i , lII

I

1if3 rurunan

3.13.23.33.43.53.6

Dua Masalah dengan Satu TemaTurunanAttrran Pencarian TurunanTurunan Sinus dan KorinusAturan RantaiNotasi Leibniz

Turunan Tingkat TinggiPendiferensialan lmplisitLaju yang BerkaitanDiferensial dan AproksimasiSoal-soal Ulangan Bab

3.73.63.93.r03.l l

I

i i

Penemuan Leibniz letaknya dalam arah di mana semuaperkembangan modem dalam ilmu terletak, dalam mem

banguit ketrampilan, simeti, dan harmoni, yaitu, sifatmencakupi dan ketaiaman - ketimbang menagani masa-

lah-maalah tunggal, yang penyelesaiannya para pengikutsegera menccpai ketrarnpilan yang lebih besar daipada

dirinya sendii.J.T.Men

/

106 Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid I

3.1 Dua Masalah Dengn Satu Tema

Masalah pertama kita sangat tua: ia zudah dimasalahkan sejak ilmuwan besar Yunani

lrchirneOes ()87-212 SM). Yang dimalsud adalah masalah garis singgung.

Masalah kita yang kedua lebih baru. Masalah ini muncul dari percobaan oleh Kepler

(1571-1630), Galileo (15f/.-1642), Newton (1642'1727) dan lainnya uituk melukiskan

kecepatan sebuah benda bergerak. Ini adalah masalah kecepatan sevat.

Dua masalah itu, satu geometri dan lainrrya mekanis, kelihatannya tidak ada hubung-

annya. Dalam hal ini, kelihatannya memperdayakur. Kedua masalah itu merupakan

kembaran yang identik.

Garis singgung di PG a r i s s i n g g u n g d i P

GAMBAR 2

GARIS SINGGUNG Gagasan garis singgung

dari Euclides sebagai suatu garis yang memotong suatu kurva pada satu titik, benar untuk

lingkaran-lingkaran (Gambar l) tetapi sama

sekali tidak memuaskan untuk kebanyakan

kurva-kurva lain (Gaurbar 2). Gagasan bahwagaris singgung pada suatu lo.-rrva di P addah garis

yurg paling menghampiri kurva dekat P adalah

lebih baik, tetapi masih tetap terlalu samar-

samar untuk ketaksamaan matematis' Konsep

limit menyediakan suatu cara mendapatkan

uraian terbaik.

Andaikan P adalah suatu titik tetap pada

sebuah kurva dan andaikan Q adalah sebuah

titik berdekatan yang dapat difindah'pindah-kan pada kurva tersebut. Garis yang melalui

P dan O, disebut talibusur' Garis singguttg

di P adalah posisi pembatas (iika ada) daritalibusur itu bila Q bergerak ke arah P se-panjang kurv'a (Gambar 3).

GAT{BAR, I

II Talibusur

JQarissinggung

Garis singgung adalah Posisipembatas garb talibusur

9AMBAR 3

I

Bab 3 Turunan t07

Andaikan kurva tersebut adalatr grafik darip€rsamaan y = f(x). Maka P nrmpunyai koor-dinat (c,f(c)), Utik 0 di dekatnya mempunyaikoordinat (c + h, flc + })), dan talibusur yangmelalui P dan Q, mempunyai kemiringanr mr."yang diberikan oleh (Gambar 4)

rr".c: {!aP

Akibatnya, garis singgung - Jika tidak tegaklurus - adalah garis yang melalui P dengankemirin gan m dn y aur.tg memenuhi

CONTOH I Cari kemiringan garis singgung pada kurvay = f (v) = 7s2 di titik (2, 4).

Penyelevian Garis yang kemiringannya kita cari diperlihatkan pada Gambar 5. Jelas iamempunyai suatu kemiringan positif yang besar.

12,41

.1

mr"n : lim' J U

-- limt - O

: I im

h

( 2 + h ) 2 - 2 2-=F-

4 + 4 h + h 2 - 4

ttt f ( 2 + h ) - f ( 2 )

4

3

2

1 r - o h

. . h(4 + h): l l m -

i- o '{t

: 4 \ II

CONTOH 2 Ca;i kemiringangarissinggungpadakurvay -f(x)= -x2 +2s +2padatrtft-titik yang koordinat-x-nya -1,+,2, dan 3.

Penycbuln Ketimbang membuat empat perhitungan terpisah, kelihatannya lebih bijak-sana untuk menghitung kemiringan itu di titik yang koordinat.r-nya di titik c dan ke-mudian mendapatkan empat jawab yang diinginkan dengan cara (zubstitusi).

t) Di rini k€midngan menerjcmahkan pongFtirn "slope"; para pcnulis lain ad, ysngmenggunakan "tanjakan",'lereng.

. 1

f l c + h l - f l c l

GAMBAR4

GAMEAR5

108 Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1

frrun: tim &+ h) - f(c)

,r- O

: l imh - O

: l imtr- 0

: timt - O

: - 2 c * 2

Y = - x 2 + 2 x + 2GAIITBAR 6

- Keempat kemiringan yang diinginkan (diperoleh dengan menetapkan c = -1,+,2,3) ad,a-lah 4, l, -2, dan -4. Jawaban ini memang bersezuaian dengan grafik pada Gambar 6. I

CONTOH 3 Cari persamaan garis singgr.rng pada kurva y = ll(b) di dtik$, tygitt.tGambar 7).

Penyelevian f ( t+h ) - fG)

-(c + h)z + 2(c + h) +'Z * (-c ' + 2c + 2)h

-c2 - 2ch - h2 + 2c + 2h + 2 + c2 - 2c - 2

4 ( - 2 c - h + 2 )

n,.n : limt - O

: l imi - O

h

l 1

4 T p - 6h

l l

, . r + 2 h - I: llID --------;-

, r -O n

, . l _ ( r + 2 h l- l l m :h-o h(l + 2h)

. . -2h: l l I D -

,-o h(l + 2h)1

: l im - - - - : -21 - 6 l l l h

GAMBAR 7

Bab 3 Turunan 109

Dengan mengetahui kemiringan garis (z = -2) dan titik (+, I ) pada garis itu, secara mudahkita dapat menuliskan persamaafflya dengan memakai b'entuk kemiringan titk y * yo =m@ - xo). Hasilnya adalahy - 1= -2(x -

). I

KECEPATAN SESAAT Jika kita mengendarai sebuah mobil dari satu kota ke kota lainyang berjarak 80 km dalam waktu 2 jam, maka kecepatan rata-rata kita adalah 40 kmtiap jam. Artinya, kecepatan rata-rata adalah jarak antara posisi pertama ke posisi keduadibagi dengan waktu ternpuh.

Detik pertama

Tetapi selama perjalanan penunjuk laju(speedometer) sering tidak menunjukkan angka40 km. Waktu baru berangkat, 0 km; kadang-kala kecepatan naik sampai 57 km; akhimyajatuh ke angka 0 lagi. Jadi apa yang diukuroleh pengukur laju? Tentu saja bukan kecepat-an rata-rata.

Ambil contoh yang lebih penis, yaitu se-buah benda P yang jatuh dalam ruang hampaudara. Percobaan menunjukkan bahwa apabilamulai jatuh dari keadaan diam, P jatuh sejiuhl6t2 meter dalam r detik. Jadi benda ini jatuhsejauh 16 meter dalam &tik pertama dan64 meter dalam dua detik yang kedua (Gam-

hr 8); jelaslah bahwa P jatuh makin cepatdengan berlalunya waktu.

Selama detik kedua 6/akni, dalam selangwaktu mulai r = I sampai t= 2),Pjatuhsejauh(64 - 16) meter. Kecepatan rata-ratanya adalah

6 4 - t 6urata_rata :

2 _ | : 48 meter/detrk

Detik kedua s = 1 6 1 2

Selamaselangwaklu dari t= l sampai t= 1,5,P jatuhsejauh 16(1,5), _16 = 20meter.Kecepatan rata-ratanya adalah

- 1 6

-32

-48

-64

GAMBAR 8

urats-r^'^ - 16(l '5)' � - 16 - 20'ata : --15 _ 1

: 0J

: 40 meter/detik

D e m i k i a n p u l a , p a d a s e l a n g w a k t u / = l s a m p a i f = l , l d a n t = l s a m p a i / = l , 0 l , k i t a h i -tun g masin g-masin g kecepatan rata-ratanya adalah

16(1 ,1)2 - 16 3 ,36urata-rata : -lj

- I :

0J : 33,6 meter/detik

Ura ta *a ta :l6(1,01)2 - 16 qq4q :32,16 meter/detik

l ,0l - I

Apa yang telah kita lakukan adalah menghitung kecepatan rata-rata selama selangwaktu yang semakin singkat, masing-masing mulai pada t = l. semakin pendek se-lang waktu, semakin baik kita menghampiri kecepatan yang ,benar, pada saat r - l.

/

rl l 0

I

Perubahan waktu

c + h

GAMBAR 9

Dalam hal di mana {r) =

Perubahanposisi

Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid' I

Dengan memperhatikan bilangan'bilangan 48;

4O;33,6; dan 32,16; anda mungkin menerka

kecepatan sesaatnya adalah 32.

Tetapi marilah kita lebih tepat. Andaikan

bahwa sebuah benda P bergerak sepanjang

garis koordinat sehingga posisinya pada saat

t diberikan oleh s = /(r). Pada saat c benda ber-

ada di /(c); pada saat yurg berdekat^ c + h,

ia berada di (c + ,t) (lihat Gambar 9). Jadi

kecepatan rata-ratz pada selang ini adalah

f (c + h) -.f (c)artt{.lt

h

Dan sekarang kita de{inisikan kecepatan sesaat

r/ di c ohn

1612, kecepatan sesaat pada r = I adalah

. . f ( ll - ) : l l m -

+ h) - f(r)

flcl

f lc + h l

[ - O

: lim,r- O

: lim,r- O

t 6 ( l + D 2 - 1 6h

t 6 + 3 2 h + 1 6 h 2 - 1 6

h

1 6 ( c + h ) 2 - 1 6 c 2h

l 6 c 2 + 3 2 c h + 1 6 h 2 - 1 6 c 2

: lqf"

+ r6h):32

lni membenarkan perkiraan kita sebelumnya.Sekaranq anda dapat melihat mengapa kita menyebut kemiringan dari garis singgung

dur kecepatan sesat ^d^l^h kembaran identik. Uhatlah dua rumus dalam kotak pada pasal

ini. Mereka memberikan nama berlainan untuk konsep yang satna.

CONTOH 4 Hitunglah kecepatan sesaat dari sebuah benda jatuh, beranjak dari posisi

diam pada r = 3,8 detik dan pada r = 5,4 detik.

Penyelesian Kita hitung kecepatan pada t = c detik.

f ( c + h ) - 1 k )u : l i m, t - O

: lim, r -O

: l imt r -O

: l im.(32c * l6h):329, r -O

IL

Bab 3 Turunan

Dengan demikian, kecepatan pada 3,8 detik adalatrpada 5,4 detik, adalah 32(5,4)= 172,8 meter/detik.

n l

32(3,8) = 121,6 meter/detik;

I

CONTOH 5 Berapa lama wakh.r yang diperlukan oleh benda jatuh pada Contoh 4 gntukmencapai kecepatan sebesar ll2 meter/detik?

Penyelevian Kita pelajad dalam Contoh 4 bahwa kecepatan setelah c detik adalah 32c.Jadi kita harus menyelesaikan penamaan32c= l12. penyelesaiannya adalah c= +*=3.5 <letik.

t

CONTOH 6 Sebuah partikel bergeraksepanjang guis koordinat dan s, jarak berarah dalamsentimeter yang diukur dari titik asd ke titik yurg dicapai setelah r detik, diberikanoleh s =.,6-r + l. Hitunghh lceccpatan partikel pada "tt ir I aetik

knyelevian

: lY--Untuk menghitung limit ini, kita tasionalkan penyebut (dengan mengalikan pembilangdan penyebut dengan 1/T+ 5n + 4). Kita perohh

.. _,:- lJr6 + 5h- + .r4o + sl + e\u : f t m l , . = - = - - - ,

r r - o \ n J l 6 + 5 h + 4 1t 6 + 5 h - 1 6

: lim -=--L-r - o . / 1 6 + 5 h + 4

Kita simpulkan bahwa kecepatan pada akhir 3 detik pertama adalah $ cm/detik. I

LArU PERUBAHAN Kecepatan adalah satu-satunya dari sekian banyak laju perubahanyang amat penting dalam pelajaran ini; kecepatan merupakan laju perubahan jarak ter-hadap waktu. Iaju perubahan lainnya yang penting bagi kita adalah kepadatan dari suatu

1 6 + 5 h - 4

/

tt2 Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid I

kawat (laju perubahan massa terhadap jarak), pendapatan marjinal (laju perubahan pen-dapatan terhadap beberapa jenis produk) dan arus hstrik (laju perubahan muatan listrikterhadap waktu). Contoh-contoh lainnya akan kita temui pada kelompok soal dan di se-tiap soal akan.kita bahas laju perubahan rata-rata dan laju perubahan sesat. lstllah laiuperubahan tanpa ada keterangan apa-apa akan diartikan sebagai laju perubahan s€saat.

soAL-soAL 3.1

Dalam Soal+oal t-2, digambar suatu garis

singgung pada kurva. Taksir kemiringannya(kemiringan = naik/jarak). Perhatikan per-

bedaan skala pada kedua sumbunya.

/4. i-l*r -r '-i---ti-'i

Dalam Soal-soal 3-6, gambar garis sing-gung pada kurva melalui titik yang di-

tunjuk dan taksir kemiringannya.

r 2 3 4 5

T . P a n d a n g Y = 4 - x 2 .(a) Sketsakan grafiknya seteliti mung-

kin.(b) Gambar garis singgung di titik

( 3 , _ 5 ) .

r\if -f*'

5.

. l/-,4 1-

:j_frl\i--j,-j-;i r i

_i:]\ l r i

l_1:t lt * * - t

-

t--'i

1 2 3 4 5 6

Bab 3 Turunan

(c) Taksir kemiringan garis singgungini.

E tdl Hitung kemiringan talibusur yangmelalui t i t ik (3, -5) dan (3, 0l;4 - 3 ,012\ .

(e) Cari kemiringan sebenamya darigaris singgung di titik (3, -5)dengan memakai proses limit(lihat Contoh l).

8 . PandangY=x3 + l '(a) Sketsakan grafiknya.(b) Gambar garis singgung di titik

(2 ' e) '(c) Taksir kemiringan garis singgung

ini.

E tdl Hitung kemiringan talibusur yangmelalui t i t ik (2, 9) dan (1, 999;1 ,9993 + l ) .

(e) Gunakan proses limit untuk men-cari kemiringan yang sebenamyadari garis singgung di titik (2, 9).

e. Cari kemiringan garis singgungpada kwva | = xz - 3x *' 2 di titik-titikd e n g a n x = - 2 ; 1 , 5 ; 2 , 5 ( i i h a t C o n t o h 2 ) .

r'>-\UA l|)Cari kemiringan garis singgungkwEj = x3 - 2x di titik-titik dengan x =

-3 ; I ,5 . ; 0 ,3 .

l l . Sketsakan grafik y = l l 'G + l)dan kemudian cari persamaan garis sing-gung di titik (1, l) qihat Contoh 3).

, - + l

V ( n)curi pemamaan garis singgungPadli != 2l@ - 2) di t i t ik (0, - l ) .

l\ Anggap sebuah benda jatuh akanjatuh l6t" meter dalam / detik.

(a) Seberapa jauh ia akan jatuh antarat = 3 d a n t = 4 ?

(b) Berapa kecepatan nta-ratz padas e l a n g 3 < t < 4 ?

E (.) Berapa kecepatan rata-rata padas e l a n g 3 ( r ( 3 , 0 2 ?

(d) Cari kecepatan sesaat pada r = 3l l ihat contoh 4).

14. Sebuah benda menjelajahi^ garis

sehingga posisi s nya adalah t = )1" 4 2

meter setelah r detik.

(a) Berapa kecePatan rata-ratap a d a s e l a n g 2 < / < 3 ?

r1,E ttl Berapa kecepatan rata-rata pada

s e l a n g 2 < t < 2 , 0 0 1 ?

(c) Berapa kecepatan rata-rata padas e l a n g 2 < / < 2 + / r ?

(d) Cari kecepatan pada t= 2.

15. Andaikan sebuah benda bergeraksepanjang sebuah garis /i meter dalam fdetik. j(a) Cari kecepatan sesaat pada t = c,c ) 0 .

(b) Bilamana benda ini mencapai kecepat-an I meter/detik? (ihat Contoh 5).

15. Jika sebuah partikel bergerak se-panjang garis koordinat sehingga jarak ber-arah dari titik asal ke titik setelah r detikadalah (-r2 * 4r) meter, kapan partikelakan berhenti (yaitu, bilamana kecepatan-nya menjadi nol)?

17. Suatu kuitur baktcri tertentu ber-kembang sehingga mempunyai massa se-be*r L"t2 * I gram setelah r jam.

E tu) Seberapa banyak kultur ini ber-kembang selama selang 2 < t<2.0|'�!

(b) Berapa laju perkembangan rata-rata selama selang 2 < r < 2,01?

(c) Berapa laju perkembangan padal - a n

18. Sebuah bisnis berhasil baik se-demikian sehingga keuntungan total (ter-akumulasi) setelah r tahun adalah 100012rupiah.

(a) Berapa besar keuntungan selama ta-hun ketiga (yaitu, antara t = 2 dan t =

3)?

(b) Berapa laju rata-rata keuntungan (ra-tt-rata keuntungan mariinal) selama te-ngah tahun pertama dari tahun ketiga(yaitu, antara t = 2 dan t = 2,5)?

(c) Berapa laju keuntungan sesaat (/ce-unfitngan marjinal) pada t = 2'!

i9. Kawat sepanjang 8 sentimetermempunyai massa antara ujung kiri dengansebuah tifik sejauh x sentimeter ke kananseberat x3 gram.

I

tl4

l--x cm----- {

Berat massa adalah x3 I

GAMBAR 10

(a) Berapa kepadatan rata-rata dari per-t ngahan ruas 2-sentimeter kawat ini?.Catdtan: Kepadatan rata-rata sama de-ngan massa/panjang.

(b) Berapa kepadatan sebenarnya di titikberjarak 3 cm dari ujung kiri?

20. Andaikan PendaPatan dalam r*piah dari produksi x kilogram suatu barangdiberikan oleh R(x) = 0,5x - 0,00212.Cari laju perubahan sesaat dari pendapatan

bilamana x = l0;bi lamanax = 100. (Lajuperubahan pendapatan sesaat disebut pan-

dapatan maiinal).

21. Berat dalam gram dari suatu tu-mor yang membahayakan Pada saat tadalah I/(r) = 0,2t2 - 0,09t, dengan /diukur dalam minggu. Cari laju pettumbuh-

an tumor bilamana r = 10.

22. Sebuah kota dijangkiti oleh epide-mi influenza. Petugas menaksir bahwa thari setelah mulainya epidemi, banyaknyaorang yang sakit flu diberikan oleh p(r) =

l2ot2 - 2r3, asalkan bahwa 0 < t< 40.Dengan laju berapa flu menular pada saatt = l O ; t = 2 0 ; t = 4 0 ?

23. Grafik pada Gambar I I menun-jukkan jumlah air yang tersedia di dalamtangki air di suatu kota selama 24 jam, dimana tidak ada air yang dipompakan lagi

Kalkulus dan Geometi Analitis Jilid I

4 E 1 2 , t 6 2 0 2 4

Waktu dalam iamGATBAT, IT

kc dalrm tangti Berapakah laju perubah-an eir rata-rata selama I hari? Seberapaccpatkeh eir dipergunakan pada pukul 8?

2tl. Laju perubahan muatan listrikterhadap waktu dinamakan orus listrik.Apabila * tt + / coulomb muatan meng-alir melalui suatu kawat penghantardalam f detik, tentukan besarnya aruslistrik'dalam ampere (coulomb per detik)setelah 3 detik. Kapankah suatu sekering20 ampere yang dipasang pada saluran ituakan putus?

25. Jari-jari suatu tumpahan minyakyang berbentuk lingkaran berkembangpada laju yang tetap 2 kilometer per hari.Pada laju berapakah daerah tumpahan ituberkembang 3 hari setelah tumpahan ituteqiadi?

{. Tentukan laju perubahan luassuatu lingkaran terhadap kelilingnya padasaat panjang garis kelilingnya 6 cm.

c 6009ooc 4fi)€J

€tE 200

3.2 Turunan

Kita telah melihat bahwa kemiringan garis singgung dankecepatan esaat adalah mani-festasi dari pemikiran dasar yang sama. laju pertumbuhan organisme (biolo$), keuntunganmarjinal (ekonomi), kepadatan kawat (fisika), dan laju pemisahan (kimia) adalah veniversi lain dari konrp yang $rma. Pengertian matematis yang baik menyorankan agarkita menelaah konsep ini terlepas dui kosa kata yang khusus dan terapan yang beranekaragam ini. Kita memilih narna netral

'turutwn (derivatif). Ini merupakan kata kunci dalam

kalkulus selain kata /un ssi d^n limit. '

_ _ _ _ _ )

Bab 3 Turunon l 1 5

Jika limit ini memang ada, maka ditatakan bahwa / tcrdiferensialkan (terturunkan)di e Pencarian turunan disebut pendifernshlen; bagian kalkulus yang berhubungandengan turunan disebut kalkulur diferemhl.

coNToH-coNTGt YANG MEMBANTTi MEN' EUASKAN

CONTOH I Andaikan/'(x) : l3x - 6.Canf'(4).

