BAGIAN KEDUA - a410080137.files.wordpress.com fileFungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan 51. 52...

BAGIAN KEDUA

Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan

51

52 Hendra Gunawan

Pengantar Analisis Real 53

6. FUNGSI

6.1 Fungsi dan Grafiknya

Konsep fungsi telah dipelajari oleh Gottfried von Leibniz sejak akhir abad ke-17, namun definisi fungsi yang kita kenal sekarang berakar pada rumusan LeonhardEuler pada 1749, yang disempurnakan kemudian oleh Joseph Fourier pada 1822 danLejeune Dirichlet pada 1837.

Sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yangmengaitkan setiap x ∈ A dengan sebuah elemen tunggal y ∈ B, ditulis

f : A → B

x 7→ y.

Elemen y yang terkait dengan x disebut peta dari x (di bawah f) dan kita tulisy = f(x). Bila f(x) mempunyai rumus yang eksplisit, fungsi f sering dinyatakansebagai persamaan

y = f(x).

Dalam buku ini, kita membatasi pembahasan kita pada fungsi dari A ⊆ R keB ⊆ R, yakni fungsi bernilai real dengan peubah real. Dalam hal ini, kita dapatmenggambar grafik fungsi f : A → B pada bidang-xy (lihat Gambar 6.1). Definisi diatas menjamin bahwa setiap garis vertikal yang memotong A akan memotong grafiktepat pada satu buah titik (tidak mungkin lebih).

Jika f adalah sebuah fungsi dari A ke B dan H ⊆ A, maka kita katakanbahwa f terdefinisi pada H. Himpunan terbesar pada mana f terdefinisi adalah A.Himpunan A dalam hal ini disebut sebagai daerah asal f . Sebagai contoh, sebuahbarisan merupakan fungsi dengan daerah asal himpunan bilangan asli N.

Jika f terdefinisi pada H, maka kita definisikan peta dari H di bawah f sebagai

f(H) := {f(x) : x ∈ H}.

54 Hendra Gunawan

Gambar 6.1 Grafik sebuah fungsi

Untuk ilustrasi, lihat Gambar 6.2 di bawah ini. Dalam hal H = A, himpunan f(A)disebut sebagai daerah nilai f . Catat bahwa f(A) tidak harus sama dengan B.

Gambar 6.2 Peta dari H di bawah f

Contoh 1. Persamaan y = x2 mendefinisikan sebuah fungsi dari R ke R. Untuktiap x ∈ R terdapat tepat sebuah y ∈ R yang memenuhi aturan y = x2. Amatibahwa, dalam Gambar 6.3 pada halaman berikut, setiap garis vertikal memotonggrafik y = x2 tepat pada sebuah titik. Daerah asal fungsi ini adalah R dan daerahnilainya adalah [0,∞). Peta dari (−0.5, 1], misalnya, adalah [0, 1].

Contoh 2. Persamaan y2 = x tidak mendefinisikan fungsi dari [0,∞) ke R. Untuk


Gambar 6.3 Grafik persamaan y = x2

tiap x > 0 terdapat dua buah y ∈ R, yakni y = ±√

x, yang memenuhi aturan y2 = x.Dalam Gambar 6.4, amati bahwa setiap garis vertikal yang memotong sumbu-x padax0 > 0 akan memotong grafik y2 = x pada dua buah titik.

Gambar 6.4 Grafik persamaan y2 = x

Contoh 3. Persamaan y2 = x, y ≥ 0, mendefinisikan sebuah fungsi dari [0,∞) ke[0,∞). Untuk tiap x > 0 terdapat tepat sebuah y ∈ [0,∞), yakni y =

√x, yang

memenuhi aturan y2 = x. Dalam Gambar 5.5, amati bahwa setiap garis vertikal yangmemotong sumbu-x pada x0 ≥ 0 akan memotong grafik y2 = x, y ≥ 0, tepat padasebuah titik.

56 Hendra Gunawan

Gambar 6.5 Grafik persamaan y2 = x, y ≥ 0

Soal Latihan

1. Gambar grafik himpunan semua titik (x, y) sedemikian sehingga

y ={

5 jika x ≥ 12 jika x < 1

Jelaskan mengapa grafik tersebut merupakan grafik sebuah fungsi dari R keR. Tentukan daerah nilainya. Tentukan pula peta dari [1, 2] di bawah fungsitersebut.

2. Apakah persamaan x2 + y2 = 1 mendefinisikan sebuah fungsi dari [−1, 1] ke[−1, 1]? Jelaskan.

3. Apakah persamaan x2+y2 = 1, y ≥ 0, mendefinisikan sebuah fungsi dari [−1, 1]ke [0, 1]? Jelaskan.

4. Diketahui f terdefinisi pada H dan A,B ⊆ H. Selidiki apakah f(A ∪ B) =f(A) ∪ f(B) dan f(A ∩B) = f(A) ∩ f(B).

6.2 Fungsi Polinom dan Fungsi Rasional

Jika a0, a1, . . . , an ∈ R, maka persamaan

y = a0 + a1x + · · ·+ anxn


mendefinisikan sebuah fungsi dari R ke R. Sembarang nilai x yang disubstitusikanke ruas kanan akan memberi kita sebuah nilai y yang berkaitan dengannya. Untukn ∈ N, fungsi ini dikenal sebagai polinom berderajat n asalkan an 6= 0. Untuk n = 0,fungsi konstan y = a0 merupakan polinom berderajat 0.

Misalkan P dan Q adalah fungsi polinom, dan S adalah himpunan semua bi-langan x ∈ R dengan Q(x) 6= 0. Maka, persamaan

y =P (x)Q(x)

mendefinisikan sebuah fungsi dari S ke R. Fungsi ini dikenal sebagai fungsi rasional.

Contoh 4. Fungsi yang diberikan oleh persamaan

y = x3 − 3x2 + 2x

merupakan polinom berderajat 3 (atau ‘polinom kubik’). Grafik fungsi ini dapatdilihat dalam Gambar 6.6. Perhatikan bahwa grafik memotong sumbu-x pada tigabuah titik (yang merupakan akar persamaan kubik x3 − 3x2 + 2x = 0).

Gambar 6.6 Grafik fungsi y = x3 − 3x2 + 2x

Contoh 5. Fungsi yang diberikan oleh persamaan

y =x2 + 4x2 − 4

merupakan polinom rasional. Daerah asalnya adalah {x : x 6= ±2}. Grafiknya dapatdilihat dalam Gambar 6.7.

58 Hendra Gunawan

Gambar 6.7 Grafik fungsi y = x2+4x2−4

Soal Latihan

1. Tentukan daerah nilai fungsi polinom y = 4x− 4x2 dan sketsalah grafiknya.

2. Tentukan daerah asal fungsi rasional y = 1−x1+x dan sketsalah grafiknya.

6.3 Operasi pada Fungsi; Fungsi Invers

Jika H ⊆ R, f, g : H → R, dan λ ∈ R, maka kita definisikan f + g dan λf

sebagai fungsi yang memenuhi aturan

(f + g)(x) := f(x) + g(x), x ∈ H;

(λf)(x) := λf(x), x ∈ H.

Selain itu kita definisikan pula fg dan f/g sebagai

(fg)(x) := f(x)g(x), x ∈ H;

(f/g)(x) := f(x)/g(x), x ∈ H, g(x) 6= 0.

Sebagai contoh, jika f dan g adalah polinom, maka f/g merupakan fungsi rasional.

Misalkan A,B ⊆ R, g : A → B, dan f : B → R. Maka kita definisikan fungsikomposisi f ◦ g : A → R sebagai

(f ◦ g)(x) := f(g(x)), x ∈ A.


Perhatikan bahwa untuk tiap x ∈ A

x 7→ g(x) 7→ f(g(x)).

Di sini fungsi g beroperasi terlebih dahulu terhadap x, baru kemudian fungsi f berop-erasi terhadap g(x).

Contoh 6. Misalkan f : R → R didefinisikan sebagai

f(x) =x2 − 1x2 + 1

, x ∈ R,

dan g : R → R didefinisikan sebagai

g(x) = x2.

Maka f ◦ g : R → R adalah fungsi dengan aturan

(f ◦ g)(x) = f(g(x)) ={g(x)}2 − 1{g(x)}2 + 1

=x4 − 1x4 + 1

.

Misalkan A dan B adalah himpunan dan f adalah fungsi dari A ke B. Ini berartibahwa bahwa setiap anggota a ∈ A mempunyai sebuah peta tunggal b = f(a) ∈ B.Kita sebut f−1 fungsi invers dari f apabila f−1 merupakan fungsi dari B ke A dengansifat

x = f−1(y) jika dan hanya jika y = f(x).

Tidak semua fungsi mempunyai fungsi invers. Dari definisi di atas jelas bahwaf : A → B mempunyai fungsi invers f−1 : B → A jika dan hanya jika setiap b ∈ B

merupakan peta dari sebuah anggota tunggal a ∈ A. Fungsi dengan sifat ini disebutsebagai suatu korespondensi 1− 1 antara A dan B.

Secara geometris, f : A → B merupakan korespondensi 1 − 1 antara A danB jika dan hanya jika setiap garis vertikal yang memotong A juga memotong grafikf tepat pada sebuah titik dan setiap garis horisontal yang memotong B juga akanmemotong grafik f tepat pada sebuah titik. Kondisi pertama memastikan bahwaf merupakan fungsi, sementara kondisi kedua memastikan bahwa f−1 merupakanfungsi. Lihat Gambar 6.8 di bawah ini.

