4

BAB II

KAJIAN TEORI

Analisis kekonvergenan pada barisan fungsi, apakah barisan fungsi itu?

Apakah berbeda dengan barisan pada umumnya? Tentunya sebelum

membahas mengenai barisan fungsi, apa saja jenis kekonvergenannya, dan

bagaimana sifat-sifat dari barisan fungsi yang konvergen, terlebih dahulu

harus memahami hal yang berkaitan dengan barisan fungsi seperti barisan,

jenis-jenis fungsi, dan tentunya materi-materi yang akan mendukung untuk

memahami sifat-sifat dari barisan fungsi. Pada bab ini akan diuraikan materi-

materi berupa definisi dan teorema yang akan dijadikan sebagai acuan untuk

membahas mengenai barisan fungsi, antara lain himpunan terbatas, supremum

infimum, sifat Archimedes, barisan, fungsi kontinu, diferensial, partisi dan

integral Riemann.

A. Himpunan Terbatas, Supremum Infimum dan Sifat Archimedes

Sebelum membahas mengenai barisan ada beberapa materi yang harus

dipahami dan nantinya akan mempermudah dalam memahami barisan,

diantaranya mengenai himpunan terbatas, supremum infimum dan sifat

Archimedes (Archimedean properties). Di bawah ini terdapat definisi yang

disampaikan oleh ahli mengenai himpunan terbatas, supremum infimum dan

sifat Archimedes.

5

1. Himpunan Terbatas

Definisi 2.1: (Bartle & Sherbert, 2000: 35)

Andaikan suatu himpunan tak kosong subset dari .

1) dikatakan terbatas atas jika ada bilangan sedemikian

sehingga untuk setiap . Bilangan disebut juga

sebagai batas atas dari

2) dikatakan terbatas bawah jika ada bilangan sedemikian

sehingga untuk setiap . Bilangan disebut juga

sebagai batas bawah dari

3) dikatakan terbatas jika terbatas atas dan terbatas bawah.

Untuk lebih mudah memahami diberikan contoh,

Contoh 2.1 :

misalkan himpunan {

}.

{

}

Nilai maksimum dari adalah , untuk sebarang bilangan riil maka

ada bilangan yang lebih besar dari . Jadi, terbatas atas. Nilai

minimum dari tidak dapat didefinisikan karena nilai

merupakan himpunan semua bilangan asli, akan tetapi nilai

himpunan tersebut akan selalu lebih besar dari bilangan (

). Hal ini menyebabkan memiliki batas bawah, maka

terbatas bawah. Jadi, merupakan himpunan yang terbatas.

6

2. Supermum dan Infimum

Misal adalah himpunan tak kosong subset dari

1) Supremum

Definisi 2.2 : (Bartle & Sherbert, 2000: 35)

Andaikan merupakan himpunan tak kosong yang terbatas atas,

maka bilangan dikatakan sebagai supremum (batas atas terkecil)

dari , jika memenuhi :

i. adalah batas atas dari , dan

ii. Jika adalah batas atas yang lainnya dari , maka .

Nilai supremum dari suatu himpunan biasanya dinotasikan

dengan .

2) Infimum

Definisi 2.3 : (Bartle & Sherbert, 2000: 36)

Andaikan merupakan himpunan tak kosong yang terbatas bawah,

maka bilangan dikatakan sebagai infimum (batas bawah

terbesar) dari , jika memenuhi :

i. adalah batas bawah dari , dan

ii. Jika adalah batas bawah yang lainnya dari , maka .

Nilai infimum dari suatu himpunan biasanya dinotasikan dengan

.

7

Contoh 2.2 :

Misalkan {

}. Nilai minimum dari himpunan tersebut

adalah dan ada bilangan riil yang lebih kecil dari maka himpunan

memiliki batas bawah. Bilangan 0 merupakan batas bawah karena

untuk semua elemen himpunan tidak ada yang lebih kecil dari .

Bilangan juga batas bawah terbesar dari himpunan tersebut karena

untuk batas bawah yang lainnya lebih kecil dari atau dengan kata

lain . Himpunan tidak memiliki nilai maksimum akan tetapi

himpunan memiliki batas atas karena nilai dari anggota himpunan

kurang dari atau dengan kata lain bilangan merupakan batas atas

dari himpunan . Bilangan juga merupakan batas atas terkecil dari

himpunan , hal ini terlihat dari tidak ada bilangan riil yang lebih kecil

dari yang merupakan batas atas dari himpunan dan bukan anggota

dari himpunan Atau dengan kata lain .

