3 LIMIT DAN KEKONTINUAN - · PDF file3 LIMIT DAN KEKONTINUAN ... (c ;c+ ) memuat paling...

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

Menurut Bartle dan Sherbet (1994), �Analisis matematika� secara umum dipahami seba-gai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnyakita telah mempelajari limit barisan, kekonvergenan barisan bilangan real. Sebagaimanatelah diketahui bahwa barisan merupakan bentuk khusus fungsi, yaitu fungsi bernilai realdengan domain bilangan asli. Pada bab ini kita memperluas konsep limit kepada bentukfungsi bernilai real secara umum. Karena konsep kekontinuan terkait erat dengan konseplimit maka kedua topik ini dibahas secara simultan pada bab ini.

3.1 Pengertian Limit Fungsi dan Fungsi Kontinu

Biasanya, notasilimx→c

f(x) = L

dipahami secara intuitif dengan berbagai pernyataan berikut

1. Jika x mendekati c maka f(x) mendekati L, semakin dekat x kepada c semakindekat pula f(x) kepada L.

2. Nilai-nilai f(x) adalah dekat dengan L untuk x dekat dengan c.

Pada pernyataan pertama, dekatnya f(x) terhadap L disebabkan oleh dekatnya x kepadac. Pernyataan ini banyak diambil sebagai de�nisi limit khususnya bagi mereka yangbelum belajar analisis. Padahal sesungguhnya pernyataan kedua lebih sesuai untuk de�n-isi limit. Pada pernyataan ini ada dua kriteria atau ukuran dekat. Kriteria dekatnya f(x)terhadap L memberikan kriteria dekatnya x kepada c. Kemudian, setiap x yang dekatdengan c dalam kriteria ini mengakibatkan nilai f(x) dekat dengan L. Sebelum masuk kede�nisi formal limit fungsi, diberikan terlebih dahulu pegertian titik limit (cluster point)suatu himpunan.

De�nisi 3.1. [Titik Limit] Misalkan A ⊂ R. Sebuah titik c ∈ R dikatakan titik limit

A jika setiap persekitaran Vδ(c) := (c − δ, c + δ) memuat paling sedikit satu anggota Aselain c, atau

(c− δ, c+ δ) ∩A \ {c} 6= ∅, ∀δ > 0.

Catatan 1. Titik limit A boleh jadi anggota A atau bukan anggota A. Sebaliknya, suatu

anggota A dapat menjadi titik limit atau bukan titik limit A.

Sebelum diberikan contoh diperhatikan teorema yang menjamin adanya barisan di dalamA yang konvergen ke titik limit A yang dapat dijadikan kriteria titik limit.

Teorema 3.1. Sebuah bilangan c ∈ A titik limit A bila hanya bila terdapat barisan (an)dalam A dengan an 6= c untuk setiap n ∈ N sehingga lim(an) = c.

Bukti. Misalkan c titik limit. Untuk setiap n ∈ N, bentuk persekitaran radius δ := 1n ,

yaitu V 1n(c) = (c− 1

n , c+1n). Selalu ada an ∈ A∩V 1

ndengan an 6= c. Karena berlaku

|an−c| < 1n maka disimpulkan lim(an) = c. Sebaliknya, diketahui terdapat barisan

1


(an) dalam A, an 6= c dan lim(an) = c, dibuktikan c seperti ini adalah titik limit A.Karena diketahui lim(an) = c maka untuk sebarang δ > 0 terdapat bilangan asli Ksehingga |an − c| < δ untuk setiap n ≥ K. Ini berarti, khususnya aK ∈ A, aK 6= cdan aK ∈ Vδ yaitu A ∩ Vδ \ {c} 6= ∅. Terbukti c titik limit A. �

Contoh 3.1. Diberikan himpunan A yang dide�nisikan sebagai

A = {−1} ∪ {x ∈ R : 0 ≤ x < 1} ∪ {2}.

Tentukan himpunan semua titik limit A.

Penyelesaian. Diperhatikan bahwa setiap x ∈ [0, 1] dan setiap δ > 0 maka berlaku (x−δ, x+ δ)∩A \ {x} 6= ∅. Jadi setiap x ∈ [0, 1] merupakan titik imit A. Diperhatikanx = −1 ∈ A. Kita dapat memilih δ1 > 0 sehingga (−1− δ1,−1 + δ1) ∩ A = {−1}sehingga (−1 − δ1,−1 + δ1) ∩ A \ {−1} = ∅, jadi x = −1 bukan titik limit A.Argumen yang sama diterapkan untuk x = 2. Diperoleh himpunan titik lmit Aadalah [0, 1]. �

Gambar 3.1: Ilustrasi titik limit pada garis bilangan

Diperhatikan pada contoh ini, 1 /∈ A tetapi 1 titik limit A. Sebaliknya 2 ∈ A tetapi2 bukan titik limit A. Bilangan di dalam interval [0, 1) kesemuanya anggota A dansekaligus titik limit A.

Berikut diberikan beberapa fakta sederhana tentang titik limit:

I Himpunan yang banyak anggotanya berhingga tidak mempunyai titik limit.

I Himpunan bilangan asli N tidak mempunyai titik limit.

I Himpunan bilangan rasional Q mempunyai titik limit semua bilangan real. Hal inidisebabkan sifat kepadatan bilangan rasional di dalam R.

I Himpunan A ={

1n : n ∈ N

}hanya mempunyai titik limit 0. Dalam kasus ini tidak

satupun anggota A menjadi titik limitnya.

Selanjutnya de�nisi limit fungsi diberikan sebagai berikut.

