Operasi Limit Dan Kekontinuan Fungsi Vektor

24
MAKALAH OPERASI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN FUNGSI VEKTOR Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Kalkulus Lanjut I Dosen Pengampu : Dra. Emi Puji Astuti Disusun oleh: Wahyu Nugroho S. (4101409007) Gilang Muhammad Bintang (4101409078) Gilang Anjar Permatasari (4101409083) Suryati (4101409088) Setiasih Alfindah (4101409096) Fenti Nugraheni (4101409100) JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2010

description

menjelaskan tentang pengoperasian fungsi vektor beserta kekontinuannya

Transcript of Operasi Limit Dan Kekontinuan Fungsi Vektor

Page 1: Operasi Limit Dan Kekontinuan Fungsi Vektor

MAKALAH

OPERASI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN

FUNGSI VEKTOR

Disusun Untuk Memenuhi Tugas

Mata Kuliah Kalkulus Lanjut I

Dosen Pengampu : Dra. Emi Puji Astuti

Disusun oleh:

Wahyu Nugroho S. (4101409007)

Gilang Muhammad Bintang (4101409078)

Gilang Anjar Permatasari (4101409083)

Suryati (4101409088)

Setiasih Alfindah (4101409096)

Fenti Nugraheni (4101409100)

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

2010

Page 2: Operasi Limit Dan Kekontinuan Fungsi Vektor

2

BAB I

PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG

Pemahaman tentang pengertian dan konsep-konsep fungsi vektor,

operasi-operasi vektor, limit dan kekontinuan fungsi vektor sangat penting

untuk dipelajari, karena akan mendasari pembelajaran lain seperti

keterdifferensialan dan integral fungsi vektor beserta sifat-sifatnya serta

penggunaan konsep kalkulus differensial fungsi vektor.

B. RUMUSAN MASALAH

1. Apa pengertian fungsi vektor dan konsep-konsepnya?

2. Bagaimana operasi aljabar pada fungsi vektor?

3. Apa pengertian limit dan kekontinuan fungsi vektor beserta sifat-sifatnya?

C. TUJUAN PENULISAN

1. Memenuhi tugas kalkulus lanjut 1.

2. Sebagai bahan pembelajaran dan referensi.

Page 3: Operasi Limit Dan Kekontinuan Fungsi Vektor

3

BAB II

ISI

A. FUNGSI VEKTOR BESERTA OPERASINYA

Suatu kurva di bidang datar dapat kita tampilkan sebagai fungsi real baik

eksplisit maupun implisit. Tetapi banyak ilustrasi yang tidak dapat terlihat dalam

penampilan ini. Sebagai contoh: aturan lingkaran π‘₯2 + 𝑦2 = π‘Ÿ2, π‘Ÿ > 0, belum

memperlihatkan apakah setiap titik pada lintasannya dijalani tepat satu kali,

apakah lintasannya dijalani searah atau berlawanan arah dengan putaran jarum

jam serta di manakah titik pangkal dan titik ujung dari lintasannya. Bila lingkaran

tersebut ditampilkan dalam bentuk :

𝐹 𝑑 = π‘Ÿ π‘π‘œπ‘  𝑑 𝑖 + π‘Ÿ 𝑠𝑖𝑛 𝑑 𝑗 , π‘Ÿ > 0, 0 𝑑 2

dimana 𝑑 parameter dan 𝑖, 𝑗 adalah vektor basis untuk ℝ2 terlihat bahwa

lintasannya dimulai dari titik pangkal (π‘Ÿ, 0) dan berakhir di titik (π‘Ÿ, 0) serta setiap

titik dijalani tepat satu kali kecuali titik pangkal dan titik ujung dengan orientasi

berlawanan arah dengan jarum jam.

Misalkan π‘₯ = π‘₯(𝑑) = π‘Ÿ π‘π‘œπ‘  𝑑; π‘Ÿ > 0 , 0 𝑑 2

𝑦 = 𝑦(𝑑) = π‘Ÿ 𝑠𝑖𝑛 𝑑; π‘Ÿ > 0 , 0 𝑑 2

dengan mensubtitusi 𝑑 dari kedua persamaan ini diperoleh

π‘₯2 + 𝑦2 = (π‘Ÿ cos 𝑑)2 + (π‘Ÿ sin 𝑑)2 = π‘Ÿ2, π‘Ÿ > 0

yang merupakan persamaan lingkaran. Penampilan lingkaran sebagai suatu fungsi

vektor di bidang tidak tunggal, beberapa bentuk lain adalah

𝐹(𝑑) = (π‘Ÿ π‘π‘œπ‘  2𝑑) 𝑖 + (π‘Ÿ 𝑠𝑖𝑛 2𝑑)𝑗, π‘Ÿ > 0, 0 𝑑

𝐹(𝑑) = (π‘Ÿ π‘π‘œπ‘  𝑑) 𝑖 βˆ’ (π‘Ÿ 𝑠𝑖𝑛 𝑑)𝑗, π‘Ÿ > 0, 0 𝑑 2

Dengan mengeliminasi 𝑑 dari setiap persamaan terakhir, kita akan memperoleh

lingkaran π‘₯2 + 𝑦2 = π‘Ÿ2. Terlihat bahwa penampilan suatu kurva bidang

sebagai fungsi vektor dapat memperlihatkan arah gerakan dan berapa kali

lengkungan tersebut dijalani. Kelemahannya adalah penampilan suatu kurva dapat

dibuat dengan lebih dari satu cara.

1. Fungsi Vektor di Bidang dan Ruang

Grafik fungsi vektor di dalam ruang dan bidang dinamakan kurva

bidang di bidang dan ruang. Kurva ini dapat didefinisikan sebagai berikut:

Page 4: Operasi Limit Dan Kekontinuan Fungsi Vektor

4

Definisi 1.1.1

1. Misalkan fungsi π‘₯ = π‘₯(𝑑) dan 𝑦 = 𝑦(𝑑) terdefinisi pada himpunan

𝐷 βŠ† ℝ dengan 𝑑 parameter. Fungsi 𝐹: 𝐷 β†’ ℝ2.

𝐹(𝑑) = π‘₯(𝑑)𝑖 + 𝑦(𝑑)𝑗

dimana (𝑖, 𝑗) basis baku untuk ℝ2 dinamakn fungsi vektor bidang.

2. Misalkan fungsi π‘₯ = π‘₯(𝑑), 𝑦 = 𝑦(𝑑) dan 𝑧 = 𝑧(𝑑) terdefinisi pada

himpunan 𝐷 βŠ† ℝ dengan t parameter. Fungsi 𝐹: 𝐷 β†’ ℝ3.

𝐹(𝑑) = π‘₯(𝑑)𝑖 + 𝑦(𝑑)𝑗 + 𝑧(𝑑)π‘˜

dimana (𝑖, 𝑗, π‘˜) basis baku untuk ℝ3. dinamakan fungsi vektor di ruang.

Diagram panah dari definisi 1.1.1 diperlihatkan pada Gb.1 dan Gb.2 di

bawah.

Catatan :

1. Bila diketahui kurva 𝐢 sebagai fungsi vektor di ℝ2 atau ℝ3, arah dan

berapa kali kurva dijalani sudah tertentu.

2. Bila diketahui kurva 𝐢 dalam kartesius, arah dan berapa kali dijalani

belum diketahui.

3. Fungsi vektor di bidang memuat pengertian 𝑦 sebagai fungsi implisit dari

π‘₯. fungsi vektor di ruang peubah π‘₯, 𝑦, 𝑧 terlibat, peubah yang satu

merupakan fungsi implisit dari peubah lainnya.

4. Fungsi vektor sering kali dinamakan fungsi parameter. Istilah yang

lengkap adalah fungsi bernilai vektor dengan peubah real

Contoh 1.1 :

Diketahui fungsi vektor di bidang

𝐹 𝑑 = 𝑑 βˆ’ 1 𝑖 + 𝑑2 βˆ’ 1 𝑗, βˆ’2 ≀ 𝑑 ≀ 2

a. Jika π‘₯ = 𝑑 βˆ’ 1 dan 𝑦 = 𝑑2 βˆ’ 1, nyatakan 𝑦 secara eksplisit sebagai

fungsi dari π‘₯.