Penyeleuion

+ h ) - 6 l - I 3 ( 4 ) - 6 lt - o ' . h -o

r 1 t= t i m

' 1 " : l i m 1 3 : 1 3

h - o h t - oI

cONTOH 2 ltka l'(x) : x3 + 7x. canf k).

Penyelesoian

/ ' (c ) : l imf t - O

f ( c + h ) - f ( c )

_ ,,_ [(c + ir)3 + 7(c + ft)] - [c3 + 7c]

l - 0

: l iml - o

: l im(3c2 + 3ch + h2 + 7)

: 3 c 2 + 7

CONTOH 3 Jika f(x)= llx, cari/'(.x).

Penyelevian Perhatikan perubahan halus dalam cara contoh ini dinyatakan. Sedemikianjauh kita telah memakai huruf c untuk menyatakan suatu bilangan tetap pada manaturunan harus dihitung. Sesuai dengan itu, kita telah menghitungl'(c). Untuk meng-hitung /'1x), cukup kita bayangkan r sebagai sebuah bilangan tetap, tetapi sebarangdan meneruskan seperti sebelumnyal

h

3 c 2 h + 3 c h 2 + h 3 + 7 h

I

1 1 6 Kalkulus dan GeometriArulitis iilid 1

f ( x + h ) - f ( x ) . . . t * h x: llfll --------;-

i + o n/ ' (x) : l imt - O

bilangan riil kecuali x = 0.

:H[#i] :st.#',1- l - 1:

l'$ tr * ,r> : .-=Jadi /' atlalah fungri yang diberikan oleh"f'(x) = -l lx2 'Daerah asalnya adalah semua

I

F,(x): y\ l :E=-$

x * h - x: l imi : iA1tr*+Ji l

: limi:i, y1r,e;7 + ,f*)

CONTOH4 CariturunandariFjika f(x):.[,x > 0.

Penyelewian F ' ( x ) : 1 1 ., r -O

F ( x + h ) - F ( x )

: t : \Fuor-6

Sejauh ini anda telah memperhatikan bahwa pencarian turunan selalu menyangkutpengambilan limit sr.ratu hasilbagi di mana pembilang dan penyebut keduanya me-nuju nol. Tugas kita adalah menyederhanakan hasilbagi ini sehingga kita daPat men-coret faktor /r dari pembilang dan petryebut, jadi memungkinkan kita untuk meng'hitung limit. Dalam contoh yang sekaran$,'ini dapat dilalaanakan dengan mera$ional-kan pembilang.

r - -_ - - - - - - - - -_

tt7fub 3 Turunan

Jadi, F'-turunan dari F-(0, cc).

: lim --l -r ' ' - 0 . , / x + h + J x

1 l- - - - . - - : _\ /x + Jx 2J,

diberikan oleh F'(x) : ll2uG. Daerah asalnya adalahI I

i 1

BENTUK-BENTUK YANG SETARA UNTUK TURUNAN Tidak ada yang keramat ten_tang pemakaian huruf tr dalam mendefinisikan/'(c). Misallen, perhatikan bahwa

f,(c) : ,.^ f(c + h) - f(c), r -O h

_r r^ f (c+p) - f (c )p-o P

,. f (c + s) -/(c)- l l m "

s - o s

y l c + h , f ( c + h l l

/ l

I_: ) , , " . 0 ,

- n ,

GAMBAR I GAMBAR 2

)

1 ' *

I

t-

Perubahan yang lebih radikal, tetapi masih tetap hanya suatu perubatran cara p€-nulisan, mungkin dipahami dengan membandingkan Gambar I dan bambar 2. perhati-kan bagriimana x mengambil tempat c * tr, sehingga x - c menggantikan h. Jadi,

Dalam nada yang serupa, kita boleh menuliskan

f '(x) : "^f (t) - f(x)

t - x t - x

,,__ f(p) - f(x)p ' x P - x

Perhatikan bahwa dalam semua kasus,. bilangan pada mana / aihitung dipegang tetapclama operasi limit,

/

n8 Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid I

CONTOH 5 Gunakan hasil dalam kotak di atas untuk mencari g'(c), jika s{x)= 2l@ + 3).

) )

x + 3 - c + 3knyelesoion

Karenanva

r - ( '

: l t I2 ( c + 3 ) - 2 ( x+ 3 )3 ) x - c-.L]( x + 3 X c +

-2(x - c): lTI( x + 3 [ c + 3 )

: lim1

,-l (x + 3Xc + 3)

Di sini kta memanipulasikan hasil bagi sampai kita dapat menooret suatu faktor x - c daripe mbilang dan penyebut. Kemudian kita dapat menghitung limit tsrsebut. I

CONTOH 6 Masing-masing yang berikut adalah suatu turunan, tetapi dari fungsi 4pa dandi titik mana?

( 4 + h \ 2 - 1 6(u) I'I h

r lx - c l

- 2

2 2- _ ;

&) rmlj1 - 3 X - J

Penyelewian(a) Ini adalah turunan dari /(x) : x2 di x = 4.(b) Ini adalah turunan dari 7(x) :2lx di x = 3. I

KETERDIFERENSIALAN MENUNJUKKAN KEKONTINUAN Jika sebuah kurvamempunyai sebuah garis singgung di sebuah titik, maka kurva itu tidak dapat melom-pat atau sangat berayun di titik tersebut. Perumusan yang persis dari kenyataan ini merupa-kan sebuah teorema penting.

B,tkti Kit^ perlu menunjukkan bahwa lim /(x) : f (c). Sekarang

r + c x - c x - c

: f ( c ) + f ' ( c ) . 0

: f (c)' I

fub 3 Turunan l 1 9

Kebdikan teorema ini tidak benar.Jika frnSr / kontinu di c, maka tidakberarti bahwa .f mempunyai turuhan di c.Ini dengan mudah dapat dilihat denganmemandang /(x) = lxl di titik asal (Gam-bar 3). Fungsi ini pasti kontinu di nol,tetad tidak mempunyai turunan di sana.Untuk melihat yang belakangan, amatibahwa

,,* /(x) -lr(o) _ ,.. lxl - lol : nm Ex - o x - U r * o x * - j x

IKontinu dsn

terdifsr€mialkan

f l l l = la l

GAMBAR3

limit ini tidak ada karena

t im E : l im I : 11 - 9 + X r + O + X

sedangkan

nm l:l : limx - O - X r - O -

Argumentasi yang baru disajikan memperlihatkan bahwa di sebarang titik di manafungi mempunyai sebuah sudut yang tajam, maka fungsi tencbut kontinu tetapi tidakterdiferensialkan. Grafik dalam Gambar 4 menunjukkan sejumlah kemungkinan.

Tidak kontinu, oleh Kontinu tstapi takkarena itu tak tordiferenEialkan

terdifergnsialkan

GAIIIBAR I

Kita tegaskan dalam Gambar 4 bahwa turunan tidak ada di titik c di mrna garissinggungnya tegak (vertikal). Ini discbabkan

f ( c + h ) - f ( c )h

bertambah tanpa batas bila ft '+ 0. Hal ini berkaitan dengan kenyataan bahwa kemiringansuatu garis vertikal tak terdefinisi. I

i

/

rIj

120

SOAL.SOAL 3.2

Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid I

Dalam Soal-soal 14, gunakan definisi

" f ( c + h ' t - f k )f ' ( c ) : l i m " f ,

untuk mencari turunan yang ditunjuk

(lihat Contoh I dan 2)'

r- f ' (1) j ika/(x) : x2 - x

2. f ' (-2)j ika/(x) : x3

3 . f ' ( - r ) j i ka / (x ) - x r +2x '

3t. f'(4) jika /(x) =

, + t

Dalam Soal-s vL 5-22, gunakan /'e; =

lim[/(x + h) - f (x)]lh untuk mencari

turunan di x (libat Contoh 3 dan 4).

5' ,r(t) : 5x - 4

6. f( t) : ax t b

7. f(x): 8x2 - I

8 . " f ( t ) : x 2 + 3 x + 4

9' f(x): ax2 + bx + c

10. / (x ) :2x3

l l . /(x) : x3 - 2x

12. f(x) = xa

J

13 . 9 (x ) : ;

2u . g ( x ) : ,

+ 6

61 5 . F ( x ) : 7

+ r

x - l1 6 . F ( x ) : r + t

2 x - l17. G(x)

x - . +

2xr8. G(x) =.7 _ x

re. g(x): $'I

fr. sG) = ,-V J X

32r.,H(x\

J r - 222. H(x): lF *

Dalam Soal*el 23-26', gunakan f'(r) =

lim[/(| - J'G\llt - x) untuk mencari

.f'(x) (lihat Contoh 5).

23. f(x): x2 - 3x

A. f(x\ = x3 + 5x

xx. f ( r ) : x _ 5

x * 3'2s. f (x):

,

Dalam Soal-soal 27-36, limit yang diberi-

kan adalah suatu turunan, tetapi dari fung-

si apa dan di titik mana? (lihat Contoh 6).

2 ( 5 + f t ) 3 - 2 ( 5 ) 't l . l im

t - O

28. limt - 0

h

(3 + h)'�+ 2(3 + l) - 15h

. x ' - 4Zr. lim - ^-

r - z X - Z

x 3 + x - 3 030. lim ----------;-

r j 3 x - J

t 2 - x 231. l im

t ' , t - x

D 3 - x 332. lim

P " P - X

2 2

33. lim x r

, - t x - t

s i n x - s i n v34. liln

-

, + , x - y

.-------:)

it

7

Bab 3 Turunan

35. lim, t + O

cos(x * h) - cos x

3d. lim tqn(t + lr) - tan r

i - o h

37. Dari gambar 5, taksir/(0),/(2),

f ' (5), dan f ' ( ' t ) .

GAII{BAR 5

38. Dari gambar 6,taksirg'(-l),y'(l),y'1+), 0"" y'10).

GAIIEAR,6

39. Sketsakan grafik y =1'1x; pada-l ( x ( 7 untuk fungsi / dari Soal 37.

40. Sketsakan grafik y = gi(x) pada-l (x ( 7 untuk fungsi gdari Soal 38.

41. Pandang fungsi y = flx), yang

Sr{iknya disketsakan pada gambar 7. '

r2l

(a) Taksir f(2>,f'(2), ^0,5), dan.f'(0,5).

(b) Taksir laju perubahan rata-rata dalam/pada selang 0,5 (x { 2,5.

(c) Pada selang -l ( x ( ?, di mana

jrln /tu) tidak ada?

(d) Pada selang -l ( x ( 7, di mana fgagal untuk kontinu?

(e) Pada selang -l ( x ( 1, di mana fgagal mernpunyai suatu turunan?

(f) Pada selang -l ( x ( 7, di manaf'8) = ot

G) Pada selang -l ( .r ( 7, di manaf ' ( " ) = t?

42. Diketahui /(x * y) = flx) * f(y)untuk setiap x dan y. Tunjukkan bahwabila.,/(o) ada, maka f @) aaa danf 1a1=f@)f @\

43. Diketahui

( m x + b j i k a . r < 2/ t x r : { , . . ,

t ..' jika .x 2 2

Tentukan m dan ! sedemikian nrpa se-hingga / dapat didiferensialkan di manasaja.

44. Turunan simctris /r(x) didefinisi-kan dengan

"/Jx): l imi - O

J g + h ) - l ' 1 o - h )2h

./(x) ada, makademikian sebalik-

45. Diketahui / terdiferensialkan danf @i= m. Tentukan f Gt,) bi la (a) /adalah fungsi ganjil; (b) / adalah fungsigenap.

46. Buktikan bahwa turunan darisuatu fungsi ganjil adalah zuatu fungsigenap dan turunan suatu fungsi genapadalah fungsi ganjil.

Tunjukkan bahwa bila,fs(x) ada, tetapi tidaknya.

J

/

I-.:T-

t22 Kalkulus dan Geometri Analitts lil*t I

3.3 Aturan Pencarian TurunanProses pengarian turunan suatu

menyusun hasilbagi selisihfungi langsung dari'definisi turunan, yakni dengan

f ( x + h ) - f ( x )h

dan menghitung limitnya, memakan-waktu dan memboaankan. Kita akan mengembang-kan alat yang akan memungkinkan kita untuk mcmperpendek proses yang berkcpanjan!-an ini yang nyatanya alon memungkinkan kita unfuk mencari turlnran dari fungsi-fungsiyang tampak rumit dengan segcra.

Ingat kembali bahwa turunan suatu. fungsi / adalah fungsi lain /'. Misarnya, jika/(r): x2 adalah rumus untuk f, matlo, f'(r) = Zx adalah ,u-u, untli/,.p;r;;;b];turunan dari / (pendiferensiaran fl adalah pengoperasian pada /untuk menghasilkan ;'Sering kali kita memakai huruf D untuk nrnunjukkan opensi ini. Jadi kita menuliskanDf : f

', Df (x) : f '(x), atau (dalam contoh yang disebutkan di atas) D(x2y :2". a;;;;

teorema di bawah dinyatakan dalam cara penulisan fungsional dan dalam cara penulisanoperator D.

KONSTANTA DAN ATURAN PANGKAT Grafik fungsi konstanta JV) = * merupakanybuah garis horisontal (Gambar l), sehingga mempunyai kemiringan nol di mana-mana.Ini adalah satu cara untuk memahami teorema pertama kita.

f ( x + h ) - f ( x )/ ' (x) : l im

t - O: in? : l *o :o

l l x l = Y 'GAMBAR 2

merupakan sebuah garis yang melalui titikasaldengankemrringan Ikita dapat meniluga turunan fungsi ini adalah I untuk semua -x.

I

GAMBAR I

Grafik 4r; = t(Gambar 2); sehingga

l x + h , x + h l

t lx l : k

r||, -'rrrYn'r:i' 'rb ; xir"-l!t)

h,kti

r,(x):Hrqlj:/(:t:llrts:lif :, rsebelum menyatakan teorema kita berikutnya, kita ingptkan kembali sosuatu dari

aljabar : bqgaimana memangkatkan suatu bin omial'

( a + b ) 2 : a 2 * 2 a b + b 2

(c + b)3 : a3 I 3azb + 3ab2 + bt

(a + b)a : a4 * 4q3b + 6a2b2 + 4abt + b4

(a + b) : an * na'-tb *Y+ ar-2b2 + "' + nabn-t + bn

Bukti

f k + h ) - f ( x ) " ( x + h Y - x 'f ' (x):r im"ff : l ' i - - h-

l + o r r

xo + nxo-rO *n(n: l )

xr -2h2 + . . . + nxhn-r * h ' - x '

: ti^

nx,- t +ry x,-2h + . . . * nxh'-2 + hn- l

Didalamkurungsi l tu ,semuasulrukecual iyangpertamamempunyai , tsebsgai fa lc tor ,sehingga masing'masing suku ini mempunyai limit nol bila ft mendekati nol' Jadi

f '(x) : nx^-1

Sebagai ilustrasi dari Teorema C, perhatikan bahwa

D(x!1 :3r2, D(xe; : .9 te, D(xtoo) : lOoxee

h - O

: lim, t - 0

I

/

124 Kalkulus dan Geometri A

D ADALAH SEBUAH OpeRAfOn LINEAR Operator D berfungsi sangat baik bilamana

diterapkan pada kelipatan konstanta fungsi atau pada jumlah fungsi'

Dengn kata-kata, ini nrengatakan bahwa suatu konstanta k dtpat disefurangkan

melewoti oryrator D.

tukti Atdukan F(x) : k'/(x)' Maka

F'�(x):H{el]:J!r:ynuvtfff(x + h\ - f(x) f(x + h) - f(x)

: l t m k ' : : l ( ' l l mt + o h n - o n

: k 'f '(x)

lanskah sebelum yang terakhir adalah kitis. Kita dapat menggeser k melewati tanda

lirnit karena Teorema Limit Utama (Bagian 3). I

Contoh-contoh yang mengilustrasikan hasil'hasil ini adalah

p1-7x3): -lD(x3) -- -7 .3x2 : -21x2

dan D(3r) : iqxe) : t'9x8 : l2x8

Dengan kata-kata, ini mengatakan bahwa turutan dai suatu iumlah adalah iumlah dori

frirufun-turunan.

tukn A\datkan F(x) : f (x)ls@)' Maka

F'(x) : lX, ,_ l . f ( , + h) - f (x) , sG + h) - s(x) ]: l ' i l , , t h r

-,,- /(x + t) - f(x) . ,. s(x + h) - s@)

i -o n - * ' r t l - - "

-

: f,(x) + 0,@)

I

, l<'l

F tub 3 Turunan 125

IagiJagi, langkah sebelum yang terakhir addah yang kritis. Ini dibenarkan dengan me-lihat pada Teorema Limit Utama (Bagian 4). I

Sebarang operator tr dengan sifat-sifat yang dinyatakan dalam Teorema D dan E di-sebut linear , yakni, ̂ L adalah linear jika:

l' L(V)= kLt ), k konstanta;

2. L(f + il: L(f) + L(s).

Operator linearakan muncul berulang-ulang dalam buku ini; D merupakan sebuah contoh

khas. Sebuah operator linearselalu memenuhi aturan selisihl(f - il : L(f) - L(S)yng

dinyatakan berikutnya untuk D.

&.tkti

Dlf(x) - s(x)l : Dlf(x) + (- l)g(x)l

= Df (x) + Dt(- l)s(x)l (Teorema E)

/

rt26

CONTOH I Cari turunan dari 5x2 * 7x - 6 dan

Penyelevian

D(5xz + 7x - 6): D(5xz + 7x) - D{6)

: D(5x2) + D(7x'1- D(6)

: 5D(x2) + 1D(x) - D(6)

Kalkulus dan Geometri Analitis

: Df (x) + (-l)Ds$) (TeoremaD)

: Df(x) - Ds@)

4 x 6 - 3 x 5 - 1 0 x 2 + 5 x * 1 6 .

(Teorema F)

(Teorema E)

(Teorcma D)

(Tcorema C, B, A)

Jilid I

I

= 5 . 2 x + 7 . 1 + 0

: 1 0 x * 7

Untrrk mencrri t.rrun.u bcrilutnya, kita perhatikan bahwa teorema-teorema pada jum-

lah dan selisih meluas sernpri *jumlsh terhintga urku. Jadi,

D(4x6 - 3x5 - l0x2 + 5x + 16)

: D(4x6) - D(3xs) - D(10x2) + D(5x) + D(16)

: 4D(x6) - 3D(x5) - loD(x'�) + 5D(x) + D(16)

: 416xs) - 3(5xa) - l0(2x) + 5(l) + 0

= 2 4 x s - l 5 x a - 2 0 x * 5 I

Metode pada Curtoh I memungkinkan kita untuk mencari turunan sebarang polinom.

Jika anda mengetahui Aturan Pangkat dan melakukan aPa yang datang secara alamiah,

hampir pasti bahwa anda akan memperoleh hasil yang benar. Jika anda dapat menulisjawaban tanpa langkah lanjutan, itu pun baik.

ATURAN HASILKALI DAN HASILBAGI Sekarang kita siap untuk suatu kejutan.

Turunan hadlkali fungsi-fungsi tidak sama dengan hasilkali turunan fungsi-fungsi.

IBab 3 Turunan 127

lni harus dihafalkan dalam kata-kata rbagai berikut: Turanot hasillcali dua fung$dalah turuwn kcdua yottg pertons dilcqlikan ditotnMr denga tururun pertomo yqtglccdta dikalikon.

Bukti Andatk"n,f(

F ' (x ) : l i 6, t -0

: timr-b

: lim

x) =/(x)g(x). Maka

F ( x + h ) - F ( x )h

f(x + h)s(x + h) - f(x)g(x)h

f(x + h)g(x + h) - f(x + hb(x) +/(x + h)s(x) - f(x)s(x)

: n ko + h) ry + s').f(x + h) - f(x)fr-J: f1 rr* + n) lii ry + s@) }nMFp: f (x)s'$) + g(x)f '(x)

Pertama, turunan yang baru saja diberikan mengandalkan pada teknik penambahandan penguran&n yang sama, yaitu /(x + lt)g(x). Kedua, pada akhirnya kita gunakan kenya-taan bahwa

lT /G + h): f(x)

Ini hanya merupakan terapan Teorema 3.2A,ymgmengatakan bahnra keterdiferensial-

, an pada suatu titik menunjukkan kekontinuan di titik tersebut. I

CONTOH 2 Gunakan Aturan Hasilkali untrk mencari turunan (3x' - 5)(2xa - x). Pe-riksa jawab dengan mengerjakan soal itu secara lain.

/

r-128

Pehyelevian

D [ ( 3 x 2 - 5 X 2 x a - x ) ]

Kalkulus dan Geometri Analitis

: (3x2 - 5)D(2xa - x) + (2xn - x)D(3x2 - 5)

: (3x2 - 5)(8x3 - l) + (2xa - xX6x)

: 24x5 - 3x2 -40x3 + 5 + l2xs - 6x2

: 36x5 - 40x3 - 9xz + 5

g(x)s(x + h)

Iilid I

Untuk memeriksa, pertama kita kalikan dan kemudian ambil turunan'

(3x ' - 5)(2xa - x) :6x6 - loxa - 3x3 + 5x

Jadi,

Dl(3x2 - 5\2xa - x)l : D(6x5) - D(l0xa) - D(3x3) + D(5x)

: 36xs - 40x3 - 9x2 + 5

Kami tekankan agar anda menghafalkan ini dalam kata-kata sebagai berikut: Turunan

satu hasilbqi adolah vma dengan penyebut kali Urunst pembilung dikurangi pembilang

koli rurunan penyebut, vfuruhnya dibasi dengn kuodmt penyebutnyc'

tuloi lgrLdank€n f(x)=f(x)/9(x). Maka

-. F(x + ft) - r(x)F'(x): l im

O-

f ( x + h ' t _ f Q )g(x + h) sQ): lim

, ! -O

: lim,rr O

h

sF) f@+h)- f (x)s(x+t t )h

' " ]

Bab 3 Turunan 129

_,,^lo$)f(x + h) - s6)f(x) +f(x)g(x) -f(x\s(x + h)- urrr I

; L h

6*1')

(r f6 + h) - f(x) .. ,g(x + h) - s(x)'l t l: I'i tlr(')

----;-- - f (x, h )g(x)g(x + h))

: ls$) f '(x) - .f (x)s' $)l #6 T

coNToH 3 Cari turunan *n (3x - 5)(x2 + 7)'

Penyelesian

^ftx - sl Q2 + 7)D(3x - 5) - (3x - 5)D(x2 + 7)'E '+ j l :

: @(x2 + 7)2

- 3 x 2 + l O x + 2 1: @47

2 3C u i D y i b y : j * 1 * ; .

