Fungsi dan Limit I - Powered by GDL4.2 | ELIB...
58
Fungsi dan Limit "l I 2.1 Fungsi danGrafiknya L2 Operai pada Fungsi 2.3 Funpi Trigonometri 24 Pendahuluan Limit 2.5 Pengkajian Mendalam Tentang Limit 26 Teorema Limit 2.7 Kekontinuan Fungsi 2.8 Soal-soal Ulangan Bab Karya termasyur [Cours d'analysedai Cauchy] harus dibaca oleh siapasaia yang mencintai ketelitian dalam penyelidikan matematis. Niels Hendik Abel
Transcript of Fungsi dan Limit I - Powered by GDL4.2 | ELIB...
Fungsi dan Limit
" lI
2.1 Fungsi dan GrafiknyaL2 Operai pada Fungsi2.3 Funpi Trigonometri24 Pendahuluan Limit2.5 Pengkajian Mendalam Tentang Limit26 Teorema Limit2.7 Kekontinuan Fungsi2.8 Soal-soal Ulangan Bab
Karya termasyur [Cours d'analyse dai Cauchy] harusdibaca oleh siapa saia yang mencintai ketelitian dalam
peny elidikan matematis.Niels Hendik Abel
48 Kalkulus dan GeometriAnalitis,Iilid I
2.1 Fungsi dan Grafiknya
Bayangkanlah suatu fungsi sebagai veblrah senapan. Fungsi ini mengambil amunisi darisuatu himpunan yang dinamakan daerah asal (daerah definisi, domain) dan menembak-kannya pada suatu himpunan sasaran. Setiap peluru mengenai sebuah titik sasaran tunggal,tetapi dapat terjadi bahwa beberapa peluru mendarat pada titik yang sama. Kita dapat me-nyatakan definisi secara lebih formal dan memperkenalkan beberapa cara penulisan secgrabersamaan,
Daerah Asal
GAMBAR I
Daerah Asal
GAMBAR 2
Daerah Hasil
Daerah Hasi l
Definisi ini tidak memberikan pembatasan padahimpunan-himpunan daerah asal dan daerah hasil.Dasrah asal mungkin terdiri dari himpunan orang dalamkelas kalkulus anda, daerah nilai berupa himpunan angka
U, B, C, D, F\ yang akan diberikan, dan aturan padan-an adalah prosedur yang dipakai dosen anda dalammemberikan angka.
Dalam kalkulus yang akan lebih bertalian adalahcontohcontoh dengan daerah asal dan daerah hasil dimana keduanya berupa himpunan bilangan riil. Misalnya,fungsi g mungkin mengambil sebuah bilangan riil x danmengkuadratkannya, sehingga menghasilkan bilanganfil| x2 . Dalam hal ini, kita mempunyai sebuah rumusyang memberikan aturan padanan, yaitu 6(x) = x2.Sebuah diagram skematis untuk fungsi ini diperlihat-kan dalam Gambar 2.
NOTASI FUNGSI. Untuk memberi nama fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti /(atau g atau F). Maka/(x), yang dibaca'f darix" atau "f padax", menunjukkan nilaiyangdiberikan oleh/kepadax. Jadi, j ika/(x) =xt -4,
f ( 2 ) : 2 3 - 4 : 4
f ( - r ) : ( - l ) 3 - 4 : - 5
f (a ) : a3 - 4
f ( a + h ) : ( a + h ) t - 4 : a 3 * 3 a 2 h + 3 a h ? a h 3 - 4L I-=_4
1-
fub 2 Fungsi dan Limit
Pemahaman yang jelas tentang cara menuliskan fungsi adalah hal yang sangat penting dalamkalkulus. Pelajarilah contoh-contoh berikut secara seksama. Contoh-contoh tersebut akanmemainkan pennan penting dalam bab berikutnya.
49
CONTOH l. LIntuk {x) = x2 - ?t, cari@) f@ + h) - f({), (d) v@ + h's - fl+)l lh
Penyelesoian
@ f ( ) : 4 2 _ 2 . 4 : 8
dan sederhanakan: (a) .f(a), g) f(4+ h),
. 1
1 6 + 8 h + h 2 - 8 - 2 h
,,, f(4 + h) - f(4) 6h + h2h h
(b) f(4+ ft) : (4 + D2 - 2@ + h) :: 8 + 6 h + h z
@ f ( a + D - f ( ) : 8 + 6 f t + h 2 - 8 : 6 h + h 2
r yL :6+ h
. I I a _ . ( a + h )g\a + h) - s(a) _a + h a (a + h)a_-
h -: --_t'-: ___
l,-
I
CONTOH 2. Untuk 3(r) = ||x,cari dan sederhanakan I a + h) - ee)l |h
Penyelevian
- h I _ l _ l- @ + n V i - ( a + h ) a : z l a h I
DAERAH ASAL DAN DAERAH HAslL. Aturan padanan merupakan pusat dari suatufungsi, tetapi sebuah fungsi belum secara lengkap ditentukan sampai daerah asalnya diberi-
2
1
kan. Ingatlah kembali bahwa doerah asal adalah himpunanelemen+lemen pada mana fungsi itu mendapat nilai.eeuh-fosi| adalah himpunan nilai-nilai yang diperolehsecua demikian. Misalnya, jika F adalah fungsi denganaturan F(x) = x2 + I dan jika daerah asal dirinci sebagail-1, 0, 1,2,3j (Gambar 3), maka daerah hasilnya adalah| 1,2, 5, l0 | . Daerah asal dan aturan untuk menentukandaerah hasil tersebut.
Bilamana untuk sebuah fungsi daerah asalnya tidakdirinci, kita selalu menganggap bahwa daerah asalnya
yang terbesar sehingga aturan fungsi ada maknanya dari
F l x l = x 2 + 13 - l Q
2 - 5
0-t
Drerah Asal Daerah hasil
GAMBAR 3
adalah himpunan bilangan riilmemberikan nilai bilangn riil. Ini disebui daerah asal mula (domain natural).
CqNIqH 3. Cari daerah asal mula (natural) untuk: (a) flx) = tl(x - 3); (b) g(r) =J;}Penyelevion
(a) Daerah asal mula untuk / adalah {x e R: x *, 3 } . Ini dibaca "himpunan xdalam R (bilangan riil) sedemikian sehingga x tidak sama dengan 3". Kita ke-cualikan 3 untuk menghindari pembagian deh 0.
50 Kalkulus&n C*r-{t*f' n t
(b) D sini kitaharusmembatasi rsedemiktun sehinggag - f > 0 dengan tujuanmenghindari nilai-nilai tak riil untuk ."/9 - f2. Ini dicapai dengan mensyaratkanbahwa lrl ( 3. Sehingga, daerah asal mula adalah {t e R : I r | < 3}. Dalam carapenulisan selang, kita dapat menulis daerah asal sebagai [-3, 3] . I
Bilamana aturan untuk suatu fungsi diberikan oleh sebuah persamaan berbenfuky = l(x) (misalnya, ! =x3 + 3x - 6),x seringkali disebut varQbel-beb4dany variabeltak bebas. Sebarang elemen dari daerah asal boleh dipilih sebagai nilai dari variabelS6-basx, tetapi pilihan itu secara tuntas menentukan nilai padanan dari variabel tak bebas.Jadi, nilai y tergantung dari pilihan nilai x.
GRAFIK FUNGSI. Bilamana daerah asal dan daerah hasil sebuah fungsi merupakan bi-langan riil, kita dapat membayangkan fungsi itu dengan menggambarkan grafiknya padasuatu bidangkoordinat. Dan grafik fungsi/adalah grafik dari persamaany =/(x).
CONTOH 4. Buatlah sketsa grafik dari: (a) /(x) = x2 - 2;(c) ft(x) = 2l@ - r).
(b) sft) = x3 - b;
Penyehvian Kita gunakan daerah asal mula (domain natural). Dalam kasus / dan g, iniberupa himpunan semua bilangan riil R; untuk ft, ini adalah semua lR kecuali l.Dengan mengikuti prosedur yang diuraikan dalam Pasal 1.7 (buat sebuah tabel nilai,rajah titik-titik yang berpadanan, hubungkan titik-titik ini dengan sebuah kurvamulus), kita peroleh tiga grafik yang diperlihatkan dalam Gambar 4 sampai 6.
y = f l x l = x 2 - 2
GAMBAR 4
Y : g l x l : x 3 - 2 x
GAMBAR 5
y = h l x l = , 2 = . .t x - r l
GAMBAR6 I
!I
- + - J 1
Bab 2 Fungsi don Limit
:--!l
5l
Perhatikan gafik dari D secara lebh sahama; grafik ini menunjukkan suatu pe-nyederhanaan berlebihan yang kita buat dan sekarang perlu diperbaiki. iada waktu meng-hubungkur titik-titik yang daajah dengan sebuah kuwa mulus, jangan melakukannya secararnekanis sehingga mengabaikankeistimewaan yang mungkin;elas kitihatan dari rumus fung-si tenebut. Dalam kasus h(x) = 2l(x - l) ielas bahwa sesuatu yang dramatis hanrs terjadibilamana x mendekati l. Nyatanya, nilai-nilai lft(x)t membe* Lp. batas (misalnya,h(0,99) = -200 dan l(1,001) = 2000). Kita telah menunjukkan ini dengur menarik se buahpris tegak putus-putus yang disebut asimtot, pada x = l. Bila x mendekati l, grafiksemakin mendekati garis ini, walaupun garis ini sendiri bukan merupakan bagian darigafik, melainkpn lebih merupakan suatu garis petunjuk. perhdtikan bahwa grafik dari ipga mempunyai sebuah asimtot mendatar, yakni sumbu x.
Kita mungkin bertanya; Apa /aerah nilai unnrk masing-masing tiga fungsi ini? Jlwab-nya, yang kita peroleh dengan melihat pada grafik, diberilsn dalam tabel.
FUNGSI GENAP DAN GANIlL. Seringkali kita memperkirakan kesimetrian grafiksuatu
/ lnsi dengan memerilsa rumus fuirgsi tersebut. llka fl-x)= l(x), maka grafik simetri ter-'hadap sumbu y. Fungsi yang demikian disebut _fungsi genap. barangkali karena fungsi
yang merinci /(;r) sebagai jumlah dari, parfgtcat-p*gt"t pn"p r .a"tut genap. runlif(t) =
:' - 2^ (digafikkan dalam Gambar 4) adalah gpnap; demikiur- juga {r)-=
3rc6-2x' * I lx2 -5,fix) = xz l(t * x4) danl(r)= @! -2xtl3x.Jika /(-*) = -f(x), grafik,simetri terhadap titik asal. Kita sebut fungsi yang demikian
$lg{ ganiil Fungsi yang merirbe.rikan /(x) sebagai junrlah dari pangkat-pangt<at ganjil xadalah ganjil. Jadi, g(x) = x3 - 2x (digafikl€n dalam Gambar s)-aaaiah ganjil. perhatikanbahwa
, S(-x) : ( -x) . - 2(-x) : -x l - r 2x: - ( " . - 2x) : _g(x)t
l-bilat fungsi ketiga ,re) = 2l@ - l), yang kita grafikkan dalam Gambar 6. Fungsiini ldak genap ataupun ganjil. Untuk melihat ini, amati bahwa h(-x) = 2l(_x _ l), yangtidak sama dengan ft(x) atau pun -l(x). Peihatikan batrwa grafiknya tidak simetri ter-hadap sumbu x atau pun titik asal. (Grafik dari ft memang simetri terhadpp titik (1,0),hasil yang berasal dari kenyataan bahwalr(l +x) = _ft(l-r))
CONTOH 5. Apakah tVi:;{ffi. genap, ganjil, atau bukan keduanya?
Penyelesaian Karena
r(-x): cH** : i9#* : _,r(x)/adalah furtgsi ganjil.
untuk fungsi-fungsi genap dan ganjil lainnya, lihat soal 23 dan 24 padapasal2.2.
l ^ ri
*3
r l-----.--\v/\
UA FUNGSI KEJfSUS. Di antara fungsifungsi yang akan sering digunakan sebagai| | dan fungsi bilanganSdf dua yang sangat khusus: fungsi nilai mutlak
bulat terbesar [ ]. Fungsi-fungsi ini didefinisikan dengan
' " ' : l ' x j i k a ' x > o
r - ' ' l - - x j i ka x < 0
dan [x] : bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan r.
Jadi , f -3,1 1 = 13,1 I :3 , t r ,sedangkan [ -3,1] =-4dan[3,1 n=3. Yangpertamaadalahfungsi genap, karena l-xl : lxl. Apakah I n genap, atau ganjil, atau bukan salah satu-
nya? Kita perlihatkan grafik dua fungsi ini dalam Gambar 7 dan 8-
GAMBAR 7
Kita seringkali akan tertarik
1xl mempunyai sudut tajam padabilangan bulat.
v = n x \
GAMBAR 8
SOAL. 2.1
tuk /(r) = x 2 -nilai.
pada
titik
Kalkulus dan Geometri Analitis lilid I
ciri khas berikut dari fungsi-fungsi ini. Grafikasal, sedangkan grafik [r]] melompat pada tiap
3. Untuk Gty) = l lO - 1),hitunelahmasing-masing nilai.
(a) ,r(l )(c)(e) ,/( - 6)G) fQt)
/ l \(i) /t;/ // q yQ-,,Untut F(x) = 3tr
masing-masing nilai.
(a ) F( -6 )
(c) r(3.2)
(e) F(n)
(a) c(0)(c) G(1.01)
( e ) G ( - x )
4- Untuk O(, = t/tlttlah masing-masing nilai.
(a) st(0)(c) d(x')
(e) 0(- t )
g 5. Untuk
(b) / ( -2)(d) /(A)(f) /(i)(h) /(3r)
* x, hihrnglah
(b) c(O.eee)(d) G(l'�)
1t c(,,1)
+ t2;, hitung-
(b) d(i)(d) d(x + 2)
/ l \(f) dl,./(b) r(i)xairrV6r9 , , ,O'\:) /Q) : xn -P 3x3 - 6x2 1 2x + 1
: {[(x + 3)-x - 6]x + 2]x + I,
i
i la 4 , - J -
y - l x l
Db 2 Fungsi don Limit
litunglah masing-masing..,nilai .
(a) /(Q32) (b) f(n)(c) fQ + A)
El o. untuk
eQ): x5 - 5xr + 2x2 - nx *,/t r'
: {[(x'� - 5)x + 2)x - n]x + 15,hitunglah m asing-masing nilai.
(a) s(- | ,71)tq s($)
E z. unruk /(x) = y''?T-e71x -rF>.hihrnelah masing-masing nilai.
(a) f(o/e) (b) f(r2,26)(c) fQfr)
El 8. Jika G(r) - tzl3 - +Vr, ttitrndattmasingmasing nilai.
(a) G(1,a6) (b) G(zt(c) G(-1,23)
* Mana dari yang borikut menetrtu-kan suatu fung$ / dengan rumus ), = f(&)?Unhrk yang demikian, cari flx). Petuniuk:Selesaikan untuk y dalam bentrk x, danpcrtatikan bahwa definisi fungsi mensyarat-kan suatuy tunggal untuk tiapx.
(a ) x2 + y2 :4 O ) x y + y + 3 x : 4
(c) x: $y + | (d) 3x:.- l' v + l
'*Q. Mana dari grafik*rafik dalamGambar 9 menrpakao gafik dari funpi-fungsi dengan rumw berbcntuk 7 = fl1)?
( a ) l | f V l /
@ --l'f"'\-
\l -T-, '
GAMBAR 9
53
Soal ini rnenyarankan suatu aturan: Un.tuk grafik yang meniadi grafik fungsty = t(x), setiap garis vertikal harus menya.rtu dengan grafiknya dalam satu titik.
N. Unhrk flx\ = ?x2 - l, cari danrsederhanakan [fla + h) I flo)llh. (LthatContoh I dan 2).
/\ffi/unark F(r) = 4r3, cari dan seder-r' \-+r*a*dn IF(a + h) - F(a)l lh.13. Unbrk g(u) = 3l@ - 2), cari dan
(b) s(3,01) sederhanakan Is@ + h) - s{x)lltL l14. Untuk G(t) = 111, + 4), cari dan,
sederhanakan [G(a+ h) - G(a)l lh.
)5. Can daerah asal mula (domain'natural) untuk masing-masing yang beri-kut. (Lihat Contoh 3).(a) F(z): JE + 3 O) s(u) : U@o - r)
J7 -, (d) H(y) : -J6r5 -T
a l9 ,Fan daerah asal mula dalam tiap\-tasur/
4 - x 2(a),f(x) : ?- o) c(v) : ..6 +lt=r
(c) d(u) -- l2u + 3l (d) r(r) : ft3 - 4
Dalam Soal+oal l'l -3 2, nyatakanlah apakahfungsi yang dibe'rikan Senap atau gadil atautidak mtu pun, kemudffiffiEillE-fik-nya. (Lihat Contoh{ontoh 4 dan 5).
r7 . f (x ) : -q-}t.