De�nisi 3.2. [Limit Fungsi] Misalkan A ⊆ R dan f : A −→ R, c titik limit A. BilanganL dikatakan limit fungsi f di c, ditulis

L = limx→c

f(x) (3.1)

adalah bilamana diberikan ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga berlaku

0 < |x− c| < δ → |f(x)− L| < ε. (3.2)

Pada de�nisi ini, nilai δ biasanya bergantung pada nilai ε yang diberikan sehingga kadang-kadang ditulis sebagai δ(ε) untuk menunjukkan ketergantungan δ pada ε yang diberikan.Bila limit L ini ada maka fungsi f dikatakan juga konvergen ke L di c. Secara praktis,dapat dikatakan �f(x) mendekati L� bilamana �x mendekati c�. Ukuran dekat f(x)terhadap L diberikan oleh ε, dan kedekatan x dengan c diukur oleh δ. Pada ekspresi

2


c c+�c+ �

V (c)�

L

�L-

�L+

V (L)�

diberikan

terdapat

|f(x) -L|< �

Gambar 3.2: Ilustrasi de�nisi limit fungsi

(3.3) kita dapat membuat f(x) sedekat mungkin dengan L dengan memilih x yang dekatdengan c.

Ilustrasi de�nisi limit fungsi diberikan pada Gambar 3.2. Pernyataan 0 < |x − c| < δpada (3.3) menunjukkan bahwa untuk berlakunya |f(x)−L| < ε tidak memperhitungkanx yang sama dengan c. Artinya pada de�nisi limit, nilai f(c) tidak perlu ada. Ingat, titiklimit himpunan domain A tidak harus di dalam A. Oleh karena itulah, ilustrasi gra�kde�nisi limit menggunakan dot �◦” di titik x = c.

Pengertian yang hampir sama untuk fungsi kontinu di x = c, seperti diungkapkan berikutini.

De�nisi 3.3. [Fungsi Kontinu] Misalkan A ⊆ R dan f : A −→ R, c ∈ A . Fungsif dikatakan kontinu di c, adalah bilamana diberikan ε > 0 terdapat δ > 0 sehinggaberlaku

|x− c| < δ → |f(x)− f(c)| < ε. (3.3)

Kontinu pada himpunan A berarti kontinu di setiap c ∈ A.

Dalam kasus c ∈ A dan c titik limit A maka kedua pengertian limit dan kekontinuansangat terkait seperti diungkapkan pada teorema berikut.

Berdasarkan de�nisi ini, syarat perlu agar fungsi f kontinu di c adalah f(c) harus adaatau terde�nisi. Syarat ini tidak berlaku pada kasus limit, yakni nilai limit fungsi di cdapat saja ada walaupun nilai f(c) tidak ada. Ilustrasi fungsi kontinu di c diberikanpada Gambar 3.3.

Teorema 3.2. Misalkan A ⊆ R dan f : A −→ R, c ∈ A. Bila c titik limit A maka kedua

pernyataan berikut ekuivalen.

(i) f kontinu di c

(ii) limx→c f(x) = f(c)

Bukti. Untuk mudahnya kita bentuk dua himpunan berikut

E1 := {x ∈ A : 0 < |x− c| < δ}, E2 := {x ∈ A : |x− c| < δ}.

Jadi E2 ⊂ E1. Diketahui f kontinu di c berarti x ∈ E2 → |f(x) − f(c)| < ε.Misalkan x ∈ E1 maka x ∈ E2 atau x = c. Bila x ∈ E2 maka (3.2) berlaku dengan

3


c c+�c+ �

V (c)�

f(c)

�f(c) -

�f(c)+

V (f(c))�

diberikan

terdapat

|f(x) -f(c)|< �

Gambar 3.3: Ilustrasi fungsi f kontinu di c

L = f(c). Untuk kemungkinan x = c berlaku |f(x)− f(c)| = |f(c)− f(c)| = 0 < εsehingga (3.2) juga dipenuhi. Terbukti limx→c f(x) = f(c). Sebaliknya, diketahuilimx→c f(x) = f(c) yaitu x ∈ E1 → |f(x) − f(c)| < ε. Karena E2 ⊂ E1 makaberlaku x ∈ E2 → |f(x)− f(c)| < ε, yaitu f kontinu di c. �

Contoh 3.2. Misalkan f fungsi konstan pada R, katakan f(x) = b untuk setiap x ∈ R.Buktikan untuk sebarang c ∈ R, berlaku limx→c b = b. Kemudian simpulkan bahwa fkontinu di c.

Penyelesaian. Diberikan ε > 0 sebarang, ambil δ := 1 maka diperoleh

0 < |x− c| < δ → |f(x)− L| = |b− b| = 0 < ε.

Jadi terbukti limx→c f(x) = f(c). Karena c ∈ Rmerupakan titik limit maka denganteorema 3.2 maka disimpulkan f kontinu di c. �

Catatan 2. Pengambilan δ pada pembuktian di atas dapat selain 1, bahkan berapapun

boleh. Pembuktian ini menggunakan pola p→ q dimana q sudah dipastikan benar.

Contoh 3.3. Buktikan untuk sebarang c ∈ R, limx→c x = c. Kemudian simpulkanbahwa f(x) := x kontinu di c.

Penyelesaian. Untuk setiap ε > 0 yang diberikan, ambil δ := ε. Diperoleh

0 < |x− c| < δ → |f(x)− L| = |x− c| < δ = ε.

Karena itu terbukti limx→c x = c. Karena berlaku limx→c f(x) = f(c) dan c titiklimit maka disimpulkan f kontinu di c. �

Contoh 3.4. Misalkan f(x) = x2, x ∈ R. Buktikan f kontinu pada R.

Bukti. Misalkan c ∈ R. Kita perhatikan dulu penjabaran berikut

|f(x)− f(c)| = |x2 − c2| = |x+ c||x− c|.

Karena sudah ada suku |x − c| maka kita perlu melakukan estimasi pada suku|x+ c|. Untuk itu diasumsikan dulu |x− c| < 1, maka berlaku

||x| − |c|| ≤ |x− c| < 1→ −1 < |x| − |c| ≤ 1︸︷︷︸→ |x| ≤ |c|+ 1.

4


Untuk asumsi ini diperoleh estimasi pada |x+ c|, yaitu

|x+ c| ≤ |x|+ |c| ≤ 2|c|+ 1.