Dr: D(--Z .) * r /1\- \x* + r/ \x/

J

CONTOH 4

Penyelevion

CONTOH 5yaitu,

(x" + l) x

(x4 + lXo) - (2[4x3), (x)(o) - (3Xl): --TqT tF--r i'-

-8x3 3- @T-tr- V I

hrktikan bahwa Aturan Pangkat berlaku untuk pangkat bulat negatif;

Penyelcsian

- n x - n - li ^ / l \ x n . 0 - l . n x , - r - n x n - r

[ , ( x_ " ) : r ( * . / :T :_ ] " :

I

IlIt-- -

/

l3O Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid t

Kita lihat sebagaimana bagian dari Contoh 4 bahwa H3lx\ =_3lxz. Sekarang kitatelah memiliki cara lain untuk memperlihatkan hal yang sama.

soAL-sOAL 3.3

, ( : ) : D(3"- ' ) : 3D(. r - ' ) : 3( - l ) . r - ' � : -1\-t /

' .r2

Dalam Soal*oal 144, cari Dykan aturan-aturan dari pasal ini.

l ' Y : 2 x '

2 . Y : 3 x n

3 . Y : n x 2

4 . y : u h x s

5 . - v : - 3 " '

6 ' Y : 4 ' - '

t

t , , -,. -/ - ---;-

- nE. r : - - j

S . , : 1" 5,t"

)' 1 0 . r : *JX-

l l . y -- -x3 + 2x

1 2 . y : 2 x n - 3 x

1 3 . y : - x a + 3 x 2 - 6 x * l

1 4 . Y : l l x 4 - 3 - r + 1 9

15. y = 5x6 - 3xs + l lx - 9

1 6 . y : 3 x 1 - 9 x 2 + 2 l

1 7 . Y : 3 x - s + 2 x - 3

It : - 1 2 x

zx

) )' 3 x 3

21.

- - ' . -

menssuna- ,r(Ur:2r-6 + x-,

1 9 . y : ? - :x x '

a . y : * _ :

23. y : . r (x2 + l )

(Jr: 3-r(.r3 - t)

2 5 . y : ( 2 x + t ) 2

2 6 . y : ( - 3 x + 2 ) 2

27. y : (x , + 2)(x3 + l )

i z8\ r : ( -xn - lXx2 + l )

29. y : (x2 + l7)( . r3 - 3x + t )

30. -y : (,ro + 2-t)(x3 + 2x2 + l)

31. i ' : (5x2 - Tex2 _ 2.r + l)/=-Q)r

: (3.rr + 2x)(.ra - lx + t)

33. r, :- 3 - r . + l

A , v =' S x r _ l

fub 3 Turunan

I35' 3, : ;-'-------.---' 4 x ' - J x + 9

436. Y =;--i--- .zx- - 5x

x - l3 ' 1 . v : -- x * l

/^1 2x - || 3EJ t'\ - / x - r

2 x 2 - lv:-..."..--'-...._' 3 x + 5

5 x - 4' 3 x ' + l

2 x 2 - 3 x + |V : -' 2 x + l

5 x 2 + 2 x - 6V : -' 3 x - l

x 2 - x + ly : -' x ' * l

x 2 - 2 x + 544 . v : x 2 + 2 x - 3

-1, g(o) =

U. s) ' (o) ;

47. Gunakan Aturan Hasilkali untukmenunjukkan bahwa Dll\x)|2 -

2 . l \ x ) . f ' ( x ) .

48. Kembangkan suatu aturan untukD[/(r)g(r)ft(x)] .

49. Cai persamaan garis singgung pa-

da y = 3x2 - 6x + I di t i t ik (1, -2).

50. Cari persamaan garis singgung pa-

d a y = 1 ' r * z + l ) d i t i t i k ( 1 , + ) .

46. Jika f(3) = 7, f '(3) = 2, s13\ = 6,

dan g'(3) = -10, c.ari (a) (f . d'G);(b) (,r. g)'(3); (c) Gl D' Q).

1 3 l

( St.) Cari semua titik Pada $afiku =)f - x' di *an" garis singgung men-

datar. .

52. Cari semua titik Pada grafiky =

lrt + x2 - x di mana garis singgungmempunyai kemiringan l.

53. Tinggi s dalam kaki dari sebuahbola di atas tanah pada saat r detik diberi-k a n o l e h s = - 1 6 1 2 + 4 0 r + l O 0 .(a) Berapa kecepatan sesaatnya pada r =

z'�!(b) Bihmana kecepatan sesaatnya 0?

54. Scbuah bola menggelinding se-panjang bidang miring sehingga jarak sdari titik awal setelah r detik adalah s =

4,5t2 + 2r kaki. Kapankah kecepatan se-saatiya akan sebesar 30 kaki/detik?

/-^ \\SS. ffraapat dua garis singgung pada

kurvX-r/= 4x - x2 yang melalui titik(2, 5). Cari persamaan garis-garis ter-sebut. Peunjulc: Andaikan ({o, yo)adalahtitik singgungnya. Cari dua syarat yang ha-nrs dipenuhi oleh (x6, 7e).

( 56J Seorang penjelajah angkasa ber-gerhr:{ari kiri ke kanan sepanjang kur-va y = y2. Bilamana ia mematikan mesin-nya, ia akan bergerak sepanjang garis sing-gung pada titik di mana ia saat itu berada. '

Pada titik mana ia harus mematikan me-sin agar mencapai titik (4, 15 )?

57. Seekor lalat merayap dari kiri ke

kanan di sepanjang puncak kurvs y=l-a''

Seekor laba-laba menunggunya pada

titik (4,0). Tentukan jarak antara keduaserangga itu pada saat mereka pertama

kali saling melihat.

58. Diketahui (4, D) suatu titikpada kurva y = llx di kuadran pertama,

dan garis singgung pada P memotong sum-bu x di ,4 . Tu4iukkan bahwa segitiga r{ OP

samakaki dan tentukan luasnYa.

I591 Jari-jari suatu buah semangka

bulat, tumbuh pada tingftat yang konstan2 cm tiap minggu. Ketebalan kulitnya se-lalu sepersepuluh dari jari-jarinya. .Berapalaju pertumbuhan volume kulit semangkatersebut pada akhir minggu ke lima?

I

39.

40.

4t.

43.

- k + Y X - lz ^ L- tx- z) #(

45. Jika /(0) = +, f '(O) =-3, dan c'(0) = 5, cari (a)(b) (J+ c)'(o);(c) (fld'@).

/

132 Kalkulus dan Geometri Analitis Jitid I

3.4 Turunan Sinus dan Kosinus

Dunia modern kita berjalan di atas roda. Pertanyaan-pertanyaan tentang roda yangberputar dan kecepatan titik padanya secara tak terelakkan menuju ke pengkajian sinusdan kosinus dan turunan-turunannya. Agar siap untuk pengkajian ini akan sangat baikuntuk menelaah ulang Pasal 2.3. Gambar I mengingatkan kita pada definisi fungsi-fungsisinus dan kosinus. Dalam yang berikut ini, r harus dibayangkan sebagai bilangan yangmengukur panjang busur pada lingkaran satuan, atau sama saia, sebagai bilangan radian

dalam sudut yang berpadanan. Jadi, flr) = sin r dan g(r) = cos t adalah fungsifungsiyangmempunyai daerah asal dan daerah hasil berupa himpunan bilangan riil. Kita dapat me-mikirkan masalah pe ncari an tur unan-turunanny a.

RUMUS-RUMUS TURUNAN Kita memilih untuk memakaix ketimbang t sebagai varia-bel dasar kita. Untuk mencari D(sin x), kita bersandar pada definisi turunan dan meng-gunakan identitas penambahan untuk sin(x + l).

sin(x + h) - sin xD(sin x) : lim

,r- O

: l im

h

sin x cos h + cos x sin h - sin x

, t -O h

, . / l - c o s f t s i n f t \: l T \ - s t n x h + c o s x

, r /

: (- sin, [n#] * t.o,, [nY]

GAMBAR,2

Untuk mengakhiri turunan kita, kami berikan dua buah limit untuk Anda evaluasi. Se-buah kalkulator menyediakan tabel dalam Gambar 2. Ini menunjukkan, dan kelak dalam

GAMBAR, T

Bab 3 Turunan

pasal ini, kita akan membuktikan bahwa

133

, l1T t -;" ' l : o :TY: t

Jadi,

CONTOH I

Penyelevian

D(sin x) : 1

Demikian pula,

D(cos x) : li6i - O

- sin x).0 + (cos x). 1 : cos x

cos(x * h) - cos x

h

J

. . c o s x c o s h - s i n x s i n h - c o s x: iTT

- . / l - c o s h s i n f i \:IT

|\- cos x-J- - stn I fr /

- ( - c o s x ) . 0 - ( s i n x ) ' 1

: - s inx

Kita ringkaskan hasil-hasil ini dalam sebuah teorema Penting.

Cari D(3 sinx - 2 cosx).

D(3 sin x - 2 cos x) : 3 D(sin x) - 2 D(cos x)

: 3 c o s x * 2 s i n x I

/

t34

COINTOi|2 Catr D(tanx)

Penyelevian

Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid I

cos x D(sin x) - sin x D(cos x)cos'x

c o s x c o s x + s l n x s l n . x

cos-x

D(tan x) : ,/ll t\

\cos x/

I: - . . . .T

cos'x: s@2x t

OONTOII 3 Cari persamaan garis singgung pada gralik.p = 3 sin 2r di ritik (r/2, 0) 0ihat ;Crambu 3).

Penyeleuior Kita memerlukan turunan dari sin 2x;saymgrrya, kita hanya tahu bagaimana l

mencari turunan dari sin x, Tetapi, sin 2x = 2 sin r cos .r. Jadi,

D(3 sin 2x) : q6 sin x cos x)

: 6 D(sin x cos x)

: 6[sin x D(cos x) + cos x D(sin x)]

: 6[(sin x[- sin x) + cos x cos x]

: 6[cos2x - sin2x]

: 6 c o s 2 x

GA}IEAR,3

Pada r = rl2, turunan ini bernilai - 6, yang karena itu merupakan kemifiganr saris sins-gung yans diinginkan. Perssnaan garis ini adalah

T

CONTOH 4 Perhatftan kincir ferrisyangjarijarinya 30 kaki, berputar berlewanan arahpcrputaran jarumjam dengan kecepatan sudut 2 radian/detik. Seberapa cepat dudukanpada pelek naik (dalam arah tegak) pada saat ia berada l5 kaki di atas garis mendatar(horisontal) yang melalui pusat kincir?

tDi dni kcmiringen mcnorJomdrkan pcogctitn "rlopc"; p@dil lrinedr yrng maglunaku 'tanjrkrn", 'Icrcn!".

/ - o : - . ( r - ; )

. _ : ) _

kb 3 Tuntun 135

Payclcmiu Kita dapat mcmisalkan batrwa kincir bcrpuret di dtik asd dan baftwedudukan P bcrada di (30, 0) pada saat r = 0 (Gambar 4), Jadi pada raat r, P telah ber.gerak melahi ndut 2f tadian, sehingga mempunyai koordinat (30 cos 2r, 30 dn 2r).Laju P naik adalah turunan koordinat vertikal 30 sin 2t diukur pada suatu nilai / yangresusi. Monurut Contoh 3,

D(30 sin 2t'l:69*"r,

Nilai t yang sesuai untuk penghitungan turunan ini adalah t = rll2 karena3O sin(2r I 12\ = I 5. Kita simpulkan bahwa pada r/ l 2, dudukan P naik pada

oo "o.(z #) : a{Uzr 51,e6 tcakVdetik

PEMBUKTIAN DUA PERNYATAAN LIMIT Segala seuenr yrat tdrh tits lal$kandalam pasal ini tergantung pada fua pernyataan limit,

Mereka memerlukan bukti.

Bttkti Andaikan bahwa r ) 0 dan pandang diagram (yang rckrrang sudah dikenal) pada9ambu 5. Pedratikan bahwa bila t -i 0, titik P bergerak kc areh (1,0), sehingga

l i m c o s t : 1 l i m s i n r : 0r -O r -O

t

.d''''^"o I A n , 0 ) x

5GAI{BAR

Selanjutnya, untuk -rl2 I t 1 rl2, I * 0, gambarkanlah potongan garis vertikal EPdan busur .8C seperti tampak dalam Gambar 6. (Bila f ( 0, daerah yang terpotong akan

l '

P(3O cos 2r, 30 3in 2rl

GA}IBAR 4

/

136

knyekvbn

merupak'an pencerminan terhadap sumbu'x)' Jelasnya'

Ilas (sektor OBC)<luas (MAP) { luas (sektor OAP)

Dari rumus I bh (luas suatu segitiga) dan !l \tr (luas suatu sektor; lihat Soal 30 Bagian

2.3), kita peroleh

|(cos r) ' � i r l{} cos r lsin r t i <(t) ' l r t

atau setelah mengalikan dengan 2 dan dibagi dengan bilangan positif irl cos t dan menya'

takan (sin r)/t adalah Positif.s i n t I

c o s t < . - < -t

- c o s t

Dengan menggtrnakan Teorema Apit, dari ketidaksamaan ganda ini akan diperoleh:

l i m s t n t : 1f - o t

sebagai hasil Yang Pertama.-Hasil keiua, dapat kita peroleh dengan mudah dari hasil yang pertama.

l - c o s t . . l - c o s t l + c o s l , , - l - c o s 2 tl i m -

- - - : l i m - : l l m : . - - -, - o I r - o t t + c o s f ' - o ( 1 + c o s t )

Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid I

lim sin ts in" . . s tn f , -o

: lim--;- ------ ^ : hm - 'tr: :1r(t + ""t t)

- ,:; r lim(l + cos r)

o: 1 . ; : 0

walaupun penggunaan utama dua Pernyataan limit ini adalah untuk membuktikan

rumus-rumus turunan, kita juga dapat memakainya untuk menghitung lirnit'limit lain'

CONTOII 5 Carilimit'limit berikut

1 - c o s r(a) lim----. --- -" t -o Sln t

sin 5x(b) I'i 3,

t

I - c o s t

(") riT,=#l -,* _,i- : f : ot

,0, 1i=:: l*; -: : iHu*:i ' 5J

Bab 3 Turunan t37

Pada langkah sebelum yang terakhir, kita gunakan kenyataan bahwa bila x -+ 0,.5x+ 0.Jadi,

, . s in 5xlrfll -

-

r - o )X

. . I s in 5x . . s in tl l tT l f -

- l lm.-s,- l )x r -o t

: lI

I

;{SOAL.SOAL 3.4

"o

Dalam Soal-soal l-12, cari. Dy.

l . y : 3 s i n x - 5 c o s x

" / ' t : s i n x c o s xcos x

3 . v : c o t x : -- s r n x

I4 . v : s e c x : -- cosx

I5 . Y : c s c x : _ : -- s t n x

K v: sin2 x

sin x7 . v : -s r n x + c o s x

putaran jarum jam pada kecepatan sudutsebesar I radian/d*ik. Satu dudukanpada pelck berada di (20, 0), pada saatf = 0 .(a) Berapa koordinatnya pada saat t =

r 16?(b) Seberapa cepat ia naik (secara tegak)pada saat t=nl6?(c) Seberapa ccpat ie naik (sccara tegak)pada waktu ia naik pada hju yang ter-cepat?

Dalam Soal l'l-22, ik\ti prosedur dariContoh 5 untuk mencari tiap limit.

17. lim sin 2x

r-o 3x,r-af

O{'1$ rlg. l i -

t inb

,-6 tltr x

-,.-- \( \.r{a

c'rr

\ /Xr-ocscx- I

21. lim tan r -,sin x

r -o . I @S.X

) ^( zzJ i^*u\/ s-o tan 3x

X. Perlitratkan bahwa kurva y = 1ftsin x dan y = 1E cos x saling berpotong-an tegak lurus pada sebuah titik, tertentudengan O 1x Lnl2.

24. Pada saat t detik, Pusat sebuahpelampung gabus berada sejauh 2 sin tsentimeter di atas (atau di bawah) per-

mukaan air. Berapa kecepatan pelampungpada nat t = O, r 12, n?

tan x

sln x - cos.I

9. y: sin2 x * cos2 x

l 0 ' Y : x 2 s i n x

@ s xl l . v : -' x

Jl9,::#E tS. Cari persamaan garis singgung pa-

d a y = s i n x d i . x = 1 .

14. Cari persamaan garis singgung pa-d a y = t a n x d i x = n 1 4 .

15. Pandang kincir ferris dari Contoh4. Pada laju berapadudukanpada pelek ber-gerak secaia mendatar pada waktu t = nl4detik (yaitu, pada waktu dudukan men-capai puncak kincir)?

\. S"U*tt kincir.ferris dengan jari-

1an 20 kaki berput4l-b_erlawanan arah pcr- : 1. I __.j

/

138

25. Gunakan definisi tutunan untukmemperlihatkan bahwa D(sn x2) = 2tcos x 2.

25. Gunakan definisi turunan untuk

memperlihatkan bahwa D(sin 5x) = 5 cos

5x.

27. Brla x6 adalah harga positif ter'

kecil dari x di mana kurva-kurva / = sin x

dan y = sin 2x berpotongan, tentukanxo

dan juga sudut lancip yang dibentuk dari

perpotongan kedua kurva pada x6 (lihat

Soalo28 pada Bagian 2.3).

Z\. n"ti luas (O8P) { luas (O,'{P)

{ has(OlP) * luas(ABPQ) dalam Gam-

bar 7, tunjukkanlah bahwa

tc o s t < - ( 2 - c o s t

stn f

dan dapatkan pembuktian lainnya bahwalim (sin t)lt = l.t-0

Kalkulus dtn Geameffi Arulitis Jilid I

(c) Guaaka kalkulator untuk men-dapatkan taksiran yang akurat daritim (D/E).t*0*

GAJ{BAN,

C.atatan: Jawaban yang pasti pada (c)

akan ditemukan pada Soal 27 dari Pasal

9 . 1 .

iO Sebuah segitiga samakaki ditu'

tup oleh setengah lingkaran sebagaimanaditunjukkan pada Gambar 9. Apabila D

adalah luas segitiga AOB dan E adalah r

luas daerah yang melingkupnya. Tentu-kan rumus untuk D/f, sebagai fungsi f dan

kemudian hitunglah

q

tim I, - o * E

)9. P"A. Gambar 8, diketahui D ada-

hh luN scgitiga ABP d*r f adalah luas

daerah yang menaunginYa.(a) Taksirtah nilai dari 1i4. (D/E)

dengan mempethatikan gambarnYa'

(b) Tentukan suatu rumus untuk

DIE *bagflr fungsi r'

wo

GAMBAR9

3.5 Aturan Ranai

Bayangkan usaha untuk mencari turunan dari

F(x): (2x' - 4x + 1)60

,('

P(cos r, sin r)

h0 I 4 ( 1 , 0 )

E

fub 3 Turunon

Pertama anda harus mengalilon bersama ke 60faktor-faktor kuadrat b2 _4x + I dankemudian mendift rensialkan polinom derajat l2O yangdihasilkan.

Untimg saja terdapat cara yang lebih baik. Setelah anda mempelajari aturan rantai,anda akan nrampu menuliskan jawaban.

F(x): 6A(2x, - 4x t l)5s(4x - 4)

secepat anda menggerakkan pensil anda. Sebenamya aturan rantai demikian pentingryasehingga anda jarang lagi mendiferensialkan suatu fungsi tanpa memakainya. ietapi agardapat menyatakan aturan tersebut sebagaimana mestinya, kita perlu memperkenalkansuatu terobosan pada notasi D kita.

NoTAsl D' Jika suatu masalah menyangkut lebih dari satu variabel, akan sangat mem-bantu untuk mempunyai sarana penulisan (notasi) untuk menunjukkan variabel manayang sedang ditinjau pada suatu saat tertentu. Jadi, jika y = sin s2xi dan kita ingin mem_perlakukan x sebagai variabel bebas dan s sebagai Lonsten, maka dengan menulis Dr,;rakan memperoleh

D,! : D,(s2x3) : s2D,(x3) : s2. 3x2

Lambmg Dry ini dapat dibaca sebagai turunan y tcrh@ x.Lrbih penting adalah contoh berikut. Andaikan | = u5o dan z = ?*2 - 4x + l.Maka

Dul =-6ouse dan D,u = 4x - 4. Tetapi perhatiken bahwa bilamana kita menggantikanu = 2x2 * 4x + | dalamy = 160, kita peroleh

, : ( 2 x 2 - 4 x + l ) 6 0

dengan demikian, adalah beralasan untuk rnenanyakan apa dan bagaimana Dry ini dikait-kan terhadap Dult dan D"r? Secara lebih umum, bagaimana andamendiferensialkan suatufungsi komposit?

