PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONENSIAL

Sri Rahmadhanningsih

SMA NEGERI 1 PONTIANAK

BENTUK 1 : 𝒂𝒇 𝒙 = 𝒂𝒎

Jika 𝒂𝒇 𝒙 = 𝒂𝒎 , 𝒂 > 𝟎 dan 𝒂 ≠ 𝟏, maka 𝒇 𝒙 = 𝒎Perhatikan !

Basisnya SAMA, maka eksponennya harus SAMA, sehingga f(x)=m

Dalam kasus ini, eksponen pertama berbentuk sebuah fungsi, sedangkan eksponen kedua konstanta

Contoh Soal : Tentukan nilai x yang memenuhi dari persamaan:

1. 4𝑥 = 8

2. 4𝑥+1 = 0,25

Penyelesaian Soal No 1 : 4𝑥 = 8

4𝑥 = 8 (Samakan bentuk basisnya, TIPS : Ambil basis terkecil)

22𝑥 = 23 (Perhatikan basisnya)

Karena nilai basis telah sama, yaitu sama-sama 2, maka hubungkan kedua eksponen dengan tanda sama dengan, sehingga diperoleh

2𝑥 = 3

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 3

2

Penyelesaian Soal No 2 : 4𝑥+1 = 0,25

4𝑥+1 = 0,25 (Ubah 0,25 dalam bentuk pecahan)

4𝑥+1 =1

4(Ingat sifat eksponen

1

𝑎= 𝑎−1

4𝑥+1 = 4−1 (Perhatikan Basisnya)

Karena nilai basis telah sama, yaitu sama-sama 4, maka hubungkan kedua eksponen dengan tanda sama dengan, sehingga diperoleh

𝑥 + 1 = −1 (Tambahkan kedua ruas dengan -1)

𝑥 = −1 − 1 (Selesaikan)

𝑥 = −2

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = -2

BENTUK 2 : 𝒂𝒇 𝒙 = 𝒂𝒈 𝒙

Jika 𝒂𝒇 𝒙 = 𝒂𝒈(𝒙) , 𝒂 > 𝟎 dan 𝒂 ≠ 𝟏, maka 𝒇 𝒙 = 𝒈(𝒙)

Perhatikan !

Basisnya SAMA, maka nilai eksponennya harus SAMA, sehingga f(x)=g(x)

Dalam kasus ini, eksponen pertama dan eksponen kedua sama-sama sebuah fungsi, tetapi bentuk fungsinya berbeda

Contoh Soal : Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut:

1. 100𝑥2−3𝑥−4 = 10𝑥

2−2𝑥−3

2.33𝑥+7 =

1

27

3−2𝑥

Penyelesaian No 1 : 100𝑥2−3𝑥−4 = 10𝑥

2−2𝑥−3

100𝑥2−3𝑥−4 = 10𝑥

2−2𝑥−3 (Samakan basis kedua ruas, yaitu jadikan 10)

(102)𝑥2−3𝑥−4 = 10𝑥

2−2𝑥−3 (Ingat ! (𝑎𝑏)𝑐= 𝑎𝑏𝑐 )

102 𝑥2−3𝑥−4 = 10𝑥2−2𝑥−3 (Perhatikan eksponen di ruas kiri ! Kalikan 2 ke

𝑥2 − 3𝑥 − 4

102𝑥2−6𝑥−8 = 10𝑥

2−2𝑥−3 (Perhatikan basis kedua ruas )

Karena basis telah sama, maka hubungkan kedua eksponen dengan tanda sama dengan, sehingga diperoleh

2𝑥2 − 6𝑥 − 8 = 𝑥2 − 2𝑥 − 3 (Selesaikan, buat salah satu ruas bernilai 0)

2𝑥2 − 𝑥2 − 6𝑥 + 2𝑥 − 8 + 3 = 0

𝑥2 − 4𝑥 − 5 = 0 (Faktorkan persamaan yang diperoleh)

