Kalkulus IKalkulus I

Disusun oleh :Disusun oleh :Agi NugrohoAgi Nugroho 1007020500210070205002Martias EkaMartias Eka 1007020502310070205023Okta Latu ESPOkta Latu ESP 1007020502510070205025Yoga PRYoga PR 1007020502210070205022Navian FadliNavian Fadli 1007020502010070205020

Kekontinuan FungsiKekontinuan Fungsi

Dari grafik ketiga dibawah memperlihatkan definisi kekontinuan fungsi yang Dari grafik ketiga dibawah memperlihatkan definisi kekontinuan fungsi yang formal.formal.

xc

f

y

Lim f(x) tidak adaX à c

c

f

y

Lim f(x) ada, tetapiX à c

lim ( ) ( )x c

f x f c

xc

f

y

lim ( ) ( )x c

f x f c

Defenisi(kekontinuan di satu titik). Kita katakan bahwa f kontinu di c jika beberapa selang terbuka di sekitar c terkandung dalam daerah asal f dan

lim ( ) ( )x c

f x f c

Gambar 1

Contoh 1Contoh 1

Andaikan . Bagaimana seharusnya Andaikan . Bagaimana seharusnya ff didefinisikan di didefinisikan di xx = 2 kontinu di = 2 kontinu di titik itu ?titik itu ?

PenyelesaianPenyelesaian

x

y

1 2 3

2 4( ) , 2

2

xf x x

x

2

2 2

4 ( 2)( 2)lim lim

2 2x x

x x x

x x

2lim( 2) 4x

x

2 4, 2

24, 2( )x

xx

xf x

Karena itu, kita definisikan f(2) = 4. grafik dari fungsi yang dihasilkan diperlihatkan dalam gambar 2. kenyataanya, kita lihat bahwa f(x) = x + 2 untuk semua x.

Gambar 2

Teorema ATeorema AFungsi polinom kontinu disetiap bilangan riil Fungsi polinom kontinu disetiap bilangan riil cc. Fungsi rasional kontinu disetiap bilangan . Fungsi rasional kontinu disetiap bilangan riil riil cc dalam daerah asalnya, yaitu kecuali dimana penyebutnya dalam daerah asalnya, yaitu kecuali dimana penyebutnya

1

4

3

2

x

y

1 2 3-1-2

(lihat soal 23 dari Pasal 2.5). Karena itu,|x| itu juga kontinu di 0 ; |x| kontinu dimana-mana. Menurut Teorema Limit Utama (Teorema 2.6A)

lim limn n n

x c x cx x c

Asalkan c>0 bilamana n genap. Ini berarti bahwa kontinu disetiap titik dimana

pembicaraan tentang kekontinuan masuk akal. Khusunya, kontinu disetiap bilangan riil c>0 (Gambar 4).Kita ringkaskan.

( )n

f x x

( )f x x

Ingat kembali fungsi f(x) = |x|; grafiknya diperlihatkan dalam Gambar 3. Untuk x<0, f(x) = -x adalah polinom, untuk x>0, f(x) = x adalah polinom lain. Jadi menurut Teorema A, |x| kontinu disemua bilangan yang berlainan dengan 0. Tetapi

x

y

1 2 3

2

1

0lim 0 0x

x

( )f x x

Gambar 3

Gambar 4

Teorema BTeorema BFungsi nilai mutlak adalah kontinu disetiap bilangan riil c, jika n ganjil, fungsi akar ke n Fungsi nilai mutlak adalah kontinu disetiap bilangan riil c, jika n ganjil, fungsi akar ke n kontinu disetiap bilangan riil c ; jika n genap, fungsi ini kontinu di disetiap bilangan riil kontinu disetiap bilangan riil c ; jika n genap, fungsi ini kontinu di disetiap bilangan riil positif c.positif c.

KEKONTINUAN DALAM OPERASI FUNGSI Apakah oeperasi-operasi yang baku memelihara kekontinuannya?ya, sesuai dengan Teorema C. Didalamnya, f dan g adalah fungsi-fungsi, k adalah konstanta, dan n adalah bilangan bulat positif.

Teorema CJika f dan g kontinu di c, maka demikian juga kf,f + g,f – g,f.g,f / g (asalkan g(c) ≠ 0), ,dan (asalkan f (c)>0 jika n genap).

nf

nf

Bukti semua hasil ini merupakan akibat mudah dari fakta-fakta yang berpadanan untuk limit-limit dari Teorema 2.6 A. Misalnya, teorema tersebut dikombinasikan dengan kenyataan bahwa f dan g kontinu di c, memberikan

lim ( ) ( ) lim ( ).lim ( ) ( ) ( )x c x c x c

f x g x f x g x f c g c

Contoh 2Contoh 2

Pada bilangan-bilangan berapa saja kontinu ?

