Modul INTEGRAL FUNGSI.pdf
Transcript of Modul INTEGRAL FUNGSI.pdf
Kode Modul
MAT. TKF 201- 03
Fakultas Teknik UNY Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif
INTEGRASI FUNGSI
Penyusun :
Martubi, M.Pd., M.T.
Sistem Perencanaan Penyusunan Program dan Penganggaran (SP 4)
Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif 2005
Y
Y = f (X)
0 a b X
A
b
A = f (X) dX
a
ii
KATA PENGANTAR
Modul dengan judul Integrasi Fungsi ini digunakan sebagai
panduan dalam kegiatan kuliah untuk membentuk salah satu sub-
kompetensi, yaitu: “Menggunakan konsep, sifat, dan manipulasi aljabar
dalam pemecahan masalah integrasi fungsi“. Modul ini dapat digunakan
untuk semua peserta kuliah Matematika di Semester I pada Program
Studi Pendidikan Teknik Otomotif Fakultas Teknik Universitas Negeri
Yogyakarta.
Pada modul ini disajikan konsep dasar Integrasi Fungsi dan
permasalahannya yang banyak dijumpai dalam penerapannya di bidang
teknik, baik secara teoritis maupun praktis. Modul ini terdiri atas empat
kegiatan belajar. Kegiatan belajar 1 membahas tentang: Integrasi Fungsi
Baku dan Fungsi Majemuk Linier. Kegiatan belajar 2 membahas tentang:
Integrasi Perkalian/Pembagian Khusus. Kegiatan belajar 3 membahas
tentang: Integral Parsial. Kegiatan belajar 4 membahas tentang: Integral
Tertentu dan Aplikasinya.
Untuk dapat mempelajari modul ini dengan mudah mahasiswa
diharapkan telah mempunyai pengetahuan dan pemahaman tentang
konsep-konsep dasar yang menunjangnya, dalam hal ini terutama konsep
tentang Diferensiasi Fungsi.
Yogyakarta, Oktober 2005
Penyusun
Martubi, M.Pd., M.T.
iii
DAFTAR ISI MODUL
Halaman
HALAMAN SAMPUL ............................................................................ i
KATA PENGANTAR ............................................................................. ii
DAFTAR ISI .......................................................................................... iii
PERISTILAHAN / GLOSSARY .............................................................. v
I . PENDAHULUAN................................................................................. 1
A. Deskripsi ......................................................................................... 1
B. Prasyarat ......................................................................................... 1
C. Petunjuk Penggunaan Modul .......................................................... 2
1. Petunjuk bagi mahasiswa .......................................................... 2
2. Petunjuk bagi dosen ............ ...................................................... 2
D. Tujuan Akhir .................................................................................. 3
E. Kompetensi .................................................................................... 3
F. Cek Kemampuan ............................................................................ 4
II. PEMBELAJARAN .............................................................................. 5
A. Rencana Belajar Mahasiswa ......................................................... 5
B. Kegiatan Belajar ............................................................................. 5
1. Kegiatan Belajar 1 ..................................................................... 5
a. Tujuan kegiatan belajar 1 ...................................................... 5
b. Uraian materi .......................................................................... 6
c. Rangkuman 1 .......................................................................... 11
d. Tugas 1 ................................................................................... 13
e. Tes formatif 1 .......................................................................... 13
f. Kunci jawab tes formatif 1 ... .................................................... 14
iv
Halaman
2. Kegiatan Belajar 2 ...................................................................... 14
a. Tujuan kegiatan belajar 2 ....................................................... 14
b. Uraian materi 2 ....................................................................... 14
c. Rangkuman 2 ..........................................................................16
d. Tugas 2 ................................................................................... 17
e. Tes formatif 2 .......................................................................... 17
f. Kunci jawab tes formatif 2 ............... ........................................ 18
3. Kegiatan Belajar 3 .................................................................... 18
a. Tujuan kegiatan belajar 3 ....................................................... 18
b. Uraian materi 3 ....................................................................... 18
c. Rangkuman 3 ......................................................................... 25
d. Tugas 3 .................................................................................. 26
e. Tes formatif 3 ......................................................................... 27
f. Kunci jawab tes formatif 3 ............... ...................................... 27
4. Kegiatan Belajar 4 .................................................................... 27
a. Tujuan kegiatan belajar 4 ....................................................... 27
b. Uraian materi 4 ....................................................................... 28
c. Rangkuman 4 ......................................................................... 35
d. Tugas 4 .................................................................................. 36
e. Tes formatif 4 ......................................................................... 37
f. Kunci jawab tes formatif 4 ............... ...................................... 38
III. EVALUASI ...................................................................................... 39
A. Pertanyaan .................................................................................. 39
B. Kunci Jawaban ............................................................................ 39
C. Kriteria Kelulusan ........................................................................ 40
IV. PENUTUP ........................................................................................ 41
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................. 42
v
PERISTILAHAN / GLOSSARY
Fungsi Baku : adalah fungsi yang sudah ada rumus integralnya.
Fungsi Majemuk Linier : adalah fungsi dari suatu fungsi lainnya yang
linier ( pangkat satu ).
Integrasi Fungsi : adalah operasi balikan ( invers) dari diferensiasi yang
berarti mencari fungsi induk dari suatu turunan tertentu.
Integral Parsial : adalah suatu proses integral dari bentuk perkalian dan
pembagian yang unsur-unsurnya saling asing ( unsur yang satu
bukan turunan dari unsur lainnya).
Integral Perkalian/Pembagian khusus: adalah suatu proses integral dari
bentuk perkalian dan pembagian dengan unsur yang satu
merupakan turunan dari unsur lainnya.
Integral Tertentu: adalah suatu proses perhitungan integral dengan
batas-batas tertentu yang telah ditentukan.
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Deskripsi
Modul dengan judul Integrasi Fungsi ini membahas tentang
konsep dasar Integrasi Fungsi serta permasalahannya yang banyak
dijumpai dalam penerapannya di bidang teknik, baik secara teoritis
maupun praktis. Materi yang dipelajari mencakup: Integrasi Fungsi Baku
dan Fungsi Majemuk Linier, Integrasi Perkalian/Pembagian Khusus,
Integral Parsial dan Integral tertentu beserta Aplikasinya.
Modul ini terdiri atas empat kegiatan belajar. Kegiatan belajar 1
membahas tentang: Integrasi Fungsi Baku dan Fungsi Majemuk Linier.
Kegiatan belajar 2 membahas tentang: Integrasi Perkalian/Pembagian
Khusus. Kegiatan belajar 3 membahas tentang: Integral Parsial.
Kegiatan belajar 4 membahas tentang: Integral tertentu dan Aplikasinya.
Pada setiap kegiatan belajar selalu dilengkapi dengan contoh soal
dan pembahasannya beserta latihan-latihan seperlunya untuk
membantu mahasiswa dalam mencapai kompetensi yang diharapkan.
Setelah selesai mempelajari modul ini mahasiswa diharapkan
mempunyai sub kompetensi “Menggunakan konsep, sifat, dan
manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah integrasi fungsi“
B. Prasyarat
Modul ini berisi materi-materi yang memerlukan dukungan materi
lain yang semestinya telah dipelajari sebelumnya. Adapun materi-
materi dasar yang seharusnya telah difahami oleh peserta kuliah di
Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif terutama adalah konsep dasar
tentang : Diferensiasi Fungsi ( Modul MAT. TKF 201- 02 ).
