25

c

L

x x

f(x)

c

L

x x

f(x)

LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI

Jika kita mempunyai suatu fungsi yang peubah bebasnya menuju ke suatu titik

tertentu di sumbu X, (artinya jarak antara peubah bebas dan titik tertentu tersebut

semakin lama semakin mengecil tapi tidak harus sama dengan nol), apakah peubah tak

bebasnya juga menuju suatu nilai tertentu di sumbu Y, atau bagaimana perilaku peubah

tak bebas jika peubah bebasnya membesar sampai tak hingga?

Limit

Definisi : (Definisi Limit secara intuisi)

Suatu fungsi f mempunyai limit L ketika x mendekati suatu nilai tertentu c , ditulis

lim ( )x c

f x L

, berarti bahwa ketika x dekat tetapi berlainan dari c x c maka ( )f x

dekat ke L . ( lim ( )x c

f x L

dibaca limit ketika x mendekati c dari ( )f x adalah L ).

Baik fungsi f terdefinisi di c ataupun tidak, untuk x yang semakin dekat dengan c

maka nilai ( )f x semakin dekat dengan L .

Contoh 1. Carilah 3

lim 4 5x

x

Solusi :

Ketika x dekat 3, maka 4 5x dekat dengan 4 3 5 7 . Ditulis 3

lim 4 5 7x

x

.

Contoh 2. Carilah 2

3

6lim

3x

x x

x

26

Solusi :

2

3 3 3

6 ( 3)( 2)lim lim lim ( 2) 3 2 5

3 3x x x

x x x xx

x x

.

Ingat bahwa 3

13

x

x

selama 3x .

Pendekatan Limit Secara Numerik

Contoh 1

Misalkan 2( )f x x dan 3c . Carilah secara numerik untuk 23

limx

x

.

Solusi :

Dari tabel tampak bahwa, bila x dibuat

sedekat mungkin dengan 3, baik

sebelum maupun sesudah 3 maka nilai

( )f x semakin dekat dengan 9.

Berarti 23

lim 9x

x

.

Contoh 2. Carilah secara numerik 3

1

1lim

1x

x

x

!

Solusi :

Dari tabel tampak bahwa, bila x dibuat sedekat mungkin

dengan 1, baik sebelum maupun sesudah 1 maka nilai

( )f x semakin dekat dengan 3.

Berarti 3

1

1lim 3

1x

x

x

.

x 2( )f x x 2( )f x x x

2 4 16 4

2,5 6,25 12,25 3,5

2,7 7,29 10,89 3,3

2,8 7,84 10,24 3,2

2,9 8,41 9,61 3,2

2,99 8,9401 9,0601 3,01

2,999 8,994001 9,006001 3,001

2,9999 8,9994 9,0006 3,0001

3 ? ? 3

x 3 1

( )1

xf x

x

1,25 1,10 1,01

1,001

1

0,999 0,99 0,9

0,75

3,813 3,310 3,030 3,003

?

2,997 2,970 2,710 2,313

27

7

2

3

f

f(c)

c

y=f(x

)

L

c

y=f(x

)

f(c)

L

c

y=f(x

)

Pendekatan Limit Secara Grafik

Contoh 1

Gambar grafik fungsi 3 1, 2

( )3 , 2

x xf x

x

, dan gunakan grafik itu untuk mencari

2lim ( )x

f x

.

Solusi :

Dari grafik untuk x mendekati 2, nilai ( )f x mendekati

7. Pada kenyataannya, secara numerik, dengan

memilih x sedekat mungkin dengan 2, maka nilai

( )f x juga akan sedekat mungkin dengan 7. Terlihat

bahwa (2) 3f tetapi 2

lim ( ) 7x

f x

.

Jadi, limit L suatu fungsi ( )y f x ketika x mendekati c tidak bergantung pada nilai

f di c .

