Operasi Limit Dan Kekontinuan Fungsi Vektor
-
Upload
muazir-tukloy -
Category
Documents
-
view
1.192 -
download
174
description
Transcript of Operasi Limit Dan Kekontinuan Fungsi Vektor
MAKALAH
OPERASI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN
FUNGSI VEKTOR
Disusun Untuk Memenuhi Tugas
Mata Kuliah Kalkulus Lanjut I
Dosen Pengampu : Dra. Emi Puji Astuti
Disusun oleh:
Wahyu Nugroho S. (4101409007)
Gilang Muhammad Bintang (4101409078)
Gilang Anjar Permatasari (4101409083)
Suryati (4101409088)
Setiasih Alfindah (4101409096)
Fenti Nugraheni (4101409100)
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2010
2
BAB I
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG
Pemahaman tentang pengertian dan konsep-konsep fungsi vektor,
operasi-operasi vektor, limit dan kekontinuan fungsi vektor sangat penting
untuk dipelajari, karena akan mendasari pembelajaran lain seperti
keterdifferensialan dan integral fungsi vektor beserta sifat-sifatnya serta
penggunaan konsep kalkulus differensial fungsi vektor.
B. RUMUSAN MASALAH
1. Apa pengertian fungsi vektor dan konsep-konsepnya?
2. Bagaimana operasi aljabar pada fungsi vektor?
3. Apa pengertian limit dan kekontinuan fungsi vektor beserta sifat-sifatnya?
C. TUJUAN PENULISAN
1. Memenuhi tugas kalkulus lanjut 1.
2. Sebagai bahan pembelajaran dan referensi.
3
BAB II
ISI
A. FUNGSI VEKTOR BESERTA OPERASINYA
Suatu kurva di bidang datar dapat kita tampilkan sebagai fungsi real baik
eksplisit maupun implisit. Tetapi banyak ilustrasi yang tidak dapat terlihat dalam
penampilan ini. Sebagai contoh: aturan lingkaran π₯2 + π¦2 = π2, π > 0, belum
memperlihatkan apakah setiap titik pada lintasannya dijalani tepat satu kali,
apakah lintasannya dijalani searah atau berlawanan arah dengan putaran jarum
jam serta di manakah titik pangkal dan titik ujung dari lintasannya. Bila lingkaran
tersebut ditampilkan dalam bentuk :
πΉ π‘ = π πππ π‘ π + π π ππ π‘ π , π > 0, 0 π‘ 2
dimana π‘ parameter dan π, π adalah vektor basis untuk β2 terlihat bahwa
lintasannya dimulai dari titik pangkal (π, 0) dan berakhir di titik (π, 0) serta setiap
titik dijalani tepat satu kali kecuali titik pangkal dan titik ujung dengan orientasi
berlawanan arah dengan jarum jam.
Misalkan π₯ = π₯(π‘) = π πππ π‘; π > 0 , 0 π‘ 2
π¦ = π¦(π‘) = π π ππ π‘; π > 0 , 0 π‘ 2
dengan mensubtitusi π‘ dari kedua persamaan ini diperoleh
π₯2 + π¦2 = (π cos π‘)2 + (π sin π‘)2 = π2, π > 0
yang merupakan persamaan lingkaran. Penampilan lingkaran sebagai suatu fungsi
vektor di bidang tidak tunggal, beberapa bentuk lain adalah
πΉ(π‘) = (π πππ 2π‘) π + (π π ππ 2π‘)π, π > 0, 0 π‘
πΉ(π‘) = (π πππ π‘) π β (π π ππ π‘)π, π > 0, 0 π‘ 2
Dengan mengeliminasi π‘ dari setiap persamaan terakhir, kita akan memperoleh
lingkaran π₯2 + π¦2 = π2. Terlihat bahwa penampilan suatu kurva bidang
sebagai fungsi vektor dapat memperlihatkan arah gerakan dan berapa kali
lengkungan tersebut dijalani. Kelemahannya adalah penampilan suatu kurva dapat
dibuat dengan lebih dari satu cara.
1. Fungsi Vektor di Bidang dan Ruang
Grafik fungsi vektor di dalam ruang dan bidang dinamakan kurva
bidang di bidang dan ruang. Kurva ini dapat didefinisikan sebagai berikut:
4
Definisi 1.1.1
1. Misalkan fungsi π₯ = π₯(π‘) dan π¦ = π¦(π‘) terdefinisi pada himpunan
π· β β dengan π‘ parameter. Fungsi πΉ: π· β β2.
πΉ(π‘) = π₯(π‘)π + π¦(π‘)π
dimana (π, π) basis baku untuk β2 dinamakn fungsi vektor bidang.
2. Misalkan fungsi π₯ = π₯(π‘), π¦ = π¦(π‘) dan π§ = π§(π‘) terdefinisi pada
himpunan π· β β dengan t parameter. Fungsi πΉ: π· β β3.
πΉ(π‘) = π₯(π‘)π + π¦(π‘)π + π§(π‘)π
dimana (π, π, π) basis baku untuk β3. dinamakan fungsi vektor di ruang.
Diagram panah dari definisi 1.1.1 diperlihatkan pada Gb.1 dan Gb.2 di
bawah.
Catatan :
1. Bila diketahui kurva πΆ sebagai fungsi vektor di β2 atau β3, arah dan
berapa kali kurva dijalani sudah tertentu.
2. Bila diketahui kurva πΆ dalam kartesius, arah dan berapa kali dijalani
belum diketahui.
3. Fungsi vektor di bidang memuat pengertian π¦ sebagai fungsi implisit dari
π₯. fungsi vektor di ruang peubah π₯, π¦, π§ terlibat, peubah yang satu
merupakan fungsi implisit dari peubah lainnya.