2
C. Petunjuk Penggunaan Modul
1. Petunjuk bagi Mahasiswa
Agar diperoleh hasil belajar yang maksimal, maka dalam
menggunakan modul ini ada beberapa prosedur yang perlu
diperhatikan, dan dilaksanakan antara lain :
a. Bacalah dan fahami dengan seksama uraian konsep-konsep
teoritis yang disajikan pada modul ini, kemudian fahami pula
penerapan konsep-konsep tersebut dalam contoh-contoh soal
beserta cara penyelesaiannya. Bila terpaksa masih ada materi
yang kurang jelas dan belum bisa difahami dengan baik para
mahasiswa dapat menanyakan kepada dosen yang mengampu
kegiatan perkuliahan.
b. Coba kerjakan setiap tugas formatif (soal latihan) secara mandiri,
hal ini dimaksudkan untuk mengetahui seberapa besar
pemahaman yang telah dimiliki setiap mahasiswa terhadap
materi-materi yang dibahas pada setiap kegiatan belajar.
c. Apabila dalam kenyataannya mahasiswa belum menguasai materi
pada level yang diharapkan, coba ulangi lagi membaca dan
mengerjakan lagi latihan-latihannya dan kalau perlu bertanyalah
kepada dosen yang mengampu kegiatan perkuliahan yang
bersangkutan. Kalau materi yang bersangkutan memerlukan
pemahaman awal (prasyarat) maka yakinkan bahwa prasyarat
yang dimaksud benar-benar sudah dipenuhi.
2. Petunjuk Bagi Dosen
Dalam setiap kegiatan perkuliahan, dosen mempunyai tugas dan
peran untuk :
a. Membantu mahasiswa dalam merencanakan proses belajar.
b. Membimbing mahasiswa melalui tugas-tugas atau latihan-latihan
yang dijelaskan dalam tahab belajar.
c. Membantu mahasiswa dalam memahami konsep baru dan
menjawab pertanyaan mahasiswa apabila diperlukan.
3
d. Membantu mahasiswa untuk mengakses sumber belajar lain yang
diperlukan.
e. Mengorganisir kegiatan belajar kelompok jika diperlukan.
f. Merencanakan seorang ahli/dosen pendamping jika diperlukan.
g. Mengadakan evaluasi terhadap pencapaian kompetensi
mahasiswa yang telah ditentukan. Evaluasi tersebut pelaksanaan-
nya pada setiap akhir kegiatan belajar.
D. Tujuan Akhir
Setelah mempelajari seluruh materi kegiatan belajar dalam modul
ini mahasiswa diharapkan dapat : “Menggunakan konsep, sifat, dan
manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah integrasi fungsi“.
E. Kompetensi
Modul MAT. TKF 201-03 dengan judul Integrasi Fungsi ini
disusun dalam rangka membentuk sub-kompetensi “Menggunakan
konsep, sifat, dan manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah
integrasi fungsi“.
Untuk mencapai sub-kompetensi tersebut, terlebih dahulu harus
dapat dicapai sub-sub kompetensi beserta kriteria unjuk kerjanya
melalui lingkup belajar dengan materi pokok pembelajaran sebagai
berikut :
Sub Kompetensi
Kriteria Unjuk Kerja
Lingkup Belajar
Materi Pokok Pembelajaran
Sikap Pengetahuan Ketrampilan
Mengguna-kan konsep, aturan dan manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah integrasi fungsi.
1.Menjelaskan
pengertian/kon-sep, notasi dan sifat-sifat inte-grasi fungsi .
2. Menyelesaikan masalah integra- si fungsi baku
1.Pengertian, notasi dan
sifat-sifat integrasi fungsi .
22. Integrasi fungsi baku.
.
Teliti dan
cermat dalam menulis simbol dan me-lakukan perhi-tungan
1.Pengertian, notasi dan
sifat-sifat integrasi fungsi .
2. Integrasi fungsi baku.
Menghitung dengan prosedur dan hasil yang benar
4
F. Cek Kemampuan
Sebelum mempelajari Modul MAT. TKF 201 – 03 ini, isilah dengan
tanda cek ( ) pertanyaan yang menunjukkan kompetensi yang telah
dimiliki mahasiswa dengan jujur dan dapat dipertanggungjawabkan :
Sub
Kompetensi Pertanyaan
Jawaban Bila Jawaban “Ya“
Kerjakan Ya Tidak
Mengguna-kan konsep, aturan dan manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah integrasi fungsi.
1. Saya mampu menjelaskan pengertian, notasi dan sifat-sifat integrasi fungsi.
Tes Formatif 1 Nomor : 1
2. Saya dapat menyelesaikan permasa- lahan integrasi fungsi baku.
Tes Formatif 1 Nomor : 2 a, b, f, g
3. Saya dapat menyelesaikan permasa- lahan integrasi fungsi majemuk linier.
Tes Formatif 1 No: 2 c, d, e, h, i, j
4. Saya dapat menyelesaikan permasa- lahan integrasi fungsi perkalian / pembagian khusus
Tes Formatif 2 Nomor : 1 sd. 10
5. Saya dapat menyelesaikan permasa- lahan integrasil parsial
Tes Formatif 3 Nomor : 1 sd. 5
6. Saya dapat menyelesaikan permasa- lahan integral tertentu dan aplikainya.
Tes Formatif 4 Nomor : 1 sd. 3
Apabila mahasiswa menjawab Tidak maka pelajari modul ini
sesuai materi yang dijawab Tidak tersebut.
Sub Kompetensi
Kriteria Unjuk Kerja
Lingkup Belajar
Materi Pokok Pembelajaran
Sikap Pengetahuan Ketrampilan
Mengguna-kan konsep, aturan dan manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah integrasi fungsi.
3. Menyelesaikan
masalah integra-si fungsi maje-muk linier.
4. Menyelesaikan masalah integra-si fungsi perka-lian / pembagian khusus.
5. Menyelesaikan masalah integral parsial
6. Menyelesaikan masalah integral tertentu dan apli-kasinya.
.3 3. Integrasi
fungsi majemuk
linier 4. Integrasi
fungsi per-kalian/pem- bagian khusus.
5. Integral parsial
6. Integral
tertentu dan aplikasinya.
Teliti dan cermat dalam menulis simbol dan me-lakukan perhi-tungan
. 3. Integrasi
fungsi majemuk
linier 4. Integrasi
fungsi per-kalian/pem- bagian khusus.
5. Integral parsial
6. Integral
tertentu dan aplikasinya
Menghitung dengan prosedur dan hasil yang benar
5
BAB II
PEMBELAJARAN
A. Rencana Belajar Mahasiswa
Buatlah rencana kegiatan belajar dengan mengisi tabel di bawah
ini dan mintalah bukti belajar kepada dosen setelah selesai.
Jenis Kegiatan Tanggal Waktu Tempat Belajar
Alasan Perubahan
Paraf Dosen
1. Pengertian, dan notasi integrasi fungsi.
2. Integrasi fungsi baku.
3. Integrasi fungsi majemuk
linier
4. Integrasi fungsi perkalian /
pembagian khusus.
