BARISAN DAN DERET

BARISAN Definisi

Barisan bilangan didefinisikan sebagai fungsi dengan daerah asal

merupakan bilanganasli.

Notasi: f: N R

n f(n ) =an

Fungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan riil {an}

dengan an adalah suku ke-n.

Bentuk penulisan dari barisan:

1. bentuk eksplisit suku ke-n

2. ditulis barisannya sejumlah berhingga sukuawalnya.

3. bentuk rekursi

Contoh:an=

1

n

1 ,

1 ,1

2 3 4 1, , ...

n

an

1 aa1 1, an 1

2

KEKONVERGENAN BARISAN

Definisi

Barisan {an} dikatakan konvergen menuju L atau berlimitL dan ditulissebagai

Sebaliknya, barisan yang tidak konvergen ke suatu bilangan L yang terhingga dinamakandivergen.

lim an Ln

Jika untuk tiap bilangan positif , ada bilangan positif N sehingga untuk

n N an L

3

CATATAN

Banyak persoalan konvergensi barisan.

Menggunakan fakta berikut:

Fakta tersebut memudahkan karena dapat memakai kaidah I’Hospital untuk soal peubah kontinu.

xJika

nlim f (n) Llim f (x ) L , maka

4

SIFAT LIMIT BARISAN

Sifat dari limit barisan, jika barisan {an}konvergen ke L dan barisan {bn} konvergen ke M,maka

n n n1. lima n b n lima n limb n L M

2. lima n .b n lima n. limb n L.Mn n n

L

limb n M

lima n

n

n3. lim a n

n b n , untuk M 0

Barisan {an} dikatakan

a. Monoton naik bila an+1 an

b. Monoton turun bila an+1 an

5

CONTOH

Tentukan konvergensi dari barisan di bawah ini:

2x 1 2

x

1lim f (x) limx x

nn

2n 1a 1.

artinya barisan an konvergen menuju ½.

xJawab:

Ambil :f(x) 2x 1

Dalam hal ini, menurut kaidah I’Hospital,

2n 1 2

n

1limn

Jadi,

CONTOH

x e1 e

x x 1

2.1

n

a n 1

n

Jawab:

Ambil

1 x

f (x) 1 x

Dalam hal ini, menurut kaidah I’Hospital,

artinya barisan an konvergenmenuju e.

en n

1 n

lim 1

Jadi,

1

x x

x

1

x

1 ln1

x

explim

2 explim 1

.

explim

x

1 2 x

x x 1x

1 1x x

x x

exp lim x.ln 1lim1

lim exp.ln

1 x x

LATIHAN

2n 3

3n 2 2

n 1

nna

n 1

na n

n

4n

ln(n)a n

,

3,4

,5

... 2

1 2 3 4

, ...

1, 2

,3

,4 5

3 5 7 9

...3

4

, ,

2 3

1 21 1 1

1 1 11,

...1

5432

1 1 1 2 3 4 5

1,

2,

3,

4

2n+1 n 1a = 1 +

1a , a =1

1. a n n 2

2. a n

10.

9.

8.

7.

6.

5.

4.

3.

Tentukan konvergensi dari barisan di bawah ini:

4n 2 1

DERET TAK HINGGA

Bentuk deret tak hingga dinotasikan dengannotasi sigma, sebagai berikut:

an a1 a2 a3 ... an ...

n1

dengan an adalah suku ke-n.

BARISAN JUMLAH PARSIAL

Misalkan Sn menyatakanjumlah parsial ke-n suku deret

i1

ai , maka

ia

i1

Dari jumlah parsial ini di dapat bahwa Sn–Sn-1=an.

S1 =a1

S2 = a1 +a2

.

.

. n

Barisan {S n} dinamakan barisan jumlah parsial deret

Sn =a1+a2+a3+a4+…+ an =ai

i1

KEKONVERGENAN DERET TAK HINGGA

i1

jika barisan jumlah-jumlah parsialnya {Sn} konvergen ke S.

Sebaliknya, apabila {Sn} divergen maka deret divergen.