PENDIFERENSIALAN FUNGSI KOMFOSIT Jika Tina dapat mengetik dua kali lebihcepat daripada Mona dan Mona dapat mengetik tiga kali lebih cepat daripada Dono makaTina dap*t mengetik 2.3=6 kalilebih cepat daripada Dono. Kedua laju tenebut dikali.kan.

Andaikan bahway= f l u ) dan u=g ( . x )

menentukan fungsi komposit y = /(g(r)). I(arena suatu turunan menuniukkan laju per-ubahan, kita dapat mengatakan bahwa

y berubah D;lkili secepat u

a berubah D ru kalisecepat r

Kelihatannya beralasan untuk menyimpulkan bahwa

y berubah D;. Dru kali secepat.x

ini memang bernr dan kita akan memberikan bukti formal dalam pasal berikutnya. Hasil-nya disebut Aturan Rantri.

139

/

140 Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid I

Mungkin akan menolong anda untuk mengingatnya begini'

variabelkid

IIIy : f

variabelkanan

III

: 9(.Y)

variabeltengah

/ \(u'l dan u

/1"#T\ /;umt /i:ilH\l [ , n "u .o f = [ t e rhadap l { [ f f i ] - l\;x:1"'/ \;:#ff'l \;xl'/

D,y D,Y ' D,u

Dengan cara seperti ini, anda tidak akan mengalami kesukaran memahaminya bahwajika

w : / ( s ) d a n s : 9 ( t )

maka

Drw : D"w Drs

PENERAPAN ATURAN RANTAI Kita mulai dengan contoh (?t' - 4x + l)6o yang di'

perkenalkan pada permulaan pasal ini.

CONTOH I Jika y = (2xz - 4x + I )6 o, ca:J. D,l.

Penyelesbn Kita pikirkan ini sebagai

/ - . - - ' -

! : u60 dan u :2x2 - 4x * |

D r l : D u Y ' D r u

: 160u5e[4x - 4)

:6a(2x2 - 4x f'l)5e(4x - 4)

CONTOH 2 likl. y = ll(2xs - I)3,'cari Dry.

Jadi,

I

Bab 3 Turunan

Penyekvion Pikirkan begini

I _ "! :

; l : u - " d a n u : 2 x 5 - 7

Jadi,D ' ! : Duy 'D ,u

: ( -3u-a[ lOxa)

- 1: ; i ' t o x a

- 30xa: 1z;r=ry

CONTOH 3 Jiliaa y = sin(r3 - 3x), cai, D;t.

Penyelevion

. / : s i n a d a n u : x 3 - 3 xJadi,

D ' ! : DnY 'D 'u

: (cos u).(3x2 - 3)

: [cos(x3 - 3x)] .(3x, - 3)

coNroH4 cari o./t'- :1a-1\"' \ t o + 3 I

Peyelevian Pikirkan secara ini dalam merrcari Dllt,dimana

! : , t t 3 d a n u : ! t - 2 t + |- 7 + 3

Maka,

Dry : Duy -Dru

l4t

: t3ut2t4 + 3)(3t2 - 2) - (t3 - 2t + l)(4t!)

r- , r l r ' - 2r + 1\t2 - t6 + 6t4 - 4i t + 9t2 _ 6. " \ - 7 J 3 l

E rSegera anda akan mempelajari untuk membuat pengenalan dalam hati tentang variabelantara tanpa menuliskannya. Jadi, seorang paku segera menuliskan :

D,(cos 3x) : (- sin 3x). 3 : _3 sin 3x

D,(x3 + sin x)6 : 6(x3 + sin x)5(3x2 * cos x)

D,/-!)' : o/-Lf cos 3t - t(-sin 3r)3'\cos 3rl \cos 3r/ cos2 3r

_ 4r3(cos 3r + 3r sin 3r)" cos5 3t

/

rt42 Kakulus dan GeometriAnalitis Jilid I

ATURAN RANTAI BERSUSUN Andaikan

y= f (u ) dan a=g (v ) dan v=h (x )

MakaDr!: Dry Dou Dru

CONTOH 5 Cari Dxtsin3(.b}.

Penyehvbn Pikirkan ini untuk mencariDT, di mana

/ = u l d a n l = s i n Y d a n Y = 4 r

Malta,D ' ! : DnY ' Duu 'D ' t s

: 3u2 ' cos u '4

: 3 sin2(4x)'cos(4x)'4

= 12 sin2(4x) cos(4x) I

Disinijuga,andaakansegeramelakukanPensSantianinidalamkepaladanmenulis.kan jawabnya aeog* segera. Mungkin membantu jika anda perhatikan bahwa, dalam pen'

difeiensialan fungsi komposit bersrsun, anda bekerja mulai Anda lurung paling luar ke

uah dalam, seperti mengrpas bawang-

Marilah kita kerjakan Contoh 5 sekali lagi, dengan membuat gamblang apa yang baru

kita katakan

D,[sin(4x)]3 : 3 sin2(4x)D'sin(4x)

: 3 sin2(4x)cos(4x)D,(4x)

: 3 sin2(4x)cos(4x)'4 -.

: l2 sin2(4x)cos(4i)

CONTOH 5 Cari Dx {sinlcos(r2 )l }.

Penyelevian

D*{sin[cos(xt)]] : cos[cos(x2)]'[- sin(x2)]'2x I

soAL-soAL 3.5

Dalah Soal+oal l-26,cari DtY

t . y : ( 2 - 9x ) "

2 . y : ( 4 x + 1 ) 2 3

4 . y = ( 3 x 3 - l l x ) ?

5 . y = ( x 3 - 3 x 2 + l l x ) e

6. y: (2xa - l2x2 + l lx - 9)to

3 . , , : 15x ' � + 2x - 8 )s \ Y : (3xa + x - 8 ) - l

l

Bab 3 Turunan

t. y = (4x3 - 3x2 + l lx - l ;-s

r ls Y : o F + r - e F

1lo. y -

*rT,"tt11. Y : s in (3x2 + l l x )

Iq y: cos(4x5 - ll.x)

1 3 . Y : 5 i n r t

1 4 . Y = 6 s 5 s t

1 5 . v : / t ' - ' \ '

- \ x + 4 /

/3x - l \61 6 . y : ( r r . 5 _ /

t1 .y= , ' ' ' ( ,= )

\.r:".'(#)19. y: (4x - 7)2(2x + 3)

N . y : ( 5 x + 6 ) 2 ( x - 1 3 ) l

2 l . y : ( 2 x - l ) 3 ( 7 ' 2 - 1 2

22. y =(3x2 + 5)2(xr - l l )4

143

\ : f f iE . v : W

26.Y:#

Dalam Soal-soaI 27-34, cariditunjukkan.

n. u(-J)'

,s.r"('j-l)

,.r(H)

\a,ffi'31. Dlsin3 0)

32. Dr(cosa 0)

b. D-ljg'\ ' t

\ -\cos 2xl

34. D,[sin r tan(r2 + l)]

Drlam Soal-soal 35-38, hitung turunenyut ditujuktm.

\ /r, + t\t3\ /13) rita /(x) : (;;l

35. C(l) Jika G(r) = (r2 * 9)3$2 - 2)1

E sz. F'(l) Jika F(r):5;a1rz + 3r + l)

\ e'Gl Jika g(s) : cos,ts sin2,rs

Dalam Soal-soal 39-46, gunakan AturanRantai Bersusun (Contoh 5) untuk men-cari turunan yang ditunjukkan.

3l. D,[sin4(x2 + 3r)]

{0. D,[coss(4r - l9)]

41. D,[sin3(cos r)]

\ . - - f . / u + l \ l{<. ,,.Lcos-(, L/l43. D6[cos'(sin 02)]

t|l. D,lxsinr(2x)l

\ D,{sinfcodsin 2x)]]

46. D,{cos2[cos(cos 0]]

47. C^i pcrsamaan garis singgung pa-da y =.-(x2 + l)3(r ' + l)2 di t i t ik (1, 32).

-.\ Sebuah titik p bcrgerak di bidangschinggh koordinatnya sctelah r dctik adallah (4 cos 2t,7 sin 2r), diukur dalam kaki.(a) Perlihatkan bahwa p mengikuti jalurbcrberrtuk erlps. peuniuk..Tuqiukku

@lqoz + 0fi)2 : l, yang merupakan pcr-samaan sebuah elips.

(b) Dapatkan eksprosi untuk Z, jarak darititik asal gada s.at t

I

\

(x + l)223. v :

3 x - 4

turunan yang.

/

tu

(c), Seberapa cepat P bergerak menjauhititik asal pada t = r/8? Anda akan memer-

lukan _ kenyataan bahwa D"dil =

ll(2\/i) (lihat Contoh 4 dari Paid 3.2).

49. Sebuah bola berpusat di titikasal dan berjari-jari l0 scntimetcr bcr-putar berlawanan arah pcrputann ianrmjam pada laju 4 putaran/dctik. Sebuah ti-tik P pada pelek berada di (10, 0) pada

t = 0 .(a) Berapa koordinat P pada saat f de-

tik?

(b) Pada laju berapa P naik (atau turun)p a d a s a a t r = l ?

\Perhatikan alat roda-Piston. da-

lam Gambar l. Roda mempunyar Jan-JanI kaki dan berputar berlawanan arah per-

putaran jarum jam pada 2 radian/detik'

Batang penghubung panjangrya 5 kaki'

Titik P berada di (1, 0) pada saat t = 0.

GAMBAR, I ,

(a) Cari koordinat P g^da sr'at t.

(b) Cari koordinat-y dan Q pada saatr (koordinat-x selalu nol).

Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid I

(c) Cari kecepatan Q gada saat f. Andaakan memerlukan kenyataan bahwaDu(Jb= rlz\fi).

51. Kerjakan Soal 50 dengan meng-anggap roda berputar pada 6O putaran/menit.

\ S,rt,ilran bahwa Drwl =-lxVx,

x * O. Petuniuk: Tulis ;x; = Vx2 dangunakan Aturan Rantai dengan u = x2.

53. Terapkan hasil dalam Soal 52untuk mencari masing-masing turunan

(a) D, lx2 - 11

(b) D,lsin xl

\. Nanti dalam buku ini (Pasal 7),kita akln pelajari suatu fungsi L yangmemenuhi L'1x1 = l/x. Selesaikanlah se-tiap turunan berikut:.

/ \l x \

ht D-Lt _ |^ \ x + l /

(b) D,/,(cosax)

55. Pada setiap soal berikut, tentu-tan /(r) dan tuliskan jawabannya dalambentuk sesederhana mungkin sebagaifungsi sjn 2x.

(a) "f(-x) : -cos 2x + I cos32x

(b) "f(x) : 3x - .rl sin 4x - { sin32x cos 2r

56. Tunjukkan bahwa apabila suatusuku banyak p(x) dapat dibagi dengan(ax * b)2, maka p'(r) dapat dibagidengan ax * b.

57. Diketahuif lO) = 0 dan/(9;= 2.Tentukanlah turunan dari /(/(.(/(x))))padax = Q.

58. Gunakanlah Aturan Rantai un-tuk menunjukkan bahwa turunan suatufungsi ganjil adalah genap dan turunanfungsi genap adalah ganjil.

a

Bab 3 Turunan lls

3.6 Notasi Leibniz

Gottfried Wilhelm t€ibniz adalah salah seorang dari dua penemu utama kalkulus(yang lainnya adalah Isaac Newton). Cara penulisannya (notasinya) untuk turunan masihdipakai secara luas, khususnya dalam bidang terapan sepertl halnya fisika, kimia, dan eko-nomi. Daya tariknya terletak dalam bentuknya, sebuah bentuk yang sering mengemuka-kan hasil-hasil yang benar dan kadang-kadang menunjukkan bagaimana membuktikannya.Setelah kita menguasai notasi kibniz, kita akan menggunakannya untuk menyatakankembali Aturan Rantai dan kemudian benar-benar membuktikan aturan tersebut.

PERTAMBAHAN Jika nilai sebuah variabel i berganti dari x1 ke x2 rnaka x2 - x 1 , per-ubahan dalamx, disebut suahr pcrtembehen darix,dan biasanya dinyatalon oleh Ax (di-baca "delta x"). Perhatikan segera batrwa Ax tidok benrti A kali x. Jika x1 = 4, I danx2 = 5,7 maka,

L,x : xz- xl : 5,7 - 4,1 : 1,6

Jika x1 = c danx2 = c I h, maka

L , x : x z - x r : c * h - c : h

Berikutnya andailian bahway = /(x) menentukan sebuah fungsi. Jika x berubah darix 1 ke.r2, makay 1 berubah darjy 1 = f(x 1) ke yz = f(x). Jadi, bersesuaian dengan pertam-bahm Ax = x2 -xr dalamx, terdapat pertambahan dalamy yang diberikan oleh

L v : v r - v t : f Q ) - " f ( x ' )

coNToH I Andaikan y = f(x)= 2 - x2.ca'j ay bilamanax berubah dari 0,4l.e 1,3Qihat Gambar l).

Penyeleuion

:"f(r,3) - f(09 : 12 - (1,3)21 - 12 - (0,4)'�1

: wl - 1 ,84: -1 ,53

GAII{DAR, I

LAMBANG dyldx UNTUK TURUNAN Sekarang andaikan bahwa variabel bebas beralihdari x ke x + Ax. Perubahan yang bersesuaian dalam variabel tak bebasy, akan berupa

A,y :'f(x + Ax) -J'(x)

I

Y = 2 - x 2

/

rKalkulus dan Geometri Analitis Jilid I

^v :[el a"?-J$).Ax Ax

mengambarkan kemiringan talibusqr yang melalui (r, /(x), seperti diperlihatkan dalam

Gambar 2. Jil,g� Ax -+ 0, kemiringan talibusur ini mendekati kemiringan garis singgung, dan

untuk kemiringan yang belakaqan ini lribniz mcoggunakan lambang dyldx. *hfiryg1,

GAMDAR 2

Lcibniz menyebut dyle watu hasilbagi dari dua bilangan yang sangat kecil. futi per'

k^t^an sntat kecil ndak jelas, dan kita tidak akan memakainya' Tetapi, dyl& mercpa'kan lambang baku untuk turunan; kita ahn sering memakainya sejak saat ini. Untuk

selcarang, pikirkan dyldx reba;gan lambang op€rator dengan pengertian yang saru s€Perti

Dy, dan m€mbacanya "turunin terhadap r".

t6

dar pcrhndingen

CONTOH 2

Penyelesbn

Cui ttyldx jikz | = xs - 3x2 * 7x.

* : ! e ' - 3 i 2 + 7 x )ax ax

d(rt) .d(x') .d(x): _ _ j _ _ _ _ ; _ a t _ _ -

dx dx 4x

: 3 x 2 - 3 ( 2 x ) + 7 ( l )

: 3 x 2 - 6 x + 7 t

CONTOH 3 Cari

Petryelevian Menurut Aturan Hasilbagi

*(;h)

d | 3t \ (r' + 1X3) - (3rX24 -3t2 + 3at\-t, + l:

--lF +lF--

:4t1ryI

/........----....------..-----------.........._-^- -

(x + At, f(r + Ar)l

Bab 3 Turunan

ATURAN RANTAI LAGI Andaikan bahwa y = f(u) dan a =g(x). Dalam notasi Leibniz.Aturan Rantai mengambil bentuk yang sangat anggun

Bentuk ini dikatakan anggun karena mudah untuk diingat. cukup mencoret dz di ruaskanan dan anda mempunyai ruas kiri. Jangrn mcncobc untuk memahami alasan mate-matis dari pencoretan ini, tetapi gunrken rbrgai bantuen ingetan jika memang menolong.

CONTOH 4 Cari dy/dx jikz y - (x3 - b)t,

knyelevian Pikirkanx3 - 2x sebagai z. Maka y = ur2 dan

Q : Q d ,dx. du dx

: (l2utt){3x2 - 2)

-- t2(x3 - 2x)rt(3x2 - 2)

JiY,a y - flu), u o g(v), dan y = ft(x), rnaka

CONTOH 5 Cari dylttx lika / =.cost (x2 + l).

Penyeleskn Kitadapatmemikrkaninisebagaiy =tt!,u =cos y, dany=x2 * l.

dy dy dudu' d x

d u d u d x

: (3u2X- sin u{2x)

: (3 cos2u)[- sin(x2 + l)](2x)

: -6xcos2(.x2 + l)sin(x2 + l)

t47

I

I

I

BUKTI SEBAGIAN DARI ATURAN RANTAI

Baldi Kita andaikan bahwa y = flz) dan u = g(x), bahwa g terdiferensialkan di r, dan bah-wa / terdiferensialkan di u = g(x). Bilamana x menerima suatu pertambahan Ax, makapertambdran yurg bersesraian dalam u dany akan diberikan oleh

L u : g ( x + A x ) - g ( x )

L,y:f(s(x + Ax)) -f@(x))

: f(u * Au) - f(u)

dy dy dudvdx dudu dx

/

i l

148

Jadi,

Karena g terdiferensialkan di x, maka ia kontinu di sana (Teorema 3.2A), sehingga& -+ 0 memaksa Az '+ 0. Ikrenanya

dy ,. Ay ,. Au dy du

a, : ^'ji ̂ , Ji Lr: n' d*

Bukti ini sangat cerdik,.tetapi sayangnya mengandung suatu cacat halus. Dengan ada-nya fungsi u = g(x')yng bersifat bahwa Au = 0 unhrk beberapa titik di setiap lingkungan x(fungii konstanta e(*) = t adalah iebuatr contoh yang baik). lni berarti pembagian oleh Aupada langkah pertama mungkin tidak berlaku. Namun, tidak ada cara yang muddr untukmengatasi kesulitan ini, meskipun Aturan Rantai tetap sahih dalam kasus itu. Kami akanmenyajikan bukti lengkap dari Aturan Rantai tersebut dalam Apendiks (Pasal A.l. Teore-ma B).

SoAL-SOAL 3.6

Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid I

dy ,,_- Ay ,. Ly Lu_ : u mdx 6,,e Ax a,-o Au Ax

: l im 9 . t t rn I6s-q Au a"-o Ax

I

Dalam Soal-soal 1-4, cari Ay untuk nilai-nilai .x1 dan x2 yang diberikan (lihat Con-toh I ).

* y : x t - 2 x * 4 , x , : 1 , x 2 : 1 , 5

I2 . y : 2 t * 1 , x , : 2 , x 2 : 2 , 2

x

1L9J 3 . y : - ' - , x , :2 ,3 ! .y , : ) , ! l' x * l

E] 4. ,y : "ot 2x, xt :0,5' l l , xz: O,573

Dalam Soal-soal 5-8, mula-mula cari dansederhanakan

. Ay _ f(x + Lx) - f(x)Ax Ax

Kemudian cari dy/dx dengan mengambillimit dari jawab anda untuk Ax -+ 0.

5 ' Y : " - 3 x

6 ' Y : x '

- x. 2 , v : -

x + l

Dalam Soal-soal 9-20, gunakan AturanRantai untuk mencai dy/dx.

9 . y : u ' dan r : x2 + 3x

I1 0 . y : 7 : u - ' d a n u : s i n x

' l l . y :5 in (y ' � )

1 2 . y : 5 i 1 1 2 1

A . v : E ! \ '/ '

\ c o s x /

1 4 . y : [ ( x r + l ) s i n x ] 3

15. Y :cos(x2)s in2x

(x3 + 2x)al O . 1 t : -- x * + l

4. y: sin4(x2 + 3) (Lihat contoh 5)

. ' ' Id Y: sin(x2 + 3)al

8 . yx 2 + l

,: *r?r=)y : sin2[cos2(x2)]

Dalam Soal+oal 2l-26, cari turunan yangditunjuk.

n2 1 . ; ( s i n 3 r + c o s . r . 1

,122. ; l (s ' � +.3)3 - (s' � + 3)-3]

ds - '

./. o,1o1, + 3)2 - 3n4r + 2)2J

'

A . D, fu3 +3u l J ika u : 12

Bab 3 Turunan

Ls. ./''(2) Jika

19.

m.

rr.r: (. * 1)"

masing-masing nilai.

(a) (/ + g)'(3)(c) (f ls)'Q)

,Za. n'p1 Jika F(r) : cos(r:)sin 3r

.Zf lrnaa*an bahwa f(3) = 2, f '(l) =

-1, g(3) = 3, dan g'tgl = *4. Hitung

(b) (.f 's)'(3)(d) (.f " s)'(3)

, 28. Jika fl2) = 4, f '(4) = 6, danf

'(21 = -2, hitung masing-masing nilai.,]

( a ) ; [ l ( x ) ] 3 d i x : 2

. . d [ 3 I( b ) . l - l d i x : 2' ' dx l/(x)_J

(c) (/. ./) '(2)

Soal-soal 29 dan 30 mengacu ke grafik-grafik pada Gambar 3 dan 4. ,

GAMBAR 4

29. C^n masing-masing nilai secarahampiran.

(a) ( l '+ g) '(a)

(b) ("f "sX6)

30. Cari masing-masing nilai secarahampiran.

(a) (l ls)'Q)

(b) (g../) '(3)

--f{. Siti sebuah kubus bertambah de-6gan laju tetap sebesar I 6 sentimeter/anenit.(a) Cari laju pada mana volume kubus ber-tambah pada saat sisi sebesar 20 cm.(b) Cari laju pada mana total luas per-mukaan kubus bertambah di sdat sisi se-besar l5 sentimeter.

3?* Kapal A dan B bertolak dari titikasal paita waktu yang bersamaan. Kapal Aberlayar ke arah timur dengan laju 20 mil/jam dan kapal I berlayar ke arah utaradengan laju 12 milfiam. Seberapa cepatmereka berpisah setelah 3 jam? Setelah6 jam?