Secara keseluruhan diperoleh estimasi

|f(x)− f(c)| = |x+ c||x− c| < (2|c|+ 1) |x− c|. (∗)

Agar kuantitas terakhir ini kurang dari ε maka haruslah

|x− c| < ε

2|c|+ 1. (∗∗)

Agar kedua |x− c| < 1 dan |x− c| < ε2|c|+1 dipenuhi maka diambil

δ = δ(ε) := min

{1,

ε

2|c|+ 1

}.

Jadi jika 0 < |x− c| < δ maka (*) dan (**) berlaku sehingga disimpulkan |f(x)−f(c)| < ε. Jadi, limx→c f(x) = f(c), dan terbukti f kontinu di c. �

Ada kalanya sebuah fungsi tidak kontinu di suatu titik c dikarenakan ia tidak terde�nisidi c, yaitu f(c) tidak ada. Tetapi, asalkan limitnya di c ada maka fungsi tersebut dapatdiperluas menjadi fungsi kontinu.

Contoh 3.5. Diberikan fungsi f(x) = x2−1x−1 , x 6= 0 tidak kontinu di 1 karena f(1) tidak

ada. Namun, berlaku

limx→1

f(x) = limx→1

x2 − 1

x− 1= lim

x→1(x+ 1) = 2.

Jadi fungsi ini dapat diperluas menjadi fungsi kontinu pada R sebagai berikut

f(x) =

{x2−1x−1 untukx 6= 0

2 untuk x = 0.

3.2 Kriteria Barisan untuk Limit dan Kekontinuan

Untuk mengetahui limit dan kekontiunuan fungsi di suatu titik dapat dideteksi melaluilimit barisan yang sudah dipelajari pada bab sebelumnya.

Teorema 3.3. Misalkan f : A −→ R dan c titik limit A. Maka kedua pernyataan berikut

ekuivalen.

(i) limx→c f(x) = L

(ii) Untuk setiap barisan (xn) di dalam A yang konvergen ke c, xn 6= c untuk setiapn ∈ N, maka barisan (f(xn)) konvergen ke L.

Bukti. (i)→(ii). Diberikan ε > 0 sebarang. Karena diketahui limx→c f(x) = L, makaterdapat δ > 0 sehingga jika 0 < |x − c| < δ berlaku |f(x) − L| < ε. Misalkanlim(xn) = c, xn 6= c. Berdasarkan de�nisi limit barisan, untuk δ > 0 sebelumnyaterdapat K ∈ N sehingga |xn − c| < δ untuk setiap n ≥ K. Karena xn 6= c makadapat ditulis 0 < |xn − c| < δ, sehingga berlaku |f(xn) − L| < ε untuk setiapn ≥ K. Ini menunjukkan bahwa barisan (f(xn)) konvergen ke L.(ii)→(i). Dibuktikan melalui kontraposisinya. Diketahui limx→c f(x) 6= L, berarti

5


ada ε0 > 0 sehingga setiap δ > 0 terdapat xδ ∈ A, 0 < |x − xδ| < δ tetapi|f(x) − xδ| ≥ ε0. Bila para δ > 0 tersebut diambil sebagai δ := 1

n > 0 untuksetiap n ∈ N maka terbentuk barisan (xn) dengan sifat 0 < |xn − c| < 1

n , xn ∈ Atetapi |f(xn) − L| ≥ ε0 untuk setiap n ∈ N. Ini berarti barisan (f(xn)) tidakmungkin konvergen ke L. Jadi ada barisan (xn) dalam A, xn 6= c tetapi (f(xn))tidak konvergen ke L. Pernyataan (ii) salah. Bukti teorema selesai. �

Dengan demikian diperoleh kriteria divergen sebagai berikut:

(a) limx→c f(x) 6= L bila hanya bila ada barisan (xn) dalam A dengan xn 6= c, (xn)konvergen ke c tetapi barisan lim (f(xn)) 6= L.

(b) limx→c f(x) tidak ada bila hanya bila ada barisan (xn) dalam A dengan xn 6= c, (xn)konvergen ke c tetapi barisan f(xn) tidak konvergen.

(c) limx→c f(x) tidak ada bila hanya bila ada dua barisan (xn), (yn) dalam A denganxn, yn 6= c, (xn) dan (yn) konvergen ke c tetapi lim (f(xn)) 6= lim (f(yn)).

Contoh 3.6. Buktikan limx→01x tidak ada.

Bukti. Di sini kita mempunyai f(x) = 1x . Ambil barisan (xn) dengan xn := 1

n . Je-las barisan ini konvergen ke 0, xn 6= 0. Sekarang perhatikan barisan (f(xn)) =(

11/n

)= (n) = (1, 2, 3, · · · ) tidak konvergen. Berdasarkan kriteria (b) maka ter-

bukti limitnya tidak ada. �

Contoh 3.7. Diberikan fungsi signum yang dide�nisikan sebagai berikut

sgn(x) : =

+1 untuk x > 0,

0 untuk x = 0,

−1 untuk x < 0.

Buktikan limx→0 sgn(x) tidak ada.

Bukti. Ambil dua barisan (xn) dan (yn) dengan xn := 1n dan yn := − 1

n . Jelas keduabarisan ini konvergen ke 0 dan setiap sukunya tidak ada yang sama dengan 0. Diper-hatikan barisan (sgn(xn)) =

(sgn

(1n

))= (1) = (1, 1, · · · ) konvergen ke 1, tetapi

(sgn(yn)) =(sgn(− 1

n))= (−1) = (−1,−1, · · · ) konvergen ke −1. Berdasarkan

kriteria (c) maka terbukti limitnya tidak ada. �

Cara lain dapat menggunakan sifat bahwa sgn(x) = x|x| untuk x 6= 0. Dengan mengam-

bil xn := (−1)nn maka barisan (xn) konvergen ke 0, xn 6= 0. Tetapi (sgn(xn)) =(

sgn((−1)nn

))= (−1)n = (−1,+1,−1, · · · ) divergen.

