mahasiswa-mahasiswa UI

Maka :

U = {x | x adalah mahasiswa UI }

P = {x | x adalah mahasiawa FEUI }

Q = {x | x adalah anggota MAPALA UI }

Dikatakan P U dan Q U, sehingga U disebut sebagai himpunan

semesta.

Gambar diagram venn :

6. HIMPUNAN KOMPLEMEN :

Komplemen himpunan A adalah setiap x yang bukan anggota himpunan A.

Dinyatakan dengan : A = Ac = {x |x A }

Contoh : U = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 }

A = { 1,2,3,5,7,9 }

Maka A = Ac = { 4, 6, 8 } disebut komplemen A

u

7. BILANGAN KARDINAL : jumlah unsur atau anggota dari suatu himpunan.

Notasi : n ( A ) atau |A|

Contoh :

A = {x | x adalah nama hari seminggu }

Dikatakan n ( A ) = 7 atau |A| = 7

Catatan :

Nilai bilangan kardinal ada yang berhingga dan ada yang tak berhingga.

8. HIMPUNAN SEDERAJAT :

Dua himpunan atau lebih yang memiliki bilangan kardinal sama, disebut

sederajat.

Contoh : A = { 1,2,3 } B = { a,b,c }

Maka : n( B ) dan disebut sederajat.

9. HIMPUNAN LEPAS DAN BERSENDI

Suatu himpunan disebut bersendi jika himpunan-hipunan tersebut memiliki

unsur yang sama .

Contoh : A = {a,b,c,d}

B = {b,c}

A dan B bersendi ; unsur yang sama (b,c) disebut unsur sekutu .

Kesimpulan :

- Dua himpunan atau lebih disebut bersendi (joint) , jika masing-masing

himpunan mengandung paling sedikit satu unsur sekutu.

- Dua atau lebih himpunan yang tidak memiliki unsur sekutu dinamai

himpunan lepas ( disjoint set ).

10. PRODUCT SET

Product set dari himpunan A dan himpunan B , adalah kumulan dari pasangan

(a,b) dimana a A dan b B

Jumlah product set dari himpunan A dengan m anggota dan himpunan B

dengan n anggota =

m . n anggota

Notasi : A x B = { (a,b) | a A dan b B }

Contoh :

- Bila A = {a,b,c} dan B = {1,2}

Maka : A x B = { (a,1) , (a,2) , (b,1) , (b,2) , (c,1) , (c,2) }

B x A = { (1,a) , (2,a) , (1,b) , (2,b) , (1,c) , (2,c) }

- Bila W = {1,2,3} maka :

W x W = { (1,1) , ( 1,2) , ,.(3,2) , ( 3,3) }

C. OPERASI HIMPUNAN

1. OPERASI GABUNGAN , notasinya U

A U B = {x | x A atau x B }

Contoh :

A = {1,2,3,4,5}

B = {4,5,7,8,9}

A U B = {1,2,3,4,5,,7,8,9}

2. OPERASI IRISAN, notasinya

Notasi : A B = { x | x A dan x B }

Contoh :

C = {x | 0 < x < 6 }

D = {x | 2 < x < 10 }

C D = {x |2 < x < 6 }

3. OPERASI SELISIH, notasinya

A B = {x | x A dan x B }

Contoh :

A = { 1,2,3,4,5 }

B = { 4,5,7,8,9 }

Maka A B = {1,2,3}

B A = {7,8,9}

4. OPERASI BILANGAN ANGGOTA (kardinal)

Rumus :

n( A U B ) = n(A) + n(B) n(A B)

n(S) = n(A U B) + n(A U B)c

sifat-sifat :

a. A ( B U C ) = ( A B ) U ( A C )

b. A U ( B C ) = ( A U B ) ( A U C )

c. ( A U B )c = Ac Bc

d. ( A B )c = Ac U Bc

e. merupakan himpunan bagian dari semua himpunan.

f. n(A U B U C ) = n(A) + n(C) +n(B) n(A B) - n(A C) - n(B C) + n(A

B C)

5. HUKUM HUKUM OPERASI HIMPUNAN

a. Komutasi : - A U B = B U A (gabungan)

- A B = B A (irisan)

b. Asosiasi : - (AUB) U C = A U (B U C) (gabungan)

- (A B) C = A (B C) (irisan)

c. Distribusi : - A (B U C) = (A B) U (A C)

- (A U B) C = ( A C ) U ( B C )

- A U ( B C ) = ( A U B ) ( A U C )

d. Hukuum Demokran:

- ( A U B ) = A ^ B

- ( A B ) = A U B

e. Hukum Identitas :

- A U A = A dan A A = A

- A U = A dan A =

- A U A = U dan A A =

- U U A = U dan U A = A

- = U dan ( U ) =

- ( A ) = A

f. Sifat-Sifat Himpunan :

Jika A B dan B C, Maka A C

Jika A C dan A B, Maka A ( B C )

Jika A C Maka C A

Jika A U Maka U- ( U-A ) =A

Jika A B Maka ( U-B) (U-A )

Jika A U Maka A ( u-A ) =

Jika A B Maka A ( B U C ) ; C: Sembarang Himp.

Jika ( A-B ) = A Maka A Dan B Adalah Himpunan Lepas.

Jika A B Maka n ( A U B ) = n ( A ) + n ( B ) n ( A B )

Jika A B = Maka n ( A U A ) = n ( A )

6. DIAGRAM VEN

Diagram Venn merupakan bentuk sederhana yang dapat menggambarkan,

bagaimana hubungan suatu himpunan dengan himpunan lainnya.

Ketentuan :

a. Himpunan Universal ( semester ) digambarkan dalam bentuk empat

persegi panjang, seperti :

b. Himpunan yang lainnya digambarkan dalam bentuk daerah tertutup

didalam himpunan semesta

Contoh :

Bila himpunan semesta tidak dituliskan,maka empat persegi panjang tadi

dihilangkan.

c. Elemen-elemen (anggota) dari suatu himpunan digambarkan dengan

bentuk titik-titik.

Contoh :

Z = ( 1,2,3,4,5 ), maka digambarkan sebagai berikut :

u

.1 .4 .2 .3 .5

u

d. operasi diagram venn : - operasi irisan

- operasi gabungan

- operasi selisih

- operasi tambahan

1. Diketahui S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . , 12 } A = { 1, 2, 4, 6, 9 } B = { 4, 5, 9, 10, 12 }

a. Gambarkan pada diagram Venn b. Tentukan A B

Jawab : a.

b. A B = {4,9}

2. Diketahui P = { bilangan prima kurang dari 13} Q = { 3, 5 } a. Gambarkan pada diagram Venn b. Tentukan P Q

Jawab: a. P = { 2, 3, 5, 7, 11 } Q = { 3, 5 }

b. P Q = {3,5}

3. Dalam suatu kelas yang terdiri dari 40 siswa ternyata 24 siswa gemar basket, 30 siswa gemar tenis, dan 2 siswa tidak gemar kedua jenis olah raga tersebut. Berapakah siswa yang gemar basket dan tenis? Jawab:

Misalkan S = { siswa } B = { siswa gemar basket } T = { siswa gemar tenis } Banyak siswa yang gemar basket dan tenis = x orang, siswa yang gemar basket saja ada (24 x) orang, dan yang gemar tenis saja ada (30 x) orang, maka : (24 x) + x + (30 x) + 2 = 40 24 x + x + 30 x + 2 = 40 54 x + 2 = 40 56 x = 40 - x = 40 56 - x = - 16 x = 16

Jadi ada 16 siswa yang gemar basket dan tenis

4. Diketahui K = { bilangan asli genap kurang dari 12 } L = { bilangan asli ganjil kurang dari 12 } Tentukan : a. Diagram Venn-nya

b. K L Jawab :

a. Anggota K = { 2, 4, 6, 8, 10 } dan L = { 1, 3, 5, 7, 9, 11 }

b. K L = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 }

5. Dalam suatu kelompok anak, terdapat 24 anak suka makan baso, 32 anak suka makan mie ayam, 12 anak suka baso dan mie ayam, sedang 3 anak

tidak suka kedua-duanya. Berapakah banyaknya anak dalam kelompok itu ? Jawab : Misalkan, S = { anak } B = { anak suka makan baso} M = { anak suka makan mie ayam } n(B) = 24, n(M) = 32 dan n(B M) = 12 Banyak anak dalam kelompok tersebut n(S) = n(B) + n(M) - n(BM) + 3 = 24 + 32 - 12 + 3 = 56 12 + 3 = 44 + 3 = 47 anak

HIMPUNAN BILANGAN

1. Bilangan Asli /bulat positif : 1,2,3,4,.

2. Bilangan Nol : m.0 = 0 untuk setiap m

3. Bilangan bulat negative : .-4,-3,-2,-1

4. Bilangan bulat .-4,-3,-2,-1,0, 1,2,3,4,.

5. Bilangan rasional : bilangan yang dinyatakan denagan q = m/n u n 0 dan

tiap pecahan decimal yang berulang

6. Bilangan irasional bilangan yang dinyatakan denagan a/b b 0 dan tiap

pecahan decimal yang tak berulang

7. Bilangan real : bilangan gabungan antara rasional dan irasional

8. Bilangan imajiner bilangan yang dinyatakan dng i = -1

9. Bilangan complex : bilangan gabungan antara imajiner dengan real : 2 + 3 i

Diagram Himpunan

SIFAT_SIFAT OPERASI DALAM BILANGAN

1. Sifat Komutatif ( pertukaran)

a + b = b + a

a x b = b x a

2. Sifat Assosiatif ( Pengelompokan )

(a + b) + c = (b + c) + a

(a x b ) x c = (b x c ) x a

3. Sifat Distributif ( Penyebaran)

(a + b) x c = (b x c) + ( a x c)

(a - b) x c = (b x c) - ( a x c)

