DTH1B3 - MATEMATIKA TELEKOMUNIKASI I · Mampu memahami limit fungsi baik sifat-sifat limit fungsi...

DTH1B3 - MATEMATIKA

TELEKOMUNIKASI I

Limit dan Kekontinuan

By : Dwi Andi Nurmantris

CAPAIAN PEMBELAJARAN

Mampu memahami limit fungsi baik sifat-sifat limit fungsi dan memahami kekontinuan dari suatu fungsi.

MATERI PEMBELAJARAN

Limit Kekontinuan

DEFINISI LIMIT

Perhatikan fungsi berikut ini.

1

1)(

3

X

Xxf

Fungsi tersebut tidak terdefinisi pada

x = 1 karena dititik ini f(x) berbentuk

0/0. Tetapi kita dapat mengamati

nilai-nilai f(x) untuk x mendekati 1.

DEFINISI LIMIT

Dari tabel dan grafik tersebut, kita dapat mengambil kesimpulan

bahwa f(x) mendekati 3 bilamana x mendekati 1. Dalam lambang

matematis kita tuliskan:

3

1

1lim

3

1

x

x

x 1

1)(

3

X

Xxf

Dibaca:

“limit dari ketika x cenderung

menuju ke nilai 1 adalah 3.”

DEFINISI LIMIT

Lxfcx

lim

Artinya : bila x dekat tetapi

tidak sama dengan c, maka

f(x) dekat ke L .”

DEFINISI LIMIT Limit Kiri dan Limit Kanan

c

1L

2L

c

●

º

f(x)

L

Jika x menuju c dari arah kiri (dari arah bilangan yang lebih kecil dari c, limit disebut limit kiri,

)(lim xfcx

Notasi

Jika x menuju c dari arah kanan (dari arah bilangan yang lebih besar dari c, limit disebut limit kanan,

)(lim xfcx

Notasi

Lxfcx

)(lim

Lxfxfcxcx

)(lim)(lim

Jika :

maka :

Jika :

)(lim)(lim xfxfcxcx

maka : adatidak)(lim

xf

cx


Contoh Soal

x

x

x 0lim.b

0Jika,1

0Jika,1)(

x

xxf

Carilah Limit dari fungsi berikut!

1lim2

x

x

x1lim

2

x

x

x

1lim1limlim222

x

x

x

x

x

x

xxx

x

x

x 2lim.a

a.

2


Contoh Soal

x

x

x 0lim.b

0Jika,1

0Jika,1)(

x

xxf


1lim0

x

x

x1lim

0

x

x

x

adatidaklimlimlim000

x

x

x

x

x

x

xxx

x

x

x 2lim.a

b.

0

METODE MENCARI LIMIT FUNGSI

1. Substitusi Langsung (Coba cara ini pertama kali)

2. Jika cara substitusi langsung gagal, maka tulis

kembali dengan mencari fungsi yang setara dengan

fungsi aslinya, Kemudian gunakan cara subtitusi

langsung. Metoda ini meliputi… • Faktorisasi.

• Rasionalisasi/Mengalikan dengan bilangan sekawan.

• Membagi dengan variabel pangkat tertinggi.

• Menggunakan fungsi identitas

• Cara lain yang legal

METODE MENCARI LIMIT FUNGSI Teorema Substitusi

Jika f suatu fungsi polinom atau fungsi rasional, maka asalkan dalam kasus fungsi rasional, nilai

penyebut di c tidak nol.

cfxfcx

lim


Contoh 1


3

2lim xx

82lim 33

2

x

x

Solusi

Metode Substitusi langsung


Contoh 2


)3(

)9(lim

2

3

x

x

x

0

0

)3(

)9(lim

2

3

x

x

x

Solusi

Metode Substitusi langsung gagal

633

3

)3(

)3)(3(

)3(

)9(lim

2

3

x

x

xx

x

x

x

Metode Faktorisasi


Contoh 3


2

22lim

2

y

y

y

Solusi


0

0

22

222

2

22lim

2

y

y

y

Kalikan dengan bilangan sekawanrasionalisasi pembilang

Coret faktor yang sama

Lakukan Substitusi Langsung


Contoh 4


23

523lim

2

2

xx

xx

x

Solusi


?

?