Page 5: Operasi Limit Dan Kekontinuan Fungsi Vektor

5

b. Gambarkan grafik fungsi 𝐹 di bidang XOY sebagai kurva 𝐢.

Penyelesaian:

a. Mengeliminasi 𝑑 dari persamaan yang diberikan. Dari π‘₯ = 𝑑– 1

diperoleh 𝑑 = π‘₯ + 1 yang bila digantikan ke persamaan 𝑦 = 𝑑2 βˆ’ 1

menghasilkan

𝑦 = (π‘₯ + 1)2 βˆ’ 1 = π‘₯2 + 2π‘₯

karena βˆ’2 ≀ 𝑑 ≀ 2 maka βˆ’3 ≀ 𝑑 βˆ’ 1 ≀ 1, sehingga βˆ’3 ≀ π‘₯ ≀ 1.

jadi fungsi parameter 𝐹 dapat ditampilkan sebagai

𝑦 = π‘₯2 + 2π‘₯, βˆ’3 ≀ π‘₯ ≀ 1

b. Perhatikan bahwa disini arah kurva 𝐢 adalah dari titik pangkal

(βˆ’3,3) ke titik ujung (1,3) dengan setiap titik pada kurva dijalani

satu kali. Kurva 𝐢 yang berbentuk parabola diperlihatkan pada

gambar di bawah ini:

Jelas 𝑦 = π‘₯2 + 2π‘₯, βˆ’3 ≀ π‘₯ ≀ 1, dan 𝐹 𝑑 = 𝑑 βˆ’ 1 𝑖 +

𝑑2 βˆ’ 1 𝑗, βˆ’2 ≀ 𝑑 ≀ 2.

Jelas gambar grafik 𝑦 atau fungsi 𝐹(𝑑) mempunyai titik pangkal di

(βˆ’3,3), ini bisa dihitung dengan menggunakan 𝑦 = π‘₯2 + 2π‘₯, dengan

cara memasukkan π‘₯ = βˆ’3 sehingga diperoleh 𝑦 = (βˆ’3)2 +

2 βˆ’3 = 9 βˆ’ 6 = 3. Juga bisa dihitung dengan menggunakan

𝑑 = βˆ’2, sehingga diperoleh π‘₯ = βˆ’2 βˆ’ 1 = βˆ’3 dan 𝑦 = (βˆ’2)2 βˆ’

1 = 3. Dan cara yang sama kita dapat mencari titik ujung kurva,

sehngga di dapat titik ujung kurva (1,3). Jelas disini arahnya

berlawanan dengan jarum jam.

Page 6: Operasi Limit Dan Kekontinuan Fungsi Vektor

6

Titik potong dengan sumbu π‘₯

0 = π‘₯2 + 2π‘₯

0 = π‘₯(π‘₯ + 2)

π‘₯1 = 0; π‘₯2 = βˆ’2

Titik potong dengan sumbu 𝑦

𝑦 = 02 + 2.0

𝑦 = 0

Koordinat titik balik (βˆ’1, βˆ’1)

π‘₯ =βˆ’π‘

2π‘Ž=

βˆ’2

2 βˆ™ 1= βˆ’1

𝑦 = (βˆ’1)2 + 2(βˆ’1) = 1 βˆ’ 2 = βˆ’1

Contoh 1.2

Nyatakan lingkaran yang berpusat di titik (0,0,0), berjari-jari 4 satuan

dan terletak pada bidang 𝑦 =1

3 3π‘₯ sebagai suatu fungsi vektor di ruang.

Penyelesaian:

Perhatikan gambar di bawah ini yang memperlihatkan lingkaran berpusat

di titik (0,0,0), berjari-jari 4 satuan dan terletak pada bidang Ξ“ : 𝑦 =

1

3 3π‘₯.

Page 7: Operasi Limit Dan Kekontinuan Fungsi Vektor

7

Cara pertama

Lingkaran berpusat di (0,0,0) dengan jari-jari 4, terletak pada bidang Ξ“:

𝑦 =1

3 3π‘₯. Jelas 𝑦 =

1

3 3π‘₯ ⇔

𝑦

π‘₯=

3

3⟢ βˆ π‘‹π‘‚π‘„ =

πœ‹

6.

Kita dapatkan gambar sketsanya seperti pada gambar 4.

Mencari π‘₯

Perhatikan persegi panjang OQPZ,

(OQPZ persegi panjang karena 𝑂𝑍 βŠ₯ 𝑂𝑋 dan 𝑂𝑍 βŠ₯ π‘‚π‘Œ sehingga

OQPZ tegak lurus dengan semua garis yang ada di bidang OXQY

termasuk OQ).

βˆ π‘ƒπ‘‚π‘ = 𝑑

Jelas 𝑂𝑄 = 𝑂𝑃 sin 𝑑 = 4 sin 𝑑

Perhatikan persegi panjang OXQY

Didapat π‘₯ = 𝑂𝑄 βˆ™ cosπœ‹

6= 4 βˆ™ sin 𝑑 βˆ™

1

2 3 = 2 3 sin 𝑑.

Mencari 𝑦

Perhatikan bidang OQPZ

Jelas 𝑂𝑄 = 4 sin 𝑑

Perhatikan bidang OXQY

Didapat 𝑦 = 𝑂𝑄 βˆ™ sinπœ‹

6= 4 βˆ™ sin 𝑑 βˆ™

1

2= 2 sin 𝑑.

Mencari 𝑧

Perhatikan bidang ZOQP

𝑂𝑍 = 𝑂𝑃 cos 𝑑 = 4 cos 𝑑.

Dari perhitungkan di atas kita peroleh π‘₯ = 2 3 sin 𝑑, 𝑦 =

2 sin 𝑑 , dan 𝑧 = 4 cos 𝑑 disubstitusikan ke persamaan umum

𝐹(𝑑) = π‘₯𝑖 + 𝑦𝑗 + π‘§π‘˜, didapat persamaan vektornya:

𝐹 𝑑 = (2 3 sin 𝑑) 𝑖 + (2 sin 𝑑) 𝑗 + (4 cos 𝑑) π‘˜, 0 ≀ 𝑑 ≀ 2πœ‹.

Cara kedua

Lingkaran di ruang berarti berbentuk bola dengan persamaan π‘₯2 + 𝑦2 +

𝑧2 = 16 dan 𝑦 =1

3 3π‘₯.

Perhatikan persegi panjang OZPQ

𝑂𝑄 = 𝑂𝑃 sin 𝑑 = 4 sin 𝑑.

Perhatikan persegi panjang OXQY

π‘‚π‘Œ = 𝑦 = 𝑂𝑄 βˆ™ sinπœ‹

6= 4 sin 𝑑 βˆ™

1

2= 2 sin 𝑑.

Page 8: Operasi Limit Dan Kekontinuan Fungsi Vektor

8

Ambil 𝑦 = 2 sin 𝑑.

π‘₯ =3

3𝑦 =

3

32 sin 𝑑 = 2 3 sin 𝑑.

π‘₯2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 16.

(2 3 sin 𝑑)2 + (2 sin 𝑑)2 + 𝑧2 = 16.

12 𝑠𝑖𝑛2𝑑 + 4 𝑠𝑖𝑛2𝑑 + 𝑧2 = 16 ⇔ 16 𝑠𝑖𝑛2𝑑 + 𝑧2 = 16.

𝑧2 = 16 βˆ’ 16 𝑠𝑖𝑛2𝑑 = 16 1 βˆ’ 𝑠𝑖𝑛2𝑑 = 16 π‘π‘œπ‘ 2𝑑.

𝑧 = 4 cos 𝑑.

Jadi 𝐹 𝑑 = (2 3 sin 𝑑) 𝑖 + (2 sin 𝑑) 𝑗 + (4 cos 𝑑) π‘˜, 0 ≀ 𝑑 ≀ 2πœ‹

Jadi suatu fungsi vektor untuk kurva ruang ini adalah :

𝐹 𝑑 = (2 3 sin 𝑑) 𝑖 + (2 sin 𝑑) 𝑗 + (4 cos 𝑑) π‘˜, 0 ≀ 𝑑 ≀ 2πœ‹.

Cara ketiga

Perhatikan kembali Gb.4, perpotongan antara bidang Ξ“: 𝑦 =1

3 3 π‘₯

dengan bidang XOY adalah garis lurus

𝑔: 𝑦 =1

3 3π‘₯

𝑧 = 0

Garis lurus ini dan bidang r yang memuat lingkaran L memperlihatkan

pada Gb.5 dan Gb.6.