Bilangan Kompleks

Bilangan Real

Bilangan Rasional Bilangan Irasional

Bilangan Bulat

Bulat Negatif

Zero Bulat Positif/Asli

Bilangan Prima

Bilangan Imajiner

Bilangan Pecahan

Bil Ganjil Bil Genap Bil Komposit

Bilangan Cacah

(a + b) = a + b c c c (a - b) = a - b c c c

PANGKAT (EKSPONEN)

1. Pangkat Bilangan Bulat Postif Bentuk Umum A = Bilangan Pokok n = Pangkat atau eksponen Sifat-sifat pangkat bilangan Positif

a. An x Am = A m+n b. An = A n - m

Am c. ( A x B )n = An x Bn d. A n = An

B Bn

2. Pangkat Bilangan Bulat Negatif dan No

A-n = 1 An

A0 = 1 3. Pangkat Pecahan

Am/n = n A m

OPERASI BENTUK AKAR

1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

n A + m A = n+m A

n A - m A = n-m A

2. Perkalian Bentuk Akar

A x B = A B

n A x m B = nm AB

3. Pembagian bentuk akar n A = n A n B B

4. Merasionalkan penyebut

An

A = A x B B B B

5. Persamaan Pangkat sederhana

Jika A m = A n maka m = n

Fungsi dan Grafiknya

Konsep Fungsi

Definisi: Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B Dengan diagram panah dapat ditunjukkan bahwa :

Ini adalah fungsi, sebab setiap anggota himpunan A dipasangkan dengan tepat satu anggota B

Ini bukan fungsi, sebab ada anggota himpunan A yaitu 2 yang tidak dipasangkan dengan anggota B Pada diagram panah berikut :

Himpunan A = {1 , 2 , 3 } dinamakan Domain / daerah asal Himpunan B = { a , b , c } dinamakan Kodomain / daerah kawan Himpunan { a , b } dinamakan Range / daerah hasil Pemasangan yang terjadi oleh fungsi f adalah : Fungsi f memetakan semua anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B,yaitu : f : 1 b f : 2 a f : 3 b

Notasi dan Rumus Fungsi Jika suatu fungsi f memetakan setiap x anggota himpunan A ke y anggota himpunan B, maka dapat ditulis dengan notasi fungsi yaitu: f : x y

Fungsi f seperti dalam notasi tersebut di atas dapat juga dituliskan rumus fungsinya, yaitu: f(x) = y Contoh : Diketahui himpunan A = { 1, 2, 3 } dan B = { 4, 5, 6,7,8 }. Fungsi f memetakan setiap x anggota A ke x + 4 anggota B.

a Nyatakan fungsi tersebut dengan diagram panah

b Nyatakan notasi fungsi tersebut

c Nyatakan rumus fungsi tersebut

d Nyatakan daerah asal

e Nyatakan daerah kawan

f Nyatakan daerah hasil

Jawaban : Fungsi f memetakan setiap x anggota A ke x + 4 anggota B. a. diagram panah

b Notasi fungsi adalah f : x x + 4

c rumus fungsi adalah f (x) = x + 4

d daerah asal adalah { 1, 2, 3 }

e daerah kawan adalah { 4, 5, 6, 7, 8 }

f daerah hasil adalah { 5, 6, 7 }

Pada materi ini akan di bahas fungsi linear dan fungsi kuadrat. Bentuk umum fungsi linear adalah f (x) = ax + b dengan a 0

a. adalah koefisien x

b. adalah koefisien suku tetap/constanta

Contoh :

1. f (x) = x dengan nilai a = 1 dan b = 0

2. f (x) = 2x 3 dengan nilai a = 2 dan b = -3

Bentuk umum fungsi kuadrat adalah f (x) = ax2 + bx + c dengan a 0

a. adalah koefisien x2

b. adalah koefisien x

c. adalah koefisien suku tetap/konstanta

Contoh :

1. f (x) = x2 Dengan nilai a = 1, b = 0 dan c = 0

2. f (x) = -2x2 + 3x Dengan nilai a = -2 , b = 3 dan c = 0

3. f (x) = 3x2 2x + 1 Dengan nilai a = 3, b = -2 dan c = 1

Menentukan Nilai Fungsi

Menentukan Nilai Fungsi

Menentukan nilai fungsi f (x) adalah dengan mensubstisusikan/mengganti nilai x yang diketahui pada rumus fungsi f (x) tersebut

Contoh :

1. Suatu fungsi f dinyatakan dengan f (x) = 3x 2, tentukan nilai dari :

a. f (0)

b. f (-5)

c. f (6)

Jawab :

a. f (x) = 3x 2 b. f (x) = 3x 2 c. f (x) = 3x - 2

f (0) = 3 0 2 f (-5) = 3 (-5) 2 f (6) = 3 6 - 2

= 0 2 = -15 2 = 18 - 2

= -2 = -17 = 16

Jadi: f (0) = -2

f (-5) = -17

f (6) = 16

2. Suatu fungsi f dinyatakan dengan f (x) = 3x2 2x + 1, tentukan nilai dari :

a. f (0)

b f (3)

c. f (-4)

Jawab :

a. f (x) = 3x2 2x + 1

f (0) = 3 02 - 2 0 + 1

= 0 0 + 1

= 1

b. f (x) = 3x2 2x + 1

f (3) = 3 x 32 2 x 3 + 1

= 27 6 + 1

= 22

c. f (x) = 3x2 2x + 1

f (-4) = 3 (-4)2 2 (-4) + 1

= 48 + 8 + 1

= 57

Jadi: f (0) = 1

f (3) = 22

f (-4) = 57

Menentukan Bentuk Fungsi

Menentukan Bentuk/Rumus Fungsi Bentuk/rumus suatu fungsi dapat ditentukan jika diketahui nilai dan data fungsi dengan menggunakan rumus f (x) = ax + b untuk fungsi linier atau rumus f (x) = ax2 + bx + c untuk fungsi kuadrat. Contoh : Suatu fungsi linier didefinisikan dengan rumus f (x) = ax + b. Jika diketahui f (3) = 14 dan f (5) = 20, tentukanlah: a. nilai a dan b b. bentuk/rumus fungsi Jawab :

a. f (x) = ax + b

f (3) = 3a + b = 14 3a + b = 14

f (5) = 5a + b = 20 3(3) + b = 14

----------------------------- - 9 + b = 14

-2a = -6 b = 5

a = 3

b. Bentuk fungsi :

f (x) = ax + b

f (x) = 3x + 5

Menggambar Sketsa Grafik Fungsi

Menggambar Sketsa Grafik Fungsi Menggambar grafik fungsi pada sistem koordinat Cartesius dapat dilakukan dengan membuat tabel fungsi untuk menemukan perubahan nilai fungsi jika variabel x berubah.

Langkah-langkah yang perlu dilakukan untuk manggambar grafik fungsi adalah :

1. Buatlah tabel nilai fungsi dengan memperhatikan domain/daerah asal

2. Hitunglah nilai f (x) dengan tabel nilai fungsi

3. Buatlah sumbu koordinat Cartesius yaitu sumbu x dan sumbu f (x) atau y

4. Buatlah noktah yang menghubungkan nilai x dan f (x) dari tabel baris pertama dan terakhir

5.8 Jika domainnya bilangan Real maka grafiknya tinggal dibuat dengan menghubungkan koordinat titik-titik yang ada dengan kurva mulus.

Contoh : Buatlah tabel fungsi dan grafiknya jika suatu fungsi dinyatakan dengan f (x) = 2x + 5, dengan daerah asal { x | -3 x 3, x R }

Jawab :

Koordinat titik yang memenuhi adalah (-3 , -1), (-2 , 1 ), (-1 , 3), (0 , 5), (1 , 7), (2 , 9) dan (3, 11) Tempatkan titik-titik tersebut pada bidang cartesius dengan memberi tanda noktah. Grafiknya dapat digambar dengan menghubungkan noktah-noktah yang ada.

Grafik Fungsi f (x) = 2x + 5, dengan daerah asal { x | -3 x 3, x R } adalah :

Contoh : Buatlah tabel fungsi dan grafiknya jika suatu fungsi dinyatakan dengan f (x) = x2 + 2x - 3, dengan daerah asal { x | -5 x 3, x R } Jawab :

Koordinat titik yang memenuhi adalah (-5 , 12), (-4 , 5 ), (-3, 0), (-2 , -3), (-1 , -4), (0 , -3), (1 , 0), (2 , 5) dan (3, 12) Tempatkan titik-titik tersebut pada bidang cartesius dengan memberi tanda noktah. Grafiknya dapat digambar dengan menghubungkan noktah-noktah yang ada. Grafik Fungsi f (x) = x2 2x - 8, dengan daerah asal { x | -5 x 3, x R } adalah :

Aljabar Logika

Tujuan : Mewujudkan kompetensi dasar dengan ditunjukkan dengan hasil belajar

a. Dapat menggunakan Nilai kebenaran pernyataan majemuk dan

implikasinya dalam memecahkan masalah kususnya kesehatan

masyarakat

b. Dapat Menggunakan sifat dan prinsip logika dalam menarik

kesimpulan dan pembuktian dalam penulisan ilmiah

Waktu : 2 x 50 Menit

Metode : - Ceramah

- Lat soal dan Tanya jawab

-

Logika merupakan ilmu yangmempelajariu aturan aturan dalam penalaran

(berfikir logis) baik dalam matematika, sains, dan lain-lain khususnya dalam

penelitian. Karena logika berhubungan dengan pernyataan. Oleh sebab itu dalam

logika hanya dikenal dua kemungkinan kebenaran saja yaitu benar atau salah.

Masih ingatkah kita tentang bilangan biner yang hanya mempergunakan angka 0

dan 1 yang dipergunakan dalam setiap instruksi komputer, dan instruksi ini pada

hakekatnya merupakan serangkaian kombinasi logis.

