Limit (2)&Kekontinuan

2

1sin

lim.10

x

xx

1coslim.20

xx

1tan

lim.30

x

xx

Contoh

Hitung

0

sin5lim

tan3!

Jawab

0 0

0 0 0

sin5 sin5 3 1lim lim 5

tan3 5 tan3 3

sin5 3 5 lim lim lim

5 tan3 3

untuk 0 berakibat 3 0 dan 5 0, sehingga:

0 5 0 3 0 0

sin5 sin5 3 5lim lim lim lim

tan3 5 tan3 35 5

1.1.3 3

Limit Fungsi Trigometri

Latihan Soal

Hitunglah limit berikut ini!

0

sin21. lim

3x

xx

0

52. lim

tan2x

xx

0

sin43. lim

tan3x

xx

0

tan24. lim

sin6x

xx

4

atasarahdari0)(dan0jika,)( xgLi

Limit Tak Hingga

maka,0)(limdan0)(limMisal

xgLxfaxax

)(

)(lim

xg

xfax

bawaharahdari0)(dan0jika,)( xgLii

bawaharahdari0)(dan0jika,)( xgLiii

atasarahdari0)(dan0jika,)( xgLiv

Ctt : g(x) 0 dari arah atas maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x)positif.

g(x) 0 dari arah bawah maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x)negatif.

Limit Tak Hingga

5

Hitunglah limit berikut ini!

a. 2

4lim

2x x

b. 2

4lim

2x x

c. 2

4lim

2x x

d. 2

4lim

2x x

e. 23

3lim

6x

x

x x

f. 23

3lim

6x

x

x x

2

4 4lim

2 0x x

2

4 4lim

2 0x x

2

4 4lim

2 0x x

2

4 4lim

2 0x x

23 3

3 3 9 9lim lim

( 3)( 2) 0 (5) 06x x

x xx xx x

23 3

3 3 9 9lim lim

( 3)( 2) 0 (5) 06x x

x xx xx x

Contoh

Hitunglah limit berikut ini!

Latihan Soal

2

41. lim

2x x

2

42. lim

2x x

3

33. lim

2 6x

xx

3

34. lim

2 6x

xx

4

45. lim

4x x

4

26. lim

4x

xx

3

47. lim

2 6x

xx

3

48. lim

2 6x

xx

Limit di Tak Hingga

7

a.

L

x

lim ( )x

f x L

jika ( )f x terdefinisikan untuk setiap nilai x cukup besar (arah

positif) dan jika x menjadi besar tak terbatas (arah positif) maka ( )f x mendekati L.

lim ( )x

f x L

jika ( )f x terdefinisikan untuk setiap nilai x cukup besar (arah

negatif) dan jika x menjadi besar tak terbatas (arah negatif) maka ( )f x mendekati L.

b.

L

x

8

Hitunglah limit berikut ini!

a. 4

lim2x x

b. 6 1

lim2 10x

xx

c. 2

4lim

2 2x

x

x x d.

2

2

6lim

2 3x

x

x x

e.3

2lim3x

x

x

Contoh

a. 4 4

lim 02x x

b. 6 1

lim (tak tentu)2 10x

xx

.

Untuk menyelesaikannya, kita bagi dengan pangkat tertinggi dari pembilang dan penyebutnya, yaitu x sehingga diperoleh:

16 6 0lim 3

10 2 02x

x

x

c. 2

4lim (tak tentu)

2 2x

x

x x

Untuk menyelesaikannya, kita bagi dengan pangkat tertinggi dari pembilang dan penyebutnya, yaitu 2x sehingga diperoleh:

22

44 0lim lim 0

2 2 1 0 02 2 1x x

x xx x x x

Solusi

10

d. 2

2

6lim (bentuk tak tentu)

2 3x

x

x x

Untuk menyelesaikannya, kita bagi dengan pangkat tertinggi dari pembilang dan penyebutnya, yaitu 2x sehingga diperoleh:

2

2

6 6 6lim lim 3

3 2 02 3 2x x

x

x x x

e. 3

2lim (tak tentu)3x

x

x

3

23

1 1lim lim

31 0 03x x

x

x x x

Solusi

Latihan Soal

Hitunglah limit berikut ini!

