3. LIMIT DAN KEKONTINUANNurdinintya Athari

(NDT)

1

1)(

2

x

xxf

3.1 Limit Fungsi di Satu Titik

Pengertian limit secara intuisi

Perhatikan fungsi

Fungsi diatas tidak terdefinisi di x=1, karena di titik tersebut f(x) berbentuk

0/0. Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai f(x) jika x mendekati 1

Dengan bantuan kalkulator dapat diperoleh nilai f(x) bila x mendekati 1,

seperti pada tabel berikut

x

f(x)

0.9 0.99 0.999 1.11.011.0010.9999 1.00011

21.9 1.99 1.999 1.9999 2.0001 2.001 2.01 2.1

1

º2

x x

f(x)

f(x)

Secara grafikDari tabel dan grafik disamping

terlihat bahwa f(x) mendekati 2

jika x mendekati 1

Secara matematis dapat dituliskan

sebagai berikut

21

1lim

2

1

x

x

x

Dibaca “ limit dari untuk x mendekati

1 adalah 2 1

12

x

x

Definisi (limit secara intuisi).

Lxfcx

)(limUntuk mengatakan bahwa berarti bahwa bilamana x dekat,

tetapi berlainan dengan c, maka f(x) dekat ke L.

2

)2)(12(lim

2

232lim

2

2

2

x

xx

x

xx

xx512lim

2

x

x

3

3

3

9lim

3

9lim

99

x

x

x

x

x

x

xx9

)3)(9(lim

9

x

xx

x

853lim1

xx

Contoh1.

2.

63lim9

xx

3.

4. )/1sin(lim0

xx

Ambil nilai x yang mendekati 0, seperti pada tabel berikut

x

)/1sin( x

/2 2/2 3/2 4/2 5/2 6/2 7/2 8/2

1 0 -1 0 1 0 -1 0

0

?

Dari tabel terlihat bahwa bila x menuju 0, sin(1/x) tidak menuju ke

satu nilai tertentu sehingga limitnya tidak ada

Lxfcx

)(lim 0, 0 | | | ( ) |x c f x L

Definisi Limit

jika

c

º

Untuk setiap 0

L

c

ºL

L

L

Terdapat sedemikian sehingga0

c

ºL

| |x c |)(| Lxf

c c c

ºL

)(lim xfcx

LxfLxfLxfcxcxcx

)(limdan)(lim)(lim

Limit Kiri dan Limit Kanan

cxJika x menuju c dari arah kiri

(dari arah bilangan yang lebih kecil dari c)

limit disebut limit kiri,

)(lim xfcx

Jika x menuju c dari arah kanan

(dari arah bilangan yang lebih besar dari c)

limit disebut limit kanan,

c x

Hubungan antara limit dengan limit sepihak(kiri/kanan)

notasi

notasi

Jika )(lim xfcx

)(lim xfcx

, maka tidak ada)(lim xfcx

)(lim1

xfx

)(lim2

xfx

1,2

10,

0,

)(2

2

xx

xx

xx

xf

)(lim0

xfx

Contoh

a. Hitung

d. Gambarkan grafik f(x)

c. Hitung

b. Hitung

1.

Jawab

a. Karena aturan fungsi berubah di x = 0, maka perlu dicari limit

kiri dan limit kanan di x= 0

b. Karena aturan fungsi berubah di x = 1, maka perlu dicari limit

kiri dan limit kanan di x = 1

c. Karena aturan fungsi tidak berubah di x = 2, maka tidak perlu dicari limit

kiri dan limit kanan di x = 2

2

0 0

0

0 0

lim ( ) lim 0lim ( ) 0

lim ( ) lim 0

x x

x

x x

f x xf x

f x x

1 1

2 1 1 1

1 1

lim ( ) lim 1

lim ( ) lim ( ) lim ( )lim ( ) lim 2 3

x x

x x x

x x

f x x

f x tidak ada karena f x f xf x x

2

2 2lim ( ) lim 2 6x x

f x x

d.