Contoh 7. Fungsi f(x) =√

x merupakan korespondensi 1 − 1 antara [0,∞) dan[0,∞). Fungsi ini mempunyai fungsi invers, yaitu

f−1(x) = x2, x ≥ 0.

60 Hendra Gunawan

Gambar 6.8 Korespondensi 1− 1

Soal Latihan

1. Misalkan f : [0, 1] → [0, 1] didefinisikan sebagai

f(x) =1− x

1 + x, 0 ≤ x ≤ 1,

dan g : [0, 1] → [0, 1] didefinisikan sebagai

g(x) = 4x− 4x2, 0 ≤ x ≤ 1.

Tentukan aturan untuk f ◦ g dan g ◦ f . Apakah mereka sama?

2. Untuk fungsi f dan g pada Soal 1, tunjukkan bahwa f−1 ada sedangkan g−1

tidak ada. Tentukan aturan untuk f−1.

3. Diketahui g : A → B merupakan suatu korespondensi 1 − 1 antara A dan B.Buktikan bahwa (g−1 ◦ g)(x) = x untuk tiap x ∈ A dan (g ◦ g−1)(y) = y untuktiap y ∈ B.

6.4 Fungsi Terbatas

Misalkan f terdefinisi pada H. Kita katakan bahwa f terbatas di atas pada H

oleh suatu batas atas M apabila untuk tiap x ∈ H berlaku

f(x) ≤ M.


Ini setara dengan mengatakan bahwa himpunan

f(H) = {f(x) : x ∈ H}

terbatas di atas oleh M .

Jika f terbatas di atas pada H, maka menurut Sifat Kelengkapan f(H) mem-punyai supremum. Misalkan

B = supx∈H

f(x) = sup f(H).

Secara umum, belum tentu terdapat c ∈ H sehingga f(c) = B. Jika terdapat c ∈ H

sehingga f(c) = B, maka B disebut sebagai nilai maksimum f pada H dan nilaimaksimum ini tercapai di c. Untuk ilustrasi, lihat Gambar 6.9 di bawah ini.

Gambar 6.9 Fungsi terbatas dan nilai maksimumnya

Definisi fungsi terbatas di bawah dan nilai minimum dapat dirumuskan secaraserupa. Jika f terbatas di atas dan juga di bawah pada himpunan H, maka f

dikatakan terbatas pada H. Menurut Proposisi 2 pada Bab 1, f terbatas pada H

jika dan hanya jika terdapat K > 0 sedemikian sehingga untuk tiap x ∈ H berlaku

|f(x)| ≤ K.

Contoh 8. Misalkan f : (0,∞) → R didefinisikan sebagai

f(x) =1x

, x > 0.

62 Hendra Gunawan

Fungsi ini terbatas di bawah pada (0,∞) dan infx>0

f(x) = 0, namun f tidak mempunyai

nilai minimum. Perhatikan pula bahwa f tidak terbatas di atas pada (0,∞).

Contoh 9. Misalkan f : [0, 1] → [0, 1] didefinisikan oleh

f(x) = 1− x.

Fungsi ini terbatas pada [0, 1], mencapai nilai maksimumnya (yaitu 1) di 0, dan jugamencapai nilai minimumnya (yaitu 0) di 1.

Soal Latihan

1. Selidiki apakah f : [0, 1] → [0, 1] yang didefinisikan sebagai

f(x) =1− x

1 + x, 0 ≤ x ≤ 1,

terbatas serta mencapai nilai maksimum dan minimumnya.

2. Selidiki apakah g : [0, 1] → [0, 1] yang didefinisikan sebagai

g(x) = 4x− 4x2, 0 ≤ x ≤ 1.

terbatas serta mencapai nilai maksimum dan minimumnya.

3. Tunjukkan bahwa f(x) = 11+x2 terbatas pada R. Apakah f mencapai nilai

maksimum dan minimumnya?

4. Misalkan f dan g terbatas di atas pada H dan a ∈ R. Buktikan bahwa

• supx∈H

{a + f(x)} = a + supx∈H

f(x).

• supx∈H

{f(x) + g(x)} ≤ supx∈H

f(x) + supx∈H

g(x).

Beri contoh bahwa kesamaan tidak harus berlaku.


7. LIMIT DAN KEKONTINUAN

7.1 Limit Fungsi di Suatu Titik

Diberikan sebuah fungsi yang terdefinisi pada interval (a, b) kecuali mungkin disebuah titik c ∈ (a, b), kita tertarik untuk mengamati nilai f(x) untuk x di sekitarc. Khususnya, kita bertanya: apakah f(x) menuju suatu bilangan tertentu bila x

menuju c? Berikut ini adalah definisi limit sepihak, yaitu limit kiri dan limit kanan,di suatu titik.

Misalkan f terdefinisi pada interval (a, c) dan L ∈ R. Kita katakan bahwa f

menuju L bila x menuju c dari kiri, dan kita tulis

f(x) → L bila x → c−

ataulim

x→c−f(x) = L,

apabila untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga

jika c− δ < x < c, maka |f(x)− L| < ε.

Misalkan f terdefinisi pada interval (c, b) dan M ∈ R. Kita katakan bahwa f

menuju M bila x menuju c dari kanan, dan kita tulis

f(x) → M bila x → c+

ataulim

x→c+f(x) = M,


jika c < x < c + δ, maka |f(x)−M | < ε.

64 Hendra Gunawan

Gambar 7.1 Limit Kiri f di c

Bilangan L dan M disebut sebagai limit kiri dan limit kanan dari f di c. Nilai|f(x)−L| (atau |f(x)−M |) menyatakan jarak antara f(x) dan L (atau jarak antaraf(x) dan M), yang dapat kita interpretasikan sebagai kesalahan dalam menghampirinilai L atau M dengan f(x) (atau sebaliknya menghampiri nilai f(x) dengan L atauM). Kesalahan ini dapat dibuat sekecil yang kita kehendaki dengan cara mengambilx sedekat-dekatnya ke c dari kiri atau kanan.

Contoh 1. Misalkan f : R → R adalah fungsi yang didefinisikan sebagai

f(x) ={

1− x, x ≤ 1;2x, x > 1.

Maka,

limx→1−

f(x) = 0 dan limx→1+

f(x) = 2.

Perhatikan bahwa nilai f(1) terdefinisi, yakni f(1) = 0.

Misalkan f terdefinisi pada interval (a, b) kecuali mungkin di titik c ∈ (a, b),dan L ∈ R. Kita katakan bahwa f menuju ke L bila x menuju c, dan kita tuliskan

f(x) → L bila x → c

atau

limx→c

f(x) = L,



jika 0 < |x− c| < δ, maka |f(x)− L| < ε.

Dalam hal ini, bilangan L disebut sebagai limit f di c, dan f dikatakan mempunyailimit L di c.

Gambar 7.2 Limit f di c

Perhatikan bahwa kondisi 0 < |x− c| < δ setara dengan −δ < x− c < δ, x 6= c.Jadi, 0 < |x−c| < δ jika dan hanya jika x memenuhi salah satu dari dua pertaksamaanberikut:

c− δ < x < c atau c < x < c + δ.

Sehubungan dengan itu, kita mempunyai proposisi berikut.

Proposisi 2. limx→c

f(x) = L jika dan hanya jika limx→c−

f(x) = L dan limx→c+

f(x) = L.

Menurut Proposisi 2, fungsi pada Contoh 1 tidak mempunyai limit di 1 karenalimit kiri dan limit kanannya tidak sama.

Contoh 3. Misalkan f(x) = x2−1x−1 . Fungsi ini terdefinisi pada (−∞, 1) dan juga pada

(1,∞). Bila kita tinjau nilai f(x) untuk x < 1, maka kita dapatkan bahwa

f(x) → 2 bila x → 1−.

Bila kita amati nilai f(x) untuk x > 1, maka kita dapatkan bahwa

f(x) → 2 bila x → 1+.

66 Hendra Gunawan

Jadi, limit kiri dari f di c sama dengan limit kanannya, yaitu 2. Karena itu limx→c

f(x) =2. (Perhatikan bahwa pada contoh ini, f tidak terdefinisi di 1.)

Proposisi 4. (i) limx→c

k = k

(ii) limx→c

x = c.

Bukti. (i) Diberikan ε > 0, pilih δ > 0 sembarang. Jika 0 < |x − c| < δ, maka|k − k| = 0 < ε. Ini membuktikan bahwa lim

x→ck = k.

(ii) Diberikan ε > 0, pilih δ = ε. Jika 0 < |x − c| < δ, maka |x − c| < δ = ε. Inimembuktikan bahwa lim

x→cx = c.

Soal Latihan

1. Misalkan n ∈ N. Buktikan, dengan menggunakan definisi, bahwa limx→0+

x1/n = 0.

2. Misalkan f : R → R adalah fungsi yang didefinisikan sebagai

f(x) =

2x, x < 1;1, x = 1

3− x, x > 1.

Buktikan, dengan menggunakan definisi, bahwa

limx→1−

f(x) = 2 dan limx→1+

f(x) = 2.

Simpulkan bahwa limx→1

f(x) = 2.

3. Buktikan, dengan menggunakan definisi, bahwa limx→c

px + q = pc + q.

4. Buktikan limx→c

f(x) = 0 jika dan hanya jika limx→c

|f(x)| = 0.

5. Buktikan jika limx→c

f(x) = L > 0, maka terdapat δ > 0 sehingga f(x) > 0 untukc− δ < x < c + δ, x 6= c.

