Limit Fungsi

www.matematika-pas.blogspot.com

E-learning matematika, 1

Penyusun (Author) : Edi Sutarto, S.Pd.Editor : Drs. Keto Susanto, M.Si. M.T. ; Istijab, S.H. M.Hum.

Imam Indra Gunawan, S.Si.A. Definisi (Definition)Istilah limit diartikan pendekatan.Dalam penulisannya dituliskan: x 2, dibaca x mendekati 2, artinya: nilai x = 1,999….,(2 ) limit kiri atau bisa juga nilai x = 2,000….1,(2 ) limit kanan.

In the writing is written: x 2, be read as x approaches 2, it means :value x = 1,999….,(2 ) left or it could also limit the value x = 2,000….1,(2 ) limit the right.Contoh :1. Diketahui fungsi f(x) = 2x +3

Untuk x = 2, maka nilai fungsi f(2) = 2(2) + 3 = 7Untuk x 2, maka nilai fungsi:F(1,9999) = 2(1,9999) + 3 = 3,9998 + 3 = 6,9998, atauF(2,0001) = 2(2,0001) + 3 = 4,0002 + 3 = 7,0002Kedua nilai fungsi tersebut mendekati bilangan 7Dapat disimpulkan untuk f(x) = 2x + 3, maka artinya untuk x 2, nilai f(x) mendekati 7

Examples :1. Given function f(x) = 2x +3

For x = 2, then the value function f(2) = 2(2) + 3 = 7For x 2, then the value function :F(1,9999) = 2(1,9999) + 3 = 3,9998 + 3 = 6,9998, orF(2,0001) = 2(2,0001) + 3 = 4,0002 + 3 = 7,0002Both the value of the function is approaching numbers 7It can be concluded for f(x) = 2x + 3, then means for x 2, value f(x) approach 7

2. Diketahui fungsi f(x) = .Untuk x = 3, maka nilai fungsi

f(3) = = ( bentuk disebut bentuk tak tentu).

Pada fungsi f(x) = .=

Untuk x , maka nilai fungsi:

f(2,9999) = = 3,9999

f(3,0001) = = 4,0001.

Dapat disimpulkan , untuk f(x) = ., maka : = 4.

2. Given function f(x) = .for x = 3, then the value function

f(3) = = (form ). called indeterminate forms

In the function f(x) = .=

for x , then the value function:

f(2,9999) = = 3,9999

MGMP Matematika SMK kota Pasuruan

http://www.matematika-pas.blogspot.com/




f(3,0001) = = 4,0001.

It can be concluded

for f(x) = ., then : = 4.

: This means that for x 3, value f(x) = 4.

Secara umum:

In general

B. Bentuk Tentu, bentuk Tak Tentu dan bentuk yang tidak terdefinisiForms Sure, Not Sure shape and form that is not defined

Dalam hasil pendekatan nilai fungsi, didapat 3 bentuk yaitu:In the approach value function, obtained 3 forms ie.:

1. Bentuk Tentu (Form Of)Hasil pendekatan nilai fungsi yang berupa bilangan real tertentu. Bentuk ini merupakan jawaban dari semua soal-soal limit.Results approach that of the value of the function of certain real numbers. This shape represents the answers of all the questions limit.

2. Bentuk Tak Tentu (Forms Not Sure)

Hasil pendekatan nilai fungsi yang berupa bentuk: dan

lainnya.Bentuk tak tentu menghasilkan banyak jawaban.Pada penyelesaian limit, bila nilai fungsi menghasilkan bentuk tak tentu maka harus diubah (bentuk fungsi) menjadi bentuk tentu.

Results approach the value of function forms are:

and others. Not sure form generates a lot of answers.In the settlement limit, if the value function produces indeterminate form then must be changed (shape functions) into the form of course.

3. Bentuk yang tidak didefinisikan (The form that is not defined)

Hasil pendekatan nilai fungsi yang berbentuk

Results-shaped value function approaches shaped

C.Teorema Limit (limit Theorem)1.

2.

3.

4.

5.






6.

7.

8.

Penggunaan teorema limit (The use of limit theorem)Contoh. Carilah nilai dari:Example. Find the value of

a.

b.Jawaban (Answer) :

a.

b. = = 9(3+3) = 54

Latihan 1 (Exercise 1)

1.

2.

3.

D Penyelesaian Limit (Settlement Limit)I. Penyelesaian limit aljabar di x

a. Subtitusi langsung (Direct substitution)Contoh:( Example)

Tentukan nilai limit fungsi berikut:Determine the limit values of the following functions:1.

2.

3.

