LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN

Sebelum memasuki materi, perhatikan himpunan-himpunan berikut:

a) Himpunan bilangan asli: 1,2,3,4,5,... .

b) Himpunan bilangan bulat: ..., 2, 1,0,1,2,... .

c) Himpunan bilangan rasional: | , , 0p

p q qq

.

Gabungan himpunan bilangan rasional dan irrasional disebut himpunan bilangan real, dinotasikan

. Dari sini akan kita peroleh bahwa:

.

Dalam bab ini semua elemen yang kita bicarakan adalah elemen himpunan semua bilangan real.

A. Notasi interval:

Misalkan diberikan ,a b , maka:

1. , |a b x a x b

2. , |a b x a x b

3. [ , ) |a b x a x b

4. ( , ] |a b x a x b

5. ( , ) |a x a x

6. [ , ) |a x a x

7. , |b x x b

8. ( , ] |b x x b

RANGKUMAN MATERI

B. Persekitaran dan titik limit

Definisi:

Jika p (himpunan semua bilangan real) dan bilangan 0 , himpunan

( ) ,N p p p

x p x p

x x p

x x p

Disebut persekitaran (neighborhood) titik p. Dalam hal ini disebut jari-jari (radius)

persekitaran tersebut.

Contoh:

1. 2

1,5

p . Persekitaran 1 dengan radius 2

5 adalah

2

5

2 2 5 2 5 2(1) 1 , 1 ,

5 5 5 5 5 5

3 7 3 7,

5 5 5 5

N

x x

.

2. 1

2,2

p . Persekitaran 2 dengan radius 1

2 adalah

1

2

1 1 2 1 2 1(2) 2 , 2 ,

2 2 2 2 2 2

1 3 1 3,

2 2 2 2

N

x x

.

3. 3, 1p . Persekitaran 3 dengan radius 1 adalah

1(3) 3 1, 3 1 2, 4 2 4N x x

4. 5, 4p . Persekitaran 5 dengan radius 4 adalah

4(5) 5 4, 5 4 1, 9 1 9N x x

5. ,2 2

a b b ap

. Persekitaran

2

a b dengan radius

2

b a adalah

2

( )2

,2 2 2 2

,

b a

a bN p N

a b b a a b b a

a b

x a x b

Definisi:

Diketahui ,A p . Titik p disebut titik limit A, jika 0 berlaku

( )N p A p atau ( )N p p A .

Dengan kata lain:

Titik p disebut titik limit A, jika setiap persekitaran titik p memuat x A dengan x p .

Catatan: Titik limit suatu himpunan belum tentu anggota himpunan tersebut.

Contoh :

1. Diberikan 2, 3 7,8A . Perhatikan bahwa:

a) Setiap titik 2, 3 | 2 3 ..., 1,...,0,...,1,...,2,...,3p x x merupakan titik

limit himpunan A, sebab untuk setiap 0 berlaku ( )N p A p .

b) Terlihat bahwa -2 titik limit himpunan A meskipun 2 A .

Dari a) dan b) dapat disimpulkan bahwa setiap titik pada interval tertutup [-2,3] adalah titik

limit himpunan A.

c) Titik 7 dan 8 masing-masing bukan titik limit himpunan A meskipun 7, 8 A karena ada

0 , misal 1

5 sehingga

1

5

1 1(7) 7 7 ,7 7

5 5

4 16 ,7 7

5 5

1 1...,7,7 ,7 ,... 7

7 6

7 7

N A A

A

A

dan

1

5

1 1(8) 8 8 ,8 8

5 5

4 17 ,8 8

5 5

1 1...,8,8 ,8 ,... 8

7 6

8 8

N A A

A

A

.