Misalkan u adalah vektor satuan sepanjang garis g, maka vektor u dapat

dinyatakan sebagai kombinasi linear dari i dan j, yaitu

𝑒 =1

2 3 𝑖 +

1

2 𝑗

Page 9: Operasi Limit Dan Kekontinuan Fungsi Vektor

9

Suatu fungsi vektor untuk persamaan lingkaran L yang terletak pada

bidang r adalah

𝐹 𝑑 = (4 sin 𝑑)𝑒 + (4 cos 𝑑)π‘˜ = (4 sin 𝑑) 1

2 3𝑖 +

1

2𝑗 + (4 cos 𝑑)π‘˜

= (2 3 sin 𝑑)𝑖 + (2 sin 𝑑)𝑗 + (4 cos 𝑑)π‘˜, 0 ≀ 𝑑 ≀ 2πœ‹

Perhatikan bahwa cara ini memberikan hasil yang sama.

2. Operasi Pada Fungsi Vektor

Kita telah mempelajari bahwa kurva bidang dan ruang dapat

ditampilkan sebagai fungsi vektor di ℝ2 dan ℝ3. Selanjutnya, kita

mendefinisikan fungsi vektor di ℝ𝑛 sebagai berikut.

Definisi 1. 1. 2

Misalkan π‘₯1 = π‘₯1 𝑑 ; π‘₯2 = π‘₯2 𝑑 , … , π‘₯𝑛 = π‘₯𝑛(𝑑) terdefinisi pada himpunan

𝐷 βŠ† ℝ dengan 𝑑 parameter dan 𝑒1, 𝑒2, … , 𝑒𝑛 adalah basis baku untuk ℝ𝑛

Fungsi 𝐹: 𝐷 β†’ ℝ𝑛 ,

𝐹 𝑑 = π‘₯1 𝑑 𝑒1 + π‘₯2 𝑑 𝑒2 + β‹― + π‘₯𝑛 𝑑 𝑒𝑛 = π‘₯𝑖(𝑑)𝑒𝑖

𝑛

𝑖=1

Dinamakan fungsi vektor di ℝ𝑛 . Grafik fungsi ini dinamakan kurva di ℝ𝑛 .

Diagram panah untuk fungsi ini diperlihatkan pada gambar berikut ini.

Definisi 1. 1. 3

Misalkan 𝐷, 𝐸 βŠ† ℝ, 𝐹: 𝐷 β†’ ℝ𝑛 dan 𝐺: 𝐸 β†’ ℝ𝑛 adalah fungsi vektor di ℝ𝑛

Fungsi 𝐹 dikatakan sama (ekivalen) dengan 𝐺 jika 𝐹 dan 𝐺 menjalani 𝐢 dalam

jumlah yang sama dan dengan arah yang sama dari titik pangkal dan titik

ujung yang sama pula.

Page 10: Operasi Limit Dan Kekontinuan Fungsi Vektor

10

Bila kita mempunyai dua vektor di ℝ𝑛 , maka operasi aljabar yang dapat

dilakukan padanya ialah penjumlahan, pengurangan, perkalian dengan skalar,

perkalian skalar, dan khusus untuk 𝑛 = 3 perkalian silang vektor.

Berikut ini adalah definisi dari semua operasi pada fungsi vektor tersebut.

Definisi 1. 1. 4

A. Operasi Aljabar pada Fungsi Vektor di ℝ𝑛 .

Misalkan 𝐹, 𝐺: 𝐷 β†’ ℝ𝑛 , 𝐷 βŠ† ℝ;

𝐹 𝑑 = 𝑓𝑖 𝑑 𝑒1

𝑛

𝑖=1

dan 𝐺 𝑑 = 𝑔𝑖(𝑑)𝑒𝑖

𝑛

𝑖=1

Adalah fungsi vektor di ℝ𝑛 Penjumlahan, pengurangan, perkalian dengan

skalar dan perkalian skalar dari 𝐹 dan 𝐺, ditulis:

𝐹 + 𝐺, 𝐹 – 𝐺, 𝑐𝐹, 𝑐 konstanta real dan 𝐹. 𝐺.

didefinisikan sebagai berikut.

Penjumlahan : 𝐹 + 𝐺 𝑑 = 𝐹 𝑑 + 𝐺 𝑑 = 𝑓𝑖 𝑑 + 𝑔𝑖(𝑑) 𝑒1

𝑛

𝑖=1

Pengurangan : 𝐹 βˆ’ 𝐺 𝑑 = 𝐹 𝑑 βˆ’ 𝐺(𝑑) = 𝑓𝑖 𝑑 βˆ’ 𝑔𝑖(𝑑) 𝑒1

𝑛

𝑖=1

Perkalian dengan skalar : (𝑐𝐹) 𝑑 = 𝑐𝐹 𝑑 = 𝑐𝑓𝑖(𝑑) 𝑒𝑖

𝑛

𝑖=1

Perkalian skalar : 𝐹. 𝐺 𝑑 = 𝐹(𝑑) . 𝐺 𝑑 = [𝑓𝑖 𝑑 . 𝑔𝑖 𝑑 ] βˆˆβ„

𝑛

𝑖=1

B. Perkalian Silang Dua Fungsi Vektor di ℝ3.

Jika 𝐹 𝑑 = 𝑓1 𝑑 𝑖 + 𝑓2 𝑑 𝑗 + 𝑓3 𝑑 π‘˜, 𝑑 ∈ 𝐷 ∈ ℝ dan 𝐺 𝑑 = 𝑔1 𝑑 𝑖 +

𝑔2 𝑑 𝑗 + 𝑔3 𝑑 π‘˜, 𝑑 ∈ 𝐷 ∈ ℝ maka perkalian silang (vektor) dari 𝐹 dan 𝐺,

ditulis 𝐹 Γ— 𝐺 didefinisikan sebagai vektor:

𝐹 Γ— 𝐺 =

𝑖 𝑗 π‘˜π‘“1(𝑑) 𝑓2(𝑑) 𝑓3(𝑑)𝑔1(𝑑) 𝑔2(𝑑) 𝑔3(𝑑)

= 𝑓2(𝑑) 𝑓3(𝑑)𝑔2(𝑑) 𝑔3(𝑑)

𝑖 βˆ’ 𝑓1(𝑑) 𝑓3(𝑑)𝑔1(𝑑) 𝑔3(𝑑)

𝑗

+ 𝑓1(𝑑) 𝑓2(𝑑)𝑔1(𝑑) 𝑔2(𝑑)

π‘˜

C. Komposisi Fungsi Real dengan Fungsi Vektor.

Page 11: Operasi Limit Dan Kekontinuan Fungsi Vektor

11

Misalkan 𝐷, 𝐸 βŠ† ℝ; 𝑔: 𝐷 β†’ ℝ, π‘₯ = 𝑔(𝑑) fungsi real dengan ℝ𝑔 =

𝑔 𝐷 βŠ† 𝐸 dan 𝐹: 𝐸 β†’ ℝ𝑛 , 𝐹 𝑑 = 𝑓𝑖(𝑑)𝑒𝑖𝑛𝑖=1 fungsi vektor di ℝ𝑛 .

Komposisi dari 𝐹 dan 𝑔, ditulis gF , didefinisikan sebagai:

𝐹 ∘ 𝑔 𝑑 = 𝐹 𝑔 𝑑 = 𝑓𝑖[𝑔 𝑑 ]𝑒𝑖

𝑛

𝑖=1

Situasi definisi ini diperlihatkan pada gambar berikut ini:

D. Operasi Perkalian Fungsi Real dengan Fungsi Vektor.

Misalkan 𝐷 βŠ† ℝ, 𝑔: 𝐷 β†’ ℝ, π‘₯ = 𝑔 𝑑 fungsi real dan 𝐹: 𝐷 β†’ ℝ𝑛 , 𝐹 𝑑 =

𝑓𝑖(𝑑)𝑒𝑖𝑛𝑖=1 fungsi vektor di ℝ𝑛 . Perkalian antara 𝑔 dengan 𝐹, ditulis 𝑔𝐹,

didefinisikan sebagai:

𝑔𝐹 𝑑 = 𝑔 𝑑 . 𝑓𝑖 𝑑 𝑒𝑖 , 𝑑 ∈ 𝐷 βŠ† ℝ

𝑛

𝑖=1

Contoh:

Diketahui fungsi

𝐹 𝑑 = sin 𝑑 𝑖 + cos 𝑑 𝑗 + π‘‘π‘˜, 𝑑 ∈ 𝑅

𝐺 𝑑 = cos 𝑑 𝑖 βˆ’ sin 𝑑 𝑗 + π‘’βˆ’π‘‘ , 𝑑 ∈ ℝ

𝑔 𝑑 = 𝑒𝑑 , 𝑑 ∈ ℝ

Tentukan fungsi 𝐹 + 𝐺, 𝐹 βˆ’ 𝐺, 𝐹 βˆ™ 𝐺, 𝐹 Γ— 𝐺, 𝐹°𝐺, 𝐺°𝑔, 𝑔𝐹 π‘‘π‘Žπ‘› 𝑔𝐺.