7.2 Kekontinuan di Suatu Titik

Dalam definisi limx→c

f(x), nilai f di c sama sekali tidak diperhatikan. Kita hanyatertarik dengan nilai f(x) untuk x menuju c, bukan dengan nilai f di c. Jadi mungkin


saja f mempunyai limit L di c sekalipun f tidak terdefinisi di titik c. Dalam hal f

terdefinisi di c, dapat terjadi f(c) 6= L.

Misalkan f terdefinisi pada (a, b) dan c ∈ (a, b). Kita katakan bahwa f kontinudi titik c jika dan hanya jika

limx→c

f(x) = f(c).

Berdasarkan Proposisi 2, f kontinu di c jika dan hanya jika untuk setiap ε > 0 terdapatδ > 0 sedemikian sehingga jika |x− c| < δ, maka

|f(x)− f(c)| < ε.

Secara intuitif, f kontinu di c berarti grafik fungsi f tidak ‘terputus’ di c.

Seperti halnya limit sepihak, kita juga mempunyai definisi kekontinuan sepihak.Jika f terdefinisi pada (a, c] dan lim

x→c−f(x) = f(c), maka kita katakan bahwa f kontinu

kiri di c. Jika f terdefinisi pada [c, b) dan limx→c+

f(x) = f(c), maka kita katakan bahwaf kontinu kanan di c.

Gambar 7.3 Fungsi Kontinu di Suatu Titik

Contoh 5. (i) Untuk setiap n ∈ N, fungsi f(x) = x1/n kontinu kanan di 0.

(ii) Fungsi f(x) = px + q kontinu di setiap titik.

Teorema 6. Misalkan f terdefinisi pada (a, b) kecuali mungkin di c ∈ (a, b). Maka,limx→c

f(x) = L jika dan hanya jika, untuk setiap barisan 〈xn〉 di (a, b) dengan xn 6=c (n ∈ N) dan lim

n→∞xn = c, berlaku lim

n→∞f(xn) = L.

68 Hendra Gunawan

Catatan. Jika f kontinu di c, maka L = f(c) dan Teorema 6 menyatakan bahwa

limn→∞

f(xn) = f(

limn→∞

xn

);

yakni, limit dapat ‘bertukar’ dengan f . Hasil serupa berlaku untuk limit kiri danlimit kanan.

Dengan menggunakan Teorema 6, kekontinuan f(x) = px + q di sebarang titikc ∈ R dapat dibuktikan sebagai berikut. Misalkan 〈xn〉 adalah sebarang barisan yangkonvergen ke c. Maka, menurut Proposisi 5 pada Bab 3,

f(xn) = pxn + q → pc + q = f(c), untuk n →∞.

Menurut akibat dari Teorema 6, f kontinu di c.

Soal Latihan

1. Buktikan Teorema 6.

2. Buktikan bahwa f(x) =√

x kontinu di setiap c > 0.

3. Buktikan bahwa f(x) = |x| kontinu di setiap titik.

4. Misalkan f terdefinisi pada (a, b) dan kontinu di suatu titik c ∈ (a, b). Buktikanjika f(c) > 0, maka terdapat δ > 0 sehingga f(x) > 0 untuk x ∈ (c− δ, c + δ).

5. Konstruksi sebuah fungsi f : R → R yang kontinu hanya di sebuah titik.

7.3 Sifat-sifat Limit dan Kekontinuan

Proposisi 7. Misalkan f dan g terdefinisi pada interval (a, b) kecuali mungkin dic ∈ (a, b). Misalkan lim

x→cf(x) = L dan lim

x→cg(x) = M , dan λ, µ ∈ R. Maka

(i) limx→c

[λf(x) + µg(x)] = λL + µM ;

(ii) limx→c

f(x)g(x) = LM ;

(iii) limx→c

f(x)g(x) = L

M , asalkan M 6= 0.

Akibat 8. Jika f dan g kontinu di c, maka λf +µg, fg, dan fg kontinu di c (asalkan

g(c) 6= 0).


Akibat 9. Fungsi polinom kontinu di setiap titik. Fungsi rasional kontinu di setiaptitik dalam daerah asalnya.

Bukti. Menurut Proposisi 4, f(x) = k dan g(x) = x kontinu di sebarang titik c ∈ R.Menurut Proposisi 7(ii), h(x) = xi kontinu di sebarang titik c ∈ R, untuk tiap i ∈ N.Akibatnya, menurut Proposisi 7(i), fungsi polinom

p(x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0

kontinu di setiap titik c ∈ R. Untuk membuktikan kekontinuan fungsi rasional disetiap titik dalam daerah asalnya, kita perlu menggunakan Proposisi 7(iii).

Teorema 10. Jika g kontinu di c dan f kontinu di g(c), maka f ◦ g kontinu pada c.

Bukti. Ambil ε > 0 sebarang. Karena f kontinu di b := g(c), maka terdapat δ > 0sedemikian sehingga

|f(y)− f(b)| < ε

untuk |y − b| < δ. Selanjutnya, karena g kontinu di c, kita dapat memilih γ > 0sedemikian sehingga

|g(x)− g(c)| < δ

untuk |x − c| < γ. Akibatnya, jika |x − c| < γ, maka |g(x) − b| = |g(x) − g(c)| < δ,sehingga

|f ◦ g(x)− f ◦ g(c)| = |f(g(x))− f(b)| < ε.

Ini berarti bahwa f ◦ g kontinu di c.

Soal Latihan

1. Buktikan Proposisi 7.

2. Berikan contoh fungsi f dan g dengan limx→0

f(x) tidak ada, limx→0

g(x) ada, danlimx→0

f(x)g(x) ada. Apakah ini bertentangan dengan Proposisi 7(ii) atau 7(iii)?

3. Benar atau salah: Jika limx→c

g(x) = L dan limy→L

f(y) = M , maka limx→c

f(g(x)) =

M?

4. Buktikan jika limx→c

g(x) = L dan f kontinu di L, maka limx→c

f(g(x)) = f(L).

5. Kita katakan bahwa limx→c+

f(x) = +∞ apabila, untuk setiap M > 0 terdapat

δ > 0 sehingga f(x) > M untuk c < x < c+δ. Buktikan bahwa limx→0+

1√x

= +∞.

70 Hendra Gunawan

8. FUNGSI KONTINU PADA INTERVAL

8.1 Kekontinuan pada Interval

Secara geometris, f kontinu di suatu titik berarti bahwa grafiknya tidak terputusdi titik tersebut. Serupa dengan itu, f kontinu pada suatu interval apabila grafiknyatidak terputus pada interval tersebut. Secara intuitif, f kontinu pada suatu intervalapabila kita dapat menggambar grafik fungsi f pada interval tersebut tanpa harusmengangkat pena dari kertas.

Secara formal, sebuah fungsi f dikatakan kontinu pada suatu interval buka I

jika dan hanya jika f kontinu di setiap titik pada I. Fungsi f dikatakan kontinu padainterval tutup I = [a, b] jika dan hanya jika f kontinu di setiap titik c ∈ (a, b), kontinukanan di a, dan kontinu kiri di b.

Gambar 8.1 Grafik fungsi kontinu pada interval buka


f(x) ={

x, x ≤ 1;32 , x > 1


Perhatikan bahwa f kontinu di setiap titik kecuali di c = 1. Namun f kontinu kiri dic = 1, dan karenanya f kontinu pada interval [0, 1]. Karena f tidak kontinu kanan dic = 1, maka f tidak kontinu pada interval [1, 2].

Gambar 8.2 Grafik fungsi kontinu pada interval tutup

Proposisi 2. Misalkan f terdefinisi pada suatu interval I. Maka, f kontinu pada I

jika dan hanya jika, untuk setiap x ∈ I dan setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikiansehingga

|f(x)− f(y)| < ε

untuk y ∈ I dengan |x− y| < δ.

Contoh 3. (i) Fungsi f(x) = px + q kontinu pada sebarang interval I.

(ii) Fungsi g(x) = |x| kontinu pada sebarang interval I.

(iii) Fungsi h(x) =√

x kontinu pada sebarang interval I ⊆ [0,∞).

Soal Latihan

1. Misalkan f : [0, 5] → R didefinisikan sebagai

f(x) ={

2x, 0 ≤ x < 1;1, 1 ≤ x ≤ 5.

Selidiki apakah f kontinu di setiap titik pada interval [0, 5]. Selidiki kekontinuanf pada interval [0, 1] dan pada interval [1, 5]. Sketsalah grafiknya.

72 Hendra Gunawan

2. Buktikan bahwa fungsi f pada Soal 1 terbatas. Tentukan apakah ia mempunyainilai maksimum dan nilai minimum.

3. Misalkan K > 0 dan f : I → R adalah fungsi yang memenuhi

|f(x)− f(y)| ≤ K |x− y|

untuk setiap x, y ∈ I. Buktikan bahwa f kontinu pada I.

8.2 Sifat-sifat Fungsi Kontinu pada Interval

Sebagai akibat dari Proposisi 8 dan Teorema 11 yang telah dibahas pada Bab7, kita mempunyai Proposisi 4 dan Proposisi 6 di bawah ini.

Proposisi 4. Misalkan f dan g kontinu pada suatu interval I dan λ, µ ∈ R. Makaλf +µg dan fg kontinu pada I. Juga, jika g(x) 6= 0 untuk tiap x ∈ I, maka f

g kontinupada I.

Contoh 5. (i) Setiap fungsi polinom kontinu pada sebarang interval.

(ii) Setiap fungsi rasional kontinu pada sebarang interval dalam daerah asalnya. Se-bagai contoh, f(x) = 1

x kontinu pada (0,∞).