5. Integral parsial.
6. Integral tertentu dan aplikasinya
B. Kegiatan Belajar.
1. Kegiatan Belajar 1 : Integrasi Fungsi Baku dan Majemuk Linier
a. Tujuan Kegiatan Belajar 1 :
1). Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian, notasi dan sifat-
sifat integrasi fungsi.
2). Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah integrasi fungsi
baku.
3). Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah integrasi fungsi
majemuk linier.
6
b. Uraian Materi 1 :
1). Pengertian, dan Notasi Integrasi Fungsi :
Integrasi Sebagai Anti Diferensiasi
Di dalam matematika banyak dijumpai pasangan operasi
yang saling merupakan balikan ( anti ), misalnya : penjumlahan
dan pengurangan, perkalian dan pembagian, pemangkatan
dan penarikan akar serta logaritma dan perhitungan logaritma.
Operasi balikan lainnya yang akan dibahas pada bagian ini
adalah integrasi ( hitung integral ) sebagai operasi anti dari
diferensiasi ( hitung diferensial )
Pada operasi deferensial permasalahnnya yaitu
menentukan fungsi turunan dari dari sebuah fungsi yang telah
diketahui, maka pada integrasi permasalahannya yaitu
menentukan fungsi asal ( induk ) dari suatu fungsi turunan yang
telah diketahui. Misalnya turunan dari f (X) adalah f´ (X) maka:
Diferensiasi : mencari f ’ (X) jika f (X) diketahui .
Integrasi : mencari f (X) jika f ‘(X) diketahui .
Selanjutnya untuk untuk memudahkan cara penulisannya,
digunakan notasi Leibniz yaitu dengan lambang f (X) dX
untuk menyatakan integral dari fungsi f (X) atau integral
f (X) terhadap X . Misal diketahui f (X) = sin X maka
integrasinya terhadap X ditulis sin X dX .
Integrasi fungsi memiliki sifat-sifat seperti pada operasi
diferensiasi, yang dapat di tulis sebagai berikut:
{ f (X) + g (x) } dX = f (X) dX + g (X) dX
{ f (X) – g (x) } dX = f (X) dX – g (X) dX
k. f (X) dX = k. f (X) dX
dalam hal ini f (X) dan g(X) = fungsi X ; k = bilangan konstan
7
Integrasi Fungsi Baku :
Berdasarkan rumus – rumus dasar diferensiasi fungs, maka
dengan jalan membalik operasinya akan diperoleh rumus –
rumus dasar integrasi fungsi baku sebagai berikut :
( Jika C = bilangan konstan , dan n = bilangan riil )
k
1. kXn dX = X n + 1 + C ( asal n ≠ -1 ) n + 1
k
2. dX = k. ln X + C X
3. eX dX = eX + C
1
4. ekX dX = e kX + C k
aX
5. aX dX = + C ln a
6. cos X dX = sin X + C
7. sin X dX = – cos X + C
8. sec2 X dX = tg X + C
9. cosh X dX = sinh X + C
10. sinh X dX = cosh X + C
1
11. dX = arc. sin X + C
1 – X2
–1
12. dX = arc . cos X + C
1 – X2
1
13. dX = arc. tg X + C 1 + X2
8
1
14. dX = arc. sinh X + C
X2 +1
1
15. dX = arc. cosh X + C
X2 –1 1
16. dX = arc. tgh X + C 1 – X2
Rumus-rumus di atas dinamakan integral tak tentu,
karena masih terdapat suatu konstanta yang belum di ketahui
harganya yaitu C.
Untuk lebih jelasnya dalam memahami rumus-rumus
dasar beserta sifat-sifat integrasi tersebut berikut diberikan
beberapa contoh penerapannya:
1
a). X7 dX = X8 + C 8 5
b). dX = 5 ln X + C X
c). 3 eX dX = 3 eX + C 5
d). 5 e6X dX = e6X + C 6 5X
e). 5X dX = + C ln 5
f). 23 cos X dX = 23 sin X + C
g). 7 sin X dX = 7(– cos X) + C = – 7 cos X + C
h). ( 4 sec2 X – 5 cos X ) dX = 4 tg X – 5 sin X + C
i). ( 9 cos X + 7 sin X ) dX = 9 sin X – 7 cos X + C
9
5
j). dX = 5 arc . cos X + C
1 – X2
7
k). dX = – 7 arc . cosh X + C
X2 – 1
12
l). dX = 12 arc . sinh X + C
1 + X2
– 3
m). dX = 3 arc . cos X + C
1 – X2
Integral Fungsi Majemuk dari Suatu Fungsi Linier
Kadang-kadang kita harus mengintegralkan suatu fungsi
majemuk, yaitu fungsi yang bentuknya mirip dengan bentuk
pada rumus dasar, tetapi dengan X diganti oleh fungsi linier
dalam X, misalnya (3X + 4)7 dX, (5X– 6)½ dX, sin 6X dX,
sinh ( 4X + 3) dX, cos (7– 3X ) dX dan sebagainya.
Pada soal (3X + 4)7 dX dimisalkan (3X + 4) = Z, maka
bentuk tersebut menjadi Z7 dX. Karena variabelnya belum
sesuai maka untuk dapat diselesaikan perlu disesuaikan dahulu,
yaitu dengan kaidah sebagai berikut :
dX
Z 7 dX = Z 7 dZ dZ dZ dX 1
Karena Z = 3X + 4 maka = 3 = dX dZ 3 dX 1 1 1
Z 7 dZ = Z 7. dZ = Z 7 dZ = Z 8 + C dZ 3 3 3.8
1
Jadi : (3X + 4)7 dX = ( 3X + 4 )8 + C 24
10
Jika diperhatikan ternyata kaidah dasar pengintegralan
tetap berlaku, tetapi masih harus dibagi dengan koefisien X.
Hal ini berlaku umum untuk semua fungsi baku yang terdapat
pada rumus dasar di depan.
Secara umum dapat dirumuskan bahwa : Jika Z = (aX + b)
maka:
k
k (aX + b) n dX = (aX + b ) n+1 + C a ( n+1)
Kaidah ini berlaku untuk semua rumus fungsi baku di atas jika
X diganti ( aX + b ) sesuai bentuk integral bakunya.
Contoh :
a). sin (5X – 7) dX = –1/5 cos (5X – 7 ) + C
1
b). e3X – 2 dX = e3X – 2 + C 3
35X
c). 3 5X dx = + C 5 ln 3
1 ln (4X + 3)
d). dX = + C 4X + 3 4
e). sec 2 (10X + 8) dX = 1/10 . tg (10X + 8) + C
1 arc .sin 3X
f). dX = + C
1 – 9X 2 3
5
g) dX = 5 arc.tgh 2X + C 1 – 4X2
11
c. Rangkuman 1 :
1). Pengertian, Notasi dan Sifat Integrasi Fungsi.
Integrasi Fungsi : adalah sebuah operasi dari diferensiasi
fungsi, yaitu sebuah proses mencari induk
dari suatu fungsi turunan tertentu.