Untuk x 0

2)( xxf

Grafik: parabola

Untuk 0<x<1

f(x)=x

Grafik:garis lurus

Untuk 1x

Grafik: parabola

di x=1 limit tidak

ada

22)( xxf

1

3

º

2. Tentukan konstanta c agar fungsi

1,

1,3)(

2 xcx

xcxxf

mempunyai limit di x=-1

Jawab:

Agar f(x) mempunyai limit di x = -1, maka

1lim ( )

xf x

1lim 3 3

xcx c

1lim ( )

xf x

2

1lim 1

xx c c

Agar limit ada 3 + c = 1 - c

C = -1

1 1lim ( ) lim ( )

x xf x f x

)(lim3

xfx

)(lim1

xfx

1lim ( )x

f x

A. Diberikan grafik suatu fungsi f seperti gambar berikut .

Cari limit /nilai fungsi berikut, atau nyatakan bahwa limit /nilaifungsi tidak ada.

f(-3)

f(-1)

f(1)

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Soal Latihan

1,2

1,1)(

2

2

xxx

xxxf

)(lim1

xfx x

f x

1

lim ( )

x

f x

1

lim ( )

xxxg 32)(

x

g x

2

lim ( )

x

g x

2

lim ( )

xg x

2lim ( )

2

2)(

x

xxf

x

f x

2

lim ( )

x

f x

2

lim ( )x

f x2

lim ( )

B. 1. Diketahui :

a. Hitung dan

b. Selidiki apakah ada, jika ada hitung limitnya

2. Diketahui , hitung (bila ada) :

3. Diketahui , hitung (bila ada)

a. b. c.

a. b. c.

LGxgxfxgxfaxaxax

)(lim)(lim)()(lim

0,)(lim

)(lim

)(

)(lim

Gbila

G

L

xg

xf

xg

xf

ax

ax

ax

nn

ax

n

axLxfxf

)(lim)(lim

GxgLxfaxax

)(limdan)(lim

GLxgxfxgxfaxaxax

)(lim)(lim)()(lim

Sifat limit fungsi

Misal

(limit dari f dan g ada serta berhingga)

maka

2.

3.

4.n

ax

n

axxfxf ))(lim())((lim

, n bilangan bulat positif

5. bila n genap dan L harus positif

1.

222 )1(1

1sin)1()1(

x

xxx

)()()( xhxgxf

01

1sin)1(lim 2

1

xx

x

LxhLxfcxcx

)(limserta)(lim

Lxgcx

)(lim

1

1sin)1(lim 2

1

xx

x

Prinsip Apit

Misal untuk x disekitar c dan

maka

Contoh : Hitung

Karena 1)1

1sin(1

x

dan 2 2

1 1lim ( 1) 0, lim( 1) 0x x

x x

maka

Limit Fungsi Trigonometri

1sin

lim.10

x

x

x

02. lim cos 1

xx

1tan

lim.30

x

x

x

Contoh:

0 4 0

0 0

0 2 0

sin 4 sin 4 sin 4.4 lim .4 4 lim

sin 4 44 4 4lim lim 2tan 2 tan 2 tan 2tan 2 2

.2 lim .2 2 lim2 2 2

x x

x x

x x

x x x

x x x xx x xx

x x x

x 0 ekivalen dgn 4x 0

Soal Latihan

t

t

t sin1

coslim

2

0

t

tt

t sec2

sincotlim

0

t

t

t 2

3tanlim

2

0

Hitung

1.

2.

3.

4.x

x

x 2sin

tanlim

0

( ) , jika 0 dan ( ) 0 dari arah atasi L g x

Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga

a. Limit Tak Hingga

maka,0)(limdan0)(limMisal

xgLxfaxax

)(

)(lim

xg

xf

ax

( ) , jika 0 dan ( ) 0 dari arah bawahii L g x

( ) , jika 0 dan ( ) 0 dari arah bawahiii L g x

atasarahdari0)(dan0jika,)( xgLiv

Cttn :

g(x) 0 dari arah atas maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x) positif.

g(x) 0 dari arah bawah maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x) negatif.