3), Di manakah garis singgung kurvay = x2 cos21t;' pada x = 116 akan me-motong sumbu-x?

34. Permukaan dari suatu jam din-ding berjari-jari l0 cm. Seutas tali elastisdiikatkan salah satu ujungnya pada tepiangla 12 dan ujung lainnya diikatkanpada ujung jarum menit yang panjangrryal0 cm. Tentukanlah tin8kat ketegangantali pada waktu pukul 12.15 (dengan

----"r

149

/

7

r50

asumsi bahwa penunjukan waktu tidak

menjadi lambat dengan menegangnya

tati).

,f*/rr;ullls dan Geometri Analitis Jilid I

Let f(x):{r"":j i k a x # 0

j i k a r : 0

35. Diketahui / dapat dideferensial'kan dan ada beberapa titik xr 'dan x2

sedemikian rupa sehinggr /(rr) = x2 dan

flx z) = x r, Diketahui flfO{f(x))))'Buktikan g'(r1) = g'(xz)' t ' ..

3.7 Turunan Tingkat Tinggi

Operasi pendiferensialan mcngsmbil schldr fungri,.f'tbn'nsldtm[llt*rn tBbdh 'tungsi

b,1";5. -Jihi'

sekarang lrita difcrcnsialk8n, kita malih'm€n['turcl]lanltuqri'llirytlicyat+

;;d7'(dibaca "id- "krn') <lan dmbut hrililn'lcdfih Mn ''hib flirannya

ia boleh diturunkan lagi, dengan dcmikian mcnghasillcan l"', y^g disebut'tunrmn ke

tigr, dan seterusnya' Spbagai contoh, andaikan

f ( x ) : 2 x 3 - 4 x 2 * 7 x - 8

f'(x) : 6x2 -''8x + 7

f"(t) -j l2x - I

f"'(x) : 12

f""(x) -- o

Ikrenaturunandarifungsinoladalahnol,malrasemuatunrnantingkntfrnglebihtingdakan nol.

Kita telah memperkenalkan tiga notasi untuk turunan (sekarang disebut juga turanon

pertama)dariy =flx). Mereka ^ffi ^ ,( f ' ( * ) D' t f r lu '- - - - - - - - - - _ - - - - .

masing.masing disebut, notasi aksen, noto,i d3^ notasi Leibniz. Terdapat sebuah

variasi dari cara notasi J;; - f "mi,r' - yang kadang kala akan kita pakai juga' Semua

notasi in imempunyaiper luasanuntukturunant ingkat t inggi ,sepert id iper l ihatkandalam bagan pua, U"rn* berikutnya' Khususnya perhatikSn notasi bibniz' yang

walaupun nrwet - kelihatannya palini cocok untuk lribniz. Yang, menurutnya, lebih

wajar dari Pada menuliskand2v

sebagar I7*(3)

\ Dikc{ahui

.(a) Tentukan f(t) untuk x * 0 dengandalil yang ada.(b) Tentukan ,/(O) aati definisi turunrn'

i"i ro"jurt- bahwa /'(x) tak-kontinupada r = 0.

, t ^

Bab 3 Turunan 1e d ?n 'n'r

{ }^i'Cara penulisan (notasi) untuk turunan ddriy,=l(x)

J Lo"h." al C \t.ou.,1lr., -^rv ̂

JC

r ' . f

. l

l 5 l iI

t. }r'f, ti}./

I

CONTOH I Jikay = sin 2x, cai dtyl&t, f ylara, dtndr2yl&r2

Penyeleuian

!: rcos 2xdx

f): -z'sinzx

fr: -zrcosz,

!ol): rn,rnr,

drt !, : 2'"o" 2tdx '

:

#:2 t2s in 2x

l:

I

KECEPATAN DAN PERCEPATAN Dalam Pasal 3.1, kita memakai pcnprtian keccpaturscsaat untuk memotirasi definisi turunan. Kitr akn mengkaji ulang pcngertian ini dcnganmemakai sebuah contoh..Juga, sejak saat ini kita alcan memakai kata tunggal kecepatansbagar gnnti istilah kuepan sevat ymgbbih tidak praktis.

/

t52 Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid I

CONTOH 2 Sebuah benda bergerak sepanjang gpris koordinat sehingga posisi s-nya me-

menuhi, s = 2t2 - l2t + 8, dengan s diukur dalam sentimeter dan t dalam detik. Ten-tukan kecepatan benda bilamana t = I dan t= 6,Y:apan kecepatannya 0? Kapan iapositi{?

Penyele uian Jika kita memakai lambang r(r) untuk kecepatan pada saat .r, maka

ds, \ t ) : i :

4 t - 12

Jadi.

u(l) : 4(l) - 12: -8 cm/detik

u(6) : (6) - 12: l2cmldetik

Kecepatan 0 bilamana 4t - 12 = 0, yaitu, pada saat r = 3. KecePatan positif bilamana4t - 12 ) 0, atau pada saat r ) 3. Semua ini dipedihatkan secara skema dalam Gambarl .

r - 0 , s = 8 , v : - 1 2t t

Tentu saja, benda tersebut bergerak sepanjang sumbus, bukan pada jalur di atasnya.

Tetapi jalur kita memperlihatkan apa yang terjadi pada benda itu. Jika | = 0 dan t = 3, ke-

cepatan negatif: benda bergerak ke kiri (mundur). Pada saat t = 3 ia "diperlambat" ke kece'

patan nol, kemudian mulai bergerak ke kanan bila kecepatannya positif' Jadi, kecepatan

negatif bersesuaian dengan gerakan benda itu ke arah berkurangnya s; kecepatan positif

beisesuaian dengan gerakan benda itu ke arah bertambahnya s. Pembahasan yang menda'

lam mengenai butir-butir ini akan diberikan dalam Pasal 4.8. I

Terdapat perbedaan teknis antara perkataan kecepatan (velocity) dengan JaTu (speed).Kecepatan (velocity) mempunyai sebuah tanda yang dihubungkan dengannya; mungkinpositif atau negatif. Iaju didefinisikan.sebagai nflai mutlak kecepatan. Jadi, dalam contoh

dr atas, laju pada saat f = I adalah l-81 = 8 cm/detik. Pengukur dalam kebanyakan ken'

daraan adalah pengukur laju (speedometer); ia selalu memberikan nilai-nilai tak negatif.

Sekarang kita ingin memberikan tafsiran fisik mengenai turunan kedva d2 sldt2. Tentu

saja, ini hanya turunan p€rtarna dari kecepatan. Jadi, ia mengukur laju perubahan kecepat'

an terhadap waktu, yang dinamakan P€rcePatan. Jjka dinyatakan.oleh r, maka

Bab 3 Turunan 153

Dalam Contoh 2, s = 2t2 - l2t + 8. Jadi,

dsu - - : 4 t - 1 2

dt

o : * : cctt'

Ini berarti bahwa kecepatan bertambah dengan suatu tingkat yang tetap sebesar 4 cm/de. Itik setiap detik, yang kita tuliskan sebagai 4 cm/detik/detik.

CONTOH 3 Sebuah titik bergerak sepanjang garis koordinat mendatar sedemikian sehing-ga posisinya pada saat r dinyatakan oleh

s: 13 - l2t2 + 36r - 30

Di sini s diukur dalam meter dan r dalant detik.(a) Ikpan kecepatan 0?(b) Kapan kecepatan positif?(c) IGpan titik bergerak mundur (yaitu, ke kiri),(d) IGpan percepatannya positif?

Penyelesoian

( a ) u = d s l d l = 3 t 2 - 2 4 t + 3 6 = 3 ( r _ f 2 ) ( t - 6 ) . J a d i r = 0 p a d a t = 2 d a n t = 6 .(b) , > 0 bilamana (t - 2)(t - 6) > 0. Kita pelajari bagaimana memecahkan persama-

an kuadrat dalam Pasal 1.3. Penyelesaiannya adalah {t: t<-2atau t )6}ataudalam notasi selang, ( - crr,2) w (6, .o): lihat Gambar 2.

(+ ) (0 )l l l

(-) (0)t t l

( + )I

2

GAMBAR 2

(c) Titik bergerak ke kiri bilamana y ( 0 - yaitu, bilamana (t _ Z)(t _ 6) <0. Ke-taksamaan ini mempunyai penyelesaian berupa selang (2,6).

'(d) o = dvldt= 6t - 24= 6(t - a). Jadia ) 0 bilamana r)4. Gerakan tit iksecaraskematis diperlihatlan dalam Gambar 3.

G.{,MBAR 3 I

MASALAH BENDA ,ATUH Jika sebuah benda dilempar ke atas (atau ke bawah) darisuatu ketinggian awal so meter dengan kecepatan awal us meter/detik dan jika s adalahtingginya di atas tanah dalam meter setelah r detik. maka

s = - 1 6 f 2 + u o t + s o

FI

/

t v Kalkulus dan GeometriAnalitis Jiltd I

Ini menganggap bahwa percobaan berlangsung dekat piimukaan laut dan bahua tahmanudua dapat diabaikan. Diagram dalam Gambar 4 melukiskan situasi yang kita bayangkan.

GAMBAR4

CONTOH 4 Andaikan sebuah bola dilemper ke atas dari puncak sebuah gedung yangtinggnya I 60 kald dengan kecegatan awal 64 loki/detik.

(a) Kapan ia mencaEai ketinggian maksimum?(b) Berapa ketinggian maksimumnya?(c) Ibpan ia membenhrr tanah?(d) Dengan laju berapa ia rnembcntrr bnah?(e) hrapa p€rcepatanry a pxda t = 22

Penyeleuion Di sini s6 = 160 dan vs = 64, sehingga

(a)

(b)

(c)

s: -16t2 + gt + 160

dsu : ] : - 3 2 t + 6 4

tlt

doo :

* : _ s z

Bola rncncapai kctinggian maksimum peda mlcu kccepatannya 0 - yakni, pedewakU -32r+ &= 0,atau pada *aktu r= 2detik

Ptdz t = 2, s = -16(2)2 : 64(2)+ 160= 22A ka}j.

Bola membentu tanah pada uaktu r = 0 - yakni, pada *altu

- 1 6 t 2 + 6 4 r + 1 6 0 : 0

I

Bab i Tfurunan

Jika kita bagi dengan -15 dan gunalqn rwrus aDc, kita perdeh

t 2 - 4 t - 1 0 : 0

(d)

G)

. 4 + ! 1 1 6 + n q x z J u

ffit@F,-{

q

I

I

Ur&nlkta

Air tiris keluar dari sebuah tangki berben-tuk silinder pada nratu tingfat yang se-banding dengan kedalaman airnya.

Suatu roda bcrputar rcara konstan 6 pu-taran per menit.

Kepadatan (dalam gram per cm) suatukawat pada suatu titik adalah dua kalijaraknya dari ujung kirl

Tinggi nratu pohon bertambah secarakontinu, ekan tetapi denEan ting*at yangmakin lama makin lambat.

Brla V menyatakan vo-lume air pada saat f makad V7;

= -*o'

= = 6(2tr)at

dt

Bila m menyatakan massax cm bagian kiri kawat,

. d mrrlirxa 7;

= tx.

# 'o

trto&I lfatenotilct

#, o,

: 2 + \ F

Hanya jawab positif yang berarti. Jadi, bola membentur tatrah pada t = 2 + lf14^s 5,74 detik.Pada r= 2+ \ f l4 ,v = -32(2+tFul+ 64-- l lg ,T3.Jadi ,bolamembentur ta.nah pada laju I I 9,73 kaki/detik.Percepatan selalu -32 kaki/detilddctik. Ini adalah perceparan gravitasi dekatpermuloan laut.

PEMBENTUKAN MODEL MATEMATIS Galileo memang benar dalam menyatakanbahwa buku tentang alam ditulis dalam bahasa matematika. Tentu saja, lembagaJembagailmiah telah membuktikan kebenarannya. Pekerjaan mengungkapkan suatu kdjadian fisikadan menyajikannya dalam lambang-lambang matematika dinamakan pcmbcntuken modelmetcmetis. Salah satu unsur pokoknya adalah menerjemahkan uraian-uraian kata kedalam bahasa matematika. melakukan hal ini, khususnya yang menyangkut tingkat per-ubahan akan menjadi semakin penting sejalan dengan pembahasan kita. Beriku.t adalahbeberapa gambaran scderhana.

1 5 5

/

156 Kalkulus dan GeometriAnalitis' IilA I

Penggunaan bahasa matematika tidak .terbatas hanya untuk besaran-besaran fisikasaja; akan tetapi juga sesuai untuk ilmu-ilmu sosial, terutama ekonomi.

CONTOH 5 Kantor &rita Antara melaporlon bulan Mei 1980, bahwa pengangguran ber-tambah dengan tingkat yang semakin tinggi. Di samping itu, harga makanan naik tetapidengan tingkat yang lebih lambat dari pada sebelumnya. Tafsirkan pemyataan-per-

nyataan ini dalam bahasa kalkulus.

Penyelexbn Andaikan u = ^t) menyatakan jumlah orang yang menganggur pada waktur. Walaupun rsebenunya meloncat dalam besaran satuan, kita ilnrti kebiasaan bakudalam menyatalzn u deh sebuah lorva mulus manis, seperti dalamGambar 5. Untuk

spnFtakan pengangguran bertambah adalah mengalo.kuul duldt ) 0; untuk mengata-kan bahwa ia bertambah pada tingkat yang semakin tinggi adalah mengatakana2u1dt2 )0.

Serupa, jika p = s(r) mewakili harga makanan (misalnya" baya lhas toko makan.

an safir hari untuk satu orang) pada waktrr f, maka dpldt ) 0 tetapi d2 pldt2 ( 0; lihatGambar 6.

GAMBAR5 GA}IBAR6

soAL-soAL 3.7

I

Dalam Soalsoal 1-8, cari dsYldrt

1 . Y : x t + 3 x 2 - 2 x - 8

2 . Y : 2 x s - x n

3. y: (2x + 5)a

4. y : (3x - 2)s

5' Y: sin(3x)

6. Y: cos(x2)

I7 . v : -

x - J

t. Y: --I-�

Dalam Soal*oal 9-16, cai1"(21.

9. f(x) :2x3 - 7

10. /(x) = 5x3 + I

Ir r . f ( t ) : 1

12. f(u): 2 u - 5

13. /(x): x(x2 + l)3

2 x + lA . f ( x ) : ; r + l

15. /(x) = sin2(u)

16. /(x) = xcos(1tx)

I

Bab 3 Turunot

17. Andaikan nl = n(n - lXz - 2)

. . . 3 . 2 ' l . J a d i 4 l = 4 ' 3 ' 2 ' l = 2 4

d a n 5 ! = 5 ' 4 : 3 ' 2 . l . K i t a b e r i n !nama z faktorial. Buktikan bahwaD ! ( x D ) = n !

18. Dengn memakai lambang fakto-

rial dari Soal l?. cari sebuah rumus untuk

Dn(anx" * 4 , - rxn- r + " ' + a f i + ao)

19. Tanpa melakukan Perhitunganapapun, cari tiaP turunan

(a) D1(3x3 + 2x - 19)

o) Dl2(100xtr - 79x'o)(c) Dlr(x'� - 3)s

20. Cari sebuah rumus untuk D2 1..llx).

21. Jika .f(x) = x3 * 3xz - 45x -.6,

" cari nilai f" pada setiap titik nol dari /' -

yakni, pada setiap titik c di mana /'(c) = 0'

22. Andaikan g(t) = at2 .+ bt + c

dan 3( l ) = 5 , g ' ( l ) = 3 , dan S" ( l ) = -+ '

C-zi a, b, dan c,

Dalam Soal*oal 23-28, sebuah benda ber-gerak sepanjang sebuah garis koordinatmendatar sesuai dengan rumus s = flf),dimana s, jarak berarah dari titik asal, ada-lah dalam kaki dan r dalaln detik. Dalam

tiap kasus, jawab pertanyaan-pertanyaanberikut (lihat.Contoh 2 dan 3).

(a) Berapa v(r) dan a(t), kecepatan danpercepatan pada waktu t?(b) Kapan benda bergerak ke kanan?(c) tkpan ia bergerak ke kiri?(d) Kapan perc€Patan negatif?(e) Gambarkan sebuah diagram skema-tis, yang memperlihatkan gerakan benda.

1 3 . s : r l t - 2 1 2

A . s : t 3 - 6 t 2

2 5 . s : t t - 9 P + 2 4 t

2 6 . s : 2 t 3 - 6 t + 5l 6

2 7 . s = 1 2 + - _ ] . ? > 0t

42 8 . s : f + - , f > 0

t

2 9 . J i k a t = i j , - 5 r 3 + l 2 f , c a i ^kecepatan dari benda yang bergerak bila-mana percepatannya nol.

t57

3 0 . J i k a r = - a ( r o - 1 4 t 3 + 6 o t 2 ) ,cari kecepatan dari benda yang bergerakbilamana percepatannya nol.

31. Dua partikel bergerak sepanjanggaris koordinat. Pada akhir r detik jarak-jarak berarah mereka dari titik asal, dalammeter, masing-masing diberikan olehsr = 4t - 3tz dan sz = t2 - 2t.(a) Kapan mereka mempunyai kccepatansama?(b) Kapan mereka mempunyai laju sama?(Laju sebuah partikel adalah nilai mutlakkeccpatannya).(c) Kapan mcreka mempunyai posisisama?

32. Posisi dua partikel P1 d,an Pr,pada sebuah garis koordinat pada akhirf detik masing-mdsing diberikan oleh sr =3 f - l 2 f * l 8 r * 5 d a n s 2 = - t 3 + 9 t 2 ' _ �l2t. Kapan dua partikel itu mempunyaikecepatan sama?

33. Sebuah benda dilempar langsungke atas pada ketinggian s = -1612 * 48r+ 256 kaki setelah r detik (lihat Contoh4).

(a) Berapa kecepatan awalnYa?(b) Kapan ia mencapai ketinggian

maksimum?(c) Bprapa ketinggian maksimumnya?

El tal Kapan ia membentur tanah?E (") Dengan laju bcrapa ia membentur

tanah?

34. Sebuah benda dilempar langsungke atas dari permukaan tanah dengan ke-cepatan awal 48 kaki/detik kira-kira ber-ada pada ketinggian r = 48t - 1612 kakipada akhir r detik.(a) .Berapa ketinggian maksimum yang

dicapai?(b) Seberapa cepat ia bergerak, dan kearah mana, pada akhir I detik?

(c) Berapa lama yang diperlukan untukkembali ke posisi semula?

E fs. Sebuah peluru kendali ditembak-kan langsung ke atas dari tanah dengan ke-cepatan awal 16 kaki/detik. Ketinggiannyasetelah t detik diberikan oleh s = yof -

1612 kaki. Berapa seharusnya kecepatsnawal peluru kenddi itu agar mencapaiketinggian maksimum I mil?

36. Sebuah benda dilempar langsungke bawah dari puncak sebuah karang de-

/

15t

ngan kaccpatan awal vq kaki/detik kira-

ki.ra jatuh sejauh s = vot I 16r" kaki sete-

lah t detik. Jika ia membentur permuka-

an laut di bawah setelah 3 detik dengan ke-

ccpatan l4O kaki/detik, berapa tinggi ka-

rang tersebut?

37. Sebuah titik bcrgcrak scPar\iang

garis koordinat mcndatar sedemikisn se

hingga posisinya pada saat t dirinci oleh

s = f - g f - z+ t - 6 . D is in i rd iukur

dalam scntimctcr dan t dalam detik. Ka-

pan titik itu bcrtambah lambat, yakni'

kapan lajunYa bcrkurang?

38. Yatinkan diri anda bahwr se-

buah titik yang bergerak sepanjang se-

buah garis adalah semakin lambat bila-

mana kecepatan dan percepatannya mem'

punyai tanda berlawanan (lihat Soal 39).

39. Terjemahkanlah yang berikut ini

ke dalam bahasa turunan pert'ma, ketlua,

dan ketiga darijarak terhadap waktu'

(a) Laju mobil tersebut sebanding de-

ngan jarak yang telah ditempuhnya'(b) Mobil itu bertambah cePat'

(c) Saya tidak mengatakan bahwa mobl

itu makin lambat; Saya katakan tingkat

pertambahan kecepatannyi yang berku-

rang.(d) Kecepatan mobil itu bertambah de-

ngan l0 mil Per jam setiaP menit'

(e) Mobil itu makin lambat secara ter-

atur samPai akhirnYa berhenti(O Mobil itu selalu menempuh jarak

yang sama dalam interval waktu yang

sama.

40. Terjemahkanlah yang berikut ini

ke dalam bahasa turunan'(a) Air menguap dari tangki itu dengan

suatu tingkat Yang konstan'(b) Air dituangkan ke dalam tangki itu 3

galon per menit akan tetapi juga ada ke-

bocoran I sabn Per menit.(c) Oleh- krrena air yang dituangkan ke

dalarn tangki kerucut pada tingXat yang

konstan, permukaan air meninggi pada

tingkat yang makin lama makin lambat'

(d) Inflasi dijaga tetap pada tahun ini

akan tetapi diperkirakan akan naik sema-

kin cepat dalam tahun dePan.

Kalkulus dan Geometri Analitis IilA t t..

(e) Pada saat ini harga minyak sedang

merosot tajam, akan tetapi kecenderung-

an ini diperkirakan akan berkurang dan

kemudian akan berbalik dalaro tempo 2

tahun.(f) Suhu badan David masih tetap naik,

akan tetapi kiranya penicillin akan segera

menawarkannYa.

