LIMIT TAK HINGGA - papankecil.files.wordpress.com · Barisan tersebut adalah barisan geometri tak...

SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika P./Limit Tak Hingga (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 1

SOAL-JAWAB MATEMATIKA PEMINATAN

LIMIT TAK HINGGA

Soal 1

?...16

1

8

1

4

1

2

11

Jawab:

Deret tersebut adalah deret geometri tak hingga dengan suku pertama 1a dan rasio

2

1r . Gunakan rumus deret geometri tak hingga yang mahsyur:

r1

aS

.

Jadi, 2)(

1

1

1

21

21

S .

Soal 2

?...2

1

2

1122

Jawab:

Barisan tersebut adalah barisan geometri tak hingga dengan suku pertama 2a dan rasio

2

2

1

2 U

Ur . Maka jumlahnya adalah:

22

42

1

2

12

2222

r

aS .

Kalau penyebutnya mau dirasionalkan juga boleh.

121

41

81

161

321

...


2242

)22(4

24

224

22

22

22

4

S .

Soal 3

?...9313

1

9

1

Jawab:

Barisan tersebut adalah deret geometri tak hingga dengan rasio 3r (lebih besar dari 1),

sehingga suku-sukunya makin lama makin besar (makin membengkak). Sehingga deret tak

hingganya divergen (tak terbatas). Jadi, S .

INGAT!

Rumus deret geometri tak hingga:

r1

aS

(konvergen) jika 1r

S (divergen) jika 1r

Soal 4

Deret tak hingga ...)1()1()1(24 3

212 xxxxxxx konvergen untuk

nilai-nilai x berapa?

Jawab:

Deret tersebut adalah deret gemetri tak hingga dengan rasio

2

)1(

4

)1(2

1

2

x

x

xx

U

Ur .

Agar konvergen, nilai r haruslah memenuhi 1r .

2

1


Maka,

1r

11 r

12

11

x

semua ruas kita kalikan 2, menjadi:

212 x

kemudian semua ruas kita tambah 1, menjadi:

31 x

Jadi, nilai-nilai x agar deret tak hingga ...)1()1()1(24 3

212 xxxxxxx

konvergen berada pada selang 31 x .

Soal 5

Sebuah bola dijatuhkan bebas dari ketinggian 12 m menumbuk lantai, kemudian memantul

hingga ketinggian 6 m, kemudian jatuh kembali dan memantul hingga ketinggian 3 m, begitu

seterusnya sehingga ketinggian setiap pantulan adalah 2

1dari ketinggian pantulan

sebelumnya. Berapakah panjang total lintasan bola sampai berhenti?

Jawab:

Perhatikan gambar berikut !

Dari gambar, jelaslah bahwa:


Panjang total lintasan bola ...5,12326212

...)5,136(212

Bentuk di dalam kurung adalah deret geometri tak hingga dengan a = 6 dan r = ½.

r

a

1

212

211

6212

)(

6212

21

36241212212 meter.

Catatan: Ketinggian awal (12 m) dipisahkan dari yang lainnya karena keadaan awal

lintasannya satu arah (hanya ke bawah saja), sedangkan ketinggian-ketinggian selanjutnya

dua arah (ke atas dan ke bawah). Jadi, wajar ya jika ketinggian awal 12 m dipisahkan

perhitungannya dari yang lain.

Soal 6

?13

452lim

2

2

xx

xx

x

Jawab:

Bagi pembilang dan penyebut pada pecahan di atas dengan x2 (pangkat tertinggi).

2

2

2

2

2

2

13

452

lim13

452lim

x

xx

x

xx

xx

xx

xx

2

2

113

452

lim

xx

xx

x

3

2

003

002

.

INGA, INGA..!

054321


CARA LAIN:

Ambil aja koefisien suku x2 (pangkat tertinggi) saja. Jadi,

3

2

13

452lim

2

2

xx

xx

x.

Soal 7

87

12lim

2

2

xx

xx

x

Jawab:

Bagi pembilangan dan penyebut dengan

2 xx . Jadi,

x

xx

x

x

x

x

xx

xx

xx 87

12

lim

87

12lim

2

2

2

2

2

2

2

2

87

121

lim

x

xx

x

x

x

2

2

871

121

lim

xx

x

x

21001

021

.