Lanjutan No 1 :

Faktorkan 𝑥2 − 4𝑥 − 5 = 0↔ 𝑥 − 5 𝑥 + 1 = 0↔ 𝑥 = 5 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = −1

Jadi, 𝐻𝑃 = {−1, 5}

Penyelesaian No 2 : 33𝑥+7 =

1

27

3−2𝑥

33𝑥+7 =

1

27

3−2𝑥(Ubah bentuk akar jadi pangkat pecahan)

3𝑥+71

3 =1

33

3−2𝑥(Ubah bentuk basis

1

33= 3−3

3𝑥+71

3 = 3−3 3−2𝑥 ( Ingat ! 𝑎𝑏𝑐= 𝑎𝑏𝑐

3𝑥+7

1

3 = 3 −3 3−2𝑥 (Perhatikan basis kedua ruas )

Karena basis telah sama, maka hubungkan kedua eksponen dengan tanda sama dengan, sehingga diperoleh

𝑥 + 71

3= −3 3 − 2𝑥

𝑥 + 7 = −9 3 − 2𝑥𝑥 + 7 = −27 + 18𝑥

7 + 27 = 18𝑥 − 𝑥34 = 17𝑥𝑥 = 2

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x=2

BENTUK 3 : 𝒂𝒇 𝒙 = 𝒃𝒇 𝒙

Jika 𝒂𝒇 𝒙 = 𝒃𝒇(𝒙) , 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏, 𝒃 > 𝟎, 𝒃 ≠ 𝟏, dan 𝒂 ≠ 𝒃, maka 𝒇 𝒙 = 𝟎Perhatikan !Basisnya BEDA, maka eksponennya harus bernilai NOL, sehingga f(x)=0

Dalam kasus ini, eksponen pertama dan eksponen kedua mempunyai bentuk fungsi yang SAMA

Contoh Soal :

1. 52𝑥−6 = 32𝑥−6

2. 5𝑥2−𝑥−2 = 7𝑥

2−𝑥−2

Penyelesaian No 1 : 52𝑥−6 = 32𝑥−6

52𝑥−6 = 32𝑥−6

Karena basisnya berbeda, namun eksponennya sama, maka diperoleh

2𝑥 − 6 = 02𝑥 = 6𝑥 = 3

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 3

Penyelesaian No 2 : 5𝑥2−𝑥−2 = 7𝑥

2−𝑥−2

5𝑥2−𝑥−2 = 7𝑥

2−𝑥−2

Karena basisnya berbeda, namun eksponennya sama, maka diperoleh

𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0𝑥 − 2 𝑥 + 1 = 0𝑥 = 2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = −1

Jadi, HP = {-1, 2}

BENTUK 4 : 𝒉(𝒙)𝒇 𝒙 = 𝒉(𝒙)𝒈 𝒙

Jika 𝒉 𝒙 𝒇 𝒙 = 𝒉 𝒙 𝒈 𝒙 ,𝒎𝒂𝒌𝒂 𝒂𝒅𝒂 𝒃𝒆𝒃𝒆𝒓𝒂𝒑𝒂 𝒌𝒆𝒎𝒖𝒏𝒈𝒌𝒊𝒏𝒂𝒏, 𝒚𝒂𝒊𝒕𝒖:

1. Eksponen : 𝐟 𝐱 = 𝐠 𝐱

2. Basis ∶ 𝐡 𝐱 = 𝟏, sebab 𝟏𝐟 𝐱 = 𝟏𝐠 𝐱 = 𝟏3. Basis ∶ 𝐡 𝐱 = 𝟎, dengan syarat 𝐟 𝐱 dan 𝐠 𝐱 keduanya bernilai positif4. Basis ∶ 𝒉 𝒙 = −𝟏, dengan syarat 𝒇(𝒙) dan 𝒈(𝒙) keduanya genap atau

keduanya ganjil

Catatan : Basis mempunyai bentuk fungsi yang SAMA, tetapi Eksponennya mempunyai bentuk fungsi yang BEDA