PenyelesaianKita tidak perlu memandang bilangn-bilangan tak positif, karena F tak terdefinisi di bilangan-bilangan demikian. Untuk setiap bilangan positif, fungsi-fungsi semuanya kontinu (Teorema A dan B). Menyusul dari Teorema C bahwasanya ,dan akhirnya

32( ) (3 ) /( )F x x x x x

323 ,3 ,x x x x x

3 2, , ,x x x x

2

3

(3 )

( )

x x

x x

adalah kontinu disetiap bilangan positif

Teorema DTeorema D

(Teorema limit komposit), Jika dan jika (Teorema limit komposit), Jika dan jika ff kontinu di kontinu di L, L, makamaka

Khususnya, jika Khususnya, jika g g kontinu di kontinu di cc dan f kontinu di dan f kontinu di gg ( (cc), maka fungsi komposit ), maka fungsi komposit f gf g kontinu kontinu cc

Contoh 3Contoh 3 Buktikan bahwa kontinu disetiap bilangan riil Buktikan bahwa kontinu disetiap bilangan riil

PenyelesaianPenyelesaian. Andaikan dan . Keduanya kontinu . Andaikan dan . Keduanya kontinu disetiap bilangan riil, dan demikian juga dengan komposisinyadisetiap bilangan riil, dan demikian juga dengan komposisinya

lim ( )x c

g x L

lim ( ( )) (lim ( )) ( )x c x c

f g x f g x f L

2( ) 3 6h x x x

( )f x x 2( ) 3 6g x x x

2( ) ( ( )) 3 6h x f g x x x

Contoh 4Contoh 4

Disini akan diperlihatkan nanti bahwa Disini akan diperlihatkan nanti bahwa ff((xx) = sin ) = sin xx kontinu disetiap bilangan riil. kontinu disetiap bilangan riil.

Simpulkan bahwaSimpulkan bahwa

Kontinu kecuali di 3 dan -2Kontinu kecuali di 3 dan -2

Penyelesaian Penyelesaian . Jadi, fungsi rasional . Jadi, fungsi rasional

Kontinu kecuali di 3 dan -2 (Teorema A). Dari Teorema D, kita simpulkan Kontinu kecuali di 3 dan -2 (Teorema A). Dari Teorema D, kita simpulkan bahwa karena bahwa karena hh((xx) = ) = ff((gg((xx)), maka )), maka hh juga kontinu kecuali di 3 dan -2. juga kontinu kecuali di 3 dan -2.

4

2

3 1( ) sin

6

x xh x

x x

2 6 ( 3)( 2)x x x x

4

2

3 1( ) sin

6

x xh x

x x

Teorema DTeorema D

(Teorema limit komposit). jika lim ( ) kontinu di , maka

lim ( ( )) lim ( ) ( )

Khususnya, jika kontinu di dan kontinu di ( ), maka fungsi

kompos

x c x c

g x L L

f g x f g x f L

g c f g c

it kontinu di c.f g

2

2

Contoh : Buktikan ( ) 3 6 kontinu di setiap bilangan riil.

: Andaikan ( ) dan ( ) 3 6. Keduanya kontinu

di setiap bilangan riil, dan demikian juga dengan kompositnya

h x x

Penyelaian f x x g x x

2 ( ) ( ( )) 3 6h x f g x x

Fungsi Invers dan TurunannyaFungsi Invers dan Turunannya

Suatu Fungsi Suatu Fungsi f f memadankan suatu nilai x dalam daerah asalnya memadankan suatu nilai x dalam daerah asalnya DD dengan nilai tunggal dengan nilai tunggal y y dalam dalam

daerah hasilnya daerah hasilnya RR. Bila kita untung, seperti halnya dengan dua fungsi yang grafiknya ada pada . Bila kita untung, seperti halnya dengan dua fungsi yang grafiknya ada pada

gambar 1 dan gambar 2, f dapat dibalik. Yaitu, untuk sesuatu nilai y dalam R, kita peroleh kembali gambar 1 dan gambar 2, f dapat dibalik. Yaitu, untuk sesuatu nilai y dalam R, kita peroleh kembali

nilai x yang oleh f itu dipadankan dengan y. fungsi yang baru ini, yang memadankan nilai y dengan nilai x yang oleh f itu dipadankan dengan y. fungsi yang baru ini, yang memadankan nilai y dengan

x, kita lambangkan dengan adalah R dan daerah hasilnya D. fungsi ini dinamakan inversx, kita lambangkan dengan adalah R dan daerah hasilnya D. fungsi ini dinamakan invers f f. .

lambang bukan berarti 1/lambang bukan berarti 1/f.f.

