PROGRAM PERKULIAHANDASAR DAN UMUM

(PPDU) TELKOM UNIVERSITY

KALKULUS IMUG1A4

III. LIMIT DAN KEKONTINUAN

11)(

2

xxxf

3.1 Limit Fungsi di Satu TitikPengertian limit secara intuisiPerhatikan fungsi

Fungsi diatas tidak terdefinisi di x=1, karena di titik tersebut f(x) berbentuk0/0. Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai f(x) jika x mendekati 1

Dengan bantuan kalkulator dapat diperoleh nilai f(x) bila x mendekati 1, seperti pada tabel berikut

x

f(x)

0.9 0.99 0.999 1.11.011.0010.9999 1.00011

21.9 1.99 1.999 1.9999 2.0001 2.001 2.01 2.1

1

º2

x x

f(x)

f(x)

Secara grafikDari tabel dan grafik disampingterlihat bahwa f(x) mendekati 2jika x mendekati 1

Secara matematis dapat dituliskansebagai berikut

211lim

2

1

xx

x

Dibaca “ limit dari untuk x mendekati1 adalah 2 1

12

xx

Definisi (limit secara intuisi).Lxf

cx

)(limUntuk mengatakan bahwa berarti bahwa bilamana x dekat,

tetapi berlainan dengan c, maka f(x) dekat ke L.

2)2)(12(lim

2232lim

2

2

2

x

xxx

xxxx

512lim2

xx

33

39lim

39lim

99

xx

xx

xx

xx 9)3)(9(lim

9

x

xxx

853lim1

xx

Contoh1.

2.

63lim9

xx

3.

4. )/1sin(lim0

xx

Ambil nilai x yang mendekati 0, seperti pada tabel berikut

x

)/1sin( x/2 2/2 3/2 4/2 5/2 6/2 7/2 8/2

1 0 -1 0 1 0 -1 0

0

?

Dari tabel terlihat bahwa bila x menuju 0, sin(1/x) tidak menuju kesatu nilai tertentu sehingga limitnya tidak ada

Lxfcx

)(lim 0, 0 | | | ( ) |x c f x L

Definisi Limit

jika

c

º

Untuk setiap 0

L

c

ºL

L

L

Terdapat sedemikian sehingga0

c

ºL

| |x c |)(| Lxfc c c

ºL

)(lim xfcx

LxfLxfLxfcxcxcx

)(limdan)(lim)(lim

Limit Kiri dan Limit Kanan

cxJika x menuju c dari arah kiri(dari arah bilangan yang lebih kecil dari c) limit disebut limit kiri,

)(lim xfcx

Jika x menuju c dari arah kanan(dari arah bilangan yang lebih besar dari c)limit disebut limit kanan,

c x

Hubungan antara limit dengan limit sepihak(kiri/kanan)

notasi

notasi

Jika )(lim xfcx

)(lim xfcx

, maka tidak ada)(lim xfcx

)(lim1

xfx

)(lim2

xfx

1,210,0,

)(2

2

xxxxxx

xf

)(lim0

xfx

Contoh

a. Hitung

d. Gambarkan grafik f(x)

c. Hitung

b. Hitung

1.

Jawaba. Karena aturan fungsi berubah di x = 0, maka perlu dicari limit

kiri dan limit kanan di x= 0

b. Karena aturan fungsi berubah di x = 1, maka perlu dicari limitkiri dan limit kanan di x = 1

c. Karena aturan fungsi tidak berubah di x = 2, maka tidak perlu dicari limitkiri dan limit kanan di x = 2

2

0 00

0 0

lim ( ) lim 0lim ( ) 0

lim ( ) lim 0x x

xx x

f x xf x

f x x

1 12 1 1 1

1 1

lim ( ) lim 1lim ( ) lim ( ) lim ( )

lim ( ) lim 2 3x x

x x xx x

f x xf x tidak ada karena f x f x

f x x

2

2 2lim ( ) lim 2 6x x

f x x

d.