Ilustrasi

lim ( ) ( )x c

f x f c

lim ( ) ( )x c

f x L f c

lim ( )x c

f x L

f(c) tidak terdefinisi

28

Sifat-sifat Limit

Misalkan n bilangan bulat positif, k konstanta, serta f dan g adalah fungsi-fungsi

yang mempunyai limit di c , maka :

1. limx c

k k

2. limx c

x c

3. lim ( ) lim ( )x c x c

kf x k f x

4. lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x c x c x c

f x g x f x g x

5. lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x c x c x c

f x g x f x g x

6. lim ( ). ( ) lim ( ).lim ( )x c x c x c

f x g x f x g x

7. lim ( )( )

lim ,( ) lim ( )

x c

x c

x c

f xf x

g x g x

asalkan lim ( ) 0x c

g x

8. lim ( ) lim ( )n

n

x c x cf x f x

9. lim ( ) lim ( )n nx c x c

f x f x

, asalkan lim ( ) 0x c

f x

10. Untuk setiap polinomial 11 1 0( ) ...

n n

n np x a x a x a x a

maka

lim ( ) ( )x c

p x p c

11. Teorema Apit

Jika ( ) ( ) ( )f x g x h x untuk setiap interval buka yang memuat c (kecuali mungkin

di c sendiri), dan lim ( ) lim ( )x c x c

f x h x L

maka

lim ( )x c

g x L

.

Contoh 1. Carilah 24

lim 3 2x

x x

Solusi :

2

2 2 2

4 4 4 4 4 4 4lim 3 2 lim 3 lim 2 3lim 2lim 3 lim 2limx x x x x x x

x x x x x x x x

2

3 4 2 4 40 .

29

Contoh 2. Carilah 2

3

9lim

3x

x

x

Solusi :

2

3 3 3

9 ( 3)( 3)lim lim lim ( 3) 3 3 6

3 3x x x

x x xx

x x

.

Contoh 3. Tentukan 2

22

9lim

3 5x

x

x

Solusi :

2 22 2 222 2 22 2 2

4 3 59 9 3 5lim lim lim

9 ( 5)3 5 3 5 3 5x x x

x xx x x

xx x x

2 2

2

22 2

4 3 5lim lim 3 5 6

4x x

x xx

x

.

Contoh 4. Tentukan 0

1 1

limh

h x x

h

Solusi :

20 0 0 0

1 1

1 1lim lim lim limh h h h

x h x

h x x hh x x

h h h h x x h x x x

.

Latihan

1. Tentukan nilai limit berikut!

a. 32

lim 4h

h h

e. 0

limh

x h x

h

b. 4 21

lim 3 8 4x

x x x

f. 2

21

2 3lim

1x

x

x

c. 3

2

2 5lim

3 2x

x x

x

g.

3 3

0

1 1

limh

xx h

h

d. 2

2lim

2x

x

x

30

L

L

L

c c c

2. Tunjukkan bahwa 0

1lim sin 0x

xx !

3. Jika 21 ( ) 2 2f x x x untuk setiap x , tentukan 1

lim ( )x

f x

!

Konsep Limit Secara Mendalam

lim ( )x c

f x L

, berarti bahwa ketika x dekat tetapi berlainan dari c x c maka

( )f x dekat ke L .

Mengatakan bahwa ( )f x berbeda dari L lebih kecil dari bilangan (epsilon) sama

saja dengan mengatakan

( )f x L

( )L f x L

Hal ini berarti ( )f x terletak dalam interval terbuka ,L L .

Kemudian, ucapan bahwa x cukup dekat tetapi berlainan dengan c sama saja dengan

mengatakan untuk suatu bilangan , x terletak dalam interval terbuka ,c c

dengan c tidak diikutkan. Hal ini dinyatakan dengan menuliskan

0 x c .

Perhatikan bahwa x c memberikan arti c x c sedangkan 0 x c

mensyaratkan x c dikecualikan, artinya x c .

Ilustrasi

( )f x L

0 x c

31

c c c

L

L

L

Definisi (Pengertian persis Limit)

lim ( )x c

f x L

berarti bahwa untuk setiap bilangan 0 yang diberikan (betapapun

kecilnya), terdapat bilangan 0 sedemikian sehingga jika 0 x c berlaku

( )f x L .

Secara simbol : lim ( ) 0, 0 0 ( )x c

f x L x c f x L

.

