Bab 2 Limit Dan Kekontinuan Fungsi

BAB 2 : FUNGSI DAN LIMITOLEH : ETIS SUNANDI, M.Si

1kalkulus-12 etis sunandi, M.Si

Generated by Foxit PDF Creator Foxit Softwarehttp://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

2Perhatikan fungsi :

1

1)(

2

x

xxf

Fungsi di atas tidak terdefinisi di x=1, karena di titik tersebut f(x) berbentuk0/0. Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai f(x) jika x mendekati 1

Dengan bantuan kalkulator dapat diperoleh nilai f(x) bila x mendekati 1, seperti pada tabel berikut :

x

f(x)

0.9 0.99 0.999 1.11.011.0010.9999 1.00011

?1.9 1.99 1.999 1.9999 2.0001 2.001 2.01 2.1

Apakah Fungsi di atas terdefinisi di x=1 ?

LIMIT

kalkulus-12 etis sunandi, M.Si


LIMIT

Definisi (Pengertian Limit Secara Instuisi)



4cx

Jika x menuju c dari arah kiri (dari arahbilangan yang lebih kecil dari c, limit disebut limit kiri. Dinotasikan :

)(lim xfcx

)(lim xfcx

Jika x menuju c dari arah kanan (dari arahbilangan yang lebih besar dari c, limit disebut limit kanan. Dinotasikan :

c x

Hubungan antara limit dengan limit kiri dan Limit kanan :

LIMIT KIRI DAN LIMIT KANAN

LxfLxfLxfcxcxcx

)(limdan)(lim)(lim

)(lim xfcx

)(lim xfcx

)(lim xfcx

Teorema :

Tidak ada



5

1,2

10,

0,

)(2

2

xx

xx

xx

xf

)(lim0

xfx

)(lim1

xfx

Contoh Diketahui

a. Hitung

)(lim2

xfx

d. Gambarkan grafik f(x)

c. Hitung

b. Hitung Jika ada

1.



6)(lim0

xfx

0lim 20

xx

)(lim0

xfx

0lim0

xx

0)(lim0

xfx

b. Karena aturan fungsi berubah di x=1, maka perlu dicari limit kiri danlimit kanan di x=1

)(lim2

xfx

62lim 22

xx

)(lim1

xfx

1lim1

xx

)(lim1

xfx

32lim 21

xx

)(lim)(lim11

xfxfxx

)(lim1

xfx

Karena Tidak ada

c. Karena aturan fungsi tidak berubah di x=2, maka tidak perludicari limit kiri dan limit kanan di x=2

Jawab :

a. Karena aturan fungsi berubah di x=0, maka perlu dicari limit kiri danlimit kanan di x=0



7d.

Untuk x 02)( xxf

Grafik: parabola

Untuk 0

82. Tentukan konstanta c agar fungsi

1,

1,3)(

2 xcx

xcxxf

mempunyai limit di x=-1

Jawab

Agar f(x) mempunyai limit di x=-1, maka limit kiri harus sama denganlimit kanan

)(lim1

xfx

ccxx

33lim1

)(lim1

xfx

ccxx

1lim 21

Agar limit ada 3+1c=1-c

C=-1



9Pengertian Limit Secara Formal

Definisi

Misal f terdefinisi pada selang buka I yang memuat c, kecuali c itusendiri.

Limit fungsi f di c adalah L ,ditulis berarti bahwa : Lxfcx

)(lim

|)(|||00,0 Lxfcx

Limit Sepihak

limit kiri :

limit kanan :

|)(|00,0jika)(lim LxfxcLxfcx

|)(|00,0jika)(lim LxfcxLxfcx



Contoh :

Buktikan bahwa 573lim4

xx

Jawab :

1. Analisis pendahuluan : akan dicari sedemikian sehingga :

|573||4|0 xxPerhatikan bahwa :

2. Bukti formal : andaikan diberikan > 0. Pilih =/3. maka , menyebabkan : |4|0 x

43|123||573| xxx

( terbukti )

