DERET TAK

HINGGA

Definisi 1

Deret Tak Hingga adalah suatu ekspresi yang dapat

dinyatakan dalam bentuk:

𝑘=1

∞

𝑢𝑘 =𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 +⋯+ 𝑢𝑘 +⋯

Bilangan-bilangan 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3, … disebut suku-suku dalam

deret tersebut.

Pandang kembali argumentasi Zeno dalam paradoks di awal,

1

2+1

4+1

8+⋯

Kemudian perhatikan jumlah parsial berikut

𝑠1 =1

2= 1 −

1

2

𝑠2 =1

2+1

4=3

4= 1 −

1

22

𝑠3 =1

2+1

4+1

8=7

8= 1 −

1

23

𝑠𝑛 =1

2+1

4+1

8+ ⋯+

1

2𝑛= 1 −

1

2𝑛

lim𝑛→∞𝑠𝑛 = lim

𝑛→∞1 −1

2𝑛= 1

Jumlah parsial di atas konvergen ke satu

Bilangan 𝑠𝑛 disebut jumlah parsial ke-𝒏 dari deret dan

barisan 𝑠𝑛 𝑛=1+∞ disebut barisan dari jumlah parsial.

Misalkan 𝑠𝑛 adalah jumlah 𝑛 suku pertama deret

tersebut, sehingga diperoleh𝑠1 = 𝑢1

𝑠2 = 𝑢1 + 𝑢2

𝑠3 = 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3𝑠𝑛 = 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 +⋯+ 𝑢𝑛 =

𝑘=1

𝑛

𝑢𝑘

Note

Dalam Bahasa sehari-hari, kata “barisan” dan

“deret” sering digunakan saling bertukar. Akan

tetapi hal ini tidak berlaku dalam matematika.

Secara matematis, barisan adalah suatu

keterurutan, sedangkan deret adalah suatu

jumlahan. Perbedaan ini sangat penting untuk

diingat.

Definisi 2

Misalkan 𝑠𝑛 𝑛=1+∞ adalah barisan dari jumlahan parsial deret

𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 +⋯+ 𝑢𝑘 +⋯ . Jika barisan 𝑠𝑛 𝑛=1+∞ konvergen

ke suatu limit 𝑆, maka deret tersebut dikatakan konvergen

dan 𝑆 disebut jumlahan dari deret itu, dengan

𝑆 =

𝑘=1

∞

𝑢𝑘

Jika barisan dari jumlahan parsial tersebut tidak konvergen,

maka barisan tersebut disebut divergen. Suatu deret yang

divergen tidak memiliki jumlah.

Tentukan apakah deret berikut

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 +⋯

Konvergen atau divergen. Jika konvergen, dapatkan

jumlahnya.

Contoh 1

Jumlah parsial untuk deret ini adalah:

𝑠1 = 1

𝑠2 = 1 − 1 = 0

𝑠3 = 1 − 1 + 1 = 1

𝑠4 = 1 − 1 + 1 − 1 = 0

Dengan demikian, deret divergen yang tidak

memiliki nilai jumlah

Deret Geometrik

Deret-deret yang telah diberikan di atas merupakan

contoh-contoh dari deret geometrik. Deret Geometrik

merupakan suatu deret yang memiliki bentuk:

𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 + 𝑎𝑟3 +⋯++𝑎𝑟𝑘−1 +⋯ (𝑎 ≠ 0)

yang mana setiap suku diperoleh dari penggandaan

suku sebelumnya dengan suatu konstanta 𝑟 yang

disebut sebagai rasio dari deret tersebut.

Dapatkan deret geometrik jika

diberikan:

a)𝑎 = 1, 𝑟 = 3

b)𝑎 =2

5, 𝑟 =

1

5

c)𝑎 =1

3, 𝑟 = −

1

3

d)𝑎 = 1, 𝑟 = 1

e)𝑎 = 1, 𝑟 = −1

f)𝑎 = 1, 𝑟 = 𝑥

Contoh 2

Penyelesaian:

Teorema 1

Suatu deret goemetrik

𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 + 𝑎𝑟3 +⋯++𝑎𝑟𝑘−1 +⋯ (𝑎 ≠ 0)

Konvergen jika 𝑟 < 1 dan divergen jika |𝑟| ≥ 1. Jika

deret tersebut konvergen, maka jumlah deretnya adalah

𝑎

1 − 𝑟= 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 + 𝑎𝑟3 +⋯++𝑎𝑟𝑘−1 +⋯

Bukti:

Misalkan bahwa 𝑟 = 1. Untuk 𝑟 = 1, deret tersebut menjadi

𝑎 + 𝑎 + 𝑎 +⋯+ 𝑎 +⋯

Bukti:

Misalkan bahwa 𝑟 = 1. Untuk 𝑟 = 1, deret tersebut menjadi

𝑎 + 𝑎 + 𝑎 +⋯+ 𝑎 +⋯

Sehingga jumlah parsial ke-𝑛, 𝑠𝑛 = 𝑛𝑎 dan lim𝑛→+∞𝑠𝑛 = ±∞

Untuk 𝑟 = −1, deret tersebut menjadi

𝑎 − 𝑎 + 𝑎 − 𝑎 +⋯

Sehingga barisan jumlahan parsial 𝑎, 0, 𝑎, 0, … adalah divergen.