2. Diberikan 1 1 1 1 1 1 1 1

| , , , ,.... 1, , , ,....1 2 3 4 2 3 4

B nn

. Perhatikan bahwa:

a) Setiap x B bukan merupakan titik limit himpunan B karena jika diambil suatu persekitaran

1 1 11

2 2 4 dari titik 1p maka

1

4

1 11 1 1 ,1 1

4 4

3 5, 1

4 4

4..., ,... 1

4

...,1,... 1

1 1

N B B

B

B

B

.

b) Bilangan 0 merupakan satu-satunya titik limit himpunan B meskipun 0 B . Jelas bahwa

1inf 0n N

n

dan untuk setiap bilangan 0 berlaku (0) 0N B .

Latihan: Semesta pembicaraan untuk soal-soal berikut adalah himpunan semua bilangan real .

1. Tentukan persekitaran dari titik 9 dengan

a) Jari-jari 1

b) Jari-jari 3

c) Jari-jari 5

d) Jari-jari 7

e) Jari-jari 9

2. Tentukan persekitaran dari titik -3 dengan

a) Jari-jari 2

b) Jari-jari 4

c) Jari-jari 6

d) Jari-jari 8

e) Jari-jari 10

3. Tentukan titik limit dari himpunan:

a) A = (1,7]

b) B = (2,5)

c) C = [0,1)

d) D = [0,1) {2}

e) Himpunan semua bilangan rasional | , , 0p

p q qq

f) Himpunan semua bilangan asli 1,2,3,4,5,...

C. Limit Fungsi

Definisi

Diketahui dan dua fungsi : ff D dan : gg D dengan f gD D .

Fungsi , , ,f f g fg dan f

g berturut-turut didefinisikan sebagai berikut :

(i). .f x f x untuk setiap fx D .

(ii). f g x f x g x untuk setiap f gx D D .

(iii). .fg x f x g x untuk setiap f gx D D .

(iv).

f xfx

g g x untuk setiap : 0f g gx D D x D g x .

Definisi

Diketahui fungsi : ff D dan c titik limit fD . Bilangan L disebut limit fungsi f di

c ditulis lim ( )x c

f x L

, jika untuk setiap 0 terdapat 0 sedemikian sehingga jika fx D

dan 0 x c maka f x L .

Dengan kata lain :

Jika fx D N c dan x c berakibat f x N L dikatakan f x berlimit L untuk

x c dan ditulis lim ( )x c

f x L

.

Ilustrasi:

Sumber gambar: wikipedia

Catatan :

Limit fungsi f di c dapat didefinisikan hanya untuk c yang merupakan titik limit fD .

Perhatikan :

(i). fx D N c dan x c , ,fx D c x c x c .

(ii). ( )f x N L f x L .

Sehingga diperoleh Teorema berikut

Teorema

Diberikan fungsi : ff A D dengan c titik limit fD .

lim ( )x c

f x L

0, 0 fx D dan 0 x c

berakibat f x L .

Definisi

Diketahui fungsi : ff D dan a titik limit fD .

(i) Jika ada bilangan real k sehingga untuk setiap bilangan 0 terdapat bilangan 0

sehingga berlaku f x k untuk setiap , fx a a D maka dikatakan f x

mempunyai limit kanan k untuk x a dan dituliskan dengan lim ( )x a

f x k

.

(ii) Jika ada bilangan real l sehingga untuk setiap bilangan 0 terdapat bilangan 0

sehingga berlaku f x l untuk setiap , fx a a D maka dikatakan f x

mempunyai limit kiri k untuk x a dan dituliskan dengan lim ( )x a

f x l

.

Teorema

Diberikan fungsi : ff D dengan a titik limit fD .

lim ( )x a

f x l

(ada) lim ( ) lim ( )x a x a

f x f x l

.

Contoh:

1. Tunjukkan bahwa 2

lim 3 4 10x

x

!

Penyelesaian:

Misalkan diberikan sebarang 0 . Kita akan menentukan 0 sedemikian sehingga jika

0 2x maka berlaku 3 4 10x .

Perhatikan bahwa:

3 4 10 3 6 3 2 3 2x x x x

akan berlaku jika 23

x

, sehingga kita pilih 03

.

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa untuk setiap 0 terdapat 03

sedemikian

hingga jika 0 2x maka berlaku 3 4 10x , atau terbukti bahwa

2

lim 3 4 10x

x

.