3. Sifat Archimedes

Sifat Archimedes (Archimedean Property) digunakan untuk

menunjukkan bahwa himpunan bilangan asli tidak terbatas atas pada

himpunan bilangan riil . Atau dengan kata lain untuk setiap bilangan

riil ada bilangan asli (yang bergantung pada ), sedemikian

sehingga . Di bawah ini akan dijelaskan mengenai sifat

Archimedes dan akibatnya.

8

Sifat Archimedes. (Bartle & Sherbert, 2000; 40)

Jika , maka ada sedemikian sehingga .

Bukti

Andai pernyataan di atas bernilai salah maka untuk semua

. Hal tersebut juga mengatakan bahwa merupakan batas atas

dari . merupakan himpunan tak kosong mempunyai suatu

supremum yaitu . merupakan supremum dari , dengan

megurangkan nilai dengan 1 maka selalu lebih kecil dari .

bukan batas atas dari , maka ada dengan .

Tambahkan kedua ruas dengan , didapatkan , karena

maka bukan batas atas dari . Faktanya merupakan

supremum dari , terjadi kotradiksi maka pengandaian harus

dinegasikan. Terbukti Jika , maka ada sedemikan

sehingga .

Akibat 2.4 : (Bartle & Sherbert, 2000: 40)

Jika {

}, maka .

Bukti

merupakan himpunan tak kosong dan terbatas bawah oleh ,

himpunan memiliki infimum dan misal , maka . Sifat

Archimedes mengatakan, untuk setiap maka ada

9

sedemikian sehingga

atau dengan kata lain

. Dari

pernyataan-pernyataan tersebut diperoleh

Nilai yang memenuhi adalah .

Akibat 2.5 : (Bartle & Sherbert, 2000: 40)

Jika , maka ada sedemikian sehingga

.

Bukti

Nilai dari {

} dan , maka bukan batas bawah

dari himpunan tersebut. Maka ada sedemikian sehingga

B. Barisan

Barisan fungsi, kata pertama dari kata benda tersebut adalah barisan.

Tentunya sebelum mengenal barisan fungsi terlebih dahulu harus

mengenal barisan. Apa itu barisan? Untuk memudahkan pemahaman

mengenai barisan, di bawah ini terdapat definisi dari beberapa ahli

mengenai barisan

Definisi 2.6 : (Bartle & Sherbert, 2000: 53)

Barisan bilangan riil (barisan pada ) adalah fungsi yang

didefinisikan pada himpunan bilangan asli { } dimana range

termuat dalam himpunan bilangan riil .

10

Jika adalah barisan, nilai dari pada dinotasikan dengan

. Nilai disebut dengan elemen dari barisan. Suatu barisan dinotasikan

dengan { }, dengan adalah bilangan ke- dari { } dan dituliskan

. Contoh sederhana dari barisan bilangan riil adalah

{ } {

} {

}.

Telah dijelaskan pada bagian di atas mengenai suatu barisan, selain

itu barisan juga memiliki sifat-sifat, tentunya perlu dipahami juga karakter

dari suatu barisan jika kita ingin mengenal barisan fungsi. Apakah barisan

tersebut konvergen atau divergen? Apa itu barisan monoton dan

subbarisan? Ada beberapa definisi yang telah dijelaskan oleh para ahli

mengenai hal tersebut, diantaranya sebagai berikut.

1. Barisan Konvergen

Definisi 2.7: (Bartle & Sherbert, 2000: 54)

Barisan { } pada kovergen ke atau merupakan

limit dari { }, jika untuk setiap terdapat suatu bilangan asli

sedemikian sehingga untuk semua , memenuhi .

Jika nilai limit barisan untuk ( ), maka

barisan tersebut konvergen dan sebaliknya jika barisan tidak

mempunyai limit, maka barisan tersebut divergen.

Contoh 2.3 :

Suatu barisan bilangan riil dengan rumus { } {

}. Barisan

{ } {

} konvergen menuju , karena jika diberikan ada

11

sedemikian sehingga untuk semua nilai |

|

.

2. Barisan Divergen

Definisi 2.8 : (Kosmala, 2004 : 81)

Suatu barisan { } divergen ke jika dan hanya jika untuk

sebarang , ada sedemikian sehingga untuk

semua . Atau dapat dituliskan . Misal { }

suatu barisan dengan rumus { } {

}, menurut sifat Archimedes

untuk sebarang , ada sedemikian sehingga ,

sedangkan nilai

maka nilai

untuk semua

yang artinya barisan { } divergen.