Integral dinotasikan dengan lambang :
Integrasi fungsi memiliki sifat-sifat seperti pada operasi
diferensiasi, yang dapat di tulis sebagai berikut:
{ f (X) + g (x) } dX = f (X) dX + g (X) dX
{ f (X) – g (x) } dX = f (X) dX – g (X) dX
k. f (X) dX = k. f (X) dX
dalam hal ini f (X) dan g(X) = fungsi X ; k = bilangan konstan
2). Integrasi Fungsi Baku
Untuk mencari integral fungsi baku digunakan rumus :
1
a. Xn dX = X n + 1 + C ( asal n ≠ 1 ) n + 1
1
b. dX = ln X + C X
c. eX dX = eX + C
1
d. ekX dX = e kX + C k
aX
e. aX dX = + C ln a
12
f. cos X dX = sin X + C
g. sin X dX = – cos X + C
h. sec2 X dX = tg X + C
i. cosh X dX = sinh X + C
j. sinh X dX = cosh X + C
1
k. dX = arc. sin X + C
1 – X2
–1
l. dX = arc . cos X + C
1 – X2
1
m. dX = arc.tg X + C 1 + X2
1
n. dX = arc.sinh X + C
X2 +1
1
o. dX = arc.cosh X + C
X2 –1 1
p. dX = arc.tgh X + C 1 – X2
3). Integrasi Fungsi Majemuk Linier
Secara umum jika Z = (aX + b) maka: k Z n dX dapat
dihitung dengan rumus :
k
k Z n dX = (aX + b ) n+1 + C a (n + 1)
Kaidah ini berlaku untuk semua rumus fungsi baku di atas jika
X diganti ( aX + b ) sesuai bentuk integral bakunya.
13
d. Tugas 1:
Tentukanlah integral – integral berikut ini :
1). (X3 –3X2 + 4X – 5) dX 9). 7(X2 – 1) – ½ dX
2). ( 3 sin X – 2 cos X) dX 10). 2 sec2 X dX
7
3). ( eX – e2X) dX 11). ( – X) dX X
4). 6 ( 1 – X2 ) –½ dX 12). (9X + 10X) dX
5). (2X – 7) 4 dX 13). cosh (1 + 4X) dX
6). e 5X – 4 dX 7
14). dX
7). sinh 7X dX 2X - 3
8). 5 3X+2 dX 15). 5 (1 + 4X2) – ½ dX
e. Tes formatif 1 :
1). Jelaskan pengertian, notasi dan sifat-sifat dari integrasi fungsi !
2). Tentukanlah integral – integral berikut ini :
4
a). (X– 3 + X – ) dX f). ( 4 – 3 sinh X ) dX X2
– 4 1
b). dX g). ( X – ) 2 dX 1 + X2 X
c). cos (7X – 2) dX h). sec 2 (3X + 5) dX
d). (5X – 8)7 dX i). cosh (3 + 7X) dX
e). 74X + 5 dX j). 3 (1 + 16X2) – ½ dX
14
f. Kunci Jawab Tes Formatif 1 :
1). Lihat rangkuman 1, nomor 1) halaman 11 modul ini .
4 2). a). –½ X– 2 + ½ X 2 + + C f). 4 X – 3 cosh X + C X 1 b). – 4 arc.tg X + C g). ⅓⅓ X3 – 2X – + C X
c). sin (7X – 2) + C h). ⅓⅓tg (3X + 5) + C
d). (5X – 8)8 + C i). sinh (3 + 7X) + C
74X + 5 j). ¾ arc. sinh 4X + C e). + C 4 ln 7
2. Kegiatan Belajar 2 : Integrasi Fungsi Perkalian / Pembagian
Khusus
a. Tujuan Kegiatan Belajar 2 :
1). Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah integrasi
perkalian khusus.
2). Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah integrasi
pembagian khusus.
b. Uraian Materi 2 :
Integrasi Fungsi Perkalian / Pembagian Khusus
Yang dimaksud perkalian dan pembagian khusus pada
bagian ini yaitu perkalian / pembagian antara sebuah fungsi
dengan turunan (diferensiasinya).
Jika diketahui suatu fungsi f (X) dan turunanya f ‘ (X) maka
bentuk integral perkalian khusus tersebut dapat ditulis :
f (X). f ‘ (X) dX, atau jika dimisalkan Z = f (X) dan turunan
Z terhadap X adalah dZ = f ‘ (X) dX maka bentuk tersebut
menjadi Z dZ, sehingga integralnya dapat dicari dengan
rumus :
Z dZ = ½ Z 2 + C
15
Contoh :
1). Tentukan integral dari tg X . sec2 X dX Jawab : Misal Z = tg X maka dZ = sec2 X dX
tgX sec2 X dX = ½ tg2 X + C
ln X 1
2). dX = ln X . dX = ln X d (ln X )
X X
= ½ ( ln X )2 + C
3). sinh X. cosh X dX = sinh X d (sinh X ) = ½ sinh2 X + C
4). (3X2 – 2X + 4) . (6X – 2) dX = ½ ( 3X2 – 2X + 4 )2 + C sin –1 X
5). dX = sin –1 X . d (sin –1 X)
1 – X2
= ½ ( sin –1 X ) 2 + C
1
Selanjutnya untuk pembagian khusus, yaitu dZ maka Z penyelesainnya sama dengan rumus dasar nomor b, yaitu :
1
dX = ln X + C X
Jadi untuk bentuk pembagian khusus ini berlaku rumus
yang sama , yaitu :
dZ
= ln Z + C
Z
16
Contoh:
6X + 4
1). dX Z = 3X 2 + 4X – 5 3X 2 + 4X – 5 dZ = ( 6X + 4) dX
6X + 4
dX = ln ( 3X2 + 4X – 5) + C 3X 2 + 4X – 5 cos X
2). cotg X dX = dX sin X d (sin X)
= = ln sin X + C sin X sec 2 X d ( tg X)
3). dX = = ln tg X + C tg X tg X
cos θ d ( 1+ sin θ )
4). d θ = = ln ( 1 + sin θ ) + C 1 + sin θ 1 + sin θ sec X . tg X d ( sec X )
5). tg X dX = dX = . sec X sec X = ln sec X + C
c. Rangkuman 2 :
Integral Perkalian/Pembagian Khusus :
Yang dimaksud perkalian dan pembagian khusus adalah
perkalian / pembagian antara sebuah fungsi dengan turunannya.
Rumus Integral Perkalian Khusus : Z dZ = ½ Z 2 + C
dZ Rumus Integral Perkalian Khusus : = ln Z + C
Z
( Z = fungsi X, dZ/dX = turunan Z terhadap X )
17
d. Tugas 2 :
Tentukan integral-integral berikut ini :
4X2
1). 3 sin X cos X dX 6). dX
X3 + 10
ln X sin X
2). dX 7). dX 4X 1 – cos 2X 10 X – 15
3). (X3 – 4X) (6X2 – 8) dX 8). - dX X2 – 3X + 4 3 arc . tgh X sin 2X
4). dX 9). dX 1 – X2 cos 2X 5 cos –1 X 3 sec2 X
5). dX 10). dX
1 – X2 3 – tg X
e. Tes Formatif 2 :
6X2
1). cos 3X sin 3X dX 6). dX
10 X3 – 7
ln 3X 8 cos 4X
2). dX 7). dX 7X 3 – sin 4X 18 X + 6
3). (2X3 + 4X) (9X2 + 6) dX 8). - dX 3X2 + 2X – 5 7 arc . tg 2X 4 sin 5X
4). dX 9). dX 1 + 4X2 cos 5X 2 cos –1 3X 4 sec2 6X
5). dX 10). dX
1 – 9X2 7 – tg 6X
18
f. Kunci Jawab Tes Formatif 2 :
1 1). 1/6 cos2 3X + C 6). ln (10X3 – 7) + C
5 1 2). ( ln 3X) 2 + C 7). – 2 ln (3 – sin 4X) + C 14 3). ¾ (2X3 + 4X) 2 + C 8). 3 ln (3X2 + 2X – 5) + C 7 – 4 4). ( arc. tg 2X) 2 + C 9). ln (cos 5X ) + C 4 5 5) – ⅓⅓ (cos –1 3X)2 + C 10). – ⅔ ln (7 – tg 6X ) + C
3. Kegiatan Belajar 3 : Integral Parsial a. Tujuan Kegiatan Belajar 3 :
1). Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah integrasi
perkalian parsial.
2). Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah integrasi
pembagian parsial.
b. Uraian Materi 3 : Integrasi Parsial
Integrasi Perkalian Parsial :
Pada bagian sebelumnya telah dipelajari integrasi bentuk
khusus perkalian antara dua unsur yang terdiri dari sebuah
fungsi dan fungsi turunannya. Kaidah pengintegralan pada
bagian tersebut hanya berlaku khusus perkalian–perkalian yang
sejenis, sehingga dapat digunakan pada bentuk perkalian lain
yang terdiri atas dua unsur secara bebas, artinya unsur yang satu
bukan merupakan turunan dari yang lain.
Untuk menyelesaikan integral bentuk perkalian bebas ini
digunakan suatu cara yang biasa disebut integral parsial.
Dinamakan demikian karena hasil pengintegralan pertama masih
19
memuat permasalahan integral atau masih mengandung bagian
yang harus diintegralkan lagi .
Adapun caranya adalah sebagai berikut :
Misalnya U dan V adalah dua buah fungsi dalam X , maka :
U. dV = U.V ─ V . dU
Pada cara ini dituntut untuk dapat memilih dengan tepat,
fungsi mana yang harus diambil ( dimisalkan ) sebagai U dan
mana yang dimisalkan V karena kesalahan pemilihan kedua
bentuk tersebut akan mengakibatkan penyelesaian yang berlarut-
larut atau bahkan tidak dapat diperoleh penyelesaian yang
semestinya.
Sebagai pedoman prioritas ( urutan ) pemilihan bentuk yang
dimisalkan U adalah :
1). Fungsi logaritma ( ln X )
2). Fungsi perpangkatan dari X ( Xn )
3). Fungsi eksponensial ( eX )
4). Fungsi trigonometri atau fungsi lainya.
Contoh : Tentukan integral – integral berikut :
1). X2 .ln X dX
2). X2 e3X dX
3). e3X sin X dX
Jawab :
1). X2 ln X dX = U dV
Misal : U = ln X dV = X2 dX
1
dU = dX V = X2 dX = ⅓ X X
1
X ln X dX = ln X . ⅓ X3 – ⅓ X3 . dX X
20
= ⅓⅓ X3 ln X – ⅓ X2 dX
1 = ⅓ X3 ln X – –– X3 + C 9
2). X 2 e 3X dX = U. dX
misal U = X 2 dV = e 3X dX
dU = 2 X dX V = e 3X dX = ⅓ e3X
X2 e3XdX = X2 . ⅓ e3X – ⅓ e3X 2X dX
= ⅓ X2 e3X – ⅔ X e3X dX
Karena hasilnya masih mengandung integral dari bentuk
perkalian dua fungsi lagi, maka dilakkukan pemisalan
lagi dengan memilih U dan dV sesuai kaidah, akhirnya
diperoleh hasil :
X2 e3X dX = ⅓ X2 e3X – ⅔ ( X.⅓ e3X – ⅓ e3X dX )
= ⅓ X2 e3X – ⅔ ( ⅓ X e3X – 1/9 e3X ) + C
= ⅓ e3X ( X2 – ⅔ X – 2/9 ) + C
3). e3X sin X dX = U dV
Misal U = e3X dV = sin X dX
dU = 3 e3X dX V = sin X dX = – cos X
e3X x sin X dX = e3X – cos X – (– cos X ) 3e3XdX
= – e3Xcos X + 3 e3X cos X dX
Karena masih ada tanda integral, maka dimisalkan lagi
sehingga :
e3X sin X dX = – e3Xcos X+3(e3X sin X – 3 sin X.e3XdX)
= – e3X cos X + 3e3X sin X – 9 e3Xsin X dX
Hasil di atas ternyata masih terdapat lagi bentuk
yang mengandung integral, namun jika diperhatikan
bentuk tersebut adalah bentuk yang sejenis dengan soal
semula. Jika terdapat kejadian seperti ini maka tidak
21
perlu lagi diadakan pemisalan U dan dV, tetapi cukup
mengumpulkan bentuk sejenis tersebut kedalam bentuk
satu ruas yaitu ruas kiri, sehingga untuk soal diatas
menjadi:
e3X sin X dX + 9 e3X sin X dX = – e3X cos X + 3e3X sin X
10 e3X sin X dX = e3X ( 3 sin X – cos X ) + C
e 3X ( 3 sin X – cos X )
e3X sin X dX = + C
10
Integrasi Permbagian / Pecahan Parsial
Yang dimaksud integrasi pembagian/pecahan parsial pada
bagian ini adalah integrasi dari suatu bentuk pembagian/pecahan
yang tidak termasuk kedalam bentuk baku yang sudah dikenal
sebelumnya dan juga pembilang pecahan tersebut bukan
merupakan turunan (derivative) dari penyebutnya. Pecahan-
pecahan yang dimaksud disini adalah khusus pecahan-pecahan
aljabar, misalnya :
X+1 X2
dX , dX dan sebagainya. X2–3X+2 ( X–2 )( X2+1 )
Untuk menyelesaikan persoalan semacam ini, maka bentuk
pecahan tersebut terlebih dahulu harus diubah dengan cara
menyatakannya ke dalam pecahan parsialnya, yaitu sejumlah
pecahan aljabar yang lebih sederhana sehingga memungkinkan
untuk dapat diintegralkan dengan lebih mudah.
Ada beberapa kaidah pecahan parsial, yaitu :
1). Pembilang dari fungsi yang diberikan harus mempunyai
derajad yang lebih rendah dari pada derajat penyebutnya.
2). Faktorkanlah penyebutnya menjadi faktor-faktor primanya.
22
3). Faktor linier ( aX + b ) akan memberi pecahan parsial yang
A berbentuk : -
aX + b
4). Faktor (aX+b)2 akan memberi pecahan parsial yang berbentuk:
A B + -
aX + b ( aX + b )2
5). Faktor (aX+b)3 akan memberi pecahan parsial berbentuk :
A B C + + -
aX + b ( aX + b )2 ( aX + b )3
6). Faktor kuadrad ( aX2 + bX + c ) memberi pecahan parsial
yang berbentuk :
AX + B - aX2 + bX + c
Contoh Soal : Tentukan integral-integral di bawah ini :
X + 1 4X²
1) . dX 3). dX X² – 3X+2 X.(2X – 1)² X²
2). dX (X–2) (X² +1)
Jawab:
X+1 X+1
1). dX = dX X²–3X+2 (X – 2) (X – 1)
X+1 A B = + - (X–2) (X–1) X – 2 X – 1
X + 1 = A ( X – 1 ) + B ( X – 2 )
23
Bentuk ini adalah identitas yang berlaku untuk setiap
harga X, namun akan lebih sederhana jika dipilih X yang dapat
membuat salah satu sukunya berharga nol (0).