Untuk x 02)( xxf

Grafik: parabola

Untuk 0<x<1

f(x)=x

Grafik:garis lurus

Untuk 1x

Grafik: parabola

di x=1 limit tidakada

22)( xxf

1

3

º

2. Tentukan konstanta c agar fungsi

1,1,3

)( 2 xcxxcx

xf

mempunyai limit di x=-1

Jawab:

Agar f(x) mempunyai limit di x = -1, maka

1lim ( )

xf x

1lim 3 3

xcx c

1lim ( )

xf x

2

1lim 1

xx c c

Agar limit ada 3 + c = 1 - c

C = -1

1 1lim ( ) lim ( )

x xf x f x

)(lim3

xfx

)(lim1

xfx

1lim ( )x

f x

A. Diberikan grafik suatu fungsi f seperti gambar berikut .

Cari limit /nilai fungsi berikut, atau nyatakan bahwa limit /nilaifungsi tidak ada.

f(-3)

f(-1)

f(1)

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Soal Latihan

1,21,1

)(2

2

xxxxx

xf

1lim ( )x

f x x

f x 1lim ( )

xf x

1lim ( )

xxxg 32)(

xg x

2lim ( )

xg x

2lim ( )

xg x

2lim ( )

22

)(

xx

xf

xf x

2lim ( )

xf x

2lim ( )

xf x

2lim ( )

B. 1. Diketahui :

a. Hitung dan

b. Selidiki apakah ada, jika ada hitung limitnya

2. Diketahui , hitung (bila ada) :

3. Diketahui , hitung (bila ada)

a. b. c.

a. b. c.

LGxgxfxgxfaxaxax

)(lim)(lim)()(lim

0,)(lim

)(lim

)()(lim

Gbila

GL

xg

xf

xgxf

ax

ax

ax

nnax

nax

Lxfxf

)(lim)(lim

GxgLxfaxax

)(limdan)(lim

GLxgxfxgxfaxaxax

)(lim)(lim)()(lim

Sifat limit fungsiMisal

(limit dari f dan g ada serta berhingga)

maka

2.

3.

4. n

ax

n

axxfxf ))(lim())((lim

, n bilangan bulat positif

5. bila n genap dan L harus positif

1.

222 )1(1

1sin)1()1(

xx

xx

)()()( xhxgxf

01

1sin)1(lim 2

1

xx

x

LxhLxfcxcx

)(limserta)(lim

Lxgcx

)(lim

11sin)1(lim 2

1

xx

x

Prinsip Apit

Misal untuk x disekitar c dan

maka

Contoh : Hitung

Karena 1)1

1sin(1

x

dan 2 2

1 1lim ( 1) 0, lim( 1) 0x x

x x

maka

( ) , jika 0 dan ( ) 0 dari arah atasi L g x

Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hinggaa. Limit Tak Hingga

maka,0)(limdan0)(limMisal

xgLxfaxax

)(

)(lim

xgxf

ax

( ) , jika 0 dan ( ) 0 dari arah bawahii L g x

( ) , jika 0 dan ( ) 0 dari arah bawahiii L g x atasarahdari0)(dan0jika,)( xgLiv

Cttn :g(x) 0 dari arah atas maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x) positif.g(x) 0 dari arah bawah maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x) negatif.

2

1lim 1 2 0

xx

11lim 2

2

1 xx

x

Contoh: Hitung

11lim

2

1

xx

xa.

2

21

1lim1x

xx

x

xx sinlim

b. c.

Jawaba. 021lim 2

1

x

x, g(x) = x-1 akan menuju 0 dari arah bawah, karenax 1 dari kiri berarti x kurang dari 1, akibatnyax-1 akan bernilai negatif

Sehingga

11lim

2

1 xx

x

b. akan menuju 0 dari arah atas karenax -1 dari kiri berarti x kurang dari -1, tapibilangan negatif yang kurang dari -1 jika dikuadratkan pastilah lebih dari 1 sehingga bernilai positif

2, ( ) 1g x x

12 x

Sehingga

0lim

xx

x

xx sinlim

c.

dan

f(x)=sinx

x

Jika x menuju dari arah kanan maka nilai sin x menuju 0 dari arahbawah (arah nilai sin x negatif)

sehingga

Karena

Lxfx

)(lim

b. Limit di Tak Hinggaa. jika |)(|00 LxfMxM

atau f(x) mendekati L jika x menuju tak hingga

L

x

Contoh: Hitung

4252lim 2

2

xxx

x

Jawab:

)2()1(

lim2

2

42

522

x

xx

x xx

4252lim 2

2

xxx

x2

2

42

521lim

x

xxx

= 1/2

Lxfx

)(lim jika |)(|00 LxfMxM

atau f(x) mendekati L jika x menuju minus tak hingga

b.