(iii) Fungsi f(x) = x+√

x kontinu pada sebarang interval I ⊆ [0,∞), karena f1(x) = x

dan f2(x) =√

x kontinu pada sebarang interval I ⊆ [0,∞).

Proposisi 6. Misalkan g : I → J kontinu pada interval I dan f : J → R kontinupada interval J . Maka f ◦ g kontinu pada I.

Contoh 7. (i) Fungsi h(x) = |1+x| kontinu pada sebarang interval, karena f(x) = |x|dan g(x) = 1 + x kontinu pada sebarang interval.

(ii) Fungsi h(x) = 1−√

x1+√

xkontinu pada sebarang interval I ⊆ [0,∞).

Soal Latihan

1. Jelaskan mengapa fungsi berikut kontinu pada sebarang interval.

• f(x) = 11+|x| .


• g(x) =√

1 + x2.

2. Misalkan f kontinu pada suatu interval I dan untuk setiap bilangan rasionalr ∈ I berlaku f(r) = r2. Buktikan bahwa f(x) = x2 untuk setiap x ∈ I.

3. Misalkan f : [0, 1] → [0, 1] adalah fungsi kontraktif, yakni memenuhi ketak-samaan

|f(x)− f(y)| ≤ C |x− y|, x, y ∈ [0, 1],

untuk suatu konstanta C dengan 0 < C < 1. Konstruksi barisan 〈xn〉 denganx1 ∈ I dan xn+1 = f(xn), n ∈ N. Buktikan bahwa 〈xn〉 konvergen ke suatuL ∈ [0, 1], dan L = f(L).

8.3 Lebih jauh tentang Fungsi Kontinu pada Interval

Sebagaimana telah disinggung dalam Bab 2, interval [a, b] yang tertutup danterbatas merupakan himpunan kompak di R. Sekarang kita akan mempelajari keis-timewaan yang dimiliki oleh fungsi kontinu pada interval kompak [a, b].

Teorema 8. Misalkan f kontinu pada interval [a, b]. Maka f([a, b]) juga merupakansuatu interval kompak.

Teorema ini merupakan konsekuensi dari beberapa teorema berikut.

Teorema 9. Misalkan f kontinu pada suatu interval I. Maka daerah nilainya, yaituf(I), juga merupakan suatu interval.

Teorema 10 (Teorema Nilai Antara). Misalkan f kontinu pada suatu interval I

yang memuat a dan b. Jika u terletak di antara f(a) dan f(b), maka terdapat c diantara a dan b sedemikian sehingga f(c) = u.

Catatan. Teorema 10 setara dengan Teorema 9. Oleh karena itu kita cukup mem-buktikan salah satu di antara mereka.

Bukti Teorema 10. Tanpa mengurangi keumuman, asumsikan a < b dan f(a) <

u < f(b). Tinjau himpunan H := {x ∈ [a, b] : f(x) < u}. Jelas bahwa H 6= ∅karena a ∈ H. Karena H juga terbatas, maka H mempunyai supremum, sebutlah

74 Hendra Gunawan

c = sup H. Di sini a < c < b. Selanjutnya tinggal membuktikan bahwa f(c) = u,dengan menunjukkan bahwa tidak mungkin f(c) < u ataupun f(c) > u.

Andaikan f(c) < u. Karena f kontinu di c, maka terdapat δ > 0 sedemikiansehingga f

(c + δ

2

)< u (?). Jadi c + δ

2 ∈ H. Ini bertentangan dengan fakta bahwac = supH. Sekarang andaikan f(c) > u. Sekali lagi, karena f kontinu di c, makaterdapat δ > 0 sedemikian sehingga f(x) > u untuk c − δ < x ≤ c (?). Jadi tidakada satu pun anggota H pada interval (c− δ, c]. Ini juga bertentangan dengan faktabahwa c = supH.

Teorema 11. Misalkan f kontinu pada interval [a, b]. Maka f terbatas pada [a, b].

Bukti. Misalkan f tak terbatas pada [a, b]. Maka terdapat suatu barisan 〈xn〉 di [a, b]sedemikian sehingga

|f(xn)| → +∞ untuk n →∞. (1)

Karena 〈xn〉 terbatas, maka menurut Teorema Bolzano - Weierstrass terdapat suatusub-barisan 〈xnk

〉 yang konvergen ke suatu titik c ∈ [a, b]. Tetapi f kontinu di c,sehingga f(xnk

) → f(c) untuk k → ∞. Ini bertentangan dengan (1). Jadi mestilahf terbatas pada [a, b].

Teorema 12. Misalkan f kontinu pada interval [a, b]. Maka f mencapai nilai mak-simum dan nilai minimum pada [a, b].

Bukti. Dari Teorema 11 kita tahu bahwa f terbatas pada [a, b]. Misalkan v :=sup f([a, b]). Konstruksi barisan 〈xn〉 di [a, b] dengan f(xn) → v untuk n → ∞.Karena 〈xn〉 terbatas, terdapat sub-barisan 〈xnk

〉 yang konvergen ke suatu titik c ∈[a, b]. Namun kekontinuan di c mengakibatkan f(xnk

) → f(c) untuk k → ∞. Jadimestilah v = f(c), dan ini berarti bahwa v merupakan nilai maksimum. Serupadengan itu, f juga mencapai nilai minimumnya.

Contoh 13. Persamaan 10x7 − 13x5 − 1 = 0 mempunyai sebuah akar c ∈ (−1, 0).Untuk menunjukkannya, misalkan f(x) = 10x7 − 13x5 − 1. Maka, f(−1) = 2 danf(0) = −1. Karena f kontinu pada [−1, 0] dan 0 terletak di antara f(−1) danf(0), maka menurut Teorema Nilai Antara terdapat c ∈ (−1, 0) sedemikian sehinggaf(c) = 0. Bilangan c dalam hal ini merupakan akar persamaan di atas.

Contoh 14. Misalkan f : [a, b] → [a, b] kontinu pada [a, b]. Maka, terdapat c ∈ [a, b]sedemikian sehingga f(c) = c. [Bilangan c demikian disebut sebagai titik tetap f .]


Perhatikan bahwa peta dari [a, b] merupakan himpunan bagian dari [a, b], sehinggaf(a) ≥ a dan f(b) ≤ b. Sekarang tinjau g(x) = f(x) − x, x ∈ [a, b]. Karena f

kontinu pada [a, b], maka g juga kontinu pada [a, b]. Namun g(a) = f(a) − a ≥ 0dan g(b) = f(b)− b ≤ 0. Menurut Teorema Nilai Antara, mestilah terdapat c ∈ [a, b]sedemikian sehingga g(c) = 0. Akibatnya f(c) = c.

Soal Latihan

1. Lengkapi Bukti Teorema Nilai Antara, khususnya bagian yang diberi tandatanya (?).

2. Buktikan bahwa setiap polinom berderajat ganjil mempunyai sedikitnya satuakar real.

3. Misalkan f kontinu pada suatu interval kompak I. Misalkan untuk setiap x ∈ I

terdapat y ∈ I sedemikian sehingga

|f(y)| ≤ 12|f(x)|.

Buktikan bahwa terdapat suatu c ∈ I sedemikian sehingga f(c) = 0.

8.4 Kekontinuan Seragam

Proposisi 2 menyatakan bahwa suatu fungsi f kontinu pada sebuah interval I

jika dan hanya jika untuk setiap x ∈ I dan setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikiansehingga

|f(x)− f(y)| < ε

untuk y ∈ I dengan |x−y| < δ. Contoh berikut memperlihatkan bahwa secara umumnilai δ bergantung pada ε dan x.

Contoh 16. Kita telah mengetahui bahwa f(x) = 1x kontinu pada (0, 1]. Diberikan

x ∈ (0, 1] dan ε > 0 sebarang, kita dapat memilih δ = min{

x2 , εx2

2

}sedemikian

sehingga untuk y ∈ (0, 1] dengan |x− y| < δ berlaku∣∣∣ 1x− 1

y

∣∣∣ =∣∣∣x− y

xy

∣∣∣ =1x· 1y· |x− y| < 1

x· 2x· εx2

2= ε.

76 Hendra Gunawan

Perhatikan bahwa jika x menuju 0, maka δ akan menuju 0.

Dalam kasus tertentu, nilai δ hanya bergantung pada ε, tidak pada x. Hal initerjadi pada, misalnya, f(x) = px + q, x ∈ R, dengan p 6= 0. Diberikan ε > 0, kitadapat memilih δ = ε

|p| sedemikian sehingga

|f(x)− f(y)| = |p| · |x− y| < ε

untuk x, y ∈ R dengan |x − y| < δ. Kekontinuan f(x) = px + q dalam hal inimerupakan kekontinuan ‘seragam’ pada R.

Fungsi f : I → R dikatakan kontinu seragam pada I apabila untuk setiap ε > 0terdapat δ > 0 sedemikian sehingga

|f(x)− f(y)| < ε

untuk x, y ∈ I dengan |x − y| < δ. Perhatikan bahwa dalam definisi di atas x dan y

muncul setelah δ, yang mengindikasikan bahwa δ tidak bergantung pada x (dan y).

Teorema 17. Fungsi f : I → R tidak kontinu seragam pada I jika dan hanya jikaterdapat ε0 > 0 dan dua barisan 〈xn〉 dan 〈yn〉 di I sedemikian sehingga |xn−yn| < 1

n

dan |f(xn)− f(yn)| ≥ ε0 untuk setiap n ∈ N.

