MATERI KULIAH MATEMATIKA EKONOMI 2 -...
46
MATERI KULIAH MATEMATIKA EKONOMI 2 Disusun Oleh : Muhammad Imron Hadisantosa UNIVERSITAS GUNADARMA @2016
Transcript of MATERI KULIAH MATEMATIKA EKONOMI 2 -...
MATERI KULIAH
MATEMATIKA EKONOMI 2
Disusun Oleh : Muhammad Imron Hadisantosa
UNIVERSITAS GUNADARMA @2016
DAFTAR ISI BAB I LIMIT DAN KEKONTINUAN ............................................................................................ 1
A. Pengertian .............................................................................................................. 1
B. Limir Kiri dan Limir Kanan ....................................................................................... 1
C. Kaidah-kaidah Limit ................................................................................................ 3
D. Limit Kasus-kasus Khusus ....................................................................................... 3
E. Kesimanbungan dan Kekontinuan .......................................................................... 5
BAB II DIFERENSIAL .................................................................................................................. 7
A. Definisi / Pengertian Diferensial ............................................................................. 7
B. Kaidah-kaidah Diferensial ....................................................................................... 8
C. Hakikat Derivatif dan Diferensial .......................................................................... 11
D. Derivatif dari Derivatif .......................................................................................... 12
E. Hubungan Antara Fungsi dan Derivatifnya ........................................................... 13
F. Aplikasi dalam Bisnis dan Ekonomi ....................................................................... 15
BAB III DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK .................................................................................. 22
A. Derivatif Parsial ..................................................................................................... 22
B. Derivatif dari Derivatif Parsial ............................................................................... 22
C. Nilai Ekstrim : Maksimum dan Minimum ............................................................. 23
D. Optimasi Bersyarat ............................................................................................... 24
E. Penerapan Diferensial Parsial ............................................................................... 27
BAB IV INTEGRAL ...................................................................................................................... 31
A. Integral Tak Tentu ................................................................................................. 31
B. Aplikasi Integral Tak tentu dalam Bidang Bisnis dan Ekonomi ............................. 37
C. Integral Tertentu .................................................................................................... 41
D. Aplikasi Integral Tertentu ..................................................................................... 43
BAB 1 LIMIT DAN KEKONTINUAN
A. Pengertian
Limit menggambarkan seberapa jauh sebuah fungsi akan berkembang apabila variabel pada fungsi tersebut mendekati suatu nilai tertentu. Suatu fungsi f(x) mempuntai limit L apabila variabel x terus menerus berkembang mendekati nilai tertentu a
Hubungan ini ditulis dengan notasi : LxfLim
ax=
→)(
Dibaca : ”Limit fungsi f(x) untuk x mendekati a adalah L”. Yang perlu diperhatikan :
- x → a ditafsirkan sebagai x mendekati a (x ≠ a) - Lim f(x) = L ditafsirkan sebagai L adalah limit fungsi f(x). ( f(x) ≠ L )
B. Limit Kiri dan Limit Kanan Ingat pada sebuah garis bilangan :
- Dari arah kiri ke kanan, bilangan dari kecil semakin besar - Dari arah kanan ke kiri, bilangan dari besar semakin kecil
a. Limit kiri sebuah fungsi adalah nilai yang didekati fungsi tersebut apabila variabelnya bergerak mendekati limitnya dari arah kiri.
Notasi : LxfLimax
=−→
)(
nilai a didekati dari arah kiri
b. Limit kanan sebuah fungsi adalah nilai yang didekati fungsi tersebut apabila variabelnya bergerak mendekati
limitnya dari arah kanan. Notasi : LxfLim
ax=
+→)(
nilai a didekati dari arah kanan
c. Limit sebuah fungsi dikatakan ada jika dan hanya jika limit kiri dan kanan ada dan sama. )( )( )(
xfLimxfLimxfLim
axaxax →→→==
+−
Contoh 1 :
Jika f(x) =242
−−
xx periksa apakah f(x) mempunyai limit untuk nilai x mendekati 2 !
Jika kita substitusikan langsung nilai x = 2 ke dalam fungsi f(x) maka
f(2) = 00
044
22422
=−
=−−
diperoleh nilai tak tentu(tak terdefinisi)
Limit kiri dari f(x) adalah =−−
−→ 242
2 xx Lim
x...
Lengkapi tabel berikut dari kiri x 0 1 1,2 1,3 1,5 1,7 1,8 1,9 1,999 x→2–
f(x) =242
−−
xx 2 3 3,2 ... ... ... ... ... ... ...
Pada tabel di atas, jika nilai x semakin mendekati nilai 2 dari kiri maka nilai f(x) semakin mendekati suatu nilai yaitu ....
Hal ini berarti =−−
−→ 242
2 xxLim
x
....
1
Limit kanan dari f(x) yaitu =−−
+→ 242
2 xxLim
x
...
Lengkapi tabel berikut dari kanan x x→2+ 2,001 2,1 2,2 2,4 2,5 2,7 2,9 3 4
f(x) =2x4x2
−− ... ... ... ... ... ... ... 4,9 5 6
Pada tabel di atas, jika nilai x semakin mendekati nilai 2 dari kanan maka nilai f(x) semakin mendekati suatu nilai yaitu ....
Hal ini berarti =−−
+→ 242
2 xxLim
x
....
Ternyata limit kiri sama dengan limit kanan yaitu ... sehingga dikatakan limitnya ada/terdefinisi. Atau
juga bisa dikatakan fungsi242
−−
=x
xf(x) mempunyai limit pada x = 2 yaitu .... Ditulis =−−
→ 2x4x
Lim2
2 x....
Contoh 2 :
Jika x
f(x) 3 = periksa apakah f(x) mempunyai limit untuk nilai x mendekati 0 !
Jika kita substitusikan langsung nilai x = 0 ke dalam fungsi f(x) maka
f(0) = ∞=03
Perhatikan lebih teliti lagi dengan mencari limit kiri dan kanan.
Limit kiri dari f(x) adalah =−→ x
Limx
3
0 ...
Lengkapi tabel berikut dari kiri x –1 –0,5 –0,2 –0,1 –0,01 -0,001 -0,0001 -0,00000001 x→0–
f(x) =x3 –3 –6 –15 ... ... ... ... ... ...
Pada tabel di atas, jika nilai x semakin mendekati nilai 0 dari kiri maka nilai f(x) semakin mendekati suatu nilai yaitu ....
Hal ini berarti =−→ x
Limx
3
0 ....
Limit kanan dari f(x) yaitu =+→ x
Limx
3
0 ...
Lengkapi tabel berikut dari kanan x x→0+ 0,000000000001 0,00001 0,0001 0,1 0,3 0,6 1
f(x) =x3 ... ... ... ... ... 10 5 3
Pada tabel di atas, jika nilai x semakin mendekati nilai 0 dari kanan maka nilai f(x) semakin mendekati suatu nilai yaitu ....
Hal ini berarti =+→ x
Limx
3
0 ....
Karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan maka dikatakan limitnya tidak ada/tak terdefinisi.
Atau juga bisa dikatakan fungsix3
f(x) = tidak mempunyai limit pada x = 0
2
C. Kaidah-kaidah Limit Beberapa kaidah limit yaitu : a. kk Lim
a x=
→
Contoh : 66 =→
Lim4 x
b. (x)g Lim(x)f Limg(a) (x)f Lim
a xa xa x →→→±=±
Contoh : 1x Lim2-x Lim1)}(2x 2)-x{( Lim x x x
++=++→→→
233222
=→
1}-x{ Lim x
52
4 + 5
9 = 9
c. (x)g Lim(x)f Limg(a)} (x)f{ Lima xa xa x →→→
⋅=⋅
Contoh : ( )( ) x Limx Lim6xx Lim x
2 x
2 x
644333 →→→
⋅=
=→
3
3 x4x2 Lim (36) . 18
648 = 648
d. (x)g Lim
(x)f Lim
xg(x)f Lim
a x
a xa x
→
→
→=
)(
Contoh : ( )
( )1-x Lim
x Lim
xx Lim
x
2 x
x2
22
2
23
123
→
→
→
+=
−+
14 = 114
14 = 14
e. n
a xn
a x(x)f Lim(x)f{ Lim
=
→→}
Contoh : ( ) ( )2
3
2
3
+=+
→→12x Lim12x Lim
x x
( ) ( )22
37144 =++
→xx Lim
x 49 = 49
f. Jika f(x) = g(x) dan L(x)f Lima x
=→
maka L(x)g Lima x
=→
juga
Contoh : )(
))((1
131
322
2
2 −−+
=−
−+→→ x
xx Limx
xx Lim x x
( )3x Limx
xx Lim x x
+=−
−+→→ 2
2
2 132
5 = 5
D. Limit kasus-kasus khusus
Limit suatu fungsi tidak boleh menghasilkan bilangan tak tentu
∞∞ atau
00 . Oleh karena itu, jika dengan
substitusi langsung diperoleh bentuk tak tentu, maka perlu dilakukan perubahan pada bentuk fungsinya.
a. Jika diperoleh 00
Faktorkan pembilang dan/atau penyebut dari fungsi tersebut dan sederhanakan
3
Contoh :
1) 00
11431
1432
1=
−−+
=−
−+→ x
xx Lim x
(Karena diperoleh bentuk tak tentu maka...)
)())((
114
143
1
2
1 −−+
=−
−+→→ x
xx Limx
xx Lim x x
(Pembilang difaktorkan)
= ( )4x Lim x
+→1
(disederhanakan)
= 1 + 4 = 5
2) 00
2246104
265
2
2=
−−+−
=−+++
−→ xxxx Lim
2 x (Karena diperoleh bentuk tak tentu maka...)
))(())((
2123
265
2
2
+−++
=−+++
−→−→ xxxx Lim
xxxx Lim
2 x2 x (Pembilang dan penyebut difaktorkan)
= )()(
13
−+
−→ xx Lim
2 x (disederhanakan)
= 31
31
1232
−=−
=−−+−
Latihan Tentukan limit fungsi berikut :
1) xx Lim
x
3
0
6→
4) 183
32 −−
+−→ xx
x Lim3 x
2) 5252
5 −−
→ xx Lim
x 5)
3
2
0 48xx Lim
x →
3) ( )x
x Lim x
93 2
0
−−→
6) 5283
2
2
4 −−−+
→ xxxx Lim
x
b. Jika diperoleh ∞∞
Pembilang dan penyebut dibagi dengan variabel pengkat tertinggi Contoh :
∞∞
=∞−∞∞+∞
=−+
∞→ 36
25
734
xxxx Lim
x (Karena diperoleh bentuk tak tentu maka...)
6
3
6
6
6
2
6
5
36
25
73
4
734
xx
xx
xx
xx
Limxxxx Lim
x x−
+=
−+
∞→∞→ (pembilang dan penyebut dibagi dengan x6)
=
3
4
73
14
x
xx Lim x −
+
∞→ (sederhanakan)
= 030
0300
73
14
==−+
=
∞−
∞+
∞
Latihan Tentukan limit fungsi berikut :
1) 45296
23
24
−+++
∞→ xxxx Lim
x 2)
xxxxx Lim
x 372635
34
24
+−−+
∞→ 3)
xxxxxx Lim
x 493832
34
52
++−+
∞→
4
Cara Ringkas :
Diketahui ........
++
∞→ n
m
x pxax Lim
penyebut tertinggipangkat adalah npembilang tertinggipangkat adalah m
Jika m > n dan a > 0 maka nilai Limitnya = ....
a < 0 maka nilai Limitnya = ....
Jika m = n maka nilai Limitnya = ....
Jika m < n maka nilai Limitnya = ....
E. Kesinambungan/Kekontinuan Sebuah fungsi dikatakan kontinu pada x = a jika memenuhi :
• f(a) terdefinisi/ada • i/adaterdefinis (x)
fLim
ax →
• f(a) (x)
=→
fLimax
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval b ≤ x ≤ c atau interval b < x < c jika ia kontinu pada setiap titik di dalam interval tersebut. Contoh :
Tunjukkan fungsi f(x) = ( )1x3x2x2
−−+ kontinu pada titik x = 2
Jawab :
• f(2) = ( )123)2(222
−−+ =
1344 −+ = 5
• ( )1x3x2x
Lim2
2 x −−+
→= 5
• f(2) = (x)f Lim2 x →
Jadi f(x) kontinu pada x = 2. Jika tidak kontinu pada suatu titik dimana x = a, maka dikatakan f(x) diskontinu /asinambung pada x = a Diskontinu ada 3 kemungkinan/jenis a. Diskontinu tak berhingga b. Diskontinu berhingga c. Diskontinu titik Penjelasan : a. Fungsi f(x) diskontinu tak berhingga pada x = a jika
−∞==∞==→→
f(a) (x) atau f(a) (x)
fLimfLimaxax
Contoh : f(x) = ( )23
9
−x pada x = 3
Diperoleh ( )
)(fx
Limx
33
923
=∞=−→
Secara grafis, terlihat sebagai berikut : (Grafik fungsi akan bertemu di jauh takhingga)
3
5
b. Fungsi f(x) diskontinu berhingga pada x = a jika - f(a) terdefinisi/ada - ada i/takterdefinis tak (x)
fLim
ax →
Contoh :
≥<≤
=5 untuk350 untuk2
xxxx
)x(f
Untuk fungsi ini diperoleh : - f(5) = 15(5) = 75 - iterdefinis tak / ada tidak (x)
5 =
→fLim
x
(karena limit kiri = 10 tetapi limit kanan = 15) Secara grafis terlihat seperti di samping :
c. Fungsi f(x) diskontinu titik pada x = a jika - f(a) tak terdefinisi/tak ada - i/adaterdefinis (x)
fLim
ax →
Contoh :
525x
(x) 2
5 −−
=→ x
fLimx
Untuk fungsi ini diperoleh :
- f(5) = 00 tak terdefinisi/tak ada
- ( )( )( )5
55x
525x
5
2
5 −−+
=−−
→→ xxLim
xLim
xx
( ) 105x 5
=+=→x
Lim
(terdefinisi/ada) Secara grafis terlihat seperti di samping :
Fungsi kontinu untuk setiap x kecuali pada x = 5, fungsi tidak terdefinisi.