4. Fungsi vektor sering kali dinamakan fungsi parameter. Istilah yang
lengkap adalah fungsi bernilai vektor dengan peubah real
Contoh 1.1 :
Diketahui fungsi vektor di bidang
πΉ π‘ = π‘ β 1 π + π‘2 β 1 π, β2 β€ π‘ β€ 2
a. Jika π₯ = π‘ β 1 dan π¦ = π‘2 β 1, nyatakan π¦ secara eksplisit sebagai
fungsi dari π₯.
5
b. Gambarkan grafik fungsi πΉ di bidang XOY sebagai kurva πΆ.
Penyelesaian:
a. Mengeliminasi π‘ dari persamaan yang diberikan. Dari π₯ = π‘β 1
diperoleh π‘ = π₯ + 1 yang bila digantikan ke persamaan π¦ = π‘2 β 1
menghasilkan
π¦ = (π₯ + 1)2 β 1 = π₯2 + 2π₯
karena β2 β€ π‘ β€ 2 maka β3 β€ π‘ β 1 β€ 1, sehingga β3 β€ π₯ β€ 1.
jadi fungsi parameter πΉ dapat ditampilkan sebagai
π¦ = π₯2 + 2π₯, β3 β€ π₯ β€ 1
b. Perhatikan bahwa disini arah kurva πΆ adalah dari titik pangkal
(β3,3) ke titik ujung (1,3) dengan setiap titik pada kurva dijalani
satu kali. Kurva πΆ yang berbentuk parabola diperlihatkan pada
gambar di bawah ini:
Jelas π¦ = π₯2 + 2π₯, β3 β€ π₯ β€ 1, dan πΉ π‘ = π‘ β 1 π +
π‘2 β 1 π, β2 β€ π‘ β€ 2.
Jelas gambar grafik π¦ atau fungsi πΉ(π‘) mempunyai titik pangkal di
(β3,3), ini bisa dihitung dengan menggunakan π¦ = π₯2 + 2π₯, dengan
cara memasukkan π₯ = β3 sehingga diperoleh π¦ = (β3)2 +
2 β3 = 9 β 6 = 3. Juga bisa dihitung dengan menggunakan
π‘ = β2, sehingga diperoleh π₯ = β2 β 1 = β3 dan π¦ = (β2)2 β
1 = 3. Dan cara yang sama kita dapat mencari titik ujung kurva,
sehngga di dapat titik ujung kurva (1,3). Jelas disini arahnya
berlawanan dengan jarum jam.
6
Titik potong dengan sumbu π₯
0 = π₯2 + 2π₯
0 = π₯(π₯ + 2)
π₯1 = 0; π₯2 = β2
Titik potong dengan sumbu π¦
π¦ = 02 + 2.0
π¦ = 0
Koordinat titik balik (β1, β1)
π₯ =βπ
2π=
β2
2 β 1= β1
π¦ = (β1)2 + 2(β1) = 1 β 2 = β1
Contoh 1.2
Nyatakan lingkaran yang berpusat di titik (0,0,0), berjari-jari 4 satuan
dan terletak pada bidang π¦ =1
3 3π₯ sebagai suatu fungsi vektor di ruang.
Penyelesaian:
Perhatikan gambar di bawah ini yang memperlihatkan lingkaran berpusat
di titik (0,0,0), berjari-jari 4 satuan dan terletak pada bidang Ξ : π¦ =
1
3 3π₯.
7
Cara pertama
Lingkaran berpusat di (0,0,0) dengan jari-jari 4, terletak pada bidang Ξ:
π¦ =1
3 3π₯. Jelas π¦ =
1
3 3π₯ β
π¦
π₯=
3
3βΆ β πππ =
π
6.
Kita dapatkan gambar sketsanya seperti pada gambar 4.
Mencari π₯
Perhatikan persegi panjang OQPZ,
(OQPZ persegi panjang karena ππ β₯ ππ dan ππ β₯ ππ sehingga
OQPZ tegak lurus dengan semua garis yang ada di bidang OXQY
termasuk OQ).
β πππ = π‘
Jelas ππ = ππ sin π‘ = 4 sin π‘
Perhatikan persegi panjang OXQY
Didapat π₯ = ππ β cosπ
6= 4 β sin π‘ β
1
2 3 = 2 3 sin π‘.
Mencari π¦
Perhatikan bidang OQPZ
Jelas ππ = 4 sin π‘
Perhatikan bidang OXQY
Didapat π¦ = ππ β sinπ
6= 4 β sin π‘ β
1
2= 2 sin π‘.
Mencari π§
Perhatikan bidang ZOQP
ππ = ππ cos π‘ = 4 cos π‘.
Dari perhitungkan di atas kita peroleh π₯ = 2 3 sin π‘, π¦ =
2 sin π‘ , dan π§ = 4 cos π‘ disubstitusikan ke persamaan umum
πΉ(π‘) = π₯π + π¦π + π§π, didapat persamaan vektornya:
πΉ π‘ = (2 3 sin π‘) π + (2 sin π‘) π + (4 cos π‘) π, 0 β€ π‘ β€ 2π.
Cara kedua
Lingkaran di ruang berarti berbentuk bola dengan persamaan π₯2 + π¦2 +
π§2 = 16 dan π¦ =1
3 3π₯.
Perhatikan persegi panjang OZPQ
ππ = ππ sin π‘ = 4 sin π‘.
Perhatikan persegi panjang OXQY
ππ = π¦ = ππ β sinπ
6= 4 sin π‘ β
1
2= 2 sin π‘.
8
Ambil π¦ = 2 sin π‘.
π₯ =3
3π¦ =
3
32 sin π‘ = 2 3 sin π‘.
