FUNGSI DAN

GRAFIK FUNGSI

Materi ke-4Materi ke-4

eko@uns.ac.id

Materi

� Fungsi

� Fungsi Surjektif, Fungsi Injektif, dan Fungsi Bijektif

� Operasi Pada Fungsi� Operasi Pada Fungsi

� Fungsi Invers

� Fungsi Komposisi

� Grafik Fungsi Dalam Sistem Koordinat Kartesius ( 1 )

Fungsi

� Dalam berbagai aplikasi, hubungan/relasiantara dua himpunan ( sering disederhanakan menjadi variabel ) sering terjadi.

� Sebagai contoh, volume bola dengan jari-jari r diberikan oleh relasi diberikan oleh relasi

� Secara definisi : Diketahui R relasi dari A ke B. Apabila setiap berelasi R dengan tepat satu

maka R disebut fungsi dari A ke B.

3

3

4rV π=

Ax ∈By ∈

Fungsi

� Fungsi dinyatakan dengan huruf-huruf: f, g, h, F, H, dst.

� Apabila f merupakan fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka dituliskan:

f : A → Bf : A → B

� Dalam hal ini, himpunan A dinamakan domain atau daerah definisi atau daerah asal, sedangkan himpunan Bdinamakan kodomain atau daerah kawan fungsi f.

Fungsi

� Domain fungsi f ditulis dengan notasi Df,

� Himpunan semua anggota B yang

{ })ikanterdefinis(ada)(: xfxD f R∈=

� Himpunan semua anggota B yang mempunyai kawan di A dinamakanrange atau daerah hasil fungsi f, ditulisatau Im(f) → Perhatikan gambar berikut

fR

Fungsi

Fungsi

• Jika pada fungsi f : A → B , sebarang elemen • Jika pada fungsi f : A → B , sebarang elemen x ∈ A mempunyai kawan y ∈ B, maka dikatakan “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).

• Selanjutnya, x dan y masing-masing dinamakan variable bebas dan variabel tak bebas.

• Sedangkan y = f(x) disebut rumus fungsi f.

Fungsi

� Contoh – 1 : Tentukan Df

Jawab-1 :

2

1)(

+=

xxf

� Jawab-1 :

Suatu hasil bagi akan memiliki arti apabila penyebut tidak nol. Oleh karena itu,

{ } }2{02:ikanterdefinis2

1: −−=≠+∈=

+∈= RRR xx

xxD f

Fungsi

� Contoh – 2 : Tentukan Df

Jawab-2 :

1)(

2 −=

x

xxf

� Jawab-2 :

Karena akar suatu bilangan ada hanya apabila bilangan tersebut tak negatif, maka:

{ } ).,1(]0,1(1atau01:

01

:ada1

:22

∞∪−=>≤<−∈=

≥−

∈=

−∈=

xxx

x

xx

x

xxD f

R

RR

Fungsi Surjektif, Fungsi Injektif, dan

Fungsi Bijektif

Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai kawan anggota himpunan A, maka f disebut fungsi surjektif

Fungsi Surjektif, Fungsi Injektif, dan

Fungsi Bijektif

Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai yang kawan di A, kawannya tunggal, maka f disebut fungsi injektif

Fungsi Surjektif, Fungsi Injektif, dan

Fungsi Bijektif

� Jika setiap anggota himpunan B mempunyai tepat satu kawan di A maka f disebut fungsi bijektif atau korespodensi 1-1.

� Mudah dipahami bahwa korespondensi 1-1 adalah fungsi surjektif sekaligus injektif.adalah fungsi surjektif sekaligus injektif.

Operasi Pada Fungsi

Diberikan skalar real α dan fungsi-fungsi f dan g. , maka :

Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan domain f dan domain g, kecuali untuk

,

gf

{ }0)(: ≠∩∈= xgDDxD gfgf

Fungsi Invers

� Apabila merupakan korespondensi 1 – 1, maka mudah ditunjukkan bahwa invers f juga invers f juga merupakan fungsi.