Ilustrasi

Contoh 1

Buktikan bahwa 4

lim 3 7 5x

x

!

Solusi :

Analisa pendahuluan. Andaikan bilangan positif sebarang, maka kita harus

menemukan suatu 0 sedemikian sehingga

0 4 3 7 5x x .

Perhatikan,

3 7 5 3 12x x

3 4x

3 4x

43

x

.

Jadi sekarang kita dapat memilih , pilih 3

.

32

Dengan demikian untuk sebarang bilangan 0 , terdapat bilangan 0 yaitu pilih

3

sedemikian sehingga jika 0 4x berlaku

3 7 5 3 12 3 4 3x x x .

Jadi terbukti 4

lim 3 7 5x

x

.

Contoh 2

Buktikan bahwa 2

2

2 3 2lim 5

2x

x x

x

!

Solusi :

Analisa pendahuluan. Andaikan bilangan positif sebarang, maka kita harus

menemukan suatu 0 sedemikian sehingga

22 3 20 2 5

2

x xx

x

.

Perhatikan untuk 2x

22 3 2 (2 1)( 2)5 5

2 2

x x x x

x x

(2 1) 5x

2 2x

22

x

.

Dapat dipilih 2

.

Dengan demikian sebarang bilangan 0 , terdapat bilangan 0 yaitu pilih 2

sedemikian sehingga jika 0 2x berlaku

22 3 2 (2 1)( 2)5 5 2 1 5 2 2 2

2 2

x x x xx x

x x

.

Terbukti bahwa 2

2

2 3 2lim 5

2x

x x

x

.

33

Contoh 3. Buktikan 22

lim 5 7x

x x

!

Solusi :

Analisa pendahuluan. Diberikan sebarang bilangan 0 , maka kita harus menemukan

0 sedemikian sehingga

20 2 5 7x x x .

Perhatikan

2 25 7 12 ( 4)( 3) 4 3x x x x x x x x .

Andaikan 1 dan karena 0 3x maka

4 3 7 3 7 1 7 8x x x .

Jadi 4 8x .

Sehingga,

2 25 7 12 ( 4)( 3) 4 3 8 3x x x x x x x x x .

Dengan demikian 2 5 7 38

x x x

.

Pilih 8

.

Jadi untuk sebarang bilangan 0 , terdapat 08

sedemikian sehingga jika

0 3x berlaku

2 25 7 12 ( 4)( 3) 4 3 8 3 8x x x x x x x x x .

Terbukti bahwa 22

lim 5 7x

x x

.

Limit Kiri dan Limit Kanan

Definisi (Limit Kiri dan Limit Kanan)

Limit Kiri : lim ( )x c

f x L

berarti ketika x dekat tetapi pada sebelah kiri c maka ( )f x

dekat ke- L .

lim ( ) 0, 0 ( )x c

f x L c x c f x L

.

34

-1

1

L

c

y=f(x)

c

y=f(x)

)

q

p

Limit Kanan : lim ( )x c

f x L

berarti ketika x dekat tetapi pada sebelah kanan c maka

( )f x dekat ke- L .

lim ( ) 0, 0 ( )x c

f x L c x c f x L

.

Teorema

lim ( ) lim ( )x c x c

f x f x L

jika dan hanya jika lim ( )x c

f x L

.

Ilustrasi

Contoh 1

Tentukan nilai dari 0

limx

x

x.

Solusi :

Menurut definisi , 0

, 0

x xx

x x

Ketika 0x ( x berada disebelah kanan 0) maka 00

lim lim 1xx

x x

x x , sedangkan

Ketika 0x ( x berada disebelah kiri 0) maka 00

lim lim 1xx

x x

x x

.

Karena 0 0

lim limx x

x x

x x , maka

0limx

x

x tidak ada.

Contoh 2

Jika 2 2 2, 1

( )3 , 1

x x xf x

x x

, tentukan nilai dari

1lim ( )x

f x

!

lim ( )x c

f x L

lim ( )x c

f x L

lim ( )x c

f x p

lim ( )x c

f x q

35

Solusi :

211

lim ( ) lim 2 2 1xx

f x x x

, dan 11

lim ( ) lim 3 2xx

f x x

. Karena

1 1lim ( ) lim ( )x x

f x f x

maka 1

lim ( )x

f x

tidak ada.