π₯2 + π¦2 + π§2 = 16.
(2 3 sin π‘)2 + (2 sin π‘)2 + π§2 = 16.
12 π ππ2π‘ + 4 π ππ2π‘ + π§2 = 16 β 16 π ππ2π‘ + π§2 = 16.
π§2 = 16 β 16 π ππ2π‘ = 16 1 β π ππ2π‘ = 16 πππ 2π‘.
π§ = 4 cos π‘.
Jadi πΉ π‘ = (2 3 sin π‘) π + (2 sin π‘) π + (4 cos π‘) π, 0 β€ π‘ β€ 2π
Jadi suatu fungsi vektor untuk kurva ruang ini adalah :
πΉ π‘ = (2 3 sin π‘) π + (2 sin π‘) π + (4 cos π‘) π, 0 β€ π‘ β€ 2π.
Cara ketiga
Perhatikan kembali Gb.4, perpotongan antara bidang Ξ: π¦ =1
3 3 π₯
dengan bidang XOY adalah garis lurus
π: π¦ =1
3 3π₯
π§ = 0
Garis lurus ini dan bidang r yang memuat lingkaran L memperlihatkan
pada Gb.5 dan Gb.6.
Misalkan u adalah vektor satuan sepanjang garis g, maka vektor u dapat
dinyatakan sebagai kombinasi linear dari i dan j, yaitu
π’ =1
2 3 π +
1
2 π
9
Suatu fungsi vektor untuk persamaan lingkaran L yang terletak pada
bidang r adalah
πΉ π‘ = (4 sin π‘)π’ + (4 cos π‘)π = (4 sin π‘) 1
2 3π +
1
2π + (4 cos π‘)π
= (2 3 sin π‘)π + (2 sin π‘)π + (4 cos π‘)π, 0 β€ π‘ β€ 2π
Perhatikan bahwa cara ini memberikan hasil yang sama.
2. Operasi Pada Fungsi Vektor
Kita telah mempelajari bahwa kurva bidang dan ruang dapat
ditampilkan sebagai fungsi vektor di β2 dan β3. Selanjutnya, kita
mendefinisikan fungsi vektor di βπ sebagai berikut.
Definisi 1. 1. 2
Misalkan π₯1 = π₯1 π‘ ; π₯2 = π₯2 π‘ , β¦ , π₯π = π₯π(π‘) terdefinisi pada himpunan
π· β β dengan π‘ parameter dan π1, π2, β¦ , ππ adalah basis baku untuk βπ
Fungsi πΉ: π· β βπ ,
πΉ π‘ = π₯1 π‘ π1 + π₯2 π‘ π2 + β― + π₯π π‘ ππ = π₯π(π‘)ππ
π
π=1
Dinamakan fungsi vektor di βπ . Grafik fungsi ini dinamakan kurva di βπ .
Diagram panah untuk fungsi ini diperlihatkan pada gambar berikut ini.
Definisi 1. 1. 3
Misalkan π·, πΈ β β, πΉ: π· β βπ dan πΊ: πΈ β βπ adalah fungsi vektor di βπ
Fungsi πΉ dikatakan sama (ekivalen) dengan πΊ jika πΉ dan πΊ menjalani πΆ dalam
jumlah yang sama dan dengan arah yang sama dari titik pangkal dan titik
ujung yang sama pula.
10
Bila kita mempunyai dua vektor di βπ , maka operasi aljabar yang dapat
dilakukan padanya ialah penjumlahan, pengurangan, perkalian dengan skalar,
perkalian skalar, dan khusus untuk π = 3 perkalian silang vektor.
Berikut ini adalah definisi dari semua operasi pada fungsi vektor tersebut.
Definisi 1. 1. 4
A. Operasi Aljabar pada Fungsi Vektor di βπ .
Misalkan πΉ, πΊ: π· β βπ , π· β β;
πΉ π‘ = ππ π‘ π1
π
π=1
dan πΊ π‘ = ππ(π‘)ππ
π
π=1
Adalah fungsi vektor di βπ Penjumlahan, pengurangan, perkalian dengan
skalar dan perkalian skalar dari πΉ dan πΊ, ditulis:
πΉ + πΊ, πΉ β πΊ, ππΉ, π konstanta real dan πΉ. πΊ.
didefinisikan sebagai berikut.
Penjumlahan : πΉ + πΊ π‘ = πΉ π‘ + πΊ π‘ = ππ π‘ + ππ(π‘) π1
π
π=1
Pengurangan : πΉ β πΊ π‘ = πΉ π‘ β πΊ(π‘) = ππ π‘ β ππ(π‘) π1
π
π=1
Perkalian dengan skalar : (ππΉ) π‘ = ππΉ π‘ = πππ(π‘) ππ
π
π=1
Perkalian skalar : πΉ. πΊ π‘ = πΉ(π‘) . πΊ π‘ = [ππ π‘ . ππ π‘ ] ββ
π
π=1
B. Perkalian Silang Dua Fungsi Vektor di β3.
Jika πΉ π‘ = π1 π‘ π + π2 π‘ π + π3 π‘ π, π‘ β π· β β dan πΊ π‘ = π1 π‘ π +
π2 π‘ π + π3 π‘ π, π‘ β π· β β maka perkalian silang (vektor) dari πΉ dan πΊ,
ditulis πΉ Γ πΊ didefinisikan sebagai vektor:
πΉ Γ πΊ =
π π ππ1(π‘) π2(π‘) π3(π‘)π1(π‘) π2(π‘) π3(π‘)
= π2(π‘) π3(π‘)π2(π‘) π3(π‘)
π β π1(π‘) π3(π‘)π1(π‘) π3(π‘)
π
+ π1(π‘) π2(π‘)π1(π‘) π2(π‘)
π
C. Komposisi Fungsi Real dengan Fungsi Vektor.
11
Misalkan π·, πΈ β β; π: π· β β, π₯ = π(π‘) fungsi real dengan βπ =
π π· β πΈ dan πΉ: πΈ β βπ , πΉ π‘ = ππ(π‘)ππππ=1 fungsi vektor di βπ .
