BAB 2 LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI.pdf

BAB 2 : FUNGSI DAN LIMITOLEH : ETIS SUNANDI, M.Si

1kalkulus-12 etis sunandi, M.Si

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwarehttp://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

2

Perhatikan fungsi :

1

1)(

2

x

xxf

Fungsi di atas tidak terdefinisi di x=1, karena di titik tersebut f(x) berbentuk0/0. Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai f(x) jika x mendekati 1

Dengan bantuan kalkulator dapat diperoleh nilai f(x) bila x mendekati 1, seperti pada tabel berikut :

x

f(x)

0.9 0.99 0.999 1.11.011.0010.9999 1.00011

?1.9 1.99 1.999 1.9999 2.0001 2.001 2.01 2.1

Apakah Fungsi di atas terdefinisi di x=1 ?

LIMIT

kalkulus-12 etis sunandi, M.Si


LIMIT

Definisi (Pengertian Limit Secara Instuisi)



4

cx

Jika x menuju c dari arah kiri (dari arahbilangan yang lebih kecil dari c, limit disebut limit kiri. Dinotasikan :

)(lim xfcx

)(lim xfcx

Jika x menuju c dari arah kanan (dari arahbilangan yang lebih besar dari c, limit disebut limit kanan. Dinotasikan :

c x

Hubungan antara limit dengan limit kiri dan Limit kanan :

LIMIT KIRI DAN LIMIT KANAN

LxfLxfLxfcxcxcx

)(limdan)(lim)(lim

)(lim xfcx

)(lim xfcx

)(lim xfcx

Teorema :

Tidak ada



5

1,2

10,

0,

)(2

2

xx

xx

xx

xf

)(lim0

xfx

)(lim1

xfx

Contoh Diketahui

a. Hitung

)(lim2

xfx

d. Gambarkan grafik f(x)

c. Hitung

b. Hitung Jika ada

1.



6

)(lim0

xfx

0lim 2

0

x

x

)(lim0

xfx

0lim0

x

x

0)(lim0

xfx

b. Karena aturan fungsi berubah di x=1, maka perlu dicari limit kiri danlimit kanan di x=1

)(lim2

xfx

62lim 2

2

x

x

)(lim1

xfx

1lim1

x

x

)(lim1

xfx

32lim 2

1

x

x

)(lim)(lim11

xfxfxx

)(lim1

xfx

Karena Tidak ada

c. Karena aturan fungsi tidak berubah di x=2, maka tidak perludicari limit kiri dan limit kanan di x=2

Jawab :

a. Karena aturan fungsi berubah di x=0, maka perlu dicari limit kiri danlimit kanan di x=0



7

d.

Untuk x 02)( xxf

Grafik: parabola

Untuk 0<x<1

f(x)=x

Grafik:garis lurus

Untuk 1

22)( xxf Grafik: parabola

1

3

º

di x=1 limit tidakada



8

2. Tentukan konstanta c agar fungsi

1,

1,3)(

2 xcx

xcxxf

mempunyai limit di x=-1

Jawab

Agar f(x) mempunyai limit di x=-1, maka limit kiri harus sama denganlimit kanan

)(lim1

xfx

ccxx

33lim1

)(lim1

xfx

ccxx

1lim 2

1

Agar limit ada 3+1c=1-c

C=-1



9

Pengertian Limit Secara Formal

Definisi

Misal f terdefinisi pada selang buka I yang memuat c, kecuali c itusendiri.