Page 12: Operasi Limit Dan Kekontinuan Fungsi Vektor

12

Penyelesaian:

Berdasarkan Definisi 1.1.4 diperoleh hasil berikut.

𝐹 + 𝐺 𝑑 = (cos 𝑑 + sin 𝑑)𝑖 + cos 𝑑 βˆ’ sin 𝑑 𝑗 + 𝑑 + π‘’βˆ’π‘‘ π‘˜

𝐹 βˆ’ 𝐺 𝑑 = sin 𝑑 βˆ’ cos 𝑑 𝑖 + sin 𝑑 + cos 𝑑 𝑗 + 𝑑 βˆ’ π‘’βˆ’π‘‘ π‘˜

𝐹 βˆ™ 𝐺 𝑑 = sin 𝑑 cos 𝑑 βˆ’ cos 𝑑 sin 𝑑 + π‘‘π‘’βˆ’π‘‘

𝐹 Γ— 𝐺 𝑑 = 𝑖 𝑗 π‘˜

sin 𝑑 cos 𝑑 𝑑cos 𝑑 βˆ’ sin 𝑑 π‘’βˆ’π‘‘

= cos 𝑑 𝑑

βˆ’ sin 𝑑 π‘’βˆ’π‘‘ 𝑖 βˆ’ sin 𝑑 𝑑cos 𝑑 π‘’βˆ’π‘‘ 𝑗 βˆ’

sin 𝑑 cos 𝑑cos 𝑑 βˆ’ sin 𝑑

π‘˜

= (π‘’βˆ’π‘‘ cos 𝑑 + 𝑑 sin 𝑑)𝑖 βˆ’ (π‘’βˆ’π‘‘ sin 𝑑 βˆ’ 𝑑 cos 𝑑)𝑗 βˆ’ π‘˜

𝐹 ∘ 𝑔 𝑑 = 𝐹 𝑔 𝑑 = 𝐹 𝑒𝑑 = (sin 𝑒𝑑)𝑖 + (cos 𝑒𝑑)𝑗 + π‘’π‘‘π‘˜

𝐺 ∘ 𝑔 𝑑 = 𝐺 𝑔 𝑑 = 𝐺 𝑒𝑑 = (cos 𝑒𝑑)𝑖 + 𝑠𝑖𝑛 𝑒𝑑 𝑗 + π‘’βˆ’π‘’ π‘‘π‘˜

𝑔𝐹 𝑑 = 𝑔 𝑑 𝐹 𝑑 = (𝑒𝑑 sin 𝑑)𝑖 + (𝑒𝑑 cos 𝑑)𝑗 + π‘‘π‘’π‘‘π‘˜

𝑔𝐺 𝑑 = 𝑔 𝑑 𝐺 𝑑 = (𝑒𝑑 cos 𝑑)𝑖 βˆ’ (𝑒𝑑 sin 𝑑)𝑗 + π‘˜

B. LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI

Sebelum membahas limit fungsi vektor, kita perlu mengingat kembali

konsep limit fungsi real sebagai dasar atau analogi untuk mendefinisikan limit

fungsi vektor. Denifisi formal limit fungsi real adalah :

Dipunyai fungsi 𝑓 terdefinisi pada selang 𝐼 yang memuat π‘Ž kecuali mungkin

di π‘Ž sendiri. Limit fungsi 𝑓(π‘₯) bernilai 𝐿 untuk π‘₯ mendekati π‘Ž ditulis

limπ‘₯β†’π‘Ž

𝑓 π‘₯ = 𝐿

Jika dan hanya jikaβˆ€νœ€ > 0βˆƒπ›Ώ > 0 βˆ‹ 𝑓 π‘₯ βˆ’ 𝐿 < νœ€ apabila 0 < π‘₯ βˆ’ π‘Ž < 𝛿

Page 13: Operasi Limit Dan Kekontinuan Fungsi Vektor

13

Pada grafik di atas terlihat bahwa nilai 𝑓(π‘₯) dapat dibuat sebarang dekat ke

𝐿 dengan cara mengambil nilai π‘₯ yang cukup dekat dengan π‘Ž. Dengan kata lain,

jarak 𝑓(π‘₯) ke L dapat dibuat sebarang kecil dengan cara mengambil jarak x ke π‘Ž

cukup kecil. Bila ukuran jarak yang digunakan di sini adalah nilai mutlak, maka

diperoleh rancangan konsep limit yang hasilnya seperti di atas.

1. Limit Fungsi Vektor

Konsep limit fungsi vektor di ℝ𝒏 dirancang serupa dengan limit fungsi

real. Namun sebelumnya, perlu diterjemahkan simbol fungsi vektor yang

berbeda dengan simbol fungsi real.

Rumus fungsi vektor di masing-masing ruang dituliskan :

𝑅2: 𝐹(𝑑) = π‘₯ 𝑑 𝑖 + 𝑦(𝑑)𝑗

𝑅3: 𝐹 𝑑 = π‘₯ 𝑑 + 𝑦 𝑑 𝑗 + 𝑧(𝑑)π‘˜

𝑅4: 𝐹 𝑑 = π‘₯1 𝑑 𝑒1 + π‘₯2 𝑑 𝑒2 + π‘₯3 𝑑 𝑒3 + π‘₯4(𝑑)𝑒4

𝑅𝑛 : 𝐹 𝑑 = π‘₯1 𝑑 𝑒1 + π‘₯2 𝑑 𝑒2 + β‹― + π‘₯𝑛(𝑑)𝑒𝑛

𝐹 𝑑 = π‘₯𝑖 𝑑 𝑒𝑖

𝑛

𝑖=1

Dimana disepakati bahwa 𝐹(𝑑) : Komponen fungsi vektor.

π‘₯𝑖(𝑑)𝑒𝑖 : Fungsi vektor pada satu arah

dengan π‘₯ melambangkan fungsi,

𝑑 sebagai variabel (pengganti π‘₯

pada fungsi real) dan 𝑒

menyatakan arah vektor (vektor

satuan).

Namun demikian dalam makalah ini simbol π‘₯1 , π‘₯2, … , π‘₯𝑛 digantikan

𝑓1, 𝑓2 , … , 𝑓𝑛 . Sehingga 𝐹 𝑑 = 𝑓1 𝑑 𝑒1 + 𝑓2 𝑑 𝑒2 + β‹― + 𝑓𝑛(𝑑)𝑒𝑛 . Disini kita

menggunakan ukuran jarak dua vektor di ℝ𝑛 sebagai berikut:

Untuk 𝑋 = (π‘₯1, π‘₯2, … , π‘₯𝑛) dan π‘Œ = (𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛)

Maka jarak 𝑋 ke π‘Œ ditulis 𝑋 βˆ’ π‘Œ didefinisikan sebagai:

𝑋 βˆ’ π‘Œ = (π‘₯1 βˆ’ 𝑦1)2 + (π‘₯2 βˆ’ 𝑦2)2 + β‹― + (π‘₯𝑛 βˆ’ 𝑦𝑛)2

Agar limit fungsi vektor 𝐹(𝑑) untuk 𝑑 mendekati π‘Ž dapat dibahas, di

sekitar π‘Ž harus terdapat tak berhingga banyaknya titik dari domain 𝐷𝑓 . Untuk

ini kita mengambil domain 𝐷𝑓 selang terbuka 𝐷 yang memuat π‘Ž kecuali

mungkin di π‘Ž sendiri.