1. Pernyataan/Statement, nilai kebenarn dan kalimat terbuka

A. Pernyataan/Statement

Kalimat merupakan rangkaian kata-kata yang disusun sehingga memiliki

makna yang benar. Kalimat ini dikelompokkan mejadi kalimat pernyataan dan bukan

pernyataan.

Dalam matematika, kalimat pernyataan memiliki ciri sebagai berikut

Sifat Dasar : Benar atau salah, tapi tidak keduanya dan disebut dengan

nilai kebenarannya

Contoh:

a. Sembilan adalah bilangan genap

b. Ibukota Negara Indonesia adalah Jakarta

Kalimat diatas adalah kalimat pernyataan karena kita dapat menentukan bahwa

kalimat tersebut salah untuk (a) dan benar untuk (b)

c. P adalah bilangan prima

Adalah bukan kalimat pernyataan tetapi kalimat pemberitahuan yang jika diberi

nilai untuk p maka akan kelihatan benar dan salahnya

d. Ani adalah gadis yang cantik

adalah bukan kalimat pernyataan yang mana kata cantik itu relatif, tergantung dari

siapa yang mengatakan

B. Lambang dan Nilai Kebenaran

Dalam matematika, kalimat pernytaan dapat dinotasikam dengan huruf kecil tanpa

tanda tambahan

Contoh : p, q, r

p : Bilangan cacah terkecil adalah 0

q : Tidak Bilangan genap yang prima

Setiap kalimat poernytaan mempunyai nilai kebenaran (B) jika kalimat itu benar dan

(S) jika kalimat itu salah. Lambang dari kebenaran tersebut adalah (dibaca tau) dari

huruf bahasa Yunani

Sehingga diperoleh

(p) = B dibaca nilai kebenaran pernyataan p adalah Benar

(q) = S dibaca nilai kebenaran pernyataan q adalah Salah

C. Kalimat terbuka

Adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya karena masih

mengandung variable

Contoh

ax + 6 = 9

bp adalah bilangan ganjil

Dua kalimayt diatas bukan kalimat pernyataan yang dapat diubah menjadi

kalimat pernyataan benar atau salah dengan mengganti nilai x dan p

2. Konjugasi ( and/dan)

Symbol :

Dua pernyataan yang digabungkan dengan kata dan yang membentuk pernyataan

baru

Tabel kebenaran

p Q p q

S

S

B

B

S

B

S

B

S

S

S

B

Suatu konjugasi menghasilkan nilai pernyataan itu benar jika kedua dari pernyataan

itu benar

Contoh

Tentukan nilai kebenaran dari kunjugasi berikut:

a. Ibukota negara RI adalah Jakarta dan Jakarta berada di Pulau Jawa

p= Ibukota negara RI adalah Jakarta adalah benar

q= Jakarta berada di Pulau Jawa

(p ^ q) = adalah B

b. Nyamuk DBD adalah Aedes Agepty dan Aedes Agepty bertelur ditempat

yang keruh

p= Nyamuk DBD adalah Aedes Agepty bernilai benar

q= Aedes Agepty bertelur ditempat yang keruh adalah salah

(p ^ q) = adalah S

3. Disjungsi ( or/atau)

Symbol :

Dua pernyataan yang digabungkan dengan kata atau yang membentuk

pernyataan baru

Tabel kebenaran

P Q p q

S

S

B

B

S

B

S

B

S

B

B

B

Suatu Disjungsi akan mempunyai nilai kebenaran salah jika kedua pernyaan tersebut

slah dan mempunyai Nilai pernyataan itu benar jika kedua dari pernyataan itu benar

atau salah satu dari pernyatan itu benar

Contoh

a. Nyamuk Aedes Agepty menggigit pada malam hari atau Aedes Agepty

bertelur ditempat yang keruh

p= Nyamuk Aedes Agepty menggigit pada malam hari adalah salah

q= Aedes Agepty bertelur ditempat yang keruh adalah salah

(p V q) = adalah S

b. Semua bilangan prima adalah genap atau semua persegi panjang

mempunyai sisi sama panjang

p= Semua bilangan prima adalah genap adalah salah

q= semua persegi panjang mempunyai sisi sama panjang adalah B

(p V q) = adalah B

4. Kalimat ingkar (negasi/negative)

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering kali melakukan penyangkalan atau

pengingkaran sesuatu. Untuk pengingkaran tersebutkita menggunakan kata-kata

tidak, tidak benar, atau bukan

Symbol : ~

pernyataan yang diinverskan atau kebalikan membentuk pernyataan baru

Tabel kebenaran

p p

S

B

B

S

Nilai pernyataan itu adalah negative dari pernyataan yang ada

Contoh

r : Semua orang bersekolah

r : tidak semua oarang bersekolah atau ada orang yang tidak bersekolah

5. Implikasi/ Kondisional (jika, maka)

Implikasi atau pernyataan bersyarat adalah pernyataan majemuk dari pernyataan p

dan pernyataan q dengan Symbol :

Dua pernyataan yang digabungkan dengan kata jika, maka yang

membentuk pernyataan baru. Dimana p pernyataan sebab dan q adalah

pernyataan akibat. Jadi implikasi adalah suatu hubungan pernyataan yang

mengandung hubungan sebab akibat walaupun pada dasarnya nilai

kebenaran suatu pernyataan majemuk tidak harus ada hubungan anatara

komponen-komponen pembentuknya

Tabel kebenaran

p Q p q

S

S

B

B

S

B

S

B

B

B

S

B

Pada tabel diatas terlihat bahwa jika pernyataan sebab benar dan akibat salah maka

dia akan menghasilkan nilai kebaran yang salah

Contoh

Jika sesorang tergigit nyamuk Aedes Agepty maka Terdapat bintik pada kulit

dan demam yang merupakan ciri dari penyakit DBD

p= sesorang tergigit nyamuk Aedes Age adalah benar

q= Terdapat bintik pada kulit dan demam yang merupakan ciri dari penyakit DBD

adalah benar

p q maka menghasilkan benar

Dari suatu implikasi kita dapat mengubahnya menjadi pernytaan baru yaitu invers,

konvers dan kontraposisi

p q Invers nya adalaha p - q

p q Konvers nya adalaha q p

p q Kontraposisi nya adalaha q - p

6. Biimplikasi/Bikondisional ( jika dan hanya jika)

Merupakan kalimat implikasi dua arah ytang menyatakan pernyataan majemuk dari

pernytaan p dan pernyatan q yang berbentuk

( p q ) ^ ( q p)

dibaca q jika p dan p jika q sehingga menghasilkan bentuk p q dengan

simbol :

Dibaca : a. p jika dan hanya jika q

b. p syarat perlu dan cukup bagi q

c. q syarat perlu dan cukup bagi p

Tabel kebenaran

P Q p q

S

S

B

B

S

B

S

B

B

S

S

B

Suatu pernyataan berbiimplikasi bernilai benar bila mempunyai keduanya pernyataan

yang bernilai sama

Contoh 3 Log 27 = 3 jika dan hanya jika 3 3 = 27

p= 3 Log 27 = 3 adalah benar

q= 3 3 = 27 adalah benar

maka p q menghasilkan pernyataan benar

7. Ekuivalensi

Kita ketahui bahwa nilai kebenaran pernyataan majemuk merupakan fungsi dari

nilai kebenaran pernytaan penyususnnya. Dua pernyataan majemuk A dan B

dikatakan ekuivalensi jika memeilki nilai kebenaran yang samma A = B

Berikut ini beberapa ekuivalensi yangperelu diketahui

a. Hukum Komulatif

p v q = q v p

p ^ q = q ^ p

b. Hukum assosiatif

p ^ ( q ^ r) = ( p ^ q ) ^ r

p v ( q v r ) = (p v q ) v r

c. Hukum distributif

p ^ ( q v r) = ( p ^ q ) v ( p ^ r )

p v ( q ^ r ) = (p v q ) ^ (p v r)

d. Hukum De morgan

- ( p ^ q ) = - p v q

- ( p v q ) = - p ^ - q

8. Tautologi

Tabel kebenaran

P p p p

S

B

B

S

B

B

Adalah jika gabungan dari beberapa pernyataan menghasilkan suatu table kebenaran

yang bernilai benar semuanya

9. Kontradiksi

Tabel kebenaran

P p p p

S

B

B

S

S

S

Adalah jika gabungan dari beberapa pernyataan menghasilkan suatu table kebenaran

yang bernilai salah semuanya

10. Kontingensi

Suatu pernyatan majemuk merupakan kontingensi jika nilai kebenarannya memuat benar dan salah Tabel kebenaran

p p p p

S

B

B

S

S

S

11. Silogisme

Suatu pernyataan baru akibat dari beberapa premis yang kemudian menghasilkan

kongklusi

Contoh

Jika p mengakibatkan q (premis I) p q

Jika q mengakibatkan r (premis II q r

Maka p mengakibatkan r (konklusi) p r

Contoh Jika kita sabar, maka disayang Allah premis 1 Jika kita disayang Allah maka kita akan bahagia premis 2 Jadzi konklusinya adalah jika kita sabar, maka kita akan bahagia

PERMUTASI DAN KOMBINASI


a. Dapat menggunakan Permutasi dan kombinasi dan implikasinya dalam

memecahkan masalah kususnya kesehatan masyarakat

b. Dapat Menggunakan sifat dan prinsip logika dalam menarik



Metode : - Ceramah


1. Prinsip Perkalian

Jika suatu kejadian dapat terjadi dalam p cara berlainan dan kejadian berikutnya dapat terjadi

dalam q cara berlainan, maka kedua kejadian tersebut dapat terjadi dalam (p x q) cara.

Contoh soal:

Dari kota A ke kota B dilayani oleh 3 bus dan dari B ke C oleh 2 bus. Seseorang berangkat dari

kota Ake kota C melalui B, kemudian kembali lagi ke A juga melalui B. Jika saat kembali dari C

ke A ia tidak mau menggunakan bus yang sama, tentukan banyak cara perjalanan orang tersebut!