CARA LAIN:

Ambil aja koefisien suku

2 xx (pangkat tertinggi) saja. Jadi,

211

21

87

12lim

2

2

xx

xx

x.


Inget:

Inget:

Soal 8

?12654lim 2

xxxx

Jawab:

Perhatikanlah

12654lim 2

xxxx

)12(654lim 2

xxxx

22 )12(654lim

xxx

x

144654lim 22

xxxxx

Lalu kalikan sekawannya,

144654

144654

144654lim22

22

22

xxxx

xxxx

xxxxx

144654

)144()654(lim

22

22

xxxx

xxxx

x

144654

144654lim

22

22

xxxx

xxxx

x

144654

79lim

22

xxxx

x

x

Kemudian bagi pembilang dengan penyebut dengan

2 xx .

2

22 144654

79

lim

x

xxxx

x

x

x

222 2)( bababa

22))(( bababa


22

144

654

79

lim

xxxx

x

x

4

9

22

9

004004

09

.

CARA CEPAT:

Gunakan rumus:

a

qbrqxpxcbxax

x 2lim 22

(dengan syarat a = p)

Maka 12654lim 2

xxxx

)12(654lim 2

xxxx

144654lim 22

xxxxx

(Di sini a = 4, b = 5, c = –6, p = 4, q = –4, r = 1. Syarat a = p terpenuhi!)

.2

9

22

9

42

)4(5

2

a

qb

Soal 9

?1532469lim 222

xxxxxxx

Jawab:

Kita gunakan rumus menawan berikut ini:

g

h

d

e

a

bihxgxfexdxcbxax

x 222lim 222

.

dengan syarat gda .


Pada soal, a = 9, b = 1, c = –6, d = 4, e = 2, f = 3, g = 1, h = 5, i = 1.

Jelas syarat gda terpenuhi, sebab 149 3 = 2 + 1.

Jadi, 1532469lim 222

xxxxxxx

g

h

d

e

a

b

222

12

5

42

2

92

1

.6

17

6

1531

2

5

2

1

6

1

Kawan-kawan, pembuktian rumus

g

h

d

e

a

bihxgxfexdxcbxax

x 222lim 222

(dengan

gda ) barangkali akan menjadi soal menantang yang mengasyikkan!!

SAYEMBARA

Jika Anda dapat membuktikan rumus di atas, hubungi nomor 081808878784 atau

085771073794 dan serahkan jawaban Anda, mungkin Anda akan mendapat hadiah !

or or or

Soal 10

Persegi-persegi berikut ini jika dijumlahkan luasnya sampai tak hingga banyak perseginya,

maka total luasnya adalah….


.21rasio1

awalsuku 2

21

2

aa

Jawab:

Lihat gambar di atas!

Panjang sisi persegi I = a

Panjang sisi persegi II = 2212

212

21 aaa

Panjang sisi persegi III = aaa212

412

41 22

dst…

Maka:

Luas persegi I = 2a

Luas persegi II = 22

21

2

12 aa

Luas persegi III = 22

21

4

1aa

dst…

Total luas = ...2

412

212 aaa (Deret geo tak hingga dengan suku awal 2a dan

rasio2

1 )

a2

1

a2

1

22

1a

24

1a

a2

12

4

1a


Soal 11

?32

1

1

n

nn

Jawab:

Notasi sigma

N

n

na

1

didefinisikan sebagai N

N

n

n aaaaa

...321

1

, yaitu

penjumlahan an dari n = 1 sampai n = N.

Maka ...3

2

3

2

3

2

3

232

3

4

2

32

1

1

1

1

nn

n

n

nn

Ini merupakan barisan geometri tak hingga dengan suku awal 3

22

a dan rasio 3

2r .

Sehingga jumlahnya 4

3

1

3

4

3

21

3

2

1

2

r

a

Soal 12

Suatu deret geometri memiliki suku awal 18. Jumlah tak hingga suku-suku urutan genap dari

deret tersebut sama dengan 4

27 . Berapa jumlah tak hingga suku-suku urutan ganjil dari deret

tersebut?