;1';: rx
\ r(r) :2x * |20. F(x):3, - ,E21. g (x ) :1x2 + 2x - |
u -22. s(u): s
a.cG): - ! .x - - l
) z t I
A . i l r ) : =
E.f(*): J;-26.tdx): G + 4
21. f(x): l2xl2E.
, \
L2S G(x): [2x - r] ,
r ( r ) : - l r + 3 1
^r: ['l
I
54
N. Sebuah pabrik mempunyai kapa-sitas memproduksi lemari es tiap harimulai 0 sampai 100. Biaya overheadharian 'untuk pabrik adalah Rp. 2.200.000dan biaya langsung (karyawan dan bahan)Rp. 151.000. Tuliskan rumus untuk ?.(x),biaya total memproduksi x lemari es dalarnsatu hari, dan juga biaya satuan u(x) (biayarata-rata tiap lemari es). Apakah daerahasal untuk fungsi-fungsi ini?
E' f+. Perusahaan ABC harus menge-luarkan biaya 400 + S16@ - ? rupiahuntuk membuat x buah mainan komporyang dijual Rp. 6.000 sebuah.(a) Cari rumus untuk P(x), kzuntungantotal dalam membuatx kompor.(b) Hitung P(200) dan P(l000).(c) Berapa buah kompor harus dibuatoleh ABC agar mencapai titik impas(break even)?
ll] 35. Carilah rumus unlrk besaranE(x) pada mana sebuah bilangan .x me-lebihi pangkat tiganya. Gambarkan se-buah grafik yang sangat teliti daril'(x) untuk 0 (x ( l. Gunakan grafiktersebut untuk menaksir bilangan positifyang melebihi pangkat tiganya sebesarmungkin.
36. Andaikan p menyatakan kelilingsebuah segitiga samasisi. Cari rumus untuk,4(p), yaitu luas segitiga yang demikian.
\ AeBn Persewaan Mobil Hondamembebankan Rp. 24.000 sehari untukpenyewaan sebuah mobil ditambah Rp 400tiap km. (a) Tuliskan rumus untuk penge-luaran penyewaan total ^8(x) untuk sehari
Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid I
dengan .x adalah jarak yang ditempuh da-lam km.(b) Jika anda menyewa mobil selama se-hari, berapa krn dapat anda tempuh unfukRp. 120.000?
\ Sebuah'tabung l ingkaran tegakberjari-jari r diletakkan di dalam sebuahbola berjai-jai 2r. Cari nrmus untukV(r), yaitu volume tabung dinyatakandalam r.
\!f $"tr jalur yang panjangnya Imil htafunyai sisi-sisi sejajar dan mem-bentuk rtengah lingkatan. Tentukanrumus luas yant metingkupijalur tersebut,.,{(d), scbagai fungsi dari garis tengah se-fentrh liagftar61 itu. Berapakah daerah
f t j i k a t < o
3 l . g ( 0 : { r + t j i k a 0 < t < 2
l r t - t j i k a t > 2
3 2 . h ( x \ : { . " + 4 ; i k a x < I
l3r j ika x> I
l(6) = 9. SAFfth iienemukan polanya,tuliskan aturfr-liifrIs) untuk fln) dantentukan daerah h asilnya.
'.4f ii&apakah Daerah hasil darifufuri /"'bfla f(n').adalah angka ke n padaderetan Oesimal $ ?
42. Manakah dari fungsi-fungsi ber-ikut yang mqmenuhi flr i f) =flx'1+fu)untuk setiap x dan y di lR?( a \ J O : 2 t(c) f(t) :21 t, 1
(b) / i r ) : r ' �(d ) / ( r ) : -3 r
43. Andaikan f(x * y) = f(x) * fU\untuk setiap x dan y dan R. Buktikanbahwa ada bilangan m sedemikian rupasehingga f(t) = ntt untuk setiap bilanganrasional t. Petuniuk: Pertama-tama tetap-kan m itu apa, kemudian lanjutkan secarabertahap muiai dengan flO) = O, ftp1 = aOuntuk p di N, /( I /p) = m/p dan seterus.nya.
2.2 Operasi pada Fungsi
Fungsi bukanlah bilangan. Tetapi seperti halnya dua bilangan a dar. b dapat ditambah-kan untuk menghasilkan sebuah bilangan baru a + D, demikian juga dua fungsi / dan gdapat ditambahkan untuk menghasilkan sebuah fungsi baru f + g. lni baru salah satudari beberapa operasi pada fungsi yang akan dijelaskan dalam pasal ini.
J UMLAH, SELISIH, HASILKALI, HASI LBAGI, PANGKAT. Pandanglah fungsifungsi /dan g dengan rumus-rumus
)
etahui / adalah suatu fungsirah asallV, memenuhi^l) = 3,
55Fungsi dan Limit
f(x) :
Eta dapat membuat sebuah fungsi( x -3 )12+ .u&-yakn i ,
Daerah asal /
GAMBAR I
v - 1
2 a(x) : ..rzx
baru f + g dengan cara memberikan pada x nilai
Tentu saja kita harus sedikit hati-hati mengenaidaerah asal. Jelas x harus berupa sebuah bilang-an pada mana / maupun g berlaku. Dngan lainperkataan, daerah asal f + g adalah irisan (bagi-an irisan (bagian bersama) dari daerah asalf dan s (Gambar I ).
( . f + gXx): f (x) + s11;. l : .1 * "A
Daerah asal g
Fungsi'fungsi f - g, f. s, dnflgdrperkenalkan dengan cara yang analog. Dengan anggapan bahwa/ dan g mempunyai daerah asal mula, kita mempunyai yang berikut.
Kita harus mengecualikan 0 dari daerah asal /g untuk menghindari pembagian oleh 0.Kita juga boleh memangkatkan suatu fungsi. Dengan/",klta makzudkan-fungFl yang
memberikan nilai [/(x)]" padax. Jadi
f '(x): rf (x)t,: [=]'
- x2 - y: + e
s,(x) : [s(x)]. : <Jit, : x3t2
Ada pengecualian pada aturan ini, yaitu n = -1. Simbolf t<ita cadangkan untuk keper-luan lainnya (fungsi invers) yang akan dijelaskan dalam pasal 1.2.laai,ft bukan Ler-afti I lf.
coNToH l. Andaikan F(x) = {6-TTdan G(x) = a1g-2, dengan masing-masing daerahasal natural [-t,-) dan [-3,3]. Cari rumus untuk F + G,F _ G,F,G,F\G, danF danberikan daerah asal naturalrtya.
/
Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid I
Penyelesian
t
KOilIPOSISI FUNGSI. Sebelumnya, anda diminta untuk membayangkan sebuah fungsisebagai sebuah senapan. Sekarang anda diminta memikirkan fungsi/sebagai sebuah mesin.
Fungsi ini menerima x sebagai masukan,bekerja pada x, dan menghasilkan flx)sebagai keluaran. Dra mesin seringkalidapat diletakkan berdampingan untukmembuat sebuah mesin yang lebih rumit;demikian juga halnya dengan dua fungsi /dan 9 (Gambu 2). Jika / belprja pada xuntuk menghasilkan lk) dan kemudiang bekerja pada /(x) untuk menghasilkan
SU@D,dikatakan bahwa kita telah menrysn g dengan.f. Fungsl yang dihasilkan,disebut kompoit g dengan l, dinyatakurolehg " /. Jadi,
Ingat kembali contoh kita yang terdahulu,/(x) = (x - 3)l2dar-g(x)=.r/x'Kita dapat
nrenyusunnya dalam dua cara,
@t
flxl
+:;,,.1,. i3I
glflxll
GAMBAR 2
I:i,,1&;,.:
:rlEii*f ",*.,.*,; .
ig(xl
+
@+
flslxll
x ,
I
(s " f>(x) : s(f@)) : t(+) =
Segera kita perhatikan satu hal: Susunan (komposisi) fungri tidak komutatif; 9 ' /dan ./ . g umurnnya terlainan. Anda seharusnya tid,ik terlalu tcrkejut dengan ini. Jilaanda membuka baju lalu mandi, maka anda akan memperoleh hasil yang agak berbeda
dibandingkan dcngan melalukan dua operasi ini dalam urutan yang berlawanan.
. - , - - - - - - - ) -
fub 2 Fungsi dan Limit
O'rah asal Tidak dalam daerah asalf 9
g l f ( x l l
DarahE l r
GAMBAR 3
dx): SU$D dengan
atau sebagai
p(x) - SUGD dengan
57
Kita juga harus hati-hati dalam meng-uraikan daerah asal suatu fungsi komposit.Daerah asalg o /adalah bagian dari daerahasal / (yakni, nilai-nilai x itu) untuk mana Idapat menerima l8) sebagai masukan.Dalam contoh kita, daerah asalg "/adalah
[3, oo), karena x harus lebih besar atau samadengan 3 -apr memberikan suatu bilangantak neptif (x - 3)/2 untuk dikerjakan olehg. Diagram dalam Gambar 3 memberikanpandangan lain mengenai hal ini.
CONTOH 2. Andaikan /( x) = 6x I (xz - 9) dn g(x\ =,rE;. Pertama, cai( f " gX I 2) ;kemu'dian cari V " g)(x) dan berikan daerah asalnya.
knyelesian 16 4
U . s \ r 2 ) : f @ ( r 2 ) ) : f ( \ F ) : f ( 6 ) : ; : ;
U . ilQ): .f@(x)): fq/ry;)
_ 6$x _6tr5;t J t x l ' - s 3 x - 9
Daerah asal /. S adalah [0, 3) u (3, oo). (Ingat kembali bahwa U menyatakan operasigabungan pada himpunan). Perhatikan batrwa 3 dikecualikan dari daerah asal untukmenghindari pembagian oleh 0. I
Dalam kalkulus, kita akan seringkali perlu mengambil suatu fungsi yang diketahui
dan mendekomposisinya - yaitu, memecahnya menjadi Potongan-Potongan komposit.
Easanyaini dapat dilakukan dalam beberapa cara. Misalnya, ambil p(x) =UQ-a 4.yitadapat memikirkannya se bagai
s@): .,/; f (x ) : xz + 4
g ( x ) = J t * 4 d a n f(x) : x2
CONTOH 3. Tuliskan fungsi p(x) = (1 + 2)5 sebagai sebuah fungsi komposit g o /
Penyelevian Cara yang paling mudatr untuk melalukannya adalah menuliskan
p(x) = g(f(x)) dengan g(x): xs d a n f ( x ) : x + 2 I
}@x - 3
rKakulus dan Gmmetri Analitis Jilid I
TRANSLASI. Dengan mengamati bagaimana sebuah fungsi dibentuk dari yang lebihse{erhana dapat sangat membantu dalam penggambaran grafik. Mungkin ada pertanyaan:Bagaimana grafi k-grafi k dari
y : f ( x ) y : f ( x - 3 ) y : f ( x ) + 2 y : f ( x - 3 ) + 2
berkaitan satu sama lain? Ambillah f (x) = lxl scbagai contoh, Keempat gafik yang ber-sangkutan diperagakan dalam Gambar 4.
Y = l x l + 2 ,
GAMBAR 4
Apa yang terjadi dengan f(x)= lxladalah lhas. Perhatikan bahwa keempat grafiktersebut mempunyai bentuk sama; tiga yang telakhir hanyalah penggeseran (translasi)dari yang pertama. Dengan mengganti x oleh r - 3 akan menggeser grafik itu 3 satuan kekanan;dengan menambahkan 2 berarti mengges€rnya ke atas sebesar 2 satuan.
Gambar 5 memberikan ilustrasi lain dari pfinsip ini untuk fungsi/(x) = xt + x2 .
1.. I
r " l
58
y = x 3 + x 2
Graf ikawel
GAMBAR,5
Y = t lxl
Grafikawal
GAMBAR6
y = f l x - h l
Digeser f satuanke kanan
, = l x + l ) 3 + ( x + 1 ) 2 y = x 3 + x 2 - 2 y = l x + 1 1 3 + ( x + l l 2 - 2
Digeser 1 satuan Digeser 2 satuan Digeser 1 satuanke kiri ke bawah ke kiri, 2 satuan
ke bawah
Prinsip yang sama secara tepat berlaku dalam situasi yang umum. Ini diilustrasikandalam Gambar 6.
_u+*'y = f l x l + k y = f ( x - h l + k
Diqeser r, satuan Digeser h satuan- '- k; ;;--- ke kanan dan
k satuan ke atas
-___,__-_)
y = l x - 3 1 + 2
y - l x - 3 1
2 Fungsi dan Limit 59
Jika /r ( 0, maka penggeserannya ke kiri; jika k ( 0, penggeserannya ke bawah.
OONTOH 4. Buatlah sketsa grafik g1x1 = \/; + 3 + I dengan mula_mula menggambarkanjnlik16I = t6 dan kemudian metakukan j"ngg"r"r*-penggeseran seperlunya.
hnyclcubn. Grafik dari g (Gambar g) dapat anda peroleh dengan menggeser grafik dari/(Gembar 7) 3 satuan ke kiri dan I satuan ke atas.
GAMIAI,7
Fungsi konstan flxl = 4
GAMBAR 9
Ftrngsi identitas flxl = x
GA"MBAR IO
, = slxl =.16T_3 + r
GAMBAR, S
KATALOG SEBAGTAN DAR| FUNGSI. Se_buah fungsi berbentuk -f(x): k, dengan klonfanta (bilangan riil) disebut fungsi ko-nstanr-,r/G_rafiknya berupa sebuah gil--iilnaitar
i$mtar 9). Fungsi .f(x):,- d-r.g{ fqgg__-id:!g!p.. G.rafiknya berupa sebuah Cmyafu.T:,td"i
titik asal dengan tanjakanr i lCamUai10)
Dari fungsifungsi sederhana ini, kitadapat membangun banyak fungsifungsi iattu-lus yang penting.
. . *bu.Tt fungsi yang dapat diperolehdari fungsi konstan dan fungsi ldentitas denganmemakai operasi penambahan, p.ngur"ngln,dan perkalian disebut tuIglf4go-.-fni simasaja dengan mengatakan-T;fit'7-adalah fungsipolinomjika berbentuk
f ( x ) : anxn * an_ rXo t + . . . + aF + ao
dengan koefisien-koefisien a berupa Ulian&nriil dan n adalah bilangan b_ulat iak nigaiif.Jika an * 0, maka n adalah dirajat Aari firngsipolinom. Khususnya, f(x): ai + b aaailllungsi derajat satu, atau funfsi linear, danf(x): ax2 + bx + " .a"Ifr-frigpi d";;;
dua, atau fungsi leadrat.
lhsilbagi fungsi-fungsi polinom d.isebut fungsi rasional . Jadi f adalah tungpi rasionalflo berbentuk
t)Di dni kemirtgan menerjemahkan pergertbn "sbpe,,; para pemrrb hin ada yarg menggumkan"tanjakan", "lcter€".
1 2 3 4 5 x
/
r*f (x) :
Kalkulus dan Geometi Analitis Jilid I
a n x ' + e o - r X n t + . . . + a $ + g o
b^x^ * b^- tx^- + . . . + b t x + b s
Sebuah fungpi aljabar eksplisit adalah fungsi yang dapat diperoleh dari fungsi kons-
tan dan fungsi identitas melalui lima operasi penambahan, Pengurangan, perkalian, pem-
bagan, dan penarikan akar. Contohnya adalah
f ( x ) : 3 x 2 t s : 3 X 7 s6*):f#Fungsi-fungsi yang didaftarkan sedemikian jauh, bersama-sama dengan fungSi-fungSi
trigonometri, invers trigonometri, eksponen, dan logaritma (akan diperkenalkan nanti)merupakan batran baku untuk kalkulus.
soAL-soAL 2.2
(a) (f + g)(2)(c) (slf)Q)(e) (/.s)(\A)
-a( \r{rnro* f(xl = x2 + x2nr{ll, carilah tiap nilainya.
(a) (f - dQ)(c) s'(3)(e) (g " "fXl)
l. Untuk f (x) -- xl6 - I ) dan 9(x) =
$ +7, carilah tiap nilai (jika mungkin)'tr 7. Hitungfl3, 12)jikaflx)=
' l--;-,/lt.\'\ l + x 3 l '
@] 8. Hitung r(2, 03) jika s(x) =
(;- {n:l - r + x 2
g 9. Hitung JJltx'y+q1:^uy iix"f(x) : Ux.
lEl ro. Hitung lst@) - 9(o)l'/' jika
eG) :6x - rr.
\. C"ti f dan g sedemikian sehingga
f : g. f -(Ltuat Contoh 3).
(a) r(x) : J, + 7 @) r(x) : (x2 + x)rs
12. Cari f dal''t S sedemikian sehingga
p : f " s .
2(a) p(x) =
iTll;lF
(b) P(x) : log(x3 + 3x)
\. T,rlitk"tt P(x): log\6t+ I se-bagai suatu komposit dari tiga fungsi dalamd,,a cal,a yang berbeda.