Teorema berikut menyatakan bahwa kekontinuan pada interval kompak meru-pakan kekontinuan seragam.

Teorema 18. Jika f kontinu pada [a, b], maka f kontinu seragam pada [a, b].

Bukti. Andaikan f tidak kontinu seragam pada [a, b]. Maka, menurut Teorema 17,terdapat ε0 > 0 dan dua barisan 〈xn〉 dan 〈yn〉 di [a, b] sedemikian sehingga |xn−yn| <1n dan |f(xn)− f(yn)| ≥ ε0 untuk setiap n ∈ N. Karena 〈xn〉 terbatas di [a, b], makamenurut Teorema Bolzano-Weierstrass terdapat sub-barisan 〈xnk

〉 yang konvergen,sebutlah ke c ∈ [a, b]. Karena |xn − yn| < 1

n untuk setiap n ∈ N, maka sub-barisan〈ynk

〉 akan konvergen ke c juga. Selanjutnya, karena f kontinu di c, maka 〈f(xnk)〉

dan 〈f(ynk)〉 konvergen ke f(c). Akibatnya, |f(xnk

)− f(ynk)| → 0 untuk k →∞. Ini

mustahil karena |f(xn)− f(yn)| ≥ ε0 untuk setiap n ∈ N.


Soal Latihan

1. Contoh 16 memperlihatkan bahwa fungsi f(x) = 1x tampaknya tidak kontinu

seragam pada (0, 1]. Buktikan bahwa ia memang tidak kontinu seragam pada(0, 1].

2. Selidiki apakah f(x) = x2 kontinu seragam pada [0,∞).

3. Buktikan jika fungsi f : I → R memenuhi ketaksamaan

|f(x)− f(y)| ≤ K |x− y|, x, y ∈ I,

untuk suatu K > 0, maka f kontinu seragam pada I.

4. Buktikan bahwa f(x) =√

x kontinu seragam pada [0,∞).

78 Hendra Gunawan

9. TURUNAN

9.1 Turunan di Suatu Titik

Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka I yang memuat titik c. Maka,f dikatakan mempunyai turunan di titik c apabila limit

limx→c

f(x)− f(c)x− c

ada, dan dalam hal ini nilai limit tersebut disebut turunan dari f di titik c, yangbiasanya dilambangkan dengan f ′(c) atau Df(c).

Jadi, untuk fungsi f yang mempunyai turunan di c, kita mempunyai

f ′(c) = limx→c

f(x)− f(c)x− c

.

Dengan mengganti x dengan c + h, kita peroleh

f ′(c) = limh→0

f(c + h)− f(c)h

.

Catat bahwa f mempunyai turunan di c jika dan hanya jika terdapat suatubilangan L = f ′(c) sedemikian sehingga

f(c + h)− f(c)− Lh = ε(h)

dengan ε(h)h → 0 untuk h → 0.

Secara intuitif, sebuah fungsi f mempunyai turunan di titik c berarti bahwagrafik fungsi y = f(x) mempunyai garis singgung di titik (c, f(c)) dan gradien garissinggung tersebut adalah f ′(c). Untuk ilustrasi, lihat Gambar 9.1. Persamaan garissinggung pada grafik fungsi y = f(x) di titik (c, f(c)) dalam hal ini adalah

y = f(c) + f ′(c)(x− c).


Sebagai catatan, masalah menentukan persamaan garis singgung pada kurvadi titik tertentu pertama kali dipelajari oleh Rene Descartes pada 1620-an. Namun,kalkulus diferensial dan integral yang kita kenal sekarang ini ‘ditemukan’ oleh IsaacNewton pada 1665 (namun dipublikasikan pada 1704) dan Gottfried Wilhelm vonLeibniz pada 1684.

Gambar 9.1 Grafik fungsi f yang mempunyai turunan di titik c

Contoh 1. Misalkan f(x) = x2 dan c = 1. Untuk memeriksa apakah f mempunyaiturunan di 1, kita hitung

limx→1

f(x)− f(1)x− 1

= limx→1

x2 − 1x− 1

= limx→1

(x + 1) = 2.

Jadi f mempunyai turunan di 1, dengan f ′(1) = 2.

Secara umum dapat ditunjukkan bahwa f(x) = x2 mempunyai turunan di setiaptitik c ∈ R, dengan f ′(c) = 2c. Fungsi f ′ : c 7→ 2c disebut sebagai turunan dari f .

Contoh 2. Misalkan f(x) = |x| dan c = 0. Perhatikan bahwa

limh→0

f(h)− f(0)h

= limh→0

|h|h

tidak ada (?). Karena itu, f tidak mempunyai turunan di 0.

Proposisi 3. Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka I yang memuat titikc. Jika f mempunyai turunan di c, maka f kontinu di c.

80 Hendra Gunawan

Bukti. Perhatikan bahwa

f(x)− f(c) =f(x)− f(c)

x− c· (x− c) → f ′(c) · 0 = 0

untuk x → c. Jadi f(x) → f(c) untuk x → c.

Dalam prakteknya, kita sering pula menggunakan kontraposisi dari Proposisi 3yang menyatakan: jika f tidak kontinu di c, maka f tidak akan mempunyai turunandi c. Sebagai contoh, fungsi f : [0, 2] → R yang didefinisikan sebagai

f(x) ={

2x, 0 ≤ x < 1;1, 1 ≤ x ≤ 2,

tidak mungkin mempunyai turunan di 1 karena f tidak kontinu di titik tersebut.

Catatan. Proposisi 3 menyatakan bahwa kekontinuan f di c merupakan syarat perlubagi f untuk mempunyai turunan di c. Namun, Contoh 2 memperlihatkan bahwakekontinuan f di c bukan merupakan syarat cukup untuk mempunyai turunan di c.

Soal Latihan

1. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x2 di titik (1, 1).

2. Tunjukkan bahwa f(x) = x2 mempunyai turunan di setiap titik c ∈ R, denganf ′(c) = 2c.

3. Diketahui f(x) = x|x|, x ∈ R. Selidiki apakah f mempunyai turunan di 0.

4. Berikan sebuah contoh fungsi f yang kontinu di 0 tetapi tidak mempunyai tu-runan di sana, selain f(x) = |x|.

5. Konstruksi sebuah fungsi f : R → R yang mempunyai turunan hanya di sebuahtitik.

6. Buktikan jika f mempunyai turunan di c, maka

f ′(c) = limh→0

f(c + h)− f(c− h)2h

.

Berikan sebuah contoh fungsi yang tidak mempunyai turunan di suatu titiknamun limit di atas ada.


9.2 Sifat-sifat Dasar Turunan

Teorema 4. Misalkan f dan g terdefinisi pada suatu interval terbuka I yang memuattitik c. Misalkan λ dan µ bilangan real sembarang. Jika f dan g mempunyai turunandi c, maka λf + µg, fg, dan f/g mempunyai turunan di c, dan

(i) (λf + µg)′(c) = λf ′(c) + µf ′(c);

(ii) (fg)′(c) = f ′(c)g(c) + f(c)g′(c);

(iii)(

fg

)′(c) = f ′(c)g(c)−f(c)g′(c)

g2(c) asalkan g(c) 6= 0.

Bukti. (i) Perhatikan bahwa

1h

[λf(c + h) + µg(c + h)− λf(c)− µg(c)

]= λ

[f(c+h)−f(c)

h

]+ µ

[g(c+h)−g(c)

h

]→ λf ′(c) + µg′(c)

untuk h → 0.

(ii) Di sini kita mempunyai

1h

[f(c + h)g(c + h)− f(c)g(c)

]= g(c + h)

[f(c+h)−f(c)

h

]+ f(c)

[g(c+h)−g(c)

h

]→ g(c)f ′(c) + f(c)g′(c),

untuk h → 0.

(iii) Latihan.

Contoh 5. Misalkan n ∈ N dan f(x) = xn. Maka turunan dari f adalah

f ′(x) = nxn−1.

Fakta ini dapat dibuktikan secara induktif. Untuk n = 1 atau f(x) = x, jelas bahwaf ′(x) = 1. Sekarang misalkan pernyataan di atas benar untuk n = k, yakni jikaf(x) = xk, maka f ′(x) = kxk−1. Maka, untuk n = k + 1 atau f(x) = xk+1, kitaperoleh

f ′(x) = D(xk.x) = D(xk).x + xk.D(x) = kxk−1.x + xk = (k + 1)xk.

Jadi, menurut Prinsip Induksi Matematika, pernyataan benar untuk setiap n ∈ N.

82 Hendra Gunawan

Teorema 6 (Aturan Rantai). Misalkan g mempunyai turunan di c dan f mem-punyai turunan di y = g(c). Maka, f ◦ g mempunyai turunan di c dan

(f ◦ g)′(c) = f ′(g(c))g′(c).

Bukti. Berdasarkan definisi turunan,

(f ◦ g)′(c) = limx→c

(f ◦ g)(x)− (f ◦ g)(c)x− c

= limx→c

f(g(x))− f(g(c))x− c

.

Bila g(x)− g(c) 6= 0 pada suatu interval terbuka (c− δ, c + δ), maka


f(g(x))− f(g(c))g(x)− g(c)

· g(x)− g(c)x− c

= f ′(g(c)) · g′(c).

Namun, bila g konstan (misalnya), maka argumentasi di atas gugur. Untuk meng-atasinya, definisikan

h(y) :=

{f(y)−f(g(c))

y−g(c) , y 6= g(c),f ′(g(c)), y = g(c).

