1

LIMIT DAN KEKONTINUAN

Matematika Dasar

2

Limit Fungsi di Satu Titik

Pengertian limit secara intuisi

Perhatikan fungsi

1

1)(

2

x

xxf

Fungsi diatas tidak terdefinisi di x=1, karena di titik tersebut f(x) berbentuk0/0. Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai f(x) jika x mendekati 1

Dengan bantuan kalkulator dapat diperoleh nilai f(x) bila x mendekati 1, seperti pada tabel berikut

x

f(x)

0.9 0.99 0.999 1.11.011.0010.9999 1.00011

?1.9 1.99 1.9991.9999 2.00012.001 2.01 2.1

3

1

º2

x x

f(x)

f(x)

Secara grafik

Dari tabel dan grafik disampingterlihat bahwa f(x) mendekati 2jika x mendekati 1

Secara matematis dapat dituliskanSebagai berikut

21

1lim

2

1

x

xx

Dibaca “ limit dari untuk x mendekati1 adalah 2 1

12

x

x

Definisi(limit secara intuisi). Untuk mengatakan bahwa berarti bahwa

Lxfcx

)(limbilamana x dekat, tetapi berlainan dengan c, maka f(x) dekat ke L

4

853lim1

x

x

Contoh

1.

2. 2

)2)(12(lim

2

232lim

2

2

2

x

xx

x

xxxx

512lim2

xx

3

3

3

9lim

3

9lim

99

x

x

x

x

x

xxx 9

)3)(9(lim

9

x

xxx

63lim9

xx

3.

5

Lxfcx

)(lim |)(|||00,0 Lxfcx

Definisi limit

jika

c

º

Untuk setiap 0

L

c

L

L

L

Terdapat sedemikian sehingga 0

c

ºL

||0 cx |)(| Lxf

c c c

ºL

6

)(lim xfcx

Limit Kiri dan Limit Kanan

cx

Jika x menuju c dari arah kiri (dari arahbilangan yang lebih kecil dari c, limit disebutlimit kiri,

)(lim xfcx

Jika x menuju c dari arah kanan (dari arahbilangan yang lebih besar dari c, limit disebutlimit kanan,

c x

LxfLxfLxfcxcxcx

)(limdan)(lim)(lim

Hubungan antara limit dengan limit sepihak(kiri/kanan)

notasi

notasi

Jika )(lim xfcx

)(lim xfcx

maka tidak ada )(lim xfcx

)(lim xfcx

Ada JHJ limit kiri=limit kanan ada

7

1,2

10,

0,

)(2

2

xx

xx

xx

xf

)(lim0

xfx

)(lim1

xfx

Contoh Diketahui

a. Hitung

)(lim2

xfx

d. Gambarkan grafik f(x)

Jawab

a. Karena aturan fungsi berubah di x=0, maka perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=0

c. Hitung

b. Hitung Jika ada

1.

8

)(lim0

xfx

0lim 2

0

x

x

)(lim0

xfx

0lim0

x

x

0)(lim0

xfx

b. Karena aturan fungsi berubah di x=1, maka perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=1

)(lim1

xfx

1lim1

x

x

)(lim1

xfx

32lim 2

1

x

x

11lim)(limxx

xf )(lim1

xfx

)(lim2

xfx

62lim 2

2

x

x

Karena Tidak ada

c. Karena aturan fungsi tidak berubah di x=2, maka tidak perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=2

9

d.

Untuk x 02)( xxf

Grafik: parabola

Untuk 0<x<1

f(x)=x

Grafik:garis lurus

Untuk 1 22)( xxf

Grafik: parabola

1

3

º

di x=1 limit tidakada

1010

1,2

1,1)(

2

2

xxx

xxxf

)(lim1

xfx x

f x 1lim ( )

x

f x

1lim ( )

2. Diketahui :

a.Hitung dan

b. Selidiki apakah ada, jika ada hitung limitnya

1111

3. Tentukan konstanta c agar fungsi

1,

1,3)( 2 xcx

xcxxf

mempunyai limit di x=-1

Jawab

Agar f(x) mempunyai limit di x=-1, maka limit kiri harus sama denganlimit kanan

)(lim1

xfx

ccxx

33lim1

)(lim1

xfx

ccxx

1lim 2

1

Agar limit ada 3 + c = 1 - c

C=-1

12

2( ) 4 4f x x x )(lim4

xfx

2. Bila diketahui, hitunglah

1,2

1,1)(

2

2

xxx

xxxf

)(lim1

xfx x

f x 1lim ( )

x

f x

1lim ( )

1. Diketahui :

a.Hitung dan

b. Selidiki apakah ada, jika ada hitung limitnya