2. Tunjukkan bahwa 1

1lim 1x x

!

Penyelesaian:

Misalkan diberikan sebarang 0 . Kita akan menentukan 0 sedemikian sehingga jika

0 1x maka berlaku 1

1x

.

Perhatikan bahwa:

1 1 1 1 1 11 1

1

x xx

x x x x x

Apa yang akan kita lakukan pada x? Jika kita putuskan 1

12

x maka berlaku 1 3

2 2x

sehingga 1

2x . Oleh karena itu

1 11 1 2 1x x

x x

sehingga kita pilih 1

min , 03 2

.

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa untuk setiap 0 terdapat 0 sedemikian

hingga jika 0 1x maka berlaku 1

1x

, atau terbukti bahwa 1

1lim 1x x

.

Latihan:

1. Buktikan bahwa 1

lim 1x

x

!

2. Buktikan bahwa 1

lim2 2x

x

!

3. Buktikan bahwa 2

lim 1 3x

x

!

4. Buktikan bahwa 3

lim 1 2x

x

!

5. Buktikan bahwa 1

lim 3 4 1x

x

!

6. Buktikan bahwa 2

2lim 1x x

!

7. Buktikan bahwa 3

6lim 2x x

!

8. Buktikan bahwa 2

1 1lim

2 4x x !

9. Buktikan bahwa 2

2 1lim

3 3x x !

10. Buktikan bahwa 2

1lim 1x

x

!

Contoh:

D. Teorema Yang Ada Pada Limit

Berikut adalah aturan-aturan yang ada pada limit suatu fungsi:

Jika f(x) = k, maka x alim

f(x) = k,

dengan k konstanta, k dan a real

Jika f(x) = x, maka x alim

f(x) =a

x alim

{f(x) g(x)} = x alim

f(x) x alim

g(x)

x alim

k.f(x) = k.x alim

f(x), k konstanta

x alim

{f(x).g(x)} = x alim

f(x) . x alim

g(x)

x alim

x a

x a

lim f(x)f(x), lim g(x) 0

g(x) lim g(x)

x alim

{f(x)}n =

n

x alim f(x)

E. Limit Aljabar

Di sini kita akan membahas bentuk-bentuk tak tentu

0, ,

0 dari nilai suatu limit, yang

nantinya akan diubah fungsinya atau menggunakan bantuan L’Hospital sedemikian rupa sehingga

memiliki nilai dan limit fungsinya ada.

1. Bentuk 0

0

Dengan aturan L’Hospital diperoleh:

x a x a

F(x) F '(x) F '(a)lim lim

G(x) G'(x) G'(a)

1. 2

x 1

x 1lim ...

x 1

Jawab:

Karena jika disubstitusi menghasilkan bentuk 0

0 maka digunakan aturan L’Hospital sehingga

diperoleh:

2

2

x 1 x 1 x 1

1x 1 turunannya 2x; x 1 turunannya

2 x

Selanjutnya diperoleh:

x 1 2xlim lim lim4x x 4

1x 1

2 x

Cara lain:

2 2 2

x 1 x 1 x 1 x 1

x 1 x 1 x 1x 1 x 1x 1 x 1lim lim lim lim 1 1 1 1 4

x 1 x 1 x 1 x 1

2.

x 3

x 4 2x 1lim ...

x 3 Jawab:

Karena x 3

x 4 2x 1 0lim

x 3 0

, maka digunakan dalil L’Hospital, sehingga didapat:

1 2

2 x 4 2 2x 1

x 3

1 2 1lim 7

1 142 7 2 7

3. 2

2x 4

48 3xlim

5 x 9

...

Jawab:

2 2 2 22 2

2 22 2x 4 x 4 x 42 2

2 2 2

2x 4 x 4

2

48 3x 5 x 9 48 3x 5 x 948 3x 5 x 9lim lim lim

25 x 95 x 9 5 x 9 5 x 9

48 3x 5 x 9 3 5 x 9lim lim

16 x 1

3 5 4 9 3 5 25 3 5 530

1 1 1

4. x 3

2x 2 2lim

3x 3

...