Jawab:

Dari kota A ke B ada 3 bus

Kemudian dilanjutkan dari kota B ke C ada 2 bus

Saat kembali dari kota C ke B tidak menggunakan bus yang sama, jadi hanya 1 bus yang

tersedia.

Dari kota B ke A juga tidak menggunakan bus yang sama, jadi hanya 2 bus yang tersedia.

Maka banyak cara perjalanan orang tersebut adalah: 3 x 2 x 1 x 2 = 12 cara

2. Faktorial

Rumus: n! = n (n - 1) (n - 2) ........... 3-2-1

Contoh: a. 4! = 4 x 3 x 2 x 1

= 24

b. 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

Permutasi

Adalah suatu susunan dari unsur-unsur dengan memerhatikan perubahan urutan atau cara penyusunan unsur-unsur dengan memperhatikan urutan (tempatnya).

Contoh : dari unsur-unsur bilangan 2, 3 dan 4 dapat kita susun 432, 234, 423,

342, 324, 243 adalah permutasi.

Macam-macam permutasi:

a. Permutasi sekumpulan n elemen yang berlainan diambil secara bersama-sama.

Rumus:

nPn = n!

Contoh soal:

Kata "SAPI" terdiri atas 4 huruf, berapa banyak macam susunan huruf yang dapat dibuat?

Jawab:

4P4=4!

= 4*3 * 2 *1= 24

Jadi, banyak macam susunan huruf yang dapat dibuat adalah 24 macam.

b. Permutasi n elemen, diambil dari r sekaligus

Rumus:

n! "Pr = (n-r)! Contoh soal:

n r = )(

!

rn

n

1. Tentukan banyaknya permutasi yang terjadi jika akan disusun 3 huruf yang diambil dari abjad A, B, C, D, E!

Jawab:

5 3 = 5!

(5-3)! = 5!

2! = 5x4x3x2x1 2x1

= 5x4x3= 60

Jadi, banyaknya permutasi adalah 60.

2. Dari 7 orang calon akan dipilih 3 orang untuk jabatan ketua, sekertaris dan

bendahara. Beberapa cara susunan dapat terjadi ?

Jawab : 7P3 = )!37(

!7

=

!4

!7 = 7.6.5 = 210 cara

c. Permutasi n elemen dengan beberapa elemen yang sama.

Jika diketahui ada k unsuryang sama, maka banyaknya permutasi adalah:

P = !

!

k

n

Keterangan, k = unsur yang sama.

Contoh soal:

Tentukan banyaknya permutasi yang terjadi pada kata "EMBER" !

Jawab: n = 5 huruf k =2 huruf

P = !

!

k

n

= !2

!5

= 5.4.3.2! 2!

= 5 - 4 - 3

= 60

Jadi, banyaknya permutasi adalah 60.

Jika diketahui ada n unsur yang sama, n unsur yang sama dan seterusnya sampai n berjenis k, maka

banyaknya permutasi adalah:

P = !!...2!1

!

nknn

n

P

Contoh soal: Tentukan banyaknya permutasi pada kata "MANTAN"!

Jawab:

n = 6 huruf ; n1 = A = 2huruf

n2 = N = 2 huruf ;

P = !2!2

!6

= !2!2

!2.3.4.5.6

= !2

3.4.5.6

= 180

Jadi, banyaknya permutasi adalah 180

Berapa banyaknya berbeda yang dapat dibuat dari huruf-huruf pada kata : MATEMATIKA ?

Jawab :

MATEMATIKA terdiri dari 10 huruf dengan 3 huruf pertama sama (huruf A), 2

huruf kedua sama (huruf M), dan 2 huruf ketiga sama (huruf T) maka banyaknya

susunan.

P = !2!2!3

!10 = 151200 cara

Kata SAYA, dapat disusun dalam beberapa susunan?

Jawaban :

Dari kata SAYA, disusun seperti SAYA, SAAY, SYAA dan sebagainya adalah

permutasi terdiri dari 4 huruf dengan 2 buah huruf sama maka banyaknya susunan

adalah

=

!2

4,4

= !2

!4

= 1.2

1.2.3.4

= 4.3

= 12

d. Permutasi Siklis yaitu permutasi yang letak elemen-elemennya tidak segaris, tetapi melingkar.

Rumus: P = ( n 1) !

Contoh soal:

Dengan beberapa cara 4 orang duduk pada 4 kursi di sebuah meja melingkar!

P = ( n 1 ) !

= (4 1 ) !

= 3 !

= 3 . 2 . 1

= 6

Jadi ada 6 cara

4. Kombinasi

Suatu kombinasi r unsur yang diambil dari n unsure yang berlainan adalah suatu

pilihandari n unsur tanpa memperhatikan urutannya (r < n). kombinasi r unsure

yang diambil dari r unsur yang berlainan dinyatakan dengan nCr, C(n.r), Cn.r atau

r

ndan dapat ditentukan dengan rumus.

Contoh :

1. Suatu team bola basket terdiri dari 5 orang akan dipilih dari 20 orang pemain.

Berapa macam susunan dapat dibentuk ?

Jawab :

Susunan di atas adalah suatu kombinasi sebab tidak memperhatikan urutan

pemain.

Banyaknya cara menyusun = C(20,5) = )!520(!5

!20

= !15!5

!20

= 5.4.3.2.1

20.19.18.17.16

= 15504 cara

2. Ada beberapa cara 3 orang dipilih dari 6 orang untuk menjadi anggota inti tim cerdas cermat!

Jawab:

Banyaknya Cara menyusun = C(6,3) = )!36(!3

!6

= !3!3

!6

= 1.2.3

4.5.6

= 20 cara

KEJADIAN DAN PELUANG


a. Dapat menggunakan Kejadian dan peluang dan implikasinya dalam

memecahkan masalah kususnya kesehatan masyarakat


Metode : - Ceramah


Pengertian Percobaan, Frekuensi Relatif, Kejadian dan Ruang Sampel.

Untuk mempelajari pengertian tentang kejadian dan peluang, maka terlebih

dahulu diadakan beberapa percobaan.

Contoh :

1. Percobaan : Melempar mata uang

Hasil yang mungkin : gambar atau angka.

Contoh :

2. Misalkan dari hasil percobaan pelemparan dadu sebanyak 100 kali didapat

data sebagai berikut :

Angka 1 muncul 15 kali, angka 2 muncul 20 kali dan angka 6 muncul 21

kali.

Jadi frekuensi relative muncul angka 1 = 100

15

Frekuensi relative muncul angka genap = 100

211020 =

100

51

Pada contoh no.1 di atas gambar maupun angka disebut titik sample dan

kumpulan dari semua titik sample disebut ruang sample atau biasa juga disebut

dengan hasil yang mungkin. Jika A merupakan himpunan bagian dari ruang

sample, maka A itu disebut kejadian atau sering juga disebut dengan hasil yang

dimaksud (diharapkan).

a. Pengertian Peluang Suatu Kejadian

Yang dimaksud dengan peluang (Kemungkinan) suatu kejadian ialah

kemungkinan terjadinya kejadian tersebut.

Frekuensi relative muncul x = aranbanyaklemp

munculseringnyax

Jika hasil yang mungkin dapat terjadi sebanyak n kali dan diantara n kali hasil

yang mungkin itu terjadi x kali kejadian A (yang dimaksud), maka kemungkinan

terjadinya kejadian A ialah n

x atau :

Contoh :

1. Dalam pelemparan suatu dadu, tentukanlah kemungkinan bahwa pada

pelemparan itu muncul angka yang merupakan bilangan prima.

Jawaban :

Hasil yang mungkin : 1,2,3,4,5,6 n = 6

Hasil yang dimaksud : 2,3,5 x = 3

P 5,3,2 = 6

3 =

2

1

Jika A adalah suatu kejadian, maka bukan A adalah suatu kejadian juga yang

mempunyai kemungkinan sama dengan satu dikurang kemungkinan A, atau :

P (A) = 1 P(A) Contoh :

1. Misalkan kemungkinan besok hujan adalah 2/5, maka kemungkinan besok

tidak hujan adalah 1-2/5 = 3/5

b. Besarnya Peluang Suatu Kejadian

Jika p menyatakan peluang sembarang kejadian, mka p terletak pada interval 0<

p

Menggabungkan Hasil-hasil

a) Hasil-hasil yang saling lepas

Kejadian A dan B dikatakan saling lepas (mutually esclusive) jika kedua

kejadian itu tidak mungkin terjadi secara serentak atau AB =

Jika kejadian A dan B saling lepas, maka :

P (A atau B) biasa juga ditulis sebagai P

Contoh :

1. Dalam pelemparan dua dadu, tentukanlah kemungkinan bawl jumlah kedua

angka dadu sama dengan 4 atau 11.

Jawab :

Misalkan A kejadian jumlah angka keud dadu sama dengan 4, maka

A = )1,3(),2,2(),3,1(

Jadi P(A) = 36

3

Misalkan B kejadian jumlah angka kedua dadu sama dengan 11, maka

B = )5,5(),6,5(

Jadi P(B) = 36

2

Karena AB = , maka

P (A atau B) = P(A) + P(B)

= 36

3+

36

2

= 36

5

Jadi kemungkinan bawl jumlah angka kedua dadu sama dengan 4 atau 11 adalah

5/36

b. Hasil-hasil Saling Bebas

Dua buah kejadian disebut saling bebas (independent) jika terjadianya salah

satu dari kejadian itu, atau tidak terjadinya, tidak akan mempengaruhi

terjadinya kejadian yang lain. Jika A dan B merupakan dua kejadian yang

P (A atau B) = P(A) + P(B)

saling bebas, maka terjadi atau tidak terjadinya A tidak akan memperbesar

atau memperkecil kemungkinan terjadinya kejadian B.

Jika A dan B dua buah kejadian yang saling bebas, maka :

P(A dan B) biasa juga ditulis sebagai P(AB)

Contoh :

1. Dalam pelemparan dua dadu, tentukanlah kemungkinan bahwa pada dadu

pertama muncul angka 3 dan pada dadu kedua muncul angka 4.