10
15
5
5
10
5
6
BAB 2 DIFERENSIAL
A. Definisi/pengertian diferensial
Kuosien Diferensi (difference quotient) dari y = f(x) mencerminkan tingkat perubahan rata-rata variabel terikat y terhadap variabel bebas x.
Jika y = f(x) dan ∆x (dibaca ”delta x”) adalah penambahan nilai variabel x, maka : - Bentuk persamaan dapat dituliskan menjadi → y = f(x) - Jika x bertambah sebesar ∆x, maka nilai y bertambah sebesar ∆y → y + ∆y = f(x + ∆x) - Pertambahan nilai y (∆y) dapat ditentukan dengan → ∆y = f(x + ∆x) – y - Karena y = f(x) maka menjadi → ∆y = f(x + ∆x) – f(x)
- Jika ruas kiri dan kanan dibagi dengan ∆x → x
)x(f)xx(fxy
∆−∆+
=∆∆
Bentuk x
)x(f)xx(fxy
∆∆
∆∆ −+
= inilah yang disebut dengan hasil bagi perbedaan (kuosien diferensi)
Diferensiasi merupakan proses pendiferensian yaitu penentuan Limit dari kuosien diferensi dimana ∆x → 0. Hasil yang diperoleh dari proses pendiferensian dinamakan Turunan atau Derivatif. Derivatif dari y = f(x) terhadap variabel x dilambangkan dengan y’ = f’(x) Sehingga dapat kita tuliskan :
y' = f’(x) =dxdy =
x)x(f)xx(f
Limxy
Lim0x0x ∆
∆∆∆
∆∆
−+=
→→
Contoh : 1. Tentukan derivatif dari y = f(x) = 3x + 5
Jawab :
y' = f’(x) = x
)x(f)xx(fLim
0x ∆∆
∆
−+→
=x
)5x3()5)xx(3(Lim
0x ∆∆
∆
+−++→
= x
5x35x3x3Lim
0x ∆∆
∆
−−++→
= xx3
Lim0x ∆
∆∆ →
= 33Lim0x
=→∆
2. Tentukan Derivatif dari y = f(x) = 4x2 + 5x – 1
Jawab :
y' = f’(x) = x
)x(f)xx(fLim
0x ∆∆
∆
−+→
= x
)1x5x4()1)xx(5)xx(4(Lim
22
0x ∆∆∆
∆
−+−−+++→
= x
)1x5x4()1x5x5)xxx2x(4(Lim
222
0x ∆∆∆∆
∆
−+−−++++→
= x
1x5x41x5x5x4xx8x4Lim
222
0x ∆∆∆∆
∆
+−−−++++→
= x
x5x4xx8Lim
2
0x ∆∆∆∆
∆
++→
=
)5x4x8( Lim0x
++→
∆∆
= 8x + 5
7
Latihan : Tentukan turunan fungsi berikut :
a. f(x) = x3 c. f(x) = 3x 2 + 3x e. xy = b. f(x) = 3x –2 d. f(x) = 4x –3 f. f(x) = x3 + 2x – 5
B. Kaidah-kaidah diferensiasi Diferensial memenuhi beberapa kaidah : 1. Derivatif fungsi konstanta
Jika y = k, dimana k adalah konstanta, maka y’ = 0 Contoh : y = 5 maka
y’ = 0
2. Derivatif fungsi linier Jika y = ax + b dimana b adalah konstanta, maka y’ = a Contoh : y = 6x + 8, maka
y’ = 6
3. Derivatif fungsi pangkat Jika y = axn, dimana a adalah koefisien dari xn, maka y = n.axn-1. Contoh : y = 5x3 maka
y’ = 3.5x3-1 y’ = 15x2
4. Derivatif penjumlahan fungsi Jika y = u ± v, dimana u = g(x) dan v = h(x), maka y’ = u’ ± v’ Contoh : y = 3x2 + 8x, maka
y’ = 6x + 8
5. Derivatif perkalian fungsi a. Perkalian fungsi dan konstanta
Jika y = k.u, dimana k adalah konstanta dan u = g(x), maka y’ = k.u’ Contoh : y = 3(5x2 – 4x + 1), maka y’ = 3(10x – 4) y’ = 30x – 12
b. Perkalian fungsi Jika y = u.v, dimana u = g(x) dan v = h(x), maka y’ = u’v + uv’ Contoh : y = (2x5 – 7)(3x2 + 4), maka u = (2x5 – 7) maka u’ = 10x4 v = (3x2 + 4) maka v’ = 6x y’ = u’v + uv’ y’ = (10x4)( 3x2 + 4) + (2x5 – 7)(6x) y’ = 30x6 + 40x4 + 12x6 – 42x y’ = 42x6 + 40x4 – 42x
6. Derivatif hasil bagi fungsi
Jika y = vu , dimana u = g(x) dan v = h(x) , maka y’ =
2v'uvv'u −
Contoh : y = 2
6
x4)x3x( + , maka
u = (x6 + 3x) maka u’ = 6x5 + 3 v = 4x2 maka v’ = 8x
y’ = 22
625
)x4()x8)(x3x()x4)(3x6( +−+
y’ = 4
2727
x16x24x8x12x24 −−+
8
y’ = 4
27
x16x12x16 −
y’ = 2
5
x43x4 −
7. Derivatif fungsi komposisi (dalil rantai)
Jika y = f(u) sedangkan u = g(x), atau y = f(g(x)), maka dxdu
dudy
dxdy
⋅=
Contoh : y = (4x2 + 5)2, maka
u = 4x2 + 5 maka dxdu = 8x
y = u2 maka dudy = 2u
y’ = dxdu
dudy
dxdy
⋅= = 2u . 8x
= 2(4x2 + 5) . 8x = 64x3 + 80x
8. Derivatif fungsi berpangkat jika y = un dimana u = g(x), maka y’ = n.u’.un-1 Contoh : Jika y = (4x2 + 5)2 maka Misalkan u = 4x2 + 5 sehingga u’ = 8x y' = n.u’.un-1 y’ = 2.(8x). (4x2 + 5)1 y’ = 16x (4x2 + 5)1 y’ = 64x3 + 80x
9. Derivatif tingkat tinggi Derivatif ke n dari fungsi f(x) diperoleh dari mendiferensialkan sebanyak n kali
Derivatif ke-n dari fungsi y = f(x) dilambangkan dengan y(n) = f(n)(x) = n
n
dx
yd
Contoh : y = 6x5 + 3x4 – 2x3 + 6x2 – 5x + 8
y' = f’(x) =dxdy = 30x4 + 12x3 – 6x2 + 12x – 5
y”= f”(x) = 2
2
dx
yd = 120x3 + 36x2 – 12x + 12
y”’= f”’(x) = 3
3
dx
yd = 360x2 + 72x – 12
10. Derivatif Fungsi Logaritmik
Jika y = alog x, maka y’ = alnx
1
Contoh : y = 5log x, maka y’ = 5lnx
1
11. Derivatif fungsi logaritmik - Napier
Jika y = ln x maka y’ = 1/x
Jika y = ln u, dimana u = g(x) maka y’ = dxdu
dudy
dxdy
⋅= = dxdu
u1
⋅ = u'u
Contoh : y = ln(3 – 4x2) Misal u = 3 – 4x2 maka u’ = dxdu = – 8x
y' = u'u =
2x43
x8
−
−
9
12. Derivatif fungsi eksponensial Jika y = ax maka y’ = ax ln a Jika y = au dimana u = g(x) maka y’ = u’.au.ln a Jika y = ex maka y’ = ex (karena ln e = 1) Jika y = eu dimana u = g(x) maka y’ = u’.eu (karena ln e = 1) Contoh : b. y = 56x maka y’ = 6.56x.ln 5
a. y = 2e3x maka y’ = 3.2e3x = 6e3x
13. Derivatif fungsi Implisit Jika f(x,y) = 0 merupakan fungsi implisit sejati (tidak dapat dieksplisitkan), maka y’ dapat diperoleh dengan mendiferensiasikan suku demi suku dengan menganggap y sebagai fungsi dari x. Contoh :
a. Diketahui 4xy2 – x2 + 2y = 0, tentukan dxdy !
Jawab : Dalam contoh ini 4xy2 dianggap sebagai perkalian dua buah fungsi yaitu u = 4x dan v = y2 sehingga
u' = 4 dan v’ = 2ydxdy
derivatif dari u.v adalah u’v + uv’ = 4y2 + 4x(2ydxdy ) = 4y2 + 8xy
dxdy
derivatif dari – x2 adalah –2x
derivatif dari 2y adalah 2dxdy
Diperoleh :
4y2 + 8xydxdy – 2x + 2
dxdy = 0
4y2 – 2x + (8xy + 2) dxdy = 0
(8xy + 2) dxdy = 2x – 4y2
dxdy =
2xy8y4x2 2
+− =
1xy4y2x 2
+−
b. Diketahui x2y – ex – ey = 5, tentukan dxdy
Derivatifnya adalah :
2xy + x2
dxdy – ex – ey
dxdy = 0
2xy – ex + (x2 – ey) dxdy = 0
(x2 – ey) dxdy = ex – 2xy
dxdy =
y2
x
ex
xy2e
−
−
14. Derivatif fungsi trigonometrik Jika y = sin x ⇒ y’ =cos x Jika y = cos x ⇒ y’ = –sin x Catatan :
Jika y = tg x ⇒ y’ = sec2 x Sec x = xcos
1 dan Cosec x = xsin
1
Jika y = ctg x ⇒ y’ = – cosec2 x Jika y = sec x ⇒ y’ = sec x. tg x Jika y = cosec x ⇒ y’ = –cosec x. ctg x
10
Latihan : 1. Tentukan turunan fungsi berikut ini dengan kaidah turunan hasil kali fungsi
a. f(x) = (2x+4)(3x – 2) b. f(x) = (x2 – 2)(4x) c. f(x) = (4x – 2)(2x2 + 4) d. f(x) = 3x(x + 2) e. f(x) = (2 – 3x)(√x)
2. Tentukan turunan fungsi berikut ini dengan kaidah turunan pembagian fungsi
a. 1x
x2)x(f−
= d. 4x3
1)x(f
2 −=
b. 1x1x)x(f
+−
= e.2x3x2)x(f
++
=
c. 1x
5x2)x(f
2 −
+= f.
9x
1x)x(f
2
2
+
−=
3. Tentukan dxdy fungsi berikut :
a. y = 2x3 – 4x2 + 7x5 b. y = 9 – 3x –1 + 6x –2 c. y = (3x – 2)3 d. y = 3(2x + 4)5 e. y = 8(x2 + x)1/2
f. y = 4x3
12 −
g. y = (4x – 1)7 h. y = (4x3 – x2)3
i. y = 2𝑒𝑒𝑥𝑥2
j. xy – x2 + y2 = 0
C. Hakikat derivatif dan diferensial Pada pembahasan sebelumnya, telah dijelaskan :
Kuosien Diferensi xy
∆∆ adalah lereng/kemiringan/gradien dari kurva y = f(x) sedangkan
Derivatif dxdy adalah nilai Lim
xy
∆∆ untuk ∆x → 0. (
dxdy =
xy
Lim0x ∆
∆→
)
Jika ∆x sangat kecil maka nilai Lim xy
∆∆ sama dengan
xy
∆∆ , dengan kata lain Kuosien diferensi sama dengan
derivatifnya (dxdy =
xy
∆∆ ).
Lebih jelas dapat dipahami dari uraian berikut :
Notasi derivatif dxdy terdiri dari dua suku, yaitu dy dan dx.
Suku dy dinamakan diferensial dari y yang mencerminkan taksiran perubahan pada veriabel terikat y berkenaan dengan perubahan sangat kecil pada variabel bebas x. Sedangkan suku dx dinamakan diferensial dari x yang mencerminkan perubahan sangat kecil dari variabel x.
