TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor2014/10/04  · 1 TKS 4007 Matematika III Diferensial...

12
1 TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor (Pertemuan IV) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Fungsi Vektor Jika sembarang nilai skalar t dikaitkan dengan suatu vektor A, maka A bisa dinyatakan sebagai fungsi vektor dari t atau A(t), yaitu suatu vektor yang komponen-komponennya merupakan fungsi dari nilai skalar t. Dalam R 2 , fungsi vektor biasa ditulis dengan : Sedangkan dalam R 3 , fungsi vektor ditulis dengan :

Transcript of TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor2014/10/04  · 1 TKS 4007 Matematika III Diferensial...

Page 1: TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor2014/10/04  · 1 TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor (Pertemuan IV) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

1

TKS 4007 Matematika III

Diferensial Vektor (Pertemuan IV)

Dr. AZ

Jurusan Teknik Sipil

Fakultas Teknik

Universitas Brawijaya

Fungsi Vektor

Jika sembarang nilai skalar t dikaitkan dengan suatu vektor A,

maka A bisa dinyatakan sebagai fungsi vektor dari t atau A(t),

yaitu suatu vektor yang komponen-komponennya merupakan

fungsi dari nilai skalar t. Dalam R2, fungsi vektor biasa ditulis

dengan :

Sedangkan dalam R3, fungsi vektor ditulis dengan :

Page 2: TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor2014/10/04  · 1 TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor (Pertemuan IV) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

2

Fungsi Vektor (lanjutan)

Konsep fungsi vektor ini bisa diperluas, jika sembarang titik

(x,y,z) di R3 dikaitkan dengan suatu vektor A, maka A bisa

dinyatakan dalam bentuk fungsi vektor sebagai berikut:

Turunan Biasa

Definisi :

A(t) adalah sebuah fungsi vektor yang bergantung pada sebuah

variabel t. Jika liminya ada, didefinisikan turunan dari A(t),

sebagai berikut :

Jika fungsi vektor 𝐀 𝑡 = A1𝐢 + A2𝐣+A3𝐤 dengan fungsi

skalar A1 𝑡 , A2 𝑡 , dan A3 𝑡 dapat diferensialkan terhadap

variabel t, maka A(t) mempunyai turunan variabel terhadap t

yang dirumuskan sebagai berikut :

Page 3: TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor2014/10/04  · 1 TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor (Pertemuan IV) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

3

Turunan Biasa (lanjutan)

Sifat-sifat turunan biasa fungsi vektor :

Jika A, B, dan C adalah fungsi-fungsi vektor dari sebuah

skalar t yang diferensiabel dan sebuah fungsi skalar dari t

yang diferensiabel, maka sifat-sifat turunan biasa fungsi vektor

adalah sebagai berikut :

Turunan Biasa (lanjutan)

Page 4: TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor2014/10/04  · 1 TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor (Pertemuan IV) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

4

Turunan Biasa (lanjutan)

Bukti :

(i)

Turunan Biasa (lanjutan)

(ii)

Pembuktian sifat (iii), (iv), (v), dan (vi) dijadikan untuk

latihan!

Page 5: TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor2014/10/04  · 1 TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor (Pertemuan IV) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

5

Turunan Biasa (lanjutan)

Contoh :

Jika 𝐀 = 𝑡2 + 2𝑡 𝐢 + 2𝑡𝐣 + 𝑡3𝐤 dan 𝐀 = 𝑡2 + 2𝑡 𝐢 + 2𝑡𝐣 +

𝑡3𝐤. Tentukan 𝑑

𝑑𝑡𝐀.𝐁 di t = 0.

Penyelesaian :

Cara 1

Turunan Biasa (lanjutan)

pada saat t = 0, maka :

Page 6: TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor2014/10/04  · 1 TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor (Pertemuan IV) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

6

Turunan Biasa (lanjutan)

Cara 2 (menggunakan sifat turunan)

pada saat t = 0, maka :

Turunan Parsial

Turunan parsial untuk fungsi vektor dua variabel atau lebih,

prinsipnya sama dengan definisi turunan fungsi vektor satu

variabel, dimana semua variabel dianggap konstan, kecuali

satu, yaitu variabel terhadap apa fungsi vektor itu diturunkan.

Misalkan A adalah sebuah fungsi vektor yang tergantung

kepada variabel skalar x, y, dan z, maka dapat ditulis sebagai

A = A(x,y,z). Ketiga turunan parsialnya didefinisikan sebagai

berikut:

Page 7: TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor2014/10/04  · 1 TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor (Pertemuan IV) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

7

Turunan Parsial (lanjutan)

adalah masing-masing turunan parsial dari A terhadap x, y,

dan z, jika limitnya ada.