Contoh :Tentukan himpunan penyelesaian persamaan 𝑥 + 3 2𝑥−1 = 𝑥 + 3 𝑥+2

Penyelesaian : 𝑥 + 3 2𝑥−1= 𝑥 + 3 𝑥+2

Ada beberapa kemungkinan penyelesaian, yaitu :

1. Eksponen : 𝐟 𝐱 = 𝐠 𝐱

2𝑥 − 1 = 𝑥 + 2

2𝑥 − 𝑥 = 2 + 1

𝑥 = 3

2. Basis ∶ 𝐡 𝐱 = 𝟏, sebab 𝟏𝐟 𝐱 = 𝟏𝐠 𝐱 = 𝟏

𝑥 + 3 = 1

𝑥 = 1 − 3

𝑥 = −2

3. Basis ∶ 𝐡 𝐱 = 𝟎, dengan syarat 𝐟 𝐱 dan 𝐠 𝐱 keduanya bernilai positif

𝑥 + 3 = 0

𝑥 = −3

Karena ada syarat f(x) dan g(x) keduanya bernilai positif, maka nilai x yang diperoleh harus di substitusikan ke f(x) dan g(x) untuk mengecek apakah hasilnya bernilai positif atau negatif

𝑥 = −3 → 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 1

𝑓 −3 = 2 −3 − 1

= −6 − 1

= −7

Karena didapat salah satu nilainya negatif, yaitu 𝑓 𝑥 = −7 < 0

Maka, untuk nilai x = -3 tidak memenuhi penyelesaian yang dicari

Basis ∶ 𝒉 𝒙 = −𝟏, dengan syarat 𝒇(𝒙) dan 𝒈(𝒙) keduanya genap atau keduanya ganjil

𝒙 + 𝟑 = −𝟏𝒙 = −𝟏 − 𝟑𝒙 = −𝟒

Karena ada syarat f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil, maka nilai x yang diperoleh harus di substitusikan ke f(x) dan g(x) untuk mengecek apakah hasilnya bilangan genap atau ganjil.

𝑥 = −4 → 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 1

𝑓 −4 = 2 −4 − 1

= −8 − 1

= −9

Perhatikan! 𝒇 −𝟒 bilangan ganjil dan 𝒈(−𝟒) bilangan genap, maka tidak memenuhi syarat, sehingga x = -4 tidak memenuhi penyelesaian

𝑥 = −4 → 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 2𝑔 −4 = −4 + 2

= −2

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 𝑥 = −2 dan 𝑥 = 3, sehingga himpunan penyelesaiannya : HP = {-2, 3}

BENTUK 5 : 𝒇(𝒙)𝒉 𝒙 = 𝒈(𝒙)𝒉 𝒙

Jika 𝐟 𝐱 𝐡 𝐱 = 𝐠 𝐱 𝐡 𝐱 ,𝒎𝒂𝒌𝒂 𝒑𝒆𝒏𝒚𝒆𝒍𝒆𝒔𝒂𝒊𝒂𝒏𝒏𝒚𝒂𝒎𝒆𝒏𝒈𝒈𝒖𝒏𝒂𝒌𝒂𝒏 𝒄𝒂𝒓𝒂 𝒃𝒆𝒓𝒊𝒌𝒖𝒕 ∶

1. Eksponen : 𝒉 𝒙 = 𝟎, dengan syarat Basis : 𝒇(𝒙) ≠ 𝟎 dan 𝒈 𝒙 ≠ 𝟎2. Samakan kedua basis: 𝒇 𝒙 = 𝒈(𝒙)

Catatan : Basis mempunyai bentuk fungsi yang BEDA, tetapi Eksponennya mempunyai bentuk fungsi yang SAMA