41. Terjemahkanlah pernyataan-per-

nyataan berikut ini ke dalam bahasa

matematika seperti Pada Contoh 5.

(a) Harga sebuah mobil terus bertambah

dalam tingkat yang makin lama makin

tinggi.(b) Dalam 2 tahun terakhir ini, Amerika

Serikat melanjutkan pengurangan kon-

sumsi minyaknya, akan tetapi dalam ting-

kat yang makin lama makin rendah.

(c) Populasi di dunia terus berkembang,

akan tetapi dalam tingkat yang makin

Iama makin rendah.(d) Mobil itu makin lama makin cepat

pada tingkat Perubahan Yang tetap'

(e) Sudut Menara Miring di Pisa terhadap

garis vertikal bertgmbah lebih cepat.(O Keuntungan Perusahaan UPPer

Midwest bertambah dengan lambat.

(g) Perusahaan XYZ telah merugi' akan

tetapi dalam waktu dekat nanti situasi

ini akan berubah.

42. Terjemahkanlah setiap pernyata-,

an berikut yang berasal dari surat-surat

kabar ke dalam bentuk pernyataan turun-

an. (a) Di Amerika Serikat, rasio R hu-

tang pemerintah terhadap pendapatan

nasionalnya tetap tidak berubah di sekitar

28Vo sampai dengan tahun l98l akan te-

tapi, (b) kemudian rasio ini mulai mening-

kat dan terus meningkat secara tajam,

mencapai 36% pada tahun 1983. (c) IMF

menerbitkan daftar yang menunjukkan

bahwa laju pertumbuhan R lebih besar di

Amerika Serikat dari pada di Jepang'

43. Leibniz mendaPat suatu rumus

umum untuk \(u") di mana u: dan u

adalah sama-sama fungsi r. Dapatkah'

Anda menemukannYa? Peuniuk: Mulai'

lah dengan mencoba n = l, n = 2, n = 3'

Bab 3 Turunan

3.8 Pendiferensialan lmplisit

Dengan sedikit usalu, kebanyakan malusiswa akan mampu melihat batrwa grafik dui

l t + 7 Y : " t

tampak seperti apa yang diperlihatkan dalam Gambar l. Partilah titik (2, 1)terletakpadrgrahk, dan tampaknya terdapat sebuah garis ringgung yang terumuskan dengen baik pade

titft tersebut. Bagaimana kita nrcncari kemiring-an garis dnggurU ini? Mudah.anda.dapat men-jawab: hihrng saja dyldx pada titik itu. Tetapiitlah kesukarannya, kita tidak tahu bagai-mana moncari dyldx dalem situasi inl.

Elomcn baru dalam masalah ini adalahbatrwa kita menghadapi sebuah penamaanyang secara gamblang (cxplisit) tidak tcr-selesaikan udtuk y. Apakatr mungkin untukmencari dyldx dzlan keadaan scperti ini, Ya,

diferensialkan kedua ruas persirmairn

GAMBAR Ty 3 + 7 y - x t

tcdradrap x dan samakan hasil-hasiilnya. Ddam melakukan ini, kita antgaP bahwa pcr'

sanaan yang dibcrikan memant mcncntukan / sebgal suahr funpi r (hanya saja kita

tidak tahu bagpimana m€ncarinya secara eksplisit), Jadi, setelah memakai Anran Ranaipada suku pcrtama, kita peroleh

^ , d y - d Y3y ' . f t+ l f t :3 rz

Yang belakangan dapat disclesaikan untuk dyldtc sebagu berikut.

: i Gv' * 7\ :3x2d x ' '

dy _ 3x2dx 3v2 +7

Perhatikan bahwa ungkapan kita unnrk dyl& mencakup x dan y, nratu kenyataanyang rcring menyusahkan. Tetapi jika kita hanya ingin mencari kemiringan pada sebuahtitik di mana koordinatnya diketahui, tidak ada kesukaran. Di (2, l),

dy : 3?) ' � :12 :gd x 3 ( l ) ' + 7 1 0 5

Kemiringan artahh f

Mctode yang baru saja digembarkan unttrk mencan dy/e tanpa terletrdh dahulumcnyelesaikan pcrsamaan yang diberikan untuk y secara gamblang dalam bentuk x di-scbut pcnffereodalsn implbit. Tetapi apakah metode tersebut masuk akal - apakahia memberikan jawaban yarg benar?

. ' t=--J

y 3 + 7 y = x 3

/

160 Katkulus dan G eometfi Amfi'.

sEBt AH CONTOII YANG DAPAT DIPERIKSA untukmcmbuktikan kebenaran motodc

ai"to, lihatlah contoh b€riku!, yang dapat dikerjakan dengan dua cara'

PenYelctrion

lDroDE 1 Kitr $pet menyelesaikdn penamaan yang dibedksn secara gamblang untuk

/ lcb.ti bcilot.

Y { 4 * ' - 3 ) : x t - 1

x 3 - 1t : o ; ; t

s,ttv (4x2 - 3{3x2) - (xt - lx89 - 4x4 -.9x2 + 8x

f i : f f i : - 1 a ; - g -

METODE 2 (Pcndiferensialan Implisit). Kita samakan turunan'turunan kedua ruas da'

ri4* 'Y - 3Y: xt - |

S€telah memakai Auran Hasilkali pada suku Pertama, kita dapatlon

4 ' z . d l * v . 8 x - 3 ! : 3 r 'd x " d x

d v . . .f ; {+* ' -

3) : 3x2 - 8xY

dY 3x2 - 8xY

a" : - q ; t

- I

walaupun jawab ini kelihatan berlainan dari jawab yang diperoleh terdahulu, tetapi

keduanya sama. Untuk melihat ini, gantikan y = (x3 - l)l(4x2 - 3) dalam ungkapan

wfiik dyl dx yang baru saja diperolch'

dy 3x2 - 8xY -d*: a ; t -7

-3 x 2 _ 8 x #

l2xa - 9x2 - 8x4 + 8x 4x4 -9x2 +8x

(4x2 - 3)2

BEBEMPAKESUKARANYANGTAKKENTARAJ ikasebuahpenamaanda lam.x dan y menentukan sebuah fungsi y = /(x) dan fungsi ini terdiferensialkan, maka metode

;;idr;;;idan implisit akan menghasilkan sebuah ungkapan yang benar untuk dvldx.'Terdapat

dua 'Jika" besar dalam pemyataan ini'

Pertama Pe rhatikan Persamaan

x z + y z : - l

4 x z - 3

(4x2 - 3)2 I

i

i l trn'- 'BabS-Turunan 16l

b tidak mempunyai penyelesaisn dan karcna itu ti&k mcnenhrkan suatu fungpi.Sebalikrya,

x , + v 2 : 2 5

menentukan fungsi-fungsi y:f(x): Jr|:7dan fungsi v =g(x)=-J25 - xz.Gta'fikgrafik mereka diperlihatkan ddam Gambar 2.

_ unhrngnya, fungsr ini keduanya terdiferensialkan pada (-5, 5). Rrtama perhatikanI Ia memenuhi

x2 + lf(x)12 :25

Bilamana kita diferensialkan secara implisit dan menyelesaikan untuk / r1x;,

kita peroleh

2x + 2f (x)f'(x) : 0

I' 1

f ' ( .x): -+: -- j :J$) J25 - x2

Perlakuan serupa secara lengkap terhadap g(r) menghasilkan

g'(x) : -#:

unfi* kcpeduaa praktis, kita dapat memwforeh kodw hail ini scuadengan pendiferernidan secara implisit dari x2 I-y, :ZS. tni memborikan

zx + zyfi:o

d v - . l P . ' j i k a Y : / ( x )d': - '-l-5:-jika Y: s(x)

Secara wajar, hasilnya identik dengan yang diperoleh di atas.

I

J25 - x2

t

setemps*]

F

r1a1 :y6=V

GA,ITIBAR 2

ckl = -y'25 -x2

/

t62-

Kalhthts dst Geofrtri Analitis Jilid '1

Pcrhatikan bohVra adalah culruP untrk s3ngCtshui dylbc = -xly 8lgt daPat mc'

n€ra;k n hadl-h$il lcita. Andaiken Ut" ingln narlgetahui kemiringan garis dnggug pada

U.g.-* xz + yz : 25 bilamrnt r = 3. t{ilai-nilai .y yang berpadanur adalah 4 fui -4

firiringan di (3, 4) dan (3, -4), mrtrt-mdng rliperoleh dari penggantbt -xlv '6�'alah

-i a""l (lihat Gambar 2)'

Untuk mcryulitkrn kcrdro, kitr tnfufu bhn

x 2 + Y 2 : 2 5

tnsnentukan baoyak fungi lainnya. Pandang fuilgsi h yang didefinisitan otch

I J x - , j i l € - s < x < 3h(x)= l - " , "=*

i f ta 3<x<5

la iura mernenutri x' + yz = 25, karena

r''iU,(t)12 = E. Tetapi ia battlqn ddak

kontinu di x = 3, schirryga tetrtu 38ja tidak

mcmpunyai tuunan di sana Qihat Gambar 3)'

Scmontara subyck fungpi tt4pltsit mcnuiu

kc masdah teknis yang sukar (ditangani dalaml

kalkulus lanjut), masalah-masalah yang kita

pclajui mcm$myai penyelcsaian langsuttg,

GAIIBAR 3

I_EBIH BANYAK coNTOH Dalam contoh+ontoh berikut, kita anggap bahwr pcrsunt'

- y*g dibcrikan tnencntukan satu atau lebih fungri'fungsi terdifcrcnsidkan yang Urun-

--io-n*rya dapat dicari <lengan menerapkan pen<lilerensialan implisit.

CONfi)H 2 CndYldr lihr'* 5Y3 =1 4 9'

Penyeledot

*r* *5v') : fte + st

?sc + rlyzfl: r

d y l - Z x- - = -dx l5Y'

Y = hlxl

I

Bob 3 Turunan

CONTOH3 Cari DtY ilrl- f + fy- l0ya : g.

knyelcvian.

D,(tt + t2y - l}ya): D(0)

3t2 + t2D,;' + y(2t) - 40y3D,y : g

D,y{t ' - ' lOYt) : -3t2 - 2tY

3t2 + 2tvn , r - 'u t t - 4 O y ! _ f

CONTOII 4 Cari penamaan garis singgung padr kurva

Y t - x Y z + c o s x Y : 2

di titik (0, l).

Penyelevian untuk menyederhanakan, kita gunakan notasi 7' unttk dyfdx. Bilamanakita mendiferensialkan kedua ruas dan menyamakan hasilnya, kita peroleh

3y'y' - x(2yy')'- y2 - (sin xy[xy' + y) : 0

y'(3y' - 2xy - xsinxy) : y2 +ysinxy

, y 2 * Y s i n ' x Yv : T f - 2 x y - x s i n x y

Di (0, l), v : :. sehingga, pe$atnaan garis singgung di (0, l) adalatt

y - r : i ( x - 0 )

ATURAN PANGKAT LAGI Kita telah mempelajari bahwa D,(x') : nxo- 1, di maoa nadalah sebarang bilangan bulst. Sekarang ini kita perluas pada kasus di mana n adalatrtilangan rasional sebarang,

Btkti Ibrena r rasional, maka r dapat dituliskan sebagpi p/q,dr manap dan 4 adalahbilangan-bilangar bulat dengan a ) 0. Andaikan

l : Y r : YP le

163

I

I

LJ-

/

t54

Maka

f : x o

dan, dengan pendiferensialan irnplisit,

Kalkulus dan Geomefii Analitis Jilid I

q f - tD 'Y : PxP- r

Jadi,

^ pxP-r p x l - r p xP-r),t : sF-

: a@iiiF-

: i r,=;n

: l x r - r - p + p l c - P * o l e - r - r r r - rq q

Kita telah memperoleh hasil yang dikehendaki, tetapi - secara jujur - kita harus me-nunjukkan kekurangan dalam argumentasi kita. Dalam langkah pendiferensidan irnplisit,kita anggap bahwaDry ada - yaitu, bahwa y = xPR terdiferensialkan. Kita dapat meng.bi kekosongan ini tetapi karena sukar; maka kita pindahkan pembuktiar ke Apendiks@asd A.l, Teorenn C).

CONTOHS Cari D*lW | - 2xttrt * 4x3ta - 6fy,ztt

Penyelewian Pertama kita tulis

D"! : 2D,(xt rt31 + 4D,1x3t4) _ 6D,(x- 2r3)

Kemudian, mcrnakai aturan yang baru saja dibukdkan.

D* ! : 2 . l t ya r t + 4 . f , x - t t 4 - 6 ( - z ) x - i l 3

: +x8t3 + 3x- r t4 + 4x- 5t3

CONTOH6 Jikay : !/F - lt + n,cai dyldt.

Penyeleviwt Pikirkan ini sebagai

y : u r l z d a n u : t a - 3 t + 1 7

dan terapkan Atuan Rantai.

d y :dt

- 3 )

I

I

I

dy dud"d t

l r \

\i"-'' '){+t':&)n" -3)

4 t 3 - 3

2rAr-it + n

.. \'-

Bab 3 Turunan

soAL-soAL 3.8

165

Dengan menganggap bahwa tiap pennmaandalam Soal*oal l-12 mendefinisikan se-buah fungsi r yang terdiferensialkan, cariDry memakai pendiferemialan irnplisit.

l . x 2 - Y 2 : 9

2. 4x2 + 9y2 :36

3 . x Y : 4

4. b2x2 + a2y2 - a2b2,

di mana c,b konstanta

5 . t y ' - x + 1 6 : 0

6. x3 - 3x2y + lgxy = 0

7. 4x3 + llxyz - 2yt :0

S. '6, + 3y: 1gt

9 . 6 x - J X y + x y t - y 2, '2

1 0 . + - l - r t r zx '

l l . x y + s i n y : 1 2

12. cos(xy) : y2 + 2x

Dalam Soal-ood 13-18, cari peramaangris singgurg di titik yang ditunjuk (lihatContoh 4).

13. x3y * y3x = l0; (1,2)

14. x2f * 3xY: l0y; (4 l)

15. sin(xy) : y; (nl2,l)

16. y + cos(xy2) * 3x2:4: (1,0)

17. xztt - ftt - 2y :2: (1, -l)

rt. ' fr + xf :5; (41)

Dalam Soal*orl 19-32, qn dy/tlx (bhatContoh 5 dan 6).

1 9 . Y : 3 x ' t ' * ' J x

f r . y = ! 1 Q - Y t n

12 r . y : J r + i r

\7xt 2 . y = ( r r + l

23. y: JtF - 4x

A y: (xt - 2v1trt

3E. y :@

+AE

%. y: (3x - t ; -sr r

t l . Y : f t + t t t t t

8 . y : v 4 t * . t

IT ) . v : :'

./x2 sin x

3 0 . y : . u / t + s r n 5 x

31. y: J4 +;Gt+ rx)

32. y: V'tantx.+ sinL

33. Jika s2t * f = l, cari ds/dt dandtl&.

34. Jika / = sin(t2) * 2x3, carie/dv.

35. Sketsakan grafik lingkaran

x 2 - 4 x + y 2 + 3 : o

dan kemudian cari persamaan-peflnmaanuntuk dua garis singguns y{nS melaluititik asal. )

36. Cad penramaan grris normal (ga-ris tegak lurus pada garis singgunt) padekurva 8(r2 + y")' = 100(x2 - y\ di(3, l).

3?. Andaikan xy I Y3 = 2. Makapcndiferensialan implisit dua kali terhadapr masingmasing menghasilkan :

(a) xy'+ y + 3y2y' =O;

G) x/ + y' + t' + 3y2y" + 6,$/)2 : 0.

Selcsaikan (a) untuk y' dan gantikan da-lam (b), kemudian selesiikan untuk y".

/

i i166

38. Cari y" jik^ xi - 4y2 * 3 = o(lihat Soal 37).

^ 39. Cari y" di (2, l) jika 2t'y -4y' : 4 (lihat Soal 37).

40. Gunakan pendiferensialrn implisitdua kali untuk mencari .y" di (3, 4) jikax z + y 2 - 2 s .

41. Perlihatkan bahwa garispada .r3 * .yt = axy ai G, *)titik asal.

t a n o : i l z - i l r

| * m1m2

42. Perlihatkan bahwa hiperbol-hiper-bol xy = I dani2 - y2 : I berpotongansaling tegak lurus.

43. Buktikan bahwa grafik dari?52 + y2 : 6 dan y2 :4x berpotongansaling tegak lurus.

44. Andaikan kurva-kurva Cr danC2 berpotongan di (.ro, ys)dengan kemi-ringan masing-masing m1 dan m2. MallxaQihat Sod 28 dari Pasal 2.3) sudut positif0 dari C1 (yaitq dari garis singgung keC1 di (re, /o)) ke C, memenuhi

Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid I

Cari sudut-sudut dari lingkaran x2 + y2 -

I ke lingkaran (x - l)2 + y2 : I padakedua titik potongnya.

45. Cari sudut dari garis .y = b ga-da kurva x2 - xy 1 2/2 = 28 pada titik-titik potongnya di kuadran pertama (li-hat Soal 44).

46. Sebuah partikel dengan m:rss:l ntbcrgerak sepanjang sumb*r schingga po-sisi x dan kccepatan v = dxldt memenuhi

,r{u' - ut): k(xt - xz)di mana ro, xo, dan k adalah konstanta-kgnstanta. Buktikan dengan memakai pen-diferensialan implisit bahwa

tlum

* : - k x

bilamana y * 0.

47. Kurva x2 -xy * y' = 16 merupa-kan sebuah ellips yang berpusat di titikasal dan garis y = x sebagai sumbu utama-nya. Tentukanlah persamaan garis.garissinggung pada dua titik di mana ellips ter-sebut memotong sumbu-x.

48. Tentulian titik-titik pada kurvax2y-*y2 = 2 yang garis singgungnyavertikal, laitu di manadx/dy = g.

normalmelalui

3.9 Laju yang Berkaitan -'Jika variabel / tergantung kepada waktu /, maka turunannya dyldt disebut laju se- ,

saat perubohan. Tentu saja, jika y mengukur jarak, maka laju sesaatperubahan ini juga di' '

sbut kecepatan. Kita tertruik pada beraneka laju sesaat,laju air mengalir ke dalam ember,lalu membesamya luas pencemaran miqfak, laju bertambahnya nilai lopling tanah, danlain-lainnya. Jika y diberikan s@ara gamblang (elsptsit) dalam bentuk r, maka masalah.nya scderhana; kita cukup mendiferensialkan dan kemudian menghitung urrunan padasaat yulg diminta.

Mungkin saja, sebagai ganti diketattuinya y secara gamblang dalam bentuk t, kita me-ngetahui hubungan yang mengaitkany dan variabel lainx dan kita juga mengetahui sesuatutentang eldt Kita masih tetap rnampu mencari dy/dt, kareaa dy/dt dm e/dt adalahbiu{sjn yang berkaitan. Biasanya ini akan memerlukan pendiferersialan implisit.

DUA CONTOH SEDERHANA Sebagi peniapan menyusun pro*Ou, yang sistematisuntuk menyelesaikan masdah laju-laju yang berkaitan, kita bahas dua contoh,

CONTOH I Sebuah balon dilepas pada prak 150 kaki dari seorang p€ngarnat yang ber-did di tanah. Jika balon naik secara lurus ke atas dengan laju 8 metey'detik, seberapacepat jarak antara pongarmt dan balon bertambatr Eada waktu balon pada ketinggian50 kaki?

Bab 3 Turunan 167

Pcnyebsim Andaikan r menyatakan banyaknya detik setelatr balon dilepas. Andaik n/z menyatakan ketinggian balon dans jaraknya dari pengamat (lihat Gambar l). Varia-bel ll dan s keduanya tergantung kepada /; tetapi alas segitiga (iarak dari pengamat

ke titik pelepasan) tetry tidak bsrubah denganbertambatmya r. Kita telsnkan bahwa gambar

n y^Bkita buat sahih untuk scmua r ) 0.Selanjutnya kita bertanya (dar mcnjaurab)

dua portuyaen dsu tentang ft dan s.GAMBAR 1

(a) .Apa yang diketahui? Jatwb: dhl dt = 8.(b) Apa yang ingin kita ketahui? Iovab: Kits irrtln mengctahui ds/dt pada saat h = 50.

Variabel s dan ft berubah dengan waktu (mereka adalah fungsi-fungsi implisitdari t), tetapi mereka selalu dihubrurgkan dengrn pcnannsn Pythagoras

s 2 = h 2 + ( 1 5 0 ) ' �

Jika kita diferensialkan sccara implisit tcrhadap r dan mcmatai Atunn Rantai, kitaperoleh

N * : z n *dt d t

atau

Hubungan ini juga bedaku untuk semua r ) 0.Sekarang, dan htlun sebelumrgu, kita berpaling pada situasi brilamana h = 5O

Dari persamaan Pythagoras, kita lihat bahwa, bilamana ft = 50

d s , d ht n : n d t

+: + x2.53d t J lO

s: v(Or +-(tsof :50/lo

Dengan menggantikan s(ds/ dt) = h(dh/ dt) rmnghasilkan

atduso/10 a4

: 5oG)

I

/

168, +.r. I

Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid I '

Pada saat i = 50, jarak antara bqlon dan pengumt bertamboh dcngan kecepatan2,53 kaki/dctik. I

1CONTOH 2 Nr dituangkan ke dalam bak bentrk kerucut dengan laju 8 dnfrmenil Jika

tinsg bak adalah 12 dm dan F i.tsd pcrmukaur atas adalah 6 &n, seberapa ccpatpermukaan air naik bilamena tinggf permukean adalatr 4 dm?