Jawab:

Karena x 3

2x 2 2 0lim

03x 3

, maka digunakan dalil L’Hospital:

x 3

2 1

2 2x 2 2lim 13 3

62 3x

5. Nilai 3

2x 2

x 8lim

x 2x

adalah ...

Jawab:

Karena 3

2x 2

x 8 0lim

x 2x 0

, maka digunakan dalil L’Hospital:

2

x 2

3x 3 4lim 6

2x 2 4 2

6. x 4

t 2lim

t 4

...

Jawab:

x 4 x 4 x 4

t 2 t 2 1 1lim lim lim

t 4 4( t 2)( t 2) ( t 2)

7. a b

a a b blim

a b

...

Jawab:

2

a b a b a b

a a b b ( a b)(a a b b)lim lim lim(a a b b) 2b b 3b

a b ( a b)

8. 2

2x 1

x 3 x 1lim

1 x

...

Jawab:

Karena 2

2x 1

x 3 x 1 0lim

1 x 0

, maka digunakan dalil L’Hospital:

2

x 1

2x 11 112 x 3 2lim

2x 2 4

9. x 0

f(a x) f(a)lim

x

...

Jawab:

Karena x 0 x 0

f(a x) f(a) f(a 0) f(a) 0lim lim

x 0 0

, maka digunakan dalil L’Hospital

x 0

f '(a x) ( 1)lim f '(a 0)( 1) f '(a)

1

10. 2n

x 1

x xlim

1 x

...

Jawab:

Karena 2n

x 1

x x 0lim

1 x 0

, maka digunakan dalil L’Hospital:

2n 1

x 1

2nx 1 2n 1lim 1 2n

1 1

2. Bentuk tak tentu

n n 1

m m 1x

ax bx ... clim L

px qx ... r

Maka:

Untuk n = m a

Lp

Contoh:

Contoh:

Untuk n > m L

Untuk n < m L 0

1. 3 2

3x

2x x 5lim ...

x 5x 6

Jawab:

3 2

3x

2x x 5 2lim 2

x 5x 6 1

2 x

xlim

1 x 1 x

...

Jawab:

x

xlim

1 x 1 x digunakan dalil L’Hospital, sehingga:

x x

1 1lim lim

1 1 1 1

2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x

1

1 1

2 2

1

3. Bentuk tak tentu

Rumus cepat:

2 2

x

b plim ax bx c ax px q

2 a

1.

2 2

xlim 4x 3x 2 4x 2x 4 ...

Jawab:

Cara Cepat:

2 2

xlim 4x 3x 2 4x 2x 4

3 2

2 4

5

4

Cara Biasa:

2 2

2 22 2

x x

2 2

2 22 2

2 2x

2 2

2 2x

2x

4x 3x 2 4x 2x 4

lim 4x 3x 2 4x 2x 4 lim 4x 3x 2 4x 2x 4

4x 3x 2 4x 2x 4

4x 3x 2 4x 2x 4lim

4x 3x 2 4x 2x 4

4x 3x 2 4x 2x 4lim

4x 3x 2 4x 2x 4

5x 6lim

4x 3x 2 4x

2

2 2x

2 2 2 2 2 2

x

2 2

2x 4

5x 6

x xlim4x 3x 2 4x 2x 4

4x 4x 4x 4x 4x 4x

65

xlim3 2 2 4

4 4x x x x

5 0

4 0 0 4 0 0

5

4 4

5

4

2. 2

xlim x(4x 5) 4x 3

...

Jawab:

Catatan:

2 2

x

b plim ax bx c ax px r

2 a

2 2 2

x x

5 0 5lim x(4x 5) 4x 3 lim 4x 5x 4x 0x 3

42 4

3. 2

xlim x x 2x

...

Jawab:

2 2 2

x x

0 ( 2)lim x x 2x lim x x 2x 1

2 1

4. 2 2

xlim 2x 5x 8 2x 2x 1

...