- / - * -U/u.\yuuskan p(x):togt? +t se-
@!r6tu komposit dari empat fungsi.
i5 Sketsakan grafik dari /(x) =J, - 2- 3 dengan pertama-tama men-
sketsakan Se) : Jx. (lihat Contoh 4).
(b) ("f "sxo)(d) (,f "g)(0)
(D (9. /X0)
dan g(x) =
(b) (f td[)(d) Cr . sxt)( f ) k.s)(3)
3. Jika f(x): xt + 2 dan 91x1 =Zl(x - l), cari rumus untuk masing-masing
berikut dan nyatakan daerah asalnya. (LihatContoh I dan 2)
(a) (f + g)(xt (b) (slf)@)(c)
94G) (d) (g"/)(x)
I / /*\
V (Q/"" i l ' \ :J, '- i dan s(x) =2l*d rumus-rumus untuk yang bcrikutdan nyatakan daerah asalnYa.
(a) (f 'd(;l-)
(c) (,f . sXx)(b) ,f'(x) + so(x)(d) (s .,fX.r)
\ l i t" f (x): .rE - q dans(x) = lxl,cari rumus-rumus untuk (f . de) dan(s " f)(x).
\il lit" g(x) = x2 * 1, cari rumus un-tuk g3(x) dan (g . g " g)(x).
I, l
- / - _ r - _ _ ,
II
*:trekan (x) = lxl dan kemudian de-1rn mcnggeserkan.
17. Sketsakan grafik dari 1(x) =(x - 2)2 - 4 dengan memanfaatkan peng-F | \
tz4Q/ketsakan grafik dan sG) =(r +-f)3 - 3 dengan memanfaatkair'peng-lgrran.
19. Sketsakan grafik dari f(x) =(x - 3)12 dan g(x)=.r/x memakaisistemloordinat sama. Kemudian sketsakan /+gdcngan penambahan ordinat.
20. Ikuti petunjuk dari Soal 19 untukf(x): x dan 9(x) : lxl.
21. Sketsakan grafik dari F(t) =
vvt.)q Sketsakan gralik dari G(r) =
r - [rn.
\. Nyatakan apakah masing-masingyrDg berikut berupa suatu fungsi ganjil,nratu fungsi genap, atau tidak satu pun.Buktikan pernyataan anda.(a) Jumlah dua fungsi genap.(b) Jumlah dua fungsi ganjil.(c) Hasilkali dua fungsi genap.(d) Hasilkali dua fungsi ganjil.(c) Hasilkali sebuah fungsi genap dcnganrbuah fungsi ganjil.
24. Andaikan F fungsi sebarang yangdaerah asalnya memuat -x bilamana iamemuat x. Buktikan masing-masing yangbcrikut.(a) F(x) - F(-x)fungsi ganjil.(b) F(x) + F(-x)fungsi genap.(c) F selalu dapatjumlah suatu fungsi
menentukan suatu
menentukan suatu
dinyatakan sebagaiganjil dan genap.
25. Klasifikasikan masing-masing yangberikut sebagai suatu FP (fungsi polinom).FR (fungsi rasional tetapi bukan suatufungsi (polinom), atau f',4 (fungsi aljabarcksplisit.tetapi bukan FP ataupun .FR ).(a) ,f(x) : 3xt/2 + I (b) /(x) : 3(c) "f(x) - 3x2 + 2x-t (d) ,f(x) : nx3 - 3n
5 l
26. Ikuti petunjuk dari Soat 25 untuktiap fungsi.
(a) s@): I - 3x + x52(b) s(x): (1 + 5r)-2(c) s(x) : ( l + 5y1- t rz(d) s(x) : x-2 + 2x-t + 3( e ) s ( x ) : t + J ;
/ r \ - 2(r) s(x) : l-- |\ x + z l
@ ZZ. Hubungan aatara biaya satuanP (dalam rupiah) untuk suatu barang ter-tentu dengan permintaan D (dalam ribuanunit) ternyata memenulu
p: uE - niE
Di lain pihak, permrntaan telah meningkatselama f_ tahun sejak 1970 menurutD : 2 + J t(a) NyatakanP sebagai suatu fungsi r.(b) HitungP bi lamana r= 15.
2\ Setelah berkecimpung dalam bis-nis selaina x tahun, seorang pengusahatraktor membuat 100 + x + 2x2 buah tiaptahun. Harga penjualan (dalam ribuanrupiah) tiap buahnya telah meningkatsesuai dengan rumus P = 500 + 6x. Tulis.kan rumus untuk pendapatan tahunanpengusaha tersebut R(x) setelah x tahun.
Q/ Dimulai pada tengah hari, pesawatA terbang ke arah barat dengan kecepatan400 mil/jam. Satu jam kemudian, pesawatB terbang ke arah timur dengan kecepatan300 milfam. Dengan mengabaikan ke-Iengkungan bumi dan dengan menganggapkedua pesawat terbang pada ketinggiansama, cari rumus untuk D(r), jarak antaradua pesawat tersebut r jam setelah tengahlnri. Petuniuk' Akan terdapat dua rumusuntuk D(r), satu jika 0 < / < l, yang lain-nya j i ka r ) l .
El fO. Cari jarak antara pesawat-pesawatdari Soal 29 pada pukul 14.30.
\ . Andaikan n9 =ff. Bukti-kan bahrva /(,f(x)) = x dengan a2 + bc + Odanx *a/c.
v_232. Andaikan 1.x) =
ffi. Buktikanbahwal{fl/(.x))): x, dengan x * +1.
)2 Funssidan Limit
\ Stctsat<an grafik dari S(x) =
lr + 3l - 4 dengan pertama-tama men-
I
;
(e) f (x) :* (D / (x) :x + l_._
. / x + 3
/ - -
/
Andaikannt) = *.
Tentukan
dan sederhanakan tiap harga.(a) .f(l/r) (b) .f0r(x)) (c) flll/(r))
\4. Andaikan trr(r) = x, fzh)= llx,/r(x)"= l-x, fa(.:-) = l/( l-x)' .fs(x) =(x-l)lx, dan /6(x) = x l(x-l\. Perhatikanbahwa fsVqGD = /3(l/(l-x)) =
l - l / ( l -x) = x l (x- r ) = /o(x) , ya i tu,
fc . fq = /r. Sebenarnya, komposisi darisetiap dua fungsi ini adalah fungsi lainnyaseperti dalam daftar. Isilah tabel kompo-sisi pada Gambar I l.
Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid I
Kita anggap pembaca telah belajartrigonometri dan akrab dengan definisi-definisi fungsi trigonometri berdasar sudut-srdut dan segitiga siku-siku. Kita ingatkanpembaca tiga dari definisi-definisi ini dalamGambar l. Jangan lupakan mereka. Tetapi rdi sini kita lebih tertarik kepada fungsi tri-gonometri yang berdasar pada lingkaransatuan. Bilamana ditinjau dalam cara ini,daerah asalnya berupa himpunan bilanganriil bukannya himpunan sudut-sudut.
Andaikan C adalah lingkaran satuan -yaitu, lingkaran x2 + y2 = I berpusat dititik asal dengan radius I (Gambar 2).Nyatakan titik (lp) oleh I dan andaikan It sebuang bilangan positif. Mal<a terdapattepat satu titik P(x, y)padaCsedemikiansehingga panjang busur .dF, yang diukurmenurut arah berlavwrun dergon Wtoraniarum jom dari:{ sepanjang lingkaran satu-an adalah r. Keliling C adalah 2ur; sehinggajika t > 2n, diperlukan lebih dari satuputaran lergkap dari lingkaran satuanuntuk menelusuri busur ,{F. Jika r =
O , P = A .Demikian juga jika r ( 0, maka Anda
akan memperoleh persis satu titik P(x. y\
2.3 Fungsi Trigonometri
sin d : !99
GAMBAR I
coso=ff i t "no=!fr
CAII{BAR 2
pada lingkaran satuan itu, sehingga dengan demikian bila Anda mengukumya searah putar'
ot jarum iam pada C, maka panjang busur ,'(Padalah r. Jadi, dengan sebarang bilangan riil r,kita dapat menyesuaikannya dengqn sebuah titik unik 4x, y). Ini memungkinkan kita
membuat definisi kunci dari sinus (sin) dan kosinus (cos).
GAMBAR II
Lingkaran satuan
2 Fungsi dan Limit
STFAT-SIFAT DASAR SINUS DAN KOSINUS. Beberapa kenyataan sepra jdas kelihatan&d &finisi yang baru saja diberikan. Pertama,x dany bervariasi antara -1 dan l, sehingp
-A
6 3 :
I
;
Krrena t dan t + 2a menentukan titik P(x, y) yang sanu,
GAMBAR 3
GAUDAR,I
Dikatakan bahwa sinus dan kosinus periedik dengan periode 2t. *cala lebih umum,suatu fungsi ,f dikatakan periodik jika ter'dapat suatu bilangan positif p sedemikiansehingga f (t + p): /(r) untuk semua tdalam daerah asal/. Dan bilanganp terkecilyang memenuhi disebut penode/.
Titik-titik P yang berpadanan dengant dan -t simetri terhadap sumbu x(Gambar 3), sehingga koordinat x-nya samadan koordinat y-nya hanya berbeda tanda.Akibatnya,
Dalam perkataan lain, sinus adalah fungsiganjil sedangkan kosinus adalah funpigenap.
Titik-titik P yang bcrpadanan dengant dan nl2 - r simetri terhadap garis y = x(Gambar 4), sehingga koordinat-koordinat-nya saling bertukar. Ini berarti bahwa
ly,xl
/
Kalkulus dan GeometriAnolitis Jilid I
AkhirnYa, kita sebutkan sebuah ke-
samaan penting yang mcng[ubungkan
fungsi-fungsi sinus dan kosinus.
Kesamaan ini muncul dari kenyataan bah'wa y2 + x2 = I padalingkaransatuan.
GAI{BAR 6
Bahkan dengn pengarnatan sekilas saja s€seorang dapat methat empat hal tentang grafik-
grafik ini:
GAMBAR 5
GRAFfK.slNus DAN KoslNUs. Untuk menggambarkan grafk y = sin r dan.y = cos t'
kita ikuti prosedur baru kita (buat tabel nilai, rajah titik-titik yang.berpadanan, dan hu'
bungkantit ik.t it ikinio""g.nr.ngtunganmulus).Tetapibagaimanakitamembuatsebuahtabel nilai? untunglah "r*g r^i.irratimengeriakannya untuk tcitl Jall-u*uk
sinus dan
kosinus telah tersedia. Silt satu tabel yang demikian adalah Tabel II dari Apendiks;
tabelringkasuntirkbilangankhususdiperlihatkandalamGambar5.Denganbantuantabel.tabel ini atau dari romp"ut""i memakai kalkulator (tlalam mode radian, kita dapat meng'
gambarkan gafik dalam Gambar 6'
4
I
. Sin r dan cos rkeduanya berkisar dari -l sampai l'
ili""-er"rrk berulang dengan sendirinya pada selang yang berdampingan se-
pnjang2n.Grafik y = sin t srmetn terhadap titik asal dar. y = cos ' terhadap slrmbu y'
Grafik y = sin t sama seperti y = cos l, tetapi digeser tt 12 sattnn ke kanan
Tidak ada yang mengherankan di sini. lni merupakan tafsiran secara gafik dari empat
rumus dalam kotak yang pertama dari alinea sebclumnya'
EM'AT FuNGsr rRrGoNoMETRr LATNNYA. Kita dapat lewat culup dengan sinus
&nkosinussaja,tetapipentingjugauntuk-memperkenalkanempatfungsitrigonometritambahan : tanS! n, kotangen, sekan,'dan kosekan'
l .2.
3.4.
/ - _ - _ _
2 Fungsi dan Limit
Apa-apa yang diketahui tentang sinus dan kosinus secara otomatis akan memberikan kita
pcngetahuan tentang emPat fungsi baru ini.
CONTOH l. hrktikan bahwa tangen adalah fungsi ganjil'
lcnyelevian
GAMBAR 7
65
sin(- r ) -s in ttan(- r ) : - tan t
cos( - f) cos t
C(I{TOH 2. Periksa kebenaran kesamaan-kesamaan berikut-
Penyekvian
I + tan2f : 1 * s in2 t - cos2t +-s in2 t : :n : sec2 tcos ' , cos ' f cos- I
I + cot2 r : 1 + "3t - t t : s in2 t .+-cos2 t : -+: csc2 t asrn' t sln' I sln- t
Bedtut ini digambarkan grafik fungsi tangen (Gambu 7). D sini kita dihadapkan pada
dra kejutan kecil.Pertama, kita perhatikan bahwa terdapat asimtot-asimtot tegak(vertikal) pada -3n12,
- nl2, nl2, 3n12, dan seterusnya. Kita seharusnya sudah menduga hal ini, karena pada
nilai-nilai / ini cos t = 0, yang berarti bahwa (sin r)/(cos r) menyangkut suatu pembagian
oleh nol. Kedua, kelihatan bahwa-tangen adalah periode (yang kita perkirakan) tetapi
I
/
66 Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid I
dengan periode (yang mungkin tidak kita duga). Anda akan melihat alasan analitis untukini dalam Soal 19.
HUBUNGAN DENGAN TRIGONOMETRI SUqUT. Sudut biasanya diukur dalamderajat atau dalam radian. Sudut yang berpadanan terhadap satu putaran penuh berukuran360', tetapi lnnya 2r radian. Demikian pula, sudut lurus berukuran 180" atau r radian,kenyataan yang bermanfaat untuk diilrgat
Ini menuju pada konversi biasa yang diperlihatkan dalam Gambar 8 dan kepada falila-faktaberikut.
lradian= 57.29578" 1 '=Q0174533 radian
Pembagian suatu putaran menjadi 360 bagian dilalukan demikian saja (menurutbangsa Babylon kuno, yang menyenugi kelipatan 60). Pembagian ke dalam 2r ba$at ada-lah lebih mendasar dan berlatar belakang pada pe makaian ukuran radian yang umum clalamkalkulus. Khususnya, perhatikan batrwa panjang busur s dari potongan busur sebuahlingkaran radius r deFgEn sudut pusa! I radian memenuhi (lihat Gambar 9)
s t
2nr 2n
Yakni,
ffiBilamana r = l, ini memberikan s.= t Dengan kalimat, pniong busur pada potongan lingluran vtuan dengan sudut puvt t radian adalah t. Ini benar walaupun jika f negatif, asal-kan kita menafsirkan panjang adalah negatif bilamana diukur dalam arah putaran jarumjam.
GAMBAR 8
s = r t
GAMBAR 9
CONTOH 3. Cari jarak yang ditempuh oleh sebuah sepeda dengan roda yang mempunyairadius 30 sentimeter bfla roda itu berpirtar sampai 100 putaran.
Bab 2 Fungsi dan Limit
hrychvlm. Kita pakai rumus dalamkotak, dengan mengenali bahwa 100putaran berpadanan dengan 100.(2r)radian.
s : (30X100X22) :OOOOr
r 18849,6 sentimeter I
Sekarang kita dapat membuat hu-bungan antara trigonometri sudut dan.trigonometri lingkaran satuan. Jika 0 ada-lah sudut yang berukuran t radian (Gam-bar l0), maka
Dalam kalkulus. bilamana kita menemuisebuah sudut yang diukur dalam derajat,kita hampir selalu mengubahnya ke dalamradian sebelum melakukan perhitungan.Misalnya,
- / . \sin 31,6o = sin (31,6 .1ft radian
) - sntqssZ)
s i n 0 = s i n t = yco6A=cos t=x
GAMBAR IO
CONTOH 4. Caricos 51,8"
hnyelcvian. Prosedur yang paling sederhana adalah menekan tombol yang tepat padakalkulator. Tetapi jika ingin memakai Tabel. II dari Apendiks, pertarna kita ubah51,8o ke radian.
r Q904 radian
cos(51,8") < cos(0,904) ry 0,6184
67
=,,,r(#)
r
/
i T l
68 Kalkulus dan GeometriAnalitis Jilid I
. ,R I N G K A S A N K E S A M A A N . K E S A M A A N P E N T | N G . K i t a t i d a k a k a n m e n e h a b i s k a n h a - . |laman untuk memeriksa kebenaran semua kesamaan trigonometri. Kita .uiup *tntgt*
|kan kebenarannya dan menekankan bahwa kebanyakan dari kesamaan ini akan diperlu- I
kan di suatu tempat dalam buku ini'
&b 2 Fungsi dan LimitI
69 1
soAL-soAL 2.3
f Konvenikan yang berikut keradian (gunakan zr dalam jawaban anda).
(b) -60.(d) 540"(f) 720"(h\ 22,s"
(a) 2,10'(c) - 135'(e) 6ofG) 18'(D 6"
1
f Konversikan ukuranikut rhenjadi derajat.
7n -?( a ) ?
.