Page 14: Operasi Limit Dan Kekontinuan Fungsi Vektor

14

Situasi yang terjadi adalah jarak 𝐹(𝑑) ke suatu vektor tetap 𝐿 =

(𝑙1, 𝑙2, … , 𝑙𝑛) dapat dibuat sembarang dekat dengan cara membuat jarak 𝑑 ke π‘Ž

cukup dekat. Dengan demikian diperoleh konsep limit fungsi vektor sebagai

berikut:

Definisi 1.2.1

Misalkan fungsi vektor 𝐹(𝑑) = 𝑓1(𝑑) 𝑒1 + 𝑓2(𝑑) 𝑒2 + … + 𝑓𝑛(𝑑) 𝑒𝑛

terdefinisi pada selang terbuka di D yang memuat π‘Ž, kecuali mungkin di π‘Ž

sendiri dan 𝐿 = (𝑙1, 𝑙2, … , 𝑙𝑛) vektor di ℝ𝑛 . Limit fungsi 𝐹 jika t mendekati a

sama dengan L, ditulis π‘™π‘–π‘šπ‘‘β†’π‘Ž 𝐹(𝑑) = 𝐿, jika βˆ€νœ€ > 0βˆƒπ›Ώ > 0 βˆ‹ 0 < 𝑑 βˆ’ π‘Ž <

𝛿 β‡’ 𝐹 𝑑 βˆ’ 𝐿 < νœ€.

Adapun limit sepihak fungsi vektor didefinisikan sebagai berikut:

limπ‘‘β†’π‘Ž+

𝐹(𝑑) = 𝐿 ⟺ βˆ€νœ€ > 0βˆƒπ›Ώ > 0 βˆ‹ 0 < 𝑑 βˆ’ π‘Ž < 𝛿 β‡’ 𝐹 𝑑 βˆ’ 𝐿 < νœ€

limπ‘‘β†’π‘Žβˆ’

𝐹(𝑑) = 𝐿 ⟺ βˆ€νœ€ > 0βˆƒπ›Ώ > 0 βˆ‹ 0 < π‘Ž βˆ’ 𝑑 < 𝛿 β‡’ 𝐹 𝑑 βˆ’ 𝐿 < νœ€

Teorema 1.2.1

Misalkan fungsi vektor 𝑋 = 𝐹(𝑑) terdefinisi pada selang terbuka 𝐼

yang memuat π‘Ž, kecuali mungkin di π‘Ž sendiri. Maka

π‘™π‘–π‘šπ‘‘β†’π‘Ž 𝐹(𝑑) = 𝐿 ⟺ π‘™π‘–π‘šπ‘‘βˆ’π‘Ž 𝐹(𝑑) βˆ’ 𝐿 = 0

Bukti:

Dipunyai π‘™π‘–π‘šπ‘‘β†’π‘Ž 𝐹(𝑑) = 𝐿

Bukti ke kanan :

⟹ βˆ€νœ€ > 0βˆƒπ›Ώ > 0 βˆ‹ 0 < 𝑑 βˆ’ π‘Ž < 𝛿

⟹ 𝐹 𝑑 βˆ’ 𝐿 < νœ€

⟹ 𝐹 𝑑 βˆ’ 𝐿 βˆ’ 0 < νœ€

⟹ limπ‘‘β†’π‘Ž

𝐹 𝑑 βˆ’ 𝐿 = 0

Bukti ke kiri :

⟹ βˆ€Ξ΅ > 0βˆƒπ›Ώ > 0 βˆ‹ 0 < t βˆ’ a < 𝛿

⟹ F t βˆ’ L βˆ’ 0 < νœ€

⟹ F t βˆ’ L < νœ€

Jadi limt→a F(t) = L

Jadi terbukti bahwa teorema di atas benar.

Page 15: Operasi Limit Dan Kekontinuan Fungsi Vektor

15

Teorema 1.2.2

Misalkan fungsi vektor 𝐹(𝑑) = 𝑓1(𝑑) 𝑒1 + 𝑓2(𝑑) 𝑒2 + … + 𝑓𝑛(𝑑) 𝑒𝑛

terdefinisi pada selang terbuka di 𝐷 yang memuat π‘Ž, kecuali mungkin di π‘Ž

sendiri dan 𝐿 = (𝑙1, 𝑙2, … , 𝑙𝑛) suatu vektor di ℝ𝑛 . Maka

limπ‘‘β†’π‘Ž

𝐹 𝑑 = 𝐿 ⟺ limπ‘‘βŸΆπ‘Ž

𝑓𝑖 𝑑 = 𝑙𝑖 , 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛

Bukti :

β‡’ diketahui limπ‘‘β†’π‘Ž

𝐹 𝑑 = 𝐿 ini berarti bahwa

βˆ€νœ€ > 0βˆƒπ›Ώ > 0 βˆ‹ 0 < 𝑑 βˆ’ π‘Ž < 𝛿 β‡’ 𝐹 𝑑 βˆ’ 𝐿 < νœ€

Karena

𝑓𝑖 𝑑 βˆ’ 𝑙𝑖 = [ 𝑓𝑖 𝑑 βˆ’ 𝑙𝑖 2]1/2 ≀ [𝑓𝑖 𝑑 βˆ’ 𝑙𝑖]

2

𝑛

𝑖=1

1/2

= 𝐹 𝑑 βˆ’ 𝐿

Untuk 𝛿 > 0 di atas berlaku

0 < 𝑑 βˆ’ π‘Ž < 𝛿 ⟺ 𝑓𝑖 𝑑 βˆ’ 𝑙𝑖 ≀ 𝐹 𝑑 βˆ’ 𝐿 < νœ€

Sehingga terbuktilah

limπ‘‘β†’π‘Ž

𝑓𝑖 𝑑 = 𝑙𝑖 , 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛

β‡’ diketahui limπ‘‘β†’π‘Ž

𝑓𝑖 𝑑 = 𝑙𝑖 , 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛 dari sini diperoleh

limπ‘‘β†’π‘Ž [𝑓𝑖 𝑑 βˆ’ 𝑙𝑖] = 0, 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛 Sehingga

limπ‘‘β†’π‘Ž

[𝑓𝑖 𝑑 βˆ’ 𝑙𝑖]2 = 0

Akibatnya

limπ‘‘β†’π‘Ž

𝐹 𝑑 βˆ’ 𝐿 = limπ‘‘β†’π‘Ž

[𝑓𝑖 𝑑 βˆ’ 𝑙𝑖]2

𝑛

𝑖=1

1/2

= 0

Menurut Teorema 1.2.1 terbukti limπ‘‘β†’π‘Ž 𝐹 𝑑 = 𝐿.

Teorema 1.2.3

Misalkan fungsi vektor 𝐹(𝑑) = 𝑓1(𝑑) 𝑒1 + 𝑓2(𝑑) 𝑒2 + … + 𝑓𝑛(𝑑) 𝑒𝑛

dan 𝐺(𝑑) = 𝑔1(𝑑) 𝑒1 + 𝑔2(𝑑) 𝑒2 + … + 𝑔𝑛(𝑑) 𝑒𝑛 , dan fungsi real 𝑒 = 𝑔(𝑑)

semua terdefinisi pada selang terbuka 𝐷 yang memuat π‘Ž, kecuali mungkin di

π‘Ž sendiri. Jika π‘™π‘–π‘šπ‘‘β†’π‘Ž 𝐹(𝑑), π‘™π‘–π‘šπ‘‘β†’π‘Ž 𝐺(𝑑) , π‘™π‘–π‘šπ‘‘β†’π‘Ž 𝑔(𝑑) ada dan berhingga,

maka

1. π‘™π‘–π‘šπ‘‘β†’π‘Ž 𝐹(𝑑) tunggal, yaitu jika limπ‘‘β†’π‘Ž 𝑓(𝑑) = 𝑙 dan limπ‘‘β†’π‘Ž 𝑓(𝑑) =

π‘š maka 𝑙 = π‘š.

Bukti :

Page 16: Operasi Limit Dan Kekontinuan Fungsi Vektor

16

Dipunyai limπ‘‘β†’π‘Ž 𝑓(𝑑) = 𝑙 dan limπ‘‘β†’π‘Ž 𝑓(𝑑) = π‘š maka 𝑙 = π‘š.

Ambil sembarang νœ€ > 0.