� Fungsi ini disebut fungsi invers, ditulis dengan notasi . 1−f

)()(1 xfyyfx =⇔= −

ffffDRRD == −− 11 dan

dengan

Fungsi Invers

� Contoh :

Tentukan jika diketahui .

� Jawab :

1−f23

11)(

+−−=

x

xxf

� Jawab :

23

11

23

11)(

+−=−⇔

+−−==

x

xy

x

xxfy

Fungsi Invers

3232

12233

1)23)(1(

yxyx

xyxyx

xxy

−=−⇔−=+−−⇔−=+−⇔

)(32

32

3232

1 yfy

yx

yxyx

−=−

−=⇔

−=−⇔

x

xxf

32

32)(1

−−=−

Fungsi Komposisi

Fungsi Komposisi� Contoh :

Jika dan maka tentukan fungsi-fungsi berikut ini beserta domainnya.

a. b.

� Jawab :

21)( xxf −=22)( xxg =

gf o fg o

� Jawab :

Selingan

Grafik Fungsi

Dalam Sistem Koordinat Kartesius

� Dalam sistem koordinat kartesius fungsi dapat dibagi menjadi:

� Fungsi Aljabar

� Fungsi Transenden

� Fungsi f disebut fungsi aljabar jika f dapat dinyatakan sebagai jumlahan, selisih, hasil kali, hasil bagi, pangkat, ataupun akar fungsi-fungsi suku banyak.

Grafik Fungsi

Dalam Sistem Koordinat Kartesius

� Contoh fungsi aljabar :

1

)1(3)(

2

322

+

+−=x

xxxxf

� Fungsi yang bukan fungsi aljabar disebutfungsi transenden.

� Beberapa contoh fungsi transendenadalah fungsi trigonometri, fungsilogaritma, dsb.

12 +x

Grafik Fungsi

Dalam Sistem Koordinat Kartesius

� Fungsi Aljabar meliputi :

� Fungsi rasional :

� Fungsi bulat (fungsi suku banyak)

� Fungsi pecah.� Fungsi pecah.

� Fungsi irasional.

Grafik Fungsi

Dalam Sistem Koordinat Kartesius

� Fungsi suku banyak berderajat nmempunyai persamaan

f(x) = Pn(x) = a0 + a1x + . . . + an xnf(x) = Pn(x) = a0 + a1x + . . . + an xn

dengan n bilangan bulat tak negatif , a1, . . . , an bilangan-bilangan real dan an ≠ 0.

Grafik Fungsi Suku Banyak

a. Fungsi konstan cxf =)(

Grafik Fungsi Suku Banyak

b. Fungsi linear: f(x)= mx + n

Grafik fungsi ini berupa garis lurus dengan gradien m dan melalui titik .

Grafik Fungsi Suku Banyak

c. Fungsi kuadrat

Grafik fungsi kuadrat berupa parabola. Diskriminan: .

Secara umum, grafik fungsi kuadrat ini dapat digambarkan sebagai berikut:

0,)( 2 ≠++= acbxaxxf

acbD 42 −=

digambarkan sebagai berikut:

Grafik Fungsi Suku Banyak

c. Fungsi kuadrat 0,)( 2 ≠++= acbxaxxf

Grafik Fungsi Suku Banyak

� Contoh grafik fungsi kuadrat

Grafik Fungsi Suku Banyak

d. Fungsi kubik 0,)( 3012

23

3 ≠+++= aaxaxaxaxf

Grafik Fungsi Pecah

� Fungsi f(x) yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua fungsi suku banyak

nn xaxaa

xf+++

=...

)( 10

disebut fungsi pecah.

mm

n

xbxbb

xaxaaxf

+++

+++=

...

...)(

10

10

Grafik Fungsi Pecah

� Contoh grafik f(x) = 1

)(dan1

−=

x

xxf

x

Grafik Fungsi Irasional

� Contoh

Kata inspirasi pertemuan ini

Berfikir

Banyak orang yang berfikir. Tapi, sedikit yang bertindak. Ingat, tak sedikit yang bertindak. Ingat, tak

seorangpun akan sukes hanya dengan berfikir, tanpa bertindak. Semua

fikiran, harus diikuti oleh tindakan.