(c) 8z
E 7. Hitung
r"r 2-14,1 rin!!.,IQcos(0,34)
(b) sin2 (2,5 t I + .u6os(OJ D
I 8. Hitung, , 56.3 tan 34.2"(4, --sfiJ6-f
t'r (*-#* "a*z*)'
,/. ^rrun" tanpa memakai kalkulator.
/z\(") tan(;J (b) sec(z)
/32\ /r \1ct sec(
4 / (d) csc(t/
10. Hitung tanpa mernakai
/ n \1ar tan(1/
(a ) s in ( 1 ,23)( c ) t a n ( 1 , 5 5 )(e) cos (-0,63)
(b) cos (0,63)(d ) s in ( -1 ,23)
radian ber-
I
r i
.J
5n
4
- l ln
n7t
i
(b)
(d)
(f)
(h)
3n(et ,
G , *
n,*,(;)menjaol
(D ""(-;)E 3. Konversikan yang berikutradian (1" = n/ l80 radian).
(b ) 4?1 ,s "(d) 14,e"
(a) 33,3"(c) -391 ,4"(e) 4,02'
. kalkulator.
o) *.(:) :
(d) * . ( ; )
(D *,(- 1) i'5
t r 4 .menjadi
(a ) l ,5 l
Konversikan ukuran radian berikutderajat( l radian= 180/z derajat).
*'(1)" ' ( - : )
(c)
(e)(c) 2,31(e) -0,002
( b ) - 3 , 1 4 1 6
(d) 34,: '.5
El 5. Hitungtah (yakinkan bahwa kalku-lator anda dalam mode radian).
(a) sin (0,452) (b) cos (0,452)
(c ) tan (0 ,452) (d ) s in ( -0 ,361)
(e) cos ( -0 ,361) ( f ) tan ( -0 ,361)
6. Gunakan Tabel II dari Apendiksunt'6k mencari tiap nilai.
zff. Perlksa kebenaran kesantaanikut ( l ihat Contoh 2).
(a ) (1 + s in ; ) ( l - s in z ; : - fsec2 z
(b) (secr - l ) (secr * l ) : 13n2 1
(c) sec r - sin t tan t : cos I
s e c 2 r - l -( d ) , : s i n ' l
sec- r
(e) cos t(tan t + cot r) : ss6 1
ber-
/
srn u cos 1.,( a ) - + - - : I-
csc lr sec ll
(b) ( l - cos2 x)( l * cot2 ' t ) : I
(c) sin (csc t - sin t) : cosz t
I - c s c 2 r - l(d) ---
csc ' I sec - I
I c o s l( e ) - - , : t a n l'
s l n l c o s t s l n l
\3. Sketr"kan grafik-grafik yang ber-
i ku t pada I - n , 2 t l .
(a) .r' : sec t
(c) t' : sin 2t
G ) v : 3 s i n t
14. Sketsakan grafik-grafik yang ber-ikut pada l-n,'2trl
(a) _y : csc t
( c ) Y : c o s 3 t
( b ) Y : 2 c o s t
15. Cari kuadran tempat akan ter-letaknya titik P(x, y) untuk tiap t di ba-
wah, dan dengan dernikian tentukantanda dari cos t. Pehtniuk: Lihat definisi
lingkaran satuan untuk cos f.
(a ) t = 5 ,97( c ) t = - 1 6 , 1
(b) t = 9 ,34
16. lkut i petunjuk Soal l5 untukme-nentukan tanda dari tan /.
1a) t = 4,34(c ) t = 21 ,9
( b ) r = - l s
}?- Yang mana dari antara Yang ber-
ikut adalah funesi ganjil? Fungsi genap?
Tidak salah satu?
20. Buktikan bahwa cos(x - ?t) =
- cos x untuk semua x.
71. Cari panjang busur sebuah ling-
kara'n radius 2.5 sentimeter yang dipotong
oleh tiap sudut pusat (lihat Contoh 3).(a) 6 radian (b) 225'
Kalkulus dan Geometi AnalttE IiH ,
( b ) t = o
(d) Sudut adalah 90.
ln1
E'112. Periksa bahwa Yang berikut
adalah kesamaan.
(d) v : ' t ( ' - i )
(d) y: ".'( '. i)
(a) sec r(c) t sin t(e) sin2 x
lE. Cari kesamaan-kesamaan Yanganalog terhadap kesamaan penambahan
untuk t iap pernyataan.
(a) sin(x - 1)(c) tan(x - r')
(b) cos(x - r,)
19. Gunakan kesamaan Penambahan'untuk tangen guna membuktikan bahwa
tan(t + t t) = tan f untuk semua t dalam
daerah asal dari tan t.
f
/2. Seberapa jauh sebuah roda radiusZ yIUi menggelinding sepanjang permuka-
an tanah dalam membuat 150 putaran?(Lihat Contoh 3).
tr 2d. Andaikan sebuah ban pada sebuah
mofrl mempunyai garis tengah luar 2,5
kaki. Berapa putaran tiap menit yang di-
buat oleh ban bilamana mobil meluncurpada kecepatan 60 mil/jam?
tr 24. Sebuah tali kipas melingkari duaroda, seperti diperlihatkan dalam Gam-
bar l l . Berapa banyak putaran yang di-lakukan tiap detik oleh roda yang kecilbilamana roda yang besar membuat 2lputaran tiaP detik?
GAMBAR II
25. Sekarung jagung 50 kg ditarik se-
panjang lantai oleh seorang yang lengan-
nya membuat sudut t radian dengan lantai.
Gaya F (datam kg) yang diperlukan di-
berikan oleh
50rF(r): ---
'u sln I + COS r
Di sini p adalah konstanta yang berhubung-an dengan gesekan yang terjadi. Cari F
dalam tiap kasus.( ^ ) t : 1 q
E ( c ) r = t
26. Sudut inklinasi c dari sebuah ga-
ris adalah sudut positif terkecil dari sum-
bu-r positif ke garis tersebut (a = 0 untuk
sebuah garis mendatar). Buktikan bahwa
kemiringan m dari garis sama dengan tan c.
I,1 _
(b) csc t(d) x cos x(f) sin x + cos x
Bab 2 Fungsi dan Limit
27. Carilah sudut inklinasi dari garis:
lrrb berikut (lihat Soal 26).
( e ) y : ' f i r - t ( b ) . f ' + 3y :6
28. Andaikan 11 dan 12 adalah duagrris tidak te8ak masing-masing dengan
Lgmiringan m1 daa m2. llka d adalah su-dut dari 11 ke 12 bukan sudut siku-siku,maka
t a n 0 = n t z - f r l r
| * mrmz
Buktikan ini dengan memakai fakta bahwa0 = 0z - 01 dalam Gambar 12.
El 29. Carilah sudut (dalam radian) darigaris pertama ke garis kedua (lihat Soal28).
l
7 l
31. Cari luas sektor lingkaran denganradius 5 sentimeter dan sudut pusat 2radian (lihat Gambar 3O).
32. Andaikan ruji sebuah roda denganradius 2 kaki berpUtar l0 kali dalam satudetik. Cari luas yang diliput oleh ruji se-hma;f detik; selama 3 detik.
/33. Suatu piringan hitam dengan34 ,p^ memiliki galur berbentuk spiralyang dimulai 6 inci dari pusatnya dan ber-akhir 3 hci dari pusatnya. Apabila piring-
an hitam itu dapat main dalam 18 menit,berapakah ki*kira panjang galur ter-sebut?
/ ' 1p{. Sebuah poligon Regular n sisi
dimasukkan dalam lingkaran denganradius r. Carilah rumus untuk parameterP, dan luas dari poligon tersebut dalamsuku n dan r.
G") t"oo"O segitiga samakaki ditu-tup oleh setengah lingkaran seperti tam'pak dalam Gambar, 14. Tentukanlah suaturumus luas rl untuk seluruh gambar seba-gai fungsi dari sisi r dan zudut puncak t(radian).
- 2era l \
36. Dari suatu' perkalian identitas,kita peroleh
x x , -cos I
cos i
: l[.o. ]x + cos ]xl
Tentukan rumus yang r"*"i )rtof
Apakah Anda menemukan bentukumumnya?
I
: i
( a ) y : 2 x , t : 3 x -
x( u ) r : 1 , ! : - x
( c ) 2 x - 6 Y : l Z , ? - x + Y : 6
= ' ' i
,,
xIq {
(
6* l t .X : | -
L A : i ' . u .GAMBAR 12
\ Turunkan rumus a: lr20 un_
tuk luas sektor lingkaran. Di sini r adalah
radius dan 0 adalah sudut pusat dalamukuran radian (lihat Gambar l3).
GAMBAR 13
x x x xcos
t cos
a.or g "or 16
GAMBAR 14
/
Kalkulus dan GeometriAnalitis Jilid I
2.4 Pendahuluan Limit
Topik yang dibahas sedemikian jauh merupakan bagian dui apa yang disebut pmlwlkulus.Topik ini menyediakan dasar-dasar untuk kalkulus, tetapi ini bukan kalkulus. Sekarangkita siap untuk suatu gagasiln baru yang penting, yaitu pengertnn Emit. Gagasan inilahyang membedakan kalkulus dari c99ug'c;ataq&lrn4llglatika lainnya. Memang, kita dapatmendefinisikan kalkulus sebagai p(nskajiut t entaryJfo!!,_)
Tentu saja, perkataan /imit dp€Tgffia-aE-n dalam bahasa seharihari seperti misalnyas€s€orang berkata, "Saya mendekati batas kesabaran saya." Pemakaian yang demikianmempunyai hubungan dengan kalkulus, tetapi tidak banyak.
PEMAHAMAN SECARA lNTU|Sl. Pandang fungsr yang ditentukan oleh rumus
, 3 _ lf ( x ) : =
Perhatikan bahwa fungsi tenebut tidak terdefinisikan pada x = I karena di titik ini/(x)berbentuk *, y.ng tanpa alti. Tetapi kita masih dapat menanyakan apa yang terjadipada/(x) bilamana x mendekati l. Secara lebih tepat, apakah/(x) mendekati beberapabilangan tertentu bilamana x mendekati l? Untuk sampai pada pertanyaan ini, kita telahmelakukan tiga hal. Kita telah mengfritung beberapa nilai /(x) untuk x dekat l, kita telahmenunjukkan nilai-nilai ini dalam sebuah diagram skematis, dan kita telah mensketsakangaftky =/1x)(Gambu l).
31813
2r71O
Diagramskematis
GAMBAR I
3p3o3,0032Ps72r97O
I' I- -+-
Graf ikdar i v= f tx l :+=
F2 fugddan Limit
semua informasi yang telah kita rakit kelihatannya menunjuk ke kesimpulan yangrun: /(x) mendekati 3 bilamana x mendekati l. Dalam lambang matematis, kita tulis-hrn
, . x 3 - l
l l l ' - t : 'lni dibaca "limit dari (x3 - t)/(x - l) untukr mendekati I adalah 3."
hngan menjadi seorang ahli aljabar yang baik (adi mengetahui bagaimana meng-unikan selisih pangkat tiga), kita dapat menyediakan fakta-fakta yang lebih banyak danlebih baik.
: l im( x - l ) ( x 2 + x + l )
x - l x - I
: l i m ( x 2 + - r + l ) : 1 2 + I + I - 3
Perhatikan bahwa (x - l)l(x - l) = I selama x * l. Ini membedarkan langkah yang ke-dua.
Agar yakin bahwa kita berada pada jalur yang benar, kita perlu mempunyai penger-dan yang jelas tentang arti perkataan /imit. Berikut percobaan kita yang pertama padasebuah definisi.
Perhatikan bahwa kita tidak mensyaratkan sesuatu agar tepat benar di c. Fungsi /bahkan tidak perlu terdefinisi di c, juga tidak dalam contoh /(x) = (x3 - l)l$ - l) yangbaru saja ditinjau. Pemikiran tentang limit dihubungkan dengan perilaku suatu fungsidekat c, bukannya di c.
Pembaca yang kritis pasti menentang penggunaan perkataan dekat. Apa sebenarnyamakna dekatZ Seberapa dekat adalah dekat? Untuk jawab-jawab yang persis, beberapacontoh lebih lanjut akan membantu memperjelas pemikiran tersebut. \
LEBIH BANYAK CONTOH-CONTOH. Contoh pertama kita kelihatannya remeh, tetapipenting.
CONTOH l. Cari lim- (,tx - 5)x + 3
-
Penyeleuian. Bilamanax dekat 3; maka 4x - 5 dekat terhadap 4 . 3 - 5 = 7.Kita tulis-kan
l im (4x - 5) :7i - 3
73
I
. . x 3 - lllfll ---
.a - 1 X - I
I
/
Penyelevian. Perhatikan bahwa (x2 - x - 6)16 - 3) tidak terdefinisi di x = 3, tetapi itutidak apa. Untuk mendapatkan gagasan tentang apa yang terjadi bilamanax mendekati
3, kita dapat memakai kalkulator untuk mengfritung ungkapan yang diberikan, misal-
nya di 3,1; 3,01; 3,001, dan seterusnya. Tetapi adalah jauh lebih baik memakai aljabarsedikit untuk menve derhanakan persoalan.
74
x 2 - x - 6CONTOH 2. Cari lim --
x - 3 x - 3
ngan 0.
CONTOH3. Carifm 1- 1
' - r J x - l
Penyelevfun
n 'n F1 :o - ( ' "6 - lX " ' 6+ l )' - r Jx - I ' r - l , / , - I
coNToH 4. Czili- tin t.
Kalkulus dan Geomeffi Analitis Jilid I
: h m ( \ 6 f + l ) : . , f i + I : 2
, . x 2 - x - 6 , , _ - ( t - 3 X x + 2 ) rum --------------- : ltm ----;- : rim (x + 2):3 + 2: 5r - 3 X - 3 x - 3 x - J r - 3
DenSan [email protected] - 3 drhm hrgk1 kcdue adalah sahih karena definisi limit ituakan mcngrbdkrn perllehnyt di -tchh tiri x ='3. Jadi, kita tidak membaginya de'
I
T
r *O r
Penycbtbrt Kita tidd( menemukan muslihat yang akan menyederhanakan tugas itu se-cara aljabar, tentu saja kita tidak dapatmencoret .r. Kdkulator akan nrcnolongkita nrmperoleh bayangan tentang nilaiitu. Gunakanlah kdkulator anda rndiri(mode radian) untuk memeriksa nilai-nilaidalam tab€l dari Gambar 2. Kesimpulankita-walaupun kita akui tidak o*upkuat-adalah bahwa
.. sin xIim : 1'r {o x
Kita akan memberikan suafit demqrstrasiyang cermat dalam Pasal 3.4. I
GAMBAR 2
BEBERAPA TANDA PERTNGATAN Ternyata keadaannya tidak semudah apa yang kelihatan. Kalkulator mungkin medgecohkan kita, demikian juga dengan intuisi kita. Contoh-contoh berikut mengetengahkan beberapa jebakan yang mungkin.
f - c o s x lCONTOH 5 (Iblhrlatoren& mungkir membodohi ude). Cari liml x2 - - |
i-ol 10.000J
i, - < - -
fub 2 Fungsi dan Limit
CAMBAR 3
GAMBAR4
75
Penyebvian Dengan mengikuti proseduryang digunakan sebelumnya, kitasusun tabel nilai yang diperlihatkandalam Gambar 3. Kcsimpulan yangdisarankannya adalah bahwa limityang diinginkan adalah 0. Tetapiitu salah. Jika kita ingat kembaligralik y = cos x, kita sadari bahwacos x mendekati I untukx mendekati0. Jadi,
r i - f , 2 - 1 9 ! i l : o 2 - I : -;f- 10.000J - 10.000 I10.000
CONTOH 6. (Tidak ada limit pada suatu
lompatan). Cari lim [x]
Penyelevion Ingat kembali bahwa [x]'menyatakan bilangan bulat terbesardalam x Qihat Pasal 2.1). Grafik y =
[x] diperihatkan dalam Gambar 4.Untuk semua bilangan x yang lebihkecil dari 2 tetapi dekat 2, [x] = l,tetapi untuk semua bilangan x yanglebih besar d^n 2, [x] = Z. Apakah[x] ekat pap suatu bilangan Zbilamana x dekat 2? Tidak. Betapa-pun bilangan yang kita usulkan untuk
Z, akan terdapat nilai-nilai r yang sebarang dekat ke 2 pada satu pihak atau pihak lainnya,dengan [x] berbeda dari L sebesar paling sedikit ] . Kesimpulan kita adalah bahwahq [r] tidak ada. Jika anda memeriksa kembali, anda akan melihat bahwa kita tidak
menuntut bahwa setiap limit yang dapat kita tuliskan harus ada.