Jawab :

Hasil-hasil yang mungkin diberikan oleh table di bawah ini :

Dadu I

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Misalkan A : kejadian muncul angka 3 pada dadu I, maka P(A) = 6/36

B : kejadian muncul angka 4 pada dadu II, maka P(B) = 6/36

Karena kejadian A dan B salng bebas, maka :

P(AB) = P(A).P(B)

= 6/36.6/36

= 1/36

c. Hasil-hasil Tak Bebas

Dua buah kejadian disebut tak bebas jika terjadinya salah satu dari kejadian itu,

atau tidak terjadinya, akan mempengaruhi terjadinya kejadian yang lain. Jika A

dan B merupakan dua kejadian yang tak bebas, maka terjadi atau tidak terjadinya

A akan memperbesar atau memperkecil kemungkinan terjadinya B.

P(A dan B) = P(A) P(B)

Dadu II

Jiak kejadian A dan kejadian B merupakan dua kejadian yang tak bebas, maka

terjadinya kedua kejadian itu secara serentak mempunyai kemungkinan :

P(B/A) artinya kemungkinan terjadi B setelah kejadian A terjadi.

Contoh :

1. Sebuah kotakberisi 4 bola merah dan 6 bola putih, jika diambil dua bola

berturut-turut dengan tidak mengembalikan bola pertama ke dalam kotak,

maka berapakah peluang bawl kedua pengambilan itu mendapatkan

keduanya bola merah.

Jawab :

Jumlah semua bola = 10

Bola merah = 4

P(bola merah pertama) = P(A)

= 4/10

P(bola merah kedua) = P(B/A)

= 3/9

Jadi P(A dan B) = P(A).(P(B/A)

= 4/10.3/9

= 2/15

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN

1. Peluang siswa A dan B lulus UMPTN berturut-turut adalah 0,98 dan 0,95. Peluang siswa A lulus UMPTN dan B tidak lulus adalah ....

a. 0,019 b. 0,049 c. 0,074 d. 0,935 e. 0,978

Jawaban: B Pembahasan:

Peluang siswa A lulus =0,98

P(A dan B) = P(A) P(B/A)

Peluang siswa A tidak lulus =0,02

Peluang siswa B lulus =0,95 Peluang siswa B tidak lulus =0,05

- Peluang siswa A lulus dan B tidak lulus = 0,98 x 0,05 = 0,049

2. Pengurus suatu organisasi yang terdiri atas: ketua, wakil ketua, dan sekretaris dipilih dari 7 orang calon. Banyaknya cara yang mungkin untuk memilih pengurus organisasi itu dengan tidakadajabatan rangkap adalah ....

a. 7 b. 10 c. 21 d. 35 e. 210

Jawaban: E

Pembahasan:

Jumlah pengurus organisasi = ketua + wakil ketua + sekretaris = 1 + 1 + 1

= 3

Dipilih dari 7 orang calon

Gunakan rumus permutasi:

n!__

nPr=(n-r)!

60

Banyaknya cara yang mungkin untuk memilih pengurus organisasi dengan tidakadajabatan rangkap:

7!__

7Ps = (7-3)!

= 7 6 5 4 !

4! = 7 . 6 . 5

7P3=210

3. Sebuah kantong berisi 4 bola merah dan 5 bola putih. Jika dua bola diambil dari dalam kantong satu persatu tanpa pengembalian, peluang terambilnya kedua bola berwarna merah adalah ....

1 1 1 1 _1 a. 72 b.2 7 c 16 d. 12 e. 6

. Jawaban: E

P e m b a h a s a n : Sebuah kantong berisi 4 bola merah dan 5 bola putih. Banyak pola dalam kantong adalah 9 buah. - Bola merah ada 4 buah

4 - Peluang yang terambil tanpa pengembalian p (1 bola merah) = 9

Sekarang bola merah tinggal 3 buah dan banyaknya bola dalam kantong ada 8 buah bola.

3 Peluang yang terambil tanpa pengembalian p (1 bola merah) =

8 4 3 1 1

Peluang terambilnya kedua bola merah = --- x --- = --- x --- 9 8 3 2 = 1/6

4. Dua buah dadu dilempar bersama-sama. Peluang munculnya jumlah mata dadu 9 atau 10 adalah ....

_5_ 7_ 8_ _9_ 11_ a 36 i b. 36 c 36 : d 36 e 36

Jawaban: B

Pembahasan: Dadu l S = {(1,2,3,4,5,6)} n(l) = 6 Dadu II S = {(1,2,3,4,5,6)}

n(ll) = 6

61

Himpunan peluang muncul jumlah mata dadu 9: {(6,3), (3,6),

(5,4), (4,5)}n (A) = 4

Himpunan peluang muncul jumlah mata dadu 10: {(6,4),

(4,6), (5,5), }n (A) = 3

n(A) n(B)

p(AUB)= ------------ + ---------- n (I). n(II) n (I). n(II) = 4/36 + 3/36 = 7 / 36

5. Dari 10 peserta kontes kecantikan yang masuk nominasi, akan dipilih 3 nominasi

terbaik secara acak. Banyak pilihan yang dapat dilakukan adalah ....

a. 10 b. 20 c. 40 d. 120 e. 720

Jawaban: D

Pembahasan: . , , >

10!___

10C3 =3!(10-3)!

= __10!_

3! 7!

= 10.9.8.7! = 10.9.8

3.2.1.7! 3.2.1

= 720

6 = 120

62

LATIHAN 1. Banyak susunan berbeda yang dapat dibuat dari huruf-huruf pada kata

"SEKOLAH"adalah.... a. 5040 b. 920 c. 840 d. 740 e. 240

2. Banyaknya susunan huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf pada kata "ACARA"ada.... a. 50 b. 40 c. 30 d. 20 e. 10

3. Dari 10 orang finalis lomba menyanyi akan dipilih juara 1,2 dan 3. Banyaknya cara memilih urutan ada .... cara. a. 960 b. 720 c. 580 d. 210 e. 94

4. Dari 5 orang pengurus suatu organisasi, akan dipilih seorang ketua, seorang

bendahara, dan seorang sekretaris. Banyaknya susunan yang mungkin

dibentuk ada.... cara

a. 20 b. 50 c. 90 d. 80 e. 60 5. 6. Dalam suatu rapat, ada 8 peserta yang akan menempati 8 buah kursi yang

mengelilingi meja bundar. Banyak susunan yang mungkin terjadi ada ... cara a. 2600 c. 10.800 e. 16.200 b. 5040 d. 12.500

7. banyaknya cara yang dapat disusun yang terdiri atas 3 angka dari angka- angka 5,6, 7, 8,9jika boleh berulang ada .... cara a. 125 b. 200 c. 240 d. 300 e. 310

8. Sebuah mata uang dan sebuah dadu dilempar sekali. Peluang munculnya

angka pada mata uang dan bilangan prima ganjil pada dadu adalah ....

a. b. 1/3 c. 2/3 d. 1/6 e. 1/5

9. Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola biru dan 5 bola kuning. Jika diambil secara acak dua bola sekaligus, dan dilakukan sebanyak 180 kali percobaan, maka besarnya frekuensi harapan terambilnya dua bola berlainan warna adalah.... a. 60 b. 80 c. 100 d. 120 e. 140

10. Dari 10 orang siswa akan dipilih dua orang untuk menjadi ketua kelas dan wakil ketua kelas. Banyak susunan yang dapat dibentuk adalah .... a. 30 b. 45 c. 60 d. 90 e. 120

11. Dalam suatu acara silaturahmi terdapat 30 orang yang hadir. Jika setiap

orang saling bersalaman, maka banyaknya salaman yang terjadi adalah ....

a. 435 b. 525 c. 675 d. 715 e. 830

12. Peluang terambilnya sebuah kartu bukan As yang dilakukan secara acak

pada tumpukan seperangkat kartu adalah ....

63

12 4 1 2 1 a 13 b' 13 C' 52 d' 13 e' 13

13. Pada sebuah keranjang terdapat 10 buah telor yang baik dan 6 buah telor

yang busuk. Akan diambil dua buah telor sekaligus secara acak. Maka peluang terambilnya dua telor yang semuanya baik adalah ....

a. 5/8 b. 4/15 c. 2/5 d. 1/8 e. 3/8

Notasi Sigma A. Pengertian Notasi Sigma n

Diberikan suatu barisan tak berhingga a1,a2,a3,.,an. Lambang ak menyatakan jumlah dari n suku pertama barisan tersebut, yaitu : k=1

n

ak = a1+a2+a3+.+an k=1

Huruf kapital Yunani ( dibaca sigma) menyatakan suatu jumlah dan

lambang ak menyatakan suku ke-k disebut indeks (penunjuk) dari penjumlahan atau peubah dari penjumlahan, bilangan 1 dan n menyatakan batas-batas penjumlahan, dengan 1 disebut n

batas bawah dan n disebut batas atas. Lambang ak dibaca: jumlah ak untuk k k=1 sama dengan 1 ke n atau jumlah ak untuk k = 1 sampai dengan k = n. Himpunan {1,2,3,.,n} disebut daerah penjumlahan. Contoh 1: Tulis jumlah berikut dalam notasi sigma

a) 32 + 52 + 72 + 92 + 112 + 132 b) 1 + 1 + 1 + 1 + 1

2 3 4 5 6 Jawab: 6

a. 32 + 52 + 72 + 92 + 112 + 132= ( 2 k + 1 )2 5 k=1

b. 1 + 1+ 1+ 1+ 1 = 1 2 3 4 5 6 k=1 k + 1 Contoh 2:

Tentukan nilai dari penjumlahan yang dinyatakan dalam notasi sigma berikut ini dengan menyatakan dalam bentuk lengkap. 4 4 a) k2 b) ( 5k 2 ) k=1 k=1

