1

LIMIT DAN KEKONTINUAN

2

3.1 Limit Fungsi di Satu Titik

Pengertian limit secara intuisiPerhatikan fungsi

11)(

2

xxxf

Fungsi diatas tidak terdefinisi di x=1, karena di titik tersebut f(x) berbentuk0/0. Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai f(x) jika x mendekati 1Dengan bantuan kalkulator dapat diperoleh nilai f(x) bila x mendekati 1, seperti pada tabel berikut

xf(x)

0.9 0.99 0.999 1.11.011.0010.9999 1.0001121.9 1.99 1.9991.9999 2.00012.001 2.01 2.1

3

1

º2

x x

f(x)

f(x)

Secara grafik

Dari tabel dan grafik disampingterlihat bahwa f(x) mendekati 2jika x mendekati 1Secara matematis dapat dituliskanSebagai berikut

211lim

2

1

xx

x

Dibaca “ limit dari untuk x mendekati1 adalah 2 1

12

xx

Definisi(limit secara intuisi). Untuk mengatakan bahwa berarti bahwa

Lxfcx

)(limbilamana x dekat, tetapi berlainan dengan c, maka f(x) dekat ke L

4

853lim1

xx

Contoh

1.

2. 2)2)(12(lim

2232lim

2

2

2

x

xxx

xxxx

512lim2

xx

33

39lim

39lim

99

x

xx

xx

xxx 9

)3)(9(lim9

xxx

x63lim

9

x

x3.

4. )/1sin(lim0

xx

Ambil nilai x yang mendekati 0, seperti pada tabel berikut

x)/1sin( x

/2 2/2 3/2 4/2 5/2 6/2 7/2 8/2

1 0 -1 0 1 0 -1 00?

Dari tabel terlihat bahwa bila x menuju 0, sin(1/x) tidak menuju kesatu nilai tertentu sehingga limitnya tidak ada

5

Lxfcx

)(lim |)(|||00,0 Lxfcx

Definisi limit

jika

c

º

Untuk setiap 0

L

c

ºL

L

L

Terdapat sedemikian sehingga 0

c

ºL

||0 cx |)(| Lxf

c c c

ºL

6

)(lim xfcx

Limit Kiri dan Limit Kanan

cxJika x menuju c dari arah kiri (dari arahbilangan yang lebih kecil dari c, limit disebutlimit kiri,

)(lim xfcx

Jika x menuju c dari arah kanan (dari arahbilangan yang lebih besar dari c, limit disebutlimit kanan,

c x

LxfLxfLxfcxcxcx

)(limdan)(lim)(lim

Hubungan antara limit dengan limit sepihak(kiri/kanan)

notasi

notasi

Jika )(lim xfcx

)(lim xfcx

maka tidak ada )(lim xfcx

7

1,210,0,

)(2

2

xxxxxx

xf

)(lim0

xfx

)(lim1

xfx

Contoh Diketahui

a. Hitung

)(lim2

xfx

d. Gambarkan grafik f(x)Jawab

a. Karena aturan fungsi berubah di x=0, maka perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=0

c. Hitungb. Hitung Jika ada

1.

8

)(lim0

xfx

0lim 2

0

x

x

)(lim0

xfx

0lim0

xx

0)(lim0

xfx

b. Karena aturan fungsi berubah di x=1, maka perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=1

)(lim1

xfx

1lim1

x

x

)(lim1

xfx

32lim 2

1

x

x

)(lim)(lim11

xfxfxx

)(lim1

xfx

)(lim2

xfx

62lim 2

2

x

x

Karena Tidak ada

c. Karena aturan fungsi tidak berubah di x=2, maka tidak perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=2

9

Untuk x 02)( xxf

Grafik: parabola

Untuk 0<x<1f(x)=x

Grafik:garis lurus

Untuk x 1 22)( xxf

Grafik: parabola

1

3

º

di x=1 limit tidakada

Grafik f(x)

10

2. Tentukan konstanta c agar fungsi

1,1,3

)( 2 xcxxcx

xf

mempunyai limit di x=-1Jawab

Agar f(x) mempunyai limit di x=-1, maka limit kiri harus sama denganlimit kanan

)(lim1

xfx

ccxx

33lim1

)(lim1

xfx

ccxx

1lim 2

1

Agar limit ada 3+ c=1-c

C=-1

11

)(lim3

xfx

)(lim1

xfx

)(lim1

xfx

)(lim1

xfx

)(lim1

xfx

A. Diberikan grafik suatu fungsi f seperti gambar berikut .

Cari limit /nilai fungsi berikut, atau nyatakan bahwa limit /nilai fungsi tidak ada.

f(-3)f(-1)f(1)

1.

2.

3.

4.

5.6.7.8.