CONTOH 7. (Tcrlalu banyak goyangan). Cari lim sin (l/x)
Pcnyelevian. Contoh ini mengetengahkan pertanyaan paling rumit yang ditanyakantentang limit. Karena kita tidak ingin membuat cerita yang terlalu besar untuknya,anda diminta melakukan dua hal. Pertama, ambil sebarisan nilainilai x yang men-
A, / u t"x
1(r
I
\u
l -
/
GAMBAR5
76 Kalkulus dan Geometri Analitis ltltt I
dekati 0. Gunakan kalkulator anda untukmenghitung sin(l/x) pada semua nilai Iini. Terkecuali anda menemukan beberapapilihan beruntung, maka nilai-nilai andaakan berayun secara liar.
Kedua, cobalah menggambarkan gafiky = sin(l/x). Tak seorang pun akan p€mah
melakukan ini dengan sangat baik, tetapitabel nilai dalam Gambar 5 memberikaukita suatu petunjuk yang baik tentang apeyang terjadi. D sekitar titik asal, gmfik ber'goyang ke atas dur ke bawah di antara -1
dan I banyak kali secara tak terhingga(Gambar 6). Jelas sin(l/x) tidak beradadekat suatu bilangan unik I bilamanax dekat 0. Kita simpulkan bahwa limsin(l/x) tidak ada,
GAMBAR5
LIMIT-LIMIT SEPIHAK Bilamana suatu fungsi mempunyai lompatan (seperti hdnya
[x] pada setiap bilangan bulat, dalam Contoh 6), maka limit tidak ada pada setiap titik
lompatan. Untuk funpi-fungsi yang demikian, adalah wajar untuk memperkendkan
limit-limit sepihak. Andaikan lambang x -+ c* berarti batrwax mendekati c dari kanan, danandaikan x +c-berarti bahwax mendekati c dari kiri.
Jadi walaupun g, firn tidak ada, adalah benar untuk menuliskan (lihat grafik dalam
Contoh 5)
.t-t0
I
lim [x] :x + 2 '
lim [x] : lx - 2 +
I, t
l
77Futitidan Limit
Kfrd y"kin anda akan melihat f"h*" trorrrn berikut sangat beralasan.
cmbrr 7 seharusnya memberikan pandangan tambahan yang jelas bagi Anda
GAMBAR 7
SOAL-SOAL
t1
i
I
Dalam Soal-soal I - 6, cari limit yang di-tunjukkan dengan pemeriksaan. t5. l im
t2-- 5t + 6
t - z t ' - t - 2t 6 . l i m u ' + 6 u - 7
u + r u ' - l
lg. li- I - cot "
r - O - X
20. li* l - c-ot "
r * O - (
22. l i - t in 'r
r -o t
l)zn lun(2x - 8) t.
:'l(;.
.1Tr(" - 3x + l) 4'
tt, *,l i m v ' - - -
6 .r-l3 x*
. - x 2 + 3 x - 4
r + t x - l
Dalam Soal-soaI l7 - 26, gunakan kalku-lator (atau Tabel II) untuk menghitungnilai-nilai dari fungsi yang diberikan dekattitik limit c. Susun nilai-nilai ini dalam se-buah tabel (seperti dalam Contoh 4, 5,dan 7) dan gunakan hasil-hasil tersebutuntuk mencari limit yang disyaratkan ataumenyimpulkan bahwa limit tersebut tidakada. Yakinkan untuk mem:Nang kalkulatordalam kode radian.
Dalam Soal*oal 7 - 16, cari limit yang di-tunjukkan. Dalam banyak hal, akan bijak-sana untuk melakukan beberapa perhitung-an aljabar terlebih dahulu (lihat Contoh 2dan 3).
, )
5.
/---1 - V Y + x "r * 4 x - 3
, . 5 x - x 2l l f i l -
, - t x ' * 2 x - 4
-l
IFIT:J
FILYJ
IlI
tr
E
9.2 x 2 + 5 x - 3
, + 3
x - 3 x - 3
Y. x3 - l6xl l l D -
,-o x' * 4x
, 1 x 2 - 2 x - 3
t7. li- tun t
l-cl' - o 2x
''l'*Tj tr
2 t . l i m s i l f a, - o t '
2 3 . r i - l * t o t 'r+ft sin 2x
l . l .m tan x-sin .x
r - o X '
l l . l i m : =" - s J x - 3
1 3 . l i m x 2 + x - 6\ - 2 x * 2
1 2 . l i m x - 8
' - z x - 2
1 4 . l i m x 2 + 4 x - 4
x - - 3 x - 3
/
78
sin 3x '_Lq 25. lim . l-el
' - 1 X - t
/ Kalkulus dan Geometri Anaiitis Jilid I
\30.7 Sketsakan grafik dari
[ - x + l j i k a x < lt -
s G ) : 7 x - l j i k a t < x < 2
[ 5 - r ' j i k a x 2 2
Kemudian cari masing-masing yang berikutatau nyatakan jika tidak ada.
f.x2 bila r rasional/ ( v ) : {
l.ro bila x tak rasional
Untuk harga a berapakah lim flx) ada?x+a
tan u26. lim _
t-.12 u
yf . V*uk fungsi / yang digambarkangrafiknya dalam Gambar 8, cari limit yang
ditunjukkan atau nilai fungsi, atau nyata-
kan bahwa limit tersebut tidak ada.
(a) lim /(x) (b) "r(-3)r - - 3
(c) ,f(- t)
(e) .f(1)
G) lim /(x)r + l -
GAMBAR 8
28. Ikuti petunjuk dari Soal 27 untukfungsi / yang digambar grafiknya dalamGambar 9.
GAMBAR 9 ,
?/. Sketsakan grafik dari
l x ' j i k a x < 0l '
/ ( x ) = l x j i k a 0 < x < l
[ l + x ' i i k a x - > l
Kemudian "".i rn"ring-rnasing yang berikutatau nyatakan jika tidak ada.
G).r ( l )
(d) lim /(x) .
(a) limg(x)r * l
(c) lims(x)x - 2
(b) s(l)
(d) lim s(x)x - 2 r
fl. Sketsakan grafik /(x) : x - [x];kemudian cari masing-masing yang berikutatau nyatakan jika tidak ada.
(a) .f(0) (b) lq /(x)
(c) lim /(x) (d) lim /(x),x - O - t - l l 2
4?. Ikuti petunjuk Soal 3l untuk
f.{x' l= xllxl.'r{.
an l im(x2 - l)/ l-r - l l ataur - I
nyatakan jika tidak ada.
1. Hit*rs 1r1x<f'+ I -,rty'.Pe tuniu k : Rasionahsasrkan pembilang.
35. Andaikan( x iikax rasional
I \x )= J - r j i t " r tak ras iona l\
Cari masing-masing nilai, jika mungkin
(a) lim /(x) (b) tim /(x)r J l r - O
36. Sketsakan, yang terbaik yang andadapat lakukan, grafik fungsi / yang me-menuhi semua persyaratan berikut.(a) Daerah asalnya adalah selang [0,4].
(b) /(0) : "r(1): f(2): f(3): f(4): I
(c) l im f(x):2 (d) l im f(x): Ir - l
(e) l im f (x) :2t t 3
-
37. Diketahui
x-2
(f) l im f(x): Ir t 3 +
(d) lim /(x)r - - I
(f) lim/(x)r J l
(h) lim /(x)x - I +
(a) lim/(x)r - O
(c) lim/(x)r - l
(b)
(d)
(f)
(-- 'lF
Jb2 Futtslddaa-Limit
ld rungsi .f(r) = 12 telahdcnpo teliti. Akan tetaPi Padahri seorang tamu misterius mengubahnilainilai dari / pada satu juta tempatyrng berbeda. Apakah ini mempengaruhinilai dari lim /(x) untuk setiap a? Jelas
x+a
kan.
)4, Tentukm limit-limit berikut iniett{f berilah keterangan bahwa limittcrsebut tidak ada.
(d).1?t*-t +]. Tentukan limit-limit
atarf berilah keterangan bahwasebut tidak ada.
(a) lim vG-j-[n: - I r
(c) l im xf-l;[tr ' ] 'x - O +
(e)l l im xfl/xnl - . r ' O r
berikutlimit ter-
l im Il/x]: - O +
O
lir^n [xI(- l)[r/'I
l im x'�It/.x] il x - l l(a) lim ---;-
x - l X - I(b) lim iL+
5 - 1 - X - I
2.5 Pengkajian Mendalam Tentang Limit
Anda seharusnya tidak percaya begitu saja pada apa yang diceritakan kepada anda.
Adalah bijatsana untuk bersikap ragu-ragu - asal saja tidak keterlaluan sehingga anda
tidak akan mempercayai aPa pun\ benikaplah sepantasnya untuk tidak menerima suait
pemyataan sebelum anda memeriksanya. IGtakan kepada seorang matematikawan bahwa
Ltoatu adalah benar dan kemungkinan anda akan mendapat tanggap4n: hrktikan. Tetapi
untuk dapat membuktikan sesuatu haruslah kita memahami uti kata-kata yang digunakan
scjelas-jelasnya. Terutama yang menyangkut kata limit, kuena kalkulus semuanya ber'
sandar pada arti dari kats tersebut.Dalam pasal sebelumnya telah diberikan definisi limit secara tak formal. Berilut defi'
nisi yang lebih baik sedikit, tetapi masih tetap tak formal, dengan menyusun kembali
$$unan kata-kata dari definisi tersebut. Untuk mengatal<tn Mhwa f4 ft) = L bemrti
ehvw setisih antua f(x) dor L dtpt dibtut sekecil mungkin dengan mensyamtlvn bahtw
x culatp detcat tetopi tifok sanu deng c. Sekarang kita coba untuk menekankan hal ini
dengan men gemukakan bukti'bukti'
MEMBUAT DEFINISI PERSIS. Pertama, kita ikuti sebuah tradisi panjang dalam me-
makai huruf Yunani e (epsilon) dan d (dclta) untuk menggantikan bilangan-bilangan kecil
positif. Bayangkanlah e dan 6 sebg3i bilangan'bilangan kecil positif.
Mengatakan bahwa /(x) berbeda dari tr lebih kecil dari e sama saja dengan mengata.
ken
l " f ( x ) - L l < e
L - e < f ( x ) < L + e
Ini berarti bahwa /(x) terletak ddam sclang tcrbuka(L - e, L + e) seporti yang dipedihat'
kan pada grafik dalam Gambar l.
Selanjutnya, ucapan bahwa.x cukup dekat tetapi berlainan dcngan c sana saja dengan
mengatakan batrwa untuk suatu 6, x terletak dalam selang tcrbuka (c - 6, c * d) dengan
c tidak diikutkan. Barangkali cara terbaik untuk mengatakan ini adalah dengan menuliskan
0 ' < l x - c l < 6
/
=
80
GAMBAR T
Kita siaP unhrk dcfinisi Yangpenting dalam kallulus.
Jilid I
0 ( l x - c l ( 6
GAIilBAR 2
menurut sementara orang disebut delinisi yang ter'
perhat ikan bahwa lx-c l <6 akanmsmer ikanselang c -6<x <c*5 ' sedangkan
0 < lx - cl mensyararkan bahwa x = c dikecualikan. sclang dengn pcngccudiut yang
diurihn tersebut diperlihatkan dalam Gambar 2'
tnr.Harus ditekankan bahwa Pertama'tama diberikan bilangan e; bilangan 6
hasilkan. Andaikan Anton ingin membuktikan kepada &ty bahwa !4f@)= f'
Gambar-gambar dalam Gambar 3 dapat kiranya membantu anda menyerap definisi
harus di-BetY da-
pat m€nantang Anton dengan suatu s tertentu yang dipilihnya (misalnya, e = 090001)
dan meminta Anton menghasilkan 6 yang berpadanan'
Irbih lanjut, karenaiefinisi mengatakan "untuk tiap e ) 0" (bukannya "untuk suatu
e ) 0"), lnton belum membuktikan pirnyataan limit itu jika ia menghasilkan 6 untuk satu
€ tertentu, bahkan juga tidak untuk Leberapa dari e. la harus mampu menghasilkan 6 un-
hrk u"p ,ruuut, e yan! uerpaoanan. Tentu saja,6 yang dihasilkan mungkintergantung Pada
e. secara umum, makin kecil e yang diberikan Bew, makin kecil 6 yang perlu dikembali-
kan Anton.ApakahterdapatsuahlcalayangmungkinbalrwaAntondapatmemenuhitantangan
yanj Olmkian? Ada, tetapi jangan mengharapkan ini begitu mudah'
BEBERAPA BUKTI LIMIT (FAKULTATIF). Dalam tiap contoh<ontoh berikut' kita
mulai dengan apa yang disebut analisis pendahuluan. lni bukan bagian dari bukti melain'
l f ( x ) - L l < e
2 Futgsi dan Limit 8 l
- t
r - -
. , : t . , , : i t t , , \
g're* *$. > 0. sdmms > o*rfth rrinss"l
a
\
\
GAMBAR 3
kan lebih merupakan pekerjaan yang seharusnya anda kerjakan di kertas buram.srtakan di sini agar bukti-bukti kita tidak kelihatan begitu saja turun dari langit.
CONTOH I hrktikan bahwa lim (3x - 7) = 5 -
ANALISIS PENDAHULUAN. Andaikan e bilangan positif sebarang. Kita harus meng-hasilkan suatu d ) 0 sedemikian sehingga
0 < l x - 4 1 < 6 + l ( 3 x - 7 ) - 5 1 < e
Pandang ketalsamaan di sebelah kanan
< € + l 3 x - l 2 l < e
€ l 3 ( x - 4 ) l < e
+ l 3 l l x - 4 1 < e
< + l x - 4 1 < -3
/
82 Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid I
Sekarang kita lihat bagaimana mernilih6, yalcni D = e/3. Tentu saja, sebarang6 yang lebih kecil akan memenuhi.
BUKTI FORMAL. Andaikan diberikan€ > 0. Pil ih 6 = el3.Maka 0<lx - 4l( 6 membawakan
l ( 3 x - 7 ) - 5 t : l 3 x - 1 2 1 :
l 3 ( x - a ) l : 3 l x - 4 l < 3 d : e
Jika anda baca rangkaian Per'taksarnasn dan sehrah kesamaan ini
( ddi kiri ke kanan dan gunakan hularmtrandtif, anda lihat bahwa
l ( 3 x - 7 ) - 5 1 < e
Jika Bety menantang Anton de-ngan e = 0,01 dalam contoh ini,Anton akan menanggapi dengan 6 =0,01i3 = 0,0033. Jika Bety mengata-kan e = 0,000003, Anton akan me-ngtakan 6 = 0000001. Jika ia mem-berikan 6 yang lebih kecil lagi, akanlebih baik.
Tentu saja, jika anda pikirkan
ggrafik dari y = 3x - 7 (sebuah garisdengan kemiringan 3, sperti dalam' Gambar 4), anda tahu bahwa untukmemaksa 3x - 7 agar dekat ke 5,akan lebih baik membuat x sedekatmungkin (lebih dekat menurut kelipat-an sepertiga) ke 4.
2 x 2 - 3 x - 2
GAMBAR 4
l i m 2 x 2 - 3 x - 2x - 2 x _ 2
GAMBAR 5
coNToH 2. Buktikan bahwa lim 2xz - 3x-- 2 - ,.
x - 2 x ' l '- - /
ffif�or,rts I'ENDAHU_t.$ "" mencari 6 sedemikian sehingga
\...._'-_-'---= ''
I
0 < l x - 2 1 < 6 +
Sekaranguntukx*2,
l 2 x 2 - 3 x - 2| - 5l . * - 2
_ l- ' 1 " . ,
< s + |
x - 2
( 2 x + l X x - 2 )x - 2
l ( 2 x + 1 ) - 5 1
l2(x - 2)l
- l- ) l < eI
< e
< 6
+
€
I4
3 € 4 € 53 3
l i m ( 3 x - 7 ) = 5
2 hngsi dan Limit
Pencoretan faktor x -0 dihindari.
83
l 2 l l x - 2 l
l x - 2 1
< r
tt t
Ini menunjukkan bahwa 6 = elZ akan memenuhi (lihat Gambar 5). - v - ,/ \ v
HJKTI FORMAL. Andaikan diberikane ) 0.pil ih l=elZ.Maka0 < lx _ 2l< 6.menye.<-a*an*'l
l 2 * t - 3 x - 2t _ _ a
I x - 2 " :l(2. +rY;- 2) -' I : r2x + r - 5l
: l 2 ( x - 2 ) l : Z l x - 2 l < 2 6 : e
2 sah karena 0 < lx - 2l berartix +2;pinpembagian dengan
ICONTOH 3. Buktikan bahwa lim (mx + b) : mc * b.
AITALISIS PENDAHULUAN. Kita ingin mencari 6 sedemikian sehingga0 < l x - c l < d + l ( m x + b ) _ ( m c + b ) l < e
Sekarang
l(mx + b) - (mc + b) l : lmx - mcl : lndx- c) l : lml lx _ c1
Kelihatan bahwa 6 = ellml akan memenuhi.