Jawab: 4

64

a) k2 = 12+22+32+42 = 1+ 4+ 9+ 16 =30 k=1

4 b) ( 5k 2 ) = ( 5(1) 2 ) + (5(2) 2 ) + (5(3) 2) + (5(4) 2) k=1 = 3 + 8 + 13 + 18 = 42

B. Sifat-Sifat Notasi Sigma Jika m dan n adalah bilangan asli,dengan m n dan c R, maka berlaku : n

1) ak = a1 + a2 + a3 +..+an

k=1

n n n 2) (ak bk)= ak bk

k=m k=m k=m n n

3) cak = c ak k=m k=m n n+p

4) ak = ak p k=m k=m+p n

5) c = (n m + 1)c k=m p-1 n n

6) ak + ak = ak k=m k=p k=m m-1

7) ak = 0 k=m n n n n

8) (ak + bk)2 = ak2 + 2 ak.bk + bk2 k=m k=m k=m k=m

Contoh

Dengan menggunakan sifat-sifat notasi sigma, hitunglah : 3 4 a) (k3 k) b) 5k2 k=1 k=1 7 2 c) k2 f) 5k3 k=4 k=3 5 4 d)10 g)(k 5)2

k=1 k=1 3 6 e)6k2 + 6k2 k=1 k=4

65

Jawab: 3 3 3

a) (k3-k) = k3 k (sifat 2) k=1 k=1 k=1 = 13 + 23 + 33 (1 + 2 + 3) = 1 + 8 + 27 - 6 =30 4 4 b) 5k2 = 5 k2 (sifat 3)

k=1 k=1 = 5(12 + 22 + 32 + 42) = 5(1 + 4 + 9 + 16) =150 7 7-3 c) k2 = (k + 3)2 (sifat 4)

k=4 k=4-3 4

= (k + 3)2

k=1 = (1 + 3)2 + (2 + 3)2 + (3 + 3)2 + (4 + 3)2 = 16 + 25 +36 + 49 = 126 5 d) 10 = (5 1 +1)10 (sifat 5)

k=1 = 50 3 6 6

e) 6k 2+ 6k2 = 6k2 (sifat 6) k=1 k=4 k=1 6

= 6 k2 k=1 = 6(12 + 22 + 32 + 42 +52 +62) = 6(1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) = 546 2 f) 5k3 = 0 (sifat 7)

k=3 4 4 4 4

g) (k 5)2 = k2 10 k + 25 k=1 k=1 k=1 k=1

= 12 + 22 + 32 + 42 - 10(1 + 2 + 3 + 4)+(4 1 + 1)25 = 1 + 4 + 9 + 16 100 +100 =30

66

A. BARISAN BILANGAN DAN DERET BERHINGGA

` A. Barisan Bilangan Definisi:

i. Barisan berhingga adalah suatu fungsi dengan daerah asal {1,2,3,..n}, yaitu n bilangan bulat positif yang pertama. Misalnya barisan berhingga 2, 5, 8, 17.

ii. Barisan tak berhingga adalah suatu fungsi dengan daerah asal {1, 2, 3, ,n,}yaitu semua bilangan bulat positif. Misalnya barisan tak berhingga 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , . 2 3 4 5 6

Rumus Umum Suatu Barisan Unsur ke-n dari suatu barisan disebut rumus umum dari barisan itu, yang dilambangkan dengan Un. Unsur-unsur dari suatu barisan disebut suku barisan. Jadi,Un menyatakan suku ke-n dari suatu barisan yaitu f (n) = Un dengan f fungsi yang menyatakan barisan (an), sehingga dikatakan bahwa Un merupakan rumus umum untuk suku ke-n dari suatu barisan. Contoh : Tulis empat suku pertama dari barisan yang memiliki rumus umum : 3n, untuk n ganjil a) Un = n b) Un = 3n untuk n genap 2n+1 n+1 Jawab: a) U1 = 1, U2 = 2 , U3 = 3 , dan U4 = 4 3 5 7 9 Jadi, empat suku pertama dari barisan yang memiliki rumus umum Un = n 2n+1

adalah 1, 2 , 3 , 4 . 3 5 7 9

b) U1=3, U2=2, U3=9, dan U4 = 12 5

Jadi,empat suku pertama dari barisan yang memiki rumus umum 3n, untuk n ganjil

Un = 3n , untuk genap adalah 3, 2, 9, 12 n+1 5

B. Barisan Aritmatika

67

a. Pengertian Barisan Aritmatika Barisan Aritmatika adalah suatu barisan dengan selisih atau beda antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Bentuk umum barisan aritmatika : U1, U2, U3, Un a, (a+b), (a+2b),,{a+(n-1)b} dengan: b = Un Un-1 a = U1 = suku pertama b = beda antara dua suku yang berurutan Un = suku ke-n Un-1 = suku ke-(n-1) n = banyak suku b.Rumus suku ke-n Barisan Aritmatika Suku ke-n dari barisan aritmatika (Un)adalah Un = a + (n 1)b Contoh 5: Diketahui barisan aritmatika: 1, 3, 5, ,41. Tentukan:

a) b b) U100 c) n Jawab :

a) b = U2 U1 = 3 1 = 2 b) U100 = 1 +(100 1)2 = 199 c) Un = a + (n 1)b 41 =1 +(n-1)2 41 =1 +2n 2 42 = 2n n = 21

Contoh 6: Dari barisan aritmatika diketahui bahwa suku ke-9 adalah 35 dan jumlah suku ke-4 dan ke-12 adalah 62. Tentukan suku ke-n dan suku ke-50. Jawab:

U9 = 35 a+8b = 35

U4 + U12 = 62a + 3b + a + 11b = 62 a + 7b = 31 b = 4

b = 4 disubtitusikan ke persamaan a + 8b = 35, diperoleh a + 8(4)=35 a = 3 Un = a + (n 1 )b U50 = a + 49b Un = 3 + (n 1)4 U50 = 3 + 49(4) Un = 4n 1 U50 = 199 c. Rata-rata hitung Rata-rata hitung dari dua bilangan a dan b didefinisikan sebagai 1 (a + b). 2 Ternyata, a, 1 (a + b),b merupakan barisan aritmatika, dengan beda 1 (b a).

2 2

68

Contoh 7: Akar-akar persamaan kuadrat x2 7x + (m + 2) = 0 adalah dan , m R. Jika , , dan m membentuksuatu barisan aritmatika tentukan barisan aritmatika itu. Jawab: + = 7 X2 7x + (m + 2) =0 = m + 2 Oleh karena , , dan m membentuk barisan aritmatika, maka berlaku = 1 ( + m). 2

+ = 7 = 7 = 7 disubtitusikan ke persamaan = 1/2 ( + m ) diperoleh = 1 (7 + m ) 2

m = 3 7 = 7 dan m = 3 7 disubtitusikan ke persamaan = m + 2, didapat.

(7 ) = (3 7) + 2

2 - 4 5 = 0

( 5 ) ( + 1) = 0

= 5 atau = - 1 Subtitusikan = 5 dan = - 1 ke persamaan =7 dan m = 3 7, didapat = 7 5 atau = 7 (-1) dan m = 3(5) 7 atau m = 3(-1) 7

= 2 atau = 8 m = 8 atau m = - 10 Jadi,barisan aritmatika yang diminta adalah 2, 5, 8 atau 8, -1, -10 d. Suku Tengah Jika barisan aritmatika memiliki suku ganjil, maka suku tengahnya (U1) adalah U1 = 1 2 (a + Un), dengan t = 1 (n+1) 2 e. Sisipan pada Barisan Aritmatika Jika diantara dua suku berurutan pada barisan aritmatika disisipkan k buah suku, maka diperoleh barisan aritmatika baru. Barisan aritmatika lama : a, (a + b) Barisan aritmatika baru : a, (a + b),(a + 2b),,(a + b) K suku baru yang disisipkan Hubungan beda dan banyak suku pada barisan aritmatika lama dan baru adalah b = b dengan : k+1 b = beda barisan aritmatika baru b = beda barisan aritmatika lama n = n + (n 1)k k = banyak suku yang disisipkan n = banyak suku barisan aritmatika lama n = banyak suku barisan aritmatika baru Dalam sisipan harus diperhatikan bahwa : a = a, Un = Un, dan Ut = Ut

69

Contoh 8 : Diketahui barisan aritmatika : 1, 13, 25, 37, 49 Diantara tiap dua suku disisipkan 5 buah suku baru sehingga membentuk barisan aritmatika baru. Tentukan beda banyak suku, dan suku ke-20 barisan aritmatika baru tersebut. Jawab : b = 13 1 = 12 b = b = 12 = 2 k +1 5 + 1 k = 5 n = n + (n 1)k = 5 + (5 1)5 =25 n = 5 U20 = a + 19b = 1 + 19 (2) = 39

C, Deret Aritmatika (Deret tambah/Deret Hitung) a. Pengertian Deret Aritmatika

Deret aritmatika adalah jumlah suku-suku barissan aritmatika. Bentuk umum: Sn = Uk = U1 + U2 + U3 + + Un

Sn = { a + ( k 1 )b } = a + ( a + b ) + ( a + 2b ) + + { a + ( n 1 )b} Jika ( Un ) adalah suatu barisan aritmatika, maka jumlah parsial dari n suku

barisannya adalah: Sn = 1n ( a + Un ) Sn = 1n { 2a + ( n 1 )b } 2 2 Dengan: Sn = Jumlah n suku pertama N = banyak suku A = suku pertama Un = suku ke n B = beda

Contoh 9 : Hitunglah jumalah deret aritmatika 4 + 9 + 14 + + 104

Jawab: Deret aritmatika 4 + 9 + 14 + +104 A = 4, b = 9 4 = 5, dan Un = 104 Un = a + ( n - 1 )b

104 = 4 + ( n 1 ) 5

n 1 =20

n = 21 Sn = 1 n ( a + Un ) 2

S21 = 1 (21) (4 + 104) 2

S21 = 1134 Contoh 10 : Diketahui deret aritmatika yang diberikan sebagai (2n + 3). Tentukan :