2

1lim 1 2 0

xx

1

1lim

2

2

1 x

x

x

Contoh: Hitung

1

1lim

2

1

x

x

xa.

1

1lim

2

2

1

x

x

x x

x

x sinlim

b. c.

Jawab

a. 021lim 2

1

x

x

, g(x) = x-1 akan menuju 0 dari arah bawah, karenax 1 dari kiri berarti x kurang dari 1, akibatnya

x-1 akan bernilai negatif

Sehingga

1

1lim

2

1 x

x

x

b. akan menuju 0 dari arah atas karenax -1 dari kiri berarti x kurang dari -1, tapi

bilangan negatif yang kurang dari -1 jika dikuadrat

kan pastilah lebih dari 1 sehingga bernilai positif

2, ( ) 1g x x

12 x

Sehingga

0lim

xx

x

x

x sinlim

c.

dan

f(x)=sinx

x

Jika x menuju dari arah kanan maka nilai sin x menuju 0 dari arah

bawah (arah nilai sin x negatif)

sehingga

Karena

Lxfx

)(lim

b. Limit di Tak Hingga

a. jika |)(|00 LxfMxM

atau f(x) mendekati L jika x menuju tak hingga

L

x

Contoh: Hitung

42

52lim

2

2

x

xx

x

Jawab:

)2(

)1(lim

2

2

42

522

x

xx

x x

x

42

52lim

2

2

x

xx

x

2

2

42

521

lim

x

xxx

= 1/2

Lxfx

)(lim jika |)(|00 LxfMxM

atau f(x) mendekati L jika x menuju minus tak hingga

b.

L

x

Contoh: Hitung

42

52lim

2

x

x

x

Jawab:

2 2 2

2

22 2

2 5 52

2 42 4

( ) ( )2 5 0 0 0lim lim lim 0

(2 ) 2 0 2( )2 4

xxx x x

xx x xxx x

x

x

xxxx

3lim 2

)3

3(3lim

2

22

xxx

xxxxxx

x

Contoh:

Hitung xxxx

3lim 2

Jawab :

Jika x , limit diatas adalah bentuk ( )

xxx

xxx

x

3

3lim

2

22

xxx

x

x

3

3lim

2

xx

x

xx

x

x

)1(

)1(lim

2

312

3

xx

x

xx

x

x

2

31

3

1

)1(lim

22

3 3

3131

1 1 1 0 1lim lim

21 0 0 11 11 1

x x

x xx xx x

x

x

Soal Latihan

limx

x

x

3

3

3

limx x 2

2

3

4

)1(lim xxx

limx

x

x 1 2

1

1lim

2

x

x

x

limx

x x

x

2

1

.

Hitung:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

21

2 17. lim

2x

x

x x

xx

xx 3

tanlim.8

20

2 2 59. lim

2 5x

x x

x

2

2 310. lim

2x

x

x x

ada)(lim xfax

)()(lim afxfax

Kekontinuan Fungsi

Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a jika

(i) f(a) ada

(ii)

(iii)

Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi,

maka f dikatakan tidak kontinu di x=a

a

(i)

ºf(a) tidak ada

f tidak kontinu di x=a

a

(ii)

1L

2L

Karena limit kiri (L1) tidak sama

dengan limit kanan (L2), maka f(x)

tidak mempunyai limit di x = a

Fungsi f(x) tidak kontinu di x = a

(iii)

a

●

º

f(a) f(a) ada

)(lim xfaxL

ada

Tapi nilai fungsi tidak sama dengan

limit fungsi

Fungsi f(x) tidak kontinu di x = a

(iv)

a

f(a)

f(a) ada

)(lim xfax

ada

)()(lim afxfax

f(x) kontinu di x=a

Ketakkontinuan yang terhapuskan

Ketakkontinuan kasus (i) bisa

dihapus dengan cara

mendefinisikan nilai fungsi

dititik tersebut = limit fungsi

a

º

Contoh:

Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x = 2, jika tidak sebutkan

alasannya

2

4)(

2

x

xxf

2,3

2,2

4)(

2

x

xx

xxfa. b.

