MA1101 MATEMATIKA 1A...Sasaran Kuliah Hari Ini 1.5 Limit di Tak Hingga dan Limit Tak Hingga...

MA1101 MATEMATIKA 1A

Hendra GunawanSemester I, 2019/2020

6 September 2019

Limit Trigonometri Khusus

Bukti (1) diperoleh dengan menunjukkan bahwa untuk t ≠ 0, berlaku

Karena , maka dengan Teorema Apit

kita simpulkan bahwa

9/5/2019 (c) Hendra Gunawan 2

.1sin

lim.10

t

t

t.0

cos1lim.2

0

t

t

t

.1sin

cos t

tt

1coslim0

tt

.1sin

lim0

t

t

t

KULIAH SEBELUMNYA:

GAMBAR LINGKARAN UNTUK MEMBUKTIKAN KETAKSAMAAN INI.

Latihan

1. Menggunakan fakta bahwa hitunglah:

a. b.

2. Buktikan bahwa


,1sin

lim0

t

t

t

ttt

2cot.sinlim0 xx

xx

x

2

2

0 2

)2sin(lim

.0cos1

lim0

t

t

t

Sasaran Kuliah Hari Ini

1.5 Limit di Tak Hingga dan Limit Tak Hingga

Menghitung limit di tak hingga dan limit takhingga.

1.6 Kekontinuan

Memeriksa kekontinuan fungsi danmenggunakan Teorema Nilai Antara untukmemecahkan masalah yang relevan.

9/5/2019 4(c) Hendra Gunawan

1.5 LIMIT DI TAK HINGGA & LIMIT TAK HINGGAMenghitung limit di tak hingga dan limit takhingga



Apa yang Terjadi Bila x → ∞ atau –∞?


-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

x/(x^2+1)

Limit di Tak Hingga

Misalkan f terdefinisi pada [c,∞). Kita tuliskan

apabila: untuk setiap ε > 0 terdapat M > c sehingga: jika x > M, maka |f(x) – L| < ε.

[Secara intuitif, “limit f di tak hingga” sama dgn L jika untuk x cukup besar, nilai f(x) dekat ke L.]

Contoh 1. [jika x > ??, maka |1/x|<ε.]


Lxfx

)(lim

.01

lim xx

Contoh 2

Buktikan bahwa

Bukti. Diberikan ε > 0 sembarang, pilih M ≥ 1/ε. Kita periksa: jika x > M, maka

Ini membuktikan bahwa


.01

lim2

x

x

x

.11

12

Mxx

x

.01

lim2

x

x

x

Limit di Minus Tak Hingga

Misalkan f terdefinisi pada (-∞,d]. Kita tuliskan

apabila: untuk setiap ε > 0 terdapat N < d sehingga: jika x < N, maka |f(x) – L| < ε.

[Secara intuitif, “limit f di minus tak hingga” samadgn L jika utk x minus besar, nilai f(x) dekat ke L.]

Contoh 3. [jika x < ??, maka |1/x|<ε.]


Lxfx

)(lim

.01

lim xx

Contoh 4

Buktikan bahwa

Bukti. Coba sendiri.


.01

lim2

x

x

x

Catatan

Selain Teorema Substitusi, teorema-teoremalimit dan Teorema Apit berlaku pula untuk limit di tak hingga.

Sebagai contoh,

lim𝑥→∞

𝑥 − 1

𝑥 + 1= lim

𝑥→∞

1 −1𝑥

1 +1𝑥

=lim𝑥→∞

1 − 1𝑥

lim𝑥→∞

(1 + 1𝑥)=1

1= 1.


Limit Tak Hingga

Tinjau fungsi f(x) = 1/x, dengan x ≠ 0.

Apa yang terjadi di dekat x = 0?

Berapakah nilai limit f di 0, bila ada?

Misalkan f terdefinisi di sekitar x = c. Kita tuliskan

apabila: untuk setiap M > 0 terdapat δ > 0 sehingga: jika 0 < x – c < δ, maka f(x) > M.


)(lim xfcx

Limit Tak Hingga

Misalkan f terdefinisi di sekitar x = c. Kita tuliskan

apabila: untuk setiap M > 0 terdapat δ > 0 sehingga: jika 0 < c – x < δ, maka f(x) > M.

Catatan: dandidefinisikan secara analog. [Rumuskan sendiridefinisinya, atau lihat buku.]