L

x

Contoh: Hitung

4252lim 2

x

xx

Jawab: 2 2 2

2

22 2

2 5 52

2 42 4

( ) ( )2 5 0 0 0lim lim lim 0(2 ) 2 0 2( )2 4

xxx x x

xx x xxx x

xx

2lim 3

xx x x

2

22

3lim 33x

x x xx x xx x x

Contoh: Hitung xxx

x

3lim 2

Jawab :Jika x , limit diatas adalah bentuk ( )

2 2

2

3lim3x

x x x

x x x

2

3lim3x

x

x x x

2

3

2 31

(1 )lim

(1 )x

xx x

x

x x

2

3

31

(1 )lim

1x

xx x

x

x x

22

3 3

3131

1 1 1 0 1lim lim21 0 0 11 11 1

x xx x

x xx x

x

x

Soal Latihan

limx

xx

3

33

limx x 2 2

3

4

)1(lim xxx

limx

x

x 1 2

11lim

2

xx

x

limx

x xx

2

1

.

Hitung:1.

2.

3.

4.

5.

6.

21

2 17. lim2x

xx x

2 2 58. lim2 5x

x xx

2

2 39. lim2x

xx x

Limit Fungsi Trigonometri1sinlim.1

0

xx

x

02. lim cos 1

xx

1tanlim.30

x

xx

Contoh:

0 4 00 0

0 2 0

sin4 sin4 sin4.4 lim .4 4 limsin4 44 4 4lim lim 2tan2 tan2 tan2tan2 2.2 lim .2 2 lim2 2 2

x xx x

x x

x x xxx x x xx x xx x

x x x

x 0 ekivalen dgn 4x 0

Soal Latihan

tt

t sin1coslim

2

0

ttt

t sec2sincotlim

0

tt

t 23tanlim

2

0

Hitung

1.

2.

3.

4.xx

x 2sintanlim

0

20

tanlim3x

xx x

5.

ada)(lim xfax

)()(lim afxfax

Kekontinuan FungsiFungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a jika

(i) f(a) ada

(ii)

(iii)

Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi, maka f dikatakan tidak kontinu di x=a

a

(i)

º f(a) tidak ada

f tidak kontinu di x=a

a

(ii)

1L2L

Karena limit kiri (L1) tidak samadengan limit kanan (L2), maka f(x) tidak mempunyai limit di x = a

Fungsi f(x) tidak kontinu di x = a

(iii)

a

●

º

f(a) f(a) ada

)(lim xfaxL ada

Tapi nilai fungsi tidak sama denganlimit fungsi

Fungsi f(x) tidak kontinu di x = a

(iv)

a

f(a)

f(a) ada

)(lim xfax

ada

)()(lim afxfax

f(x) kontinu di x=a

Ketakkontinuan yang terhapuskan

Ketakkontinuan kasus (i) bisadihapus dengan caramendefinisikan nilai fungsidititik tersebut = limit fungsi

a

º

Contoh:

Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x = 2, jika tidak sebutkanalasannya

24)(

2

xxxf

2,3

2,24

)(2

x

xxx

xfa. b.

2,12,1

)( 2 xxxx

xfc.

Jawab :

a. Fungsi tidak terdefinisi di x = 2 (bentuk 0/0) f(x) tidak kontinu di x = 2

b. - f(2) = 3

42lim)2(

)2)(2(lim24lim

22

2

2

x

xxx

xx

xxx

)2()(lim2

fxfx

-

- f(x) tidak kontinu di x=2

c. 312)2( 2 f-

- 31lim)(lim22

xxf

xx

31lim)(lim 2

22

xxf

xx

3)(lim2

xfx

)2()(lim2

fxfx

-

Karena semua syarat dipenuhi f(x) kontinu di x = 2