Dengan demikian, dxdy merupakan lereng taksiran (approximated slope) dari kurva y = f(x) pada kedudukan x
tertentu. Sedangkan lereng yang sesungguhnya (true slope) adalah kuosien diferensi xy
∆∆ .
Lereng taksiran ini dapat lebih besar (over estimated) atau lebih kecil (lower estimated), atau sama dengan lereng sesungguhnya. Hal ini tergantung pada jenis fungsi dan besar kecilnya berubahan pada variabel bebas.
11
Pada fungsi linier : Untuk fungsi non linier : Semakin besar ∆x maka semakin besar perbedaan antara lereng taksiran dan lereng sesungguhnya. Lerang taksiran dy lebih kecil dari (under estimated) Lereng taksiran lebih besar (over estimated) lerang sesungguhnya dari lereng sesungguhnya
D. Derivatif dari derivatif
Turunan pertama terhadap x dari fungsi y = f(x) adalah
y’ = f’(x) = dxdy
= dx
xdf )(= fx
Turunan dari turunan pertama dinamakan turunan kedua dan dilambangkan dengan
y’’ = f’’(x) = 2
2
dxyd = 2
2 )(dx
xfd = fxx
Turunan dari turunan kedua dinamakan turunan ketiga dan dilambangkan dengan
y’’’ = f’’’(x) = 3
3
dxyd = 3
3 )(dx
xfd = fxxx
Contoh : Fungsi y = f(x) Turunan pertama Turunan kedua Turunan ketiga
y = 3x + 5
y = 3x2 + 4x – 7
y = 4x3 + x2 – 3x + 10
y = 3 Sin x
y = 2 Cos 3x
∆y = dy
∆x = dx
y = f(x)
x
y Perubahan x = ∆x Perubahan y = ∆y Diferensial x = dx Diferensial y = dy
Kuosien diferensi = xy
∆∆
dxdy =
xy
∆∆
Derivatif = dxdy
∆y ≠ dy QR = dy QS = ∆y
∆x = dx
y = f(x)
x
y
P
S
R
Q
∆y ≠ dy QR = dy QS = ∆y ∆x = dx
y = f(x)
x
y
P
S R
Q
12
Latihan :
1. Tentukan 3
3
dxyd jika diketahui y = (2x + 5)4
2. Tentukan fxx jika f(x) = 232x
3. Tentukan y’’’ jika diketahui a. y = x2 + 3x + 4 b. y = 2x3 – ½ x2 + 2x + 9 c. y = 3e2x d. y = x2 e3x e. y = 5 Cos x f. y = 4 Sin 2x
g. y = x
x3
12 2 −
E. Hubungan Antara Fungsi dan Derivatifnya
1. Menentukan persamaan Garis singgung dan Garis Normal Langkah – langkah untuk mencari Garis singgung dan Garis normal adalah : 1) Tentukanlah titik singgung ( x1 , y1 ) 2) Cari koefisien arah m = f’(x1) 3) Cari Garis singgung dengan rumus : y – y1 = m (x – x1)
4) Cari Garis Normal dengan rumus : y – y1 = m1− ( x – x1)
Contoh : Diketahui kurva dengan persamaan y = x2 – x – 6. Tentukan :
a. Persamaan garis singgung di x = 2 b. Persamaan garis normal di titik tersebut
Jawab : y = x2 – x – 6 dengan x = 2 y = (2)2 – (2) – 6 y = – 4 Diperoleh titik singgung di (2, –4)
y’ = f’(x) = 2x – 1 m = f’(2) = 2(2) – 1 = 4 – 1 = 3 Diperoleh gradien garis singgung m = 3
a. Persamaan garis singgung y – y1 = 3 (x – x1) y – (–4) = 3(x – 2) y + 4 = 3x – 6 y = 3x – 10 atau 3x –y – 10 = 0
b. Persamaan garis normal y – y1 = m1− (x – 2)
y + 4 = 31− (x – 2)
3y + 12 = –x + 2 x + 3y + 10 = 0
Catatan : Garis Normal adalah garis yang tegak lurus pada garis singgung kurva
13
2. Menentukan Keadaan Fungsi Menaik dan Fungsi Menurun Diketahui titik (a, b) pada grafik fungsi y = f(x) 1) Jika f’ (a) > 0, maka fungsi naik pada titik tersebut 2) Jika f’ (a) > 0, maka fungsi turun pada titik tersebut 3) Jika f’ (a) = 0, maka titik (a,b) merupakan titik stasioner/ titik ekstrim/ titik balik
Jenis-jenis titik stasioner adalah : • Jika f’’(a) > 0, maka (x,y) merupakan titik balik minimum • Jika f’’(a) < 0, maka (x,y) merupakan titik balik maksimum • Jika f’’(a) = 0, maka (x,y) merupakan titik belok
Contoh 1 :
Diketahui fungsi y = x2 + 6x – 24. Tentukan apakah pada titik-titik dengan absis berikut maka fungsinya naik, turun, atau stasioner (Jika stasioner maka tentukan apakah minimum, maksimum, atau titik belok) a. x = 2 b. x = –5 c. x = –3 Jawab : y = x2 + 6x – 24 maka y’ = f’(x) = 2x + 6 a. x = 2
f’(2) = 2(2) + 6 f’(2) = 4 + 6 f’(2) = 10 Karena f’(2) > 0 maka pada x = 2 berupa fungsi naik
b. x = –5 f’(–5) = 2(–5) + 6 f’(–5) = –10 + 6 f’(–5) = –4 Karena f’(–5) < 0 maka pada x = –5 berupa fungsi turun
c. x = –3 f’(–3) = 2(–3) + 6 f’(–3) = –6 + 6 f’(–3) = 0 Karena f’(–3) = 0 maka pada x = –3 merupakan titik stasioner Karena berupa titik stasioner, maka perlu diselidiki apakah maksimum, minimum, atau titik belok. f'(x) = 2x + 6 maka f’’(x) = 2 dan f’’(–3) = 2 Karena f’’(–3) = 2 > 0 maka pada x = –3 merupakan titik stasioner yang minimum.
Contoh 2 :
Pada fungsi y = 2x2 – 16x + 10 tentukan titik stasioner, interval naik dan interval turun Jawab : y = 2x2 – 16x + 10 maka y’ = f’(x) = 4x – 16 Fungsi akan diperoleh stasioner jika y’ = f’(x) = 0 Yaitu f’(x) = 4x – 16 = 0 4x = 16 x = 4 Karena x = 4 maka y = 2(4)2 – 16(4) + 10 y = 32 – 56 + 10 y = – 14 Diperoleh titik stasioner di (4, –14)
Untuk x < 4 misal dipilih x = 1 maka y’ = f’(1) = 4(1) – 16 y’ = f’(1) = –11 f’(a) < 0 merupakan fungsi turun Sehingga fungsi turun pada interval x < 4
14
Untuk x > 4 misal dipilih x = 6 maka y’ = f’(6) = 4(6) – 16 y’ = f’(6) = 8 f’(a) > 0 merupakan fungsi naik Sehingga fungsi naik pada interval x > 4
Latihan : 1. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal pada fungsi-fungsi berikut :
a. y = 2x2 – 3x – 9 pada x = –1 b. y = –3x2 + 10x + 8 pada x = 3 c. y = x3 + 2x2 – 4x – 10 pada x = 2
2. Tentukan titik stasioner dan jenisnya pada fungsi-fungsi berikut : a. y = x2 + 4x – 6 b. y = –2x2 + 12x + 7 c. y = x3 – 3x + 1 d. y = 2x3 – 3
F. Aplikasi Dalam Bisnis dan Ekonomi 1. Elastisitas
Elastisitas dari suatu fungsi y = f(x) merupakan Limit dari rasio antara perubahan relatif dalam y terhadap perubahan relatif dalam x, untuk perubahan x yang sangat kecil (mendekati nol). Elastisitas dilambangkan dengan η (eta)
η = yx
dxdy
)x/x()y/y(Lim
ExEy
x⋅=
∆∆
=→∆ 0
Dengan terminologi lain, elastisitas y terhadap x dapat dikatakan sebagai rasio antara persentase perubahan y terhadap persentase perubahan x. a. Elastisitas Harga
Adalah perbandingan antara perubahan relatif dari jumlah dengan perubahan relatif dari harga. Untuk menentukan elastisitas harga, ada dua macam cara yang digunakan, yaitu : 1) Elastisitas Titik (Point Elasticity)
η = QP
PQ
P/PQ/Q
⋅∆∆
=∆∆
2) Elastisitas Busur (Arc Elasticity) Merupakan elastisitas pada dua titik atau elastisitas pada busur kurva.
η = PQ
QP
∆∆
⋅1
1
η = PQ
QP
∆∆
⋅2
2
η = PQ
QQPP
∆∆
⋅++
21
21
Elastisitas Titik dan Busur dipakai untuk menghitung : 1. Elastisitas Harga Permintaan 2. Elastisitas Harga Penawaran
Dari hasil perhitungan , nilai elastisitas akan menunjukkan : • |η| > 1 => Elastis • |η| < 1 atau 0 < η < 1 => Inelastis (elastis sebagian) • |η| = 1 => Unitary Elastis • |η| = ∞ => Elastis sempurna • |η| = 0 => Inelastis Sempurna
15
b. Elastisitas Permintaan Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya jumlah barang yang diminta akibat adanya perubahan harga. Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan Qd = f ( P ), maka elastisitas permintaannya
ηd = Qd’ . dQ
P
Contoh 1 : Diketahui Fungsi permintaan Qd =25 – 3P2. Tentukan elastisitas pada P = 5 Penyelesaian : Qd =25 – 3P2 maka Qd’ = –6P
Sehingga ηd = Qd’ . dQ
P
ηd = –6P . 2325 P
P−
ηd = –6(5) . 2)5(325
5−
ηd = –30 . 7525
5−
ηd = 3 Karena ηd > 1 => elastik Contoh 2 : Permintaan akan suatu barang dicerminkan oleh D = 5 – P, (D=jumlah barang yang diminta, P = harga/unit). Hitunglah elastisitas permintaannya pada tingkat harga P = 3 dan pada tingkat permintaan D = 3 Penyelesaian : D = 5 – P maka D’ = –1
Untuk P = 3 → D = 5 – 3 = 2 → ηd = D’ . DP = –1 .
23 =
23
− (elastik)
Untuk D = 3 → P = 2 → ηd = D’ . DP = –1 .
32 =
32
− (inelastik)
c. Elastisitas Penawaran
Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan akibat adanya perubahan harga. Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan Qs = f (P), maka elastisitas permintaannya
ηs = Qs’ . sQ
P
Contoh 1 : Diketahui Fungsi permintaan Qd = 7P2 – 200. Tentukan elastisitas pada P = 10 Penyelesaian : Qs = 7P2 – 200 maka Qs’ = 14P
Sehingga ηs = Qs’ . sQ
P
ηs = 14P . 2007 2 −P
P karena P = 10 maka
ηs = 14(10) . 200)10(7
102 −
ηs = 140 . 200700
10−
ηs = 2,8 Karena ηd > 1 => elastik
ηd = 3 berarti apabila dari kedudukan P = 5 , harga naik sebesar 1% maka barang yang diminta akan berkurang sebanyak 3%.
ηd = 2,8 berarti apabila dari kedudukan P = 5 , harga naik sebesar 1% maka barang yang ditawarkan akan bertambah sebanyak 2,8%.
16
d. Elastisitas Produksi
Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah keluaran (output) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan (input) yang digunakan. Bisa juga dikatakan sebagai rasio antara persentase perubahan jumlah keluaran terhadap persentase perubahan jumlah keluaran. Jika fungsi produksi dinyatakan dengan P = f(x) dengan x menyatakan jumlah faktor produksi yang digunakan maka elastisitas produksinya :
ηp = P’ . Px
Contoh : Diketahui Fungsi produksi P = 6x2 – x3. Hitunglah elastisitas pada x = 5 dan x = 3 Penyelesaian : P = 6x2 – x3 maka P’ = 12x – 3x2
ηp = P’ . Px =
322
6).312(
xxxxx−
−
ηp = 2
2
32
32
)6()312(
6312
xxxx
xxxx
−
−=
−
−
ηp = )6()312(
xx
−−
Untuk x = 5 untuk x = 3
ηp = 56
)5(312−
− ηp = 36
)3(312−
−
ηp = –3 ηp = 1 (elastis) (elastis sempurna)
2. Biaya a. Biaya Total (Total Cost, TC)
Adalah seluruh biaya yang dibutuhkan untuk memproduksi/memasarkan sejumlah barang/jasa, baik yang merupakan biaya tetap (Fixed Cost, FC) atau biaya variabel (Variable Cost, VC) TC = f(Q) atau TC = FC + VC
b. Biaya Rata-rata (Average Cost, AC) Adalah biaya per unit yang dibutuhkan untuk memproduksi suatu barang/jasa pada tingkat produksi total AC = TC/Q
c. Biaya Marjinal Biaya Marginal (Marginal Cost, MC) adalah biaya tambahan yang dikeluarkan untuk menghasilkan satu unit tambahan produk. Secara matematik, fungsi biaya marjinal merupakan derivatif pertama dari fungsi biaya total (Total Cost, TC) terhadap jumlah produk (Quantity, Q).