70

a) suku pertama dan kedua d) rumus jumlah n suku pertama b) beda e) jumlah deret itu u suku ke 20 c) rumus suku ke-n

Jawab : a) Untuk n = 2, diperoleh a = (2) (2) + 3 = 7

Untuk n = 3, diperoleh U2 = (2)(3) + 3 = 9 b) b = U2 a = 9 7 = 2 c) Un = a + ( n 1)b

Un = 7 + (n 1 )2 Un = 2n + 5

d) Sn = 1 n(a + Un) 2

Sn = 1 n(7 + 2n + 5) 2 Sn = n2 + 6n

e) Untuk n = 20, suku terakhir deret itu adalah Un = 2(20) + 3 2n + 5 = 43 n = 19 Sn = 1 n{2a + (n 1)b} 2 S19 = 1 (19) {2(7) + (19 1)2} 2 S19 = 475

b. Hubungan antara Sn, Sn-p dan Un Un = Sn Sn-1 dengan Un = suku ke-n Sn = Jumlah n suku pertama Sn-1 = Jumlah (n 1) suku pertama

c. Hubungan antara Ut dan Sni Jika banyak suku suatu barisan aritmatika ganjil (n), dengan suku pertama a dan suku terakhir Un maka suku tengah (Ut) dan jumlah deret aritmatika (Sn) adalah Ut = 1 (a + Un) dan Sn = n . Ut

2 3. Barisan Geometri

a. Pengertian Barisan Geometri Barisan geometri adalah suatu barisan dengan rasio (pembanding/pengali) antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Bentuk umum barisan geometri : U1, U2, U3,.,Un

a, ar, ar2,,ar n-1 dengan : r = Un Un-1 a = U1 = suku pertama r = rasio/pembanding/penggali antara dua suku yang berurutan Un = suku ke-n Un-1 = suku ke-(n 1)

71

n = banyak suku .b.Rumus Suku ke-n Barisan Geometri

Un = ar n-1

Suku ke-n dari barisan geometri : 2, 6, 18, Tentukan suku pertama, rasio, rumus suku ke-n, dan suku ke-10. c.Rata-rata Ukur

Rata-rata ukur dari dua bilang a dan b didefinisikan sebagai ab, jika a dan b

positif dan - ab, jika a dan b negatif.

Ternyata, a, b, dan c merupakan barisan geometri dengan rasio 1 ab , dengan a a dan b positif. Jadi, jika a, b, dan c membentuk barisan geometri, maka ac positif, sehingga b

= ac. d. Suku Tengah jika barisan geometri memiliki suku ganjil maka suku tengahnya (Ut) adalah Ut2 = a x Un dengan t = 1 (n + 1) 2 e. Sisipan pada Barisan Geometri

Jika diantara dua suku berurutan pada barisan geometri disisipkan k buah suku, maka didapat barisan geometri baru.

Barisan geometri lama: a, , ar, Barisan geometri baru: a, ar,a(r),, ar,. K suku baru yang disisipkan Hubungan rasio dan banyak suku pada barisan geometri lama dan baru adalah:

r = k + 1r dengan: r = rasio barisan geometri baru r = rasio barisan geometri lama n = n + (n 1)k k = banyak suku yang disisipkan n = banyak suku barisan geometri lama n= banyak suku barisan geometri baru Dalam sisipan barisan geometri sama seperti dalam barisan aritmatika, yaitu bahwa a = a, Un = Un, dan Ut = Ur.

4. Deret Geometri (Deret ukur/Deret Kali) Pengertian Deret Geometri

Deret geometri adalah jumlah suku-suku barisan geometri. Bentuk umum :

Sn = Uk = U1 + U2 + U3 + .+ U4

Sn = ar k-1 = a + ar + ar2 +..+ ar n-1 Jika Un adalah barisan geometri dengan rasio r, maka jumlah parsial dari n suku barisannya adalah :

72

Sn = a(r n 1 ) atau Sn = a(1 r n), untuk r 1 r-1 1-r b. Hubungan antara Sn Sn-p dan Un Un = Sn Sn-1 dengan Un = suku ke-n Sn = jumlah n suku pertama Sn-1= jumlah (n 1) suku pertama

Suku ke-n dan Jumlah n suku Pertama Beberapa Deret Khusus

c. Deret Bilangan Asli Deret bilangan asli: 1 + 2 + 3 + + n Jika suku-suku deret ini dinyatakan dengan Uk maka Uk = k i) Suku ke-n (Un) adalah Un = n ii) Jumlah n suku pertama (Tn) adalah Tn = uk = k = 1 + 2 + 3 + + n = 1 n (n + 1) 2 d. Deret Kuadrat Bilangan Asli Deret kuadrat bilangan asli : 1 + 2 + 3 + + n Jika suku-suku deret ini dinyatakan dengan Uk = k. i) Suku ke-n (Un) adalah Un =n ii) Jumlah n suku pertama (Qn) adalah Qn = Uk = k = 1 + 2 + 3 = + n = 1 n(n + 1)(2n + 1) 2 e. Deret Pangkat Tiga (kubik) Bilangan Asli Deret pangkat tiga (kubik) bilangan asli: 1 + 2 + 3 + + n Jika suku-suku deret ini dinyatakan dengan Uk maka Uk = k i) Suku ke-n (Un) adalah Un = n ii) Jumlah n suku pertama (Kn) adalah Kn = Uk = K = 1 + 2 + 3 + + n = 1 n(n + 1) =(Tn) 4 f. Deret Bilangan Persegipanjang

Deret bilangan persegipanjang : 1.2 + 2.3 + 3.4 +. + n(n + 1) Jika suku-suku deret ini dinyatakan dengan Uk maka uk = k(k + 1) i) Suku ke-n (Un) adalah Un = n(n + 1) ii) jumlah n suku pertama (Rn) adalah Rn = Uk = k(k + 1) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n(n + 1) = 1 n(n + 1)(n + 2) 3 g. Deret Bilangan Balok

Deret bilangan balok : 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 ++ n(n + 1)(n + 2) Jika suku-suku deret ini dinyatakan dengan Uk maka Uk = k(k + 1)(k + 2) i) Suku ke-n (Un) adalah Un = n(n + 1)(n + 2) ii) Jumlah n suku pertama (Bn) adalah Bn = Uk = k(k + 1)(k + 2)= 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 ++n(n + 1)(n + 2) = 1 n(n +1)(n + 2)(n + 3) 4 h. Deret bilangan Segitiga Deret bilangan segitiga : 1 + 2 + 3 + 6 + 10 + ... + 1 n(n + 1) 2 jika suku-suku deret ini dinyatakan dengan Uk maka Uk = 1 k(k + 1)

73

2 i) Suku ke-n (Un) adalah Un = 1 n(n + 1)

2 ii) Jumlah n suku pertama (En) adalah : En = Uk = 1 k ( k + 1 ) = 1 + 3 + 6 + 10 + . + 1 n ( n + 1 ) 2 2

= 1 n ( n + 1 )( n + 2 ) 6 Deret Geometri Tak Terhingga

B. Teorema

Deret geometri a + ar + ar + . +ar n-1 disebut deret geometri tak hingga,jika r < 1 Jumlah S dari deret geometri tak hingga adalah S lim Sn = a 1 r Penerapan Kaidah Barisan dan Deret dalam Kehidupan Sehari hari Contoh:

Jumlah penduduk sebuah kota tiap 10 Tahun menjadi dua kali lipat. Menurut

perhitungan,pada tahun 2000 nanti akan mencapai 3,2 juta orang. Tentukan

jumlah penduduk kota itu pada tahun 1950.

Jawab: U1, U2, U3,.., Un Tahun 1950 U1 = x Tahun 1960 U2 = 2x Tahun 1970 U3 = 2x . . . Tahun 1970 + 10n Un = 2 n-1 x Pada tahun 2000: 1940 = 10n = 2000

n = 6 U6 = 26-1 .x = 3,2 juta

32x = 3,2 x 106

x = 100.000 Jadi,jumlah penduduk kota itu pada tahun 1950 adalah 100.000 orang.

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

74


a. Dapat menggunakan persamaan dan pertidaksamaan dan implikasinya

dalam memecahkan masalah kususnya kesehatan masyarakat

b. Dapat Menggunakan persamaan dan pertidaksamaan dalam menarik



Metode : - Ceramah


C. Persamaan

Persamaan adalah Adanya kalimat matematika yang belum mempunyai nilai

kebenaran (B atau S). Dalam menyelesaikan suatu persamaan harus dicari suatu

bilangan sehingga persamaan tersebut menjadi proposisi benar. Jika bilangan yang

menyebabkan persamaan itu menjadi proposisi benar disebut jawab (selesaian)

persamaan tersebut. Himpunan itu disebut himpunan selesaian. Jika, x + 2 = 5

maka himpunan selesaian 3 .

Berikut ini merupakan beberapa contoh persamaan.

1. 2x 3 = 7 yang himpunan selesaiannya 5

2. 3x + 5 = 6x 1 yang himpunan selesaianya 2

3. 2x + 3y = 7 yang himpunan selesaiannya (2,1) = (x,y) : x = 2, y = 1

4. x2 + 5 x + 6 = 0 yang himpunan selesaiannya -2, -3

Suatu persamaan yang mengandung satu peubah dan berpangkat satu disebut

persamaan linear satu peubah. Bentuk umum persamaan linear satu peubah ialah

ax + b = c dengan a, b dan c bilangan real dan a 0.

Teknik Penyelasaian

ax + b = c, a 0 diketahui

ax + b b = c b p = q p r = q r

ax c b p = q p q a a r r

c b c - b

75

x = Himpunan selesaian a a Contoh

Tentukan himpuna selesaian

(a) x + 6 = 7

(b) 2x 7 = 5

(c) 3 (x + 2 ) + 2 (x + 1) = 4x + 1

Jawab

(a) x + 6 = 7

x + 6 6 = 7 6

x = 1 Himpunan penyelesaian 1

Pemeriksaan, 1 + 6 = 7. Benar.