Penyelewion Nyatakan tinggi permukaan air dalam bak pada saat f sebarang adalah hdan andaikan r jari-jari permukaan air yang berpadanan Qihat Gambar 2).

Dikeuhui bahwa Z volume air dalambak naik dengan laju 8 dm/menit yaitudV/dt = 8. Kita ingin mengetahui seberapacepat air naik - yakni, dh/dt - pada saath - 4 .

Kita perlu mencari sebuah persarnaanyang mengaitkan Iz dan h. Rumus untuk volu-me air dalam bak, V = +fi r2ft, mengandungvariabel r yang tidak diinginkan, tidak diinginkan karena kita tidak mengetahui lajunya'drldt

Tetapi, memakai segitiga*egitiga yangserupa (ihat Gambar 2), lr;.ta mempunyair/h = 6112, sehingga r = hl2. Dengan peng-gartian ini dalam V = +fi r2ft memberikan

TI

GAMBAR 2

sebuah hubungan yang bedaku untuksemua r ) 0.'Sekarang kita diferensialkan secara implisit, dengan

tergantung kepada r. Kita perolehtetap t bahwa ,r

dv 3nh2 dhdt 12 dt

Pada saat ini, bukanny,a lebih dini, kita tinjau sitrrasi bilama^a h= 4. Dengan peng-gantiur h = 4 dan dVl dt = 8, kita perdeh

P men$r€a

,-;\.w,v , 'v4 w,ht

N

dari mana

o! :?=0.637d t n

lllamana ketinggian air 4 dm, permukaan air naik dengan laju 0,637 dm/menit.Jika anda piki*an sejenak, anda menyadari batrva permukaan air akan naik se-

makin lambat dengur bedalunya waknr. Minlnya, bilamana ft = l0

v : n h 't 2

dV nh2 dhd t : 4 A

R\_n(4)2 dh

" 4 d t

a _ 7t(lD)2 dh" -

4 d t

I

t59

sehingga dhl dt = 321 l00tt r 0,102 dm/menit.Apa yang sebenarnya kita katakan ialah bahwa percepatan d2hldf negatif. Kita

dapat menghitung sebuah ungkapan untuknya. pada sebarang waktr r,

sehingga \

3 2 . , d h; : h ' a

Jika kita diferensialkan secara implisit lagi, kita peroleh

0 : F *d t '

_Hh

Ini jelas negatif.

PROSEDUR SISTEMATIS Contoh I dan 2 mengemukakan metode berikut untuk me-nyele sailon masalah laju -laju yan g berkai tan .

Langl@h 1 Andaikan t menyatakan waktu. Gambarlah diagram yang berlaku untuksemua t ) 0. Beri pengend besaran-besaran yang nilainya tidak berubah bila r bertambah,dengan nilainilai konstanta yang diketahui. Berikan nama huruf pada besaran yang ber-ubah sesuai waktu, dan bubuhkan garis-garis yang sesuai dari gambar dengan variabel-variabel ini.

langlah 2 Nyatakan apa yang diketahui dan informasi apa yang diinginkan tentangvariabel-variabel. Informasi ini akan berbentuk turunan-turunan terhadap r.

Itngkalr 3 Tulislah sebuah persamaan yang menghubungkan variabel-variabel yangsahih untuk semua waktu r ) 0, bukan hanya pada beberap saat brtentu.

Langlah 4 Diferensialkan persamaan yang ditemukan dalam langkah 3 secara impli-sit terhadap f. Persamaan yang dihasilkan, memuat turunan-turunan terhadap I, sahihuntuksemua r)0.

Langlah 5 Gantikan persamaan yang ditemukan dalam Langkah 4 untuk semua datayang sahih pada saat tertentu untuk mana jawab masalah disyaratkan. Selesaikair turunanyang diinginkan.

CONTOH 3 Sebuah pesawat udara terbang ke utara dengan kecepatan 640 km/jam me-lintasi sebuah kota tertentu pada tengah hari, dan sebuah pesawat kedua terbang ketimur dengan laju 600 km/jam secara langsung melewati kota yang sama l5 menit ke-mudian. Jika pesawat-pesawat itu terbang pada ketinggian yang sama, seberapa cepatmereka berpisah pada pukul I 3.1 5? "

Bab 3 Turunan

dari mana

rFt..

^ nh2 dhx : - --

4 d t

I

.#("#)

d2h

dt"

I

/

Penyehwian

GAMBAR,3

Kalkulus dan Geometri Analitis tilid I

Longloh / Andaikdt r menyatakan ba-nyaknya jam setelah pukul l2.l 5. Gambar 3mernpertihatkan situasi unfirk semua r ) 0.Juak dalam kn dari kota ke pesswat terbangyang ke utara pada saat t = 0 fuulorl 12.15)diberi pengenal dengan konstanta # = 150.Untuk r > 0, kita andaikan y menyatakanjarak dalam km yang diterbangi oleh pesawatarah utara (setelah pukul 12.15), x jarak yangditerbangi oleh pesawat arah timur, dan .r jarakantara pesawat-pesawat.

Langlah 2 Untuk semua r ) 0, diketahuibahwa, dyl dt = 640 dan &ldt = 6Cl0- Kitaingin mengetahvi dsldt pada saat t = 1, yaitupukul 13.15.

Langlah -l Menurut Teorema PythaSoras,

s 2 : x 2 + ( y . + l 6 o ) ' �

Langtoh 4 Dengan mendiferensialkan secara imy'lisit terhadap t dan memakai AhrranRantai, kita mempunyai

^ ds ^ d , ^ , . - ^ .dYx ; : 2 x j + 2 ( Y + 1 6 0 ) *

atau

ds dx .-. dv' ; : , i + O + r f f i ) A

Langluh 5 Untuk semua t > O, ala@, sedangkan Eada saat

llrusus r = t, x =600, y = 640, dan r = (0frJft+o + too)2 = 1000. Illarnanakita

menggantikan datadata ini dalam penamaan Langkah 4, kita peroleh

t*f = (6mx6oo) + (640 + l6ox64o)

shingga

! : " ,. d t

Pada putul l3.l 5, pesawat?esawat itu berpisab dengar kecepatan 872la'nfiam- I

CONTOH 4 Seorang wanita berdiri pada karang memandang sebuah perahu motor yang

bergorak ke arah paotai tePat di bawalrnya dengan rnenpergunakan teropong. Jika

teropong berada'250 kah di atas permulean laut dan jika perahu npndekat dengan

laju 20 kaki/detik, berapa laju perubahan sudut teropong pada waktu perahu berada

250 lsld dui pantai?

r7

t7lBab 3 Turunan

Penyeleviur

GAMBAR 4

Itnglsh 1 Kita buat sebuah pmbar(Gambar 4) dan perkenalkan variabel-variabelx dand, seperti ditunjukkan.

bngbh 2 Diketahui bahwa dx/dt= -20;tanda adalah negatif karena r berkurang de-ngan bcrlalunya waktu. Kita ingin mengetahuid0/dtprdzsaatr = 20.

Ltntbh J lhri ilmu ukur segtiga,

t ane : a2v)

Longlah 4 Kit^ diferemialkan secara im-plisit memakai kenyataan batrwa Dg tan 0 =sec2d (Contoh 2 dari Pasal 3J). rcL puioier,

w , e ( : I d t

dt 2fidt

Itngbh 5 Pada saat.x = 250,0 adalah nl4ndiandansec 0 = *c.Qrl4)= 2. Jadi,

de - l

a: E : -q04

Sudut berubah dengan laju -Q (X radianidetik. Tandaadalah negatif karena d berkurangdengan berlalunya waktu. I

MASALAH LAf u YANG BERKAITAN SECARA GRAFTK s€ringkali dalam situasi ke-hidupan yang nyata, kita tidak mengetahui rumus untuk suahr fungpi tertentu, tetapi hanyamempunyai grafik yang ditentukan secara empiris. Kita masih tetap mampu menjawabpertanyaan-pertanyaan tentang laju.

CONTOH 5 Kota Bogor memantau ketinggian air dalam tangki air berbentuk tabungdengart alat pencatat otomatis. Secara tetap air dipompa ke dalam tangki dengan laju2400 dmijam. seperti diperlihatkan dalam Gambar 5. Selama suatu periode 12 jaintertentu (dimulai pada tengatr malam), permukaan air naik dan turun sesuai dengangnfik dalam Gambar 6. Jika lrri-Fri tangki adalah 20 dm, berapa laju air yang sedangdigunakan pada pulnrl 7.00?

zff:fit-nt

Teropong

/

t72

2400dm/iam

Kalkulus dan GeometriAnalitis Jilid I

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 t ( j a m )

GAMBAR6

Penyelevian Andaikan / menyatakan banyaknya jam setelah tengah malam, /r ketinggianair dalam tangki pada saat t, dan Z volume air dalam tangki pada saat itu (lihat Gam-bar 5). Maka 2400 - dvldt adalah laju pada mana air sedang digunakan pada sebarangwaktu t Karena kemiringan garis singgung di t =7 kira-kira -3 (lihat Gambar 6), kita

simpulkan bahwa dhldt = -3 Pada saat itu.Untuk sebuah tabung, V = nr2 h, sehingga

V : n(20)2h

dari mana

GAMBAR 5

Prda t = 7,

Jadi penduduk Kotapada pukul 7.00.

: ̂ r#

t v1=4002( -3)x -3770dt

Bogor menggunakan air dengan laju 240o+ 377O= 6170 dm/jamI

dvE

tambah panjang dengan laju 3 cm/detik.Berapa kecepatan pertambahan volume

'kubus pada saat panjang rusuk l0 cm?

T t i'qli Oengan anggaPan bahwa bola sa-bun bentuknya tidak berubah selama bolaitu berkembang, berapa cepat jari-jarinya

bertambah pada saat panjangrya 2 cm, jika

lz+oo-'{

udara ditiupkan ke dalam bola dengan laju4 cm/detik?

4

/ Sebuah pesawat udara, terbangmentlatar pada ketinggian l. km, melintasiseorang pengamat. Jika laju pesawat itutetap sebesar 240 kmljam, berapa cepatjank dari pengamat bertambah 30 detikkemudian? Petuniuk: Gunakan Gambar7 dan perhatikan bahwa dalam 30 detik(rlo jam), pesawat menemPuh 2 km.

Pengamat

GAMBAR.7

I Seorang mahasiswa memakai se-buah sedotan untuk minum dari gelas ker-tas berbentuk kerucut, yang sumbunyategak, dengan laju 3 cm/detik. Jika tinggigelas l0 cm dan garis tengah mulut gelas

6 cm, berapa cepat menurunnya permuka-

an cairan pada saat kedalaman cairan

5 cm?5. Sebuah Pesawat udara, terbang

ke barat dengan kecepatan 400 km/jam,melintasi sebuah kota tertentu pada pu-

kul 11.30, dan sebuah pesawat kedua,pada ketinggian yang sama, terbang ke

selatan dengan kecepatan 500 km/jam, mo-lintasi kota itu pada tengah hari. Seberapacepat mcreka berpisah pada pukul 13.00?Petuniuk: Uhat Contoh 3.

,4-\/

/ f Seorang di dermaga menarik tali

lranf[iikatkan pada sebuah sampan. Jika.

Itangan orang tersebut 12 dm lebih tinggiV daripaAa titik tempat tali diikatkan pada

sampan dan jika ia menarik tali dengankecepatan 3 dm/detik, seberapa cepatpcrahu mendekati dermaga pada waktupanjang tali masih 20 dm?

y'. Seauan tangga Panjang 20 dm ber-sand6r di dinding. Jika ujung bawah tang-ga ditorik sepanjang lantai menjauhi din-ding dengan kecepatan 2 dm/dctik, sebe-rapa cepat ujung atas tangga bergeser menuruni dinding pada waktu ujung bawahtangga sejauh 4 dm dari dinding?

r73

8. Minyak dari kapal tangki yangpecah menyebar dalam pola melingkar..Jika jari-jari lingkaran bertambah padalaju tetap sebesar 1,5 dm/detik, seberapacepat meluasnya daerah yang cukup se.telah 2 jarn?

/ o^; sebuah pipa menglir-paiirdeng6n laju 16 dm/detik. Jika pasir yangkeluar membentuk tumpukan berupa ke-rucut pada tanah yang tingginya selaluY: ga'ris targah atas, seberapa copat tinggi-nya bertambah pada saat tinggi tumpuk-an 4 dm? Petunjuk: Gunakan Gambar 8dan grmakan kenyataan bahwa Z = txr2h.

GAMBARS

10. Seorang anak menerbangkan la-yang-layang. Jika tinggi layang-layang 90dm di atas tingkat tangan anak itu danangn mcniupnya pada arah mendatardengan laju 5 dm/detik, seberapa cepatanak tersebut mengulur benang pada saatpanjangnya 150 dm? (Anggap bcnangmembentuk sebuah garis, wal,aupun se-benarnya anggapsn ini tidak realistis).

16 s.u.r"tt kolam renang panjang-ny"\ddtn, lcbar 20 dm, kedalaman 8 dmpqda ujung yang dalam da:r kedalaman3 dm pada ujung dangkal; alasnya berupasiku empat (lihat Gambar 9). Jika kolamdiisi dengan memompak4n air ke dalam-nya dengan laju 40 dnf/menit, scberapa'cepat permukaan air naik pada saat delam-nya pada ujung yang dalam adahh 3 dm?

to, t ru*n@

I

Pesawat

/

174

12. Sebuah partikel P bergerak sepan-'-idng gafik y = t/ xt - 4, x 2 2, sehingga-koordinat-x ' titik P bertambah dengan

laju 5 satuan/detik. Seberapa cepat ko-

ordinat-y '

titik P bertambah pada saat

x = 3 ?

13. Sebuah cakram baja memuai se

lama dipanaskan. Jika jari'jarinya ber-

tambah dengan laju 0,02 cm/detik, se-

borapa cepat luas salah satu mukanya ber-

tambah pada saat jari-jarinya adalah

8,1 cm?

14. Dua buah kapal berlayar dari pe-

labuhan pulau yang sama' satu ke utara

dcngan laiu 24 knot (24 mil laut/jam)

dan yang lain ke timur dengan laju 30

knot. Kapal arah utara berangkat pada

pukul 9.00 dan yang arah timur berangkat

putul 11.00. Seberapa cepat jarak antara

mercka bertambah Pada Pukul l4'00?

Petuniuk: Andaikan r = 0 Pada PukulI 1 . 0 0 .

i5. LamPu di mercu suar I km di

lepas pantai berputar dengan 2 pttat-

ari/menit. Seberapa cepat sorotan ca'

haya bergerak sepanjang garis pantai

pada saat ia melewati titik I km dari

titik yang berseberangn dengan mercu

suar.

ts 16. Seorang pengintai pesawat

udara mengamati sebuah pesawat yang

terbang ke arahnya pada ketinggian

4000 kaki. Ia mengamati bahwa Padawaktu sudut elevasi sebesar j radial, ke-cepatan pesawat tersebut bertambah de-

ngan laju ,o! radian/detik. Berapa ke-

cepatan Pesawat itu?

I ?. Andi, Yang tingginYa 6 dm, ber-jalan menjauhi sebuah lampu jalan yang

tingginya 30 dm dengan laju 2 dm/detik.(a) Seberapa cepat panjang bayangan-

nya bertambah pada saat Andi sejauh

24 dm dari tiang lamPu? 30 dm?(b) Seberapa cepat ujung bayangannya

bergPrak?(c) Untuk mengikuti ujung bayangan-

nya, pada kecepatan sudut berapa ia harus

mengangkat kepalanya pada saat panjalg

bayangannYa 6 dm?

OAJ Soa,rt Puncak Yang berhadaPan

dengii' alas sebuah segitiga sama kaki

-Kalkulus dan Geomefti Analitis JilA I

dengan sisi yang sama panjangrrya l0O cmbertambah besar dengan laju radial/mpnit.

Seberapa cepat bertambahnya luas segi-tiga pada saat sudut puncak sebesar n/6radian?.Petuniuk: Luas = taD sin 1.

19. Jembatan layang jalan raya melin-

tasi rel kereta api yang berada tegak lurus

100 kaki di bawahnya. Jika sebuah mobil

berjalau dengan 45 milfam (66 kaki/

detik) berada tepat di atas kereta api yang

melaju dengan kecePatan 60 milfiam(88 kaki/detik), seberapa cepat mereka

berpisah l0 detik kemudian?

It. Nt dipompa dengan laju seragam

2 liter/menit (l liter = 1000 sentimeter

kubik) ke dalam sebuah tangki membentuk

sebagian dari kerucut lingkaran tegak' Ting-

gi tangki 80 cm dan jari-jari bawah dan

atas masing-masing sepanjang 20 cm dan

40 cm (Gambar l0). Seberapa cepat per-

mukaan air naik pada saat kedalaman air

30 cm? Catatan: Volume Iz, sebagian dari

kerucut lingkaran tegak dengan tinggi ft'

jari-jari bawah a, dan jari-jari atas b adalah

V : \ n h . ( a 2 + a b + b 2 ) .

GAMBAR IO

21. Air keluar;dqi bawah tangki ber-

bentuk setengah/ bola yang jarijarinya

8 dm dengan latu 2 dm/jam. Pada suatu

saat tertentu tarlgki tenebut penuh. Se-

berapa cepat permukaan air berubah pada

saat tingginya /r adalah 3 dm2 Catatan:

Volume segJnen bola dengan jari-jari r

dan t inggi /r adalah rhzlr - ( /r /3)1. (Lihat

Gambar I I ).

I

Bab 3 Turunan

GAMBAR IT

22. Jarum-jarum sebuah jam panjang-

nya 5 cm (arum menit) dan 4 cm (jarumjam). Seberapa cepat jarak antara ujung-ujung jarum berubah pada pukul 3.00?

23. Sebuah tabung lingkaran tegakdengan sebuah piston pada salah satuujung, diisi dengan gas. Volumenya ber-ubah secara kontinu karena gerakan pis-ton. Jika suhu gas dipegang tetap, maka- menurut Hukum Boyle - PV = k, de-ngan P adalah tekanan (pon per incikuadrat), V adalah volume (inci kubik),dan /c konstanta. Tekanan dimonitor me-makai alat pencatat selama satu periode

lO-menit. Hasil-hasilnya diperlihatkan da-lam Gambar 12. Kira-kira seberapa cepatvolume berubah pada saat r = 6,5 jika vo-lumenya adalah 300 incikubik pada saatitu? (Lihat Contoh 5)

1 2 3 4

GAMBAR 12

175

24. Kerjakan Contoh 5 dalam teksdengan menganggap tangki air berbentukbola yang jari-jarinya 20 kaki (Lihat Soal2l untuk volume sebuah segmen bola).

25. Sebuah tangga yang panjangnyal8 kakibersandar pada dindingvertikal l2kaki sehingga bagian atasnya molewatidindin& Kemudian ujung bawah tanggaitu ditarik mendatar menjauhi dindingdengan 2 kaki per detik.(a) Tcntukan kecepatan vertikal dariujung atunya pada saat tangga tersebutmembcntuk srdut 60" terhadap tanah.(b) Tentukan perccpatan vertikal padasaat yang sama.

26. Sebuah bola b4ia berada di dasartangki dari Soal 21. Jawablah pertanyaanyang dikemukakan di sana apabila bola-nya berjari-jari (a) 6 inci, (b) 2 kaki.

7'/. S"Au^n boh salju meleleh padasurfu linekat yang sebanding dengan luaspermukaannya.(a) Tunjukkan bahwa jari-jarinya me-mendek secara konstan.(b) Apabila bola itu meleleh menjadi $dari volume semula dalam waktu satujam, berapa lamakah bola itu akan habismeleleh?

28. Sebuah bola baja' akan jatuh

16 12 kaki dalam r detik. Bola scperti itudiiatuhkan dari ketinggian 64 kaki padasuatu jarak horisontal l0 kaki terhadapsebuah lampu jalan ]an! tingdrlys {gkaki. Seberapa cepatkah bayangan bolaitu bergerak pada saat bolanya menyen-tuh taneh?

I

3.10 Diferensial dan Aproksimasi

Kita telah menggunakan notasi Leibniz dyldx untuk turunany terhadap x. Sampaisekarang, kita telah memperlakukan dyldx sebagai lambang belaka dan tidak mencobamemberikan arti tersendiri pada dy d,an dx. Itulah yang kita usulkan untuk dilakukansekarang.

Untuk memberi motivasi definisi kita, andaikan P(xo, yi adalah titik tetap padagralik y = flx ), seperti diperlihatlan dalam Gambar I . Dengan P sebagai titik asal, perkenal-kan sumbu-sumbu koordinat baru (sumbu*umbu ck dan dy) sejajar dengan sumburumbu

/

176 Kalkulus dan GeometriAnalitis Jilid I

x dan y yang lama. Dalam sistem koordinat yang baru ini, garis singgung di P secara khas

mempunyai persamaan sederhana, yakni dy = m dx, di mana m adalah kemumgannya. Te-tapi kemiringan rn terhadap sistem koordinat baru sama saja seperti terhadap sistem xy lama.

Jadi, m = f'(x o), sehingga persamaan garis singgung boleh dituliskan

dv : f ' ( x )dx

Kegunaan gagasan ini terletak pada kenyataan dasar bahwa garis singgung tersebut

sangat dekat pada kurva y = f(x) di sekitar P@o, yi (lihat Gambar 2). Jadi jikar men-

dapatkan pertambahan kecil Ax = dx, Pertambahan yang berpadanan dalath y pada kurva

adalah Ay = f (xo + Ax) - /(x6), sedangkan pada garis singgung adalah dv = f ' (x s)Ax-Tetapi dy merupakan suatu aproksimasi terhadap A,y dan hanya berupa konstanta kali

Ar, yang secara normal lebih mudah dihitung. Kita selidiki percabangan kenyataan ini

nanti dalam pasal ini.

cArBAn I

D IFERENSIAL TERDEFINISI

GAMBAR 2

Bcrikut addah definisi formal dari diferensial.