MC = TC’ = dQdTC
Contoh : Diketahui Biaya Total adalah TC = 150 + 15Q2, tentukan biaya marjinal pada jumlah produksi 20 unit ! Penyelesaian : TC = 150 + 15Q2 maka MC = TC’ = 30Q Untuk Q = 20 maka MC = 30(20) = 600 Jadi diperoleh biaya marjinal = 600
3. Penerimaan a. Penerimaan Total (Total Revenue, TR)
Adalah total hasil penerimaan penjualan dari produk yang diproduksi
TR = f(Q) = P . Q
17
b. Penerimaan Rata-rata (Average Revenue, AR) Adalah hasil dari penerimaan per unit yang diperoleh dari penjualan suatu barang/jasa pada kuantiats tertentu. Fungsi Average Revenue sama dengan fungsi permintaan dari harga barang tersebut.
AR = QTR =
QQP × = P
c. Penerimaan Marjinal (Marginal Revenue, MR)
Adalah penerimaan tambahan yang diperoleh akibat bertambahnya penjualan satu unit barang. Secara matematik, fungsi penerimaan marjinal merupakan derivatif pertama dari fungsi penerimaan total (Total Revenue, TR) terhadap jumlah produksi.
MR = TR’ = dQdTR
Contoh : Diketahui fungsi penerimaan total TR = Q2 + 14Q + 1000, tentukan penerimaan marjinal pada Q = 50 unit! Penyelesaian : TR = Q2 + 14Q + 1000 maka MR = TR’ = 2Q + 14 Untuk Q = 50 maka MR = 2(50) + 14 = 114 Jadi diperoleh penerimaan marginal = 114
4. Utilitas Marjinal Utilitas Marjinal (Marginal Utility, MU) adalah utilitas tambahan yang diperoleh akibat satu unit tambahan barang yang dikonsumsi. Secara matematik, merupakan derivatif pertama dari fungsi Utilitas Total (Total Utility, TU).
MU = TU’ = dQdTU
Contoh : Diketahui fungsi Utilitas Total TU = f(Q) = 90Q – 5Q2. Tentukan Utilitas Marginal pada saat Utilitas total mencapai maksimum ! Penyelesaian : Utilitas total mencapai maksimum pada saat TU’ = MU = 0 TU = f(Q) = 90Q – 5Q2 maka TU’ = 90 – 10Q = 0 10Q = 90 Q = 9
Latihan Soal : 1. Fungsi Permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qd = 50 – 2P2 . Tentukan elastisitas
permintaan pada saat harga Rp 6 / unit. Bagaimana sifat elastis permintaan tersebut, analisislah !
2. Fungsi Penawaran suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P2 = 80 + Qs . Tentukan elastisitas penawaran pada saat harga Rp 4 / unit. Bagaimana sifat elastisitas penawaran tersebut, analisislah !
3. Fungsi Permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan 2P = 60 – Q . Tentukanlah tingkat penjualan
yang menghasilkan penerimaan total, carilah harga jualnya, hitunglah penerimaan jika terjual 10 unit, analisislah !
4. Biaya total yang dikeluarkan oleh perusahaan mobil PT Honda di tunjukkan oleh persamaan
TC = 43Q3 + 35Q2
– 44Q + 45. Tentukanlah besarnya biaya total, biaya rata-rata, dan biaya marginal pada saat kuantitas 4 unit? Berikan analisisnya!
5. Fungsi permintaan perusahaan makanan ringan ditunjukkan oleh P = 45Q + 3. Bagaimanakah persamaan
penerimaan totalnya? Berapa besarnya penerimaan total, penerimaan rata-rata, dan penerimaan marginal jika penjualan sebesar 4 unit? Berikan analisisnya!
18
5. Produk Marjinal
Marginal Product (MP) adalah produk tambahan yang dihasilkan dari satu unit tambahan faktor produksi yang digunakan. Merupakan derivatif pertama dari fungsi produk total (Total Product, P). Jika produk total dilambangkan dengan P = f(X) dengan X penyatakan jumlah masukan, maka Produk Marjinalnya :
MP = P’ = dXdP
Fungsi produk total yang non linier pada umumnya berbentuk fungsi kubik sehingga produk marginalnya akan berbentuk fungsi kuadrat yang titik ekstrim (maksimum)-nya tepat pada saat kurva produk total berada pada titik belok (kedudukan ini menunjukkan hukum penambahan hasil yang semakin berkurang ”the law of deminishing return”) Produk total mencapai puncaknya ketika produk marginalnya nol. Sesudah kedudukan ini, produk total menurun bersamaan produk marginal negatif (dibawah sumbu x). Produk marginal negatif menunjukkan penambahan penggunaan masukan yang bersangkutan justru akan mengurangi jumlah produk total (disefisiensi dalam kegiatan produksi). Jka produk total hendak ditingkatkan maka jumlah masukan yang digunakan harus dikurangi. Contoh kasus : Diketahui fungsi produksi total P = f(X) = 9X2 – X3. Tentukan : a. Fungsi produk marginalnya b. Jumlah masukan pada saat produk total mencapai maksimum dan tentukan produksi maksimumnya! c. Jumlah masukan pada saat produk marginal mencapai maksimum dan tentukan produk marginalnya! d. Gambarkan grafiknya Penyelesaian : Diketahui Produksi total P = 9X2 – X3 a. Produk marginalnya = MP = P’ = 18X – 3X2 b. P mencapai maksimum pada saat P’ = 0
P’ = 18X – 3X2 = 0 X(18 – 3X) = 0 X = 0 atau 18 – 3X = 0 3X = 18 X = 6 Untuk X = 6 maka P = 9(6)2 – (6)3 = 9(36) – 216 = 324 – 216 = 108 Jadi pada saat jumlah masukan = 6 produksi total mencapai maksimum yaitu 108
c. MP mencapai maksimum pada saat MP’ = 0 MP = 18X – 3X2 maka MP’ = 18 – 6X = 0 6X = 18 X = 3
Jadi MP maksimum pada saat jumlah masukan = 3 dengan produk marginal = 27
d. Grafik
MP = 18(3) – 3(3)2 MP = 18(3) – 3(9) MP = 54 – 27 MP = 27
108
54
27
3 6 19
6. Analisis Keuntungan/Laba Maksimum
Laba/Rugi (π) diperoleh dari Penerimaan Total (TR) dikurangi dengan Biaya Total (TC) Laba/Rugi akan mencapai maksimum jika π’ = 0 Karena π = TR – TC maka π’ = TR’ – TC’ = 0 π’ = MR – MC = 0 Sehingga MR = MC Jadi laba/rugi akan mencapai maksumum pada saat Penerimaan Marginal sama dengan Biaya Marginal Hal ini merupakan syarat perlu agar laba/rugi mencapai maksimum. Untuk mengetahui π’ mencerminkan keuntungan maksimum atau kerugian maksimum perlu diuji dengan derivatif kedua dari fungsi π.
π optimum apabila π’ = 0 atau MR = MC Jika π” < 0 → π maksimum ≡ keuntungan maksimum Jika π” > 0 → π minimum ≡ kerugian maksimum
π” = MR’ – MC’ dan untuk mencapai keuntungan maksimum maka π” < 0 sehingga MR’ – MC’ < 0 ≡ MR’ < MC’
Dengan demikian, syarat perlu dan cukup agar diperoleh keuntungan maksimum adalah : π’ = 0 atau MR = MC (syarat perlu/necessary condition) π” < 0 atau MR’ < MC’ (syarat cukup/sufficient condition) Contoh : Diketahui fungsi Pendapatan total TR = –2Q2 + 1000 Q dan Fungsi Biaya Total TC = Q3 – 59Q2 + 1315Q + 2000 Tentukan tingkat produksi pada saat keuntungan mencapai maksimum dan tentukan besarnya keuntungan maksimumnya! Penyelesaian : π = TR – TC π = (–2Q2 + 1000 Q) – (Q3 – 59Q2 + 1315Q + 2000) π = –2Q2 + 1000 Q – Q3 + 59Q2 – 1315Q – 2000 π = – Q3 + 57Q2 – 315Q – 2000 Syarat perlu agar keuntungan maksimum :
π’ = 0 –3Q2 + 114Q – 315 = 0 –3(Q2 – 18Q + 105) = 0 (Q – 3) (Q – 35) = 0 Q – 3 = 0 atau Q – 35 = 0 Q = 3 atau Q = 35
Syarat cukup agar keuntungan maksimum : π” < 0 π” = –6Q + 114 Jika Q = 3 maka π” = –6(3) + 114 = –18 + 114 = 96 > 0 Jika Q = 35 maka π” = –6(35) + 114 = –210 + 114 = –96 < 0 Karena π” < 0 untuk Q = 35, maka tingkat produksi yang menghasilkan keuntungan maksimum adalah Q = 35 unit. Besarnya keuntungan maksimum : π = – Q3 + 57Q2 – 315Q – 2000 π = –(35)3 + 57(35)2 – 315(35) – 2000 π = –42875 + 57(1225) – 11025 – 2000 π = –42875 + 69825 – 13025 π = 13925
20
Latihan :
1. Perusahaan “ BIORE “ tengah mengembangkan dan memasarkan paket dari produk “ AMWA “. Pada saat ini bisnis tersebut sangat pesat dan menguntungkan karena mereka menggunakan sistem pemasaran personal selling. Dari hasil laporan bagian produksi menginformasikan bahwa fungsi produksi menunjukkan Y = 150X2 – 2X3 , dimana Y adalah jumlah produk yang dihasilkan dan X adalah jumlah input yang digunakan. Berdasarkan informasi diatas : a. Berapa produk total jika digunakan 7 unit input. b. Berapa produk marginal maksimumnya.
2. Sebuah perusahaan sepatu terkenal menghadapi fungsi permintaan 4Q = 100 – P dan TC = 50 + 20Q.
a. Hitunglah produksi yang menghasilkan laba maksimum. b. Besarnya laba maksimum. c. Harga jual barangnya perunit.
3. Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = –250Q + 20.000 dengan biaya
variabel VC = 20Q2 – 2.000Q. Biaya tetap yang dikeluarkan perusahaan sebesar 25.000. Tentukanlah pada tingkat penjualan berapa perusahaan bisa mendapatkan laba maksimum dan berapakah besarnya laba tersebut?
4. Suatu perusahaan yang menghasilkan suatu komoditas tertentu dengan fungsi biaya total TC = 1/3 Q3 – 6Q2 + 49 Q + 16, di mana Q adalah jumlah output yang dihasilkan. Permintaan yang dihadapi perusahaan adalah Q=40 – P. Berdasarkan informasi tersebut : a. Carilah fungsi penerimaan marjinal (marginal revenue) b. Carilah fungsi biaya marjinal (marginal cost) ! c. Berapa jumlah output yang dihasilkan supaya keuntungannya maksimum ? d. Berapa harga jual output pada saat keuntungan maksimum ?
21
BAB III DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK
Fungsi majemuk merupakan fungsi yang mengandung lebih dari satu variabel bebas. Contoh : y = 2x3 + 3x2z – 6xz2 – 4z3 (variabel bebasnya x dan z)
A. Derivatif Parsial
Sebuah fungsi dengan satu variabel bebas hanya akan mempunyai satu macam turunan. Jika y = f(x) maka turunannya turunan y terhadap x yaitu y’ =
dxdy . Jika fungsi mempunyai lebih dari satu variabel bebas, maka
turunannya lebih dari satu pula. Jika y = f(x,z) maka akan terdapat dua macam turunan, yaitu :
o Turunan y terhadap x atau dxdy
o Turunan y terhadap z atau dzdy
Sehingga :
Jika y = f(x,z) maka y’ ( )
( )
=
=
dzdyz,xfdxdyz,xf
z
x
Derivatif/Turunan Parsial
Turunan y terhadap x yaitu dxdy hanya memperhitungkan suku-suku yang mengandung x. Sedangkan suku yang
lain dianggap sebagai konstanta dan turunannya adalah nol. Turunan y tehadap z yaitu
dzdy hanya memperhitungkan suku-suku yang mengandung z. Sedangkan suku yang
lain dianggap sebagai konstanta dan turunannya adalah nol. (dalam ekonomi dikenal istilah asumsi ceteris paribus)
Contoh : Jika y = x3 + 5z2 – 4x2z – 6xz2 + 8z – 7 maka
dxdy = .....
dzdy = ....
