Limit Dan Kekontinuan
-
Upload
noviyanti-amni -
Category
Documents
-
view
696 -
download
5
Transcript of Limit Dan Kekontinuan
LIMIT DAN KEKONTINUAN
Pengertian limit secara intuisiPerhatikan fungsi
Fungsi diatas tidak terdefinisi di x=1, karena di titik tersebut f(x) berbentuk 0/0. Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai f(x) jika x mendekati 1.
Dengan bantuan kalkulator dapat diperoleh nilai f(x) bila x mendekati 1, seperti pada tabel berikut.
PENDAHULUAN LIMIT
Secara grafi k
Defi nisi (limit secara intuisi). Untuk mengatakan bahwa berarti bahwa bilamana x dekat, tetapi berlainan dengan c, maka f(x) dekat ke L
PENDAHULUAN LIMIT
Dari tabel dan grafi k disamping terlihat bahwa f(x) mendekati 2 jika x mendekati 1.
Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut.
Dibaca “ limit dari untuk x mendekati 1 adalah 2.
Contoh:
1. Carilah Penyelesaian:Bilamana x dekat 1; maka 3x+5 dekat terhadap 3.1+5=8Kita tuliskan
2. Carilah 3. Carilah
PENDAHULUAN LIMIT
Limit Kiri dan Limit Kanan
x c
c x
Hubungan antara limit dengan limit sepihak (kiri/kanan)
Jika maka tidak ada
PENDAHULUAN LIMIT
J ika x menuju c dari arah kir i (dari arah bi langan yang lebih keci l dari c), l imit disebut l imit k ir i ,
Notasi
J ika x menuju c dari arah kanan (dari arah bi langan yang lebih besar dari c), l imit disebut l imit kanan,
Notasi
Pengertian persis tentang Limit
ContohBuktikan bahwa
Analisis pendahuluanAndaikan ε bilangan positif sebarang. Kita harus menghasilkan suatu δ>0 sedemikian sehingga;
PENDAHULUAN LIMIT
Mengatakan bahwa berarti bahwa untuk setiap ε > 0 yang diberikan (betapapun kecilnya), terdapat δ > 0 yang berpadanan sedemikian asalkan bahwa ; yakni,
A
Pandang ketaksamaan di sebelah kanan
Ini menunjukkan bahwa akan memenuhi.Bukti FormalAndaikan diberikan ε>0. Pilih . Maka membawakan
PENDAHULUAN LIMIT
Misal:Dengan ε=0,01 dalam contoh ini maka δ=0,01/3 = 0,0033.Jika ε=0,000003 maka δ=0,000001. Jika diberikan δ yang lebih kecil lagi, akan lebih baik.
Untuk memaksa agar dekat ke 5, akan lebih baik membuat sedekat mungkin ke 4.
PENDAHULUAN LIMIT
Teorema Limit UtamaAndaikan n bilangan bulat positif, k konstanta, dan f dan g adalah fungsi-fungsi yang mempunyai imit di c, maka:
TEOREMA LIMIT
Contoh:Soal 1: Carilah Penyelesaian:
Soal 2: Carilah Penyelesaian:...?
Soal 3: Carilah Penyelesaian:...?
TEOREMA LIMIT
Teorema SubstitusiJika f suatu fungsi polinom atau fungsi rasional, maka;
Asalkan dalam kasus fungsi rasional nilai penyebut di c tidak nol.
Contoh:Cari
TEOREMA LIMIT
Teorema ApitMisal untuk x disekitar c, dan
serta Maka:
Contoh: Hitung Karena Dan Maka
TEOREMA LIMIT
Limit Fungsi Trigonometri
Contoh
LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
Soal LatihanHitung:
LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
Definisi diatas mensyaratkan tiga hal:1) ada2) ada (yakni, c berada dalam daerah asal f)
Jika salah satu dari ketiga fungsi ini tidak terpenuhi, maka f tak kontinu (diskontinu).
KEKONTINUAN FUNGSI
Definisi (Kekontinuan di satu titik)Dikatakan bahwa f kontinu di c jika beberapa selang terbuka di sekitar c terkandung dalam daerah asal f dan
KEKONTINUAN FUNGSI
KEKONTINUAN FUNGSI
Contoh :Periksa apakah fungsi berikutnkontinu di x=2, jika tidak sebutkan alasannya.
KEKONTINUAN FUNGSI
Jawab.
KEKONTINUAN FUNGSI
Kontinu Kiri dan Kontinu Kanan Fungsi f(x) disebut kontinu kiri di x=a, jika;
Fungsi f(x) disebut kontinu kanan di x=a, jika;
Fungsi f(x) kontinu di x=a jika kontinu kiri dan kontinu kanan di x=a
Contoh :Tentukan konstanta a agar fungsi:
Kontinu di x=2
KEKONTINUAN FUNGSI
Jawab.Agar f(x) kontinu di x=2, haruslah;f kontinu kiri di x=2
f kontinu kanan di x=2
KEKONTINUAN FUNGSI
Soal Latihan:
KEKONTINUAN FUNGSI
KEKONTINUAN PADA INTERVAL Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval terbuka (a,b)
bila f(x) kontinu pada setiap titik didalam interval tersebut. Sedangkan f(x) dikatakan kontinu pada interval tutup [a,b]
bila:1. f(x) kontinu pada (a,b)2. f(x) kontinu kanan di x=a3. f(x) kontinu kiri di x=b
Bila f(x) kontinu untuk setiap nilai x ∈ R maka dikatakan f(x) kontinu (dimana-mana).
KEKONTINUAN FUNGSI
Teorema Fungsi Polinom kontinu dimana-mana Fungsi Rasional kontinu pada Domainnya Misalkan f(x)=, maka
f(x) kontinu di setiap titik di R jika n ganjil. f(x) kontinu di setiap R positif jika n genap.
Contoh: tentukan selang kekontinuan Dari teorema diatas diperoleh f(x) kontinu untuk x-4>0 atau x>4.
Sehingga f(x) kontinu pada [4,∞)
KEKONTINUAN FUNGSI
Soal Latihan
KEKONTINUAN FUNGSI
Teorema Limit Fungsi Komposisi:
Teorema Kekontinuan Fungsi Komposisi:
KEKONTINUAN FUNGSI
Contoh:Tentukan dimana fungsi
Kontinu
Jawab.
KEKONTINUAN FUNGSI
SELESAI