2,1

2,1)(

2 xx

xxxfc.

Jawab :

a. Fungsi tidak terdefinisi di x=2 (bentuk 0/0) f(x) tidak kontinu di x=2

b. - f(2) = 3

42lim)2(

)2)(2(lim

2

4lim

22

2

2

x

x

xx

x

x

xxx

)2()(lim2

fxfx

-

- f(x) tidak kontinu di x=2

c. 312)2( 2 f-

- 31lim)(lim22

xxf

xx

31lim)(lim 2

22

xxf

xx

3)(lim2

xfx

)2()(lim2

fxfx

-

Karena semua syarat dipenuhi f(x) kontinu di x = 2

Kontinu kiri dan kontinu kanan

Fungsi f(x) disebut kontinu kiri di x = a jika

)()(lim afxfax

Fungsi f(x) disebut kontinu kanan di x = a jika

)()(lim afxfax

Fungsi f(x) kontinu di x = a jika kontinu kiri dan kontinu kanan di x = a

Contoh : Tentukan konstanta a agar fungsi

2,1

2,)(

2 xax

xaxxf

Kontinu di x = 2

)2()(lim2

fxfx

1412)2( 2 aaf

Jawab :

Agar f(x) kontinu di x = 2, haruslah :

1. f kontinu kiri di x = 2 : )2()(lim2

fxfx

aaxxfxx

2lim)(lim22

1412)2( 2 aaf

2 + a = 4a – 1

-3a = -3

a = 1

2. f kontinu kanan di x = 2 :

141lim)(lim 2

22

aaxxf

xx

Selalu dipenuhi

Jadi agar f(x) kontinu di x = 2, maka a = 1.

1. Diketahui

1,22

1,1)(

2

xx

xxxf

selidiki kekontinuan fungsi f(x) di x = -1

Soal Latihan

2. Agar fungsi

2,3

21,

1,1

)(

xx

xbax

xx

xf

kontinu pada R, maka berapakah a + 2b ?

3. Tentukan a dan b agar fungsi

2,42

2,2

4)(

2

xx

xx

bxaxxf kontinu di x = 2

KEKONTINUAN PADA INTERVAL

• Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval buka ( a,b ) bilaf(x) kontinu pada setiap titik di dalam interval tersebut.

• Sedangkan f(x) dikatakan kontinu pada interval tutup [ a,b ] bila :

1. f(x) kontinu pada ( a,b )

2. f(x) kontinu kanan di x = a

3. f(x) kontinu kiri di x = b

Bila f(x) kontinu untuk setiap nilai x R maka

dikatakan f(x) kontinu ( dimana-mana ).

Teorema 3.2

• Fungsi Polinom kontinu dimana-mana

• Fungsi Rasional kontinu pada domainnya

Misalkan , maka

• f(x) kontinu di setiap titik di R jika n ganjil

• f(x) kontinu di setiap R positif jika n genap.

Contoh : Tentukan selang kekontinuan

Dari teorema diatas diperoleh f(x) kontinu untuk x – 4 > 0 atau x > 4

f(x) kontinu kanan di x=4

Sehingga f(x) kontinu pada [4, )

n xxf )(

4)( xxf

)4(04lim)(lim44

fxxfxx

f xx x

x( )

2 3

3

f xx

x( )

2

3

4

8

f xx

x( )

| |

2

2

94

1)(

2

x

xxf

24)( xxxf

A. Carilah titik diskontinu dari fungsi

B. Tentukan dimana f(x) kontinu

Soal Latihan

1.

2.

3.

1.

2.