Contoh

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan

𝑥2 − 5𝑥 + 9 𝑥2−4𝑥+3 = 2𝑥 + 3 𝑥2−4𝑥+3

Penyelesaian : 𝑥2 − 5𝑥 + 9 𝑥2−4𝑥+3 = 2𝑥 + 3 𝑥2−4𝑥+3

Bentuk diatas, termasuk persamaan eksponensial dengan

𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 5𝑥 + 9

𝑔 𝑥 = 2𝑥 + 3

ℎ 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3

Penyelesaian dapat dilakukan dengan cara berikut:

1. Eksponen : 𝒉 𝒙 = 𝟎, dengan syarat Basis : 𝒇(𝒙) ≠ 𝟎 dan 𝒈 𝒙 ≠ 𝟎

ℎ 𝑥 = 0 → x2 − 4x + 3 = 0

𝑥 − 3 𝑥 − 1 = 0

𝑥 = 3 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 1

Karena ada syarat f(x) dan g(x) keduanya tidak nol maka nilai x yang diperoleh harus di substitusikan ke f(x) dan g(x) untuk mengecek apakah hasilnya nol atau tidak

𝑥 = 3 → 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 5𝑥 + 9

𝑓 3 = 3 2 − 5 3 + 9

= 9 − 15 + 9

= 3

Karena 𝑓 3 ≠ 0 𝑑𝑎𝑛 𝑔 3 ≠ 0, maka x = 3 memenuhi penyelesaian

𝑥 = 1 → 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 5𝑥 + 9

𝑓 1 = 1 2 − 5 1 + 9

= 1 − 5 + 9

= 5

Karena 𝑓 1 ≠ 0 𝑑𝑎𝑛 𝑔 1 ≠ 0, maka x = 1 memenuhi penyelesaian

𝑥 = 3 → 𝑔 𝑥 = 2𝑥 + 3

𝑔 3 = 2 3 + 3= 6 + 3

= 9

𝑥 = 1 → 𝑔 𝑥 = 2𝑥 + 3

𝑔 1 = 2 1 + 3= 2 + 3

= 5

2. Samakan kedua basis: 𝒇 𝒙 = 𝒈(𝒙)

𝒇 𝒙 = 𝒈 𝒙

𝑥2 − 5𝑥 + 9 = 2𝑥 + 3

𝑥2 − 5𝑥 − 2𝑥 + 9 − 3 = 0

𝑥2 − 7𝑥 + 6 = 0

𝑥 − 6 𝑥 − 1 = 0

𝑥 = 6 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 1

Jadi, nilai-nilai x yang memenuhi persamaan eksponensial tersebut adalah 𝒙 = 𝟏, 𝒙 = 𝟑, 𝒅𝒂𝒏 𝒙 = 𝟔

BENTUK 6 : 𝑨 𝒂𝒇 𝒙 𝟐+ 𝑩 𝒂𝒇 𝒙 + 𝑪 = 𝟎

Jika 𝑨 𝒂𝒇 𝒙 𝟐+ 𝑩 𝒂𝒇 𝒙 + 𝑪 = 𝟎, dengan 𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏, 𝑨 ≠ 𝟎, dan 𝑨,𝑩, 𝑪 ∈ 𝑹, maka penyelesaiannya dapat

menggunakan langkah berikut:

1. Gunakan pemisalan 𝒚 = 𝒂𝒇 𝒙 , sehingga persamaan eksponen berubah bentuk menjadi persamaan kuadrat

dalam variabel y , yaitu

𝑨𝒚𝟐 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎

𝐏𝐄𝐑𝐇𝐀𝐓𝐈𝐊𝐀𝐍 𝐓𝐔𝐋𝐈𝐒𝐀𝐍 𝐁𝐄𝐑𝐖𝐀𝐑𝐍𝐀𝐌𝐄𝐑𝐀𝐇

2. Faktorkan 𝑨𝒚𝟐 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎, untuk menentukan nilai y

3. Substitusikan nilai y yang diperoleh ke 𝒚 = 𝒂𝒇 𝒙 , sehingga diperoleh nilai x yang memenuhi

Contoh

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan

22𝑥+1 + 2𝑥 − 3 = 0

Penyelesaian: 22𝑥+1 + 2𝑥 − 3 = 0

22𝑥+1 + 2𝑥 − 3 = 0 (Ingat ! 𝑎𝑏+𝑐 = 𝑎𝑏 . 𝑎𝑐

↔ 22𝑥 2 + 2𝑥 − 3 = 0 (Sifat komutatif / pertukaran : 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎)

↔ 2. 22𝑥 + 2𝑥 − 3 = 0 (Ingat ! 𝑎𝑏𝑐 = 𝑎𝑏𝑐

↔ 2. 2𝑥 2 + 2𝑥 − 3 = 0 (Gunakan pemisalan)

Misalkan 𝑦 = 2𝑥, maka diperoleh

2𝑦2 + 𝑦 − 3 = 0

2𝑦 + 3 𝑦 − 1 = 0

𝑦 = −3

2atau 𝑦 = 1

Substitusikan nilai y yang diperoleh ke 𝑦 = 2𝑥

𝑦 = −3

2→ 𝑦 = 2𝑥

−3

2= 2𝑥

Tidak ada nilai x yang memenuhi

2𝑥 = −3

2

Jadi, HP = {0}

𝑦 = 1 → 𝑦 = 2𝑥

1 = 2𝑥

Nilai x yang memenuhi 2𝑥 = 1 adalah x = 0

SIFAT-SIFAT DASAR PERTIDAKSAMAAN EKSPONENSIAL

Diketahui eksponen 𝑎𝑓(𝑥), dengan 𝑎 > 0 dan 𝑎 ≠ 1

Jika 𝑎 > 1, maka “Tanda Pertidaksamaan Tetap”

𝑎𝑓 𝑥 ≥ 𝑎𝑔 𝑥 ⇒ 𝑓 𝑥 ≥ 𝑔 𝑥𝑎𝑓 𝑥 ≤ 𝑎𝑔 𝑥 ⇒ 𝑓 𝑥 ≤ 𝑔(𝑥)

Jika 0 < 𝑎 < 1, maka “Tanda Pertidaksamaan Dibalik”

𝑎𝑓 𝑥 ≥ 𝑎𝑔 𝑥 ⇒ 𝑓 𝑥 ≤ 𝑔 𝑥𝑎𝑓 𝑥 ≤ 𝑎𝑔 𝑥 ⇒ 𝑓 𝑥 ≥ 𝑔(𝑥)

Contoh Soal :

Tentukan HP dari setiap pertidaksamaan berikut :

1. 3x < 1

2. 1

3x−4≥

1

3 3

3. 32𝑥+1 − 4 . 3𝑥+2 + 34

PENYELESAIAN SOAL NOMOR 1

3x < 1↔ 3𝑋 < 30

Karena basisnya 3 dan 3 > 0, maka tanda pertidaksamaan tetap, sehingga diperoleh

𝑥 < 0

Jadi, HP = {𝑥|𝑥 < 0, 𝑥 ∈ 𝑅)

PENYELESAIAN SOAL NOMOR 21

3x−4≥

1

3 3

↔1

3x−4≥

1

3 312

↔1

3x−4≥

1

31+12

↔1

3x−4≥

1

3112

↔1

3

𝑥−4≥

1

3

1

2

Karena basisnya 1

3dan 0 <

1

3< 1, maka

“Tanda Pertidaksamaan Dibalik”, Sehingga diperoleh

𝑥 − 4 ≤ 11

2

𝑥 ≤ 11

2+ 4

𝑥 ≤ 51

2

Jadi, HP = {𝑥|𝑥 < 51

2, 𝑥 ∈ 𝑅}

PENYELESAIAN SOAL NOMOR 3