Jika |𝑟| ≠ 1 , maka jumlah parsial ke-𝑛dari deret tersebut

adalah

𝑠𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 + 𝑎𝑟3 +⋯++𝑎𝑟𝑛−1 (1)

Jika kedua ruas digandakan dengan 𝑟, maka diperoleh

𝑟𝑠𝑛 = 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 + 𝑎𝑟3 +⋯++𝑎𝑟𝑛−1 + 𝑎𝑟𝑛 (2)

𝑠𝑛 − 𝑟𝑠𝑛 = 𝑎 − 𝑎𝑟𝑛

1 − 𝑟 𝑠𝑛 = 𝑎 − 𝑎𝑟𝑛

𝑠𝑛 =𝑎 − 𝑎𝑟𝑛

1 − 𝑟=𝑎

1 − 𝑟−𝑎𝑟𝑛

1 − 𝑟

Jika 𝑟 < 1maka

lim𝑛→+∞𝑟𝑛 = 0 ⟹

Jika 𝑟 > 1, maka 𝑟 dipenuhi oleh 𝑟 > 1 atau 𝑟 < −1

untuk 𝑟 > 1, lim𝑛→+∞𝑟𝑛 = +∞

untuk 𝑟 < −1, 𝑟𝑛 berosilasi antara nilai positif dan negatif,

sehingga 𝑠𝑛 divergen untuk kedua kasus ini

lim𝑛→+∞𝑠𝑛 =

𝑎

1 − 𝑟

Tentukan apakah deret berikut ini konvergen atau divergen. Jika

konvergen, dapatkan jumlahnya.

a) 𝑘=1∞ 1

2𝑛

b) 𝑘=1∞ 32𝑘51−𝑘

Contoh 3

Penyelesaian:

a) 𝑎 =1

2dan 𝑟 =

1

2𝑟 =1

2< 1

𝑎

1 − 𝑟= 1 2

1 − 1 2= 1 2

1 2= 1

b) 𝑘=1∞ 32𝑘51−𝑘

𝑘=1

∞

32𝑘51−𝑘 =

𝑘=1

∞9𝑘

5𝑘−1

=

𝑘=1

∞ 9(9𝑘−1

5𝑘−1=

𝑘=1

∞

99

5

𝑘−1

𝑟 =9

5Karena 𝑟 > 1, maka deret ini divergen.

Teorema 2

Jika deret 𝑛=1∞ 𝑎𝑛 konvergen, maka lim

𝑛→∞𝑎𝑛 = 0.

Hal ini ekivalen dengan, jika lim𝑛→∞𝑎𝑛 ≠ 0 atau jika lim

𝑛→∞𝑎𝑛 tidak ada,

maka deret tersebut adalah divergen.

Bukti:

Misalkan 𝑠𝑛 adalah jumlah parsial ke-𝑛 dan 𝑠 = lim𝑛→∞𝑠𝑛. Perhatikan

bahwa 𝑎𝑛 = 𝑠𝑛 − 𝑠𝑛−1. Karena lim𝑛→∞𝑠𝑛−1 = lim

𝑛→∞𝑠𝑛, maka diperoleh

lim𝑛→∞𝑎𝑛 = lim

𝑛→∞𝑠𝑛 − lim

𝑛→∞𝑠𝑛−1 = 𝑠 − 𝑠 = 0

Deret Harmonik

𝑘=1

∞1

𝑘= 1 +

1

2+1

3+1

4+1

5+⋯

𝑠1 = 1

𝑠2 = 1 +1

2

𝑠3 = 1 +1

2+1

3

𝑠4 = 1 +1

2+1

3+1

4

𝑠1 < 𝑠2 < 𝑠3 < 𝑠4 < ⋯ < 𝑠𝑛 < ⋯

membentuk suatu barisan yang monoton naik

Jumlahan parsial di atas memenuhi pertidaksamaan berikut:

𝑠2 = 1 +1

2>1

2+1

2=2

2

𝑠4 = 𝑠2 +1

3+1

4> 𝑠2 +

1

4+1

4= 𝑠2 +

1

2>3

2

𝑠8 = 𝑠4 +1

5+1

6+1

7+1

8> 𝑠4 +

1

8+1

8+1

8+1

8= 𝑠4 +

1

2>4

2

𝑠16 = 𝑠8 +1

9+1

10+1

11+1

12+1

13+1

14+1

16

> 𝑠8 +1

16+1

16+1

16+1

16+1

16+1

16+1

16+1

16

= 𝑠8 +1

2>5

2𝑠2𝑛 >

𝑛 + 1

2

Untuk setiap konstanta 𝑀, dapat ditemukan bilangan bulat positif 𝑛

sedemikian hingga𝑛+1

2> 𝑀. Tetapi, untuk 𝑛 berlaku

𝑠2𝑛 >𝑛 + 1

2> 𝑀

Sifat-Sifat Aljabar Deret Tak Hingga

a)Jika 𝑘=1+∞ 𝑢𝑘 dan 𝑘=1

+∞ 𝑦𝑘 deret konvergen, maka

𝑘=1+∞ 𝑢𝑘 + 𝑦𝑘 dan 𝑘=1

+∞ 𝑢𝑘 − 𝑦𝑘 adalah deret konvergen,

dan jumlah dari deret tersebut adalah

𝑘=1

+∞

𝑢𝑘 + 𝑦𝑘 =

𝑘=1

+∞

𝑢𝑘 +

𝑘=1

+∞

𝑦𝑘

𝑘=1

+∞

𝑢𝑘 − 𝑦𝑘 =

𝑘=1

+∞

𝑢𝑘 −

𝑘=1

+∞

𝑦𝑘

b) Jika 𝑐 adalah suatu konstanta tak nol, maka deret 𝑘=1+∞ 𝑢𝑘

dan 𝑘=1+∞ 𝑐𝑢𝑘 keduanya konvergenatau keduanya divergen.

Jika konvergen, maka jumlah dari deret ini adalah

c) Konvergensi atau divergensi tidak dipengaruhi oleh

penghapusan sejumlah suku berhingga dari deret tersebut.

Jelasnya, untuk sebarang bilangan positif 𝐾, deret

𝑘=1

+∞

𝑢𝑘 = 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 +⋯

𝑘=𝐾

+∞

𝑢𝑘 = 𝑢𝐾 + 𝑢𝐾+1 + 𝑢𝐾+2 +

𝑘=1

+∞

𝑐𝑢𝑘 = 𝑐

𝑘=1

+∞

𝑢𝑘

keduanya konvergen atau keduanya divergen. Apabila kedua

deret tersebut konvergen, maka jumlah dari masing-masing deret

tersebut tidak sama.

Tentukan apakah deret berikut

konvergen atau divergen.

a) 𝑘=1+∞ 8!

𝑘

b) 𝑘=5+∞ 1

𝑘

Contoh 4

Penyelesaian:

𝑘=1

+∞8!

𝑘= 8! +

8!

2+8!

3+⋯+

8!

𝑘+⋯

= 8! 1 +1

2+1

3+⋯+

1

𝑘+⋯ = 8!

𝑘=1

+∞1

𝑘

a)

berdasarkan sifat deret pada poin (b), dapat disimpulkan bahwa

deret

𝑘=1

+∞8!

𝑘

adalah divergen.

b)

𝑘=5

+∞1

𝑘=1

5+1

6+1

7+⋯ =

𝑘=5

+∞1

𝑘 merupakan deret yang divergen.

Latihan Soal

1. Dapatkan 5 jumlah parsial pertama dari jumlahan parsial ke-𝑛.

Kemudian tentukan apakah deret tersebut konvergen atau

divergen. Jika konvergen, dapatkan nilainya.

a) 𝑘=1∞ 3

72𝑘−1

b) 𝑘=1∞ 1

𝑘2+5𝑘+6

c) 𝑘=1∞ 1/5

21−𝑘

Latihan Soal

2. Tentukanlah apakah deret berikut ini konvergen atau

divergen. Jika konvergen, dapatkan nilainya.

a) 𝑘=1∞ 1

ln 3𝑘+1

b) 𝑘=1∞ 3𝑘+3

5𝑘−2

c) 𝑘=1∞ 1

𝑘+2−1

𝑘+3

d) 𝑘=1∞ 5−𝑘 + 6−𝑘

Latihan Soal

3. Dapatkan semua nilai 𝑥 sedemikian hingga deret-deret berikut

ini konvergen. Kemudian dapatkan jumlahnya.

a)1

𝑥2+2

𝑥3+4

𝑥4+8

𝑥5+16

𝑥6+⋯

b)𝑒−𝑥 + 𝑒−2𝑥 + 𝑒−3𝑥 + 𝑒−4𝑥 + 𝑒−5𝑥 +⋯