Latihan : Tentukan dxdy dan
dzdy dari fungsi-fungsi berikut :
1. y = 2x4 – 3x3z2 + z2 – 2x2z3 + 8xz2 + 12 2. y = 3x3 + x2z2 – 2xz3 – 4z4 + 5xz + 2x2z – xz2 – 3 3. y = x3 + 5x2z – 4xz2 + 3z3 + 14
B. Derivatif dari Derivatif Parsial
Fungsi dengan lebih dari satu variabel bebas juga dapat diturunkan lebih dari satu kali. Contoh : Jika y = x3 + 5z2 – 4x2z – 6xz2 + 8z – 7 maka
dxdy = ....
Sehingga : Turunan dxdy terhadap x :
2
2
dxyd = ....
Turunan dxdy terhadap z :
dzdxyd
2= ....
dzdy = ....
22
Sehingga : Turunan dzdy terhadap x :
dxdzyd
2= ....
Turunan dzdy terhadap z :
2
2
dzyd = ....
Soal latihan :
Tentukan 2
2
dxyd ,
dzdxyd
2,
dxdzyd
2,
2
2
dzyd ,
3
3
dxyd ,
2
3
dzdxyd , dan
2
3
dxdzyd
dari fungsi-fungsi berikut :
1. y = 2x4 – 3x3z2 + z2 – 2x2z3 + 8xz2 + 12 2. y = 3x3 + x2z2 – 2xz3 – 4z4 + 5xz + 2x2z – xz2 – 3 3. y = x3 + 5x2z – 4xz2 + 3z3 + 14
C. Nilai Ekstrim : Maksimum dan Minimum Untuk y = f(x,z), maka y akan mencapai titik ekstrimnya jika :
dxdy = fx = 0 dan
dzdy = fz = 0 (syarat perlu)
Untuk mengetahui apakah titik ekstrim berupa titik maksimum atau minimum, dibutuhkan syarat cukup yaitu :
Maksimum bila 02
2<
dxyd dan 0
2
2<
dzyd
Minimum bila 02
2>
dxyd dan 0
2
2>
dzyd
Contoh :
Selidiki apakah titik ekstrim dari fungsi majemuk y = –x2 + 12x – z2 + 10z – 45 maksimum atau minimum. Penyelesaian :
dxdy = fx = ... = 0
dzdy = fz = ... = 0
x = ... z = ...
Sehingga y = –x2 + 12x – z2 + 10z – 45 (substitusikan nilai x dan z)
y =
y =
y =
Untuk menentukan maksimum atau minimum maka ditentukan
2
2
dxyd = ...
2
2
dzyd = ...
Jadi ....
Latihan :
Selidiki apakah titik ekstrim dari fungsi majemuk p = 3q2 – 18q + r2 – 8r + 50 merupakan titik maksimum atau minimum dan tentukan nilainya.
23
D. Optimasi Bersyarat Ada kalanya kita ingin mengoptimalkan suatu fungsi tetapi terkendala oleh fungsi lain yang harus dipenuhi. Misal kita akan memaksimalkan tingkat kepuasan tetapi terkendala oleh fungsi pendapatan. Atau juga kita akan memaksimalkan laba tetapi terikat pada fungsi produksi. Perhitungan ini dapat diselesaikan dengan 2 cara : 1. Pengganda Lagrange
Cara ini dengan membentuk fungsi baru (fungsi Lagrange) yang merupakan jumlah dari fungsi yang akan dioptimalkan ditambah hasil kali pengganda Lagrange (λ) dengan fungsi kendala. Pengganda Lagrange λ ini adalah suatu variabel tak-tentu yang hanya bersifat membantu. Misal akan dioptimumkan fungsi z = f(x,y) dengan syarat harus terpenuhi u = g(x,y)
maka fungsi Lagrangnya : F(x,y,λ) = f(x,y) + λg(x,y)
Nilai ekstrim dari F(x,y,λ) dapat dicari denga memformulasikan masing-masing turunan parsial pertamanya sama dengan nol yaitu : Fx(x,y,λ) = fx + λ gx = 0 Fy(x,y,λ) = fy + λ gy = 0 Syarat di atas hanya merupakan syarat perlu. Sedangkan syarat cukup untuk mengetahui maksimum atau minimum dilakukan dengan turunan parsial kedua yaitu :
Maksimum bila Fxx < 0 dan Fyy < 0 Minimum bila Fxx > 0 dan Fyy > 0
Contoh 1 : Tentukan nilai ekstrim z dari fungsi z = 2x + 2y dengan syarat x2 + y2 = 8 dan tentukan jenis nilai ekstrimnya.
Penyelesaian : Fungsi kendala x2 + y2 = 8 diubah dalam bentuk implisit menjadi x2 + y2 – 8 = 0 Fungsi Lagrange : F = 2x + 2y + λ (x2 + y2 – 8) F = 2x + 2y + λx2 + λy2 – 8λ Supaya F mencapai ekstrim maka F’ = 0
Fx = 2 + 2λx = 0 → 2λx = –2 λ = –2/2x → λ = – 1/x ........ (1) Fy = 2 + 2λy = 0 → 2λy = –2 λ = –2/2y → λ = – 1/y ........ (2)
Berdasarkan (1) dan (2) diperoleh –1/x = – 1/y x = y Menurut fungsi kendala : x2 + y2 = 8 y2 + y2 = 8 2y2 = 8 y2 = 4 y = ± 2 dan x = ± 2 Sehingga nilai ekstrim z = 2x + 2y = ± 8 Penyidikan nilai ekstrim : - Untuk x = 2 dan y = 2, λ = – ½
Fxx = 2λ = 2(– ½) = –1 < 0 Fyy = 2λ = 2(– ½) = –1 < 0 Karena Fxx < 0 dan Fyy < 0 , nilai ekstrim maksimum dengan Zmax = 8
- Untuk x = –2 dan y = –2, λ = ½ Fxx = 2λ = 2(½) = 1 > 0 Fyy = 2λ = 2(½) = 1 > 0 Karena Fxx > 0 dan Fyy > 0 , nilai ekstrim minimum dengan Zmax = –8
24
Contoh 2 : Optimumkan z = xy dengan syarat x + 2y = 10
Penyelesaian : Fungsi kendala x + 2y = 10 → x + 2y – 10 = 0 Fungsi Lagrange : F = xy + λ( x + 2y – 10) F = xy + λx + 2λy – 10λ Syarat perlu agar F optimum, F’ = 0 Fx = y + λ = 0 → λ = – y Fy = x + 2λ = 0 → λ = – ½ x Sehingga –y = – ½ x → 2y = x
Dari fungsi kendala x + 2y = 10 2y + 2y = 10 4y = 10 y = 2,5 dan x = 2y = 2(2,5) = 5 Jadi z optimum pada x = 5 dan y = 2,5 sehingga Zopt = xy = 5(2,5) = 12,5
2. Metode Kuhn Tucker Jika pada metode Lagrange kita optimumkan sebuah fungsi terhadap kendala yang berbentuk persamaan, pada metode Kuhn-Tucker dioptimumkan sebuah fungsi terhadap kendala yang berbentuk pertidaksamaan. Bentuk permasalahan dapat berupa :
• Maksimumkan fungsi tujuan f(x,y) terhadap kendala g(x,y) ≤ 0 atau • Minimumkan fungsi tujuan f(x,y) terhadap kendala g(x,y) ≥ 0
Prosedur penyelesaian dapat ditempuh melalui 2 cara : a. Metode Lagrange yang dimodifikasi kemudian diuji dengan kondisi kuhn-Tucker
Prosesnya melalui langkah berikut : - Bentuk fungsi baru Lagrange : F(x,y,λ) = f(x,y) – λ g(x,y) dengan menganggap fungsi kendala
berupa persamaan. - Lakukan pengujian terhadap nilai λ - Jika λ ≤ 0 berarti optimasi fungsi tujuan f(x,y) tanpa menyertakan fungsi kendala g(x,y) sudah dengan
sendirinya memenuhi kendala, sehingga dapat diabaikan - Jika λ > 0 kendala bersifat mengikat sehingga nilai optimum yang diperoleh merupakan nilai optimum
berdasar fungsi kendala yang berbentuk pertidaksamaan b. Metode Kuhn-Tucker langsung
- Rumuskan masalah misalkan maksimumkan fungsi f(x,y) thd g(x,y) ≤ 0 atau minimumkan fungsi f(x,y) thd g(x,y) ≥ 0
- Tetapkan kondisi kuhn-Tucker : (a) Fx(x,y,λ) = fx – λ gx = 0 (b) Fy(x,y,λ) = fy – λ gy = 0 (c) λ g(x,y) = 0 dimana g(x,y) ≤ 0 atau g(x,y) ≥ 0
- Diuji untuk λ = 0 dan g(x,y) = 0 untuk menentukan mana diantara yang memenuhi persamaan (a) dan (b) serta pertidaksamaan kendala g(x,y)
- Nilai x dan y yang memenuhi ketiga kondisi ini merupakan nilai-nilai yang mengoptimimkan fungsi tujuan f(x,y)
25
Contoh 1 : Maksimumkan f(x,y) = 10xy – 2,5x2 – y2 terhadap kendala x + y ≤ 9 Penyelesaian : Dengan menganggap x + y = 9 maka F(x,y,λ) = 10xy – 2,5x2 – y2 – λ(x + y –9) F(x,y,λ) = 10xy – 2,5x2 – y2 – λx –λy + 9λ
Fx = 0 → 10y – 5x – λ = 0 → λ = 10y – 5x Fy = 0 → 10x – 2y – λ = 0 → λ = 10x – 2y 10y – 5x = 10x – 2y 12 y = 15x y =
1215 x =
45 x atau x =
1512 y =
54 y
Menurut kendala : x + y = 9 → 54 y + y = 9
59 y = 9
y = 5 Sehingga x =
54 y =
54 (5) = 4
λ = 10y – 5x = 10(5) – 5(4) = 50 – 20 = 30 > 0 karena λ > 0 berarti x = 4 dan y = 5 yang memaksimumkan f(x,y) terhadap kendala yang dianggap berbentuk persamaan, berlaku juga terhadap kendala yang berbentuk pertidaksamaan. Nilai maksimum fungsi : f(x,y) = 10xy – 2,5x2 – y2 = 10(4)(5) – 2,5(4)2 – (5)2 = 200 – 40 – 25 = 135 Contoh 2 : Minimumkan fungsi f(x) = x2 – xy + 2y2 terhadap x + y ≥ 8 dengan cara Kuhn-Tucker Penyelesaian : F(x,y,λ) = f – λ g = x2 – xy + 2y2 – λ(x + y – 8) = x2 – xy + 2y2 – λx – λy – 8λ
(a) Fx(x,y,λ) = fx – λ gx = 0 → 2x – y – λ = 0 → λ = 2x – y (b) Fy(x,y,λ) = fy – λ gy = 0 → –x + 4y – λ = 0 → λ = –x + 4y (c) λ g(x,y) = 0 → λ (x + y – 8) = 0 Sehingga Jika λ = 0, maka :
(a) 2x – y = 0 → y = 2x y = 8y (b) –x + 4y = 0 → x = 4y x = 8x Sehingga agar (a) dan (b) terpenuhi haruslah x = y = 0 Tetapi dengan demikian kendala x + y ≥ 8 tidak terpenuhi
Jika x + y – 8 = 0, dengan kata lain y = 8 – x , maka : (a) 2x – y – λ = 0 (b) –x + 4y – λ = 0
2x – (8 –x) – λ = 0 –x + 4(8 – x) – λ = 0 3x – 8 – λ = 0 –5x + 32 – λ = 0 λ = 3x – 8 λ = –5x + 32 Sehingga 3x – 8 = –5x + 32 8x = 40 x = 5 dan y = 8 – x = 8 – 5 = 3 Jadi dengan x = 5 dan y = 3, kendala x + y ≥ 8 terpenuhi dan nilai minimum f(x,y) = x2 – xy + 2y2 = 52 – (5)(3) + 2(3)2 = 25 – 15 + 18 = 28
26
Latihan : 1. Tentukan nilai ekstrim dari fungsi p = –q2 – 3r2 + 6q + 24r – 50, dan selidiki apakah nilai ekstrimnya
maksimum atau minimum. 2. Optimalkan fungsi z = 4x – 2y dengan syarat x2 – 2y2 = 162 dan jelaskan apakah z optimumnya
merupakan z maksimum atau minimum. 3. Optimumkan fungsi f(r,s) = r2 – 10s2 terhadap r – s = 18 4. Maksimumkan f(x,y) = 10xy – 5x2 – 7y2 + 40x jika x + y ≤ 13
E. Penerapan Diferensial Parsial
Pendekatan diferensial parsial sangat bermanfaat untuk diterapkan pada model-model ekonomi yang mengandung lebih dari satu variabel bebas, dalam hal hendak menelaah secara parsial pengaruh dari salah satu variabel bebas tadi terhadap variabel terikatnya.