Deret tak hinggaai konvergen dan mempunyai jumlah S

DERET GEOMETRI

Bentuk umum deret geometri adalah

n1ar n1 = a +ar +a r2 + ... + a rn-1 + ...

dengan a 0.

Jumlah parsial deret ini

Sn = ar i1 = a +ar +a r2 + ... + a rn-1

dan dapat ditulis sebagai Sn =1 r

a1 r n, r 1.

i1

n

SIFAT DERETGEOMETRI

1. Jika r < 1 maka barisan {rn} konvergen ke 0 karena

nlim r n = 0, maka deretnya konvergen ke

a

1 r

2. Jika r > 1 maka barisan {rn} divergen karena lim r n = ,n

maka deretnya jugadivergen.

CONTOH [1] (SELIDIKI KEKONVERGENANNYA)

. . .1

1

1

1

1

2 4 8 16 321.

Jawab:Kalau kitaperhatikan

S1 = 1 = 1 - 1S2 = 1

1 = 3 = 1 – ( 1 )2

2 2 2 4 4 2

2 4 8 8 2S3 = 1

1

1 = 7 = 1 – ( 1 )3

Sehingga kita peroleh jumlah parsial ke-n-nya

2Sn = 1 – ( 1 )n

dan

lim Snn n 2

1 n= lim (1 – ( ) ) = 1

Jadi karena barisan jumlah-jumlah parsialnya konvergen ke 1, maka deret di atas juga konvergen.

CONTOH [2]

1

i(i 1)2.i1

Jawab:Kalau kitaperhatikan

Jadi karena barisan jumlah parsialnya konvergen ke 1, maka deret di atas juga konvergen.

1= 1 -

1

i(i 1) i i1

Dari sini kita peroleh bahwa jumlah parsial ke-n-nya

Dan nn

n n 1

1lim S = lim

1 = 1

(Deret Kolaps)

𝑆𝑛 = 1 −1

2+

1

2−1

3+

1

3−1

4+⋯…+

1

𝑛−

1

𝑛 + 1= 1 −

1

𝑛 + 1

CONTOH [3]

3.

Sehingga didapatkan limit Sn untuk n menuju tak hingga adalah tak hingga juga. Jadi deret harmonik di atas adalah deret divergen.

Jawab:

Dari soal diuraikan menjadi:

𝑖=1

∞1

𝑖(𝑑𝑒𝑟𝑒𝑡 ℎ𝑎𝑟𝑚𝑜𝑛𝑖𝑘)

𝑆𝑛 = 1 +1

2+

1

3+ 1

4+

1

5+

1

6+ 1

7+

1

8+ …..+

1

𝑛

𝑆𝑛 = 1 +1

2+

1

3+1

4+

1

5+

1

6+1

7+

1

8+ …..+

1

𝑛

≥ 1 +1

2+

1

4+1

4+

1

8+

1

8+1

8+

1

8+ …..+

1

𝑛

= 1 +1

2+

1

2+ 1

2+

1

2…..+

1

𝑛

UJI KEDIVERGENAN DENGAN SUKU KE-N

n1 nApabilaan konvergen, maka lim an 0 ,

ekivalen lim an 0 maka deretdivergen.n

Catatan:

deret konvergen

(bisa konvergen atau divergen) sehingga perlu pengujian deret positif.

n

n1

Jika lim an 0, maka belum tentuan

Contoh:

Buktikan bahwa

2 3n 4n1 3n

n 2

divergen.

Bukti:

lim2

n2

3n 4n3n=

n 2n

1limn

33

4

1

3= (Tidak Nol)

divergen.

Jadi terbukti bahwa

UJI KEDIVERGENAN DENGAN SUKUKE-N

3n 4n1 3n 2

n 2

MASALAH BARU

Dalam banyak kasus bahwa lim a n = 0, tetapi dari sinin

kita sangat sulit menentukan apakah deret tersebutkonvergen atau divergen.

Sebagai contoh deretharmonik,

n1

n

1=1+

n2 3 4 5 6 7 8

1

1

1

1

1

1

1 . . .

1 + . . .