Contoh 3.8. Buktikan lim sin 1x tidak ada.

Bukti. Di sini kita mempunyai f(x) = sin 1x , x 6= 0. Ambil dua barisan (xn) dan (yn)

dimana xn := 1nπ , yn := 1

(π/2+2πn) . Maka jelas kedua barisan ini konvergen ke noldan suku-sukunya tidak pernah sama dengan nol. Namun, barisan

(f(xn)) = (sin nπ) = (1, 1, · · · )→ 1

(f(yn)) = (sin (π/2 + 2πn)) = (0, 0, · · · )→ 0

sehingga berdasarkan kriteria (c) maka disimpulkan limitnya tidak ada. �

Ilustrasi gra�k fungsi f(x) = sin 1x diberikan pada Gambar 3.4 . Pada gambar ini terlihat

jelas bahwa nilai fungsi f selalu berada di dalam interval [−1, 1], semakin dekat x kepada0 semakin cepat oskilasinya tetapi nilai f(x) tidak menuju titik apapun.

6


−0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Gambar 3.4: Gra�k fungsi f(x) = sin(1/x)

Teorema 3.4. Misalkan f : A −→ R dan c ∈ A. Maka kedua pernyataan berikut

ekuivalen.

(i) f kontinu di c

(ii) Untuk setiap barisan (xn) di dalam A yang konvergen ke c, maka barisan (f(xn))konvergen ke f(c).

Bukti. Gunakan fakta f kontinu di c bila hanya bila limx→c f(x) = f(c) dan ambilL := f(c). Selanjutnya gunakan teorema kriteria barisan untuk limit. �

Dengan demikian diperoleh kriteria diskontinu sebagai berikut

Fungsi f tidak kontinu di c jika hanya jika terdapat barisan (xn) dalam A sehingga (xn)konvergen ke c tetapi (f(xn)) tidak konvergen ke f(c).

Contoh 3.9. Beberapa fungsi tidak kontinu

(a) Fungsi ϕ(x) := 1/x tidak kontinu di 0 sebab ϕ(0) tidak ada. Juga, fungsi initidak mempunyai limit di 0.

(b) Fungsi s(x) := sgn(x) tidak kontinu di 0, karena limx→0 s(x) tidak ada,seperti telah dibahas sebelumnya.

Berikut ini diberikan contoh fungsi yang tidak kontinu dimana-mana pada R.

Contoh 3.10. Diberikan fungsi Dirichlet sebagai berikut

f(x) :=

{1 bila x rasional

0 bila x irrasional.

Buktikan f tidak kontinu dimana-mana.

Bukti. Misalkan c bilangan real sebarang. Ditunjukan f tidak kontinu di c. Bila cbilangan rasional maka dengan sifat kepadatan bilangan rasional, selalu terda-pat barisan bilangan irrasional (xn) yang konvergen ke c. Jadi lim(xn) = c,tetapi barisan (f(xn)) = (0, 0, 0, · · · ) sehingga lim (f(xn)) = 0 6= f(c) = 1. Se-baliknya bila c bilangan irrasional maka terdapat barisan bilangan rasional (yn)yang konvergen ke c. Dengan argumen yang sama seperti sebelumnya, diperolehlim (f(xn)) = 1 6= f(c) = 0. Jadi f tidak kontinu di c untuk setiap c ∈ R. �

7


3.3 Teorema tentang Limit

Pada pembahasan limit barisan, berlaku bahwa jika barisan konvergen maka ia terbatastetapi tidak berlaku sebaliknya. Sifat yang sama berlaku pada fungsi yang mempunyailimit, tetapi keterbatasan dalam arti lokal.

De�nisi 3.4. Misalkan f : A −→ R, dan c ∈ R titik limit A. Fungsi f dikatakanterbatas lokal di c jika terdapat persekitaran Vδ(c) dan konstanta M > 0 sehingga|f(x)| ≤M untuk setiap x ∈ A ∩ Vδ(c).

Teorema 3.5. Bila f : A −→ R mempunyai limit di c ∈ R maka f terbatas lokal di c.

Bukti. Misalkan L := limx→c f(x), maka berdasarkan de�nisi untuk ε = 1, terdapatδ > 0 sehingga untuk setiap x ∈ A dengan 0 < |x− c| < δ berlaku |f(x)− L| < 1,yang berakibat |f(x)| < |L| + 1. Sedangkan untuk x = c maka |f(x)| = |f(c)|.Dengan mengambil M := sup {|f(c)|, |L|+ 1} maka diperoleh |f(x)| ≤ M untuksetiap x ∈ A ∩ Vδ(c). �

Operasi penjumlahan, perkalian, perkalian skalar dan pembagian fungsi-fungsi dide�n-isikan sebagai berikut

(f + g) (x) := f(x) + g(x), (fg) (x) := f(x)g(x), (αf) (x) := αf(x),

(f

h

)(x) :=

f(x)

h(x)

dimana domain fungsi-fungsi tersebut sama. Khusus untuk pembagian, disyaratkanh(x) 6= 0 untuk setiap x.

Teorema 3.6. Misalkan f, g : A −→ R, c ∈ R titik limit A. Bila f dan g mempunyai

limit di c, katakan limx→c f(x) = F dan limx→c g(x) = G maka berlaku

1. limx→c (f ± g) (x) = F ±G

2. limx→c (fg) (x) = FG

3. limx→c (αf) (x) = αF untuk suatu konstanta α.

4. limx→c

(fg

)(x) = F

G asalkan G 6= 0 dan g(x) 6= 0 untuk setiap x.

Bukti. Teorema ini dapat dibuktikan dengan menggunakan de�nisi limit fungsi, tetapilebih mudah menggunakan kriteria barisan untuk limit. Misalkan (xn) suatubarisan dalam A dimana xn 6= c dan lim(xn) = c, maka berlaku

lim (f(xn)) = F, dan lim (g(xn)) = G.