1. Permintaan marginal dan elastisitas permintaan parsial
Apabila dua macam barang mempunyai hubungan dalam penggunaannya, maka permintaan akan masing-masing barang akan fungsional terhadap harga masing-masing barang tersebut, jadi misalnya terdapat dua macam barang yaitu teh dan gula dan kedua macam barang tersebut mempunyai hubungan penggunaan, maka: Qda = f (Pa, Pb) dibaca : permintaan akan barang A dipengaruhi oleh harga barang A dan harga barang B Qdb = f (Pa, Pb) dibaca : permintaan akan barang B dipengaruhi oleh harga barang B dan harga barang A Turunan pertama dari Qda dan Qdb adalah fungsi fungsi permintaan marjinalnya dimana :
a
dadP
dQ adalah permintaan marjinal akan A berkenaan dengan Pa
b
dadPdQ adalah permintaan marjinal akan A berkenaan dengan Pb
b
dbdP
dQ adalah permintaan marjinal akan B berkenaan dengan Pb
a
dbdP
dQ adalah permintaan marjinal akan B berkenaan dengan Pa
Dengan dapat diturunkannya fungsi permintaan tersebut maka kita dapat mengetahui elastisitas permintaan dua macam barang yang memiliki hubungan penggunaan dengan rumus sebagai berikut :
ηda = da
a
a
daQP
dPdQ
⋅ dibaca : elastisitas permintaan barang A berkenaan dengan perubahan harga barang A
ηdb = db
b
b
dbQP
dPdQ
⋅ dibaca : elastisitas permintaan barang B berkenaan dengan perubahan harga barang B
ηdab = da
b
b
daQP
dPdQ
⋅ dibaca : elastisitas permintaan barang A berkenaan dengan perubahan harga barang B
ηdba = db
a
a
dbQP
dPdQ
⋅ dibaca ; elastisitas permintaan barang B berkenaan dengan perubahan harga barang A
jika nilai |ηda| > 1 dan |ηdb| > 1 disebut bersifat elastis, jika nilai |ηda| = 1 dan |ηdb| = 1 disebut unitary elastis dan jika nilai |ηda| < 1 dan |ηdb| < 1 disebut inelastis. Untuk nilai ηdab dan ηdba jika ηdab dan ηdba < 0 maka kedua barang tersebut bersifat komplementer jika ηdab dan ηdba > 0 kedua barang tersebut bersifat substitusi.
27
Contoh 1 : Fungsi permintaan akan barang A dan barang B masing-masing ditunjukkan oleh persamaan Qda . Pa² . Pb³ - 1 = 0 dan Qdb . Pa³ . Pb - 1 = 0. Berapa elastisitas masing-masing barang dan apa hubungan kedua barang tersebut ? Penyelesaian :
Qda . Pa² . Pb³ - 1 = 0 dan Qdb . Pa³ . Pb - 1 = 0 Qda . Pa² . Pb³ = 1 dan Qdb . Pa³ . Pb = 1
Qda = 32
1
ba PP ⋅= Pa
–2 . Pb–3 Qdb =
ba PP ⋅31 = Pa
–3 . Pb–1
a
dadP
dQ = –2Pa–3 . Pb
–3 b
dbdP
dQ = –Pa–3 . Pb
–2
b
dadPdQ = –3Pa
–2 . Pb–4
a
dbdP
dQ = –3Pa–4 . Pb
–1
maka :
ηda = da
a
a
daQP
dPdQ
⋅ = –2Pa–3 . Pb
–3 . 32 −− ⋅ ba
a
PP
P = –2 |ηda| = 2
ηdb = db
b
b
dbQP
dPdQ
⋅ = –Pa–3 . Pb
–2 . 13 −− ⋅ ba
b
PP
P = –1 |ηdb| = 1
ηdab = da
b
b
daQP
dPdQ
⋅ = –3Pa–2 . Pb
–4 . 32 −− ⋅ ba
b
PP
P = –3
ηdba = db
a
a
dbQP
dPdQ
⋅ = –3Pa–4 . Pb
–1 . 13 −− ⋅ ba
a
PP
P = –3
Analisis : Karena |ηda| > 1 barang A bersifat elastis dan Karena |ηdb| = 1 barang B bersifat unitary elastis, Karena ηdab < 0 hubungan antara barang A dan B adalah bersifat komplementer.
2. Perusahaan dengan dua macam produk dan biaya produksi gabungan
Apabila sebuah perusahaan menghasilkan dua macam output, dan biaya yang dikeluarkan untuk menghasilkan kedua macam produk tersebut merupakan biaya produksi gabungan (joint production cost), maka perhitungan keuntungan maksimum dapat dilakukan dengan pendekatan diferensiasi parsial. Andaikan sebuah perusahaan memproduksi dua macam barang, A dan B dimana fungsi permintaan masing-masing barang dicerminkan oleh Qa serta Qb, serta biaya produksinya C = f(Qa , Qb) maka : Penerimaan dari memproduksi A : Ra = Qa . Pa = f(Qa) Penerimaan dari memproduksi B : Rb = Qb . Pb = f(Qb) Penerimaan Total : R = Ra + Rb = f(Qa) + f(Qb) Biaya Total : C = f(Qa , Qb) Fungsi Keuntungan : π = R – C = f(Qa) + f(Qb) – f(Qa , Qb) = g(Qa , Qb) π maksimum jika π’ = 0
(1) 0==a
Q dQd
a
ππ
28
(2) 0==b
Q dQd
b
ππ
Dari (1) dan (2) maka nilai Qa dan Qb dapat diperoleh dan selanjutnya nilai π maksimum dapat dihitung. Contoh :
Biaya total yang dikeluarkan suatu perusahaan untuk menghasilkan dua macam barang yaitu A dan B adalah C = Qa² + 3Qb² + Qa . Qb. Harga jual masing-masing produk adalah Pa = 7 dan Pb = 20. Hitunglah berapa unit masing-masing barang harus dihasilkan agar keuntungan maksimum ?
Penyelesaian 1 :
Ra = Qa . Pa = 7 Qa
R = Ra + Rb = 7 Qa + 20 Qb
Rb = Qb . Pb = 20 Qb
π = R – C = 7 Qa + 20 Qb – (Qa² + 3 Qb² + Qa . Qb)
π = 7 Qa + 20 Qb – Qa² – 3 Qb² – Qa . Qb
agar π maks maka π’ = 0
π’a = 7 – 2 Qa – Qb = 0 ………………(1)
π’b = 20 – 6 Qb – Qa = 0 ……………..(2)
dari persamaan (1) dan (2) maka diperoleh :
7 – 2 Qa – Qb = 0 x 1 7 – 2 Qa – Qb = 0 20 – 6 Qb – Qa = 0 x 2 40 – 12 Qb – 2 Qa = 0
–33 + 11 Qb = 0 Qb = 3
Dari (1) 7 – 2 Qa – Qb = 0
7 – 2 Qa – 3 = 0 maka Qa = 2
dengan demikian π maks = 7 Qa + 20 Qb – Qa² – 3 Qb² – Qa . Qb
= 7 . 2 + 20 . 3 – 2² – 3 . 2² – 2 . 3 = 37 Jadi agar keuntungan maksimum, perusahaan harus memproduksi 2 unit A dan 3 unit B dengan keuntungan sebesar 37. Penyelesaian 2 : Dengan nilai marginal
Penerimaan marginal masing-masing barang sama dengan biaya marginalnya barang yang bersangkutan.
MRa = MCa dan MRb = MCb Karena R = 7 Qa + 20 Qb dan C = Qa² + 3Qb² + Qa . Qb
MRa = Ra = 7 dan MCa = Ca = 2Qa + 1.Qb
MRb = Rb = 20 dan MCb = Cb = 6Qb + 1.Qa
Sehingga
MCa = MRa → 2Qa + Qb = 7 (1) MCa = MRa → 6Qb + 1.Qa = 20 (2) Langkah selanjutnya sama dengan Penyelesaian 1.
29
Latihan : 1. Diketahui pasangan fungsi permintaan untuk produk X dan Y Qx = Px
–1,5 Py–0,4 dan Qy = Px
–0,5Py-0,4
Tentukan hubungan produk X dan Y! 2. Biaya total yang dikeluarkan sebuah perusahaan yang memproduksi dua macam barang ditunjukkan
oleh TC = 2Qa2 + 5Qb
2 + QaQb dan harga jual masing-masing barang per unit adalah Pa = 9 dan Pb = 12. a. Hitunglah berapa unit barang masing-masing yang harus diproduksi agar keuntungan maksimum. b. Hitunglah besar keuntungan maksimum tersebut.
30
BAB IV INTEGRAL
Integral merupakan invers (kebalikan) dari turunan. Jika turunan dari F(x) adalah f(x) maka integral dari f(x) adalah F(x) dan ditulis :
∫f(x) dx = F(x) (lambang dx berarti pengintegralan berdasar variabel bebas x)
A. INTEGRAL TAKTENTU Perhatikan ilustrasi berikut : Jika F(x) = 2x + 4 maka F’(x) = f(x) = 2 Jika F(x) = 2x – 9 maka F’(x) = f(x) = 2 Jika F(x) = 2x + 30 maka F’(x) = f(x) = 2 Jika F(x) = 2x + k dengan k sembarang konstanta maka F’(x) = f(x) = 2
Dengan langkah terbalik diperoleh :
∫ 2 dx = 2x + k dengan k sebuah konstanta yang nilainya belum dapat ditentukan
Secara umum didapatkan bahwa ∫ f(x) dx = F(x) + k disebut integral taktentu. Ada beberapa Kaidah Integral Taktentu : 1. ∫ a dx = ax + k (a sembarang konstanta)
Contoh : a. ∫ 3 dx = 3x + k b. ∫ –7 dx = –7x + k c. ∫ 29 dx = 29x + k
2. ∫ dxaxn = kx1n
a 1n ++
+
Contoh :
a. ∫ dxx2 kx12
1 12 ++
= +
= kx31 3 +
b. ∫ dxx10 4 kx14
10 14 ++
= +
= kx510 5 +
= kx2 5 +
3. ∫ dx )x(f . a = a ∫ dx )x(f
Contoh :
∫ dx x10 4 = 10 ∫ dx x 4
= 10 . kx14
1 14 ++
+
= 10 . kx51 5 +
= kx2 5 +
Ingat Derivatif/ Turunan fungsi berikut :
1. Jika F(x) = ex → F’(x) = ex
2. Jika F(x) = ln x → F’(x) = x1
31
4. ( )∫ ± dx g(x) )x(f = ∫ ∫± dx g(x) dx )x(f
Contoh :
∫ + dx )x8(6x2 = ∫∫ + dx x8dx 6x2
= 2x3 + 4x2 + k
5. Kaidah Logaritmis
∫ dxx1 = ln x + k
Contoh :
∫ dxx3 = 3 ∫ dx
x1 = 3 ln x + k
6. Kaidah Eksponensial
∫ dx ex = ex + k
Contoh :
∫ dx e5 x = ∫ dx e5 x = 5ex + k
7. Kaidah Substitusi
∫ dx )x('g . ))x(g(f dengan memisalkan g(x) = u diperoleh ∫ dx dxdu
(u)f
Contoh :
a. dx )212x(3x2∫ − = ??
Dengan cara biasa : Dengan substitusi :
dx 2)12x(3x2∫ − = dx x)42(36x3∫ − Misal u = 3x2 – 2
= kx224
x436 24 +− 6x
dxdu
=
= 9x4 – 12x2 + k dx = x6
du
Sehingga dx 2)12x(3x2∫ − = x6
du )u12x(∫
= du u 2∫
= u2 + k = (3x2 – 2)2 + k
b. dx 5) 24(2x 3∫ + =
Dengan substitusi Misal u = 2x + 5 dx 5)24(2x 3∫ + =
2du
)u24( 3∫
dxdu = 2 = du u 12 3∫
dx = 2du = 4u
412 + k
= 3 u4 + k = 3 (2x + 5)4 + k
32
Latihan :
1. dx 5) 8x(x 32∫ + = 6. dx )2x(3x
16x42∫ −+
+ =
2. dx )3(x
14x82∫ −
= 7. dx )1(x
8x2∫ +
=
3. dx 4 x2x 2∫ + = 8. dx 5)(4x 3∫ − =
4. dx 4)(x12x 532∫ − = 9. dx e2x∫ =
5. dx 1)-3x3)(x(2x 42∫ ++ = 10. dx e.x42x∫ =
8. Kaidah Integral Parsial
du vv.udv u ∫∫ −=
Contoh :
a. dx 5) 3x(2x 4∫ + = ??
u dv Misal u = 3x dv = (2x+5)4 dx
du = 3 dx v = dx 5) (2x 4∫ + = 5)5x2(101
+
dx 5) 3x(2x 4∫ + = u.v – du v∫
= (3x)( 5)5x2(101
+ ) – dx 3 .)5x2(101 5∫ +
= 5)5x2(10x3
+ – dx )5x2(103 5∫ +
= 5)5x2(10x3
+ – dx)5x2(121
103 6+
= 5)5x2(10x3
+ – dx)5x2(1203 6+
b. dx x ln .x ∫ =
Misal u = ln x dv = x dx du =
x1 dx v = ½ x2
dx x ln .x ∫ = u.v – du v∫
= x2 .ln x– dx x1
.x21 2∫ x
1
= x2 .ln x – dxx 21∫
= x2 .ln x – ¼ x2 + k Latihan :
1. dx 1)(6x6x 5∫ +
2. dx 3)(x2x 9∫ −
3. dx ex x∫
4. dx 4)(3x 2x 523∫ −
5. dx 2x4 x 23∫ −
33
9. Kaidah Integral Fungsi Rasional
Fungsi rasional f(x) berbentuk f(x) =)x(Q)x(P dimana P(x) dan Q(x) merupakan suku banyak.