Teorema 2.9 : (Kosmala, 2004 : 83)

Misal { } adalah sebuah barisan, dengan . Barisan { }

divergen ke jika dan hanya jika barisan {

} konvergen ke .

Bukti :

1) Misal { } adalah sebuah barisan, dengan . Jika { }

divergen ke maka barisan {

} konvergen ke

{ } divergen ke jika dan hanya jika untuk setiap , ada

sedemikian sehingga untuk semua . Ambil

sebarang

. Barisan { } divergen ke maka

12

|

| |

|

|

|

Terbukti {

} konvergen ke .

2) Misal { } adalah sebuah barisan, dengan . Jika barisan

{

} konvergen ke maka { } divergen ke .

Barisan {

} konvergen ke , jika diberikan ada

sedemikian sehingga untuk semua berlaku

|

|

Nilai

, dimana

untuk semua maka divergen

ke .

Teorema 2.10 : (Kosmala, 2004 : 82)

Jika suatu barisan { } divergen ke dan untuk semua

, maka barisan { } sudah pasti divergen ke .

13

Bukti

Andai { } konvergen ke maka , untuk semua .

Nilai untuk semua , artinya { } konvergen

menuju . Terjadi kontradiksi maka pengandaian harus dinegasikan,

yaitu { } divergen menuju .

3. Subbarisan

Definisi 2.11 : (Bartle & Sherbert, 2000: 75 )

Misal { } adalah barisan bilangan riil dan

adalah barisan bilangan asli yang naik tegas. { } dimana

{

}

Maka dikatakan sebagai subbarisan dari . Contoh subbarisan dari

barisan ,

{

}

Pilih untuk bernilai genap, maka didapat barisan baru

{

}

Barisan merupakan subbarisan dari , dimana , ,

.

14

Teorema 2.12 : (Bartle & Sherbert, 2000: 76)

Jika barisan bilangan real { } konvergen ke bilangan real maka

setiap subbarisan { } dari juga konvergen ke

Bukti

Jika diberikan maka ada sedemikian sehingga jika

maka . Karena adalah

barisan naik dari bilangan asli maka . Di samping itu, jika

maka kita juga mempunyai maka | | .

Atau dengan kata lain subbarisan { } konvergen ke .

Teorema 2.13 : (Bartle & Sherbert, 2000: 76)

Jika { } merupakan barisan bilangan real. Pernyataan-

pernyataan berikut saling ekuivalen

(i) Barisan { } tidak konvergen ke

(ii) Ada suatu sedemikian sehingga untuk setiap , ada

sedemikian sehingga dan | |

(iii) Ada dan suatu subbarisan { } dari sedemikian

sehingga | |

Bukti

(i) (ii) Jika { } tidak konvergen ke , maka untuk beberapa

tidak memungkinkan ditemukan suatu bilangan asli sedemikian

15

sehingga untuk semua syarat memenuhi . Oleh

karena itu, untuk setiap tidak benar untuk semua

pertidaksamaan terpenuhi. Atau dengan kata lain, untuk

setiap ada bilangan asli sedemikian sehingga |

| .

(ii) (iii) Diberikan seperti pada kondisi (ii) dan diberikan

sedemikian sehingga dan | | . Kemudian diberikan

sedemikian sehingga dan | | . Dengan

cara yang sama didapatkan subbarisan { } dari sedemikian

sehingga | | untuk semua .

(iii) (i) Jika { } memiliki subbarisan { } memenuhi

kondisi poin (iii). Maka tidak dapat konvergen ke , menurut

teorema 2.12 Jika konvergen menuju maka subbarisan juga

konvergen menuju Hal ini tidak mungkin terjadi, karena tidak ada

kondisi yang memenuhi.

4. Barisan Cauchy

Definisi 2.14 : (Bartle & Sherbert, 2000: 81)

Suatu barisan bilangan riil disebut Barisan Cauchy jika untuk setiap

ada bilangan asli sedemikian sehingga untuk semua bilangan

asli maka kondisi memenuhi .