Jawab:

Diketahui 18a dan 427

genap)( S . Ditanya ?)( ganjil S

Perhatikan deret geometri berikut:

654321

5432

U U U U UU

...

ararararara

Deret geometri suku-suku urutan genap:

...)( 53genap arararS (ini merupakan deret geo dengan suku

awal ar dan rasio 2r )


rasio

awalsukuS

1

)( genap

214

27

r

ar

Masukkan a = 18,

21

18

4

27

r

r

Kedua ruas dibagi 9,

21

2

4

3

r

r

Kali silang,

rr 8)1(3 2

rr 833 2

3830 2 rr

)3)(13(0 rr

3

1r 3r

Karena deret konvergen (ada hasilnya yang terbatas) haruslah 1r . Jadi, yang kita ambil

adalah 3

1r .

Kita hitung dulu deret tak hingga totalnya 271

18

131

r

aS .

Karena genapganjil SSS )()(

maka genapganjil SSS )()( 4

81

4

2710827

427

.


Soal 13

Hitunglah jumlah tak hingga berikut ini:

?...54

1

43

1

32

1

21

1

Jawab:

Perhatikan bahwa bentuk )1(

1

nn dapat diubah menjadi:

1

11

)1(

1

nnnn

Dengan memasukkan nilai n = 1, n = 2, n = 3, …, n = N kita peroleh:

2

1

1

1

21

1

3

1

2

1

32

1

4

1

3

1

43

1

1

11

)1(

1

NNNN

1

1

1

1

)1(

1...

43

1

32

1

21

1

NNN

Dengan mengambil N , maka kita peroleh

.101...43

1

32

1

21

1

Soal 14

Buktikan 2

32 cot...cossincossincos.sinsin xxxxxxxx .

Jawab:

Deret tersebut adalah deret geometri tak hingga dengan suku awal a = sin x dan rasio

r = cos x.


Maka

...cossincossincos.sinsin 32 xxxxxxx

r

a

1

x

x

cos1

sin

)sin21(1

cossin2

2

222

x

xx

2

222

sin2

cossin2

x

xx

22

22

sinsin2

cossin2

xx

xx

2

cot x .

Soal 15

Jika 2...sinsinsin1 642 xxx dan x merupakan sudut di kuadran I,

tentukan nilai x.

Jawab:

Deret di atas merupakan deret geometri tak hingga dengan suku awal a = 1 dan rasio

r = sin2

x. Dengan demikian,

2...sinsinsin1 642 xxx

21

r

a

2sin1

1

2

x

2cos

1

2

x

2

1cos2 x

22

1

2

1cos x

2dengan

cossin22sin

rumusGunakan

x

2

2

dengan

sin212cos

rumusGunakan

x

1cossin 22 x

!INGAT

xx 22 sin1cos

:maka


Karena x di kuadrat I, maka nilai cos-nya positif. Jadi,

22

1cos x

4

45

x

Soal 16

?sin

lim x

x

x

Jawab:

Perhatikan bahwa: 1sin1 x

untuk setiap nilai x.

Bagi semua ruas dengan bilangan positif x sehingga menjadi:

xx

x

x

1sin1

Ambil limit x ,

xx

x

x xxx

1lim

sinlim

1lim

0sin

lim0 x

x

x

Menurut teorema nilai apit, 0sin

lim x

x

x

Singkatnya, karena xsin itu nilainya terbatas dan x maka 0sin

lim x

x

x.

(Ingat 0terbatasbilangan

)

Soal 17

?1lim

13

n

n n

x

Jawab:

Gunakan bilangan Euler

n

n ne

11lim untuk soal ini.


Perhatikan:

1313

11lim1lim

xnx

xnn

n

n n

x.

Misalkan xnm . Jika n maka m . Limit di atas menjadi:

131

1lim

xm

m m

13

11

11lim

mm

xm

m

13 01 xe

.3xe

Soal 18

?2cos1

lim2

x

x

x

Jawab:

Soal ini mirip dengan soal 16. Karena cos nilainya terbatas, maka 1 + cos2x juga terbatas.