- Jika pangkat P(x) > pangkat Q(x) maka dilakukan pembagian terlebih dahulu sehingga diperoleh bentuk
f(x) = R(x) +)x(g)x(h dimana R(x) merupakan hasil bagi dan
)x(g)x(h merupakan sisa pembagian dengan
pangkat h(x) < pangkat g(x). - Jika pangkat P(x) < pangkat Q(x) maka penyelesaian tergantung pada faktor-faktor dari Q(x).
Kasus 1 Penyebut berupa faktor Linier tidak berulang
Q(x) = (a1x + b1) (a2x + b2)... (a3x + b3)
Maka )x(Q)x(P =
nn2211 bxa...
...bxa
Bbxa
A+
+++
++
Kasus 2 Penyebut berupa faktor Linier berulang
Q(x) = (a1x + b1)m
Maka )x(Q)x(P =
m2 )bax(
......
)bax(
B)bax(
A
+++
++
+
Kasus 3 Penyebut berupa faktor kuadrat tidak berulang
Q(x) = (a1x2 + b1x + c1) (a1x2 + b1x + c1)... (a1x2 + b1x + c1)
Maka )x(Q)x(P =
)cxbxa(
...x......
)cxbxa(
DCx
)cxbxa(
BAx
nn2
n222
2112
1 ++
+++
++
++
++
+
Kasus 4 Penyebut berupa faktor kuadrat berulang
Q(x) = (a1x2 + b1x + c1)m
Maka )x(Q)x(P =
m2222 )cbxax(
...x......
)cbxax(
DCx
)cbxax(
BAx
++
+++
++
++
++
+
Contoh :
1. dx 94x
12∫ −
Penyelesaian : Penyebut berbentuk 4x2 – 9 = (2x + 3)(2x – 3)
94x
12 −
= 3)-(2x
B3) +(2x
A+
1 = A(2x – 3) + B(2x + 3)
1 = 2Ax – 3A + 2Bx + 3B
1 = 2Ax + 2Bx – 3A + 3B
1 = (2A + 2B)x + (–3A + 3B)
Diperoleh : 2A + 2B = 0 |x3| 6A + 6B = 0 2A + 2B = 0 –3A + 3B = 1 |x2| –6A + 6B = 2 2A + 2(
61 ) = 0
12B = 2 2A = – 31
B = 61
122
= A = – 61
34
Sehingga :
∫ −dx
9x4
12
= ∫ +−
dx3)-(2x
61
3) +(2x 61
= ∫ +−
dx3)-(2x
13) +(2x
161
= k)3x2ln(21
)3x2ln(21
61
+
−++−
= k)3x2ln(121
)3x2ln(121
+−++−
2. ∫ +−
++2
2
)2x)(1x(
7x15x5 dx
Bentuk penyebut (x – 1)(x + 2)2 sehingga
2
2
)2x)(1x(
7x15x5
+−
++ = 2)2x(
C)2x(
B)1x(
A
++
++
−
5x2 + 15x + 7 = A(x + 2)2 + B(x – 1)(x + 2) + C(x – 1) 5x2 + 15x + 7 = A(x2 + 4x + 4) + B(x2 + x –2) + Cx – C 5x2 + 15x + 7 = Ax2 + 4Ax + 4A + Bx2 + Bx – 2B + Cx – C 5x2 + 15x + 7 = (A + B)x2 + (4A + B + C)x + (4A – 2B – C)
Diperoleh : A + B = 5 (i) → A = 5 – B 4A + B + C = 15 (ii) 4A – 2B – C = 7 (iii)
(ii) 4(5 – B) + B + C = 15 (iii) 4(5 – B) – 2B – C = 7 20 – 4B + B + C = 15 20 – 4B – 2B – C = 7
–3B + C = –5 .......(iv) –6B – C = –13......(v)
(iv) –3B + C = –5 (iv) –3(2) + C = –5 (v) –6B – C = –13 C = 1 –9B = – 18 (i) A + 2 = 5 B = 2 A = 3
Sehingga
∫ +−
++2
2
)2x)(1x(
7x15x5 dx = ∫ ++
++
−dx
)2x(
1)2x(
2)1x(
32
= 3.ln |x – 1| + 2.ln |x + 2| – )2x(
1+
+ k
3. ∫ ++
+−
)1x)(1x4(
1x3x62
2dx
)1x)(1x4(
1x3x62
2
++
+− = )1x(
CBx)1x4(
A2 +
++
+
6x2 – 3x + 1 = A(x2 + 1) + (Bx + C)(4x + 1) 6x2 – 3x + 1 = Ax2 + A + 4Bx2 + Bx + 4Cx + C 6x2 – 3x + 1 = (A + 4B)x2 + (B + 4C)x + (A + C)
Didapat : A + 4B = 6 ......(i) B + 4C = –3 ......(ii) Diperoleh A = 2; B = 1; C = –1 A + C = 1 ......(iii) Buktikan !!!
Sehingga
∫ ++
+−
)1x)(1x4(
1x3x62
2dx = dx
)1x(
1x)1x4(
22∫ +
−+
+
35
4. ∫ ++
+−dx
)2x)(3x(
22x15x622
2
22
2
)2x)(3x(
22x15x6
++
+− = 222 )2x(
EDx
)2x(
CBx)3x(
A
+
++
+
++
+
6x2 – 15x + 22 = A(x2 + 2)2 +(Bx + C)(x + 3)(x2 + 2) + (Dx + E)(x + 3) 6x2 – 15x + 22 = A(x4 + 4x2 + 4) + (Bx + C)(x3 + 3x2 + 2x + 6) + Dx2 + 3Dx + Ex + 3E 6x2 – 15x + 22 = Ax4 + 4Ax2 + 4A + Bx4 + 3Bx3 + 2Bx2 + 6Bx + Cx3 + 3Cx2 + 2Cx + 6C + Dx2 + 3Dx + Ex + 3E 6x2 – 15x + 22 = (A + B)x4 + (3B + C)x3 + (4A + 2B + 3C+ D)x2 + (6B + 2C + 3D + E)x + (4A + 6C + 3E)
Didapat : A + B = 0 ......(i) 3B + C = 0 ......(ii) Buktikan bahwa 4A + 2B + 3C+ D = 6 ......(iii) A = 1; B = –1; C = 3; D = –5; dan E = 0 6B + 2C + 3D + E = –15 ......(iv) 4A + 6C + 3E = 22 ......(v)
Sehingga ∫ ++
+−dx
)2x)(3x(
22x15x622
2= ∫ +
−+
+
+−+
+dx
)2x(
x5
)2x(
3x)3x(
1222
Latihan Ubahlah bentuk Integral fungsi rasional berikut :
1. ∫ +dx
x2x
22
2. ∫ −
+dx
9x
3x52
3. ∫ −
+dx
)3x(
1x2
4. ∫ ++
+dx
4x4x
7x52
5. ∫ +
++dx
x5x2
10x19x34
2
6. ∫ +−
−−dx
)9x)(1x2(
36x3x22
2
36
B. APLIKASI INTEGRAL TAKTENTU DALAM BIDANG BISNIS DAN EKONOMI Pendekatan integral tak tentu dapat diterapkan untuk mencari persamaan fungsi total apabila persamaan fungsi marjinalnya diketahui. Karena fungsi marjinal merupakan turunan dari fungsi total maka dengan proses terbalik (integrasi) dapat diperoleh fungsi total jika diketahui fungsi marjinalnya. 1. Fungsi Biaya
Biaya Total TC = f(Q) → biaya marjinal MC = TC’ = f’(Q) Dengan demikian, Biaya Total (TC) merupakan integral dari Biaya Marjinal (MC) yaitu :
TC = ∫∫ = dQQfdQMC )('
Contoh :
Biaya marjinal suatu perusahaan diketahui MC = 3Q2 – 6Q + 4 Jika diketahui biaya tetapnya adalah 4, tentukan : a. Persamaan biaya total b. Persamaan biaya rata-rata c. Besarnya biaya total dan biaya rata-rata jika diproduksi sebanyak 5 unit.
Penyelesaian :
a. TC = ∫ dQMC
TC = ∫ (3Q2 – 6Q + 4) dQ
TC = Q3 – 3Q2 + 4Q + k
Konstanta k tak lain merupakan biaya tetap yang diketahui sebesar 4. Sehingga TC = Q3 – 3Q2 + 4Q + 4
b. AC = QTC
AC = Q
QQQ 443 23 ++−
AC = Q
QQ 4432 ++−
c. Untuk Q = 5 unit maka TC = Q3 – 3Q2 + 4Q + 4 = (5)3 – 3(5)2 + 4(5) + 4
= 125 – 75 + 20 + 4 = 74 Jadi biaya total = 74
AC = Q
QQ 4432 ++− = (5)2 – 3(5) + 4 +
54
= 25 – 15 + 4 + 0,8 = 14,8 Jadi biaya rata-rata = 14,8
2. Fungai Penerimaan
Penerimaan Total TR = f(Q) → Penerimaan Marjinal MR = TR’ = f’(Q) Dengan demikian, Penerimaan Total (TR) merupakan integral dari Penerimaan Marjinal (MR) yaitu :
TR = ∫∫ = dQQfdQMR )('
Dalam penerimaan total tidak ada penerimaan tetap, sebab penerimaan tidak akan ada jika tidak ada barang yang dihasilkan atau terjual. Contoh : Suatu perusahaan mempunyai penerimaan marjinalnya dengan fungsi MR = 16 – 4Q Tentukan Penerimaan Total dan penerimaan rata-rata jika diproduksi sebanyak 6 unit
37
Penyelesaian :
Penerimaan total TR = ∫ dQMR
TR = ∫ (16 – 4Q) dQ
TR = 16Q – 2Q2 Untuk Q = 6 maka TR = 16(6) – 2(6)2 = 96 – 72 = 24 Jadi jika diproduksi sebanyak 6 unit diperoleh Penerimaan total = 24
Penerimaan rata-rata AR = QQ
QQQTR
216216 2
−=−
=
Untuk Q = 6 unit maka AR = 16 – 2(6) = 16 – 12 = 4 Jadi jika diproduksi sebanyak 6 unit, penerimaan rata-ratanya = 4
3. Fungsi Utilitas
Utilitas Total TU = f(Q) → Utilitas Marjinal = MU = TU’ = f’(Q) Dengan demikian, Utilitas Total (TU) merupakan integral dari Utilitas Marjinal (MU) yaitu :
TU = ∫∫ = dQQfdQMU )('
Sama halnya dengan Penerimaan total, Fungsi Utilitas Total tidak terdapat Utilitas Tetap karena tidak akan ada kepuasan atau utilitas yang diperoleh seseorang jika tidak ada barang yang dikonsumsi. Contoh : Tentukan persamaan Utilitas Total jika diketahui Utilitas Marjinalnya MU = 90 – 10Q. Tentukan pula Utilitas total jika diproduksi sebanyak 11 unit.
Penyelesaian :
Utilitas Total UT = ∫ dQMU
UT = ∫ (90 – 10Q) dQ
UT = 90Q – 5Q2 Untuk Q = 11 unit maka UT = 90(11) – 5(11)2 UT = 990 – 605 = 385 Jadi jika diproduksi sebanyak 11 unit diperoleh utilitas total = 385
4. Fungsi Produksi
Produksi Total P = f(X) dimana P = keluaran dan X = masukan Produk Marjinal MP = P’ = f’(X)
Produk Total merupakan Integral dari Produk Marjinal
P = ∫∫ = dXXfdXMP )('
Contoh :
Produk Marjinal suatu perusahaan diketahui MP = 18X – 3X2. Tentukan : a. Persamaan Produk Total b. Persamaan Produk Rata-rata
Penyelesaian :
Produk Total P = ∫ dXMP
P = ∫ (18X – 3X2) dX
P = 9X2 – X3
(c = 0 sebab tidak akan ada produksi yang dihasilkan jika tidak ada bahan yang diolah)
38
Produk Rata-rata AP = XP
AP = 232
99 XX
XXX
−=−
5. Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan
Dalam konsep ekonomi, pendapatan (Y) pertama-tama digunakan untuk memenuhi kebutuhan atau konsumsi (C), dan selebihnya ditabung atau saving (S) sehingga dapat dituliskan Pendapatan = Konsumsi + Tabungan.