Komposisi dari πΉ dan π, ditulis gF , didefinisikan sebagai:
πΉ β π π‘ = πΉ π π‘ = ππ[π π‘ ]ππ
π
π=1
Situasi definisi ini diperlihatkan pada gambar berikut ini:
D. Operasi Perkalian Fungsi Real dengan Fungsi Vektor.
Misalkan π· β β, π: π· β β, π₯ = π π‘ fungsi real dan πΉ: π· β βπ , πΉ π‘ =
ππ(π‘)ππππ=1 fungsi vektor di βπ . Perkalian antara π dengan πΉ, ditulis ππΉ,
didefinisikan sebagai:
ππΉ π‘ = π π‘ . ππ π‘ ππ , π‘ β π· β β
π
π=1
Contoh:
Diketahui fungsi
πΉ π‘ = sin π‘ π + cos π‘ π + π‘π, π‘ β π
πΊ π‘ = cos π‘ π β sin π‘ π + πβπ‘ , π‘ β β
π π‘ = ππ‘ , π‘ β β
Tentukan fungsi πΉ + πΊ, πΉ β πΊ, πΉ β πΊ, πΉ Γ πΊ, πΉΒ°πΊ, πΊΒ°π, ππΉ πππ ππΊ.
12
Penyelesaian:
Berdasarkan Definisi 1.1.4 diperoleh hasil berikut.
πΉ + πΊ π‘ = (cos π‘ + sin π‘)π + cos π‘ β sin π‘ π + π‘ + πβπ‘ π
πΉ β πΊ π‘ = sin π‘ β cos π‘ π + sin π‘ + cos π‘ π + π‘ β πβπ‘ π
πΉ β πΊ π‘ = sin π‘ cos π‘ β cos π‘ sin π‘ + π‘πβπ‘
πΉ Γ πΊ π‘ = π π π
sin π‘ cos π‘ π‘cos π‘ β sin π‘ πβπ‘
= cos π‘ π‘
β sin π‘ πβπ‘ π β sin π‘ π‘cos π‘ πβπ‘ π β
sin π‘ cos π‘cos π‘ β sin π‘
π
= (πβπ‘ cos π‘ + π‘ sin π‘)π β (πβπ‘ sin π‘ β π‘ cos π‘)π β π
πΉ β π π‘ = πΉ π π‘ = πΉ ππ‘ = (sin ππ‘)π + (cos ππ‘)π + ππ‘π
πΊ β π π‘ = πΊ π π‘ = πΊ ππ‘ = (cos ππ‘)π + π ππ ππ‘ π + πβπ π‘π
ππΉ π‘ = π π‘ πΉ π‘ = (ππ‘ sin π‘)π + (ππ‘ cos π‘)π + π‘ππ‘π
ππΊ π‘ = π π‘ πΊ π‘ = (ππ‘ cos π‘)π β (ππ‘ sin π‘)π + π
B. LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI
Sebelum membahas limit fungsi vektor, kita perlu mengingat kembali
konsep limit fungsi real sebagai dasar atau analogi untuk mendefinisikan limit
fungsi vektor. Denifisi formal limit fungsi real adalah :
Dipunyai fungsi π terdefinisi pada selang πΌ yang memuat π kecuali mungkin
di π sendiri. Limit fungsi π(π₯) bernilai πΏ untuk π₯ mendekati π ditulis
limπ₯βπ
π π₯ = πΏ
Jika dan hanya jikaβν > 0βπΏ > 0 β π π₯ β πΏ < ν apabila 0 < π₯ β π < πΏ
13
Pada grafik di atas terlihat bahwa nilai π(π₯) dapat dibuat sebarang dekat ke
πΏ dengan cara mengambil nilai π₯ yang cukup dekat dengan π. Dengan kata lain,
jarak π(π₯) ke L dapat dibuat sebarang kecil dengan cara mengambil jarak x ke π
cukup kecil. Bila ukuran jarak yang digunakan di sini adalah nilai mutlak, maka
diperoleh rancangan konsep limit yang hasilnya seperti di atas.
1. Limit Fungsi Vektor
Konsep limit fungsi vektor di βπ dirancang serupa dengan limit fungsi
real. Namun sebelumnya, perlu diterjemahkan simbol fungsi vektor yang
berbeda dengan simbol fungsi real.
Rumus fungsi vektor di masing-masing ruang dituliskan :
π 2: πΉ(π‘) = π₯ π‘ π + π¦(π‘)π
π 3: πΉ π‘ = π₯ π‘ + π¦ π‘ π + π§(π‘)π
π 4: πΉ π‘ = π₯1 π‘ π1 + π₯2 π‘ π2 + π₯3 π‘ π3 + π₯4(π‘)π4
π π : πΉ π‘ = π₯1 π‘ π1 + π₯2 π‘ π2 + β― + π₯π(π‘)ππ
πΉ π‘ = π₯π π‘ ππ
π
π=1
Dimana disepakati bahwa πΉ(π‘) : Komponen fungsi vektor.
π₯π(π‘)ππ : Fungsi vektor pada satu arah
dengan π₯ melambangkan fungsi,
π‘ sebagai variabel (pengganti π₯
pada fungsi real) dan π
menyatakan arah vektor (vektor
satuan).