Latihan

1. Berdasarkan grafik berikut, apakah lim ( )x c

f x

ada?

a. b. c.

2. Tentukan limit berikut jika ada!

a. 2

3

9lim

3x

x

x

c.

2

1

1lim

1x

x

x

e.

2

3lim

1x

x x

x

b. 3

3lim

3x

x

x

d.

3

3lim

3x

x

x

f.

23

3lim

9x

x

x

3. Tentukan limit kiri dan limit kanan di titik c yang telah ditentukan, kemudian

tentukan apakah limit fungsi di titik tersebut ada.

a. 2 , 0

( ) , 01 , 0

x xf x c

x

c.

3 1, 1

( ) 4 , 1, 1

2 , 1

x x

f x x c

x x

b.

3 1, 1

( ) 2 , 1, 1

2 , 1

x x

f x x c

x x

d.

2 9, 3

( ) , 33

6 , 3

xx

f x cx

x

.

36

4. Diketahui fungsi sebagai berikut!

2

15 5 , 2

5 , 2( )

9 ,2 3

2 , 3

x x

xf x

x x

x x

Tentukan :

a. 2

lim ( )x

f x

; 2

lim ( )x

f x

, dan 2

lim ( )x

f x

b. 3

lim ( )x

f x

; 3

lim ( )x

f x

, dan 3

lim ( )x

f x

Limit Fungsi Trigonometri

Rumus limit fungsi trigonometri :

0lim cos 1x

x

0

lim tan 0x

x

0

lim 1sinx

x

x

0

tanlim 1x

x

x

0lim sin 0x

x

0

sinlim 1x

x

x

0lim 1

tanx

x

x

0

sinlim 1

tanx

x

x

Catatan :

sin 2 2sin cosx x x 2cos2 2cos 1x x

2cos2 1 2sinx x 2 2sin cos 1x x

Contoh 1. Carilah 0

sin 3limx

x

x!

Solusi :

0 0 0 0

sin3 3sin3 3sin sinlim lim lim 3lim 3(1) 3

3x x y y

x x y y

x x y y .

Contoh 2. Carilah 0

1 coslim

sinx

x

x

!

Solusi :

0

0 0

0

1 cos1 coslim

1 cos 0lim lim 0

sin sinsin 1lim

x

x x

x

xx

x xxx xx

x x

37

Contoh 3. Carilah 20

tanlim

3x

x

x x !

Solusi :

20 0 0 0

tan tan tan 1 1 1lim lim lim lim 1

3 ( 3) 3 3 3x x x x

x x x

x x x x x x

.

Contoh 4. Carilah 1 cos

limsinx

x

x

!

Solusi :

21 cos 2. 1 2cos 1 2cos cos cos1 cos 2 2 2 2 2lim lim lim lim lim 0

sin2sin cos 2sin cos sinsin 2.

2 2 2 2 22

x x x x x

x x x x xx

x x x x xxx

.

Latihan

Tentukan limit berikut!

1.

2

coslim

2

x

x

x

5. 0

tan 2lim

sin 2 1x

x

x

2. 0

coslim

1x

x

x 6.

21

sin 1lim

2x

x

x x

3. 2

0

coslim

1 sinx

x

x 7.

2

0

coslim

1x

x x

x

4. 0

sin3 4lim

secx

x x

x x

8.

2

0

tan 2lim

3x

x

x

Limit Tak-hingga

Definisi (Limit tak hingga)

Misalkan f sebuah fungsi yang terdefinisi pada interval buka yang memuat c , kecuali

mungkin di c sendiri, maka

lim ( )x c

f x

berarti untuk setiap bilangan positif M terdapat 0 sedemikian hingga

jika 0 x c berlaku

38

y=M

c y=N

c

( )f x M .

lim ( )x c

f x

berarti untuk setiap bilangan negatif N terdapat 0 sedemikian

hingga jika 0 x c berlaku

( )f x N .