CONTOH I Cuidy j ika(a) t=x3 - 3x+ l . (b)y= \F + l t . (c)v=sin(xa - 3t2+l l ) .

penyelevian Jika kita mengptahui bagaimana menghitung turunan, maka kita tahu bagai-

mana mengbitung diferensial. Kita hanya menghitung turunan dan mengalikannya

dengan dx.

@) dy : (3x2 - 3) dx

(b) dy: i { r ' + 3x\ - t t2(2x + 3)dx:

(c) dy : cos(xa - 3x2 + 11)'(4x3 - 6x) dx I

Sekarang anda perlu memperhatikan bctrerapa hal. Pertama, karena dy = f '@) ar,

pembagian kedua ruas oleh dr menghasilkan

2 x * 3: A X2n/x2 + 3x

Bab 3 Turunan 177

f'(x) : dyd,

anda dapat melakukannya; menafsirkan turunan sebagai suatu hasilbagi dua diferensial.Kedua, berpadanan terhadap setiap aturan turunan, terdapat aturan diferensial yang

diperoleh dari yang lebih dahulu dengan memperkalikan dengan dx. Kita gambarkanat0ran-aturan utama dalam tabel di bawah.

*r#dffiru.*. , .q1 ! , r ' j "- , ' ^al ,

*&

':&=* u " -

"d'$*u*r$*

,''1ffi*o'ji

-:l' " . :',&=W

I

Ketiga, meskipun definisi dy menganggap bahwa xy adalah sebuah variabel bebas.anggapan tersebut tidak penting. Andaikan y = l(x), denganx =3(r). Maka r adalah varia-bel bebas danx dany keduanya tergantung padanya. Sekarang

7y : g'(t) dt

v: f@(t))dy: f'@(t))s'(t)dt

: f '(x) dx

Perhatikan bahwa dy ternyata adalah f'(x)dx, sama halnya seperti jika x adalah variabelbebas.

Akhimya, kami serukan satu peringatan. Hati-hotiloh membedalan turunan dar dife-rensial. Mereka tidak sama. Bilamana anda menulis Dry atau dy/dx, anda memakai lam_

bang untuk turunan, bilamana anda menuliskandy, anda menyatakan diferensial. Jangan ce-roboh dan menuliskan dy bilamana anda ber-maksud memberi label suatu turunan. Itu akanmenimbulkan kebingungan yang berlarutJarut.

APROKSIMASI Diferensial akan memainkanbeberapa peranan dalam bulqr ini, tetapi untuksekarang penggunaan utamanya adalah dalarnpenyediaan aproksimasi. Kami telah menunjukhal ini sebelumnya.

Andaikan y = f(x), sepe{i diperlihatkandalam Gambar 3. Bilamana x diberikan tam-bahan &, maka .y menerima tambahan yang

dan karena

GAMBAR 3 f l x + A x l = f l x l + d l

1

/

178

berpadanan Ay, yang

Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1

dapat dihampiri deh dy. ladi,flx + Ax) diaproksimasi oleh

Ini merupakan dasar unt rk rmu! @ntoh ylnt mcnyu$ul.

CONTOH 2 Andaikan anda memerlukan aproksimasi yang baik terhadap tFS a^"/52,tetapi kalhrlator rnde rusak. Apa yary mungkin anda kcrjaken?

Pcnyeteviot Prndmg gafik d{i y = 1E-, yang disketsalcan dalam Gambar 4. Bilamana x

berubah dari 4 ke 4;6 makar,Eberubah dari f-= 2ke lG + dy (secan aproksimasi)'

Sekarang

dy:tx-, t2 dx: +d.

rdangkm dix = 4 dan dx = 0,6 mempunyai nilai

dy: +(06)

:9r9: o,ttJadi

uEp x , f i + ay :2 + Q15 :2 ,15

Serupa, dix = 9 dan & = - 0,8;

dt: !=(-0,8) : -9,8

: -0,1334 e 6

Kscnaitu

,fr2 = rF * ay: 3 - Qt33 : 2,867

Pcrhatikan bdtwa dr dan dy dua-duanya negatif dalam kasus ini.Nilai-nilai aproksimasi 2,15 dan 2,867 boleh dibandingkan terhadap nilai-nilai se-

benunya Gampet emFt rngks desimal): 2,148 daul.2#f5,36.

T

it l

/4^_--

I

Bab 3 Twunan

CONTOH 3 Guna&an diferensial untuk mengaproksimasi pertambahan luas sebuah gelem-bung sabun pada saet jari,jrrinya bertarnbah dari 3 cm ncnjadi 3,025 cm.

Penyelesoion Luas gelembung bola sabun diberikan oleh A = 4rr2. Kita boleh meng-aproksimasi nilai' sebenarnya, AA dengan diferensial dA, di mana

dA :8nr dr

Pada r= 3 dan c?= Lr- 0925,

dA = 8r(3)(0,O25) x 1,885 cm I

PENAKSIRAN KESALAHAN (ERROR) Beritut adalah masalah khas dalam sains. Se-orang peneliti mengukur variabel r tertentu yang bemilai x6 dengan kesalahan yangmungkin berukuran +Ax. Nilai x6 kemudian dipakai menghitung nilai ye unruk y yangtergantung pada x. Nilai 7e tercemar oleh kesalahan dalam x, tetapi seberapa buruk?Prosedur standar adalah menaksir kesalahan ini dengan memakai sarana diferensial.

coNToH 4 Rusuk kubus diukur dengan panjang I 1,4 cm dengarr kemungkinan kesalah-an 10,05 cm. Hitung volume kubus dan berikan suatu taksiran kesalahan dalam nilaiini.

knyefuian Vblume kubus Z yang rusuhye r adalah ll = xt . Jadi dV = gxz doc..Dle .r =

ll,4.dsr d ='q05, makz V= (11,4)3 x 1482 dan

dv :3(ll^)2(ops) ry tg.

Jadi,kibdapatmelaporkanvolumgkubussebagai 1482t19crn3. t

COI\ITOH 5 Diketahui bahwa y = 3 sin 2t + 4 cos2 t. Jika r diulur sebagi l,l3 I 0,005,hitungy dan berikan taksiran untuk kesalahan.

Penyelwiany : 3 sin(2X1,13) + 4 cos2(1,13) x 3P43

dy : f(3)(2pos 2t - (4X2Fos t sin tl dt

: [6 cos(2{1,13) - 8 cos(I,13)sin(1,13)](0,005)

= -Q035

Jadi,y = 3,043 10,035.

soAL-soAL 3.10

t79

I

I

Dalam Soal-soal l-6, crri dy.

l . y : 2 t ' - 3 x * 5

2 . y : 7 * t - 3 x 2 + 4

3. y: (3 + 2x')-,

7. Jika s = XFIT,, cari dr.

\ l i ta F(x): (5x' �+ l)2(x - 7)5.cari dF. \

9. Andaikan Y = ^x) = 13 . Cari nilaidy dalam tiap kesus.( a ) x = 0 , 5 , d r = I ( b ) . r = - l , d x = 0 , 7 5

Buatlah sebuah gambar yang scksamadari grafik / untuk -1,5 < x { 1,5 dangaris singgung-gris singgung pada kurva dix = 0,5 dan l = -l; pada gambar ini bu-

\:#=5 . y : J 4 x 5 + 2 x ' - 5

6 . y : ( 6 x t - l l x s + x 2 l - z r t

/

rr80

buhkan dy dar clx untuk setiap pasangandata yang diketahui dalam (a) dan (b).

10. Andaikan / = llx. Cari nilai dYdalam setiap kasus.( a ) x = l , d x = 0 , 5 ( b ) x : - Z , i l x : O , 7 5tsuat sebuah gambar skala besar, scpertidalam Soal 9. untuk -3 {x( 0 dan0 ( x ( 3 .

E f t. Untuk data dalam Soril 9, czriperubahan yang sebenarnya dalam y,.yak-ni Ay

g 12. Untuk data dalam Soal 10. cariperubahan dalam y, yakni Ay.

13. Jika ! = xz - 3, cari nilai-nilai ydan dy dalam setiap kasus.

_ ( " ) x = 2 d a n d x = A x = 0 , 5rcj (b) x =3 dan dx = Lx = -0,12

14. Jika ! = x4 * 2x, cai nilai-nilaiAy dan dy dalam setiap kasus.

_ ( a ) x = 2 d a n d x = & = lq [ Q ( b ) x = 2 d a n d x = A x = 0 , 0 0 5

Dalam Soal-soal l5-18, gunakan diferensialuntuk mengaproksimasi bilangan yang di-berikan (lihat Contoh 2). Bandingkandengan nilai-nilai kalkulator.

rs: tr@\_yt6,et

16. J3s,srs. j&;05

tr 19. Aproksimasi nilai volume mate-rial dalam tempurung bola yang jari-jari

dalamnya 5 cm dan jari-jari luarnya5.125 cm (l ihat Contoh 3).

E Zg. Semua sisi kotak baja berbentukkubus tebalnya 0,25 inci, dan volume ko-tak sebelah dalam adalah 40 inci kubik.Gunakan diferensial untuk mencari aprok-simasi volume baja yang digunakan mem-

buat kotak itu.tlD.tc".it tengah luar sebuah tempu.

rung bola tipis adalah 12, dm. Jika tebaltempurung 0,3 dm, gunakan diferensialuntuk mengaproksimasi volume daerahsebelah dalam tempurung.

22. Bo'g.an dalam sebuah tangki ber-bentuk tabung terbuka mempunyai ga-ris tengah 12 kaki dan kedalaman 8 kaki.Alasnya terbuat dari tembaga dan sisinyadari baja. Gunakan diferensial untuk se-cara aproksimasi menaksir berapa galon

\ - - '

Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid I

cat tahan air yang diperlukan untuk me-lapis setebal 0,05 inci bagian baja daribagian dalam tangki (l Balon ez 231 incikubik).

23. Dengan anggapan bahwa katulis-tiwa berbentuk lingkaran yang jari-jarin'yakira-kira 4000 mil, seberapakah akan lebihpanjang dari katulistiwa sebuah lingkaranlain yang sebidang dan sepusat, jika setiaptitiknya berada 2 kaki di atas katulistiwa?Gunakan diferensial.

24. Periode sebuah pendulum seder-hana yang panjangnya .[ kaki diberikanoleh 2rtEIE detik. Kita anggap bahwag, percepatan yang diakibatkan oleh gra-vitasi pada (atau sangat dekat) permukaanbumi adalah 32 kaki tiap detik. Jika pen-dulum itu adalah pada lonceng yang waktu-nya tepat pada saat L = 4 kaki, seberapajalannya jam lebih cepat dalam 24jam apa-bila panjang pendulum diperpendek men-jadi 3,97 kaki?

^\Garis tengah sebuah bola diukursebagai 20 t 0,1 cm. Hitung volumenyadengan suatu taksiran untuk kesalahan(lihat Contoh 4 dan 5).

26. Penggiling berbentuk tabung pan-jangnya tepat 12 inci dan garis tengah-nya diukur sebagai 6 t 0,005 inci. Hitungiolumenya dengan suatu taksiran untukkesalahan.

@ zz. Sudut antara dua sisi yang s:lmadari sebuah segitiga sama kaki diukur0,53 +0,005 radian. Kedua sisi yang samaitu panjangnya tepat 151 cm. Hitung pan-jang sisi yang ketiga dengan suatu taksir-an untuk kesalahan.

E 28. Hitung luas segitiga dari Soal 27dengan suatu taksiran untuk kesalahan.Petuniuk: a =

lab sin.f .

29. Dapat diperlihatkan bahwa jika

la2y/ax2l 4 M pada suatu selang tentutup dengan c dan c * & sebagaititik-titik ujung, maka

l L y - d y l < l M ( L x ) 2

Carilah dengan menggunakan diferensial,perubahan dalam y = 3x2 - 2x + ll padasaat x bertambah dari 2 ke 2,001 dan ke-mudian berikan sebuah batas untuk ke-salahan yang anda buat dengan merhakaidiferensial.

Bab 3 Turunan

30. Tentukanlah nilai dari fl0,02)apabila

./(x) = sin [sin (sin 2x)l lcos (sin r).

31. Sebuah tangki berbentuk silinderdengan ujung-ujungnya berupa setengahbola. Apabila bagian yang berbentuk silin-der panjangnya 100 cm dan jari-jarinyal0 cm, kira-kira berapa banyak cat-kah

l 8 l

yang diperlukan untuk melapisi bagianluar tangki dengan ketebalan I milimjer?

32. Sebuah piala berbentuk kerucutdengan tinggi l0 crn dan lebarnya g cm dibagian atas, diisi air sampai kedalaman 9cm. Sebongkah es berbenfuk kubusdengan itu. pergunakanlah diferensialuntuk menentukan apakah air dalam pialaakan meluap.

I

3.11 Soal-Soal Ulangan Bab

KUIS BENAR.SALAH

Jawablah dengan benar atau salah setiap pernyataan berikut. Bersiaplah untuk memper-tahankan jawaban anda.

l� Garis singgung pada kurva di suatu titik tidak dapat memotong kurva pada titik itu.2' Kemiringan garis singgung pada kwva y :xa berlainan pada setiap titik dari kurva.3' Adalah mungkin bahwa kecepatan sebuah benda bertambah sementara lajunya ber_kurang.

4' J"f^,garis singgung pada grafik dari y = /(x) adalah mendatar pad,a x = c, makaf ' (c ) = o .

s. Jka f (x) =.g'(x) untuk semua x, maka /(.r) : g(.r) untuk sem,," x.5. Jika.Y = 25, maka D)' : sno.

7. Jika 1'(c)ad,a,maka/kontinu di c"

S.:ti#:l y = W mempunyai sebuah garis singgung di x = 0 dan Dry tetap tidak

9. Turunan suatu lrasilkali adalah hasilkali ,turunan-turunan.l0' Jika percepatan sebuah benda negatif, maka kecepatannya berkurang.ll' Jika x3 adarah suatu faktor dari fungsi f(x) yang terdiferensialkan,

suatu faltor dari turunannya.maka x2 adalah

l = 3 x 2 ( x - 1 ) .t2 .

13 .

t4.

15 .

16.

t7 .

18.

Persamaan garis singgung pada grafik dari y = x3 pada ( I ,l ) adalah I _Jika y = /(x)c6), maka Dlt = flx)c,'(x) * s@)f

,'(x).

Jika y = 1x3 + x)E, maka Dls y = g

Turunan polinom adalah polinom.

Turunan fungsi rasional adalah fungsi rasional.

Jika/ '(c) = y'1c1= 0 dan /r(x) = f(x)sl),maka /r,(c; = g.

Ungkapan

s i h x - I

x - itl,

adalah turunan flx) = sin x di

Operator D2 adalah linear.

Jika h(x) : lig(x)) di manabawakan n'(c) = 6.

Jrka f'(2) : s'(2) : se) : 2,

terdiferensial, maka g'(c) = 0 mem_

19.

20.

21.

x = n 1 2 .

f dan g dua-duanya

maka' (/ . d'Q) = a.

/

I22.23.

182 Kalkulus dan Geometi Analitis Jilid I

Jika /terdiferensial dan naik dan jika dx = Ax ) 0, maka. Ly ) dy.

Jika jari-jari sebuah lingkaran bertambah pada 3 kaki/detik, maka volumenya bertam-bah pada 27 kakr kubik tiap detik.

Af{1sin r) = D} (sin x) untuk sctiap bilangan bulat positif n.

. . tanx Iu m - - _ .r - o J f J

Jika s = 5f + 6t - 3(X) membcrikan posisi scbuah benda pada garis koordinat men-datar pada saat t, mrka bcnda itu sclalu bcrgerak kc kanan (ke arah pertambahan .r).

27. Iitrra udara dipompa kc dalam balon bundar daritarct pada laju tetap sebesar 3 incikubik tlap dotit maka jari-jarinya akan bcrtarnboh tctapi dengan laju yang makinlama makin lambat.

28. Jika air dipompa ke dalam tangki bundar yang jari-jarirya tctap pada laju 3 galon/dctik, ketinggian air dalam tangki akan bertambah makin lama makin cepat dengansemakin hampir penuhnYa tangki.

29. Jika galat Ar dibuat dalam pengukuran jari-jari sebuah bola, maka kesalahan yang

berpadanan dalam volume yang terhitung kira-kira akan sebesar S. Ar di mana S ada-lah luas permukaan bola.

3O. Jika / = xs, maka dy VO.

24.

25.

26.

SOAL.SOAL ANEKA RAGAM

t. Gunakan "f'(x): liql/(r + tr) -

f(x))lh untuk mencari tr:runan darisetiap yang berikut ini.

(a) "f(x) : x2 - 5x

I(b) ,f(x) : :

x - J

(c) "f(x) : Je - x

? Gunakan g'(x): lim ^t) - g(x)

t - x t - x

untuk mcncari y'(x) Oatam tiap kasus.

(a ) e (x ) :13

O) c('): \6

3. Limit yang diberikan adalah suatuturunan, tetapi dari fungsifmana dan padatitik mana?

3{2+h )2 -X2 ) '

Gunakan sketsa dalam gambar untukmengaproksimasi setiap yang berikut.

(a) f'(2) (b) .f'(6)

(a) liml *O

(b) lirtAr{ O

(c) lim 3lP - 3lx

r ' 8 P - x

h

tan(n/4 + Ax) - I

Ax

(c) urrta-ratepada[3,7]. @ * f(t \ di t : 2

I

@ ; u ' ( t ) l d i t : 2

Dalam Soal-soal 5-14, cari tiap turunandengan memakai atwan yang telah kitakcmbangkan.

5. D,(x3 - 3x2 + x-2)

..r'(=;

/ - ' -1 - '

Bab 4 Penggunaan Turunan

7. D1(3x + 2)2t3

s. D,QJi + 6)

'*(#=)d _ .

10. ; [sin(r') - sin'(t)l

u -l l . . (cos '5x)

ax

/,12. : lsin2(cos 4l)l

d t -

13. f'(2) jlkxf(x) = (x2 - l)2(3x3 - 4x)

14. g"(O) jika S(x): sin 3x + sin2 3x

15. Cari koordinat-koordinat titik pa-da kurva y = (x - 2)z pada mana garissinggung tegak lurus pada garis

2 t - y + 2 = Q .

16. Sebuah baloh bundar memuai aki-bat panas matahari. Cari laju perubahanvolume balon terhadap jari-jarinya padasaat jari-jari 5 meter.

17. Gunakan diferensial untuk meng-hampiri perubahan dalam volume balondari Soal 16 pada saat jari-jari bertambahdari 5 ke 5,1 meter.

18. Jika volume balon dari Soal 16bertambah pada laju tetap sebesar l0 me-ter kubik tiap jam, seberapa cepat jari-jarinya bertambah pada saat jari-jari 5meter?

19. Palung panjang 12 kaki mempu-nyai irisan berupa segitiga samakaki de-pgan dalam 4 kaki dan jarak lintas 6 kakipada puncak. Jika air diisikan ke palungpada laju 9 kaki kubik tiap menit, seberapacepat permukaan air naik patta saat ke-dalaman air 3 kaki?

20. Sebuah benda diluncurkan lang-sung ke atas dari tanah dengan kecepatanawal 128 kaki/detik. Ketinggian s setelah tdetik kira-kira ̂ r = l28r - l612 kaki.(a) Kapan ia mencapai ketinlgian maksi-mum dan berapa tinggi ini?(b) Kapan ia membentur tanah dan de-rgan kecepatan berapa?

183

21. Sebuah benda bergerak pada ga-ris koordinat mendatar. Jarak berarah .rdari titik asal setelah r detik adalahr= 13 - 6 t2 + 91y^g .(a) Kapan benda bergerak ke kiri?(b) Berapa percepatannya pada saat ke-cepatan nol?(c) Kapan percepatannya positif?

22. CAn D2ro I dalam tiap kasus.

(a) y: t3xre - 2xt2 - 6x5 + lB

I( b ) v : :

Zl. l"A dy/dx dalamtiap kasus.(a) x3 + y3 : xtyt( b ) x s i n ( x y ) : x 2 + l

24. Perlihatkan bahwa garis singgungPada kurva y2 = 4x3 d,an 2x2 I 3y2 -

14 di (1, 2) saling tegak lurus. Petuniuk:Gunakan p endiferensialan implisit.

25. Andaikan / = sin(trr) +.x2. Jikax berubah dari 2 ke 2,01, kira-kira berapabanyak y berubah?

,, 26. Andaikan f(2) = 3, f ' (2) = 4,

f (2) = -1, cQ) = 2, d,an g'(2) = 5. caritiap nilai.

,1(a )

; l f ' ( x ) + g3(x ) l d ix :2

d(b)

art"f Q)e(x)l di x : 2

,|(c) l t , fCc( ' )) ld ix:2

<o',oiiv'<'>ldt x = 2

27. Sebuah tangga yang panjangrryal3 kaki bersandar pada dindingtegak. Jikaalas tangga ditarik scpanjang tanah denganlaju tetap sebesar 2 kaki/detik, seberapaccpat ujung atas tangga bergerak turunpada dinding di saat ia berada 5 kaki diatas tanah?

28. Sebuah pesawat udara mengudarapada sudut 15" terhadap arah mendatar.Seberapa cepat ketinggiannya bcrtambahjika lajunya adatah 400 milfiam?

29. Diberikan bahwa D'lrl : El/x,x * 0, cari rumus untuk D" lsin x l.

I

irIi

/