Namun demikian dalam makalah ini simbol π₯1 , π₯2, β¦ , π₯π digantikan
π1, π2 , β¦ , ππ . Sehingga πΉ π‘ = π1 π‘ π1 + π2 π‘ π2 + β― + ππ(π‘)ππ . Disini kita
menggunakan ukuran jarak dua vektor di βπ sebagai berikut:
Untuk π = (π₯1, π₯2, β¦ , π₯π) dan π = (π¦1, π¦2, β¦ , π¦π)
Maka jarak π ke π ditulis π β π didefinisikan sebagai:
π β π = (π₯1 β π¦1)2 + (π₯2 β π¦2)2 + β― + (π₯π β π¦π)2
Agar limit fungsi vektor πΉ(π‘) untuk π‘ mendekati π dapat dibahas, di
sekitar π harus terdapat tak berhingga banyaknya titik dari domain π·π . Untuk
ini kita mengambil domain π·π selang terbuka π· yang memuat π kecuali
mungkin di π sendiri.
14
Situasi yang terjadi adalah jarak πΉ(π‘) ke suatu vektor tetap πΏ =
(π1, π2, β¦ , ππ) dapat dibuat sembarang dekat dengan cara membuat jarak π‘ ke π
cukup dekat. Dengan demikian diperoleh konsep limit fungsi vektor sebagai
berikut:
Definisi 1.2.1
Misalkan fungsi vektor πΉ(π‘) = π1(π‘) π1 + π2(π‘) π2 + β¦ + ππ(π‘) ππ
terdefinisi pada selang terbuka di D yang memuat π, kecuali mungkin di π
sendiri dan πΏ = (π1, π2, β¦ , ππ) vektor di βπ . Limit fungsi πΉ jika t mendekati a
sama dengan L, ditulis ππππ‘βπ πΉ(π‘) = πΏ, jika βν > 0βπΏ > 0 β 0 < π‘ β π <
πΏ β πΉ π‘ β πΏ < ν.
Adapun limit sepihak fungsi vektor didefinisikan sebagai berikut:
limπ‘βπ+
πΉ(π‘) = πΏ βΊ βν > 0βπΏ > 0 β 0 < π‘ β π < πΏ β πΉ π‘ β πΏ < ν
limπ‘βπβ
πΉ(π‘) = πΏ βΊ βν > 0βπΏ > 0 β 0 < π β π‘ < πΏ β πΉ π‘ β πΏ < ν
Teorema 1.2.1
Misalkan fungsi vektor π = πΉ(π‘) terdefinisi pada selang terbuka πΌ
yang memuat π, kecuali mungkin di π sendiri. Maka
ππππ‘βπ πΉ(π‘) = πΏ βΊ ππππ‘βπ πΉ(π‘) β πΏ = 0
Bukti:
Dipunyai ππππ‘βπ πΉ(π‘) = πΏ
Bukti ke kanan :
βΉ βν > 0βπΏ > 0 β 0 < π‘ β π < πΏ
βΉ πΉ π‘ β πΏ < ν
βΉ πΉ π‘ β πΏ β 0 < ν
βΉ limπ‘βπ
πΉ π‘ β πΏ = 0
Bukti ke kiri :
βΉ βΞ΅ > 0βπΏ > 0 β 0 < t β a < πΏ
βΉ F t β L β 0 < ν
βΉ F t β L < ν
Jadi limtβa F(t) = L
Jadi terbukti bahwa teorema di atas benar.
15
Teorema 1.2.2
Misalkan fungsi vektor πΉ(π‘) = π1(π‘) π1 + π2(π‘) π2 + β¦ + ππ(π‘) ππ
terdefinisi pada selang terbuka di π· yang memuat π, kecuali mungkin di π
sendiri dan πΏ = (π1, π2, β¦ , ππ) suatu vektor di βπ . Maka
limπ‘βπ
πΉ π‘ = πΏ βΊ limπ‘βΆπ
ππ π‘ = ππ , π = 1,2,3, β¦ , π
Bukti :
β diketahui limπ‘βπ
πΉ π‘ = πΏ ini berarti bahwa
βν > 0βπΏ > 0 β 0 < π‘ β π < πΏ β πΉ π‘ β πΏ < ν
Karena
ππ π‘ β ππ = [ ππ π‘ β ππ 2]1/2 β€ [ππ π‘ β ππ]
2
π
π=1
1/2
= πΉ π‘ β πΏ
Untuk πΏ > 0 di atas berlaku
0 < π‘ β π < πΏ βΊ ππ π‘ β ππ β€ πΉ π‘ β πΏ < ν
Sehingga terbuktilah
limπ‘βπ
ππ π‘ = ππ , π = 1,2,3, β¦ , π
β diketahui limπ‘βπ
ππ π‘ = ππ , π = 1,2,3, β¦ , π dari sini diperoleh
limπ‘βπ [ππ π‘ β ππ] = 0, π = 1,2,3, β¦ , π Sehingga
limπ‘βπ
[ππ π‘ β ππ]2 = 0
Akibatnya
limπ‘βπ
πΉ π‘ β πΏ = limπ‘βπ
[ππ π‘ β ππ]2
π
π=1
1/2
= 0
Menurut Teorema 1.2.1 terbukti limπ‘βπ πΉ π‘ = πΏ.
Teorema 1.2.3
Misalkan fungsi vektor πΉ(π‘) = π1(π‘) π1 + π2(π‘) π2 + β¦ + ππ(π‘) ππ
dan πΊ(π‘) = π1(π‘) π1 + π2(π‘) π2 + β¦ + ππ(π‘) ππ , dan fungsi real π’ = π(π‘)
semua terdefinisi pada selang terbuka π· yang memuat π, kecuali mungkin di
π sendiri. Jika ππππ‘βπ πΉ(π‘), ππππ‘βπ πΊ(π‘) , ππππ‘βπ π(π‘) ada dan berhingga,
maka
1. ππππ‘βπ πΉ(π‘) tunggal, yaitu jika limπ‘βπ π(π‘) = π dan limπ‘βπ π(π‘) =
π maka π = π.