Ilustrasi

Contoh 1. Carilah

21

1lim

1x x

dan

21

1lim

1x x

!

Solusi :

2

1

1lim

1x x

dan

21

1lim

1x x

. Karena kedua limit adalah , maka dapat

dituliskan bahwa

21

1lim

1x x

.

Contoh 2. Tentukan 2

2lim

2x

x

x

dan

2

2lim

2x

x

x

Solusi :

2

2

2

lim 22 2lim

2 lim 2 0

x

x

x

xx

x x

, dan

2

2

2

lim 22 2 2lim

2 lim 2 0

x

x

x

xx

x x

.

39

N

L

xx

M

L

x

Limit di Tak-hingga

Definisi (Limit ketika x)

Misalkan f terdefinisi pada [ , )c .

lim ( )x

f x L

berarti untuk setiap bilangan 0 terdapat bilangan 0M sedemikian

sehingga jika x M maka berlaku

( )f x L .

Definisi (Limit ketika x)

Misalkan f terdefinisi pada ( , ]c .

lim ( )x

f x L

berarti untuk setiap bilangan 0 terdapat bilangan 0M sedemikian

sehingga jika x M maka berlaku

( )f x L .

Ilustrasi

Contoh 1

Tunjukkan bahwa jika k bilangan bulat positif maka

1lim 0

kx x dan

1lim 0

kx x .

Solusi :

Diberikan 0 , maka kita harus menemukan bilangan positif M sedemikian hingga

jika

10

kx M

x .

Diperhatikan jika x M maka 1 1

x M

40

1 1 1 10

k k k kx x x M (kita harapkan

1

1 1 kk

MM

)

Pilih

1

1 kM

.

Jadi untuk sebarang bilangan 0 , terdapat bilangan positif

1

1 kM

sedemikian

sehingga jika x M berlaku

1 1 1 10

k k k kx x x M .

Karena 1

0kx

asalkan x M maka 1

lim 0kx x .

Bukti untuk 1

lim 0kx x sejalan.

Contoh 2. Carilah 2

lim1x

x

x !

Solusi :

2

22

2 22

1 1lim

0lim lim lim 0

1 111 0 11 lim 1

x

x x x

x

x

x x x x

xx

x xx

.

Contoh 3. Carilah 3

3

2lim

1x

x

x !

Solusi :

3

3 3

33

33

2

2 2 2lim lim lim 2

111 0 11

x x x

x

x x

xx

xx

.

Bentuk-bentuk Tak Tentu Limit Fungsi

Perhatikan limit fungsi trigonometri 0

sinlimx

x

x, dimana limit peenyebut dan

pembilangnya nol. Bentuk demikian disebut bentuk tak tentu pada limit. Bentuk-bentuk

tak tentu yang lain adalah 0 0; ; 0. ; 0 ; ; 1

.

41

Contoh 1. Carilah 4

2lim

4x

x x

x

!

Solusi :

4 4

2 ( 2)( 1) 3lim lim

4 4( 2)( 2)x x

x x x x

x x x

Contoh 2. Carilah 1

lim sinx

xx

!

Solusi :

0

1sin

1 sinlim sin lim lim 1

1x x y

yxxx y

x

(ketika x maka

10y

x )

Latihan

Tentukan limit fungsi berikut!

1. lim 1x

x x

5. 2

lim5x

x

x 9. 2 2lim 2 3 2 5

xx x x x

2. 2

lim4x

x x

x

6.

1lim

4x

x

x

10.

2

2 1lim

3 1x

x

x

.

3. 2

2lim

7x

x

x 7. 2lim 2

xx x x

4. 2

3lim

5x

x

x 8.

3

3

9 1lim

2 2x

x

x x

42

f(c)

c

y=f(x

)

L

c

y=f(x

)

f(c)

f(c)

c

y=f(x

)

L

c

y=f(x

)

c

y=f(x

)

Kontinuitas Fungsi

Kata kontinu diartikan sebagai suatu proses yang berkelanjutan tanpa perubahan

yang mendadak.