Diperoleh

lim ((f ± g) (xn)) = lim (f(xn)± g(xn))= lim (f(xn))± lim (g(xn))

= F ±G.

Dengan menggunakan kriteria barisan untuk limit, hasil terakhir ini memberikankesimpulan bahwa limx→c (f ± g) (x) = F ±G, yang membuktikan pernyataan (i).Untuk pernyataan lainnya dapat dibuktikan dengan cara yang sama. �

Diperhatikan khusus untuk perkalian, bila terdapat beberapa fungsi f1, f2, · · · , fn denganmasing-masing limx→c fk(x) = Fk maka berlaku

limx→c

(f1f2 · · · fn) (x) =(limx→c

f1(x))(

limx→c

fk(x))· · ·(limx→c

fn(x))= F1F2 · · ·Fn.

8


Lebih khusus, jika f1 = f2 = · · · = fn := f maka diperoleh

limx→c

(f(x))n =(limx→c

f(x))n

= Fn.

Jika p suatu polinomial pada R, yaitu p(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · · + a1x + a0 makadengan menggunakan sifat limit hasil kali fungsi diperoleh

limx→c

p(x) = ancn + an−1c

n−1 + · · ·+ a1c+ a0 = p(c).

Selanjutnya, jika p(x) dan q(x) polinomial dan jika q(c) 6= 0 maka berlaku

limx→c

p(x)

q(x)=p(c)

q(c).

Teorema berikut memberikan kepastian bahwa bila nilai fungsi f(x) terbatas dalam suatuinterval, maka begitu juga nilai limitnya.

Teorema 3.7. Misalkan f : A −→ R, c ∈ R titik limit A. Bila a ≤ f(x) ≤ b untuk

semua x ∈ A, x 6= 0 dan limx→c f(x) ada maka

a ≤ limx→c

f(x) ≤ b.

Bukti. Misalkan (xn) suatu barisan dalam A dimana xn 6= c dan lim(xn) = c makaberlaku lim (f(xn)) = limx→c f(x). Karena a ≤ f(xn) ≤ b untuk setiap n ∈ Nmaka a ≤ limx→c (f(xn)) ≤ b. Jadi, a ≤ limx→c (f(x)) ≤ b. �

Teorema 3.8. Misalkan f, g, h : A −→ R dan c ∈ R titik limit A. Bila diketahui

f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)

untuk setiap x ∈ A, x 6= c dan limx→c f(x) = L = limx→c h(x) maka limx→c g(x) = L.

Bukti. Teorema ini adalah teorema squeeze untuk limit fungsi. Pembuktiannya meng-gunakan teorema squeeze untuk limit barisan. Untuk sebarang barisan (xn) dalamA dimana xn 6= c dan lim(xn) = c, maka berlaku

f(xn) ≤ g(xn) ≤ h(xn).

Dengan memandang (f(xn)) , (g(xn)) dan (h(xn)) sebagai tiga barisan bilanganreal maka berlaku

lim (g(xn)) = lim (f(xn)) = lim (h(xn)) = L,

sehingga disimpulkan limx→c g(x) = L. �

Teorema squeeze ini biasanya digunakan untuk membuktikan nilai limit suatu fungsidengan cara membangun dua fungsi lainnya yang selalu mendominasi dari bawah dandari atas. Kedua fungsi tersebut mempunyai nilai limit yang sama.

Berikut diberikan beberapa contoh limit yang memuat fungsi trigonometri yang seringmuncul sebagai rumus limit. Namun, sebelumnya diberikan beberapa fakta pembatasyang berkaitan dengan fungsi sinus dan cosinus.

(i) −x ≤ sinx ≤ x untuk setiap x ≥ 0.

(ii) 1− x2

2 ≤ cosx ≤ 1untuk setiap x ≥ 0.

9


(iii) x− x3

6 ≤ sinx ≤ x untuk setiap x ≥ 0.

Contoh 3.11. Buktikan limit sebagai berikut :

1. limx→0 sinx = 0,

2. limx→0 cosx = 1,

3. limx→0

(cosx−1

x

)= 0,

4. limx→0

(sinxx

)= 1,

5. limx→0 x sin(1x

)= 0.

Bukti. Karena berlaku −x ≤ sinx ≤ x untuk setiap x ≥ 0 (berdasarkan (i)) danlimx→0−x = limx→0 x = 0 maka dengan menggunakan teorema squeeze di per-oleh

0 = limx→0−x ≤ lim

x→0sinx ≤ lim

x→0x = 0

sehingga terbukti limx→0 sinx = 0. Untuk limx→0 cosx menggunakan (ii), yaitu

1 − x2

2 ≤ cosx ≤ 1. Karena limx→0(1 − x2

2 ) = limx→0 1 = 1 maka diperolehlimx→0 cosx = 1. Selanjutnya, dengan (ii) diperoleh

−x2

2≤ cosx− 1 ≤ 0, untuk x ≥ 0

Untuk x > 0 berlaku

−x2≤ cosx− 1

x≤ 0

dan untuk x < 0 diperoleh

0 ≤ cosx− 1

x≤ x

2.

Bila diambil fungsi f dan h sebagai berikut

f(x) : =

{−x

2 untuk x ≥ 0

0 untuk x < 0, h(x) :=

{0 untuk x ≥ 0

−x2 untuk x < 0

maka untuk x 6= 0 berlaku

f(x) ≤ cosx− 1

x≤ h(x).

Karena limx→0 f(x) = limx→0 h(x) = 0 maka disimpulkan limx→0

(cosx−1

x

)= 0.

Untuk soal 4, dengan menggunakan (iii) berlaku x − x3

6 ≤ sinx ≤ x untuk x ≥ 0

dan x ≤ sinx ≤ x− x3

6 untuk x ≤ 0. Jadi untuk x 6= 0 berlaku

1− x2

6≤ sinx

x≤ 1.