Jelas bahwa lim a n = 0, tetapi deret harmonik adalahn

deret yang divergen.

Oleh karena itu, perlu dilakukan uji-uji untuk deret positif.

UJI DERETPOSITIF

1. Tes Integral

Misalkan fungsi f kontinu monoton turun dan f(x)>0 pada selang [1,)

a. Jika integral tak wajar 1f (x) dx konvergen, maka deret

f (n) konvergen.

divergen, makaderet

n1

b. Jika integral tak wajar

f (n) divergen.n1

f (x) dx1

CONTOH

2

n en

n1

1. Selidiki kekonvergenan dari

Jawab:

Kita ambil2xf (x) x e , sehingga

x e dx1

x2

x e dxb

1

x 2limb

b

1

lim2 b

1

b

1

1 lim ex 2

2 b

e x 2

1

e11

lim2 b eb2 2e

d(x 2 )

1

= =

= = =

Jadi karena x e1

x2

n2

dx konvergen, makan e

n1

juga konvergen.

2. Selidiki kekonvergenan dari

Jawab:

Kita ambil , sehingga

Jadi karena divergen, maka juga divergen.

n2 n lnn

1

xln x

1f (x)

b

b

dx

2 lim

dx

x ln x

b d(ln x)

2 ln x2 x ln x b lim

lim lnln x lim lnlnb lnln2 b b

2 x ln x

dx

n2

n lnn

1

CONTOH

LATIHAN

n2

2n ln n

1

24n 1

2n 1

1

3n1 4 3n2

1

2.

4. n1

5.n1

3.

1.

Selidiki kekonvergenan deretberikut:

n3

2n

2

1

1

UJI DERET POSITIF

2. Uji Deret - P

Deret-p atau deret hiperharmonik mempunyai bentuk umum

1

i1 i p

Dengan menggunakan tes integral, kita dapatkan

1

1 1p px x

t x1 p t

t1 p1dx lim

tdx lim lim

1 pt 1 p 1t1

Kalau kita perhatikan,untuk

1. p =1 diperoleh deret harmonik, sehingga untuk p =1 deret divergen.

2. p > 1 maka lim t1p = 0, sehingga diperoleh deret yangkonvergen.

t

UJI DERET POSITIF

3. p < 1 maka lim t1p

t

=∞, sehingga diperoleh deret yang divergen.

4. p < 0, suku ke-n deret n

Pii1

1 , yaitu, tidak menuju0.nP

1

Jadi deret divergen menurut Uji Suku ke-n

Sehingga dapat kita simpulkan untuk uji deret-p, yaitu:

1. Deret-p konvergen apabila p > 1

2. Deret-p divergen apabila 0 p 1

CONTOH

Apakah deret berikut konvergen atau divergen?

1.

1,001

1

n1n

1,001

1Berdasarkan uji deret-p, deret

n1n

konvergen karena p = 1,001> 1

2.

Berdasarkan uji deret-p, deret divergen karena p = ½ < 1

21

1

n1n

2

1

1

n1 n

UJI DERET POSITIF

3. Tes Perbandingan dengan deretlain

Andaikan a n

n1` n1`

b ndan

n1`

n1`

1. Jika b n konvergen, maka

n1`

deret positif, jika an bn maka

n1`

a n konvergen

2. Jika a n divergen, maka b n divergen

CONTOH

Selidiki Kekonvergenan deretberikut:

1.

n3

n

n 2 5

Jawab:

nAkan kita bandingkan deret ini dengan an =

1dan

n

nb

n2 5

kita tahu bahwa

,

n1

1

nadalah deret harmonik dan

n

5

1

n , sehingga karena

n1

1

n

n2

2 5n2 n

n

deret divergen,maka

deret yang divergen.

CONTOH

Jawab:

nAkan kita bandingkan deret ini dengan b = ndan a =

kita tahu bahwa adalah deret hiperharmonik dengan

, Sehingga karena

deret yang konvergen.

2.