Turunan Parsial (lanjutan)

Jika fungsi vektor 𝐀 𝑥, 𝑦, 𝑧 = A1 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝐢 + A2 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝐣 +A3 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝐤 dengan fungsi skalar A1 𝑥, 𝑦, 𝑧 , A2 𝑥, 𝑦, 𝑧 , dan

A3 𝑥, 𝑦, 𝑧 mempunyai turunan parsial terhadap variabel x, y,

dan z, maka juga mempunyai turunan variabel terhadap x, y,

dan z yang dirumuskan sebagai berikut :

Page 8: TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor2014/10/04  · 1 TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor (Pertemuan IV) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

8

Turunan Parsial (lanjutan)

Sifat-sifat turunan parsial fungsi vektor :

Jika A dan B adalah fungsi-fungsi vektor dan adalah fungsi

skalar x, y, dan z yang diferensiabel terhadap ketiga variabel

tersebut, maka berlaku :

Turunan Parsial (lanjutan)

Bukti :

(i)

Page 9: TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor2014/10/04  · 1 TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor (Pertemuan IV) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

9

Turunan Parsial (lanjutan)

Pembuktian sifat (iii), (iv), dan (v) dijadikan untuk latihan!

(ii)

Turunan Parsial (lanjutan)

Aturan Rantai

Jika fungsi vektor 𝐅 = 𝐅 𝑥, 𝑦, 𝑧 terdiferensial terhadap

variabel x, y, dan z, dimana 𝑥 = 𝑥 𝑠, 𝑡, 𝑢 , 𝑦 = 𝑦 𝑠, 𝑡, 𝑢 ,

dan 𝑧 = 𝑧 𝑠, 𝑡, 𝑢 adalah fungsi skalar yang terdiferensial

terhadap variabel s, t, dan u, maka bentuk fungsi tersusun F

dapat ditulis seperti berikut :

Page 10: TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor2014/10/04  · 1 TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor (Pertemuan IV) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

10

Turunan Parsial (lanjutan)

Turunan parsial F terhadap variabel s, t, dan u dapat diberikan

sebagai berikut :

Turunan Parsial (lanjutan)

Contoh :

1. Jika 𝐅 = 𝑥𝑦𝑧2𝐢 + 𝑦𝑧2𝐣 + 2𝑥𝑦2𝐤, tentukan 𝜕𝐅

𝜕𝑥, 𝜕𝐅

𝜕𝑦, dan

𝜕𝐅

𝜕𝑧.

Penyelesaian

Page 11: TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor2014/10/04  · 1 TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor (Pertemuan IV) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

11

Turunan Parsial (lanjutan)

2. Jika 𝐳 = 3𝑥2𝐢 − 𝑦2𝐣 dengan 𝑥 = 2𝑠 + 7𝑡 dan 𝑦 = 5𝑠𝑡 ,

tentukan 𝜕𝑧

𝜕𝑡 dan nyatakan dalam bentuk s dan t.

Penyelesaian :

Latihan

1. Carilah kecepatan dan percepatan sebuah partikel yang

bergerak sepanjang kurva 𝑥 = 2 sin 3𝑡 , 𝑦 = 2 cos 3𝑡 ,

𝑧 = 8𝑡 pada saat t > 0.

2. Jika 𝐀 = 5𝑡2𝐢 + 𝑡𝐣 − 𝑡3𝐤 dan 𝐁 = sin 𝑡 𝐢 − cos 𝑡 𝐣, carilah 𝑑

𝑑𝑡𝐀.𝐁 .

3. Jika 𝐅 = sin 𝑥𝑦2𝑧 𝐢 + 2𝑦𝑧𝐣 + 𝑧3𝐤, tentukanlah 𝜕2𝐅

𝜕𝑥2.

4. Jika 𝐀 = 𝑥2𝑦𝑧𝐢 − 2𝑥𝑧3𝐣 + 𝑥𝑧2𝐤 dan 𝐁 = 2𝑧𝐢 + 𝑦𝐣 + 𝑥2𝐤,

carilah 𝜕2

𝜕𝑥𝜕𝑦𝐀 × 𝐁 di titik (1,0,–2).

Page 12: TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor2014/10/04  · 1 TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor (Pertemuan IV) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

12

Terima kasih dan

Semoga Lancar Studinya!