Bukti :
16
Dipunyai limπ‘βπ π(π‘) = π dan limπ‘βπ π(π‘) = π maka π = π.
Ambil sembarang ν > 0.
Pilih Ξ΄1 > 0 dan Ξ΄2 > 0 sehingga
πΉ(π‘) β π < ν/3 apabila 0 < π‘ β π < πΏ1 dan
πΉ(π‘) β π < ν/3 apabila 0 < π‘ β π < πΏ2.
Pilih πΏ = min(πΏ1, πΏ2).
Jelas π β π = π β πΉ(π‘) + πΉ(π‘) β π β€ πΉ π‘ β π + πΉ π‘ β π <
ν/3 + ν/3 < ν.
Dengan kata lain terbukti bahwa π = π.
2. limtβa F t + G t = limtβa F t + limtβa
G t
Bukti :
Ambil sembarang bilangan ν > 0. Menurut yang diketahui, ada bilangan
πΏ1 > 0 dan πΏ2 > 0 sehingga
πΉ(π‘) β (π₯β², π¦β²) = (π₯1(π‘), π¦(π‘)) β (π₯β², π¦β²) < ν/3
Untuk setiap π‘ β π·π = π΄, π‘ β π‘0 dan π‘ β π‘0 < πΏ0. Dengan mengambil
πΏ = min πΏ1, πΏ2 diperoleh :
πΉ(π‘) + π(π‘) β (π₯β² + π₯", π¦β² + π¦") = π₯1(π‘), π¦1(π‘)) β (π₯β², π¦β²) +
(π₯2(π‘), π¦2(π‘)) β (π₯", π¦") β€
(π₯1(π‘), π¦1(π‘)) β (π₯β², π¦β²) + (π₯2(π‘), π¦2(π‘)) β (π₯", π¦") <ν
3+
ν
3< ν.
Untuk setiap π‘ β π·πΉ+πΊ = π·πΉ β© π·πΊ , π‘ β π‘0, dan π‘ β π‘0 < πΏ
3. limtβa F t β G t = limtβa F t βlimtβa
G t
4. limtβa cF(t) = limtβa F(t), c konstanta real
5. ππππ‘βπ πΉ π‘ . πΊ π‘ = ππππ‘βπ πΉ π‘ . ππππ‘βπ πΊ π‘
6. limtβa gF(t) = limtβa g(t) . limtβa F(t)
Contoh :
Hitunglah setiap limit fungsi vektor berikut.
a) ππππ‘β0 π π‘β1
π‘π +
ππ 1+π‘
π‘π +
1+π‘2
π‘π
b) ππππ‘β0 π ππ π‘
π‘π +
π‘
π π‘π
Jawab :
a) Kita hitung dahulu limit setiap komponen fungsi vektornya.
ππππ‘β0
ππ‘ β 1
π‘π +
ππ 1 + π‘
π‘π +
1 + π‘2
π‘π
ππππ‘β0
ππ‘ β 1
π‘= πππ
π‘βπ
ππ‘
1= 1
17
ππππ‘β0
ππ 1 + π‘
π‘= πππ
π‘β0
11 + π‘
1= 1
ππππ‘β0
1 + π‘2
π‘= πππ
π‘β02π‘ = 0
jadi, ππππ‘βπ π π‘β1
π‘π +
ππ 1+π‘
π‘π +
1+π‘2
π‘π = π + π.
b) Kita hitung dahulu setiap komponen fungsi vektornya.
ππππ‘β0
π ππ π‘
π‘π +
π‘
ππ‘π
ππππ‘β0
π ππ π‘
π‘= 1
ππππ‘β0
π‘
ππ‘= 0
Jadi, ππππ‘β0 π ππ π‘
π‘π +
π‘
π π‘ π = 1.
2. Kekontinuan Fungsi Vektor
Seperti pada fungsi real, konsep kekontinuan fungsi vektor di satu titik
dapat di definisikan limit fungsi dititik itu, yang harus sama dengan nilai
fungsinya. Berikut adalah definisi formalnya.
Definisi 1.2.2
Misalkan fungsi vektor πΉ π‘ = π1 π‘ π1 + β― + ππ π‘ ππ terdefinisi pada
selang terbuka π· yang memuat π, πΉ dikatakan kintinu di π β π· jika
ππππ‘βπ πΉ π‘ = πΉ π .
Definisi 1.2.3
Misalkan fungsi vektor πΉ π‘ = π1 π‘ π1 + β― + ππ π‘ ππ terdefinisi pada
himpunan π· yang memuat π, fungsi πΉ dikatakan kontinu di π β π· jika
βν > 0βπΏ > 0 β π‘ β π < πΏ βΉ πΉ π‘ β πΉ(π) < ν.
Definisi 1.2.4
Fungsi vektor πΉ π‘ = π1 π‘ π1 + β― + ππ π‘ ππ yang terdefiinisi pada
himpunan π· β π dikatakan kontinu pada π· jika fungsi πΉ kontinu di setiap
titik pada π·.
Teorema 1.2.4
Fungsi vektor πΉ π‘ = π1 π‘ π1 + β― + ππ π‘ ππ kontinu pada π·π β fungsi
real ππ kontinu pada π·π = π·π1β© β¦β© π·ππ , π‘ = 1, 2, β¦ , π.