Perhatikan bahwa h kontinu di g(c). Mengingat g kontinu di c, maka menurut Teo-rema 10 pada Bab 7, h ◦ g kontinu di c. Akibatnya


f(g(x))− f(g(c))x− c

= limx→c

h(g(x)) · g(x)− g(c)x− c

= f ′(g(c)) · g′(c),

sebagaimana yang kita harapkan.

Soal Latihan

1. Buktikan Teorema 4 bagian (iii).

2. Misalkan n ∈ N dan f(x) = xn. Buktikan dengan menggunakan definisi bahwaf ′(x) = nxn−1.

3. Misalkan n ∈ N. Buktikan

• jika f(x) = x−n (x 6= 0), maka f ′(x) = −nx−n−1.

• jika f(x) = x1/n (x > 0), maka f ′(x) = 1nx1/n−1.


4. Buktikan bahwa untuk bilangan rasional r sembarang berlaku

D(xr) = rxr−1

asalkan x > 0.

5. Misalkan f : R → R mempunyai turunan di x. Buktikan jika f mempunyaiinvers f−1 : R → R dan f−1 mempunyai turunan di y = f(x), maka

Df−1(y) =1

Df(x).

9.3 Turunan Tingkat Tinggi

Jika f mempunyai turunan di setiap titik dalam suatu interval terbuka I, makakita katakan f mempunyai turunan pada I. Dalam hal ini turunan dari f , yaitu f ′,merupakan fungsi yang juga terdefinisi pada I.

Selanjutnya kita dapat mendefinisikan turunan kedua dari f sebagai turunandari f ′, yang nilainya di c adalah

f ′′(c) = limx→c

f ′(x)− f ′(c)x− c

,

asalkan limit ini ada.

Turunan kedua dari f berkaitan dengan kecekungan grafik fungsi f . Jika f ′′

bernilai positif pada suatu interval, maka grafik fungsi f cekung ke atas pada intervaltersebut. Sementara itu, jika f ′′ bernilai negatif pada suatu interval, maka grafikfungsi f cekung ke bawah pada interval tersebut.

Setelah menghitung turunan pertama dan kedua dari f , turunan ketiga danseterusnya dapat didefinisikan secara serupa. Secara umum, f (n)(x) menyatakan tu-runan ke-n, n ∈ N, dari f .

Contoh 7. Jika f(x) = 1x , maka

f ′(x) = − 1x2

;

f ′′(x) =2x3

;

84 Hendra Gunawan

f ′′′(x) = − 6x4

;

dan seterusnya. (Dapatkah anda menentukan rumus umum f (n)(x) untuk n ∈ N?)

Bila f mempunyai turunan ke-n pada suatu interval yang memuat titik c, makaf dapat dihampiri oleh suatu polinom berderajat n − 1 dan kesalahannya dapatditaksir dengan turunan ke-n. Lihat Teorema Taylor pada bab berikutnya.

Soal Latihan

1. Tentukan pada interval mana grafik fungsi f(x) = x3 cekung ke atas dan padainterval mana ia cekung ke bawah.

2. Tentukan rumus umum turunan ke-n dari f(x) = 1x .

3. Diketahui f(x) =√

x. Tentukan f ′(x), f ′′(x), dan f ′′′(x). Tentukan rumusumum f (n)(x) untuk n ∈ N.

4. Misalkan p(x) adalah polinom berderajat n. Buktikan bahwa p(m)(x) = 0 untukm > n.

5. Berikan sebuah contoh fungsi yang mempunyai turunan pertama tetapi tidakmempunyai turunan kedua di 0.


10. TEOREMA NILAI RATA-RATA

10.1 Maksimum dan Minimum Lokal

Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka (a, b) dan c ∈ (a, b). Kitakatakan bahwa f mencapai nilai maksimum lokal di c apabila

f(x) ≤ f(c)

untuk setiap x dalam suatu interval terbuka I yang memuat c. Titik c dalam hal inidisebut sebagai titik maksimum lokal.

Nilai dan titik minimum lokal didefinisikan secara analog.

Gambar 10.1 f mencapai nilai maksimum lokal di c

Secara intuitif, f mencapai nilai maksimum lokal di c apabila grafiknya mem-punyai sebuah ‘puncak’ di atas titik c. Serupa dengan itu, f mencapai nilai minimumlokal di c apabila grafiknya mempunyai sebuah ‘lembah’ di atas titik c.

86 Hendra Gunawan

Jika f(c) merupakan nilai maksimum f pada seluruh interval (a, b), maka ten-tunya f mencapai nilai maksimum lokal di c. Namun sebaliknya belum tentu benar,nilai maksimum lokal belum tentu merupakan nilai maksimum f .

Contoh 1. Misalkan f : R → R adalah fungsi yang didefinsikan sebagai

f(x) ={

x + 2, x < −1,|x|, x ≥ −1.

Maka, f mencapai nilai maksimum lokal di −1, namun f(−1) = 1 bukan merupakannilai maksimum f pada R. Demikian pula f mencapai nilai minimum lokal di 0,namun f(0) = 0 bukan merupakan nilai minimum f pada R.

Teorema 2. Misalkan f mempunyai turunan pada (a, b) dan c ∈ (a, b). Jika f

mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di c, maka f ′(c) = 0.

Bukti. Menurut definisi turunan,

f(x)− f(c)x− c

→ f ′(c)

untuk x → c. Misalkan f ′(c) > 0. Menurut Soal Latihan 7.1 No. 4, terdapat suatuδ > 0 sedemikian sehingga

f(x)− f(c)x− c

> 0 (2)

untuk x ∈ (c − δ, c + δ), x 6= c. Sekarang misalkan x ∈ (c, c + δ) sembarang. Maka,x−c > 0 dan (1) memberikan f(x)−f(c) > 0 atau f(x) > f(c). Jadi f tidak mungkinmencapai nilai maksimum lokal di c. Selanjutnya misalkan x ∈ (c− δ, c) sembarang.Maka, x− c < 0 dan (1) memberikan f(x)− f(c) < 0 atau f(x) < f(c). Jadi f jugatidak mungkin mencapai nilai minimum lokal di c.

Hal serupa terjadi ketika f ′(c) < 0. Jadi, jika f ′(c) 6= 0, maka f tidak akanmencapai nilai maksimum atau minimum lokal di c.

Catatan. Kebalikan dari Teorema 2 tidak berlaku: jika f ′(c) = 0, belum tentu f

mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di c.

Soal Latihan

1. Berikan sebuah contoh fungsi f yang terdefinisi pada (−2, 2) dan mencapai nilaimaksimum lokal di 1 tetapi f(1) bukan merupakan nilai maksimum f pada(−2, 2).


2. Berikan sebuah contoh fungsi f yang mempunyai turunan nol di suatu titiktetapi f tidak mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di titik tersebut.

10.2 Titik Stasioner

Titik c dengan f ′(c) = 0 disebut titik stasioner f . Sebagaimana telah dicatatsebelumnya, tidak semua titik stasioner merupakan titik maksimum atau minimumlokal. Sebagai contoh, jika f(x) = x3, maka f ′(x) = 3x2, sehingga 0 merupakan titikstasioner. Namun, 0 bukan merupakan titik maksimum maupun minimum f . (Titik 0dalam hal ini merupakan titik infleksi f , yaitu titik terjadinya perubahan kecekungangrafik fungsi f .)

Gambar 10.2 Grafik fungsi f(x) = x3

Situasi yang lebih parah dapat terjadi. Sebagai contoh, fungsi f(x) = x2 sin 1x

untuk x 6= 0 dan f(0) = 0 mempunyai turunan f ′(0) = 0 tetapi 0 bukan merupakantitik maksimum atau minimum lokal, ataupun titik infleksi.

Teorema 3 (Teorema Rolle). Misalkan f kontinu pada [a, b] dan mempunyaiturunan pada (a, b). Jika f(a) = f(b), maka f ′(c) = 0 untuk suatu c ∈ (a, b).

Bukti. Karena f kontinu pada interval kompak [a, b], maka menurut sifat kekontinuan

88 Hendra Gunawan

f mencapai nilai maksimum M di suatu titik c1 ∈ [a, b] dan juga mencapai nilaiminimum m di suatu titik c2 ∈ [a, b].

Misalkan c1 dan c2 adalah titik-titik ujung [a, b]. Karena f(a) = f(b), makam = M dan dengan demikian f konstan pada [a, b]. Akibatnya f ′(c) = 0 untuk setiapc ∈ (a, b).

Misalkan c1 bukan titik ujung [a, b]. Maka c1 ∈ (a, b) dan f mencapai nilaimaksimum lokal di c1. Menurut Teorema 2, f ′(c1) = 0. Hal serupa terjadi bila c2

bukan titik ujung [a, b].

Soal Latihan

1. Diketahui f(x) = x|x|, x ∈ R. Tunjukkan bahwa 0 merupakan titik stasioner.Selidiki apakah f mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di 0.

2. Beri contoh sebuah fungsi f yang terdefinisi pada [a, b], mempunyai turunanpada (a, b), dan f(a) = f(b), namun tidak ada c ∈ (a, b) dengan f ′(c) = 0.

10.3 Teorema Nilai Rata-rata dan Teorema Taylor

Sebagai perumuman dari Teorema Rolle, kita mempunyai teorema berikut.

Teorema 4 (Teorema Nilai Rata-rata). Misalkan f kontinu pada [a, b] dan mem-punyai turunan pada (a, b). Maka

f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a

untuk suatu c ∈ (a, b).