Jawab:

2 2

xlim 2x 5x 8 2x 2x 1

dengan menggunakan cara cepat diperoleh:

b q 5 2 3 3

242 a 2 2 2 2

Latihan: hitunglah!

1.

2

2

6lim ...

2x

x x

x

2. 4

6lim ...

8 2x

x

x

3.

2

22

3 2lim ...

4x

x x

x

4. 1

1lim ...

1x

x

x

5.

3

42

8lim ...

16x

x

x

6. 3

3lim ...

12 3x

x

x

7.

2

6

2 72lim ...

6x

x

x

8.

2

4

16lim ...

2 8 4x

x

x

9.

2

2

4 4 8lim ...

2x

x x

x

10.

2

24

3 4lim ...

16x

x x

x

11. 0

4lim ...

4 4x

x

x x

12.

3

2

8lim ...

3 6x

x

x

13.

2

0

4lim ...

1 1x

x

x x x x

14.

3 2

3 20

7 6lim ...

4 3x

x x x

x x x

15.

2

27

2 35lim ...

49x

x x

x

16. 6

6lim ...

3 2 2 4x

x

x x

17. 22

2 1lim ...

4 2x

x

x x

18. 2 22 2

1 1 2lim ...

2 2 3x x x x x x

19.

2

20lim ...

1 1x

x

x

20.

2

3

2 2 12lim ...

1 5 1x

x x

x

Contoh:

F. Limit Trigonometri

Beberapa rumus bantu:

1. sin2x + cos

2x = 1

2. sin 2x = 2 sin x cos x

3. cos 2x = cos2x - sin

2x

4. 1 - cos 2x = 2 sin2x

5. 1 + cos2x = 2cos2x

1.

x 0

sin2xlim ...

3x

Jawab:

x 0 x 0 x 0 x 0 x 0

sin2x sin2x 2 sin2x 2 sin2x 2 2 2lim lim . lim . lim .lim 1.

3x 3x 2 2x 3 2x 3 3 3

2. 2x 0

1 cos2xlim ...

3x

Jawab:

2

2 2x 0 x 0 x 0 x 0 x 0

1 cos2x 2sin x 2sinx sinx 2 sinx sinx 2 2lim lim lim lim .lim .1.1

3x 3x 3x.x 3 x x 3 3

3. 2

x4

1 sin2xlim

cos 2x

...

Jawab:

2 2x x x x 2

4 4 4 4

1 sin2x 1 sin2x (1 sin2x) 1 1 1 1lim lim lim lim

cos 2x 1 sin 2x (1 sin2x)(1 sin2x) (1 sin2x) 1 sin 1 1 2

4. x 1

1 1sin 1 cos 1

x xlim

(x 1)

...

Jawab:

x 0 x 0

x 0 x 0

sinx xlim 1 lim 1

x sinx

tgx xlim 1 lim 1

x tg x

x 0

sin mx mlim

nx n ;

x a

sin m(x-a) mlim

n(x-a) n

x 1 x 1

x 1 x 1 x 1

1 1 11 12sin 1 cos 1sin 1 cos 1

2 x xx xlim lim

(x 1) (x 1)

1 1 1 x 1sin2 1 sin2

2 x 2 x 1 1lim lim lim 2 1

(x 1) (x 1) 2 x

5. 2

2x 0

x(cos 6x 1)lim

sin3x tan 2x

...

Jawab:

2 2 2

2 2 2x 0 x 0

x(cos 6x 1) x( sin 6x) 1 ( 1) (6) 36lim lim 3

sin3x tan 2x sin3x tan 2x 3 (2) 12

6. x 0

cotxlim

cot2x ...

Jawab:

1

tanx

1x 0 x 0 x 0tan2x

cotx tan2x 2lim lim lim 2

cot2x tanx 1

7.

2x 1

(x 1)(x 3)sin(x 1)lim

(x 1)(x 2)

...