Soal Latihan

12

Soal Latihan

1,2

1,1)(

2

2

xxxxx

xf

)(lim1

xfx x

f x 1lim ( )

xf x

1lim ( )

xxxg 32)(

xg x

2lim ( )

xg x

2lim ( )

xg x

2lim ( )

22

)(

xx

xf

xf x

2lim ( )

xf x

2lim ( )

xf x

2lim ( )

1. Diketahui :

a.Hitung dan

b. Selidiki apakah ada, jika ada hitung limitnya

2. Diketahui , hitung ( bila ada ) :

3. Diketahui , hitung ( bila

ada )

a. b. c.

a. b. c.

B.

13

GxgLxfaxax

)(limdan)(lim

GLxgxfxgxfaxaxax

)(lim)(lim)()(lim

Sifat limit fungsiMisal

(limit dari f , g ada dan berhingga)maka

LGxgxfxgxfaxaxax

)(lim)(lim)()(lim

0,)(lim

)(lim

)()(lim

Gbila

GL

xg

xf

xgxf

ax

ax

ax

2.

3.

4. n

ax

n

axxfxf ))(lim())((lim

,n bilangan bulat positif

nnax

nax

Lxfxf

)(lim)(lim5. bila n genap L harus positif

1.

14

222 )1(1

1sin)1()1(

xx

xx

)()()( xhxgxf

LxhLxfcxcx

)(limserta)(lim

Lxgcx

)(lim

1

1sin)1(lim 2

1

xx

x

Prinsip ApitMisal untuk x disekitar c dan

maka

Contoh Hitung

Karena 1)1

1sin(1

x

dan 0)1(lim 2

1

x

x0)1(lim, 2

1

x

x

01

1sin)1(lim 2

1

xx

x

maka

15

Limit Fungsi Trigonometri

1sinlim.10

x

xx

1coslim.20

xx

1tanlim.30

x

xx

Contoh

2.2

2tan5

4.4

4sin3lim

2tan54sin3lim

00

xx

xx

xxxx

xx

2.

22tanlim5

4.4

4sinlim3

0

0

xx

xx

x

x

37

2.2

2tanlim5

4.4

4sinlim3

02

04

xx

xx

x

x

x 0 ekivalen dgn 4x 0

16

Soal Latihan

tt

t sin1coslim

2

0

ttt

t sec2sincotlim

0

tt

t 23tanlim

2

0

tttt

t sec43sinlim

0

Hitung

1.

2.

3.

4.

xx

x 2sintanlim

05.

17

Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga

Limit Tak Hingga

maka,0)(limdan0)(limMisal

xgLxfaxax

)(

)(lim

xgxf

ax

atasarahdari0)(dan0jika,)( xgLi

bawaharahdari0)(dan0jika,)( xgLii

bawaharahdari0)(dan0jika,)( xgLiiiatasarahdari0)(dan0jika,)( xgLiv

Ctt :g(x) 0 dari arah atas maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x)positif. g(x) 0 dari arah bawah maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x)negatif.

18

Contoh Hitung

11lim

2

1

xx

xa.

11lim 2

2

1

xx

x xx

x sinlim

b. c.

Jawab

a. 021lim 2

1

x

x,g(x)=x-1 akan menuju 0 dari arah bawah, karena x 1 dari kiri berarti x lebih kecil dari 1, akibatnyax-1 akan bernilai negatif

Sehingga

11lim

2

1 xx

x

b. 021lim 2

1

x

x akan menuju 0 dari arah atas, karena x -1 dari kiri berarti x lebih kecil dari -1, tapibilangan negatif yang lebih kecil dari -1 jika dikuadratkan lebih besar dari 1 sehingga bernilai positif

1)( 2 xxg

12 x

Sehingga

11lim 2

2

1 xx

x

19

c.

0lim

xx

danf(x)=sinx

x

Jika x menuju dari arah kanan maka nilai sinx menuju 0 dari arahbawah(arah nilai sinx negatif)

x

xx sinlim

sehingga

Karena

20

Limit di Tak Hingga

Lxfx

)(lima. jika |)(|00 LxfMxM

atau f(x) mendekati L jika x menuju tak hinggaL

x

Contoh Hitung

4252lim 2

2

xxx

x

Jawab

)2(

)1(lim

2

2

42

522

x

xx

x x

x

4252lim 2

2

xxx

x2

2

42

521lim

x

xxx

= 1/2

21

Lxfx

)(lim jika |)(|00 LxfMxM

atau f(x) mendekati L jika x menuju minus tak hingga

b.

L

xContoh Hitung

4252lim 2

x

xx

4252lim 2

x

xx

Jawab

)2()(

lim2

2

42

522

x

xx

x xx

)2(

)(lim

2

2

4

52

x

xx

x

= 0

22

Contoh Hitung xxx

x

3lim 2

Jawab :Jika x , limit diatas adalah bentuk ( )

xxxx

3lim 2)

3

3(3lim2

22

xxx

xxxxxxx

xxx

xxxx

33lim

2

22

xxx

xx

3

3lim2

xx

x

xx

x

x

)1(

)1(lim

2312

3||2 xx

xxx

xx

x

x

231

3

1)1(

lim

21

)11(1

lim2

31

3

xx

x

x

23

Soal Latihan

limx

xx

3

33

limx x 2 2

3

4

)1(lim xxx

limx

x

x 1 2

11lim

2

xx

x

limx

x xx

2

1

.

