Persamaan Diferensial -...

32

Transcript of Persamaan Diferensial -...

Page 1: Persamaan Diferensial - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/upload/198410192008122005/pendidikan/pert1... · Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi Persamaan Diferensial

Pendahuluan

Persamaan Diferensial

Solusi dan NASB

Review Kalkulus Diferensial

Referensi

Persamaan Diferensial

Pertemuan I

Nikenasih Binatari

Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY

September 8, 2016

Nikenasih Binatari Persamaan Diferensial

Page 2: Persamaan Diferensial - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/upload/198410192008122005/pendidikan/pert1... · Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi Persamaan Diferensial

Pendahuluan

Persamaan Diferensial

Solusi dan NASB

Review Kalkulus Diferensial

Referensi

Skydiver

Figure: Penerjun Payung

Nikenasih Binatari Persamaan Diferensial

Page 3: Persamaan Diferensial - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/upload/198410192008122005/pendidikan/pert1... · Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi Persamaan Diferensial

Pendahuluan

Persamaan Diferensial

Solusi dan NASB

Review Kalkulus Diferensial

Referensi

Skydiver

Asumsi untuk pergerakan skydiver

1 gaya gravitasi

2 gaya hambat karena atmosfer

Hukum Newton II

mg − kv2 = md2v

dt2

Nikenasih Binatari Persamaan Diferensial

Page 4: Persamaan Diferensial - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/upload/198410192008122005/pendidikan/pert1... · Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi Persamaan Diferensial

Pendahuluan

Persamaan Diferensial

Solusi dan NASB

Review Kalkulus Diferensial

Referensi

Population

http://www.census.gov/popclock/

Figure: Pertumbuhan PopulasiNikenasih Binatari Persamaan Diferensial

Page 5: Persamaan Diferensial - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/upload/198410192008122005/pendidikan/pert1... · Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi Persamaan Diferensial

Pendahuluan

Persamaan Diferensial

Solusi dan NASB

Review Kalkulus Diferensial

Referensi

U.S Census

Figure: Population Growth in US 1970 - 2010Nikenasih Binatari Persamaan Diferensial

Page 6: Persamaan Diferensial - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/upload/198410192008122005/pendidikan/pert1... · Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi Persamaan Diferensial

Pendahuluan

Persamaan Diferensial

Solusi dan NASB

Review Kalkulus Diferensial

Referensi

Population

Thomas Maltus, An Essay on the principle of Population, 1798

�Population, when unchecked, increases in a geometrical ratio.�

Asumsi

Laju pertumbuhan dari populasi proporsional terhadap populasinya.

Model

dP

dt= kP, P > 0

Nikenasih Binatari Persamaan Diferensial

Page 7: Persamaan Diferensial - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/upload/198410192008122005/pendidikan/pert1... · Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi Persamaan Diferensial

Pendahuluan

Persamaan Diferensial

Solusi dan NASB

Review Kalkulus Diferensial

Referensi

Population

Thomas Maltus, An Essay on the principle of Population, 1798

�Population, when unchecked, increases in a geometrical ratio.�

Asumsi

Laju pertumbuhan dari populasi proporsional terhadap populasinya.

Model

dP

dt= kP, P > 0

Nikenasih Binatari Persamaan Diferensial

Page 8: Persamaan Diferensial - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/upload/198410192008122005/pendidikan/pert1... · Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi Persamaan Diferensial

Pendahuluan

Persamaan Diferensial

Solusi dan NASB

Review Kalkulus Diferensial

Referensi

Population

Thomas Maltus, An Essay on the principle of Population, 1798

�Population, when unchecked, increases in a geometrical ratio.�

Asumsi

Laju pertumbuhan dari populasi proporsional terhadap populasinya.

Model

dP

dt= kP, P > 0

Nikenasih Binatari Persamaan Diferensial

Page 9: Persamaan Diferensial - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/upload/198410192008122005/pendidikan/pert1... · Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi Persamaan Diferensial

Pendahuluan

Persamaan Diferensial

Solusi dan NASB

Review Kalkulus Diferensial

Referensi

Tipe Variabel

Tiga tipe dasar variabel yang digunakan dalam model persamaandiferensial adalah

1 Variabel independent

2 Variabel dependent

3 Parameter

Nikenasih Binatari Persamaan Diferensial

Page 10: Persamaan Diferensial - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/upload/198410192008122005/pendidikan/pert1... · Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi Persamaan Diferensial