Catatan. Nilai f(b)−f(a)b−a disebut nilai rata-rata f pada [a, b]. Nilai ini sama dengan

gradien ruas garis singgung yang menghubungkan titik (a, f(a)) dan (b, f(b)). Ke-simpulan Teorema Nilai Rata-rata menyatakan bahwa pada kurva y = f(x) terdapatsuatu titik (c, f(c)) dengan gradien garis singgung sama dengan nilai rata-rata f pada[a, b].

Bukti Teorema 4. Misalkan F didefinisikan pada [a, b] sebagai

F (x) = f(x)− hx


dengan h konstanta. Maka F kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b).Kita pilih konstanta h sedemikian sehingga F (a) = F (b), yakni

h =f(b)− f(a)

b− a.

Karena F memenuhi hipotesis Teorema Rolle, maka F ′(c) = 0 untuk suatu c ∈ (a, b).Namun

F ′(c) = f ′(c)− h = 0,

sehingga teorema pun terbukti.

Jika f mempunyai turunan di c, maka persamaan garis singgung pada kurvay = f(x) di titik (c, f(c)) adalah

y = f(c) + (x− c)f ′(c).

Untuk x dekat c, nilai f(c) + (x − c)f ′(c) merupakan hampiran yang ’baik’ untukf(x). Namun seberapa besar kesalahan dalam penghampiran ini?

Lebih jauh, misalkan f mempunyai turunan ke-(n− 1) di c. Maka polinom

P (x) = f(c) + (x− c)f ′(c) +(x− c)2

2!f ′′(c) + · · ·+ (x− c)n−1

(n− 1)!f (n−1)(c)

mempunyai turunan ke-k, k = 0, 1, . . . , n − 1, yang sama dengan turunan ke-k darif . Karena itu masuk akal untuk menghampiri f(x) dengan P (x) untuk x di sekitarc. Namun, sekali lagi, seberapa besar kesalahan dalam penghampiran ini. TeoremaTaylor di bawah ini menjawab pertanyaan tersebut.

Teorema 5 (Teorema Taylor). Misalkan f mempunyai turunan ke-n pada intervalterbuka I yang memuat titik c. Maka, untuk setiap x ∈ I, berlaku

f(x) = f(c) + (x− c)f ′(c) +(x− c)2

2!f ′′(c) + · · ·+ (x− c)n−1

(n− 1)!f (n−1)(c) + En

dengan En = 1n! (x− c)nf (n)(ξ) untuk suatu ξ di antara x dan c.

Proof. Untuk t di antara x dan c, definisikan

F (t) = f(x)− f(t)− (x− t)f ′(t)− · · · − (x− t)n−1

(n− 1)!f (n−1)(t).

90 Hendra Gunawan

Perhatikan bahwa

F ′(t) = − (x− t)n−1

(n− 1)!f (n)(t).

Sekarang definisikan

G(t) = F (t)−(x− t

x− c

)n

F (c).

Maka, G(x) = G(c) = 0, sehingga menurut Teorema Rolle, terdapat ξ di antara x

dan c sedemikian sehingga

0 = G′(ξ) = F ′(ξ) +n(x− ξ)n−1

(x− c)nF (c) = − (x− ξ)n−1

(n− 1)!f (n)(ξ) +

n(x− ξ)n−1

(x− c)nF (c).

Dari sini kita peroleh

F (c) =(x− c)n

n!f (n)(ξ)

dan teorema pun terbukti.

Soal Latihan

1. Diketahui f(x) =√

x. Tentukan nilai rata-rata f pada [0, 4]. Tentukan c ∈ (0, 4)sedemikian sehingga f ′(c) sama dengan nilai rata-rata tersebut.

2. Misalkan f kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b). Buktikanjika f ′(x) = 0 untuk setiap x ∈ (a, b), maka f konstan pada [a, b].

3. Misalkan f : R → R mempunyai turunan di setiap titik dan f ′(x) = x2 untuksetiap x ∈ R. Buktikan bahwa f(x) = 1

3x3 + C, dengan C suatu konstanta.

4. Diketahui f : R → R memenuhi ketaksamaan

|f(x)− f(y)| ≤ C|x− y|p, x, y ∈ R,

untuk suatu C > 0 dan p > 1. Buktikan bahwa f konstan.

5. Buktikan jika f mempunyai turunan kedua di c, maka

f ′′(c) = limh→0

f(c + h)− 2f(c) + f(c− h)h2

.

Berikan sebuah contoh fungsi yang tidak mempunyai turunan kedua di suatutitik namun limit di atas ada.


6. Misalkan c ∈ R dan n ∈ N. Buktikan dengan menggunakan Teorema Taylorbahwa

(1 + c)n = 1 + nc +n(n− 1)

2!c2 + · · ·+ cn.

(Petunjuk. Tinjau f(x) = xn.)

92 Hendra Gunawan

11. FUNGSI MONOTON DAN FUNGSI KONVEKS

11.1 Definisi dan Limit Fungsi Monoton

Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naikpada H apabila untuk setiap x, y ∈ H dengan x < y berlaku

f(x) ≤ f(y).

Jika ketaksamaan < berlaku, maka kita katakan bahwa f naik sejati pada H.

Definisi serupa dapat dirumuskan untuk fungsi turun dan turun sejati pada H.

Fungsi naik atau turun disebut fungsi monoton. Fungsi yang naik dan turunsekaligus pada H mestilah konstan pada H.

Contoh 1. (i) Fungsi f : R → R yang didefinisikan sebagai f(x) = x3 merupakanfungsi naik sejati pada R.

(ii) Fungsi g : (0,∞) → R yang didefinisikan sebagai g(x) = 1x merupakan fungsi

turun sejati pada (0,∞).

Proposisi 2. Jika f naik pada [a, b], maka f mencapai nilai minimum di a dan nilaimaksimum di b.

Bukti. Misalkan a < x < b. Maka menurut definisi kita mempunyai

f(a) ≤ f(x) ≤ f(b).

Jadi f mencapai nilai minimum di a dan nilai maksimum di b.

Sekarang kita akan membahas limit fungsi monoton. Untuk itu, kita perke-nalkan notasi

f(c−) = limx→c−

f(x)


Gambar 11.1(i) Grafik fungsi f(x) = x3

Gambar 11.1(ii) Grafik fungsi g(x) = 1x

danf(c+) = lim

x→c+f(x),

asalkan kedua limit ini ada.


f(x) ={

x, x ≤ 1;32 , x > 1

94 Hendra Gunawan

Maka, f(1−) = 1 = f(1), sedangkan f(1+) = 32 .

Teorema 4. (i) Jika f naik dan terbatas di atas pada (a, b), maka

f(b−) = supx∈(a,b)

f(x).

(ii) Jika f naik dan terbatas di bawah pada (a, b), maka

f(a+) = infx∈(a,b)

f(x).

Bukti. (i) Misalkan M = supx∈(a,b)

f(x). Diberikan ε > 0 sembarang, kita harus mencari

suatu δ > 0 sedemikian sehingga jika b − δ < x < b, maka |f(x) − M | < ε atauM − ε < f(x) < M + ε.

Ketaksamaan f(x) < M + ε selalu terpenuhi karena M merupakan batas atasuntuk f pada (a, b). Selanjutnya, karena M − ε bukan merupakan batas atas untukf pada (a, b), maka terdapat suatu y ∈ (a, b) sedemikian sehingga M − ε < f(y).Namun f naik pada (a, b), sehingga untuk setiap x yang memenuhi y < x < b berlaku

M − ε < f(y) ≤ f(x).

Jadi, pilihlah δ = b− y.

(ii) Serupa dengan (i).

Akibat 5. Misalkan f naik pada (a, b). Jika c ∈ (a, b), maka f(c−) dan f(c+) ada,dan

f(x) ≤ f(c−) ≤ f(c) ≤ f(c+) ≤ f(y)

untuk a < x < c < y < b.

Soal Latihan

1. Buktikan Teorema 4 bagian (ii). Mulai dengan memisalkan m = infx∈(a,b)

f(x).

2. Buktikan jika f turun dan terbatas di bawah pada (a, b), maka

f(b−) = infx∈(a,b)

f(x).


Gambar 11.2 Kasus f(c−) < f(c) < f(c+)

3. Buktikan jika f dan g naik (sejati) pada H, maka f + g naik (sejati) pada H.

4. Diketahui f(x) > 0 untuk setiap x ∈ H, dan g := 1f . Buktikan jika f naik

(sejati) pada H, maka g turun (sejati) pada H.

5. Diketahui f naik sejati pada A. Buktikan bahwa f merupakan korespondensi1-1 antara A dan B := f(A), sehingga f−1 ada. Buktikan bahwa f−1 naik sejatipada B.

11.2 Fungsi Monoton yang Mempunyai Turunan

Pada bagian ini kita akan membahas bagaimana kita dapat menyelidiki kemono-tonan suatu fungsi melalui turunannya, bila fungsi tersebut mempunyai turunan.Persisnya, kita mempunyai teorema berikut.

Teorema 6. Misalkan f kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b).

(i) Jika f ′(x) ≥ 0 untuk tiap x ∈ (a, b), maka f naik pada [a, b]. Jika f ′(x) > 0 untuktiap x ∈ (a, b), maka f naik sejati pada [a, b].

(ii) Jika f ′(x) ≤ 0 untuk tiap x ∈ (a, b), maka f turun pada [a, b]. Jika f ′(x) < 0untuk tiap x ∈ (a, b), maka f turun sejati pada [a, b].