Karena limx→0

(1− x2

6

)= limx→0 1 = 1 maka disimpulkan limx→0

(sinxx

)= 1.

Untuk pertanyaan 5, gunakan kenyataan bahwa −1 ≤ sin z ≤ 1 untuk semuabilanga real z. Dengan mengganti z = 1

x , x 6= 0 maka diperoleh

−1 ≤ sin1

x≤ 1.

Gunakan de�nisi nilai mutlak. Kalikan ketiga ruas ekspresi terakhir ini denganx > 0 diperoleh

−|x| = −x ≤ x sin 1

x≤ x = |x|.

10


Bila dikalikan dengan x < 0 diperoleh

|x| = −x ≥ x sin 1

x≥ x = −|x|

Jadi untuk setiap x ∈ R dan x 6= 0 berlaku

−|x| ≤ x sin 1

x≤ |x|.

Karena limx→0−|x| = limx→0 |x| = 0 maka disimpulkan limx→0 x sin(1x

)= 0. �

Fungsi x sin 1x berkelakuan seperti fungsi sin

1x sebelumnya tetapi ia semakin dekat kepada

nol nilainya semakin mengecil mengikuti corong yang terbentuk oleh garis y = x dany = −x. Pola ini ditunjukkan pada Gambar 3.5.

−0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Gambar 3.5: Gra�k fungsi y = x sin(1x

)

3.4 Sifat-sifat Fungsi Kontinu

Sifat-sifat fungsi kontinu banyak yang mengikuti sifat-sifat yang berlaku pada limitfungsi. Jumlahan, perkalian, perkalian skalar fungsi-fungsi kontinu membentuk fungsikontinu yang baru. Pembagian dua fungsi kontinu juga merupakan fungsi kontinu asalkanfungsi penyebutnya tidak pernah nol.

Sifat aljabar fungsi kontinu

Teorema 3.9. Misalkan f, g : A −→ R, c ∈ A. Bila f dan g kontinu di c maka

1. Fungsi-fungsi f ± g, fg dan αf kontinu di c.

2. Bila h : A −→ R kontinu di c ∈ A dan h(x) 6= 0 untuk semua x ∈ A maka fungsifh kontinu di c.

Bukti. Hanya akan dibuktikan bagian 2, sisanya dapat dibuktikan sendiri. Gunakanfakta limx→c f(x) = f(c), dan limx→c h(x) = h(c). Karena c ∈ A dan f(c) 6= 0maka berlaku

f

h(c) =

f(c)

h(c)=

limx→c f(x)

limx→c h(x)= lim

x→c

f

h(x)

sehingga disimpulkan fg kontinu di c. �

11


Contoh 3.12. Bentuk-bentuk fungsi kontinu :

1. Fungsi polinomial p(x) = anxn+an−1x

n−1+· · ·+a1x+a0 kontinu di setiap bilanganreal c.

2. Bila p(x) dan q(x) fungsi rasional dan α1, α2, · · · , αm akar q(x)maka fungsi rasional

r(x) =p(x)

q(x), x /∈ {α1, α2, · · · , αm}

kontinu di setiap c yang bukan akar q(x).

3. Fungsi s(x) = sinx dan c(x) = cosx kontinu pada R.

4. Fungsi tanx, cotx, secx dan cscx kontinu dimana mereka terde�nisi.

Kekontinuan fungsi nilai mutlak dan fungsi akar

Teorema 3.10. Misalkan f : A −→ R, kemudian dide�nisikan fungsi nilai mutlak dan

fungsi akar sebagai berikut

|f |(x) := |f(x)|, dan√f(x) :=

√f(x).

1. Bila f kontinu pada A maka demikian juga dengan |f |.

2. Bila f(x) ≥ 0 dan f kontinu pada A maka√f kontinu pada A.

Bukti. Gunakan sifat ||f(x)| − |L|| ≤ |f(x)− L| untuk menunjukkan berlaku

limx→c|f |(x) = | lim

x→cf(x)|,

sehingga diperoleh

limx→c|f | (x) =

∣∣∣limx→c

f(x)∣∣∣ = |f(c)| = |f |(c).

Jadi |f | kontinu di c. Untuk fungsi akar, gunakan hubungan∣∣∣√f(x)−√L∣∣∣ =

1√f(x)+

√L|f(x)− L| ≤ 1√

L|f(x)− L| untuk menunjukkan bahwa limx→c

√f(x) =√

limx→c f(x). Selanjutnya, gunakan fakta ini untuk menunjukkan kekontinuan-nya. �

Kekontinuan fungsi komposisi

Berikut diberikan syarat kontinu agar komposisi fungsi kontinu juga kontinu.

Teorema 3.11. Bila A,B ⊆ R, f : A −→ R dan g : B −→ R. Bila f kontinu di c ∈ A,g kontinu f(c) dan f(A) ⊆ B maka komposisi g ◦ f : A −→ R kontinu di c.

Bukti. Diberikan ε > 0 sebarang. Karena g kontinu di f(c) maka terdapat δ1 > 0sehingga

y ∈ B dan |y − f(c)| < δ1 → |g(y)− g(f(c))| < ε. (∗)

Karena f kontinu di c maka untuk δ1 > 0 di atas, terdapat δ > 0 sehingga

x ∈ A dan |x− c| < δ → |f(x)− f(c)| < δ1. (∗∗)

12


Karena f(A) ⊆ f(B)maka f(x) ∈ B sehingga ruas kiri (∗∗) dipenuhi oleh y = f(x).Jadi ruas kanan (∗) berlaku, yaitu

|g(f(x)− g(f(c))| = |g ◦ f(x)− g ◦ f(c)| < ε.

Kesimpulannya, setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga

x ∈ A dan |x− c| < δ −→ |g ◦ f(x)− g ◦ f(c)| < ε,

yakni g ◦ f kontinu di c. �

Contoh 3.13. Pada contoh ini diberikan cara lain membuktikan kekontinuan fungsi nilaimutlak dan fungsi akar kontinu.