Jadi Y = C + S a. Fungsi Konsumsi
Pada awalnya bisa jadi pendapatan Y lebih kecil dari konsumsi C. Artinya walaupun belum punya pendapatan tetapi manusia tetap harus memenuhi kebutuhan sehingga tetap melakukan konsumsi. Kondisi dimana besarnya konsumsi pada saat pendapatan sama dengan nol (Y=0) disebut konsumsi otonom. Dan setiap ada kenaikan pendapatan dapat dipastikan konsumsi juga meningkat. Perbandingan antara besarnya perubahan konsumsi (ΔC) dengan perubahan Pendapatan (ΔY) yang mengakibatkan adanya perubahan konsumsi tersebut dinamakan dengan Marginal Properity to Consume (MPC) Dari keterangan di atas maka fungsi konsumsi dapat dituliskan sebagai berikut :
C = a + MPC Y
a = konsumsi otonom (autonomous consumption) MPC (Marginal Properity to Consume) dapat ditentukan dengan
MPC = C’ = dYdC
Berdasar kaidah integrasi, maka Fungsi Konsumsi (C) merupakan integral dari MPC.
C = ∫ MPC dY + k
k = a (konsumsi otonom/autonomus consumption/konsumsi minimum jika Y = 0)
b. Fungsi Tabungan
Dari fungsi Pendapatan (Y = C + S) dan fungsi konsumsi (C = a + bY) maka : S = Y – C S = Y – (a + bY) S = Y – a – bY S = –a + Y– bY S = –a + (1 – b)Y
Hasrat untuk Menabung/Marginal Properity to Save (MPS) merupakan turunan pertama dari fungsi
tabungan S. Sehingga :
MPS = S’ = dYdS = (1 – b)
Berdasar kaidah integrasi, maka Fungsi Tabungan (S) merupakan integral dari MPS.
S = ∫ MPS dY + k
k = – a (tabungan otonom/autonomus Saving/tabungan negatif[dissaving] jika pendapatan Y = 0) Catatan : Autonomus saving = – autonomus consumption
39
Contoh :
1. Jika kecenderungan konsumsi marginal (MPC) = 0,8 dan komsumsi miminum = Rp 15 Milyar pada saat pendapatan Y=0. Cari fungsi konsumsinya. Penyelesaian :
C = ∫ MPC dY C = ∫ 0,8 dY C = 0,8Y + k Karena k = 15M maka C = 0,8 Y + 15 Milyar
2. Diketahui konsumsi minimumnya Rp 30M dan MPC = 0,6. Tentukan
a. Fungsi Konsumsi b. Fungsi Tabungan Penyelesaian : a. MPC = b = 0,6
Konsumsi otonom = a = 30M Fungsi Konsumsi = C = ∫ MPC dY
C = ∫ 0,6 dY C = 0,8Y + 30M b. MPS = (1 – b) = 1 – 0,6 = 0,4
Tabungan otonom = –a = – 30M Fungsi Tabungan = S = ∫ MPS dY S = ∫ 0,4 dY S = 0,4Y – 30M
Latihan : 1. Fungsi biaya marginal suatu produk:
MC=f(Q)=500+4Q Tentukan fungsi biaya total (TC) dan fungsi biaya rata-rata (AC) jika biaya tetap diketahui Rp.3.000,-
2. Biaya marginal suatu perusahaan ditunjukkan oleh MC=1,50Q2 – 4Q + 12. Cari persamaan biaya total dan biaya rata-rata jika biaya tetap sebesar 20
3. Jika fungsi penerimaan marginal dari suatu perusahaan adalah MR = f(Q) = 5 – 3Q. Tentukan fungsi penerimaan total (TR) dan fungsi penerimaan rata-rata (AR)
4. Cari persamaan fungsi penerimaan total dan fungsi penerimaan rata-ta jika penerimaan marginalnya MR = 900 – 28Q
5. Produk marjinal PT POOH ditunjukkan oleh persamaan 3Q2 + 5. Bentuklah fungsi produk total dan fungsi produk rata-ratanya ? Berapakah besarnya produk total dan produk rata-rata jika masukan yang digunakan sebesar 10 unit?
6. Bentuklah persamaan utilitas total dari seorang konsumen jika utilitas marginalnya ditunjukkan oleh persamaan MU = 120 – 14Q. Berapakah besarnya utilitas total jika Q = 12?
7. Bentuklah fungsi konsumsi dan fungsi tabungan masyarakat suatu negara jika diketahui bahwa MPC = 0,55 dan konsumsi autonomnya sebesar 34 milyar?
40
C. INTEGRAL TERTENTU
Integral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang nilai-nilai variabel bebasnya memiliki batas-batas tertentu. Jika k)x(Fdx )x(f +=∫ maka Integral suatu fungsi f(x) antara x = a dan x = b dimana a < b ditulis dengan
∫b
adx )x(f = [ ]ba )x(F
= { F(b) + k } – { F(a) + k } = F(b) – F(a)
Notasi ∫b
adx )x(f dibaca : Integral f(x) untuk x antara a dan b
a disebut batas bawah integasi b disebut batas atas integrasi
Integral tertentu digunakan untuk menghitung luas wilayah yang terletak antara kurva y = f(x) dengan sumbu x pada rentang antara x = a dan x = b. Dapat pula untuk menentukan luas wilayah antara dua kurva f(x) dan g(x). Untuk menentukan luas wilayah antara kurva y = f(x)
Luas arsiran : ∫b
adx )x(f
Menentukan luas wilayah antara dua kurva y1= f(x) dan y2 = g(x) pada rentang antara x = a dan x = b
Luas arsiran : ∫−∫b
a
b
adx )x(gdx )x(f
= ∫ −b
adx )x(g)x(f
Kaidah-kaidah Integrasi tertentu
1. ∫b
adx )x(f = [ ]ba )x(F = F(b) – F(a)
Contoh :
∫ +4
1dx 3)x 6( = [ ] x3x3 2 4
1+
= {3(4)2 + 3(4)} – {3(1)2 + 3(1)} = (48 + 12) – (3 + 3) = 60 – 9 = 51
2. ∫a
adx )x(f = 0
Contoh :
∫2
2
2 dx x9 = [ ]223x3 = 3(2)3 – 3(2)3 = 24 – 24 = 0
a b
y = f(x)
x
y
a b
y = f(x)
x
y
y = g(x)
41
3. ∫b
adx )x(f = – ∫
a
bdx )x(f
Contoh :
∫5
1dxx 6 = [ ]512x3 = 3(5)2 – 3(1)2 = 75 – 3 = 72
– ∫1
5dxx 6 = – [ ]152x3 = – {{3(1)2 – 3(5)2 } = – ( 3 – 75 ) = – (–72) = 72
4. ∫b
adx )x(f.k = ∫
b
adx )x(f.k
Contoh :
∫ +4
1dx 1)x2(3 = ∫ +
4
1dx 1)x2(3
= [ ] xx3 2 41+
= 3{ (42 + 4) – (12 + 1)} = 3( 20 – 2) = 3(18) = 54
5. ∫ ∫+∫ =+b
a
b
a
b
adx )x(gdx )x(fdx )}x(g)x(f{
Contoh :
∫ +5
3
2 dx )x4x3( = ∫+∫5
3
5
3
2 dxx 4dx x3
= [ ] [ ] x2 x 2 53
3 53 +
= (53 – 33) + (2(5)2 – 2(3)2) = 116 + 32 = 84
6. Untuk a < c < b berlaku ∫ ∫=∫ +b
c
b
a
c
adx )x(fdx )x(fdx )x(f
Contoh :
∫+∫5
3
3
1dxx 6dxx 6 = [ ]312x3 + [ ]532x3
= {3(3)2 – 3(1)2 } + {3(5)2 – 3(3)2 } = (27 – 3) + (75 – 27) = 24 + 48 = 72
Latihan
1. ∫ +6
2
2 dx 8x)x6( 5. Tentukan luas daerah L1 dan L2 diarsir berikut :
2. ∫+
10
0dx
5xdx
3. ∫ +4
1dx 3)x2(
4. ∫ +20
10
2 dQ Q102Q1
8
y = ½ x + 1
x
y
5
1
y = – ¼ x + 7
L1
L2
42
D. APLIKASI INTEGRAL TERTENTU
1. Surplus Konsumen /Consumer’s Surplus (Cs)
Mencerminkan suatu keuntungan lebih (surplus) yang dinikmati konsumen tertentu berkenaan dengan tingkat harga pasar suatu barang.
Jika tingkat harga pasar adalah Pe maka bagi konsumen tertentu yang sebenarnya mampu dan bersedia membayar denga harga lebih tinggi dari Pe hal ini merupakan keuntungan baginya, sebab ia cukup membayar dengan harga Pe. Keuntungan inilah yang dinamakan dengan Surplus Konsumen.
Untuk fungsi permintaan berbentuk P = f(Q) maka Surplus Konsumen merupakan luas daerah yang dibatasi oleh fungsi P = f(Q) dan garis horisontal Pe dengan 0 sebagai batas bawah dan Qe sebagai batas atas.
Cs = ∫Qe
0dQ (Q)f – Qe.Pe
Untuk fungsi permintaan berbentuk Q = f(P) maka Surplus Konsumen dapat dihitung dengan
Cs = ∫P̂
PedP (P)f
P̂ adalah Nilai P pada saat Q = 0 Contoh : Fungsi Permintaan suatu barang mempunyai persamaan P = 20 – ½Q. Hitunglah Surplus Konsumen pada tingkat harga pasar 10. P = 20 – ½Q → Q = 40 – 2P Pe = 10 → Qe = 20 Q = 0 → P̂ = 20
Cara I : Kita gunakan rumus Cs = ∫Qe
0dQ (Q)f – Qe.Pe
Cs = ∫Qe
0dQ (Q)f – Qe.Pe
= ∫20
0dQ 0,5Q)-(20 – 20.10
= [ ]2 200Q25,0Q20 − – 200
= { 20(20) – 0,25(20)2 } – {20(0) – 0,25(0)2} – 200 = (400 – 100) – 0 – 200 = 300 – 200 = 100
Jadi diperoleh Cs = 100
Qe
P = f(Q)
x
y
E = (Qe, Pe) Pe
Surplus Konsumen
P̂
Q̂
Cara II : kita gunakan rumus Cs = ∫P̂
PedP (P)f
Jika Q = 0 maka 40 – 2P = 0 sehingga P̂ = 20
Cs = ∫P̂
PedP (P)f = ∫
20
10dP 2P-04
= [ ]2 2010PP40 −
= { 40(20) – (20)2 } – { 40(10) – (10)2 } = (800 – 400) – (400 – 100) = 400 – 300 = 100 Jadi diperoleh Cs = 100
43
2. Surplus Produsen / Producer’s Surplus (Ps) Mencerminkan keuntungan lebih (Surplus) yang dinikmati oleh produsen tertentu berkenaan dengan tingkat harga pasar dari barang yang ditawarkan.
Jika tingkat harga pasar adalah Pe maka bagi produsen tertentu yang sebenarnya bersedia menjual dengan harga lebih rendah dari Pe hal ini merupakan keuntungan baginya. Sebab ia dapat menjualnya dengan harga Pe. Keuntungan inilah yang disebut dengan Surplus Produsen.
Dalam hal fungsi Penawaran berbentuk P = f(Q) maka Surplus Produsen dapat dihitung dengan
Ps = Qe.Pe – ∫Qe
0dQ (Q)f
Untuk fungsi Penawaran berbentuk Q = f(P) maka Surplus Produsen dapat dihitung dengan
Ps = ∫Pe
P̂dP (P)f
P̂ adalah Nilai P pada saat Q = 0 Contoh: Seorang produsen mempunyai fungsi penawaran P = 0,5Q + 3. Tentukan Surplus Produsen bila tingkat harga keseimbangan pasar adalah 10 ! P = 0,5Q + 3 → Q = 2P – 6 Pe = 10 maka Qe = 14 Q = 0 maka P̂ = 3
Cara I : menggunakan rumus Ps = Qe.Pe – ∫Qe
0dQ (Q)f
Ps = 14.10 – ∫ +14
0dQ 3) ,5Q0(
= 140 – [ ]Q3Q25,0 2 140+
= 140 – [{ 0,25(14)2 + 3(14) } – {0,25(0)2 + 3(0)}] = 140 – [ { 49 + 42 } – 0] = 140 – 91 = 49
Latihan Fungsi penawaran dan Permintaan akan suatu barang di pasar masing-masing ditunjukkan oleh Q = –30 + 5P dan Q = 60 – 4P Hitunglah masing-masing Surplus yang diperoleh Konsumen dan Produsen !
Qe
P = f(Q)
x
y
E = (Qe, Pe) Pe
Surplus Produsen
P̂
Cara II : menggunakan rumus Ps = ∫Pe
P̂dP (P)f
Ps = ∫10
3dP 6)-2P( = [ ]P6P2 10
3−
= { (10)2 – 6(10) } – { (3)2 – 6(3) } = { (100 – 60) – (9 – 18) } = 40 – (–9) = 49
44