Ambil (X – 1) = 0 artinya X = 1, sehingga:
1 + 1 = A(1 – 1) + B(1 – 2)
2 = 0 – B Jadi B = – 2
Selanjutnya ambil (X – 2) = 0 artinya X = 2
2 + 1 = A(2 – 1) + B(2 – 2)
3 = A + 0 Jadi A = 3
Dengan demikian bentuk integral tersebut dapat di tulis
menjadi:
X+1 3 2
dX = dX = dX X2 – 3X + 2 X – 2 X – 1
= 3 ln (X – 2) – 2 ln (X – 1) + C ======================
X2 A BX + C
2). dX = ( + dX (X – 2) (X2 + 1) X – 2 X2 + 1
X2 A BX + C
= + - (X - 2) (X2 + 1) X – 2 X2 + 1
X2 = A(X2 + 1) + (X – 2) (BX + C)
Untuk X = 2 22 = A(22 + 1) = 0
4 = 5A Jadi A = 4/5
Selanjutnya untuk mencari harga B dan C samakanlah
koefisien-koefisien X pangkat tertinggi, dalam hal ini adalah X2:
(X2) 1 = A + B
B = 1 – A
=1 – 4/5 Jadi B = 1/5
24
Untuk X = 0 0 = A – 2C
C = ½ A = ½ . 4/5 = 2/5
X2 4/5 1/5 X + 2/5
Jadi dX = + dX (X - 2)(X2 + 1) X – 2 (X2 + 1)
4 1 1 X 2 1
= + + dX 5 X – 2 5 X2 + 1 5 X2 + 1 4 1 2
= ln (X – 2) + ln (X2 + 1) + arc.tg X + C 5 10 5
X2 4 1 2
dX = ln (X –2) + ln (X2+1) + arc.tg X + C (X– )(X2+1) 5 10 5 4X2 + 1 A B C
3). dX = ( + + ) dX X ( 2X – 1)2 X 2X (2X – 1)2
4X2 + 1 A B C = + + . X ( 2X – 1) 2 X 2X – 1 (2X – 1) 2
4X2 – 1 = A(2X – 1)2 + BX (2X – 1) + CX
Ambil 2X1 = 0 yaitu untuk X = ½
4 .½ 2 + 1 = A(2. ½ 1)2 + B. ½ (2. ½ 1) + C. ½
2 = ½ C C = 4
Samakan koefisien x untuk pangkat tertinggi :
[ X2 ] 4 = 4A + 2B
2A + B = 2
Untuk X = 0 maka A = 1 sehingga didapat B = 0
4X2 + 1 1 4 --------------- = --- + ------------
X( 2X 1) 2 X ( 2X 1 ) 2
4X2 + 1 1 4
-------------- dX = --- dX + ----- --- dX
X( 2X1 ) 2 X 2X –1) 2
25
1
= ---- dX + 4 (2X–1) –2 dX X 4( 2X–1) –1 = ln X + -------------- + C –1.2
2
= ln X + C 2X–1 ================== c. Rangkuman 3 :
Integral Perkalian / Pembagian Parsial : adalah integral
perkalian / pembagian dua buah fungsi yang saling asing ( yang
satu bukan turunan lainnya) dan juga bukan bentuk baku yang
sudah ada rumusnya.
1). Rumus Integrasi Perkalian Parsial :
Misalnya U dan V adalah dua buah fungsi dalam X , maka :
U. dV = U.V ─ V . dU
Sebagai pedoman prioritas ( urutan ) pemilihan bentuk
yang dimisalkan U adalah :
a). Fungsi logaritma ( ln X )
b). Fungsi perpangkatan dari X ( Xn )
c). Fungsi eksponensial ( eX )
d). Fungsi trigonometri atau fungsi lainya.
2). Integrasi Pembagian / Pecahan Parsial : ubahlah
pecahan aljabar itu menjadi pecahan parsialnya yang sudah
ada rumus integralnya. Pecahan parsial di sini khusus untuk
pecahan aljabar.
26
Ada beberapa kaidah pecahan parsial, yaitu :
a). Pembilang dari fungsi yang diberikan harus mempunyai
derajad yang lebih rendah dari pada derajat penyebutnya.
b). Faktorkan penyebutnya menjadi faktor-faktor primanya.
c). Faktor linier ( aX + b ) akan memberi pecahan parsial
A yang berbentuk : -
aX + b d). Faktor (aX+b)2 akan memberi pecahan parsial yang
berbentuk:
A B + -
aX + b ( aX + b )2
e). Faktor (aX+b)3 akan memberi pecahan parsial berbentuk:
A B C + + -
aX + b ( aX + b )2 ( aX + b )3
6). Faktor kuadrad ( aX2 + bX + c ) memberi pecahan parsial yang berbentuk : AX + B
- aX2 + bX + c
d. Tugas 3 :
Tentukan integral - integral berikut ini :
1). X2 cos 5X dX 6). X 3 ln ( X + 7 ) dX
2). 2X3 e3X dX 7). e5X sin 3X dX
2X2 + X +1 X3 + X + 1
4). dX 9). dX (X –1)(X2 +1) X4 + X2 dX 3X + 2
5). 10). dX X2 (1 + X2) (X –2)(X2 – 4)
27
e. Tes formatif 3 :
Tentukan integral - integral berikut ini :
1). X2 sin 7X dX 4). 4 X 2 ln 3 X dX
2). 4X3 e2X dX
2X – 1 8 – X
3). dX 5). dX X2 – 8X + 15 (X – 2)2 (X+1)
f. Kunci Jawab Tes Formatif 3 :
1). – 1/7 X2 cos 7X + 2/49 X sin 7X + 2/343 cos 7X + C
2). e2X (2X3 – 3X2 + 3 X + 1 ½ ) + C
3). 4½ ln ( X – 5 ) – 2½ ln ( X – 3 ) + C
4). 1⅓ X3 ( ln 3 X – ⅓ ) + C
2 5). – ln ( X – 2 ) – + ln ( X + 1 ) + C X – 2
4. Kegiatan Belajar 4 : Integral Tertentu dan Aplikasinya a. Tujuan Kegiatan Belajar 4 :
1). Mahasiswa dapat menyelesaikan integral tertentu sebuah
fungsi jika diketahui batas-batasnya.
2). Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah aplikasi integrasi
fungsi untuk menghitung luas daerah di bawah kurva.
3). Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah aplikasi integrasi
fungsi untuk menghitung luas daerah antar dua kurva.
4). Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah aplikasi integrasi
fungsi untuk menghitung volume benda putar.
28
b. Uraian Materi 4 : Integrasi Tertentu dan Aplikasinya
Pengertian dan Rumus Dasar Integral Tertentu
Dimisalkan f (X) adalah suatu fungsi yang terdefinisikan pada
interval tertutup [a,b] dan dapat terintegralkan, maka :
b disebut integral tertentu (integral Riemann)
f (X) dX dari f (X) mulai X = a sampai X = b
a
Adapun harga dari integral tersebut dapat dihitung dengan
rumus dasar sebagai berikut :
Jika diketahui anti turunan dari f (X) adalah F (X) maka :
b b f (X) d(X) = F(X) ] = F ( b ) – F ( a ) a a
Selanjutnya juga perlu diketahui bahwa integral tertentu
mempunyai sifat-sifat yang sama dengan integral tak tentu dalam
hal operasi aljabar, baik penjumlahan, pengurangan dua fungsi
atau lebih maupun perkalian antara suatu fungsi dengan bilangan
konstan.