Ingat 0terbatasbilangan

. Jadi, 02cos1

lim2

x

x

x

Soal 19

?sin3lim 2 xx

x

Jawab:

Ambil x

y1

. Karena x maka 0y . Sehingga:

61

23)2sin(

13limsin3lim

0

2

yy

xyxx

.

Jangan lupa:

b

a

by

ay

y

sinlim

0


Soal 20

?...321

...32lim

2222

2

n

nnnn

n

Jawab:

Perhatikan bahwa bagian pembilang dapat disederhakan menjadi:

)...321(...32 2 nnnnnn 2

)1(

2

)1)(( 2

nnnnn.

[Deret 1 + 2 + 3 +…+ n adalah deret aritmatika dengan a = 1, b = 1, dan suku terakhir

nUn . Maka 2

)1()1(

2

1)(

2

1...321

nnnnUanSn nn ]

Sedangkan untuk bagian penyebut, kita dapat gunakan rumus:

6

)12)(1(...321 2222

nnn

n

[Hafalin aje rumusnye ye!]

Jadi,

6

)12)(1(

2

)1(

lim...321

...32lim

2

2222

2

nnn

nn

n

nnnn

nn

rendahlebih yanglain suku suku 2.

lim3

61

2

213

21

n

nn

n

Untuk n , cukup kita perhatikan suku n3

(pangkat tertinggi). Jadi,

2

3

2.lim

6221

3

61

3

21

n

n

n.

Soal 21

?

178114

248256lim

4 482

3 3562

xxxx

xxxxx

x

Jawab:


Triknya adalah pembilang dan penyebut dibagi x pangkat tertinggi, yaitu dibagi 2x (atau

dikali 2

1

x) . Jadi,

4 482

3 3562

178114

248256lim

xxxx

xxxxx

x

2

2

4 482

3 3562

1

1

178114

248256lim

x

x

xxxx

xxxxx

x

4 48

22

2

3 356

22

2

1781114

2481256

lim

xxxx

xx

xxxxx

xx

x

4 484

8

2

3 356362

17811

141

248125

6

lim

xxx

xx

xxxxxx

x

(Di sini digunakan 362

11

xx dan 4

82

11

xx )

48

482

2

36

356

2

178114

1

248256

lim

x

xxx

x

x

xxx

xx

x

(Di sini digunakan 2

11

xx )

4842

3622

1781

14

2418

256

lim

xxx

xxxxx

x

5

4

32

26

008104

00080064

3

.


Soal 22

?133

733lim

12

122

xx

xx

x

Jawab:

Untuk memecahkan soal ini, gunakan pemisalan xp 3 .

Jelas untuk x maka p . Juga xxp 222 33 .

Maka:

133

733lim

12

122

xx

xx

x 133.3

73.33.3lim

12

122

xx

xx

x

133.3

73.39.3lim

2

2

xx

xx

x

13

739lim

2

2

pp

pp

p

Kemudian, pembilang dan penyebut sama-sama dikali

2

1

p.

2

2

2

2

1

1

13

739lim

p

p

pp

pp

p

2

2

113

739

lim

pp

pp

p

33

9

003

009lim

p.

Soal 23

Jika 3

72)1(9513lim 2

xqxxx

x, tentukan nilai q.

Jawab:


3

72)1(9513lim 2

xqxxx

x

3

72)1(9519lim 2

xqxxx

x

3

72)1(9)5)(1(9lim 2

xqxxx

x

3

72)1(9)54(9lim 22

xqxxx

x

3

72)1(945369lim 22

xqxxx

x

Gunakan rumus a

qb

2

dengan 36b dan )1( qq , sehingga menjadi:

3

7

92

)1(36

q

3

7

32

37

q

1437 q

51q .

LIMIT TAK HINGGA - papankecil.files.wordpress.com · Barisan tersebut adalah barisan geometri tak...

Documents

Transcript of LIMIT TAK HINGGA - papankecil.files.wordpress.com · Barisan tersebut adalah barisan geometri tak...