MA1101 MATEMATIKA 1A · 2019. 8. 29. · Limit kanan dan limit kiri f di c ada, tetapi nilainya...

MA1101 MATEMATIKA 1A

Hendra GunawanSemester I, 2019/2020

30 Agustus 2019

BAB 1. LIMIT DAN KEKONTINUAN


8/29/2019 (c) Hendra Gunawan 2

http://en.wikipedia.org http://www.123rf.com

Sasaran Kuliah Hari Ini

1.1 Pengantar Limit

Memahami konsep limit dan menentukan nilailimit secara intuitif.

1.2 Limit Fungsi

Memahami definisi formal limit danmembuktikan limit fungsi sederhana denganmenggunakan definisi.

8/29/2019 3(c) Hendra Gunawan

1.1 PENGANTAR LIMITMemahami konsep limit danmenentukan nilai limit secara intuitif.



Pengantar Limit

Fungsi f(x) = (x3 – 1)/(x – 1)terdefinisi untuk setiap x ϵR kecuali untuk x = 1. Bilakita harus menggambargrafiknya, apa yang terjadidi sekitar x = 1?

Kita melihat dari tabel disamping bahwa nilai f(x) mendekati 3. Bagaimanakita meyakinkan hal ini?


x f(x)

1,1 3,31

1,01 3,0301

1,001 3,003001

“1” ?

0,999 2,997001

0,99 2,9701

0,9 2,71

Pengantar Limit


x f(x)

1,1 3,31

1,01 3,0301

1,001 3,003001

“1” ?

0,999 2,997001

0,99 2,9701

0,9 2,712.5

2.6

2.7

2.8

2.9

3

3.1

3.2

3.3

3.4

0.9 0.95 1 1.05 1.1

(x^3-1)/(x-1)

Makna Limit secara Intuitif

Kita tuliskan apabila

jika x dekat ke c, maka nilai f(x) dekat ke L.

disebut “limit f di c”.

Bilangan L merupakan nilai limit tersebut.

Untuk contoh sebelumnya, kita mempunyai


Lxfcx

)(lim

.31

1lim

3

1

x

x

x

)(lim xfcx

Catatan. Nilai x didekat c tidakmencakup x = c. Fungsi f tdk harusterdefinisi di x = c.

Limit Kanan dan Limit Kiri

Limit kanan: berarti

jika x > c dan dekat ke c, maka f(x) dekat ke L.

Limit kiri: berarti

jika x < c dan dekat ke c, maka f(x) dekat ke L.


Lxfcx

)(lim

Lxfcx

)(lim

Bilakah Limit Ada/Tidak Ada?

Limit fungsi f di c ada jika dan hanya jika limit kanandan limit kiri f di c ada dan nilainya sama.

Limit f di c tidak ada bila salah satu di antarabeberapa kemungkinan berikut terjadi:

1. Limit kanan dan limit kiri f di c ada, tetapinilainya tidak sama.

2. Limit kanan atau limit kiri f di c tidak ada,

karenaa. Nilai f di dekat c menuju tak terhingga.

b. Nilai f di dekat c berosilasi.


Ilustrasi Limit Tidak Ada karenaFungsinya Berosilasi


Latihan

1. Sketsalah grafik fungsi f yang didefinisikan sbb:

f(x) = –x, jika x < 0

= x, jika 0 ≤ x < 1

= 1+x, jika x ≥ 1.

Tentukan nilai f(1) dan nilai limit f di 1 (bila ada).

2. Sketsalah grafik suatu fungsi f yang memenuhisemua persyaratan berikut:

a. Daerah asalnya adalah [0,4].

b. f(0) = f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = 1.

c. Limit f di 1 = 2. d. Limit f di 2 = 1.

e. Limit kanan f di 3 = 1 f. Limit kiri f di 3 = 2.

8/29/2019 11(c) Hendra Gunawan

1.2 LIMIT FUNGSIMemahami definisi formal limit danmembuktikan limit fungsi sederhanadengan menggunakan definisi.



Definisi Persis Limit Fungsi

Bila sebelumnya kita telah mencoba memaknailimit fungsi di suatu titik secara intuitif, maka skrgkita akan mendefinisikannya secara persis.

Definisi: jika dan hanya jika

“untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga:

jika 0 < | x – c | < δ, maka | f(x) – L | < ε.”

OMG, ini bukan suatu kalimat yang mudah! Tapi…8/29/2019 (c) Hendra Gunawan 13

Lxfcx

)(lim

Ilustrasi


2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

3

3.1

3.2

3.3

3.4

0.9 0.95 1 1.05 1.1

(x^3-1)/(x-1)

ε

δ

Benar/Salah Kalimat Berikut?1. Jika 0 < |x – 1| < 0,1, maka |5x – 5| < 0,5.

2. Jika 0 < |x – 1| < 0,01, maka |5x – 5| < 0,05.

3. Jika 0 < |x – 1| < 0,005, maka |5x – 5| < 0,05.

4. Jika 0 < |x – 1| < 0,005, maka |5x – 5| < 0,01.

5. Terdapat δ > 0 sehingga:

Jika 0 < |x – 1| < δ, maka |5x – 5| < 0,01.

6. Terdapat δ > 0 sehingga:

Jika 0 < |x – 1| < δ, maka |5x – 5| < 0,001.

7. Untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga:

Jika 0 < |x – 1| < δ, maka |5x – 5| < ε.8/29/2019 (c) Hendra Gunawan 15

BB

B

S

B

B

B

δ = 0,002

δ = ε/5

Benar/Salah Kalimat Berikut?


Jika 0 < x < δ, maka |√x| < ε.

Benar; pilih δ = ε2.


Jika 0 < |x – 1| < δ, maka |√x – 1| < ε.

Benar; pilih δ = ??


Benar/Salah Kalimat Berikut?

Untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga:

Jika 0 < |x – 2| < δ, maka |x2 – 4| < ε.

Benar; bilangan δ > 0 yang memenuhipernyataan di atas adalah δ = ……... ??

Ini membuktikan bahwa:


2

2lim 4.x

x

Latihan

Buktikan bahwa

1. .

2. .

3. .


.4lim 22

xx

.2lim4

xx

3lim(2 5) 1.x

x

MA1101 MATEMATIKA 1A · 2019. 8. 29. · Limit kanan dan limit kiri f di c ada, tetapi nilainya...

Documents

Transcript of MA1101 MATEMATIKA 1A · 2019. 8. 29. · Limit kanan dan limit kiri f di c ada, tetapi nilainya...