Pernah dijumpai suatu fungsi dimana lim ( ) ( )x c

f x f c

, kadang-kadang lim ( )x c

f x

ada

tetapi ( )f c tidak ada (tak terdefinisi). Bagaimana hubungan lim ( )x c

f x

dan ( )f c ?

Berbagai kemungkinan hubungan tersebut dijelaskan oleh grafik berikut :

Definisi

Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval buka yang memuat c . Fungsi f dikatakan

kontinu di c jika memenuhi :

i. Nilai ( )f c ada, terdefinisi

ii. lim ( )x c

f x

ada, dan

lim ( ) ( )x c

f x f c

lim ( ) ( )x c

f x L f c

lim ( )x c

f x L

f(c) tidak terdefinisi

lim ( )x c

f x

tidak ada

f(c) terdefinisi

lim ( )x c

f x

tidak ada

f(c) tidak terdefinisi

43

iii. lim ( ) ( )x c

f x f c

.

Jika salah satu atau lebih dari tiga syarat di atas tidak terpenuhi, maka f dikatakan

diskontinu di c .

Contoh 1.

Fungsi 2( ) 4 4f x x x kontinu di 2x , sebab :

i. 2(2) 2 4(2) 4 0f ( terdefinisi)

ii. 22 2

lim ( ) lim 4 4 0x x

f x x x

, dan

iii. 22 2

lim ( ) lim 4 4 0 (2)x x

f x x x f

.

Contoh 2

Fungsi 2 4 4

( )2

x xf x

x

diskontinu di 2x , sebab :

(2)f tidak terdefinisi, artinya nilai (2)f tidak ada meskipun nilai

2

2 2 2

4 4 ( 2)( 2)lim ( ) lim lim 4

2 2x x x

x x x xf x

x x

ada.

Fungsi 2 4 4

( )2

x xf x

x

dapat menjadi kontinu di 2x dengan mendefinisikan

(2) 4f .

Contoh 3

Diberikan fungsi sebagai berikut

2 4 4, 2

( ) 2

4 , 2

x xx

f x x

x

Apakah fungsi f kontinu di 2x ?

Solusi :

Fungsi f dikatakan kontinu di 2x jika memenuhi tiga syarat di atas :

i. Nilai (2) 4f ada (terdefinisi)

44

ii. 2

2 2 2

4 4 ( 2)( 2)lim ( ) lim lim 4

2 2x x x

x x x xf x

x x

, dan

iii. 2

2

4 4lim 4 (2)

2x

x xf

x

.

Jadi fungsi f kontinu di 2x .

Contoh 4

Selidi apakah fungsi

2 2 8, 2

( ) 2

2 , 2

x xx

f x x

x

kontinu di 2x !

Solusi :

Diselidiki tiga syarat di atas, yaitu :

i. Nilai (2) 2f ada (terdefinisi)

ii. 2

2 2 2

2 8 ( 4)( 2)lim ( ) lim lim 6

2 2x x x

x x x xf x

x x

iii. 2 2

lim ( ) 6 4 (2)x x

f x f

.

Karena syarat ke-tiga, yaitu 2 2

lim ( ) 6 4 (2)x x

f x f

, tidak terpenuhi, maka f diskontinu

di 2x .

Sifat-sifat kekontinuan fungsi

Jika fungsi f dan fungsi g masing-masing kontinu di x c , maka :

i. ; ;f g f g fg kontinu di x c

ii. f

g , ( ) 0g c kontinu di x c .

Latihan

1. Tentukan apakah fungsi berikut kontinu di c ?

a.

3 1, 1

( ) 4 , 1, 1

2 , 1

x x

f x x c

x x

b.

2

2

4 3 , 0

( ) 4 , 0 , 0

16 ,0 4

x x

f x x c

x x

2. Tentukan ( )f c sehingga fungsi-fungsi berikut kontinu di c

45

a. 2 4

( ) , 22

xf x c

x

b.

2 , 1( ) , 1

1, 1

x xf x c

x x

3. Tentukan nilai k sehingga fungsi f kontinu di 2x

2 5 7, 2

( ) 2

, 2

x xx

f x x

k x

.