18
Bukti :
Bukti ke kanan :
βΉ πΉ π‘ = π1 π‘ π1 + β― + ππ π‘ ππ kontinu pada π·πΉ
β πΉ kontinu pada setiap titik di π·
β πΉ kontinu pada π·π1β¦π·ππ , π = 1, 2, β¦ , π.
βππ(π‘) kontinu pada π·ππ
β ππ(π‘) kontinu pada π·ππ
β ππ(π‘) kontinu pada π·π = π·π1β© β¦β© π·ππ .
Bukti ke kiri
βΈ ππ(π‘) kontinu pada π·π = π·π1β© β¦β© π·ππ .
β ππ(π‘) kontinu pada π·πΉ
β ππ(π‘) kontinu pada π·πΉ
β πΉ(π‘) kontinu pada setiap titik di π·πΉ
Jadi teorema di atas terbukti kebenarannya.
Teorema 1.2.5
Misalkan fungsi vektor πΉ π‘ = π1 π‘ π1 + β― + ππ π‘ ππ dan πΊ π‘ =
π1 π‘ π1 + β― + ππ(π‘)ππ dan fungsi real π’ = π(π‘) semuanya terdefinisi pada
selang terbuka π· = π·πΉ β© π·πΊ β© π·π, maka fungsi πΉ + πΊ, πΉ β πΊ, ππΉ π
konstanta real, πΉ. πΊ dan ππΉ semuanya kontinu pada π·.
Bukti:
Misalkan fungsi vektor πΉ π‘ = π1 π‘ π1 + β― + ππ π‘ ππ dan πΊ π‘ =
π1 π‘ π1 + β― + ππ(π‘)ππ dan fungsi real π’ = π(π‘) semuanya kontinu pada
himpunan π· = π·πΉ β© π·πΊ β© π·π, terdefinisi
πΏπππ‘βπ
πΉ π‘ = πΉ(π)
πΏπππ‘βπ
πΊ π‘ = πΊ π
πΏπππ‘βπ
π π‘ = π π
Maka
πΏπππ‘βπ πΉ + πΊ π‘ = ππππ‘βπ πΉ π‘ + πΊ π‘
= ππππ‘βπ
πΉ π‘ + ππππ‘βπ
πΊ π‘
= πΉ π + πΊ π
= πΉ + πΊ (π)
Ini menunjukan bahwa fungsi πΉ + πΊ kontinu pada π·.
πΏπππ‘βπ πΉ β πΊ π‘ = ππππ‘βπ πΉ π‘ β πΊ π‘
19
= ππππ‘βπ
πΉ π‘ β ππππ‘βπ
πΊ(π‘)
= πΉ π β πΊ π
= πΉ β πΊ (π)
Ini menunjukan bahwa fungsi πΉ β πΊ kontinu pada π·.
ππππ‘βπ π πΉ π‘ = π ππππ‘βπ
πΉ π‘ = π πΉ π
Ini menunjukan bahwa fungsi π πΉ kontinu pada π·.
ππππ‘βπ πΉ. πΊ π‘ = ππππ‘βπ
πΉ π‘ . πΊ(π‘)
= ππππ‘βπ
πΉ(π‘) . ππππ‘βπ
πΊ π‘
= πΉ π . πΊ(π)
= πΉ. πΊ (π)
Ini menunjukan bahwa fungsi πΉ . πΊ kontinu di π·
ππππ‘βπ ππΉ (π‘) = ππππ‘βπ π(π‘0. πΉ(π‘)
= ππππ‘βπ
π π‘ . ππππ‘βπ
πΉ π‘
= π π . πΉ(π)
= ππΉ (π)
Ini menunjukan bahwa fungsi ππΉ kontinu pada π·
Teorema 1.2.6
1. Jika fungsi real π’ = π(π‘) semuanya terdefinisi pada selang terbuka π·
yang memuat π dengan
ππππ‘βπ
π(π‘) = π
dan fungsi vektor πΉ,πΉ π‘ = π1 π‘ π1 + β― + ππ π‘ ππ kontinu di π, maka
ππππ‘βπ
πΉ(π π‘ ) = πΉ ππππ‘βπ
π(π‘) = πΉ(π)
2. Jika fungsi real u = g(t) terdefinisi pada himpunan D dengan π π=g(D) β
E β R dan fungsi vektor πΉ π‘ = π1 π‘ π1 + β― + ππ π‘ ππ kontinu pada πΈ,
maka fungsi vektor (πΉ β πΊ) kontinu pada π·.
Bukti :
1. Diberikan ν > 0, akan ditunjukan terdapat suatu πΏ > 0 sehingga
0 < π‘ β π < πΏ β πΉ πΊ π‘ β πΉ(π) < ν. diketahui πΉ kontinu di π,
maka βπΏ1 > 0 β 0 < π’ β π < πΏ1 βΉ πΉ π’ β πΉ(π) < ν. Dari
ππππ‘βπ π(π‘) = π diperoleh bahwa untuk πΏ1 > 0 terdapat π > 0 sehingga
0 < π‘ β π < π β π π‘ β π < πΏ1. Ambil πΏ = π, maka 0 < π‘ β π <
20
πΏ = π β π π‘ β π < πΏ1 β π’ β π < πΏ1 β πΉ π’ β πΉ(π) < ν β
πΉ π π‘ β πΉ(π) < ν.
Jadi terbuktilah yang diinginkan
2. Sama seperti bukti rumus pertama dan diserahkan pada pembaca.
Contoh :
Diketahui fungsi vektor πΉ adalah
πΉ π‘ = ln(1 + π‘2)
π‘π +
π2π‘β1
π‘π β
sinh π‘
π‘π, π‘ β 0
2π β π, π‘ = 0
Tentukan semua nilai π‘ sehingga fungsi πΉ kontinu.