16

Contoh 2.14 :

Suatu barisan { } {

}. Jika diberikan

, menurut sifat

archimedes maka ada bilangan asli

sedemikian sehingga untuk

kita mempunyai

dan

. Maka untuk nilai

diperoleh

|

|

Terbukti {

} merupakan barisan Cauchy

C. Kekontinuan Fungsi

Fungsi kontinu merupakan suatu konsep yang akan sering digunakan

dalam bahasan kita selanjutnya, baik dalam diferensial, integral maupun

dalam mengidentifikasi sifat-sifat dari barisan fungsi. Oleh karena itu, kita

perlu memahami apa yang dimaksud kekontinuan dari suatu fungsi. Akan

tetapi sebelum membicarakan mengenai fungsi kontinu, akan dikenalkan

terlebih dahulu mengenai cluster point dan limit dari suatu fungsi. Di

bawah ini terdapat definisi dari ahli mengenai cluster point, limit fungsi

dan fungsi kontinu.

Definisi 2.15 : (Bartle & Sherbert, 2000: 97)

Misalkan . Titik adalah cluster point dari jika untuk

setiap ada sedikitnya satu titik , sedemikian sehingga

.

17

Definisi 2.16 : (Bartle & Sherbert, 2000: 98)

Misalkan , dan merupakan cluster point dari . Untuk suatu

fungsi , suatu bilangan riil dikatakan limit dari fungsi di ,

jika diberikan ada sedemikian sehingga jika dan

, maka .

Definisi 2.17 : (Bartle & Sherbert, 2000: 120)

Misalkan , dan . Fungsi kontinu pada jika

diberikan sebarang , ada sedemikian sehingga jika adalah

sembarang titik pada yang memenuhi , maka

. Kondisi tersebut mirip dengan definisi limit (definisi 2.16)

sedemikian sehingga fungsi kontinu dapat didefinisikan merupakan

fungsi kontinu di jika dan hanya jika

. Jika

fungsi tidak kontinu pada , maka diskontinu pada .

Contoh 2.5 :

Misalkan suatu fungsi dengan rumus pada . Jika diberikan

ada sedemikian sehingga jika , maka

dan kita pilih sedemikian sehingga . Fungsi

kontinu pada ,

D. Diferensial

Definisi 2.18 : (Kosmala, 2004: 184)

Suatu fungsi dengan , adalah titik akumulasi dari ,

dan . Derrivatif dari pada didefinisikan

18

Jika limitnya ada maka dapat dikatakan terdiferensial pada .

Definisi 2.19 : (Varbeg and Purcell, 2010: 163)

Turunan fungsi adalah fungsi lain (dibaca “ aksen”) yang nilainya

pada sembarang bilangan adalah

Asalkan nilai limitnya ada

Contoh 2.6 :.

Suatu fungsi , terdefinisi dengan . Nilai dari

adalah

Nilai dari , karena merupakan nilai yang

berhingga maka dapat dikatakan terdiferensial pada .

Teorema 2.20 : (Brannan, 2006: 212)

Misal fungsi terdefinisi pada interval terbuka , dan Jika

terdiferensial di , maka juga kontinu di

Bukti

Fungsi terdiferensial di , maka

19

Dari persamaan di atas diperoleh

{ }

{

}

{ }

{ }

{ }

Nilai limit untuk sama dengan nilai atau dengan kata lain

fungsi kontinu di .

Teorema 2.21 : (Goldberg, 1976: 200)

Misal adalah fungsi kontinu bernilai riil pada interval tertutup dan

terbatas . Jika nilai maksimum dari terdapat pada titik , dimana

, dan jika ada maka .

Bukti

Andai nilai . Jika maka

Untuk dimana merupakan bilangan positif. Pilih

maka sedemikian sehingga nilai dari

20

atau . Terjadi kontradiksi dimana nilai maksimum

dari fungsi berada pada titik .

Jika maka

Untuk dimana merupakan bilangan positif. Pilih

maka sedemikian sehingga nilai dari

atau . Terjadi kontradiksi dimana nilai maksimum

dari fungsi berada pada titik .

Nilai dari tidak mungkin lebih besar atau lebih kecil dari , jadi nilai

.

Teorema 2.22 (Teorema Rolle) : (Goldberg, 1976: 200)

Misal adalah fungsi kontinu bernilai riil pada interval tertutup dan

terbatas , dengan . Jika terdiferensial untuk

semua , maka ada suatu titik dimana .

Bukti

Jika bernilai pada interval , ada titik maka

sedemikian sehingga

Terbukti jika fungsi bernilai pada interval .

21

Jika untuk , maka pada interval tersebut fungsi

memiliki nilai maksimum pada suatu titik dan tentunya nilai maksimum

fungsi bukan pada titik atau karena . Misal titik

maksimum fungsi adalah dan fungsi terdiferensial pada ,

menurut teorema 2.21 maka nilai dari .