Contoh Soal : Hitunglah :
2 1/4
1). ( 4X – 9X2 ) dX 2). sin3 (2X) . cos (2X) dX
1 0
Jawab :
2 2
1). ( 4X – 9X2 ) dX = 2X2 – 3X3 1 1
= 2 ( 22 – 12 ) – 3( 23 –13 )
= 2.3 – 3.7
= 15
29
¼
2). sin3 (2X) . cos (2X) dX
0
Misal U = sin 2X dU = 2 cos 2X dX ½ dU = cos 2X dX
Sehingga soal tersebut dapat diganti :
¼ sin4 2X ¼
½ (sin3 2X) ( 2 cos 2X ) dX = ½ ]
0
4 0
¼
= 1/8 sin4 2X ] = 1/8 ( sin4 ½ – sin4 0 ) 0
= 1/8 (1 – 0 ) = 1/8
Luas Daerah di Bawah Kurva :
Y Luas daerah di bawah suatu kurva
Y= f(X) Y = f ( X ) di atas sumbu X dari
X = a sampai X = b sebagaimana
tampak pada gambar di samping,
yaitu daerah yang diarsir dapat
A dihitung dengan rumus :
0 a b X
satuan luas
Contoh Soal :
1). Y Y=X2 +1 Hitunglah luas daerah yang
diarsir pada gambar di
sebelah ini !
-2 -1 0 1 2
b b
A = Y dX atau A = f (X) dX a a
30
Jawab : Luas daerah yang diarsir ( A ) : 2
A = ( X2 +1 ) dX
–2
2
= ⅓ X 3 + X = ⅓ ( 23 – (–2 )3 ) + ( 2 – (–2) ) –2
= ⅓. 16 + 4 = 9 ⅓ satuan luas
2). Hitunglah luas daerah antara kurva Y = 2 + X dan sumbu X
dari X = 1 sampai X = 4
4
Jawab : A = ( 2 + X ) dX 1
1½ 4
= 2X + ⅔ X = 2 (4 – 1) + ⅔ ( 41½ –11½ ) 1 = 2 . 3 + ⅔ . 7 = 10 ⅔ satuan luas
Luas Daerah Antara Dua Kurva :
Jika diketahui kurva-kurva Y = f (X)
dan Y = g (X) dengan f (X) g (X)
Y dan keduanya kontinyu pada selang
Y=f (X) a X b. Maka luas daerah antara
kedua kurva tersebut dari X = a
Y=g (X) sampai X = b dapat ditentukan
dengan rumus:
0 a b b
A = [ f (X) – g (X) ] dX satuan
a luas
31
Harga batas a dan b dalam hal ini tidak selalu telah diketahui
secara eksplisit, namun dapat ditentukan, yaitu dengan jalan
mencari titik potong antara kedua kurva (tergantung masalahnya).
Contoh Soal :
1). Hitunglah luas daerah antara kurva Y = 2 – X2 dan kurva Y = X
seperti yang ditunjukkan dalam gambar dibawah ini !
Y Jawab :
Y = X Pertama-tama cari dahulu batas
integrasinya, yaitu titik potong
kedua kurva.
0 X 2 – X2 = X
2 – X2 – X = 0
Y = 2 – X2 X2 + X – 2 = 0
( X + 2 ) ( X – 1) = 0
X + 2 = 0 atau X – 1 = 0
X = – 2 X = 1
Jadi, batas integrasi untuk menghitung luas daerah yang
dimaksud adalah X = – 2 sampai X = 1, sehingga :
1 1
A = ( 2–X2 ) – X dX = (–X2 – X + 2 ) dX –2 –2
–1 1
= ( ---- X3 – ---- X2 + 2X ) 1
3 2 –2
–1 1
= ---- 13 – (–2)3 – ---- 12 – (–2) 2 = 2 1– (–2)
3 2
= 4 ½ satuan luas
32
2). Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh parabol Y2 = 4X dan
garis yang persamaannya 4X – 3Y = 4
Jawab : Kedua kurva Y2 = 4X dan 4X – 3Y = 4
dipotongkan sehingga diperoleh :
Y2 – 3Y = 4
Y2 – 3Y – 4 = 0
(Y– 4) (Y+1) = 0
Y – 4 = 0 Y = 4
Y + 1 = 0 Y = –1
Untuk Y = 4 diperoleh X = 4
Y = –1 diperoleh X = ¼ Jadi titik potong kedua kurva ( 4, 4 ) dan (¼ , –1 ) Daerah yang dicari luasnya tampak seperti gambar dibawah :
Dalam hal ini luasnya dihitung dengan rumus :
b
A = { f (Y) – g (Y) } dY a Bila ditulis dalam fungsi Y di dapat :
X 0
Y
Y2 =4X
4X –3Y=4
4, 4
33
Y2 = 4X X = ¼ Y2 4X – 3Y = 4 X = ¾ Y +1
Jadi luas daerah tersebut :
4 3 Y2 1 4 A = ∫ ( Y + 1 – ) dY = ∫ (3Y + 4 –Y2 ) dY
–1 4 4 4 –1
1 3 1 4
= ( Y2 + 4Y – Y3 ) ] 4 2 3 –1
1 3 1 3 1 = ( 42 + 4.4 – 43) – { (–1 )2 + 4 (–1) (–1)3 }
4 2 3 2 3
125
= - - = 5,21 satuan luas
24
Menghitung Volume Benda Putar :
Y Y
Y = f ( X )
f (X )
0 a b X 0 V X
Jika suatu daerah di bawah kurva Y= f (X) antara garis
X = a sampai X = b diputar mengelilingi sumbu X sejauh satu
putaran ( 360), maka terjadilah sebuah benda putar (solid of
revolution ) yang volumenya dapat dihitung dengan rumus :
satuan volume
b b
V = { f (X )}2 dX atau V = Y2 dX a a
34
Sejalan dengan itu jika daerah di bawah kurva X = f (Y)
antara Y = a dan Y = b di putar mengelilingi sumbu Y sejauh satu
putaran maka volume benda putarnya :
satuan volume
Contoh :
1). Daerah yang di batasi oleh kurva Y = X2, sumbu X dan garis
X = 3 di putar mengelilingi sumbu X sejauh 360 Hitunglah
volume benda putar yang terbentuk !
Jawab :
Isi ( Volume ) benda putar yang terjadi :
3 3 3
V = Y2 dX = (X2 )2 dX = X4 dX 0 0 0
1 3 1
= X5 ] = ( 35 – 05 ) 5 0 5
= 48,6 satuan volume
2). Tentukanlah volume benda putar yang terbentuk apabila daerah
yang dibatasi oleh kurva Y = X3, sumbu Y dan garis Y = 3
diputar satu putaran mengelilingi sumbu Y !