)(lim xfcx

)(lim xfcx

)(lim xfcx

Contoh

1. [jika 0 < x < ??, maka 1/x > M.]

2. [jika 0 < -x < ??, maka 1/x < N.]


xx

1lim

0

xx

1lim

0

Latihan

1. Hitunglah:

a. b.

c. d.

2. Hitunglah dan

9/5/2019 15(c) Hendra Gunawan

1

1lim

2

4

x

x

x1

1lim

2

2

x

x

x

)1(lim xxx

22 4

limx

x

x

.4

lim2

2 x

x

x

2 1limx

x

x

1.6 KEKONTINUANMemeriksa kekontinuan fungsi danmenggunakan Teorema Nilai Antara untukmemecahkan masalah yang relevan



Fungsi Kontinu di Suatu Titik

Misalkan f terdefinisi disekitar c, termasuk di c.

Fungsi f dikatakankontinu di c apabila

yakni: untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga: jika |x – c|< δ, maka

|f(x) – f(c)|< ε.9/5/2019 (c) Hendra Gunawan 17

),()(lim cfxfcx

c

f(c)

Fungsi f dikatakankontinu pada (a,b) apabila f kontinu disetiap titik c є (a,b).

Keluarga Fungsi Kontinu

1. Fungsi polinom kontinu di setiap titik padaR. Demikian pula fungsi rasional kontinu disetiap titik pada daerah asalnya. [IngatTeorema Substitusi.]

2. Fungsi nilai mutlak f(x) = |x| kontinu pada R.

3. Fungsi akar f(x) = √x kontinu pada (0,∞). Fungsi ini kontinu kanan di c = 0.

4. Fungsi f(x) = sin x dan g(x) = cos x kontinupada R.


Teorema

Jika f dan g kontinu di c dan k konstanta, makakf, f + g, f – g, fg, f/g, fn, dan kontinu di c.

Jika dan f kontinu di L, maka

Jika g kontinu di c dan f kontinu di g(c), makaf ◦ g kontinu di c.


n f

Lxgcx

)(lim

).())((lim Lfxgfcx

Contoh

1. f(x) = x sin x kontinu di setiap titik karenamerupakan hasilkali dua buah fungsi yang kontinu di setiap titik (pada R).

2. F(x) = |x2 – 1| kontinu di setiap titik (pada R) karena h(x) = x2 – 1 kontinu di setiap titik, g(x) = |x| juga kontinu di setiap titik, danF(x) = g(h(x)) = (g ◦ h)(x).


Fungsi Kontinu pada Selang Tutup

Fungsi f dikatakan kontinu pada [a,b] apabilaf kontinu pada (a,b), kontinu kanan di a, dankontinu kiri di b.

Contoh: f(x) = x3 – x2 + 1 kontinu pada [-1,2].

Grafik fungsi f yang kontinu pada selang tutup[a,b] tidak terputus dari titik (a,f(a)) ke (b,f(b)).


Teorema Nilai Antara

Jika f kontinu pada [a,b], f(a) < 0 dan f(b) > 0 (atau sebaliknya, f(a) > 0 dan f(b) < 0), makaterdapat c є (a,b) sehingga f(c) = 0.

Contoh: f(x) = x3 – x2 + 1 kontinu pada [-1,2],

f(-1) = -1 dan f(2) = 5. Menurut Teorema NilaiAntara, terdapat c є (-1,2) sehingga

f(c) = c3 – c2 + 1 = 0

(yakni, f mempunyai akar pada [-1,2]).9/5/2019 (c) Hendra Gunawan 22

Ilustrasi TNA


c

y

a b x

Latihan1. Tentukan nilai L agar f kontinu di 1.

f(x) =

=

2. Tentukan a dan b agar f kontinu di setiap titik.

3. Buktikan bahwa p(x) = x5 – x – 1 mempunyaiakar positif.


3 1, 1

1

, 1.

xx

x

L x

.1,2

11,

1,1)(

3

x

xbax

xxf

MA1101 MATEMATIKA 1A...Sasaran Kuliah Hari Ini 1.5 Limit di Tak Hingga dan Limit Tak Hingga...

Documents

Transcript of MA1101 MATEMATIKA 1A...Sasaran Kuliah Hari Ini 1.5 Limit di Tak Hingga dan Limit Tak Hingga...