Jawab:

2 2x 1 x 1

(x 1)(x 3)sin(x 1) x 3 sin(x 1) 2 2lim lim 1

(x 2) (x 1) 9 9(x 1)(x 2)

8. Nilai 2x 0

tan2x tan3xlim

5x

adalah ...

Jawab:

2x 0 x 0 x 0

tan2x tan3x tan2x tan3xlim lim lim

5x x 5x

2 3

1 5

6

5

9. 2

x 0

x sinx tanxlim

1 cos2x

...

Jawab:

Dengan L’Hospital:

x 0

4x 4lim

2sin2x 2 2

1

Cara lain:

2 2 2 2

2 2 22x 0 x 0 x 0 x 0

x sinx tanx x sinx tanx x sinx tanx x sinx tanx 1 1lim lim lim lim 1

1 cos2x 2sin x 2sin x 2sin x 2 21 1 2sin x

10. Nilai dari x 0

1 cos xlim

x sin 2x

adalah ...

Jawab:

2 1 1 12 2 2

x 0 x 0 x 0

1 cos x 2sin x sin x sin x 1 1 1lim lim lim 2 2

x sin 2x x sin 2x x sin2x 2 4 4

Latihan: Hitunglah!

1. 0

sin 5lim ...

tan 3x

x

x

2. 0

sin 7lim ...

2x

x

x

3. 0

sin 5lim ...x

x

x

4. 0

3lim ...

2sin 2x

x

x

5. 0

lim ...sin 4x

x

x

6.

2

sin2

lim ...

2

x

x

x

7.

2

3sin2

lim ...

tan2

x

x

x

8. 0

3sin5 3sin3lim ...

3x

x x

x

9. 0

sin10 sin 4lim ...x

x x

x

10. 20

cos10 cos 2lim ...

5x

x x

x

11. 20

cos cos3lim ...

2x

x x

x

12.

2

1 cos 2lim ...

4 2 sin2

x

x

x x

13.

2

2 2coslim ...

2 2 sinx

x

x x

14.

8

cos 4lim ...

cos 2 sin 2x

x

x x

15.

16

3cos8lim ...

cos 4 sin 4x

x

x x

16. 0

1 cos 2lim ...

1tan

2

x

x

x x

17. 30

sin3 sin3 cos 2lim ...

3x

x x x

x

18. 2

20

1 cos 2lim ...

3 12 12x

x

x x

19.

2

cos3 coslim ...

sin 2 cos 2x

x x

x x

20. 0

sin 2lim ...

3 2 9x

x

x

G. Kontinuitas

Perhatikan gambar fungsi pada himpunan bilangan real berikut!

Fungsi 2 4

2

xf x

x

seperti pada gambar grafik di atas, untuk x = 2 akan diperoleh bahwa

0

20

f (bentuk tak tentu) sehingga grafiknya terputus di x = 2. Dalam hal ini dikatakan bahwa

fungsi f(x) diskontinu di x = 2. Sedangkan untuk interval | 2x x dan | 2x x

grafiknya berkesinambungan, dan dalam hal ini dikatakan bahwa fungsi f(x) kontinu di 2x .

Selanjutnya, secara formal suatu fungsi dikatakan kontinu di titik x = c, jika dipenuhi:

a) limx c

f x

ada

b) Nilai f c ada

c) limx c

f x f c

Jika pada suatu fungsi f(x) diskontinu di titik x = c dan dapat dibuat sedemikian hingga

limx c

f x f c

, maka dikatakan bahwa diskontinuitas di titik x = c ini dapat dihapuskan.