Pendahuluan

Persamaan Diferensial

Solusi dan NASB

Review Kalkulus Diferensial

Referensi

Tipe Variabel

Tiga tipe dasar variabel yang digunakan dalam model persamaandiferensial adalah

1 Variabel independent

2 Variabel dependent

3 Parameter

Nikenasih Binatari Persamaan Diferensial

Page 11: Persamaan Diferensial - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/upload/198410192008122005/pendidikan/pert1... · Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi Persamaan Diferensial

Pendahuluan

Persamaan Diferensial

Solusi dan NASB

Review Kalkulus Diferensial

Referensi

Tipe Variabel

Tiga tipe dasar variabel yang digunakan dalam model persamaandiferensial adalah

1 Variabel independent

2 Variabel dependent

3 Parameter

Nikenasih Binatari Persamaan Diferensial

Page 12: Persamaan Diferensial - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/upload/198410192008122005/pendidikan/pert1... · Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi Persamaan Diferensial

Pendahuluan

Persamaan Diferensial

Solusi dan NASB

Review Kalkulus Diferensial

Referensi

De�nisi Persamaan Diferensial

Persamaan Diferensial

adalah persamaan yang memuat satu atau lebih variabel dependentterhadap satu atau lebih variabel independent.

Contoh

1d2ydx2

+ xy(dydx

)2= 0

2d4xdt4

+ 5d2xdt2

+ 3x = sin t

3∂v∂s + ∂v

∂t = v

4∂2u∂x2

+ ∂2u∂y2

+ ∂2u∂z2

= 0

Nikenasih Binatari Persamaan Diferensial

Page 13: Persamaan Diferensial - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/upload/198410192008122005/pendidikan/pert1... · Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi Persamaan Diferensial

Pendahuluan

Persamaan Diferensial

Solusi dan NASB

Review Kalkulus Diferensial

Referensi

Klasi�kasi

berdasarkan banyaknya variabel independent, persamaan diferensialdibagi menjadi dua jenis yaitu :

Persamaan Diferensial Elementer (PDE)

De�nisi

PDE adalah persamaan diferensial dari satu atau lebih variabeldependent terhadap satu variabel independent.

Persamaan Diferensial Parsial (PDP)

De�nisi

PDP adalah persamaan diferensial dari satu atau lebih variabeldependent terhadap lebih dari satu variabel independent.

Nikenasih Binatari Persamaan Diferensial

Page 14: Persamaan Diferensial - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/upload/198410192008122005/pendidikan/pert1... · Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi Persamaan Diferensial

Pendahuluan

Persamaan Diferensial

Solusi dan NASB

Review Kalkulus Diferensial

Referensi

Klasi�kasi

berdasarkan banyaknya variabel independent, persamaan diferensialdibagi menjadi dua jenis yaitu :

Persamaan Diferensial Elementer (PDE)

De�nisi

PDE adalah persamaan diferensial dari satu atau lebih variabeldependent terhadap satu variabel independent.

Persamaan Diferensial Parsial (PDP)

De�nisi

PDP adalah persamaan diferensial dari satu atau lebih variabeldependent terhadap lebih dari satu variabel independent.

Nikenasih Binatari Persamaan Diferensial

Page 15: Persamaan Diferensial - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/upload/198410192008122005/pendidikan/pert1... · Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi Persamaan Diferensial

Pendahuluan

Persamaan Diferensial

Solusi dan NASB

Review Kalkulus Diferensial

Referensi

Klasi�kasi

berdasarkan banyaknya variabel independent, persamaan diferensialdibagi menjadi dua jenis yaitu :

Persamaan Diferensial Elementer (PDE)

De�nisi

PDE adalah persamaan diferensial dari satu atau lebih variabeldependent terhadap satu variabel independent.

Persamaan Diferensial Parsial (PDP)

De�nisi

PDP adalah persamaan diferensial dari satu atau lebih variabeldependent terhadap lebih dari satu variabel independent.

Nikenasih Binatari Persamaan Diferensial

Page 16: Persamaan Diferensial - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/upload/198410192008122005/pendidikan/pert1... · Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi Persamaan Diferensial

Pendahuluan

Persamaan Diferensial

Solusi dan NASB

Review Kalkulus Diferensial

Referensi

Klasi�kasi

berdasarkan banyaknya variabel independent, persamaan diferensialdibagi menjadi dua jenis yaitu :

Persamaan Diferensial Elementer (PDE)

De�nisi

PDE adalah persamaan diferensial dari satu atau lebih variabeldependent terhadap satu variabel independent.