BUKTI FORMAL. Andaikan diberikan e ) 0. pilih 6 = ellml.Maka 0 ( 6 _ cl ( 6menunjukkan
l ( m x + b ) - ( m c + b ) l : l m x - m c l : l n r l l x - c l < l m l S : E
Hanya terdapat satu masalah dengan pilihan 6 kita. Bagaimana jika z = 0? Dalarn ka_sus demikian, sebarang 6 akan memenuhi dengan baik karena
! (0x + b) . - (0c + A) l= l0 l :0
Yang belakangan lebih kecil dari e untuk semua x.
CONTOH 4. Buktikanbahwa jika c > 0,lim J;: .fi.r + c
AI.IALISIS PENDAHULUAN. Kita harus mencari 6 sedemikian sehingga
0 < l x - c l < d + l $ - r / i ] . ,
Sekarang
I
/
E4 Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid I
Untuk membuat yang rbelumnya lebih kecil dari e, kita diharuskan membuat lx - c l(qf lCamuu 01.
6 6
limt/V =tlc
. GAMBAR6
HJKTT FoRMAL. Andaikandiber ikane >0.Pi l ihd: t { . .U^}ao<F- c l (6 ber-
arti
t6-r ' ' : l<$- {x$*:f t iJ;*'f t
I I x - c Il: l---F-------=lI l./x + ./" I
l x - c l l x - c l 6> - -7 \ - -F : o
,/x + ,/c ,/c \/c t
Ada satu hal teknis lagi. Harus diingat bahwa 6 ( c, untuk lr-cl < 6 yang menyebabkan
x ) 0 sehingga 1E terdefinisi Jadi untuk penelaahan harga mutlak, pilih 6 yang lebih
kecil dari c dan nlf
Peragaan kita dalam Contoh 4 tergantung pada cara merasionalkan pembilang itu. Ini
merupakan teknik yang seringkali sangat berguna dalam kalkulus '
CONTOH 5. Buktikan bahwa lim(x2 * x - 5) :7.
AI.IALISIS ENDAHULUAN. Tugas kita adalah mencari 6 sedemikian sehingga
0 < l x - 3 1 < 6 + l ( x ' + x - 5 ) - 7 1 < e
Sekarang
l (x2 + x - 5) - 7 l : lx2 + x - l2 l : lx * a l lx - 3 l
Karena faktor yang kedua lx - 31 dapat dibuat kecil seperti yang kita inginkan, maka
cukup membatasi faktor h + 41. untuk melakukan ini, pertama kita pilih 6 S l. Ke-
mudian F - 3l <6 membawakan
l x + 4 1 : l x - 3 + 7 1
< lx - 3l + l7l (ketalsamaansegitig)
hngsidan Limit 85
Gamber 7 menawarkan suatu altematif peraga-an dari fakta ini. Jika kita juga mensyaratkan6 < el8, maka hasil kali lx + 4l h - 3l akanlebih kecil dari e.
GAMBART
FfKU FORMAL. Andaikan diberikan e > 0. Pilih 6 = min {1, e/8}; yaitu pilih 6 sebagaiyang terkecil dari antara I dan e/8. Maka 0 < lx - 3l ( 6 berarti
l ( x 2 + x - 5 ) - 7 l : l x z * x - l 2 l : l x + 4 l l x - 3 l < t ' i : t
CONTOH 6. Buktikan bahwalim x2 : c2.
E' KTI Kita tiru bukti dalam Contoh 5. Andaikan diberikan e > 0. Pilih 6 = min
{1, e lQ + 2 lc l ) } .Maka 0 < tx - c l (6 berar t i
l * ' - c ' l : l x + c l l x - c l : l x - c * 2 c l l x - c l
I
< ( l x - c l + 2 l c l ) l x - c l
( l + 2 l c l ) . s<
1 a 2 P , : e
(ketaksamaan segrtiga)
I
CONTOH 7 Buktikan bahwa lim 1 - 19 1 t l : : - , c * 0 .- : - r C *x c
I r Il ; - ;
AI.IALISIS PENDAHULUAN. Kita harus mencari 6 sedemikian sehingg
o < l x - c l < d + l l - l l . 'l - x c l
Sekarang
l c - x l t I: l ' " l : n ' t ' l x - c lFaltor l/hl menyulitkan, khususnya jika x dekat 0. Kita dapat membatasi faktor inijika kita dapat menjauhkan x dari 0. Untuk maksud itu, perhatikan bahwa
l c l : l c - x * x l S l c - x l + l x l
l x l > l c l - f x - c l
Jadi, jika kita pilih 6 < lcl/2, maka kita berhasil dalam membuatlxf 2 lcll2.Alhir-nya, jika kita juga mensyaratkan 6 < ec2 12, maka
l l l l e c z
l r l ' l " l ' l x - c l . W z ' { " 1 ' T
: t
BuKrI FoRMAT Andaikan diberikan s > 0. Pilih 6 = min {bll2, u2l2} maka0 < h - c l ( 6 b e r a r t i
l t l l l c - x l t I l I u 2
l ; - ; l : l * 1 : . t r t ' t " t ' l ' - c l < w ; t " t ' 2 : e I
/
/j
g6 Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid I
LIMIT-LIMIT SATU-PIHAK Kita tidak memcrlukan buryak imajinasi unhrk memberikan,
definigi e,6 dari aturan limit kanur dan limit kiri.
Ihrni serahkan definisi e,6 yrng bcrydrmn untuk limit kiri kcpada pembaca.
soAL-soAL 2.5
Dalam Soal-soel l{, bcrikan delinisie, 6 yang sesuai untuk tiap pcrnyataan.
l. lim/(t) - M 2. limdu) = |t+o .-D
3. lim l(z) : P ,t. lin d(f) : It - a
. t + a
5. lim /(x) : L 5- hm s(t): Dl
Dalam Soal-sod 7-18, berikaa suatu buktie,6 dari tiap fakta Umit (lihat Contoh'coa-toh l-5).
7. l im(Sx - 11): af , + !
v' G) nm (2r - 4): -E\ . / ' - - z -
. 2 - t t9 . l i m - ! - : t o
, ; - 5 X - )
J {r*. i^xz + 5x .- 6 _,\ J ' - r x - l
l l . l i m 2 x 2 - x . - 3 = - ,
r { - r . x + I
| 3 x 2 - 4 xlt. l im
--- : -4r - o r
tr. :I Jz*: z
.tn. lT Jx -7 : z
? - x t + 3 x 2 - 2 x - 3 .15. iErm ----:_- : -.' - ' ; i ' - l
tuniuk: x2 - | qdahh faktor daribilang.
16. lim(2x2 - 4x + 3): 3, -2
17. lim(x2 - 2x) : 3r - l
Pe
1
Pem-
v ( l t / l i m x ' : o\-z ,-o
24. nn*an bahwa jika [,$,f(x) = l,
dan lim/(x) = M, maka L = M.
2d. ttd"ik"n F dan G adalah fungsi'
fungfi sedemikian sehingga O ( F(x)( G(x) untuk semua x dekat c, kecuali
mungkin di c, Buktikan bahwa jike
Um G(x) = 0 maka lim F(x) = 0.
21. Buktikan bahwa I-T
x4 sin2(l/x)
= O. Petuniuk' Gunakan Soal-soal 18 da4
20.
22. Buktikan bahwa lim Jt : O-r - 0 "
23. Dengan memand.ang limit kiri dan
limit kanan, buktikan bahwa liqlxl = 0.
24. Buktikan bahwa jika Ulx)l < Auntuk tx - al ( I dan lim g(x) = 0, maka
Iri /tx)oG) : o.
25. Diketahui lim /(x) = L dan f(a)x+a
ada (yang mungkin dapat berbeda dengari
tr). Buktikan bahwa / dikelilingi oleh be-
berapa interval yang mengandung a; arti'
futidanLimit
bahwa ada suatu intervalaaoarn c.( r ( d dan konstanta M
ll(r)l ( M untuk setiap x di
26. Buktikan bahwa jika /(x) ( g(x)ntrl setiap r dalam beberapa intervalEputus adalah a dan jika lim flx) = L
&den lim JG) = M,maka L 4 M.
2t1 Mznakeh ttrari yzng berikut ilianri deryan dcfinisi lirnit?(e) Untuk beberapa e) | dan sctieff > 4, f ( lx-ci <f + l^r)-I l < e.
87
(b) Untuk setiep 6 ) 0, terdapat O > 0sedemikian rupa seiringga e) 0 adalah
0 < l x - c l < e + l . f f : ) _ t 1 . 0
(c) Untuk setiap bilangan bulat positiflf, terdapat bilangan bulat positif lain-nya M sedemikian rupa sehingga0 ( lx-cl 1 | lM + lf(x)-Ll 4r lN.(d) Untuk setiap 6 ) 0, terdapat 6i>Osedemikian rupa sehingga 0( lr-cl ( Ddan l/(x) - l,l < f,; samr dcngan r.
28. Nyatakan dalam bahasa e,6apakah artinya lim f(x) * L.
o.
J
25 Tcercme Limit
Kcbanyakan pembaca rken setuju bahwa membuktikan adanya limit dengan me-mrkai definisi e -6 dari pasal di depan, di samping memakan-waktu juga sukar. Itulahrblbrya mengapa teorema-teorema dalam pasal ini disambut dengan baik. Teoremalib yang Pertama sangat penting. Dngan teorema ini kita dapat menangani hampir semuaEdrh limit yang akan kita hadapi nanti.
Hasil-hasil yang penting ini akan mudatr diingat jika kita pelajari dalam kata-kata.Misalnya, Pernyataan 4 diterjemahkan sebagai: Limit stuu iumlah adalah iumhh dqi limit-limit.
l
I1
4 -
/
r88 Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid I
Tentu saja, Teorema A perlu dibuktikan. Kita tunda pekerjaan tenebut sampai akhirpasal ini, dengan pertarna-tana memilih untuk memperlihatkan kepada anda bagaimurateorema besar ini dipakai.
PENERAPAN TEOREMA LIMIT UTAMA Dalam contoh+ontoh berikut, nomor-nomoryang dilingkari mengacu kepada pemyataan-pemyataan bernomor dari daftar yang diberi-kan terdahulu. Setiap kesamaan dibenukan oleh pemyataan yang ditunjuk.
coNTOIl I Carilah !gzr'.
Panyetevian q g ?
| | r ' I 4 l
hm 2x1 = rgt = rllT'l :2r3f4 :162 I
CONTOH 2 Call. llm (3x2 - 2x).r-+4
Penyelesoian
l im(3x2r + 4
? ?- 2g L hm 3x2 - lim 2x ! 3 lim xt
x - 4 x - 4 x { 4
9 E1 r / u - ' \ ' - z t i m ' j { + ) '
\ ' - + | , - t
: N
- 2 l i m xr + 4
- 2(4)
I
coNToH 3 Cari 1i- Jx2 + 9t + 4
Penyelesoian
s^,)T t
I- 4
coNToII4 Jika lim f (x) : 4 dan lim 9(x) : 8, carix - 3
lirn[/'�(x) Jr^n)x - 3
,_ ' _--J _
[i-7 + ti* sV x - c x+4
- ?lim[/'�(x) -:6(n] I tl,n /'(")'lim JGG)
x - 3
Lb 2 Futtgsidan Limit
hy*sen
89
r - 3
['* r,',]': t4l' J8: 3 2
Ingat bahwa fungsi polinom/mempunyai bentuk
J G ) - - a n x n + a , - t X n I + . . ' * a 6 * a 6
sedangkan fungsi rasional/adalahhasil bagi dua fungsi polinom yakni
f(x) :a n x " * a n - r x n I + . . . + a p + a o
b - x ^ * b ^ - � r X ^ - r + . . . * b f i * b o
Bukti untuk Teorema B muncul dari penerapan secata berulang-ulang Teorema A.Perhatikan bahwa Teorema B memungkinkan kita untuk mencari limit-limit untuk fungsifungsi polinom dan rasional cukup dengan hanya menggantikan c untukx.
7 x s - 1 0 x 4 - l 3 x * 6CONTOH 5 Cari lim
, v - 2
Penyelesaian
3 . x 2 - 6 . x - 8
. . 7 x 5 - l 0 r a - 1 3 x * 6 7 Q ) s - 1 0 ( 2 ) 4 - 1 3 ( 2 ) + 6 1 1
\ - - 1 ._ r " + J i - + l x ' + J x + /C O N T O H 6 C a r i l i m - - : : l t m -
, 1 , , * ' - 2 - x + 1 - , l t ( x - l ) t
Penyelevian Baik Teorema B ataupun Pernyataan 7 dari Teorema A tidak berlaku, karenalimit dari penyebut 0. Tetapi, karena limit pembilang adalah ll, kita lihat bahwaselama r dekat 1, kita membagi sebuatr bilangan dekat I I dengan sebuah bilangan posi
r - 3
6DT I
T
/
90
' l9 !
r* lKakulus dan Geometri Analitis Jilid I I
tif dekat 0. Hasilnya adalah sebuah bilangan positifyang besar. Kenyataannya, bilang'
an yang dihasilkan dapat dibuat besar sekehendak kita dengan membiarkan x cukup
dekat ke l. Kita katakan bahwa limitnya tidak ada. (Nanti dalam buku ini-lihat
pasal 4.6 - kita bolehkan diri kita sendiri untuk mengatakan limitnya adalah * oo') I
- - f + 3 r - 1 0CONTOH 7 Cari lim -
,-, t\77 6 '
Penyeles&n lagi-lagi, Teorema B tidd( dapot dicrapkan- Tetapi kali ini, hasil bagt meng'
ambil bentuk tanpa arti 0/0 di r = 2.Y,z.rntrje ini tcrjsdi anda harus menyederhana-
kan hasilbagi t"r$but secara aljabrr (faktorireri), rbclum anda mencoba mengambil
limitnya.
byt#-j.:*ffi3:8,fi:1 I
BUKn TEOREMA A (FAKULTATTF) Ande seharusnya ti&k tedalu terkejut Pada waLtu
kami mcngatakan bahwa bukti.bukti beberapa bagian dari Teorema A sangat canggih'
Karena hal ini, di sini kita hanya mcmbuktikan lima bagian yang Pertarna' dcngan meng-
alihkan yang lainnya ke Apeniiks @asal A2, Teorema A). Untuk membiasakin, cobalah
Soalsoal 33 dan 3,t.
htkti Penyawn I fun 2 Pernyataan ini mcrupakan hasil dari ljl(tt * b) = mc + b
(Lihat Cqrtoh 3 dari Pasal 2.5), pertama &ngan memakai m = 0 dan kemudirn n= l,
D = 0 .
hrkti PemyaUn 3 lika & = 0, hasilnya jelas, s€hinga kita andaikan k+0. Andailqn di'bedkan e > 0. Mcnurut hipotesiq }g"ft)
ada; sebut nilainya tr Menurut definisi limit'
Erdspat suatu bilangan 6 sedemikian sehingga
0 < l x - c l < 6 + l , f ( x ) - \ t * ll r ( l
Seseorang pasti memrotes bahwa kita menempat|an e/ lk I bukannya e pada alhir
ketaksamaan O .t"t. Baik, bukankah e/lkl suatu bilangan positif? Ya. Apakah definisi
&b 2 Fungil dan Limit 9t
limit mensyaratkan bahwa untuk sebarang bilangan positif, terdapat suatu 6 yang ber.padanan? Ya.
sekarang dengan telah ditetapkannya 6, kita dapat menyatakan bahwa 0 ( h - cl (dberarti
lkf (x) - kLl : lkl l . f(x) - Ll < l / .1 ,1,: 't / ( |
Ini menunjukkan bahwa
lim k/(x) : kL : k lim /G) I
&,tkti Pemyauan 4 Andaitan liln/(x)= L dan FSs(x) = M.Jikae sebarangbilangan,
positif yang dib€rikan, maka el2 adalah positif. IGrena !4,f(x)= L, maka terdapat suatul
bilangan positif 61 sedemikian sehingga
0 < l x - c l < 6 r + l f ( x ) - L l . :t "
Karena F* S(x) = M , terdapat suatu bilangan positif 6 2 sedemikian sehingga
0 < l x - c l < 6 2 + l S ( x ) - M l . :
Pilih 6 = min {6r, 6z}; yaitu pilih 6 sebagai yang terkecil Jantara 61 dan 02.0< lx -c l (6menun jukkan
l.f(x) + s6) - & + M)l : l["f(x) - L] + ts(J-) - M)l
< l . f(x) - Ll + ls@) - Ml,l
o ot r + t : '
Dlam rangkaian ini, ketalsirmaan yang pertama adalah ketatsamaan segitiga @asal l.a); -'
yang kedua sebagai hasil dari pilihan 6. Kita baru saja memperlihatkan bahwa
0 < l x - c l < 6 + l , f ( x ) + s Q ) - ( L + M ) l < E
Maka
Jadi
lim[/(x) + s(x)]: L
htkti Pernyamn 5
+ M : lim /(x) + lim s(x) Ix r c
lim[/(x) - s(;')d: lim[/(x) + (- l)g(x)]r { c t + c
: lim /(x) + lim(- l)g(x)r + c r { c
: l im/(x) + (- l ) l ims(x)x - c r + c
lim /(x) - lim 9(x)r j c x + c
I
/
il
Kalkulusdan GeometliAnatit& rfi , I I
TEOREMA APIT Pernatrkah anda mendengarseseorang berkata, "Saya tcrjebak di antarabatu. dan tempat yang keras?" Inilah yangterjadi pada g dalam teorema bcrikut (lihatGambar l).