2 5n1 n

1

konvergen, maka5n1 n

2

1

1

1

n25

1

n 2 n25

n 2

1

n1 n2

1

p = 2 >1dan

2n1 n

1 deret

LATIHAN

Selidiki kekonvergenan deretberikut

n1

2n 5

n

n3

2

1

1n1 2

n

n 5

1

2n3 n 2

1

n1 2n 1

12.

4.

5.

3.

1.

UJI DERETPOSITIF

4. Tes Banding limit

Andaikan an dan bn deret positif dan

nnblim

a n =L

sama-sama

2. Jika L =0 dan bn

n1`

n1`

danbn

konvergen makaan konvergen.

n1`

konvergen atau divergen

1. Jika 0 <L < maka an

CONTOH

Selidiki kekonvergenan dari deret berikut :

5n 2 7n1 n3

2n 3

1.

lim an

nbn

5n 2 7n1 n

3

2n 3konvergen.

=2

Jadi karena L = 2dan

2

1

n1 n

Jawab:

Kita gunakan Uji Banding Limit. Kalau kita perhatikan

deret tersebut, suku umumnya mirip denganbn= 1n2

sehingga

1n2

2n 3

limn

3 2

n3 5n2 7 lim2n 3n

n n3 5n2 7

konvergen, maka deret

CONTOH

Selidiki kekonvergenan dari deret berikut :

2.

sehingga

anlimnbn

divergen.

=1

Jadi karenaL=1 dan

n1 4n2

1

divergen, maka deretn1

2n 4

1

Jawab:

Kita gunakanUji Banding Limit. Kalau kita perhatikan

deret tersebut, suku umumnya mirip dengan bn=1

n

1n

1

limn2 4

n2

n2

n 4n= =lim

n1

1

n

LATIHAN

Selidiki kekonvergenan dari deret berikut:

n1

2

n1

3

n 3n 1

n1 n

n 2n 3

1

n1

n 2

n 1

2n 3

n1

2n

n 4

ln n

2.

4.

5.

3.

1.

UJI DERET POSITIF

5. Tes HasilBagi

k1

ak

k ak

lim ak1

Diketahui merupakan suatu deret dengan suku-suku yang positif.

1. Jika < 1 maka deret konvergen

Misalkan

k1

a k

k1

ak divergen2. Jika > 1 maka deret

= 1 maka uji deret ini tidak dapat dilakukan.3. Jika

CONTOH

Selidiki kekonvergenan deretberikut:

1.

3n

n1 n!

3n

n!, maka sukuke-n+1

adalah an+1=

3n1

n1!sehingga

Karena nilai limit r = 0 ( < 1), makaderet

n1

3n

n!konvergen

Jawab:

Misalkan suku ke-n adalah an =

lim3

0 lim3n1n!

n 3nn 1! n n 1n !

3n lim n 1!

3n1

nan

liman 1

n

CONTOH

2.

3n

n1 n2

3n

Misalkan suku ke-n adalah an =n 2 , maka suku ke-n+1

adalah a n+1=

3n1

n 12sehingga

Karena nilai limit r = 3 (> 1), maka deret

2n1

3n

ndivergen

Jawab:

33n2

lim lim3n1n2

n3nn 12 n n 12n2

3n

n 12 lim

3n1

nan

liman 1

n

LATIHAN

Selidiki kekonvergenan dari deret berikut:

n1

nn

n1

n ! 5 n

n1 2n!

n n

n1

4n

n !

n

n1 2n!

n!

n3

2.

4.

5.

3.

1.

UJI DERETPOSITIF

k

39

ak

6. TesAkar

Diketahui merupakan suatu deretdengan

konvergen

divergen

k1

suku-suku yang positif, misalkan lim k ak a

1.Jika a<1 maka dereta k

k1

2.Jika a >1 maka deretak

k1

3. Jika a =1 maka uji deret ini tidak dapat dilakukan.

CONTOH

Selidiki kekonvergenanderet

1.

n1 n1

2n 2 n

Jawab:

nMisalkan suku ke-n adalah a =

n1

2n 2 n

maka nilai limitnyaadalah

2n1

2n 2lim n an limn n

Karena nilai limit r = 2 (> 1), maka deret

n1 n1

2n 2 n

divergen

CONTOH

2.

n1 2n1

n 2 n

Jawab:

nMisalkan suku ke-n adalah a =

2n1

n 2 n

maka nilai limitnyaadalah

n 2 1

n 2n 1 2lim n an limn

Karena nilai limit r = ½ (< 1), makaderet

n1 n1

2n 2 n

konvergen

LATIHAN

Selidiki kekonvergenan dari deret berikut:

1

n1

n

ln n

n1 2n 1

3n 2 n

n1

n

3n 2

n

1

n1 2

1 n

n

2. 4.