1f

1f

1

( ) 2

1( )

2

y f x x

x f y y

3

1 3

( ) 1

( ) 1

y f x x

x f y y

Gambar 1 Gambar 2

Fungsi MonotonFungsi Monoton

Eksistensi Fungsi Invers Eksistensi Fungsi Invers kita sekarang hendak mencari persyaratan bila suatu fungsi kita sekarang hendak mencari persyaratan bila suatu fungsi f f memiliki memiliki

balikan. Salah satu ciri adalah bahwa fungsi itu adalah balikan. Salah satu ciri adalah bahwa fungsi itu adalah satu-satusatu-satu, yakni, , yakni,

mengakibatkan . Ini ekivalen dengan persyaratan geometri bahwa tiap garis mengakibatkan . Ini ekivalen dengan persyaratan geometri bahwa tiap garis

datar memotong grafik y = datar memotong grafik y = f(f(x) pada paling banyak satu titik. Dengan Istilah x) pada paling banyak satu titik. Dengan Istilah monoton murni monoton murni

kita maksud bahwa fungsi tersebut pada daerah definisinya adalah fungsi yang naik atau kita maksud bahwa fungsi tersebut pada daerah definisinya adalah fungsi yang naik atau

fungsi yang turun.fungsi yang turun.

TeoremaTeorema A A

Apabila Apabila f f monoton murni pada daerah asalnya, maka monoton murni pada daerah asalnya, maka f f memiliki invers.memiliki invers.

Teorema A Teorema A tersebut mudah digunakan, sebab untuk menentukan apakah tersebut mudah digunakan, sebab untuk menentukan apakah f f monoton, kita monoton, kita

cukup menyelidiki tanda dari cukup menyelidiki tanda dari ff’.’.

1 2x x

1 2( ) ( )f x f x

Contoh soalContoh soal

Buktikan bahwa memiliki invers.Buktikan bahwa memiliki invers.

Penyelesaian Penyelesaian untuk semua x. jadi untuk semua x. jadi ff naik pada seluruh himpunan naik pada seluruh himpunan

bilangan riil, ini berarti bilangan riil, ini berarti ff memiliki invers. memiliki invers.

Dalam hal ini kita tidak mengatakan bahwa kita dapat memberikan rumus untuk . Sebab Dalam hal ini kita tidak mengatakan bahwa kita dapat memberikan rumus untuk . Sebab

ini akan berarti bahwa kita harus dapat menyatakan x dengan y dalam persamaan ini akan berarti bahwa kita harus dapat menyatakan x dengan y dalam persamaan

yang tak mungkin dapat kita lakukan disini. yang tak mungkin dapat kita lakukan disini.

5( ) 2 1f x x x

4'( ) 5 2 0f x x

1f

5 2 1y x x

Ada cara untuk menemukan balikan suatu fungsi, yang tidak memiliknya dalam daerah Ada cara untuk menemukan balikan suatu fungsi, yang tidak memiliknya dalam daerah

definisi yang asli. Untuk toh menemukan balikannya kita membatasi daerah asalnya sehingga definisi yang asli. Untuk toh menemukan balikannya kita membatasi daerah asalnya sehingga

fungsi itu di daerah yang baru akan turun atau naik saja. Jadi untuk y = fungsi itu di daerah yang baru akan turun atau naik saja. Jadi untuk y = ff((xx)) = kita dapat = kita dapat

membatasi daerah asalnya pada untuk y = membatasi daerah asalnya pada untuk y = gg(x) = sin x, kita dapat (x) = sin x, kita dapat

membatasi daerah asalnya pada selang . Maka pada selang-selang baru ini f dan membatasi daerah asalnya pada selang . Maka pada selang-selang baru ini f dan

g memiliki invers (gambar 5).g memiliki invers (gambar 5).

Gambar 5Gambar 5

Apabila f memiliki invers maka juga memiliki invers, yaitu f. jadi dapat dikatakan bahwa f Apabila f memiliki invers maka juga memiliki invers, yaitu f. jadi dapat dikatakan bahwa f

dan merupakan pasangan fungsi invers. Dirumuskan :dan merupakan pasangan fungsi invers. Dirumuskan :

2x

0( 0juga dapat).x x / 2, / 2

Daerah asal terbatas pada ,2 2

Daerah terbatas pada x 0

1f 1f

1f

1 1( ( )) dan ( ( ))f f x x f f y y

Gambar 5