3

1443||573| xxx

3/3343|123||573| xxx



TEOREMA LIMIT UTAMA



12

Prinsip Apit

Jika untuk setiap x di sekitar c, kecuali di c dan)()()( xhxgxf

LxhLxfcxcx

)(limserta)(lim Lxgcx

)(lim



TIPS PENGERJAAN SOAL LIMIT

Subtitusi langsung

Pemfaktoran

Perkalian dengan sekawannya

dst



KEKONTINUAN FUNGSI



Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = c jika

)()(lim cfxfcx

Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka f dikatakan tidak kontinu di x=a

a

(i)

f(a) tidak ada

f tidak kontinu di x=a

Definisi kekontinuan di suatu titik :



contoh

Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x=2, jika tidak sebutkan alasannya

2

4)(

2

x

xxf

2,3

2,2

4)(

2

x

xx

xxfa. b.

2,1

2,1)(

2 xx

xxxfc.

Jawab :

a. Fungsi tidak terdefinisi di x=2 (bentuk 0/0) f(x) tidak kontinu di x=2

b. f(2) = 342lim

)2(

)2)(2(lim

2

4lim

22

2

2

xx

xx

x

xxxx

)2()(lim2

fxfx

Karena limit tidak sama dengan nilai fungsi, maka f(x) tidakkontinu di x=2



c. 312)2(2 f

31lim)(lim22

xxf

xx

31lim)(lim 222

xxf

xx

3)(lim2

xfx

)2()(lim2

fxfx

Karena semua syarat dipenuhi f(x) kontinu di x=2



Kontinu kiri dan kontinu kanan

Fungsi f(x) disebut kontinu kiri di x=a jika

)()(lim afxfax

Fungsi f(x) disebut kontinu kanan di x=a jika

)()(lim afxfax

Fungsi f(x) kontinu di x=a jika kontinu kiri dan kontinu kanan di x=a



23

Kekontinuan pada interval

Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval buka ( a,b ) bilaf(x) kontinu pada setiap titik di dalam interval tersebut. Sedangkan f(x) dikatakan kontinu pada interval tutup [ a,b] bila :

1. f(x) kontinu pada ( a,b )

2. f(x) kontinu kanan di x = a

3. f(x) kontinu kiri di x = b

Bila f(x) kontinu untuk setiap nilai x R maka dikatakanf(x) kontinu ( dimana-mana ).

lim ( ) ( )x a

f x f a

lim ( ) ( )x b

f x f b



Fungsi Polinom kontinu dimana-mana

Fungsi Rasional kontinu di setiap bilangan Riil.

Misalkan , maka

f(x) kontinu di setiap titik di R jika n ganjil

f(x) kontinu di setiap R positif jika n genap.

Contoh : tentukan selang kekontinuan

Dari teorema di atas diperoleh f(x) kontinu untuk x-4>0

atau x>4.

f(x) kontinu kanan di x=4

Sehingga f(x) kontinu pada [4, )

n xxf )(

4)( xxf

)4(04lim)(lim44

fxxfxx



Limit dan Kekontinuan Fungsi Komposisi

))(( xgf

Teorema Limit Fungsi Komposisi:

Jika dan f(x) kontinu di L, maka

Teorema kekontinuan fungsi komposisi:

Jika g(x) kontinu di a, f(x) kontinu di g(a), maka fungsi

kontinu di a.

Bukti

karena f kontinu di g(a)

= f(g(a)) karena g kontinu di a

= (fog)(a)

Lxgax

)(lim

)()(lim))((lim Lfxgfxgfaxax

))((lim))((lim xgfxgfaxax

))(lim( xgfax



Contoh soal

Apakah fungsi-fungsi di atas kontinu pada titik x=1,2,3, dan 5 ?



Bab 2 Limit Dan Kekontinuan Fungsi

Documents

Transcript of Bab 2 Limit Dan Kekontinuan Fungsi