Hitung

1.

2.

3.

4.

5.

6.

24

Kekontinuan Fungsi

Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a jika(i) f(a) ada

ada)(lim xfax

(ii)

(iii) )()(lim afxfax

Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka f dikatakantidak kontinu di x=a

a

(i)º f(a) tidak ada

f tidak kontinu di x=a

25

a

(ii)

1L2L

Karena limit kiri(L1) tidaksama dengan limit kanan(L2)maka f(x) tidak mempunyai limitdi x=a

Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a

(iii)

a

●

º

f(a) f(a) ada)(lim xf

axL ada

Tapi nilai fungsi tidak sama denganlimit fungsi

Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a

26

(iv)

a

f(a)

f(a) ada)(lim xf

axada

)()(lim afxfax

f(x) kontinu di x=a

Ketakkontinuan terhapusKetakkontinuan kasus (i) bisa dihapusdengan cara mendefinisikan nilai fungsidititik tersebut = limit fungsia

º

27

contohPeriksa apakah fungsi berikut kontinu di x=2, jika tidak sebutkanalasannya

24)(

2

x

xxf

2,3

2,24

)(2

x

xx

xxfa. b.

2,12,1

)( 2 xxxx

xfc.

Jawab :a. Fungsi tidak terdefinisi di x=2 (bentuk 0/0) f(x) tidak kontinu

di x=2b. - f(2) = 3

42lim)2(

)2)(2(lim24lim

22

2

2

x

xxx

xx

xxx

)2()(lim2

fxfx

--

Karena limit tidak sama dengan nilai fungsi, maka f(x) tidakkontinu di x=2

28

c. 312)2( 2 f-

- 31lim)(lim22

xxf

xx

31lim)(lim 2

22

xxf

xx

3)(lim2

xfx

)2()(lim2

fxfx

-

Karena semua syarat dipenuhi f(x) kontinu di x=2

29

Kontinu kiri dan kontinu kanan

Fungsi f(x) disebut kontinu kiri di x=a jika

)()(lim afxfax

Fungsi f(x) disebut kontinu kanan di x=a jika

)()(lim afxfax

Fungsi f(x) kontinu di x=a jika kontinu kiri dan kontinu kanan di x=aContoh : Tentukan konstanta a agar fungsi

2,1

2,)( 2 xax

xaxxf

Kontinu di x=2

30

Jawab :Agar f(x) kontinu di x=2, haruslah

f kontinu kiri di x=2)2()(lim

2fxf

x

aaxxfxx

2lim)(lim22

1412)2( 2 aaf

2 + a = 4a – 1 -3a = -3 a = 1

f kontinu kanan di x=2)2()(lim

2fxf

x

1412)2( 2 aaf

141lim)(lim 2

22

aaxxf

xx

Selalu dipenuhi

31

1. Diketahui

1,221,1

)(2

xxxx

xf

selidiki kekontinuan fungsi f(x) di x = -1

Soal Latihan

2. Agar fungsi

2,321,

1,1)(

xxxbax

xxxf

kontinu pada R, maka berapakah a + 2b ?

3. Tentukan a dan b agar fungsi

2,42

2,2

4)(

2

xx

xx

bxaxxf

kontinu di x = 2

32

Kekontinuan pada interval

Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval buka ( a,b ) bila f(x) kontinu pada setiap titik di dalam interval tersebut.

Sedangkan f(x) dikatakan kontinu pada interval tutup [ a,b ] bila :

1. f(x) kontinu pada ( a,b )

2. f(x) kontinu kanan di x = a

3. f(x) kontinu kiri di x = b

Bila f(x) kontinu untuk setiap nilai x R maka dikatakan f(x) kontinu ( dimana-mana ).

Diskontinu Dicirikan dengan adanya loncatan/ “gap” pada

grafik fungsi. Terdapat 3 jenis diskontinuitas:1. tak hingga di a jika limitnya (kiri dan kanan) tak

hingga (tidak ada);2. loncat berhingga di a jika limit kiri dan kanannya

berhingga namun tak sama;3. dapat dihapuskan / dihilangkan di a jika nilai

fungsi dan limitnya ada, tetapi tidak sama,

)()(lim afxfax

f(x) Diskontinu yg dapat dihapuskan di a

Jika ada fungsi F sedemikian sehingga F(x) = f(x) untuk semua x a didalam

domain dari f Fungsi baru F kontinu di a Contoh

0 jika 0

0 jika sin)(

x

xx

xxh

35

f xx x

x( )

2 33

f xxx

( )

2

348

f xxx

( )| |

22

94

1)(2

x

xxf

24)( xxxf

A. Carilah titik diskontinu dari fungsi

B. Tentukan dimana f(x) kontinu

Soal Latihan

1.

2.

3.

1.

2.