3.1.

DERET GANTI TANDA DAN KEKONVERGENAN MUTLAK

Deret Ganti Tanda

Deret ini mempunyai bentuk sebagai berikut

1n1an a1 a2 a3 a4 ...

n1

dengan an > 0, untuk semuan.

Contoh penting adalah deret harmonik berganti tanda, yaitu

. ..1 1

1 1

n 2 3 4 1 1

n 1

n 1

UJI DERET GANTI TANDA

Andaikan deret ganti tanda, deret tersebut dikatakan

konvergen jika

1. an+1< an

2. lim an 0n

Contoh

Tentukan kekonvergenan deret ganti tanda berikut

1.

2.

11

1

1 ...

2 3 4

11

1

1 ...

2! 3! 4!

CONTOH

1. Jawab (uji ganti tanda)

n nDari soal diatas kita punya a =

1 , dan an+1

=1

n 1

tersebut konvergen jika

,deret

a.1

1 1nn

n11

n1

1na

n an1

an >an+1

b. lima lim 1 0

nnn

n

Karena a dan b terpenuhi maka deret di atas konvergen.

CONTOH

1

n! n+1, dan a =

1

n1!

a.

2. Jawab (uji ganti tanda)

Dari soal diatas kita punya an=

deret tersebut konvergenjika

1

an

an1

n! n 1 11

(n1)!

an>an+1

b. lima lim 1 0

nn!n

n

Karena a dan b terpenuhi maka deret di atas konvergen.

LATIHAN

Selidiki kekonvergenan dari deret ganti tanda berikut:

21

n1

n1

3n1

n13n

1n n

21n1

n

n n

n3 11n

n(n1)2.

3.

4. n1

1.

n1 n1

bn dikatakan konvergen mutlak jika bn konvergen.

n1

divergen,

konvergen.

Dan dikatakan konvergen bersyarat jika bn

tetapibn

n1

KONVERGEN MUTLAK DAN KONVERGEN BERSYARAT

Suatu deret dikatakan konvergen mutlak bila harga

mutlak deret tersebutkonvergen.

Atau dengan kata lain :

PENGUJIAN KEKONVERGENAN MUTLAK

dengan an 0dana

n1

an

limn

rMisalkanan

n1

Maka

1. Jika r < 1, makaderet konvergen mutlak

2. Jika r > 1, maka deretdivergen

3. Jika r = 1, maka tesgagal

CONTOH

Selidiki deret berikut konvergen bersyarat, konvergen mutlak atau divergen

1. 21

n1

n

n1

n!

2n!

nann1n

an1

n1

1n2 2n1

limr lim limn 1!

n

2n1n!

n

2 lim

2 n1! n n 1

n!

n1 2nn2

, dan an1 12n1

n1!

Menurut uji hasil bagi mutlak, deret ini konvergen mutlak

Jawab:

Dari soal diatas kita memiliki an 1

sehingga

0

CONTOH

2. 1

n1

n1

n1

Jawab:

n1

1n1 1

n

Dengan uji deret ganti tanda deret 1

n1

n1

adalah deretdivergen

n1

1

n

an n1 n1

Jadi deret

konvergen

(karena merupakan deret-p denganp= ½ < 1)

adalah konvergenbersyarat.

(buktikan!!), sedangkan

LATIHAN

1 5

n1

n

n n

(1)n

n1 3n 2

11

n1

n

nn1

n1

(1)n1

n1

n ln n

(1)n1

n n1

1.

2.

3.

4.

5.