(b) 2x 7 = 5

2x 7 + 7 = 5 + 7

2x = 12

2x 12 2 2

x = 6 Himpunan penyelesaian 6

Pemeriksaan, 2.6 7 = 5. Benar.

(c) 3 (x +2) + 2 (x + 1) = 4x + 1

3x +6 + 2x + 2 = 4x + 1

5x 8 + 8 = 4x + 1 +-8

5x 4x = 4x 4x -7

x = -7 Himpunan penyelesaian -7

Pemeriksaan 3 (5-2) + 2 (5+1) = 4.5 + 1

33 + 2.6 = 21

21 = 21. Benar.

Contoh

Tentukan himpunan selesaian dari persamaan berikut.

2x 1 3x 2 1 + = 7

76

3 2 3 Jawab

Bila kedua ruas persamaan tersebut dikalikan dengan 6,

22 2 (2x 1) + 3 (3x 2) = 6 3 4x 2 + 9x 6 = 44

13x 8 = 44

13x = 44 + 8

13x = 52

1 1 13x = 52 13 13

x = 4 Himpunan selesaian 4

Periksalah kebenaran selesaian tersebut

Contoh

Jika suatu bilangan ditambah dua kali bilangan itu menghasilkan 12, tentukan

bilangan tersebut.

Jawab

Misalnya bilangan yang ditanyakan x.

x + 2x = 12 (persamaan linear satu peubah yang disebut juga model matematika)

3x = 12

3x 12 = 3 3

x = 4 Bilangan yang dinyatakan adalah 4.

Contoh

Dua bilangan asli berurutan jumlahnya 19. tentukan masing masing bilangan

itu.

Jawab

Misalnya dua bilangan berurutan itu n dan (n + 1)

Maka n + (n + 1) = 19

77

2n + 1 = 19

2n + 1 1 = 19 1

2n = 18

. 2n = . 18 n = 9

Jadi dua bilangan berurutan itu 9 dan 10

Contoh

Ani pergi ke pasar untuk membeli apel dan rambutan. Harga 1 kg apel 3 kali harga

1 kg rambutan. Ani membeli 2 kg apel dan 3 kg rambutan dengan harga Rp.

9.000,00. Berapa masing masing harga apel dan rambutan setiap kg ?

Jawab

Misalnya harga 1 kg rambutan x rupiah. Karena itu harga 1 kg apel 3 x rupiah.

Harga 3 kg rambutan adalah 3 x rupiah dan 2 kg apel adalah 6 x rupiah.

Maka 3x + 6x = 9000,-

9x = 9000,-

x = 1000,-

Jadi harga 1 kg rambutan Rp. 1.000,00 dan 1 kg apel Rp. 3.000,00

D. Pertidaksamaan

Suatu kalimat matematika yang mengandung satu atau lebih peubah dan relasi

, < , atau > disebut suatu pertidaksamaan.

1. x + 6 > 3

2. x 5 7 + 2x

3. x + y < 2

4. x2 5x + 6 0

5. x2 + y2 > 4

Bila pertidaksamaan hanya mengandung satu peubah dan berpangkat satu maka

pertidaksamaan tersebut dinamakan pertidaksamaan linear satu peubah.

Selanjutnya bila dikatakan pertidaksamaan, maka yang dimaksud adalah

pertidaksamaan linear satu peubah.

78

Contoh 1 dan 2 merupakan suatu pertidaksamaan linear satu peubah sedang

contoh 3, 4 dan 5 bukan.

Bentuk umum pertidaksamaan linear satu peubah adalah ax + b 0, ax + b < 0, ax

+ b 0, ax + b > 0 dengan a, b bilangan real dan a 0.

Seperti halnya persamaan, menyelesaikan suatu pertidaksamaan merupakan suatu

proses mendapatkan suatu bilangan sehingga pertidaksamaan tersebut menjadi

proposisi benar.

Bilangan yang memperoleh tersebut merupakan selesaian pertidaksamaan

tersebut.

Himpunan semua selesaian suatu pertidaksamaan disebut himpunan selesaian.

Teknik Penyelesaian

Seperti halnya teknik penyelesaian persamaan, kita juga menggunakan sifat sifat

antara lain sebagai berikut.

1. Jika a, b, c bilangan real

(a) a b maka a + c b + c

(b) a b maka a + c b + c

2. a, b dan c bilangan real

(a) Untuk c > 0. Jika a > b maka ac > bc

Jika a < b maka ac < bc

(b) Untuk c < 0. Jika a > b maka ac < bc

Jika a < b maka ac > bc

Contoh

Tentukan himpunan selesaian

(a) 2x + 5 > 9

(b) x + 2 < 3

(c) 3x + 2 5x 2

Jawab

(a) 2x + 5 > 9

2x + 5 5 > 9 5

2x > 4

2x 4

79

> Mengapa tanda > tetap ? 2 2

x > 2

Ini berarti setiap bilangan x yang lebih dari 2 memenuhi pertidaksamaan tersebut

sehingga himpunan selesaiannya adalah { x : x > 2 }. Himpunan selesaian dapat di

gambarkan pada garis bilangan berikut.

0 1 2

Gambar 2.1

(b) -x + 2 < 3

-x + 2 2 < 3 2

-x < 1

x > -1

(-1) (-x) > (-1). 1 Mengapa tanda < berubah menjadi > ?

Himpunan selesaian {x : x > 1} dapat digambarkan sebagai garis bilangan berikut.

-2 -1 0

Gambar 2.2

(c) 3x + 2 5x - 2

3x + 2 2 5x - 2 - 2

3x 5x - 4

3x - 5 x 5x - 4 - 5x

-2x -4

-2x -4 Mengapa tanda berubah menjadi ? -2 -2

x 2

Himpunan selesaian {x : x 2 } yang dapat digambarkan sebagai garis bilangan

berikut.

-3 -2 -1 0 1 2 3

80

Gambar 2.3

Garis bilangan dapat memudahkan untuk mencari selesaian pertidaksamaan.

Contoh

Tentukan himpunan selesaian

(a) -2x + 4 x + 3 dan 2x 3 < x - 1

(b) x + 5 < 5 atau 3x + 4 > 10

(d) 4 < -x + 4dan x < x 4

Jawab

(a) -2x + 4 -x + 3 dan 2x 3 < x 1

-2x + 4 4 -x + 3 4 2x 3 + 3 < x 1 + 3

-2x -x 1 2x < x + 2

-2x + x -1 2x x < x x + 2

-x -1 2x x < x x + 2

x 1 x < 2

-1 0 1 2 3 -1 0 1 2 3

Bila harus memenuhi kedua duanya karena konjungsi dan

-1 0 1 2 3 -1 0 1 2 3 Gambar 2.4

Himpunan selesaian {x : 1 x < 2 }

81

3 3 3 3 3 Pemeriksaan, x = ,2 + 4 - + 3 dan 2. 3 < -1 2 2 2 2 2 3 1 1 dan 0 < 2 2

Benar dan benar Benar

x = 0, -2.0 + 4 -0 + 3 dan 2.0 3 < -0 1

4 3 dan -3 < -1

Salah dan Benar Salah

(b) x + 5 < 5 atau 3x + 4 > 10

x + 5 5 < 5 5 3x + 4 4 > 10 4

x < 10 3x > 6

3x 6 > 3 3

x > 2

-2 -1 0 1 2 -1 0 1 2 3

Bila harus memenuhi salah satu atau kedua-duanya (disjungsi atau) maka

himpunan selesaiannya {x : x < 0 atau x > 2}

-2 -1 0 1 2 3

Periksalah kebenaran dari selesaian tersebut.

82

(c) 4 < -x + 4 dan -x < x 4

4 4 < -x + 4 4 -x + x < x 4 x

0 < -x -2x < -4

-2x -4 -x > 0 >

-2 -2

x < 0 x > 2

-3 -2 -1 0 1 2 3 -1 0 1 2 3 4

Bila memnuhi kedua duanya karena konjungsi dan

-3 -2 -1 0 1 2 3

-1 0 1 2 3 4 Gambar 2.4

Himpunan selesaian

Ternyata tidak ada pengganti x yang memenuhi kedua-duanya.

Contoh 2.7

Untuk membangun rumah tipe A1 dan A2 Akhmad meminta imbalan berturut -

turut Rp. 5.000.000,00 dan Rp. 4.000.000,00.

Berapa imbalan yang diminta oleh Akhmad untuk membangun sebuah rumah tipe

A3 agar rata - rata imbalan ketiga tipe yang diperoleh melebihi imbalan

membangun sebuah rumah tipe A1.

Jawab

Misalnya Akhmad minta imbalan x rupiah

5.000.000,00 + 4.000.000,00 + x Maka > 5.000.000,00 3

83

9.000.000,00 + x > 5.000.000,00

3

9.000.000,00 + x > 3 x 5.000.000,00

x > 6.000.000,00

Jadi imbalan yang diminta Akhmad ongkos borongan lebih dari Rp. 6.000.000,00

Latihan 2.1

1. Tentukan himpunan selesaian persamaan berikut.

x 3 2x + 3 (a) x 5 = 7 (d) =

2 3 2x - 1

(b) 2x + 3 = 9 (e) = 5 3 x-1 2x -3 (c) 3x 1 = 2x + 1 (f) + = 1 2 3

2. Tentukan himpunan selesaian pertidaksamaan berikut.

x 3 2x + 3 (a) x 5 > 7 (d)

2 3 2x - 1

(b) 2x + 3 < 9 (e) > 5 3 x-1 2x -3 (c) 3x 1 2x + 1 (f) + < 1 2 3

Persamaan Dan Pertidaksamaan Ok

Documents

Transcript of Persamaan Dan Pertidaksamaan Ok