GAMBAR I
&kri (Fakultatif) tuidaikro dibcrikan s >0. Pilih6l sedemikian sehingga
< l x - c l < d r + L - e < f ( x ) < L + e
dan 62 sedemikian sehingga
0 < l x - c l < 6 r + f $ ) < g ( x ) < h ( x )
Pilih 63 sehingga
0 < I x - c l < 6 + L - e < f ( x ) < S G ) < h ( x ) < L + e
Andaikan 6 = min {6r, 62, 6}}. Maka
0 < l x - c l < 6 2 + L - t < h ( x ) < L + e
Kita simpulkan bahwa $qrtt)
= r. I
CONTOH 8 Telah diketahui bahwa I -x2 16 < (sin x)/x < luntuksemuar yang men'
dekati tetapi tidak 0. Apa yang dapat kita simpulkan dari ini?
Penyelesoian Andaikan .f (x) = I -x216, g(x)= (sin x)/x' dan h(x) = l' Maka lim /G)=
lilX/(x)= l, sehin$ga menurut Teorema C r-o
. . s l n x -h m _ - I Ix - O x
Kita akhiri dengan sebuah catatan penting. Semuo teorena dolam paal ini sahih untuk
Emit lunan dtn limit kii.
/ - - ral
93kb 2 Fungsi dan Limit
Dalam Soal-soaI l-12, gunakan Teorema Auntuk mencari tiap limit. Berikan pem-
benaran tiap langkah dengan mengacu padapernyataan bernomor, seperti pada Con-toh-contoh l-4.
l . l im(7x - 4)r - 3
2. ,lim,(2x3
- 5x)
{r^71*'+ lx3x - l)lr ) 2
4. liml(4x'�.- 3;17x'3 + 2x;l .eO
2xt . l rm-
' -n 3x ' - 16
3 x 4 - 8O. lllll -
, - - 2 x " + 2 4
7. lim.rz3x - 5r r 3
s. rim.r6i, + zxr + - 3
9. l im(2r3 + l5)r3t - - 2
[0. iim Ut-t't '4*t a 1*z
w - - 2
rr. ri,o/ry'j 8v\"'" - z \ Y + 4 I
12. lim(2wa - 9w3 + l9)- ttzw - 5
Dalam Soal-soal 13-22, cari limit yang di-tunjuk atau nyatakan bahwa itu tidak ada.Dalam banyak kasus, gnda ingin melakukanbeberapa langkah aljabar sebelum mencoba
menghitung limitnya (lihat Contoh<ontohs-7).
. / . . x n - . x 3 - 2 x 2 + l,J. titr' ---:---L
1 , - ; 3 x ' - 5 x + ' l
18. li^u'.- 2u
' - z u ' - 4
l g . r i m t 2 + 7 t + 7
t - - r t ' - 4 t - J
420. t im u2 --2u * |
r - 2 u ' - 4
21. tim (y - r-)0'-+ z{- O
, - r y ' - 2 y * l
t 2 . t i m ( w + ? ) ( w ' � - w - 6 )
w - - 2 w ' + 4 w + 4
Dalam Soal-soal 23-28, cari limit{imit ter-sebut jika lim/(x) : 3. dan lim 9(i; = -1
soAL-soAL 2.6
14. limr + - l
x r 4 _ 3 r l l + 2 x 3 _ 6
3xe +2x + |
J
(lihat Contoh 4).
./2K ri^ JjTniT@
A.'n':2f$) - 3s(xl
,-" Jlx) + slx) \_
2s. rim {^au<x> + t)
25. lim[/(x) - 3]a
n. hnff(t) + (t - a)s(t)l
28. ti-t"ftr) + 3s(u)13
Dalam Soal-soal 29-32, can lim[/(x) -x - 2
f(2)ll& - 2) untuk setiap fungsi / yaogdiberikan.
6. f @\: tr' n. f(r) = 3x2 - 5
t 13r. f(x): - 32. f(x) =
?E3. Buktikan Pernyataan 6 dari Teore-
ma A- Petuniuk:
lf(x)s@') - LMI- lf (x)s6) - I-s$) + Ia@) - LMI
,: le(x)[/(x) - r] + LlsQ) - Mll< ls(x)ll,f(r) - Ll + lLlls(x) - Ml
Sekarang perlilntkan bahwa jika [,S S(x) =
M, terdapat suatu bilangan 61, sedemikiansehingga
0 < l x - c l < d r + l f ( x ) l < l M l + t
'rd+:-.
1- 1 -
15.
16.
. . x 2 + 2 x - 2 4lrm -r - 4 x - 4
x 2 + 7 x + 1 0lim ------- -
r - - 2 X + Z
x 2 + 7 x + 6lim --;-----
, - - r x ' - 4 x - )
/
I
94
rF
Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid I
34, Buktikan Pernyataan 7 dari Teore-
ma A, pertama dengan memberikan
suatu bukti e, 6 bahwa lim[/g(x)l :
t/t l,*
gttl t dan kemudian menerapkan
Pernyataan 6.
35. Buktikan bahwa lim f(x) + L +
l im[/(x) - L] :0.
r \( 35) surtikan bahwa lim /(x) : 0 +
l iml / (x) l :0 .
37. Buktikan bahwa jika f1/(x):
L > O, maka terdaPat suatu selang(c - d, c.-+ d) sedemikian sehingga/(x) > 0untuk semua r dalam (c - 6, c + 6),x * c .
168J guttikan bahwa limlxl : lcl.\-./ r-c
39. Cari contoh-contoh untuk mem-buktikan bahwa:
ta) |-g [/(x) + s(x)] ada tidak berarti
bahwa salah ratu lim /(x) atau 'li4 Ottl
ada:(u) linl-/(x)'s(x)l ada tidak berarti bah-
wa salah satu lim /(x) atau |i$ e(x) ada;
V0.\uktikan bahwa jika lim[/(x) +-\-/
S(x)l dan lim g(x)' keduanya ada, maka
9* frti harus ada'
Dalam Soal-soal 4l-48, cari tiap limit-ka-
nan dan limit-kiri atau nyatakan bahwa
itu tidak ada.
. E - l41. lim
, - r - 2 x * |
4.
@6.
o1t.
tiap x dan lim4
g(r) = 0. Buktikan bahwa
lim /(x) tidak ada.
50. Diketahui bujur sangkar R ber-
singgungan dengan titik tengah sisi-sisi
dari suatu segi empat Q dengan titik-titik
sudut (t x,0) dan (0, t l). Hitunglah
.. kelilins Rllm ----:-
r-o'leli l ing O
51. Diketahui y = rrFdan titik-titikM, N, O dan P berkoordinat (1,0), (0,1)'(0,0) dan (r, /). Hitunglah:
(")]'jb,*Hffiluas AIVOP(o'
xS' lr*m
6 uir"n"r, flx)g(x) = I untuk se-
- l
42. ,trT-l-T
, . x - 3I I I I I :
, - t - Jx2 - 9
- n + ,lim r-
, - r - 4 + 4x
. . ( r '+ 1) [x ]-
l r r : ty
,lim_G - [rtr)
x
'.T- l'l
lim [x'� + 2r]
2.7 Kskontiruan Fungsi
Ddam bahasa yurg biasa, kalx kpntitu digunakan untuk memerikan suatu proses yang
berkelanjutan tanpa perubahan yang mendadak Gagasan inih[ yang berkenaan dengan
fungsi, yang sekararg ingin dibuat secara persis. Pandang tiga grafik yang diperlihatkan
dalam Gambar l. Hanya grafik yaqg ketiga memperlihatkan kekontinuan di c. Berikut
adalah dsfinisi yang formal.
16:9;''s"4Bab 2
rItL .t
lirn l[x] aola, tetapi
l im flxl * f lcl
l im t (x l = f (c )
GAMBAR, I
Denpn de{inisi ini kita bermalsud mensyaratkan tiga hal: (t) ,U+/(r) ada, (2)f(c)
ada (yakni, c berada dalam daerah asall), dan (3)J4/(x)=/(c). Jika salah satu dari kedga
fungsi ini tak terpenuhi, maka / takkmtinu (diskontinu) di c. Jadi, fungsi yang diwakilioleh grafik yeng pertama dan kedua di atas takkontinu di c. Tetapi kontinu di titik-titiklain dari daerah asalnya.
CONTOH I Andaikrn f(x) :t-,x + 2.Bagirnana seharusnya/didefinisikan di- x - zx = 2 a$u kontinu di titik itu?
x 2 - ! ^ , x * 2
4 , x = 2
Penyeleviut
. . x 2 - 4 , . ( x - 2 \ x + 2 )'ll[l ----------- : llm --_---;-
x - 2 X - l t - 2 X - Z
l i m ( x * 2 ) : 4
Karena itu, kita definisikan l(2) = 4. Grafitdari fungsi yang dihasilkan diperlihatkan da-lam Gambar 2. Kenyataannya, kita lihat bahwa
f lx)=x+2untuksemuar. I
GAilBAR 2
KEKONTINUAN FUNGSI YANG DIKENAL Sebagian besar fungsi yang akan kitajumpai dalam buku ini adalah kontinu di mana-mana atau di setiap titik terkecuali di
beberapa titik. Khususnya, Teorema 2.'68 mencerminkan hasil berikut.
I
/
796
GAMBAR 3(lihat Soal 23 dui Pasal 2.5). Karena itu, lr Ijuga kontinu di 0; lx lkontinu di msra-mrne.
Menurut Teorema Limit Utama (Ieorcme2'6^) t: \$:
W: {,asalkan c ) 0 bilamana n gen,tp. Ini berarti batr.wa flx) = {F kontinu di setiap titik di manapembicaraan tentang kekontinuan mazuk akal,Khususoya, /(x; = 1F kontinu di setiap bilang-an riil c ) 0 (Gambar 4). Kita ringkaskan.
Kalkulus dan Geometli Analitis tilid I
Ingt kembali fungsi flx) = p1; grafiknya '
diperlihatkan dalam Gambar 3. Untuk x ( 0,f(x)= -x adalah pdinom,untukx )0,(x)=xadalah polinom lain. Jadi menurut Teore-ma A, l.rl kontinu di semua bilangan yangberlainan dengan 0. Tetapi
l i m l x l : 0 : l 0 lr + O
f lx l =
GA.II{BAR 4
,/V
KEKONTIN UAN DALAM oPE RAsl F uNcsl Apakah operasioperasi yang baku memeli-hara kekontinuan? Ya, sesuai dengan Teorema c. Di dalamnya,f dan g adalah fungsi-fungsi,/r adalah konstanta, dan n adalah bilangan bulat positif.
Bukti Semua hasil ini merupakan akibat mudah dari fakta-fakta yang berpadanan untuklimit-tmit dari Teorema 2.6,{. Misalnya, teorema tersebut dikombinasikan dengan kenyata-an bahwa/ dan g kontinu di c, memberikan
lim /(x)e(x) : lim.f(x) . fi ofxl : f k)sk)
Ini adalah penis apa yang dimaksudkan dengan mengatakan bahwa f . g kontinu di c
1i
f ( x ) : l x l
CONTOH 2 Pad,abilangan-bilangan berapa sajaF(x)=(3 l"l- *r)l(r/i + .f,) kontinu?
hnyelevion Kita tidak perlu memandang bilangan-bilangan tak positif, karena F tak ter-definisi di_bilangan-bilangan yang demikian. Untuk setiap bilangan positif, fungsi-fung-si ."/x,../x, lx l,dan x2 semuanya $rntinu (Teorema A dan B). Menyusul dari Teore-ma C bahwasanya 3lxl,3 lxl-x2 ,"/x+ lx, dan - akhirnya
b 2 Fungci dan Limit
'e.t;1
fJ. + i/'ladalah kontinu di setiap bilangan positif.
Terdapat operasi fungsi lain yang akan sangat penting dalamyakni komposisi. Operasi ini juga mempertahankan kekontinuan.
{
I
pekerjaan nantinya,
CONTOH 3 Buktikan bahwa h(r) =1x2, -3x * 6lkontinu di setiap bilangan riil.
Penyelenian Andaikan f(x)= lxl dan S(x) :.r2- 3x * 6.Keduanya kontinu dibilangan riil, dan demikian juga dengan kompositnya
h(x) : f@(x)) : lx2 - 3x + 6l
CONTOH 4 Akan diperlihatkan nanti bahwa/(x) = sin x kontinu di setiap bilangan riil.Simpulkan bahwa
tr(x) : ,;"1'{-!:: l\- \ " ' - x - 6 1 ,
kontinu kecuali di 3 dan -2,
Penyelegian x2 - x- e = (x - 3Xx + 2). Jadi, fungsi rasional
x a - 3 x + lg l x ) : " z _ x _ 6
kontinu kecuali di 3 dan -2 (Teorema A). Dari Teorema D, kita simpulkan bahwa,karena ft(x): f @(x)), maka h jugi kontinu kecuali di 3 dan -2. I
setiap
I
(3 lx l - x ' � )
Kita tunda pembuktiannya sampai akhir pasal ini.
98
---E!EF.
Kalkulus dan GeometiAnalitis JiU I
KEKONTINUAN PADA SELANG Sedernikian jauh, telah dibahas kekontinuan disuatutitik. Kita akan membahas kekontinuan pada suatu selang. Kekontinuan pada selang se-Iayaknya berarti kekontinuan di setiap dtik dari selang tenebut. Itulah tepatnya apa yangdiartikan untuksuatu selang terbuka (a, D).
Bilamana kita memandang selang teftutup [a, bl , Y,rta menghadapi masalah. Mungkinsaja /bahkan tidak terdefinisi di sebelah kiri a (misalnya,^x) = lFmempunyai masalahini di a = 0), sehingga secara langsung saja liglfft) tidak ada. Kita pilih untuk menguruspersoalan ini dengan menyebut / kontinu pada [a, ,] jika ia kontinu di setiap titik dad(a, b) dn jika lim/(x)= f (a) dn
l!d{r)= fO (masing-masing disebu! kekontirunn trt
ran di a dan kekontilaun fui e D. Kita ringkaskan dalam sebuah definisi formal.
Sebagai contoh, pernyataan bafiwa /(r) =
l/x kontinu pada (0,1) dan bahwa g(r) = V;kontinu pada [0,1] adalah benar.
CONTOH 5 Dengan menggunakan definisi diatas, uraikan sifat-sifat kekontinuan darifungsi yang grafiknya disketsakan dalamGambar 5.
GAMBARS
Penyelevian Fungsi itu komtinu pada selang terbuka (- co, 0), (0, 3),dan (5, o)dan jugapadaselangtertutup [3,5]. I
Untuk / agar kurtinu ptda fa, Dl berarti bahwa bilamana x1 dan .r2 berdekatansatu sama lain dan keduanya berada dalam fa, bl,makz /(r1) dan/(r2) berdekatan setusama lain. Tidak terdapat lompatan atau perubahan mendadak, sehingga kita boleh "meng,
gambarkan" gfafik .f pada [c, D] tanpa mengangkat pensil kita dari kertas. Ini berlaitahdengan kenyataan bahwa suahr fungsi kontinu harus menerima setiap nilai di antara duanilainya yang sebarang Hasil ini sekarang akan kita nyatakan secara persis.
)
&rlg jfub 2 Fungsi dan Limit
Jelas dari gafik dalam Gambar 6 bahwakekontinuan dipedukan untuk tcorema ini.Juga kelihatan jelas bahwa kekontinuan ada-lah cukup, namun memang bukti fornulnyatemyata sukar. Kita serahkan pembuktiannyauntuk pekerjaan tingkat lanjut.