Pilih Ξ΄1 > 0 dan Ξ΄2 > 0 sehingga

𝐹(𝑑) βˆ’ 𝑙 < νœ€/3 apabila 0 < 𝑑 βˆ’ π‘Ž < 𝛿1 dan

𝐹(𝑑) βˆ’ π‘š < νœ€/3 apabila 0 < 𝑑 βˆ’ π‘Ž < 𝛿2.

Pilih 𝛿 = min(𝛿1, 𝛿2).

Jelas 𝑙 βˆ’ π‘š = 𝑙 βˆ’ 𝐹(𝑑) + 𝐹(𝑑) βˆ’ π‘š ≀ 𝐹 𝑑 βˆ’ 𝑙 + 𝐹 𝑑 βˆ’ π‘š <

νœ€/3 + νœ€/3 < νœ€.

Dengan kata lain terbukti bahwa 𝑙 = π‘š.

2. limt→a F t + G t = limt→a F t + limt→a

G t

Bukti :

Ambil sembarang bilangan νœ€ > 0. Menurut yang diketahui, ada bilangan

𝛿1 > 0 dan 𝛿2 > 0 sehingga

𝐹(𝑑) βˆ’ (π‘₯β€², 𝑦′) = (π‘₯1(𝑑), 𝑦(𝑑)) βˆ’ (π‘₯β€², 𝑦′) < νœ€/3

Untuk setiap 𝑑 ∈ 𝐷𝑓 = 𝐴, 𝑑 β‰  𝑑0 dan 𝑑 βˆ’ 𝑑0 < 𝛿0. Dengan mengambil

𝛿 = min 𝛿1, 𝛿2 diperoleh :

𝐹(𝑑) + 𝑔(𝑑) βˆ’ (π‘₯β€² + π‘₯", 𝑦′ + 𝑦") = π‘₯1(𝑑), 𝑦1(𝑑)) βˆ’ (π‘₯β€², 𝑦′) +

(π‘₯2(𝑑), 𝑦2(𝑑)) βˆ’ (π‘₯", 𝑦") ≀

(π‘₯1(𝑑), 𝑦1(𝑑)) βˆ’ (π‘₯β€², 𝑦′) + (π‘₯2(𝑑), 𝑦2(𝑑)) βˆ’ (π‘₯", 𝑦") <νœ€

3+

νœ€

3< νœ€.

Untuk setiap 𝑑 ∈ 𝐷𝐹+𝐺 = 𝐷𝐹 ∩ 𝐷𝐺 , 𝑑 β‰  𝑑0, dan 𝑑 βˆ’ 𝑑0 < 𝛿

3. limtβ†’a F t βˆ’ G t = limtβ†’a F t βˆ’limtβ†’a

G t

4. limt→a cF(t) = limt→a F(t), c konstanta real

5. π‘™π‘–π‘šπ‘‘β†’π‘Ž 𝐹 𝑑 . 𝐺 𝑑 = π‘™π‘–π‘šπ‘‘β†’π‘Ž 𝐹 𝑑 . π‘™π‘–π‘šπ‘‘β†’π‘Ž 𝐺 𝑑

6. limt→a gF(t) = limt→a g(t) . limt→a F(t)

Contoh :

Hitunglah setiap limit fungsi vektor berikut.

a) π‘™π‘–π‘šπ‘‘β†’0 𝑒 π‘‘βˆ’1

𝑑𝑖 +

𝑙𝑛 1+𝑑

𝑑𝑗 +

1+𝑑2

π‘‘π‘˜

b) π‘™π‘–π‘šπ‘‘β†’0 𝑠𝑖𝑛 𝑑

𝑑𝑖 +

𝑑

𝑒 𝑑𝑗

Jawab :

a) Kita hitung dahulu limit setiap komponen fungsi vektornya.

π‘™π‘–π‘šπ‘‘β†’0

𝑒𝑑 βˆ’ 1

𝑑𝑖 +

𝑙𝑛 1 + 𝑑

𝑑𝑗 +

1 + 𝑑2

π‘‘π‘˜

π‘™π‘–π‘šπ‘‘β†’0

𝑒𝑑 βˆ’ 1

𝑑= π‘™π‘–π‘š

π‘‘β†’π‘Ž

𝑒𝑑

1= 1

Page 17: Operasi Limit Dan Kekontinuan Fungsi Vektor

17

π‘™π‘–π‘šπ‘‘β†’0

𝑙𝑛 1 + 𝑑

𝑑= π‘™π‘–π‘š

𝑑→0

11 + 𝑑

1= 1

π‘™π‘–π‘šπ‘‘β†’0

1 + 𝑑2

𝑑= π‘™π‘–π‘š

𝑑→02𝑑 = 0

jadi, π‘™π‘–π‘šπ‘‘β†’π‘Ž 𝑒 π‘‘βˆ’1

𝑑𝑖 +

𝑙𝑛 1+𝑑

𝑑𝑗 +

1+𝑑2

π‘‘π‘˜ = 𝑖 + 𝑗.

b) Kita hitung dahulu setiap komponen fungsi vektornya.

π‘™π‘–π‘šπ‘‘β†’0

𝑠𝑖𝑛 𝑑

𝑑𝑖 +

𝑑

𝑒𝑑𝑗

π‘™π‘–π‘šπ‘‘β†’0

𝑠𝑖𝑛 𝑑

𝑑= 1

π‘™π‘–π‘šπ‘‘β†’0

𝑑

𝑒𝑑= 0

Jadi, π‘™π‘–π‘šπ‘‘β†’0 𝑠𝑖𝑛 𝑑

𝑑𝑖 +

𝑑

𝑒 𝑑 𝑗 = 1.

2. Kekontinuan Fungsi Vektor

Seperti pada fungsi real, konsep kekontinuan fungsi vektor di satu titik

dapat di definisikan limit fungsi dititik itu, yang harus sama dengan nilai

fungsinya. Berikut adalah definisi formalnya.

Definisi 1.2.2

Misalkan fungsi vektor 𝐹 𝑑 = 𝑓1 𝑑 𝑒1 + β‹― + 𝑓𝑛 𝑑 𝑒𝑛 terdefinisi pada

selang terbuka 𝐷 yang memuat π‘Ž, 𝐹 dikatakan kintinu di π‘Ž ∈ 𝐷 jika

π‘™π‘–π‘šπ‘‘β†’π‘Ž 𝐹 𝑑 = 𝐹 π‘Ž .

Definisi 1.2.3

Misalkan fungsi vektor 𝐹 𝑑 = 𝑓1 𝑑 𝑒1 + β‹― + 𝑓𝑛 𝑑 𝑒𝑛 terdefinisi pada

himpunan 𝐷 yang memuat π‘Ž, fungsi 𝐹 dikatakan kontinu di π‘Ž ∈ 𝐷 jika

βˆ€νœ€ > 0βˆƒπ›Ώ > 0 βˆ‹ 𝑑 βˆ’ π‘Ž < 𝛿 ⟹ 𝐹 𝑑 βˆ’ 𝐹(π‘Ž) < νœ€.

Definisi 1.2.4

Fungsi vektor 𝐹 𝑑 = 𝑓1 𝑑 𝑒1 + β‹― + 𝑓𝑛 𝑑 𝑒𝑛 yang terdefiinisi pada

himpunan 𝐷 βŠ† 𝑅 dikatakan kontinu pada 𝐷 jika fungsi 𝐹 kontinu di setiap

titik pada 𝐷.

Teorema 1.2.4

Fungsi vektor 𝐹 𝑑 = 𝑓1 𝑑 𝑒1 + β‹― + 𝑓𝑛 𝑑 𝑒𝑛 kontinu pada 𝐷𝑓 ⇔ fungsi

real 𝑓𝑖 kontinu pada 𝐷𝑓 = 𝐷𝑓1∩ β€¦βˆ© 𝐷𝑓𝑛 , 𝑑 = 1, 2, … , 𝑛.

Page 18: Operasi Limit Dan Kekontinuan Fungsi Vektor

18

Bukti :

Bukti ke kanan :

⟹ 𝐹 𝑑 = 𝑓1 𝑑 𝑒1 + β‹― + 𝑓𝑛 𝑑 𝑒𝑛 kontinu pada 𝐷𝐹

β‡’ 𝐹 kontinu pada setiap titik di 𝐷

β‡’ 𝐹 kontinu pada 𝐷𝑓1…𝐷𝑓𝑛 , 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛.