96 Hendra Gunawan

Bukti. (i) Misalkan x dan y bilangan sembarang di [a, b] dengan x < y. Maka f

memenuhi hipotesis Teorema Nilai Rata-rata pada [x, y] dan karenanya

f ′(c) =f(y)− f(x)

y − x

untuk suatu c ∈ (x, y). Jika f ′(t) ≥ 0 untuk tiap t ∈ (a, b), maka f ′(c) ≥ 0 dankarenanya f(x) ≤ f(y). Jadi f naik pada [a, b].

Jika f ′(t) > 0 untuk tiap t ∈ (a, b), maka f ′(c) > 0 dan karenanya f(x) < f(y).Jadi f naik sejati pada [a, b].

(ii) Serupa dengan (i).

Contoh 7. Misalkan f : R → R didefinisikan sebagai f(x) = x(1 − x). Turunannyaadalah

f ′(x) = 1− 2x.

Jadi f ′(x) ≥ 0 untuk x ≤ 12 dan f ′(x) ≤ 0 untuk x ≥ 1

2 . Dengan demikian f naikpada (−∞, 1

2 ] dan turun pada [ 12 ,∞).

Soal Latihan

1. Misalkan n ∈ N. Buktikan bahwa fungsi f : [0,∞) → R yang didefinisikansebagai

f(x) = (x + 1)1/n − x1/n

merupakan fungsi turun pada [0,∞).

2. Misalkan f mempunyai turunan dan naik pada suatu interval terbuka I. Buk-tikan bahwa f ′(x) ≥ 0 untuk tiap x ∈ I. Jika f naik sejati pada I, apakahdapat disimpulkan bahwa f ′(x) > 0 untuk tiap x ∈ I? Jelaskan.

11.3 Invers Fungsi Monoton

Menurut Soal 11.1 No. 5, fungsi f yang naik sejati pada A mendefinisikan suatukorespondensi 1-1 antara A dan B := f(A). Dalam hal ini f akan mempunyai inversf−1. Lebih jauh, f−1 naik sejati pada B.


Dalam kasus di mana f kontinu dan daerah asal f merupakan interval, sebutlahI, maka daerah nilainya juga merupakan suatu interval, sebutlah J = f(I) (Teorema10 pada Bab 8). Lebih jauh, kita mempunyai teorema berikut.

Teorema 8. Misalkan f : I → J dengan I interval dan J = f(I). Jika f naik sejatidan kontinu pada I, maka f−1 : J → I kontinu pada J .

Bukti. Andaikan f−1 tidak kontinu di suatu titik d ∈ J . Asumsikan bahwa d bukantitik ujung J . Maka, mengingat f−1 naik sejati pada J , f−1(d−) dan f−1(d+) ada,dan f−1(d−) < f−1(d+). Sekarang misalkan λ ∈ I sedemikian sehingga

f−1(d−) < λ < f−1(d+) dan λ 6= f−1(d).

Karena itu f(λ) tidak terdefinisi (buatlah ilustrasinya!), dan ini bertentangan denganhipotesis bahwa f terdefinisi pada I.

Teorema 9. Misalkan I dan J interval, I◦ dan J◦ interval terbuka yang mempunyaititik ujung sama dengan titik ujung I dan J . Misalkan f : I → J kontinu danJ = f(I). Jika f mempunyai turunan pada I◦ dan f ′(x) > 0 untuk tiap x ∈ I◦, makaf−1 : J → I ada dan kontinu pada J . Lebih jauh, f−1 mempunyai turunan pada J◦

dan(f−1)′(y) =

1f ′(x)

untuk tiap y ∈ J◦ dan x = f−1(y).

Catatan. Bukti Teorema 9 dapat dilihat di [2].

Soal Latihan

1. Misalkan f : R → R didefinisikan sebagai f(x) = 1 + x + x3. Tunjukkan bahwaf mempunyai invers dan hitunglah nilai (f−1)′(−1).

2. Berikan sebuah contoh fungsi f : A → R yang naik sejati dan kontinu pada A,tetapi f−1 tidak kontinu pada B = f(A). (Petunjuk. Himpunan A tentunyabukan suatu interval.)

98 Hendra Gunawan

11.4 Fungsi Konveks

Misalkan I ⊆ R suatu interval. Fungsi f : I → R dikatakan konveks pada I

apabila untuk setiap t ∈ [0, 1] dan x1, x2 ∈ I berlaku

f((1− t)x1 + tx2) ≤ (1− t)f(x1) + tf(x2).

Catat bahwa untuk x1 < x − 2, titik (1 − t)x1 + tx2 bergerak dari x1 ke x2 ketika t

bergerak dari 0 ke 1. Jadi jika f konveks pada I dan x1, x2 ∈ I, maka ruas garis yangmenghubungkan titik (x1, f(x1)) dan (x2, f(x2)) berada di atas grafik fungsi f (lihatGambar 11.3).

Gambar 11.3 Grafik fungsi konveks

Sebuah fungsi konveks tidak harus mempunyai turunan di setiap titik. Sebagaicontoh, f(x) = |x| merupakan fungsi konveks pada R tetapi tidak mempunyai tu-runan di 0. Namun, dapat ditunjukkan jika f konveks pada interval terbuka I, makaf mempunyai ‘turunan kiri’ dan ‘turunan kanan’ di setiap titik dalam I. Sebagaiakibatnya, setiap fungsi konveks pada interval terbuka merupakan fungsi kontinu.

Teorema berikut memperlihatkan kaitan antara fungsi konveks dan turunankeduanya, bila fungsi tersebut mempunyai turunan kedua. Istilah konveks dalam halini setara dengan istilah ‘cekung ke atas’ yang telah kita bahas pada Bab 9.

Teorema 10. Misalkan I interval terbuka dan f : I → R mempunyai turunan keduapada I. Maka, f konveks pada I jika dan hanya jika f ′′(x) ≥ 0 untuk tiap x ∈ I.


Bukti. Misalkan f konveks pada I. Untuk tiap c ∈ I, kita mempunyai

f ′′(c) = limh→0

f(c + h)− 2f(c) + f(c− h)h2

.

Kita pilih h cukup kecil sedemikian sehingga c − h dan c + h ada di I. Maka, c =12 [(c + h) + (c− h)], sehingga

f(c) = f

(12(c + h) +

12(c− h)

)≤ 1

2f(c + h) +

12f(c− h).

Akibatnya, f(c + h) − 2f(c) + f(c − h) ≥ 0. Karena h2 > 0 untuk tiap h 6= 0, kitasimpulkan bahwa f ′′(c) ≥ 0.

Sebaliknya, misalkan f ′′(x) ≥ 0 untuk tiap x ∈ I. Untuk membuktikan bahwaf konveks pada I, ambil x1, x2 ∈ I dan 0 < t < 1, dan misalkan x0 = (1− t)x1 + tx2.Berdasarkan Teorema Taylor, terdapat ξ1 di antara x0 dan x1 sedemikian sehingga

f(x1) = f(x0) + (x1 − x0)f ′(x0) +(x1 − x0)2

2f ′′(ξ1)

dan juga terdapat ξ2 di antara x0 dan x2 sedemikian sehingga

f(x2) = f(x0) + (x2 − x0)f ′(x0) +(x2 − x0)2

2f ′′(ξ2).

Perhatikan bahwa (1 − t)(x1 − x0) + t(x2 − x0) = (1 − t)x1 + tx2 − x0 = 0 danE := (1− t) (x1−x0)

2

2 f ′′(ξ1) + t (x2−x0)2

2 f ′′(ξ2) ≥ 0. Akibatnya,

(1− t)f(x1) + tf(x2) = f(x0) + E ≥ f(x0) = f((1− t)x1 + tx2),

sebagaimana yang kita harapkan.

Soal Latihan

1. Buktikan f konveks pada interval I jika dan hanya jika untuk setiap x1, x2, x3 ∈I dengan x1 < x2 < x3 berlaku

f(x2)− f(x1)x2 − x1

≤ f(x3)− f(x2)x3 − x2

.

Berikan interpretasi geometrisnya beserta ilustrasinya.

100 Hendra Gunawan

2. Buktikan f konveks pada interval I jika dan hanya jika untuk setiap x1, x2, x3 ∈I dengan x1 < x2 < x3 berlaku

f(x2)− f(x1)x2 − x1

≤ f(x3)− f(x1)x3 − x1

.

Berikan interpretasi geometrisnya beserta ilustrasinya.

3. Buktikan jika f konveks pada interval terbuka I, maka

limh→0−

f(c + h)− f(c)h

dan limh→0+

f(c + h)− f(c)h

ada untuk setiap c ∈ I, dan sebagai akibatnya f kontinu pada I.

4. Misalkan f mempunyai turunan pada interval terbuka I. Buktikan f konveksjika dan hanya jika f ′ naik pada I.

5. Misalkan I interval terbuka, f : I → R naik sejati, konveks, dan mempunyaiturunan pada I. Misalkan c ∈ I sedemikian sehingga f(c) = 0. Konstruksibarisan 〈xn〉 dengan x1 > c dan

xn+1 = xn −f(xn)f ′(xn)

, n = 1, 2, 3, . . . .

Buktikan bahwa xn → c untuk n → ∞. (Metode penghampiran ‘akar’ f inidikenal sebagai Metode Newton-Raphson. Untuk f(x) = x2 − a, metode inimenghasilkan barisan 〈xn〉 yang dibahas pada Bab 3, Contoh 13.)

BAGIAN KEDUA - a410080137.files.wordpress.com fileFungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan 51. 52...

Documents

Transcript of BAGIAN KEDUA - a410080137.files.wordpress.com fileFungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan 51. 52...