Selidiki apakah deret tersebut konvergen mutlak, konvergen bersyarat atau divergen:

DERETPANGKAT

Deret pangkat secara umum ada dua bentuk

1. Deret pangkat dalam x didefinisikan

an x n

n0

= a0 + a1 x + a2 x2 + . . .

2. Deret pangkat dalam(x –b) didefinisikan

n0

nn

a x b0 1 2

2= a + a (x-b) + a (x-b) + . . .

Untuk kali ini kita bicara selang kekonvergenan / untuk harga xberapa saja deret pangkat tersebut konvergen.

SELANG KEKONVERGENAN

Selang kekonvergenan ditentukan dengan uji hasil bagi

mutlak sebagai berikut:

Misalkan n0

n

na x b dan

na (x b)n

L limn1an 1(x b)

n

1. Jika L < 1, maka deretkonvergen.

2. Jika L=1, tidak dapat diambil kesimpulan gunakan uji deret

sebelumnya.

SOAL

Tentukan selang kekonvergenanderet

xn

n0

(n1)2n

xn

n0(n1)!

n0

1.

2.

3. (n 1)!xn

JAWAB [1]

1. Kita akan gunakan Uji Hasil Bagi Mutlak, untuk menyelidiki

kekonvergenan mutlak.

Jadi deret tersebut konvergen mutlak apabila L< 1, yaitu –2 < x < 2

Kemudian akan kita cek untuk titik ujung intervalnya, yaitu x = 2 ataux = -2 .

Pada x =2

xn1 xn

n1 nn 2

x (n1) x

2L lim : lim

n 2 (n 2)(n 2) (n1)2

12n

n1 n1

n1n 1 2

n

deret ini adalah deret harmonik yang divergen.

JAWAB [2]

Pada x =–2

deret ini adalah deret harmonik berganti tanda yang konvergen.

Sehingga selang kekonvergenannya adalah –2 x< 2

n1 n1

1n

n1

2 n

n12 n

57

JAWAB [3]

2. Kita akan gunakan Uji Hasil bagi Mutlak,

untuk menyelidiki kekonvergenan mutlak.

xxn1 xn

L lim : lim 0n n 2! n1! n n 2

Karena L = 0 < 1, maka deret selalu konvergen untuk semua nilaix.

Jadi selang kekonvergenannya adalah (-,)

JAWAB [4]

3. Kita akan gunakan Uji Hasilbagi Mutlak, untuk

menyelidiki kekonvergenan mutlak.

Jadi deret tersebut konvergen hanya untuk x = 0.

n n

n 2!xn1

L limn

Lim n 2 x n1!x

0, jika x 0

, jika x 0

TEOREMA 1

Himpunan kekonvergenan deret pangkat anxn

n0

selang yang berupa salah satu dari ketiga jenis berikut:

1. satu titik x =0

2. selang (-c, c), mungkin ditambah salah satu atau keduanya titikujungnya.

3. seluruh himpunan bilanganriil

berbentuk

TEOREMA 2

• Himpunan kekonvergenan deret pangkatan(x b)n

n0

• Berbentuk selang yang berupa salah satu dari ketiga jenis berikut :

1. satu titik x =b

2. selang (b-c, c+b), mungkin ditambah salah satu atau keduanya titikujungnya.

3. seluruh himpunan bilanganriil

LATIHAN

Tentukan selang kekonvergenan deret pangkat berikut:

n0 n12

(x 1)n

x 23 ln 3 x 24

ln 4 ...

3!2!

2

...

3.27 4.81

x 23x 2

2.9

x 2

1.

2. x 22ln 2

3.

OPERASI DERET PANGKAT

Dalam pasal sebelumnya untuk 1 x 1 deret

a

1 x

axn axn1

n0 n1

Pertanyaan yang muncul mengenai sifat-sifat deret kuasa di

atas (misalS(x)=

n0

didiferensialkan dan jika S(x) diintegralkan.

axn ) misalkan bagaimana jika S(x)

TEOREMA

Andaikan S(x) adalah jumlah sebuah deret pangkat pada sebuah selang I,

jadi

S(x) anxn a0 a1x a2x2 a3x3 ...