Limit fungsi f di c adalah L ,ditulis berarti bahwa : Lxfcx

)(lim

|)(|||00,0 Lxfcx

Limit Sepihak

limit kiri :

limit kanan :

|)(|00,0jika)(lim LxfxcLxfcx

|)(|00,0jika)(lim LxfcxLxfcx



Contoh :

Buktikan bahwa 573lim4

xx

Jawab :

1. Analisis pendahuluan : akan dicari δ sedemikian sehingga :

|573||4|0 xx

Perhatikan bahwa :

2. Bukti formal : andaikan diberikan ε > 0. Pilih δ=ε/3. maka , menyebabkan : |4|0 x

43|123||573| xxx

( terbukti )

3

1443||573| xxx

3/3343|123||573| xxx



TEOREMA LIMIT UTAMA



12

Prinsip Apit

Jika untuk setiap x di sekitar c, kecuali di c dan)()()( xhxgxf

LxhLxfcxcx

)(limserta)(lim Lxgcx

)(lim



TIPS PENGERJAAN SOAL LIMIT

• Subtitusi langsung

• Pemfaktoran

• Perkalian dengan sekawannya

• … dst



KEKONTINUAN FUNGSI



Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = c jika

)()(lim cfxfcx

Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka f dikatakan tidak kontinu di x=a

a

(i)

ºf(a) tidak ada

f tidak kontinu di x=a

Definisi kekontinuan di suatu titik :



contoh

Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x=2, jika tidak sebutkan alasannya

2

4)(

2

x

xxf

2,3

2,2

4)(

2

x

xx

xxfa. b.

2,1

2,1)(

2 xx

xxxfc.

Jawab :

a. Fungsi tidak terdefinisi di x=2 (bentuk 0/0) f(x) tidak kontinu di x=2

b. f(2) = 342lim

)2(

)2)(2(lim

2

4lim

22

2

2

xx

xx

x

xxxx

)2()(lim2

fxfx

Karena limit tidak sama dengan nilai fungsi, maka f(x) tidakkontinu di x=2



c. 312)2( 2 f

31lim)(lim22

xxf

xx

31lim)(lim 2

22

xxf

xx

3)(lim2

xfx

)2()(lim2

fxfx

Karena semua syarat dipenuhi f(x) kontinu di x=2



Kontinu kiri dan kontinu kanan

Fungsi f(x) disebut kontinu kiri di x=a jika

)()(lim afxfax

Fungsi f(x) disebut kontinu kanan di x=a jika

)()(lim afxfax

Fungsi f(x) kontinu di x=a jika kontinu kiri dan kontinu kanan di x=a



23

Kekontinuan pada interval

• Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval buka ( a,b ) bilaf(x) kontinu pada setiap titik di dalam interval tersebut. Sedangkan f(x) dikatakan kontinu pada interval tutup [ a,b] bila :

1. f(x) kontinu pada ( a,b )

2. f(x) kontinu kanan di x = a

3. f(x) kontinu kiri di x = b

Bila f(x) kontinu untuk setiap nilai x R maka dikatakanf(x) kontinu ( dimana-mana ).

lim ( ) ( )x a

f x f a

lim ( ) ( )x b

f x f b



Fungsi Polinom kontinu dimana-mana

• Fungsi Rasional kontinu di setiap bilangan Riil.

• Misalkan , maka

– f(x) kontinu di setiap titik di R jika n ganjil

– f(x) kontinu di setiap R positif jika n genap.

Contoh : tentukan selang kekontinuan

Dari teorema di atas diperoleh f(x) kontinu untuk x-4>0

atau x>4.

f(x) kontinu kanan di x=4

Sehingga f(x) kontinu pada [4, )

n xxf )(

4)( xxf

)4(04lim)(lim44

fxxfxx



Limit dan Kekontinuan Fungsi Komposisi

))(( xgf

• Teorema Limit Fungsi Komposisi:

Jika dan f(x) kontinu di L, maka

• Teorema kekontinuan fungsi komposisi:

Jika g(x) kontinu di a, f(x) kontinu di g(a), maka fungsi

kontinu di a.

Bukti

karena f kontinu di g(a)

= f(g(a)) karena g kontinu di a

= (fog)(a)

Lxgax

)(lim

)()(lim))((lim Lfxgfxgfaxax

))((lim))((lim xgfxgfaxax

))(lim( xgfax



Contoh soal

Apakah fungsi-fungsi di atas kontinu pada titik x=1,2,3, dan 5 ?



BAB 2 LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI.pdf

Documents

Transcript of BAB 2 LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI.pdf