5

1. lim6 2x x

12 6

2. lim6 2x

xx

2 2 53. lim

2 5x

x xx

2

2

2 54. lim

2 5x

x x

x

2

2

5 2 45. lim

2 5x

x x

x

25 2 46. lim

2 5x

x xx

2

3

2 57. lim

2 5x

x x

x

2 3

2

5 2 48. lim

2 5x

x x

x

3 2

3 2

4 2 39. lim

2 5 3x

x x x

x x

12

Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a jika

ada)(lim xfax

(i) f(a) ada

)()(lim afxfax

(ii)

(iii)

Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka f dikatakantidak kontinu di x=a

Kekontinuan Fungsi

a

º f ( )f a tidak ada

( )f x tidak kontinu di x a

Contoh

a

lim ( ) lim ( ) lim ( ) tidak adax ax a x a

f x f x f x

( )f x tidak kontinu di x a

f

Contoh

a

f

1. ( ) ada

2. lim ( ) ada

3. lim ( ) ( )x a

x a

f a

f x

f x f a

( )f x tidak kontinu di x a

Contoh

f

a

º

1. ( ) ada

2. lim ( ) ada

3. lim ( ) ( )x a

x a

f a

f x

f x f a

( )f x kontinu di x a

Contoh

17

Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x=2, jika tidak sebutkanalasannya

2

4)(

2

x

xxf

2,3

2,2

4)(

2

x

xx

xxfa. b.

2,1

2,1)( 2 xx

xxxfc.

Jawab :

a. Fungsi tidak terdefinisi di x=2 (bentuk 0/0)f(x) tidak kontinudi x=2

b. f(2) = 3

42lim)2(

)2)(2(lim

2

4lim

22

2

2

x

x

xx

x

xxxx

)2()(lim2

fxfx

Karena limit tidak sama dengan nilai fungsi, maka f(x) tidakkontinu di x=2

Contoh

c. 312)2( 2 f

31lim)(lim22

xxf

xx

31lim)(lim 2

22

xxf

xx

3)(lim2

xfx

)2()(lim2

fxfx

Karena semua syarat dipenuhi f(x) kontinu di x=2

1

2

3

19

Tentukan apakah ( )f x kontinu di 1 dan 3x x jika diketahui:

2

3 2, 1

( ) 5, 1 3

3 1, 3

x x

f x x

x x

1

2 Diketahui fungsi

2

2

2 6, 1

4 3( ) ,1 3

19, 3

x x

x xg x x

xx x

.

Selidiki apakah ( )g x kontinu di a. 1x b. 3x

Latihan Soal

20

Soal Latihan Pilihan Ganda

Bab : Limit – 2 & Kekontinuan

1. Nilai dari 0

sin 4lim

2x

x

x= ….

a. -1 b. 0 c.

d. -2 e. 2

2. Nilai dari 0

8lim

tan 4x

x

x= ….

a. -1 b. 0 c. ½

d. -2 e. 2

3. Nilai dari 0

sin 3lim

tan 6x

x

x= ….

a. -1 b. 0 c. ½ d. -2 e. 2

4. Nilai dari 1

3lim

1 x x= ….

a. -1 b. 0 c.

d. - e. tidak ada

5. Nilai dari 2

5lim

2

x

x

x= ….

a. -1 b. c. -

d. 0 e. tidak ada

6. Nilai dari 2

4lim

2

x x

= ….

a. - b. 0 c. -1 d. e. tidak ada

7. Nilai dari 2

2

3 4lim

2 1

x

x x

x= ….

a. 1

2

b. 5

2

c. 1

2

d. 5

2

e. 0

8. Nilai dari 2

3lim

6

x

x

x x= ….

a. 1

30

b. 1

11

c. 0

d. 1

30

e. 1

20

9. Nilai 2

2

4lim ....

4 2 5

x

x

x x

a. 1

4

b. 1

6

c. 1

4

d. 1

6

e. 0

10. Nilai dari 3 2

21

2 3 1lim ....

2

x

x x

x

a. 1

4

b. 1

6

c. 1

d. 3

2

e.

11. Jika 2

1, 2( )

1, 2

x xf x

x xmaka pernyataan berikut yang benar, kecuali ….

a. (2) 3f

b. 2

lim ( ) 3

x

f x

c. 2

lim ( ) 5

x

f x

d. 2

(2) lim ( )

x

f f x

e. ( )f x kontinu di 2x

12. Jika

, 11

( ) ,-1 1

1 , 1

xx

xf x x x

x x

maka pernyataan berikut yang benar adalah

…. a. ( )f x kontinu di 1x b. ( )f x kontinu di 1x c. ( )f x tidak kontinu di 1x d. ( )f x kontinu di 1x dan 1x e. Tidak ada jawaban yang benar

13. Jika 2

3 2, 1

( ) 5, 1 3

4, 3

x x

f x x

x x

maka pernyataan berikut yang benar adalah ….

a. (3) 1f b. (1) 5f c. ( )f x tidak kontinu di 1x d. ( )f x kontinu di 3x e. Tidak ada jawaban yang benar