⇒𝑓𝑖(𝑑) kontinu pada 𝐷𝑓𝑖

β‡’ 𝑓𝑛(𝑑) kontinu pada 𝐷𝑓𝑛

β‡’ 𝑓𝑖(𝑑) kontinu pada 𝐷𝑓 = 𝐷𝑓1∩ β€¦βˆ© 𝐷𝑓𝑛 .

Bukti ke kiri

⟸ 𝑓𝑖(𝑑) kontinu pada 𝐷𝑓 = 𝐷𝑓1∩ β€¦βˆ© 𝐷𝑓𝑛 .

β‡’ 𝑓𝑖(𝑑) kontinu pada 𝐷𝐹

β‡’ 𝑓𝑛(𝑑) kontinu pada 𝐷𝐹

β‡’ 𝐹(𝑑) kontinu pada setiap titik di 𝐷𝐹

Jadi teorema di atas terbukti kebenarannya.

Teorema 1.2.5

Misalkan fungsi vektor 𝐹 𝑑 = 𝑓1 𝑑 𝑒1 + β‹― + 𝑓𝑛 𝑑 𝑒𝑛 dan 𝐺 𝑑 =

𝑔1 𝑑 𝑒1 + β‹― + 𝑔𝑛(𝑑)𝑒𝑛 dan fungsi real 𝑒 = 𝑔(𝑑) semuanya terdefinisi pada

selang terbuka 𝐷 = 𝐷𝐹 ∩ 𝐷𝐺 ∩ 𝐷𝑔, maka fungsi 𝐹 + 𝐺, 𝐹 βˆ’ 𝐺, 𝑐𝐹 𝑐

konstanta real, 𝐹. 𝐺 dan 𝑔𝐹 semuanya kontinu pada 𝐷.

Bukti:

Misalkan fungsi vektor 𝐹 𝑑 = 𝑓1 𝑑 𝑒1 + β‹― + 𝑓𝑛 𝑑 𝑒𝑛 dan 𝐺 𝑑 =

𝑔1 𝑑 𝑒1 + β‹― + 𝑔𝑛(𝑑)𝑒𝑛 dan fungsi real 𝑒 = 𝑔(𝑑) semuanya kontinu pada

himpunan 𝐷 = 𝐷𝐹 ∩ 𝐷𝐺 ∩ 𝐷𝑔, terdefinisi

πΏπ‘–π‘šπ‘‘β†’π‘Ž

𝐹 𝑑 = 𝐹(π‘Ž)

πΏπ‘–π‘šπ‘‘β†’π‘Ž

𝐺 𝑑 = 𝐺 π‘Ž

πΏπ‘–π‘šπ‘‘β†’π‘Ž

𝑔 𝑑 = 𝑔 π‘Ž

Maka

πΏπ‘–π‘šπ‘‘β†’π‘Ž 𝐹 + 𝐺 𝑑 = π‘™π‘–π‘šπ‘‘β†’π‘Ž 𝐹 𝑑 + 𝐺 𝑑

= π‘™π‘–π‘šπ‘‘β†’π‘Ž

𝐹 𝑑 + π‘™π‘–π‘šπ‘‘β†’π‘Ž

𝐺 𝑑

= 𝐹 π‘Ž + 𝐺 π‘Ž

= 𝐹 + 𝐺 (π‘Ž)

Ini menunjukan bahwa fungsi 𝐹 + 𝐺 kontinu pada 𝐷.

πΏπ‘–π‘šπ‘‘β†’π‘Ž 𝐹 βˆ’ 𝐺 𝑑 = π‘™π‘–π‘šπ‘‘β†’π‘Ž 𝐹 𝑑 βˆ’ 𝐺 𝑑

Page 19: Operasi Limit Dan Kekontinuan Fungsi Vektor

19

= π‘™π‘–π‘šπ‘‘β†’π‘Ž

𝐹 𝑑 βˆ’ π‘™π‘–π‘šπ‘‘β†’π‘Ž

𝐺(𝑑)

= 𝐹 π‘Ž βˆ’ 𝐺 π‘Ž

= 𝐹 βˆ’ 𝐺 (π‘Ž)

Ini menunjukan bahwa fungsi 𝐹 – 𝐺 kontinu pada 𝐷.

π‘™π‘–π‘šπ‘‘β†’π‘Ž 𝑐 𝐹 𝑑 = 𝑐 π‘™π‘–π‘šπ‘‘β†’π‘Ž

𝐹 𝑑 = 𝑐 𝐹 π‘Ž

Ini menunjukan bahwa fungsi 𝑐 𝐹 kontinu pada 𝐷.

π‘™π‘–π‘šπ‘‘β†’π‘Ž 𝐹. 𝐺 𝑑 = π‘™π‘–π‘šπ‘‘β†’π‘Ž

𝐹 𝑑 . 𝐺(𝑑)

= π‘™π‘–π‘šπ‘‘β†’π‘Ž

𝐹(𝑑) . π‘™π‘–π‘šπ‘‘β†’π‘Ž

𝐺 𝑑

= 𝐹 π‘Ž . 𝐺(π‘Ž)

= 𝐹. 𝐺 (π‘Ž)

Ini menunjukan bahwa fungsi 𝐹 . 𝐺 kontinu di 𝐷

π‘™π‘–π‘šπ‘‘β†’π‘Ž 𝑔𝐹 (𝑑) = π‘™π‘–π‘šπ‘‘β†’π‘Ž 𝑔(𝑑0. 𝐹(𝑑)

= π‘™π‘–π‘šπ‘‘β†’π‘Ž

𝑔 𝑑 . π‘™π‘–π‘šπ‘‘β†’π‘Ž

𝐹 𝑑

= 𝑔 π‘Ž . 𝐹(π‘Ž)

= 𝑔𝐹 (π‘Ž)

Ini menunjukan bahwa fungsi 𝑔𝐹 kontinu pada 𝐷

Teorema 1.2.6

1. Jika fungsi real 𝑒 = 𝑔(𝑑) semuanya terdefinisi pada selang terbuka 𝐷

yang memuat π‘Ž dengan

π‘™π‘–π‘šπ‘‘β†’π‘Ž

𝑔(𝑑) = 𝑏

dan fungsi vektor 𝐹,𝐹 𝑑 = 𝑓1 𝑑 𝑒1 + β‹― + 𝑓𝑛 𝑑 𝑒𝑛 kontinu di 𝑏, maka

π‘™π‘–π‘šπ‘‘β†’π‘Ž

𝐹(𝑔 𝑑 ) = 𝐹 π‘™π‘–π‘šπ‘‘β†’π‘Ž

𝑔(𝑑) = 𝐹(𝑏)

2. Jika fungsi real u = g(t) terdefinisi pada himpunan D dengan 𝑅𝑔=g(D) βŠ†

E βŠ† R dan fungsi vektor 𝐹 𝑑 = 𝑓1 𝑑 𝑒1 + β‹― + 𝑓𝑛 𝑑 𝑒𝑛 kontinu pada 𝐸,

maka fungsi vektor (𝐹 ∘ 𝐺) kontinu pada 𝐷.

Bukti :

1. Diberikan νœ€ > 0, akan ditunjukan terdapat suatu 𝛿 > 0 sehingga

0 < 𝑑 βˆ’ π‘Ž < 𝛿 β‡’ 𝐹 𝐺 𝑑 βˆ’ 𝐹(𝑏) < νœ€. diketahui 𝐹 kontinu di 𝑏,

maka βˆƒπ›Ώ1 > 0 βˆ‹ 0 < 𝑒 βˆ’ 𝑏 < 𝛿1 ⟹ 𝐹 𝑒 βˆ’ 𝐹(𝑏) < νœ€. Dari

π‘™π‘–π‘šπ‘‘βˆ’π‘Ž 𝑔(𝑑) = 𝑏 diperoleh bahwa untuk 𝛿1 > 0 terdapat πœ‚ > 0 sehingga

0 < 𝑑 βˆ’ π‘Ž < πœ‚ β‡’ 𝑔 𝑑 βˆ’ 𝑏 < 𝛿1. Ambil 𝛿 = πœ‚, maka 0 < 𝑑 βˆ’ π‘Ž <

Page 20: Operasi Limit Dan Kekontinuan Fungsi Vektor

20

𝛿 = πœ‚ β‡’ 𝑔 𝑑 βˆ’ 𝑏 < 𝛿1 β‡’ 𝑒 βˆ’ 𝑏 < 𝛿1 β‡’ 𝐹 𝑒 βˆ’ 𝐹(𝑏) < νœ€ β‡’

𝐹 𝑔 𝑑 βˆ’ 𝐹(𝑏) < νœ€.