2 30 1 2 3

30 2

0 0

1 1

2 3

nn

x xn

n

D a

ax

n1

1. S '(x) x d [a a x a x a x ...]

2. S(t) dt a t dt a x a1x2 a x ... n

n1

n0

a1 2a2x 3a3x2 ...

an n xn1

n1

n0

n0

n0

maka :

CONTOH

Sesuai teorema diatas,

1 x

1= 1 + x + x2 + x3 + . . . untuk -1< x <1

a.1

1 x2b. ln(1 –x)Tentukan:

Jawab:

a. Dengan menurunkan sukudemi suku, kita peroleh

2 3xD

D 1 x x x ...x

1

1 x

1

1 2x 3x2 ...1 x2

n xn1, 1 x 1

n1

CONTOH

b. ln (1 –x)

Sedangkan dengan mengintegralkan suku demi suku, kita peroleh juga

2

0

x

ln(1 x) dt 1 t t t3 ... dt1

1 t

x

0

4

1

3

1

2

1

0

x x2 x3 x4 ...t 4 ... t t 2 t3

x

-1< x <1

1 1 1

2 3 4

xn,

1

nln(1 x)

n1

LATIHAN

1f (x)

x1 x

1f (x) 2x2

1 x

f (x) ln1 x

1 x1

1 x2f (x)

1.

3.

6.2.

5.

1

2 3xf (x) 7.

1 x

1

1 x2f (x) 4.

Tentukan (Petunjuk : Lihat contoh a dan b di atas)

f (x) tan1x

DERET TAYLOR DAN DERET MACLURIN

Deret Taylor

• Definisi:

Misalkan f(x) dapat diturunkan sampai n kali pada x=b, maka f(x)dapat diperderetkan menjadi deret kuasa dalam bentuk

n

n! 2!

n0

f (n) (b) f ''(b)(x b)2

x b f (b) f '(b)(x b) ...f (x) deret di atas disebut Deret Taylor dengan pusat x =b. Bila b =0,

kita peroleh Deret Mac Laurin, yaitu

n

68

f (n) (0) f ''(0) x2

xn! 2!

n0

f (0) f '(0) x ...f (x)

CONTOH

Perderetkan fungsi berikut dengan deret maclaurin:

1. f(x)= sin x

Jawab:

f(0) =0

f’(0) =1

f’’(0) =0

f’’’(0) =-1

f lV(0) =0

3! 5! 7! . . .

x3 x5 x7

f(x) = sinx

f ’(x) = cos x

f ’’(x) = -sinx

f ’’’(x) = -cos x

f lV (x) = sinx

Sehingga,

f (x) sin x x

n0

1 n

2n1!

x2n1

CONTOH

f(0) =1

f’(0) =1

f’’(0) =1

f’’’(0) =1

f lV(0) =1

2! 3! 4! . . .

x2 x3 x4

1 x

2. f(x)= ex

Jawab:

f(x) =ex

f ’(x) =ex

f ’’(x) =ex

f ’’’(x) =ex

f lV (x) =ex

Sehingga,

f (x) e x

n0 n!

xn

CONTOH

3. Perderetkan f(x)= ex dengan deret taylor dengan pusat di x=1

Jawab:

f(1) =e

f’(1) =e

f’’(1) =e

f’’’(1) =e

f lV(1) =e

f(x) =ex

f ’(x) =ex

f ’’(x) =ex

f ’’’(x) =ex

f lV (x) = ex

Sehingga,

3!2! . . .

x 13 e

x 12

f ( x ) e x e e( x 1) e

n !

x 1n

en0

LATIHAN

1. Perderetkan dengan f(x) berikut deret maclaurin

a. f(x) = cosx

b. f(x) = cosx2

c. f(x) = cos2x

e. f(x) = sin2x

f. f(x) = sec x

g. f(x) = tanx

d. f(x) = ex + sin x h. f(x) = sec x

2.Perderetkan dengan f(x) berikut deret taylor dengan pusat x =a

a. f(x) = cos x, a =/3 a. f(x) = ex, a = 2

b. f(x) = sin x, a =/3