(a) Dengan mende�nsikan g1 := |x| maka dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa g1kontinu pada A, yaitu menggunakan ketidaksamaan segitiga

|g1(x)− g1(c)| = ||x| − |c|| ≤ |x− c|.

Bila f : A→ R sebarang fungsi kontinu pada A maka g1 ◦ f = |f | kontinu pada A.

(b) Dengan mengambil g2(x) :=√x, x ≥ 0 maka g2 dapat ditunjukkan kontinu di

setiap c ≥ 0, yaitu dengan menggunakan hubungan

∣∣√x−√c∣∣ = ∣∣∣∣ x− c√x+√c

∣∣∣∣ = 1√x+√c|x− c| ≤ 1√

c|x− c| .

Bila f : A→ R, dengan f(x) ≥ 0 sebarang fungsi kontinu pada A maka g2◦f =√f

kontinu pada A.

Bila syarat f(A) ⊆ B atau g kontinu di f(c) tidak terpenuhi maka ada kemungkinan kom-posisi dua fungsi kontinu tidak kontinu, seperti yang ditunjukkan pada contoh berikut.

Contoh 3.14. Misal diberikan fungsi f dan g yang dide�nisikan sebagai berikut

g(x) :=

{0 bila x = 1

2 bila x 6= 1, f(x) := x+ 1, x ∈ R.

Buktikan g dan f kontinu di 0 tetapi g ◦ f tidak kontinu di 0. Apakah hasil ini berten-tangan dengan teorema sebelumnya?

Bukti. Untuk fungsi g, limx→0 g(x) = limx→0 2 = 2 = g(0) yakni g kontinu di 0. Karenaf berupa fungsi linier atau polinomial derajat satu maka ia pasti kontinu di 0.Sekarang bentuk komposisi g ◦ f sebagai berikut

(g ◦ f) (x) = g (f(x)) =

{0 bila f(x) = 1

2 bila f(x) 6= 1=

{0 bila x = 0

2 bila x 6= 0.

Uji kekontinuan sebagai berikut

limx→0

g ◦ f(x) = limx→0

2 = 2 6= g ◦ f(0) = 0,

sehingga disimpulkan g ◦ f tidak kontinu di 0. Diperhatikan salah satu syaratteorema adalah g kontinu di f(c). Karena f(0) = 1 dan limx→1 g(x) = 2 6= g(1) = 0maka g tidak kontinu di f(0) = 1. Karena ada syarat pada teorema tidak dipenuhimaka fakta ini tidak bertentangan dengan teorema. �

13


Eksistensi ekstrim mutlak

Eksistensi nilai maksimum dan minimum mutlak sangat banyak digunakan dalam teorioptimasi. Teori optimasi merupakan salah satu kajian dalam matematika yang banyakdigunakan dalam bidang terapan, khususnya dalam menentukan nilai yang mengopti-mumkan suatu fungsi objektif. Sebelumnya diberikan pengertian fungsi terbatas dankaitannya dengan fungsi kontinu.

De�nisi 3.5. Sebuah fungsi f : A −→ R dikatakan terbatas pada A jika terdapatkonstanta M > 0 sehingga

|f(x)| ≤M untuk semua x ∈ A.

Dengan kata lain, fungsi f terbatas jika rentang (range) bayangannya merupakan him-punan terbatas.

Contoh 3.15. Fungsi f(x) := 1x kontinu pada A := (0,∞) tetapi tidak terbatas pada A

karena setiap bilangan real α > 0 terdapat x ∈ A, misalnya x = 1α+1 sehingga |f(x)| > α.

Namun, ia terbatas dan kontinu pada himpunan takterbatas B := (1,∞) yaitu denganmengambil M = 1. Pada himpunan terbatas C = (0, 1], fungsi f kontinu tetapi tidakterbatas.

Keterbatasan fungsi kontinu pada suatu interval akan terjamin bila interval tersebutterbatas dan tertutup seperti diungkapkan pada teorema berikut.

Teorema 3.12. Jika I := [a, b] suatu interval tertutup dan f : I −→ R kontinu maka fterbatas pada I.

Bukti. Andai f tidak terbatas pada I. Maka, untuk sebarang n ∈ N terdapat bilanganxn ∈ I sehingga |f(xn)| > n. Karena I terbatas maka ia memuat barisan bagianX ′ = (xnr) dari X = (xn) yang konvergen ke suatu bilangan x (Teorema Bolzano-Wierestrass). Karena I tertutup dan xnr ∈ I maka x ∈ I. Karena f kontinu disetiap anggota I maka f kontinu di x sehingga barisan (f(xnr)) konvergen ke f(x).Jadi, (f(xnr)) barisan terbatas. Padahal berlaku

|f(xnr)| > n ≥ nr untuk setiap r ∈ N

yang menyatakan bahwa (f(xnr)) tidak terbatas. Diperoleh suatu kontradiksi.Jadi, pengandaian f tidak terbatas adalah salah. Kesimpulan, teorema terbikti. �

De�nisi 3.6. Misalkan f : A −→ R. Kita katakan f mempunyai sebuah maksimummutlak (absolute maximum) pada A jika terdapat titik x∗ ∈ A sehingga

f(x∗) ≥ f(x) untuk semua x ∈ A.

Dikatakan f mempunyai minimum mutlak pada A jika terdapat titik x∗ ∈ A sehingga

f(x∗) ≤ f(x) untuk setiap x ∈ A.

Selanjutnya, titik x∗ disebut titik maksimum mutlak dan x∗ disebut titik minimummutlak.

Contoh 3.16. Fungsi f(x) := 1x tidak mempunyai maksimum maupun minimum mutlak

pada domain A = (0,∞), tetapi pada domain B = [1, 2] mempunyai maksimum mutlakdan minimum mutlak dengan titik maksimum x∗ = 1 dan titik minimum x∗ = 2. Fungsig(x) := x2 mempunyai dua maksimum mutlak pada domain C := [−1, 1] yaitu x∗ = ±1dan satu minimum mutlak dengan x∗ = 0. Perhatikan Gambar

14


Gambar 3.6: Ilsutrasi maksimum dan minimum mutlak Contoh 3.16

Teorema 3.13. Jika I := [a, b] suatu interval tertutup dan f : I −→ R kontinu maka fmempunyai maksimum dan minimum mutlak pada I.