Jadi terbuktilah yang diinginkan

2. Sama seperti bukti rumus pertama dan diserahkan pada pembaca.

Contoh :

Diketahui fungsi vektor 𝐹 adalah

𝐹 𝑑 = ln(1 + 𝑑2)

𝑑𝑖 +

𝑒2π‘‘βˆ’1

𝑑𝑗 βˆ’

sinh 𝑑

π‘‘π‘˜, 𝑑 β‰  0

2𝑗 βˆ’ π‘˜, 𝑑 = 0

Tentukan semua nilai 𝑑 sehingga fungsi 𝐹 kontinu.

Penyelesaian :

Komponen fungsi vektor 𝐹 adalah

π‘₯ 𝑑 = ln(1 + 𝑑2)

𝑑, 𝑑 β‰  0

0, 𝑑 = 0

; 𝑦 𝑑 = 𝑒2π‘‘βˆ’1

𝑑, 𝑑 β‰  0

2, 𝑑 = 0

, 𝑧 𝑑 = βˆ’sinh 𝑑

𝑑, 𝑑 β‰  0

βˆ’1, 𝑑 = 0

Karena setiap komponen fungsi 𝐹 terdefinisi pada ℝ, maka 𝐹 terdefinisi pada

ℝ.

Sekarang selidiki kekontinuan setiap komponen fungsi 𝐹 pada ℝ.

Fungsi π‘₯ = π‘₯(𝑑);

Untuk 𝑑 β‰  0, π‘₯ = π‘₯(𝑑) kontinu karena merupakan hasil bagi dari dua fungsi

kontinu.

Untuk 𝑑 = 0, karena

π‘™π‘–π‘šπ‘‘β†’π‘Ž

π‘₯(𝑑) = π‘™π‘–π‘šπ‘‘β†’π‘œ

𝑙𝑛(1 + 𝑑2)

𝑑= π‘™π‘–π‘š

𝑑→0

2𝑑1 + 𝑑2

1= 0 = π‘₯(0)

Maka fungsi π‘₯ = π‘₯(𝑑) juga kontinu di 𝑑 = 0. Dari kedua hasil diatas diperoleh

bahwa π‘₯ = π‘₯(𝑑) kontinu pada ℝ.

Fungsi 𝑦 = 𝑦(𝑑)

Untuk 𝑑 β‰  0, 𝑦 = 𝑦(𝑑) kontinu karena merupakan hasil bagi dari dua fungsi

kontinu.

Untuk 𝑑 = 0, karena

π‘™π‘–π‘šπ‘‘β†’π‘Ž

𝑦(𝑑) = π‘™π‘–π‘šπ‘‘β†’0

𝑒2π‘‘βˆ’1

𝑑= π‘™π‘–π‘š

𝑑→0

2𝑒𝑑

1= 2 = 𝑦(0)

Page 21: Operasi Limit Dan Kekontinuan Fungsi Vektor

21

Maka fungsi 𝑦 = 𝑦(𝑑) juga kontinu di 𝑑 = 0. Dari kedua hasil diatas

diperoleh bahwa 𝑦 = 𝑦(𝑑) kontinu pada ℝ.

Fungsi 𝑧 = 𝑧(𝑑)

Untuk 𝑑 β‰  0, 𝑧 = 𝑧(𝑑) kontinu karena merupakan hasil bagi dari dua fungsi

kontinu.

Untuk 𝑑 = 0, karena

π‘™π‘–π‘šπ‘‘β†’π‘Ž

𝑧(𝑑) = π‘™π‘–π‘šπ‘‘β†’0

βˆ’ 𝑠𝑖𝑛𝑕 𝑑

𝑑= π‘™π‘–π‘š

𝑑→0

βˆ’ π‘π‘œπ‘ π‘• 𝑑

1= βˆ’1 = 𝑧(0)

Maka fungsi 𝑧 = 𝑧(𝑑) juga kontinu di 𝑑 = 0. Dari kedua hasil diatas diperoleh

bahwa 𝑧 = 𝑧(𝑑) kontinu pada ℝ

Karena π‘₯ = π‘₯(𝑑), 𝑦 = 𝑦(𝑑), 𝑧 = 𝑧(𝑑) semuanya kontinu pada ℝ, maka fungsi

𝐹 juga kontinu pada ℝ.

Page 22: Operasi Limit Dan Kekontinuan Fungsi Vektor

22

BAB III

PENUTUP

A. KESIMPULAN

Konsep fungsi vektor dan operasinya ternyata serupa dengan fungsi

real dalam kalkulus dan secara umum fungsi vektor dikenal dengan fungsi

parameter yakni fungsi bernilai vektor dengan peubah real. Operasi yang

dapat dilakukan pada fungsi vektor adalah fungsi aljabar, dan operasi

perkalian antara fungsi real dengan fungsi vektor. Demikian juga konsep limit

dan kekontinuan fungsi vektor yang didefinisikan dengan memanfaatkan

konsep limit dan kekontinuan fungsi real.

B. SARAN

Konsep fungsi vektor, operasi vektor, limit dan kekontinuan harus

benar-benar dipahami karena mendasari pemahaman pembelajaran materi

selanjutnya. Agar lebih mudah dalam memahami konsep-konsep tersebut,

disarankan untuk terlebih dahulu memahami konsep fungsi, limit dan

kekontinuan fungsi real serta materi pendukung lainnya dalam mata kuliah

kalkulus 1 dan 2.

Page 23: Operasi Limit Dan Kekontinuan Fungsi Vektor

23

SOAL LATIHAN

1. Dipunyai fungsi vektor 𝐹 𝑑 = 𝑑 + 1 𝑖 + 𝑑3 + 1 𝑗,𝑑 ∈ β„›.

Jika π‘₯ = 𝑑 + 1 dan 𝑦 = 𝑑3 + 1. Tentukan persamaan koordinatnya!

2. Dipunyai fungsi vektor 𝐹 𝑑 = (4 cos 𝑑)𝑖 + ( 3 sin 𝑑)𝑗, 𝑑 πœ– (0, 2πœ‹)

Jika π‘₯ = 4 cos 𝑑 dan 𝑦 = 3 sin 𝑑. Tentukan persamaan koordinatnya!

3. Hitunglah lim𝑑→0𝑠𝑖𝑛2𝑑

𝑠𝑖𝑛 𝑑 2 .

4. Tunjukkan bahwa

lim π‘₯ ,𝑦 β†’(0,0)

π‘₯𝑦

π‘₯2 + 𝑦2= 0.

5. Dipunyai fungsi vektor 𝐹 𝑑 = sinβˆ’1 𝑑 𝑖 + cosβˆ’1 𝑑 𝑗 + π‘’βˆ’π‘‘π‘˜.

Selidiki kekontinuan fungsi 𝐹 pada daerah definisinya.

6. Dipunyai fungsi vektor 𝐹 𝑑 = sinβˆ’1(2𝑑 + 3) 𝑖 +tan βˆ’1 𝑑

π‘‘βˆ’1𝑗.

Selidiki kekontinuan fungsi 𝐹 pada daerah definisinya.

Page 24: Operasi Limit Dan Kekontinuan Fungsi Vektor

24

DAFTAR PUSTAKA

Berkey, D. Dennis.1988.Calculus, 2nd Edition. New York : Sounders College

Publishing

Chotim, Moch.2008.Kalkulus 1. Semarang: Universitas Negeri Semarang.

Martono, K.1992.Kalkulus Lanjut 1. Bandung : Institut Teknologi Bandung.

Purcell, E & Varberg, D.1987.Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 1. Terjemahan I

Nyoman Susilo, Bana Kartasasmita, dan Rawuh. Jakarta : Penerbit Erlangga.

Purcell, E & Varberg, D.1987.Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 2. Terjemahan I

Nyoman Susilo, Bana Kartasasmita, dan Rawuh. Jakarta : Penerbit Erlangga.