Takkontinu : Sifat NilaiAntara tidak borlaku
GAMBAR6
f ( L \
BUKTI TEOREMA D (FAKULTATIF)
htkri Andailen diberikan e > 0. Karena /kontinu di I, maka terdapat 61 ) 0 yangbe rpadan an sedemikian sehingga
I t - L l < 6 , + l f ( t ) - f ( L ) l < e
jadi (lihat Gambar 7)
l s ? ) - L l < 6 ' + l f @ ( x ) ) - f ( L ) l < eGAMBAR 7
Tetapi karena |SO(x) = L, untuk suatu 61 ) 0 terdapat 6u ) 0 yang berpadanan
sedemikian sehinggs
0 < l x - c l < 6 2 + l S $ ) - L l < 6 t
Bilamana kedua kenyataan ini kita gabungkan, kita mempunyai,
0 < l x - c l < 6 z + l f @ ( x ) ) ' f ( L ) l < t
lni menunjukkan bahwa
lim.f(sG)): f(L)
Pernyataan kedua dalam Teorema D menyusul dari pengamatan bahwa jika g konti-nu di c, maka tr = g(c).
soAL-soAL 2.7
u,{f ( c ( x ) )
I
Dalam Soal-soal l-14, nyatakan apakahfungsi yang ditunjukkan kontinu atau tidakdi 2: jika takkontinu jelaskan sebabnya.
l. ,f(x) : 4x2 - 2x + 12
2 . f ( i : : 7
,/ 3xz, ' t ' s G ) : r - 2
t
/
4. s(x): !G=
5. lr(x): {C-
6. h(x) : 13 - 5x ' � l
7 . f ( t ) : [ ' t l
E. /(r) : [t - i]
t 3 - 89 . s @ :
t _ 2
4 r - 8l O . 9 ( t ) :
t _ 2 -
f L:iF. h< t t : 1 , - 2"
lt2
f t t - t12. h(t) :7 , -,
l 2( x + 3
1 3 . / ( x ) : r r .t x - + l
f -3x + 4 i i ka x <2r 4 . J \ x ) : 1
[ - i j l k a x > 2
Dalam Soal+oal 15-20, fungsi yang diberikan tidak terdefinisi di suatu titik tertentu.Bagaimana seharusnya mendefinisikannyadi sana agar kontinu pada titik itu? (LihatContoh 1).
r t . f G ) : =
r7. I(t) : +' 18. st) : l lJJ t - t t
x o + 2 x 2 - 319. d(x) : -x
+ I
@rr,r:,t.({-flDalam Soal-soal 2l-32, di titik-titik mana,jika ada, fungsi takkontinu?
2 x + 32 r ' f ( x )
x ' - x - 6
x22. sG)
2 x ' - x - l/-\/ ? \ ^
t 3 9 / 0 ) : l t " - 2 r + 5 1
Kalkulus dan Geometri Analitis
z u + IB.J fu )
\ / u + )u 2 + l u - l l
26. stu): - -=: ' :J u + l
t t' l 1 l F t r \- J 4 + x '
i i k a x < 0j i k a 0 < x < lj i k a t > l
Jilid I
,--'-.--)
28. G(x) :
J4 -v
( x j i k a x < o
D . f ( x \ = l x ' � j r k a 0 < x < I
[ 2 - x j i k a x > Ii ik^ t +2
jikat = 2
j i l < t+2
jika t :2
jrka x <2j i k a x > 2
16. s(x):g x 2 - 4
ro. c(x):{:,
3 x + 2
{oro: J t ' I
(5ilrt'r: r'l@^r=r '+ ' I
33. Sketsakan grafik suatu fungsi /yang memenuhi semua persyaratan ber-ikut.(a) Daeralr asalnya adalah I-2,21.(b) l(-2) = ̂ -l ) = fl l ) = f(2)= t. l(c) Takkontinu di -l dan l.(d) Kontinu kaoan di -l dan kontinukiri di I.
34. Andaikan( r iika.x rasional
/G) : t -r jit" r tak rasional
Sketsakan gfafik fungsi ini sebaik mung-kin dan tentukan di mana fungsi kontinu?
Q!/Gunakan teorema Nilai Antarauntuk membuktiloa bahwa xt + 3x - 2 =0 mempunyai akar riil antan 0 dan l.
36. Perlihatkan bahwa persSmaanx s + 4 x 3 - 7 x r 1 4 = 0 m e m p u n y a i p a -ling scdikit satu akar rtil. Petuniuk. TeorFmarfi\ Antara.
\37J Buktikan bahwa / kontinu di cjikaj6 hanya jika lim ̂ r+c) = ̂ c).
I \ r + o(19,i euniun bahwa jika / kontinu di
c dan flc) ) 0, maka terdapat suatu sclang(c - 6, c + 6) scdemikian sehingga flx) ) 0padaSa\ng ini.
fut/nuknL:an bahwa jika / kontinupada]0, I I dan memcnuhi 0 < /(x) < I
fub 2 Fungsi dan Limit
di 8ana, maka ,f mcmpunygi titik tetry -
yrkni, terdapat suatu bilangan c dalam
[0, I ] sedemikian sehingga t\c) = c. Pe-uniuk: Tcrapkan Teorema Nilai Antantcrhadapt(x)=r - /(x).
( d, an nilai-nilai a dar. b sehinqgafun}f berikut kontinu di mana-mana.
j i k a x < l
b j i k a 1 < x < 2j i k a x ) 2
4f. Seutas kawat elastis mereatangpada interval [0,1] dengan ujungujungyang bebas. Kawat tersebut berkontraksi(mengerut) sehingga mencapai interval
la, bl, a > 0, D < l. Buktikan bahwa dari
hasil ini ada suatu titik pada kawat (tepat-
nya hanya satu titik) yang tetap di tem-pat semula. Lihat Soal 39.
f2. Apabila ,f l5ontinu Pada tO,fldengan ̂ 0) = /(l) =p, buktikan bahwagrafik / berbentuk seutas tali (potongangaris dengan kedua ujungnya pada grafik)
dengan panjang ltr, di mana I/ merupakan "bilangan yang berada di antara 0 ban l.
2,f3. Gunakan Teorema Nilai Antarauntuk menunjukkan bahwa selalu ada duatitik pada suatu cincin kawat melingkaryang 'bersuhu sama. Petuniuk: Ambilpusatnya pada titik asal dan umpamakan0 sebagai zudut yang .dibentuk garis
teng4hnya dengan sumbu r, kemudian de-finisiian /(0).
-4f. Mulai'rpukul empat pagi, seorangbiarawan secara perlahan mendaki puricak
suatu gunung dan tiba pada sore harinya.Pada hari berikutnya ia turun kembali de-ngan menelusrri jalan yang sama mulaipukul lima pagi dan tiba di bawah pada
pukul sebelas pagi. Tunjukkan bahwapada beberapa titik di sepanjang jalan,jam tangannya menunjukkan waktu yang
sama pada kedua hari itu.
45. Buktikan bahwa setiap kawasandapat dikelilingi oleh suatu empat persegipanjang. Dengan kata lain, andaikan Dadalah suatu kawasan sembarang pada
--i@d\' -v
[ x + lIe) -Iax +
Irt
101
kuadran pertama dan ada sudut0, 0 < 0 4 trl2, D dapat dikelilingiblehsuatu persegi-panjang yang salah satu sisi-nya bersudut 0 terhadap sumbu-x sepertitampak pada Gambar 8. Buktikan bahwapersegi-panjang itu berupa empat persegipanjang.
46. Tunjukkan bahwa bila kita me-
ngetahui nilai-nilai dari suatu fungsi kon-tinu merupakan bilangan rasional, kita
daplt mengetahui nilai-nilainya di mana-pun juga. Dengan kata lain, buktikanbahwa !ila f darn g merupakan fungsifungsi kontinu dan t{x) '= g(x) untukrse-tiap r di @ (rasional), maka tlx) = 9(r)untuk setiip r di
47. Diketahuiflr * ;t)= /(r) +/(/)
untuk setiap x dan y di R dan andaikan
/ k o n t i n u p a d a x = Q .(a) Buktikan bahwa / kontinu di manasaja.(b) Buktikan bahwa ada suatu konstan-ta m yallrg sedemikian rupa sehingga
f(t\ = mt untuk setiap r di R (lihat Soal43 pad,a Bagian 2.1).
48. (Soal'yang terkenal). Diketahui
flx) = 0 apabila x tak-rasional dan /(x) =
llq apabila x merupakan bilangan rasio-
nalplq yang diperkecil (C ) 0).(a) Sketsa (sebaik mungkin) grafik ,fpada (0 ,1 ) .(b) Tunjukkan bahwa / kontinu di se-tiap bilangan tak-rasional pada (0,1) akan
tetapi tak kontinu di setiap bilanganrasional pada (0,1).
---zQr
GAMBAN,S
/
t .2.3 .
Bab 2 Fungsi dan Limit
KUIS BET{AR.SALAH
Jawablah dengan benar atsu sabh tcrhedep tirp pernyataan bcrikut. Bcrsiaplah untuk
mcmpcrtahankan jawab anda'
Pcrsamasn xl I x2 = 3/ mcocotukrn rurtu fungpi dcngan rumus berbcntuk / = l(x)'
persamaan xy2 + x, = 3r mcncntggn nretu fungri dengan rumus/ = /(I).
Daerah asal natural dari f ,
/ t )=Ji l
adabh eohng [0,4).
Daerah hasil dari flx) = x' - 6 adalah selang [ -6, -)'
Jumlahdurfungsigenap(dengandacrahasalsama)adalahfuagsigenap.
H$ilkali dua fungsi gnjil (dcnsan dacrah asal sama) adalah fungsi pnjil'
Fungsit lr)=1213 + x)l@2 r l)adahhganji l ' 1
Jika daerah hasil suatu fungsi hanya terdiri atas sebuah bilangan' maka daerah asal-
nya juga hanya terdiri dari scbuah bilanpn'
9. Jika daorah aoal suatu fungsi paling scdikit mengrndung dua bilangrn, maka dacrah
hasilnya juga mengandung paling sedikit dua bilanpn'
Jike S(x) : lxlll,, maka g(11 , 8) = -l '
J ika /(r) = x2 dang(x) = 13, maka/o g = g " f .
Jika / dan g mempunyai daerah asal sama, maka fl7 iuSA rnempunyai daerah asal
tersebut.
4.
5.6.
7.
8.
10.t
I1..
t2.
1 3 .
14.
1 5 .
15 .17 .
18 .
t9.
20.
Jika gtaiik y = flx) memotong sumbu-rsumbr i -x d ix=a- h.
Kotangen adalah fungsi Sanjil.
di x = a, maka grafik y = f(x + ft) memotong
Daerah asal natural dari fungsi tangen adalah himpunan semua bilangan riil'
Jika cos J = cos t, maka s = f.
Jika lim f\x) = L, maka /(c) - l.x-c
Jika l(c) tak terdefinisi, maka lim /(x ) tidak ada'N+c
Koordinat-koordinat dari lubang dalam grafik dari , =', - ?5 adalah (5, l0).' x - 5
Jika p(x) adalah polinom, maka lim p(x) = p(c).t-c
21. Jika lim /(x) = lim /(x), maka /kontinu di x = c'x+c+ x_+c-
22.
23.
24.
Fungsi /(x) = [xl2\
Jika lim 1Q) = f(2')x-+c
yang memuat 2.
Jika lim [l1x) + 8(x)lx-->c
kontinu dix = 2,3.
) 0, maka f(x) I 1,001 ̂ 2) untuk semua r dalam suatu selang
ada, maka lim flx) dan lim 8(x) keduanya ada.x-c x+c
28 soal'sool UlangPn Bab
hb 2 Fungsi dan Limit
Jika 0 (/(x) ( 3x2 * 2xa untuk semua x, maka lim .f(x) = 0.r-+o
Jika lim l\x) = L dan lim f(x) = U, maka L = M.x+a r+d :
Jika /(.t ) * g(x ) untuk semua .r, maka lim /(.r ) * lim g(x)x+c x'c
Jika /(x) ( l0 untuk semua r dan lim flx) ada, maka lim /(x) ( 10.N+2 N+2
Jika lim f\x\ = U, maka lim l/(x) : lal. /'
6. Andaikan bahwa / fungsi genapyang memenuhi l(x) = -l + rE untukx 2 0.Sketsakan grafik/untuk -4 d x ( 4.
7. Sebuah kotak terbuka dibuat de-ngan memotong keempat pojok selembarpapan ukuran 24 cm kal� 32 cm berupabujur sangkar dengan sisi .r cm, dan kemu-dian melipat sisi-sisi itu ke atas. Nyatakanvolume Z(r) dalam bentuk x. Apakahdaerah asal untuk fungsi ini?
8. Andaikan J{r) = x - l/x dang(x)= x2 + l. Cari tiap nilai
(a) (f + s\(2)(c) (f "ilQ)(e) "f 1- l)
9. Sketsakan grafik masing-masingyang berikut, dengan memanfaatkan pcng-geseran.
(a) y - lxz (b) y: t{, + 27,
103
25.
26.
27.
28.
29.x+a x + d '
30. Jika / kontinu dan positif pada Ia, Dl, maka l//harus rnenerima semua nilai antaratlfla) dan tlf@).
SOAL.SOAL ANE KA RAGATTI
l . Untuk f (x) = l1( ; r + l ) - l lx ,cari tiap nilai fiika mungkin).
?I
(c) rr(x):{;'_, jH :: F,(a) ,r(l)(c) / ( - l )
(b ) , f ( - ; )(d) ,f0 - l)
G) irl)\ r /
2. Untuk g(x) = (x + l)/x, cari dansederhanakan.
(a) g(2) (t) sG)
(c) s(ib) @, s(2 + h) s(z)
h
3. Uraikan daerah asal natural daritiap fungsi.
Y
(a) f(xt: -j . (b) s(x) : J4 -7- x ' - l
/:- .(c) l,(xr - Vl + x'
l2x + 3 l
{. Di antara fungsi-fungsi yang ber-ikut mana yang ganjil? Yang genap? Tidakganjil maupun gcnap?
3x( a ) " f ( x ) : F + I
O) g(x) : lsin xl + cos.x
(c) l(x) : x3 + sin x
x 2 + l(d) k(x): lxtr#
5. Sketsakan grafik tiap fungsi ber-ikut.
(b) s(x):;;
(c) y: -l + l(x + 2)2
10. Andaikan flx) = Vl6-lT Aandx) = xa. Apakah daerah asal masing.masi.tg yang bcrikut?
(b) (f .oQ)(d) (s " nQ)(r) I'Q) + s2(2)
(a) f(c) c" f
o) ,r "c
ll. Tuliskan F(x) = "/fTiin'�x- se-bagai komposit dari empat fungsr,f o g o 1 1 o f t . .
12. Hitung yang berikut tanps memakai kalkulator atau tabcl.
/
, l u
o) *,(T)(o *'(:lIJ
13. Jika sin r = 0,8 dan cos I (0,
cari tiap nilai.
Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid I
27. lim ([t] - t)
28. Andaikan
1 x 3 i i k a x < - lt -
f ( x ) = { x i i k a - l < x c lt -
I t - t j i k a x 2 l
Cari tiap nilai. (a) /(l) (b) lim /(x)
(c) Iim /(x) (d) lim /(x)r - l r - - l
29. Kembali ke / dari Soal 28. (a) Be-
rapa nilai-nilai x tempat / takkontinu?(b) Bagaimana / seharusnya didefinisikan
di x = -l agar kontinu di sana?
30. Berikan definisi e,, 6 dalam tiaP
kasus.
(a) hm s(u) : I'I (b) lim f (x) = L
31. J ika
-2 dan jika
nilai.
lim flx) = 3 dan lim g(x) =x+3 x-+3g kontinu di x = 3, cari tiaP
(a) sin(570")
(c) sin2(5) + cos2(5)
(a) sin(-r)(c) sin 2r
O) cos t(d) tan t
,", *,(i - ') (f) sin(r + 0
14. Tuliskan sin 3r dalam bentuk sin
t Petuniuk: 3t = 2t + t.
15. Seekor lalat hinggap pada ruji se-
buah roda yang berputar pada laju 20
putaran tiap menit. Jika jari-jari roda ada-
hh 9 inci, beraPa jauh Yang ditemPuh
hlat dalam I detik?
Dalam Soal*oal lG21 , carilah limit yang
dt'tunjukkan atau nyatakan jika tidak ada.
. , 2 i
l ? . l f un " - '
,-.r- U - I
I t . l im '=+ I
u - 1 U t - |
1 9 . u m ' : ? l :' - z x ' - 4
z 2 - 420. lim _=_-- -
z - 2 2 ' + z - o
21. tirn tl;x
:-o SIO LX
v 3 - l22. lim'-, .
v - r Y - - |
x - 4Zi. lim __-
' + e J x - 2
24. li* bot t
' r - o X
l x l25. lim :--
x - o - I
26. lim [4x]x - r l 2 +
x 2 - 9(a) lrm[2/(x) - ask)] (b) hm s(x) , _ 3
(c) s(3) (d) h1 o(/(x)) ;
,.) :'i "riTr, - 8sG\ (r) lim lg6L--s(t)l
32. Sketsakan grafik suatu fungsi /yang memenuhi semua persyaratan ber-
ikut.(a) Daerah asal adalah [0, 6].(b) /(0) = f(2) = fla) = fl6\ = 2.(c) /kontinu kecuali dix = 2.(d) lim /(x) = I dan lim f{t) = 3.
x+2- x+5'
34. Gunakan Teorema Nilai Antarauntuk membuktikan bahwa pers:rmaan
ts - 4t3 - 3x + I = 0 paling sedikit
mempunyai satu akar antara x = 2 dan
x = 3 .
33. Andaikan
[ - t j i k a x < 0
n r ) = l a x + b j i k a o < x < [
I t j i k a x > l
Tentukan a dan b sehingga / kontinu di
mana-mana.