Jawab: Dalam masalah ini akan lebih mudah jika digunakan
perubah integral dalam Y, sehingga volume benda
putar yang terbentuk dihitung dengan rumus :
b
V = X2 dY a
karena Y = X3 maka X = Y 1/ 3 sehingga didapat:
b
V = X 2 dY
a
35
3
V = ( Y1/3 )2 dY 0
3 3
V = Y2/3 dY = . 3/5 . Y5/3 ] 0 0
= 3/5 . . (3 ) 5/3
= 11,76 satuan isi
c. Rangkuman 4 :
Pengertian dan Rumus Dasar Integral Tertentu
Dimisalkan f (X) adalah suatu fungsi yang terdefinisikan pada
interval tertutup [a,b] dan dapat terintegralkan, maka :
b disebut integral tertentu (integral Riemann)
f (X) dX dari f (X) mulai X = a sampai X = b
a
Adapun harga dari integral tersebut dapat dihitung dengan
rumus dasar : ( Jika F (X) adalah anti turunan dari f (X) )
b b f (X) d(X) = F(X) ] = F ( b ) – F ( a ) a a
Luas Daerah di Bawah Kurva :
Luas daerah di bawah suatu kurva Y = f ( X ) di atas sumbu X
dari X = a sampai X = b dapat dihitung dengan rumus :
satuan luas
b b
A = Y dX atau A = f (X) dX a a
36
Luas Daerah Antara Dua Kurva :
Luas daerah antara dua kurva f (X) dan g (X) dari X = a sampai
X = b dapat ditentukan dengan rumus:
b
A = [ f (X) – g (X) ] dX satuan luas
a
Volume Benda Putar :
Jika suatu daerah di bawah kurva Y = f (X) antara garis
X = a sampai X = b diputar mengelilingi sumbu X sejauh satu
putaran ( 360), maka terjadilah sebuah benda putar (solid of
revolution ) yang volumenya dapat dihitung dengan rumus :
satuan volume
Sejalan dengan itu jika daerah di bawah kurva X = f (Y) antara
Y = a dan Y = b di putar mengelilingi sumbu Y sejauh satu putaran
maka volume benda putarnya :
satuan volume
d. Tugas 4 :
1). Hitunglah harga integral-integral berikut ini !
3
a). (3X2 – 2X+ 4 ) dX c). X2 . sin X dX
2 0
–2 ½
b). (X2 + 1/X3 ) dX d).
cos2 X. sin X dX
– 4 0
b b
V = {f (X )} 2 dX atau V = Y2 dX
a a
b
V = X 2 dY
a
37
2). Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh parabola
Y= ( X+2 ) ( X – 4 ) dan sumbu X.
3). Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva
Y = 3 e2X dan Y = 3e –X dan ordinat pada X = 1 dan X = 2
4). Hitunglah luas daerah yang diarsir di bawah ini
a. b. Y Y Y = X3 Y = 2X – X2 Y = 4
O X X
5). Tentukan volume benda putar yang dibentuk jika daerah
yang dibatasi oleh kurva Y = X, sumbu X dan garis X = 4
diputar 360o mengelilingi sumbu X.
6). Carilah volume benda yang terjadi bila bidang yang
dibatasi oleh kurva Y = X2 + 5, sumbu X dan ordinat pada
X = 1 dan X = 3 diputar satu putaran penuh mengelilingi
sumbu Y.
e. Tes formatif 4 :
1). Hitunglah harga integral-integral berikut ini !
3 ½ 3 sin 2X
a). ( t + 2 ) –2 dt b). dX
– 1 0 1 + cos2 X
2). Carilah luas daerah antara kurva Y= ( X+ 2 )2 dengan kurva
Y = 10 – X2
38
3). Hitunglah besarnya isi benda yang terbentuk jika bidang yang
dibatasi kurva Y = 3 cos X, sumbu X, dan ordinat pada X = 0
dan X = ¼ diputar satu putaran penuh mengelilingi sumbu
X.
f. Kunci Jawab Tes Formatif 4 :
1). a). 4/5
b). 2, 079
2). 21⅓ satuan luas.
3). 18,172 satuan volume
39
BAB III
EVALUASI
A. Pertanyaan
1. Tentukanlah integral-integral berikut ini !
a. Y = (5X4 – 4X2 – 3X +7+ 2 X )
b. Y = 7 ( 3X2 – 9X + 2 ) ( 10 X – 15 ) dX
c. Y = ( X3 – 1 ) .sin ( 5X – 7 ) dX
5 cos 3X
d. Y = -dX X -
4 – sin 3X
2. Hitunglah !
3
a. 5X2 e 2X dX 1
b. 4 cos 3. sin3 d
¼
3. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh parabola Y = 6X – X2 dan
Y = X2 – 2X.
4. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi
kurva Y = X + 3 , sumbu X, garis X = 2 dan garis X = 5 diputar satu
putaran mengelilingi sumbu X !
B. Kunci Jawaban
4 3 4
1. a. Y = X5 – X3 – X2 + 7 X + X X + C 3 2 3
35 b. Y = ( 3X2 – 9 X + 2 ) 2 + C 6
40
1 6 3 6
c. Y = { – (X3 – 1) + X } .cos (5X – 7) + ( X2 – ) cos (5X – 7) + C
5 125 25 625
5 b. Y = – ln ( 4 – sin 3X ) + C 3
2. a. 6546,48
b. – ⅓
3. 21⅓ satuan luas
4. 129 satuan volume = 405,165 satuan volume
C. Kriteria Kelulusan
Kriteria Skor (1 – 10)
Bobot Nilai Keterangan
Kognitif ( soal nomor 1 sd. 4 ) 5
Syarat lulus nilai minimal
56
Ketelitian menulis notasi 1
Ketepatan prosedur 2
Ketepatan formula jawaban 1
Ketepatan waktu 1
NILAI AKHIR
41
BAB IV
PENUTUP
Demikianlah mudul MAT. TKF 201 – 03 dengan judul Integrasi
Fungsi ini telah selesai disusun dengan dilengkapi beberapa
latihan/tugas, tes formatif maupun evaluasi akhir beserta kunci
jawabannya. Dengan bantuan modul ini diharapkan para mahasiswa
dapat memantau sendiri perkembangan kompetensinya, apakah mereka
telah benar-benar memiliki kompetensi sebagaimana tercermin pada
tujuan yang diharapkan pada setiap kegiatan belajar atau belum.
Bagi para mahasiswa yang telah mencapai syarat kelulusan minimal
maka mereka dapat menghentikan kegiatan belajarnya pada modul ini
dan melanjutkan ke modul berikutnya. Sebaliknya jika belum dapat
memenuhi kelulusan minimal, maka mereka harus mengulang kembali
belajarnya terutama pada bagian materi-materi yang belum dikuasainya
( belum lulus ) dan sebaiknya mereka harus lebih sungguh-sungguh
dalam belajar dengan memanfaatkan fasilitas yang ada termasuk bantuan
dari dosen sebagai fasilitator matakuliah ini.
42
DAFTAR PUSTAKA
Frank Ayres, Jr., 1984. Diferensial dan Integral : Kalkulus. Edisi Kedua (Terjemahan). Jakarta: Erlangga.
Njoman Susilo dkk., 1988. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1. Jakarta : Erlangga
Spiegel, M.R. 1984. Matematika Lanjutan (Terjemahan). Jakarta: Erlangga
Stroud, K.A. 1986. Matematika untuk Teknik (Terjemahan). Jakarta: Erlangga.