Persamaan Diferensial Parsial (PDP)

De�nisi

PDP adalah persamaan diferensial dari satu atau lebih variabeldependent terhadap lebih dari satu variabel independent.

Nikenasih Binatari Persamaan Diferensial

Page 17: Persamaan Diferensial - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/upload/198410192008122005/pendidikan/pert1... · Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi Persamaan Diferensial

Pendahuluan

Persamaan Diferensial

Solusi dan NASB

Review Kalkulus Diferensial

Referensi

Klasi�kasi

Berdasarkan sifat linearitasnya, persamaan diferensial juga dibagimenjadi dua yaitu :

Persamaan Diferensial Linear

Persamaan Diferensial Nonlinear

Contoh

d2ydx2

+ 5dydx + 6y2 = 0

d2ydx2

+ 5dydx + 6y = 0

d2ydx2

+ 5(dydx

)3+ 6y = 0

d2ydx2

+ 5y dydx + 6y = 0

Nikenasih Binatari Persamaan Diferensial

Page 18: Persamaan Diferensial - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/upload/198410192008122005/pendidikan/pert1... · Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi Persamaan Diferensial

Pendahuluan

Persamaan Diferensial

Solusi dan NASB

Review Kalkulus Diferensial

Referensi

Order

Order dari suatu persamaan diferensial adalah nilai turunantertinggi dari suatu persamaan difereneial.

Contoh

d2ydx2

+ 5dydx + 6y2 = 0

d2ydx2

+ 5dydx + 6y = 0

d2ydx2

+ 5(dydx

)3+ 6y = 0

d2ydx2

+ 5y dydx + 6y = 0

Nikenasih Binatari Persamaan Diferensial

Page 19: Persamaan Diferensial - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/upload/198410192008122005/pendidikan/pert1... · Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi Persamaan Diferensial

Pendahuluan

Persamaan Diferensial

Solusi dan NASB

Review Kalkulus Diferensial

Referensi

Solusi

Persamaan diferensial order n secara umum dapat dinyatakandalma bentuk

F

[x , y ,

dy

dx, · · · , d

ny

dxn

]= 0 (1)

dengan F adalah fungsi real.

Fungsi f sedemikian sehingga y = f (x) memenuhi Persamaan1 disebut dengan solusi eksplisit.

Relasi g (x , y) = 0 disebut solusi implisit jika memenuhiPersamaan 1.

Nikenasih Binatari Persamaan Diferensial

Page 20: Persamaan Diferensial - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/upload/198410192008122005/pendidikan/pert1... · Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi Persamaan Diferensial

Pendahuluan

Persamaan Diferensial

Solusi dan NASB

Review Kalkulus Diferensial

Referensi

Contoh

Butkikan bahwa fungsi f yang terde�nisi di setiap bilangan real x

f (x) = 2 sin x + 3 cos x

merupakan solusi eksplisit dari persamaan diferensial

d2y

dx2 + y = 0

Nikenasih Binatari Persamaan Diferensial

Page 21: Persamaan Diferensial - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/upload/198410192008122005/pendidikan/pert1... · Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi Persamaan Diferensial

Pendahuluan

Persamaan Diferensial

Solusi dan NASB

Review Kalkulus Diferensial

Referensi

Nilai Awal dan Syarat Batas

Figure: Syarat tambahan

Nikenasih Binatari Persamaan Diferensial

Page 22: Persamaan Diferensial - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/upload/198410192008122005/pendidikan/pert1... · Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi Persamaan Diferensial

Pendahuluan

Persamaan Diferensial

Solusi dan NASB

Review Kalkulus Diferensial

Referensi

Soal 1

hitunglah derivatif dari y = e2t cos 3t

Nikenasih Binatari Persamaan Diferensial

Page 23: Persamaan Diferensial - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/upload/198410192008122005/pendidikan/pert1... · Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi Persamaan Diferensial

Pendahuluan

Persamaan Diferensial

Solusi dan NASB

Review Kalkulus Diferensial

Referensi

Soal 2

Hitunglah derivatif dari y = t1−t2

Nikenasih Binatari Persamaan Diferensial

Page 24: Persamaan Diferensial - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/upload/198410192008122005/pendidikan/pert1... · Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi Persamaan Diferensial