Penyelesaian :
Komponen fungsi vektor πΉ adalah
π₯ π‘ = ln(1 + π‘2)
π‘, π‘ β 0
0, π‘ = 0
; π¦ π‘ = π2π‘β1
π‘, π‘ β 0
2, π‘ = 0
, π§ π‘ = βsinh π‘
π‘, π‘ β 0
β1, π‘ = 0
Karena setiap komponen fungsi πΉ terdefinisi pada β, maka πΉ terdefinisi pada
β.
Sekarang selidiki kekontinuan setiap komponen fungsi πΉ pada β.
Fungsi π₯ = π₯(π‘);
Untuk π‘ β 0, π₯ = π₯(π‘) kontinu karena merupakan hasil bagi dari dua fungsi
kontinu.
Untuk π‘ = 0, karena
ππππ‘βπ
π₯(π‘) = ππππ‘βπ
ππ(1 + π‘2)
π‘= πππ
π‘β0
2π‘1 + π‘2
1= 0 = π₯(0)
Maka fungsi π₯ = π₯(π‘) juga kontinu di π‘ = 0. Dari kedua hasil diatas diperoleh
bahwa π₯ = π₯(π‘) kontinu pada β.
Fungsi π¦ = π¦(π‘)
Untuk π‘ β 0, π¦ = π¦(π‘) kontinu karena merupakan hasil bagi dari dua fungsi
kontinu.
Untuk π‘ = 0, karena
ππππ‘βπ
π¦(π‘) = ππππ‘β0
π2π‘β1
π‘= πππ
π‘β0
2ππ‘
1= 2 = π¦(0)
21
Maka fungsi π¦ = π¦(π‘) juga kontinu di π‘ = 0. Dari kedua hasil diatas
diperoleh bahwa π¦ = π¦(π‘) kontinu pada β.
Fungsi π§ = π§(π‘)
Untuk π‘ β 0, π§ = π§(π‘) kontinu karena merupakan hasil bagi dari dua fungsi
kontinu.
Untuk π‘ = 0, karena
ππππ‘βπ
π§(π‘) = ππππ‘β0
β π πππ π‘
π‘= πππ
π‘β0
β πππ π π‘
1= β1 = π§(0)
Maka fungsi π§ = π§(π‘) juga kontinu di π‘ = 0. Dari kedua hasil diatas diperoleh
bahwa π§ = π§(π‘) kontinu pada β
Karena π₯ = π₯(π‘), π¦ = π¦(π‘), π§ = π§(π‘) semuanya kontinu pada β, maka fungsi
πΉ juga kontinu pada β.
22
BAB III
PENUTUP
A. KESIMPULAN
Konsep fungsi vektor dan operasinya ternyata serupa dengan fungsi
real dalam kalkulus dan secara umum fungsi vektor dikenal dengan fungsi
parameter yakni fungsi bernilai vektor dengan peubah real. Operasi yang
dapat dilakukan pada fungsi vektor adalah fungsi aljabar, dan operasi
perkalian antara fungsi real dengan fungsi vektor. Demikian juga konsep limit
dan kekontinuan fungsi vektor yang didefinisikan dengan memanfaatkan
konsep limit dan kekontinuan fungsi real.
B. SARAN
Konsep fungsi vektor, operasi vektor, limit dan kekontinuan harus
benar-benar dipahami karena mendasari pemahaman pembelajaran materi
selanjutnya. Agar lebih mudah dalam memahami konsep-konsep tersebut,
disarankan untuk terlebih dahulu memahami konsep fungsi, limit dan
kekontinuan fungsi real serta materi pendukung lainnya dalam mata kuliah
kalkulus 1 dan 2.
23
SOAL LATIHAN
1. Dipunyai fungsi vektor πΉ π‘ = π‘ + 1 π + π‘3 + 1 π,π‘ β β.
Jika π₯ = π‘ + 1 dan π¦ = π‘3 + 1. Tentukan persamaan koordinatnya!
2. Dipunyai fungsi vektor πΉ π‘ = (4 cos π‘)π + ( 3 sin π‘)π, π‘ π (0, 2π)
Jika π₯ = 4 cos π‘ dan π¦ = 3 sin π‘. Tentukan persamaan koordinatnya!
3. Hitunglah limπ‘β0π ππ2π‘
π ππ π‘ 2 .
4. Tunjukkan bahwa
lim π₯ ,π¦ β(0,0)
π₯π¦
π₯2 + π¦2= 0.
5. Dipunyai fungsi vektor πΉ π‘ = sinβ1 π‘ π + cosβ1 π‘ π + πβπ‘π.
Selidiki kekontinuan fungsi πΉ pada daerah definisinya.
6. Dipunyai fungsi vektor πΉ π‘ = sinβ1(2π‘ + 3) π +tan β1 π‘
π‘β1π.
Selidiki kekontinuan fungsi πΉ pada daerah definisinya.
24
DAFTAR PUSTAKA
Berkey, D. Dennis.1988.Calculus, 2nd Edition. New York : Sounders College
Publishing
Chotim, Moch.2008.Kalkulus 1. Semarang: Universitas Negeri Semarang.
Martono, K.1992.Kalkulus Lanjut 1. Bandung : Institut Teknologi Bandung.
Purcell, E & Varberg, D.1987.Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 1. Terjemahan I
Nyoman Susilo, Bana Kartasasmita, dan Rawuh. Jakarta : Penerbit Erlangga.
Purcell, E & Varberg, D.1987.Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 2. Terjemahan I
Nyoman Susilo, Bana Kartasasmita, dan Rawuh. Jakarta : Penerbit Erlangga.