Contoh:

Tentukan dikontinuitas fungsi bilangan real berikut:

a) 3

2

8

4

xf x

x

b) 3

2

1

1

xf x

x

Penyelesaian:

a) Fungsi rasional 3

2

8

4

xf x

x

akan diskontinu jika penyebutnya adalah nol. Perhatikan

bahwa

2 4 0 2 2 0 2 2x x x x x

sehingga f(x) akan diskontinu di titik x = -2 atau x = 2. Selanjutnya, perhatikan bahwa:

23

22 2

2

2

2 2 48lim lim

4 2 2

2 4lim

2

12

4

3

x x

x

x x xx

x x x

x x

x

yang artinya bahwa diskontinuitas di titik x = 2 dapat dihapuskan dengan menetapkan

definisi f(2) = 3. Di lain pihak, untuk x = -2 dapat diperoleh bahwa:

23

22 2

2

2

2 2 48lim lim

4 2 2

2 4lim

2

4

0

x x

x

x x xx

x x x

x x

x

sedangkan

3

2

2 8 162

02 4f

tidak terdefinisi, sehingga diskontinuitas di titik x = -

2 tidak dapat dihapuskan.

b) Analog dengan a) di atas, fungsi rasional 3

2

1

1

xf x

x

akan diskontinu jika penyebutnya

adalah nol. Perhatikan bahwa

2 1 0 1 1 0 1 1x x x x x

sehingga f(x) akan diskontinu di titik x = -1 atau x = 1. Selanjutnya, perhatikan bahwa:

23

22 2

2

2

1 11lim lim

1 1 1

1lim

1

3

2

x x

x

x x xx

x x x

x x

x

yang artinya bahwa diskontinuitas di titik x = 1 dapat dihapuskan dengan menetapkan

definisi 3

12

f . Di lain pihak, untuk x = -1 dapat diperoleh bahwa:

23

21 1

2

1

1 11lim lim

1 1 1

1lim

1

1

0

x x

x

x x xx

x x x

x x

x

sedangkan

3

2

1 1 21

01 1f

tidak terdefinisi, sehingga diskontinuitas di titik x = -1

tidak dapat dihapuskan.

Latihan:

Selidikilah sifat kontinuitas fungsi-fungsi berikut ini:

1. f(x) = x2 + x di titik x = -1

2. f(x) = 4x2 - 2x +12 di titik x = 2

3. 1

xf x

x

di titik x = -1

4. 2

2xf x

x

di titik x = 2

5. 6 9

3

xf x

x

di titik x = 3

6. 3 3, 2

2, 2

x x

xf x

di titik x = 2

7. Di mana saja titik 2

5 4

3 10

xf x

x x

diskontinu dan selidiki macam diskontinuitasnya!

8. Di mana saja titik 3

2

27

9

xf x

x

diskontinu dan selidiki macam diskontinuitasnya!

9. Tentukan di titik mana saja diskontinuitas fungsi berikut dapat dihapuskan atau tidak dapat

dihapuskan beserta alasannya!

a) 3

2

64

16

xf x

x

b) 3

2

1

3 2

xf x

x x

c) 3

2

8

2

xf x

x x

d) 3

2

27

2 3

xf x

x x

e) 3

2

125

4 5

xf x

x x

10. Dengan grafik, di titik mana saja (jika ada) fungsi berikut diskontinu:

x untuk x < 0

f(x) = x2 untuk 0 1x

2 – x untuk x > 1

11. Tentukan nilai a dan b agar fungsi

x2 – x + 3 untuk x < 0

f(x) = a untuk 0 1x

bx + 1 untuk x > 1

1. 2

x a

x (3 a)x 3alim

x a

...

Jawab:

Akan dicari nilai 2

x a

x (3 a)x 3alim

x a

Turunkan pembilang dan penyebutnya, maka didapat hasil:

x a

2x 3 alim 2a 3 a a 3

1

2. Jika 2

1f(x)

2x , maka

t 0

f(x t) f(x)lim

t

adalah ...

Jawab:

Diketahui 2

1f(x)

2x , akan dicari nilai

t 0

f(x t) f(x)lim

t

, maka:

3

3t 0

f(x t) f(x) 1lim f '(x) x

t x

3. 2 2

x 2

2x 8 x 2xlim

x 2 2x 4

...

Jawab:

2 2

x 2 x 2 x 2

2x 8 x 2x 2(x 2)(x 2) x(x 2) xlim lim lim 2(x 2) 8 1 9

x 2 2x 4 x 2 2(x 2) 2

4. 2

x 0

x sinx tanxlim

1 cos2x

...