Bukti. Karena f terbatas maka range f(I) := {f(x) : x ∈ I} merupakan himpunan ter-batas. Berarti ia mempunyai supremum dan in�mum, katakan s∗ = sup f(I)dan s∗ = inf f(I). Kita tunjukkan terdapat x∗, x∗ ∈ I sehingga f(x∗) = s∗ danf(x∗) = s∗. Karena s∗ = sup f(I) maka untuk setiap n ∈ N, terdapat xn ∈ Isehingga

s∗ − 1

n< f(xn) ≤ s∗. (#)

Karena I terbatas maka barisan X := (xn) terbatas, sehingga ia memuat barisanbagian X ′ = (xnr) yang konvergen ke suatu x∗ ∈ I. Jadi f kontinu di x∗. Akibat-nya, lim(f(xnr)) = f(x∗). Mengikuti (#), diperoleh

s∗ − 1

nr< f(xnr) ≤ s∗ untuk setiap r ∈ N.

Karena lim(s∗ − 1nr) = lim(s∗) = s maka dengan teorema squeeze, disimpulkan

bahwalim (f(xnr)) = f(x∗) = s∗.

Untuk eksistensi titik minimum x∗ dibuktikan sejalan. �

3.5 Limit Satu Sisi

Sebelumnya telah ditunjukkan bahwa limit fungsi signum di 0 tidak ada. Tetapi jikadomainnya dibatasi pada interval (0,∞) maka limitnya ada yaitu bernilai 1. Juga, biladomainnya hanya dibatasi pada interval (−∞, 0)maka limitnya juga ada yaitu −1. Kasusseperti ini mengilhami pengertian limit kanan dan limit kiri yang dimodi�kasi langsungdari pengertian limit biasa. Limit kiri dan limit kanan dikenal dengan istilah limit satusisi, sedangkan limit biasa dikenal dengan limit dua sisi.

De�nisi 3.7. Misalkan A ⊆ R dan f : A −→ R.

1. Bila c ∈ R titik limit A∩(c,∞) = {x ∈ A : x > c}, maka bilangan real L dikatakanlimit kanan f di c, ditulis

L = limx→c+

f(x)

adalah jika diberikan ε > 0 sebarang terdapat δ > 0 sehingga untuk semua x ∈ Adengan 0 < x < c+ δ maka berlaku |f(x)− L| < ε.

2. Bila c ∈ R titik limit A ∩ (−∞, c) = {x ∈ A : x < c}, maka bilangan real Ldikatakan limit kiri f di c, ditulis

L = limx→c−

f(x)

adalah jika diberikan ε > 0 sebarang terdapat δ > 0 sehingga untuk semua x ∈ Adengan c− δ < x < 0 maka berlaku |f(x)− L| < ε.

15


c- c�

��

L

�L-

�L+

diberikan

terdapat

|f(x) -L|< �

c c+�

��

L

�L-

�L+

diberikan

terdapat

|f(x) -L|< �

Gambar 3.7: Ilustrasi limit kiri (panel kiri) dan limit kanan (panel kanan)

Biasanya notasi L = limx→c+ f(x) dibaca �L adalah limit fungsi f untuk x mendekati cdari kanan�. Analog untuk limit kiri.

Secara geometri kedua pengertian limit ini diberikan pada Gambar 3.7 . Pada keduade�nisi ini, adanya nilai f(c) tetap tidak disyaratkan.

Analog kriteria barisan untuk limit dapat diadaptasikan langsung pada limit satu sisi,seperti diungkapkan pada teorema berikut.

Teorema 3.14. Misalkan A ⊆ R dan f : A −→ R, maka berlaku pernyataan berikut:

limx→c+ f(x) = L bila hanya bila untuk setiap barisan (xn) yang konvergen ke c dimana

xn ∈ A dan xn > c berakibat barisan (f(xn)) konvergen ke L ∈ R.limx→c− f(x) = L bila hanya bila untuk setiap barisan (xn) yang konvergen ke c dimana

xn ∈ A dan xn < c berakibat barisan (f(xn)) konvergen ke L ∈ R.Bukti. Dapat dibuktikan sendiri dengan adaptasi teorema yang mirip untuk limit dua

sisi. �

Berikut ini hubungan limit satu sisi dan limit dua sisi :

limx→c f(x) = L bila hanya bila limx→c− f(x) = limx→c+ f(x) = L

Contoh 3.17. Diperhatikan kembali fungsi signum. Diperoleh

limx→0+

sgn(x) = 1, limx→0−

sgn(x) = −1.

Karena limit kiri dan limit kanan tidak sama maka limit dua sisinya limx→0 sgn(x) tidakada.

Adakalanya, salah satu limit kiri atau limit kanan tidak ada. Sebagai ilustrasi amaticontoh berikut.

Contoh 3.18. Fungsi g(x) := e1/x, x 6= 0 tidak mempunyai limit kanan di 0 tetapi limitkirinya ada yaitu 0 (Why???). Fungsi h(x) := 1

e1/x+1, x 6= 0 mempunyai limit kiri di 0

yaitu 1, sedangkan limit kanannya 0 (Why ???). Karena limit kiri dan kanan tidak samamaka limit dua sisinya tidak ada.

3.6 Kekontinuan Seragam dan Fungsi Lipschitz

16

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN - · PDF file3 LIMIT DAN KEKONTINUAN ... (c ;c+ ) memuat paling...

Documents

Transcript of 3 LIMIT DAN KEKONTINUAN - · PDF file3 LIMIT DAN KEKONTINUAN ... (c ;c+ ) memuat paling...