Teorema 2.23 (Teorema Nilai Rata-Rata) : (Goldberg, 1976: 203)

Jika adalah fungsi kontinu pada interval tertutup terbatas dan jika

ada untuk semua , maka ada sedemikian

sehingga

Bukti

Kita definisikan suatu fungsi sebagai berikut

Subtitusi nilai

Subtitusi nilai

Akan ditunjukkan terdiferensial pada interval , ambil sebarang

pada interval

22

terdiferensial pada interval , sedemikian sehingga

Fungsi terdiferensial pada interval , menurut teorema 2.18 maka

juga kontinu pada interval . Fungsi kontinu, terdiferensial pada

interval dan , menurut teorema Rolle’s maka ada

suatu titik sedemikian sehingga

E. Partisi dan Integral Riemann

1. Partisi

Definisi 2.24 :(Bartle & Sherbert, 2000: 145)

Suatu partisi dari suatu interval adalah suatu himpunan

dengan { } merupakan himpunan dari interval tertutup

yang tidak saling tumpang tindih dan gabungan dari interval-interval

23

tersebut adalah interval . Interval-interval tersebut dinotasikan

dengan , dimana

Titik-titik merupakan titik partisi dari . Jika dipilih

sebuah titik dari masing-masing interval , untuk maka

titik-titik disebut juga dengan (label) dan himpunan interval

dengan pasangan-pasanganya

{ } { }

disebut juga tagged partition dari .

2. Integral Riemann

Definisi 2.25 :(Bartle & Sherbert , 2000: 196)

Suatu fungsi dikatakan terintegral secara Riemann pada

jika ada suatu bilangan sedemikian sehingga untuk setiap

ada sedemikian sehingga jika suatu tagged partition

dari dengan ‖ ‖ maka | ( ) | . ( )atau

sering disebut Riemann Sum (Penjumlahan Riemann) didefinisikan

sebagai berikut

( ) ∑

Definisi tersebut secara tidak langsung mengatakan bahwa

merupakan limit dari ( ) untuk nilai ‖ ‖ (partisi semakin

halus).

24

‖ ‖

∑

Himpunan yang terintegral secara Riemann dinotasikan dengan

. merupakan sutau bilangan tertentu sering juga disebut

integral Riemann dari di . Biasa juga ditulis ∫

atau

∫

.

Contoh 2.7 :

Fungsi pada interval merupakan fungsi yang terintegral

secara Riemann. Hal tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut misal

untuk adalah partisi dari dan kita pilih label dari

interval yaitu yang merupakan titik tengah dari

dimana

, sedemikian sehingga didapatkan

dengan { } untuk , maka didapatkan jumlahan

Riemann

( ) ∑

∑

∑

∑

Misalkan { } untuk merupakan partisi berlabel

yang lainnya pada interval dengan ‖ ‖ sedemikian sehingga

untuk . Misalkan dan mempunyai titik-

25

titik partisi yang sama, merupakan titik tengah dari interval dan

juga terdapat dalam interval sedemikian sehingga .

Menggunakan ketaksamaan segitiga

| ( ) ( )| |∑

∑

|

∑

∑

∑

Karena ( )

, maka

| ( ) ( )| | ( )

|

Nilai . Pilih sedemikian sehingga

| ( )

|

Atau dengan kata lain dan ∫

∫

.

Teorema 2.26 (Teorema Fundamental Kalkulus) : (Bartle &

Sherbert, 2001: 210)

Suatu fungsi pada dan pada interval , ,

dimana :

(a) kontinu pada interval

(b) untuk semua

(c) terintegral secara Riemann

26

Maka

∫

Bukti

Diberikan , karena terintergral secara Riemann ( )

maka ada sedemikian sehingga jika adalah tagged partition

dari dengan ‖ ‖ , maka

| ( ) ∫

|

Jika subinterval-subinterval pada adalah , dengan

mengaplikasikan teorema nilai rata-rata pada fungsi , ada

sedemikian sehingga

Kita jumlahkan nilai dari untuk

∑

Fungsi didefinisikan pada interval maka

Sedemikian sehingga

27

∑

∑

∑

Misalkan merupakan tagged partition dimana adalah untuk

subinterval-subinterval pada , maka { } untuk

, sedemikian sehingga

( ) ∑

Jadi ( ) ( ), diperoleh

| ∫

|

Atau dapat dikatakan

∫

‖ ‖

Terbukti bahwa ∫