Pendahuluan

Persamaan Diferensial

Solusi dan NASB

Review Kalkulus Diferensial

Referensi

Soal 3

Tentukan bentuk kurva yang diparametrisasi di bidang-xy berikut :x = 3 sin 2t, y = cos 2t, 0 ≤ t ≤ π

Nikenasih Binatari Persamaan Diferensial

Page 25: Persamaan Diferensial - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/upload/198410192008122005/pendidikan/pert1... · Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi Persamaan Diferensial

Pendahuluan

Persamaan Diferensial

Solusi dan NASB

Review Kalkulus Diferensial

Referensi

Soal 4

Dari kelima fungsi berikut, yang merupakan fungsi naik padainterval 0 < t < 1 adalah

1 1− t2

2 e−t

3 2e2t − et

4 4+ cosπt

5 t2 − 1

Nikenasih Binatari Persamaan Diferensial

Page 26: Persamaan Diferensial - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/upload/198410192008122005/pendidikan/pert1... · Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi Persamaan Diferensial

Pendahuluan

Persamaan Diferensial

Solusi dan NASB

Review Kalkulus Diferensial

Referensi

Soal 5

Nilai integral tertentu −π2

´ π2 cos t dt adalah

Nikenasih Binatari Persamaan Diferensial

Page 27: Persamaan Diferensial - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/upload/198410192008122005/pendidikan/pert1... · Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi Persamaan Diferensial

Pendahuluan

Persamaan Diferensial

Solusi dan NASB

Review Kalkulus Diferensial

Referensi

Soal 6

Hitunglah nilai integral berikut :´x2

(x3 + 1

)3dx

Nikenasih Binatari Persamaan Diferensial

Page 28: Persamaan Diferensial - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/upload/198410192008122005/pendidikan/pert1... · Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi Persamaan Diferensial

Pendahuluan

Persamaan Diferensial

Solusi dan NASB

Review Kalkulus Diferensial

Referensi

Soal 7

Hitunglah integral berikut :

−1´3 3

4+3t dt = ...

Nikenasih Binatari Persamaan Diferensial

Page 29: Persamaan Diferensial - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/upload/198410192008122005/pendidikan/pert1... · Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi Persamaan Diferensial

Pendahuluan

Persamaan Diferensial

Solusi dan NASB

Review Kalkulus Diferensial

Referensi

Soal 8

Jika f ” (t) = 12e2t + 18 sin 3t dan f ′ (0) = f (0) = 3, makaf (t) = ...

Nikenasih Binatari Persamaan Diferensial

Page 30: Persamaan Diferensial - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/upload/198410192008122005/pendidikan/pert1... · Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi Persamaan Diferensial

Pendahuluan

Persamaan Diferensial

Solusi dan NASB

Review Kalkulus Diferensial

Referensi

Soal 9

Tentukan kemiringan dydt untuk garis singgung kurva

x = et , y = 1+ t2

di t = 3

Nikenasih Binatari Persamaan Diferensial

Page 31: Persamaan Diferensial - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/upload/198410192008122005/pendidikan/pert1... · Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi Persamaan Diferensial

Pendahuluan

Persamaan Diferensial

Solusi dan NASB

Review Kalkulus Diferensial

Referensi

Interpretasi hasil

Interpreting your score:Skor Interpretasi

8-9 Anda sudah siap belajar Persamaan Diferensial

6-7 Pelajari kembali soal-soal yang jawaban Anda salah

5 ke bawah Anda disarankan mempelajari kembali materi prasyarat

Nikenasih Binatari Persamaan Diferensial

Page 32: Persamaan Diferensial - staffnew.uny.ac.idstaffnew.uny.ac.id/upload/198410192008122005/pendidikan/pert1... · Solusi dan NASB Review Kalkulus Diferensial Referensi Persamaan Diferensial

Pendahuluan

Persamaan Diferensial

Solusi dan NASB

Review Kalkulus Diferensial

Referensi

Referensi

Ross, S.L, Di�erential Equations, 1984, J. Willey, New York

Boyce, W.E., dan Diprima, R.C. Elementary Di�erentialEquations dan Boundary Value Problems, 1992, J. Willey, NewYork.

Zill, Dennis G., Cullen, Michael R. 1997. Di�erentialEquations with Boundary-value Problems. Fourth Edition.USA : Brooks/Cole Publishing Company.

Trench, W.F. 2013. Elementary Di�erential Equations.

Nikenasih Binatari Persamaan Diferensial