23

523lim

2

2

xx

xx

x

23

523lim

2

2

xx

xx

x 2

2

/2/31

/5/23lim

xx

xx

x

3

001

003

/2/31

/5/23lim

2

2

x


Bagi dengan variable pangkat tertinggi bagi dengan x2


Contoh 5


3

311

lim3

x

xx

Solusi



Kalikan pembilang dan penyebut dengan 3x

0

0

33

31

31

3

311

lim3

x

xx

Coret Faktor yang sama

LATIHAN SOAL

3

6lim.1

2

3

x

xx

x

3

9lim.2

9

x

x

x

1,2

10,

0,

)(dimana,2

2

xx

xx

xx

xf)(lim.32

xfx

SIFAT-SIFAT LIMIT

)(lim)(lim)()(lim.5 xgxfxgxfcxcxcx

)(lim)(lim)()(lim.4 xgxfxgxfcxcxcx

0)(limbila,)(lim

)(lim

)(

)(lim.6

xg

xg

xf

xg

xf

cx

cx

cx

cx

n

cx

n

cxxfxf ))(lim())((lim.7

genapdan0)(limbila,)(lim)(lim.8 nxfxfxfcx

ncx

n

cx

kkcx

lim.1 cxcx

lim.2 xfkxkfcxcx

limlim.3

SIFAT-SIFAT LIMIT

Contoh 1


4

32lim x

x

Solusi

16232lim2lim22lim44

3

4

3

4

3

xxx

xxx

SIFAT-SIFAT LIMIT

Contoh 2


xxx

23lim 2

4

Solusi

xxxxxxxxxxx 4

2

44

2

4

2

4lim2lim32lim3lim23lim

404243lim2lim32

4

2

4

xx

xx

TEOREMA LIMIT

TEOREMA APIT

LxhLxfcxcx

)(limserta)(lim

Lxgcx

)(lim

Misal untuk x disekitar/menuju c dan

maka

)()()( xhxgxf

SIFAT-SIFAT LIMIT

Contoh


Solusi

1

1sin)1(lim 2

1

xx

x

222 )1(1

1sin)1()1(

x

xxx

Karena 1)1

1sin(1

x

0)1(lim 2

1

x

x0)1(lim, 2

1

x

x

222 )1(1

1sin)1()1(

x

xxx

Maka dengan teorema Apit

01

1sin)1(lim 2

1

xx

x

KEKONTINUAN FUNGSI

Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = c jika

(i) f(c) ada

ada)(lim xfcx

(ii)

(iii) )()(lim cfxfcx

Jika salah satu syarat tersebut tidak terpenuhi, maka f(x) tidak

kontinu di c.

KEKONTINUAN FUNGSI

c

(i)

º

f(c) tidak ada

f(x) tidak kontinu di x=c

c

(ii)

1L

2L

Karena limit kiri(L1) tidak sama dengan limit kanan(L2) maka f(x) tidak mempunyai limit di x=c

Fungsi f(x) tidak kontinu di x=c

KEKONTINUAN FUNGSI

(iii)

c

●

º

f(c) f(c) ada )(lim xfcx

L

ada

Tapi nilai fungsi tidak sama dengan limit fungsi

Fungsi f(x) tidak kontinu di x=c

cfxfcx

)(lim

KEKONTINUAN FUNGSI

(iv)

c

f(c)

f(c) ada )(lim xfcx

ada

)()(lim cfxfcx

f(x) kontinu di x=c

LATIHAN SOAL

Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x=2, jika tidak sebutkan alasannya

2

4)(

2

x

xxfa.

2,3

2,2

4)(

2

x

xx

xxfb.

2,1

2,1)(

2 xx

xxxfc.

TEOREMA KEKONTINUAN

TEOREMA 1

Jika fungsi f(x) dan g(x) kontinu di c, maka demikian juga:

1. kf(x) 2. f (x)+ g(x) 3. f (x)- g(x) 4. f(x) · g(x) 5. f(x)/g(x) asalkan g(c) tidak nol

6. f(x)n

7. 𝑓(𝑥)𝑛 asalkan f(c) > 0 jika n genap

TEOREMA KEKONTINUAN

TEOREMA 2 (Limit Komposit)

Jika

dan kontinu di g(c),

maka fungsi komposit f○g kontinu di c.

)(xg kontinu di c

)(xf

cgxgcx

)(lim

cgfxf

cgx

)(lim

)()(lim cgfxgfcx

TEOREMA KEKONTINUAN

Apakah kontinu di x = 2

solusi

Misalkan dan

fungsi kontinu di x=2

fungsi kontinu di x = g(2) = 4

63)( 2 xxxh

xxf )( 63)( 2 xxxg

)(xg

)(xf

Maka

fungsi kontinu di x = 2 63)( 2 xxxh

Contoh

TEOREMA KEKONTINUAN

TEOREMA 3 (Kontinu kanan dan Kontinu Kiri)

Fungsi f(x) disebut kontinu kiri di x=c jika

)()(lim cfxfcx

Fungsi f(x) disebut kontinu kanan di x=c jika

)()(lim cfxfcx

Fungsi f(x) kontinu di x=c jika kontinu kiri dan kontinu kanan di x=c

TEOREMA KEKONTINUAN

TEOREMA 4 (Kekontinuan pada suatu interval)

Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval buka ( a,b ) bila f(x)

kontinu pada setiap titik di dalam interval tersebut.

Sedangkan f(x) dikatakan kontinu pada interval tutup [ a,b ] bila :

1. f(x) kontinu pada ( a,b )

2. f(x) kontinu kanan di x = a

3. f(x) kontinu kiri di x = b

TEOREMA KEKONTINUAN

TEOREMA 5 (Kekontinuan nilai antara)

Jika f(x) kontinu pada [a, b]

dan jika w sebuah bilangan antara f(a) dan f(b), Maka:

terdapat sebuah bilangan c di antara a dan b

sedemikian sehingga f(c) = w.

DTH1B3 - MATEMATIKA TELEKOMUNIKASI I · Mampu memahami limit fungsi baik sifat-sifat limit fungsi...

Documents

Transcript of DTH1B3 - MATEMATIKA TELEKOMUNIKASI I · Mampu memahami limit fungsi baik sifat-sifat limit fungsi...