Jawab:

Karena merupakan bentuk 0

0, maka dengan L’Hospital dapat kita peroleh:

x 0

4x 4lim

2sin2x 2 2

1

Cara lain:

2 2 2 2

2 2 22x 0 x 0 x 0 x 0

x sinx tanx x sinx tanx x sinx tanx x sinx tanx 1 1lim lim lim lim 1

1 cos2x 2sin x 2sin x 2sin x 2 21 1 2sin x

5.

x 3

x 3lim ...

x 3

SOAL DAN PEMBAHASAN TAMBAHAN

Jawab:

x 3 x 0

x 3x 3 1 3lim lim

x 3 62 3x 3 x 3

6. Nilai 1

x2

2x 1lim

2 4x 6

...

Jawab:

1 1x x

2 2

2x 1 2 2 2lim lim 2

2 2 12 4x 6 04x 6 1

4 62

7. Nilai 2x 0

1 cosxlim

5x

...

Jawab:

Digunakan dalil L’Hospital:

2x 0 x 0

1 cosx sinx 1lim lim

5x 10x 10

8. xlim (2x 1)(x 2) x 2 1

...

Jawab:

2 2

x xlim (2x 1)(x 2) x 2 1 lim 2x 3x 2 2x 2 2x 1

Dengan menggunakan cara cepat diperoleh:

2b q 3 2 2 3 2 4 32 1

4 42 a 2 2 2

9. x 0

sinaxlim

sinbx ...

Jawab:

x 0

sinax alim

sinbx b

10. x ~lim x a x b x

= ...

Jawab:

2 2

x xlim x a x b x lim x (a b)x ab x

Dengan menggunakan cara cepat diperoleh:

b p (a b) 0 a b

22 a 2 1

1. Jika 2

1 xf(x)

2 x 3

maka

x 1limf(x)

…

2.

2

x 1

2x 3 x 1 x 1lim

x 1

…

3. x

xlim

x x x

sama dengan ...

4. 2x

xx 1

3 9lim

2 3 6

…

5. x 0

sin2x tg3xlim

1 cos2x cos4x

sama dengan ...

6. x 0

1 cos3xlim ...

1 cos4x

7. 2 2

2x 0

7x sin2xlim ...

tg 2x sinx tg5x

8. 2

x

2x 1lim

5x 3

…

9. Agar x 1

p(x 1) q 3 3lim

x 1 2

maka nilai

p + 2q = …

10. x 0

xtg5xlim

cos2x cos7x

…

11. 2

xlim 4x 4x 5 (2x 3)

…

12. Nilai

x 0

1 cos2xlim

1xtg x

2

…

13. Nilai 2

x 3

x x 6lim

4 5x 1

…

14. x 1

x 2x 1lim ...

x 1

15. Nilai dari

2 2

xlim 2x 3x 1 2x 2x 5 ...

16. Nilai dari x 0

xtgxlim ...

1 cos2x

17.

4

2t 2

4t 4t 72lim

t 2 t 3t 2

18. x 0

sin8x sin6xlim ...

4xcos8x

19. x 0

1lim ctg2x cos4x cos2x ...

x

20. 2 2

2 2x

ax 3x 1 9x 3x 1lim 1

4x 2x 2 4ax 2x 2

,

maka nilai a sama dengan

21. x k

2x 2klim

sin2(x k) 4k 4x

…

22. 2

2x 0

sin3x tg 5xlim

5x tg3x

…

23. 2x 1

5x 1 4xlim

x 1

…

24.

3

2x 2

t 8lim

t t 6

= ...

25. 2 2

x 2

2x 8 x 2xlim

x 2 2x 4

= ...

26. Nilai 2x 2

x 2lim

x x 6

= ...

27. x 0

x xlim

x x

= ...

28. 2x 0

tan xlim

x 2x = ...

29. 2

2x 3

3x 5x 12lim

x 9

= ...

30.

x ~

4 5x 2 xlim

2 x 1 x

= ...

SOAL LATIHAN TAMBAHAN