4.Jawaban:1. = 3(3)-8 = 1

2. = =

3.

4. b. Pemfaktoran dan menyederhanakan (Factoring and

simplifying)

Jika dengan cara subtitusi langsung didapat bentuk tak tentu ,maka dapat

diselesaikan dengan cara memfaktorkan dan menyederhanakan bentuk:

If obtained by direct substitution of indeterminate shape , then it can be solved

by way of factoring and simplifying the forms:






= =

Contoh ( Example ):

Tentukan nilai dari limit berikut:Determine the value of the following limit :

1. 2. 3.

Jawaban:( Answer:)

1. Dengan subtitusi langsung: (bentuk tak tentu)

= = -3

2. = = =

3. = = 10.

Pemfaktoran bentuk khusus (Factoring special form) ) )Latihan 2Exercise 2

Tentukan nilai setiap limit berikut:Determine the value of each of the following limits:

1. 7.

2. 8.

3. 9.

4. 10.

5. 11.

6. jika f(x) = , maka nilai dari: =…

c.Mengalikan dengan faktor sekawan (Multiplying by a factor of herd)Jika dalam subtitusi langsung diperoleh bentuk tak tentu maka cara penyelesaian limit bentuk akar adalah dengan mengalikan faktor sekawan.

If the substitution did not necessarily directly obtained form the best solution is to limit root form factor multiplying the herd.

Bentuk kawan (Forms friend)x - a bentuk kawan dari x + a, dan sebaliknya

- a bentuk kawan dari + a, dan sebaliknya






- bentuk kawan dari , dan sebaliknya bentuk kawan dari , dan sebaliknya

x - a a friend of x + a, and vice versa - a a friend of + a, and vice versa

- a friend of , and vice versa a friend of , and vice versa

Contoh soal (Example)Tentukan nilai limit dari:Determine the limit value of:

1. 2. 3.

Jawaban (Answer )::

1. . =

2. .= =

=

3. = . =

=

=

Latihan 3. (Exercise 3)Tentukan nilai limit berikut!Define the following limit values!

1.

2.

3.

4.

5.

II. Penyelesaian Limit Fungsi Aljabar di x Settlement Limit Function Algebra at x






a. Membagi dengan variable pangkat tertinggi (Dividing with the highest rank variable)

Membagi dengan variable pangkat tertinggi digunakan saat dan ditemui bentuk tak tentu .

Dividing the variables used when the highest rank and indeterminate forms encountered .

Diselesaikan dengan ketentuan (Solved with rules): = 0

Contoh soa (Example)Tentukan nilai dari setiap limit berikut:Determine the value of each of the following limits:

1. = = = =

2. = = = 0

3. = = =

b. Perkalian sekawan (bentuk khusus yang memuat)(Multiplication herd (which includes a special form )

Cara ini digunakan jika dijumpai bentuk tak tentu Cara penyelesaian; kalikan dengan bentuk sekawannya sehingga berubah menjadi

bentuk dan selesaikan dengan cara seperti cara bagian a.This method is used if found indeterminate form How to completion, multiply by its companion form so that changes to the form and finish up with a way such as how to part a.

Contoh soal (Example)

Tentukan nilai dari setiap limit berikut:Determine the value of each of the following limits:

1.

2.

3.

Jawaban (Answer )::

1. . =






= ,

karena pangkat tertinggi pembilang = 1Dan pangkat tertinggi penyebut = 1 karena , maka:

becauseThe highest rank numerator = 1, and the highest rank denominator = 1 because , then:

= =

2 . =

= , karena pangkat tertinggi

pembilang = , dan pangkat tinggi penyebut1 ( = x ), maka: because the highest rank numerator = ,and high rank denominator= 1 ( = x ), then:

= =

3. .

= =

= = -

4. , dengan cara yang sama seperti diatas di

peroleh hasil (3 kemungkinan):

Jika nilai a = p maka nilai dari limitnya =

Jika nilai a < p maka nilai dari limitnya = Jika nilai a > p maka nilai dari limitnya =

Latihan 4.( Exercise 4)Tentukan nilai dari setiap limit berikut:Determine the value of each of the following limits






1. 5.

2. 6.

3. 7.

4. 8.

. II. Limit Fungsi Trigonometri (Limit Trigonometry Functions)

Teorema (Theorem) :

a. Menyelesaikan limit fungsi trigonometri bentuk

complete limit of trigonometric functions

Contoh soal (. Example)Tentukan nilai dari setiap limit berikut:Determine the value of each of the following limit

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8

Jawab (Answer ) :

1. = =

2. = =

5. = =

7. =

b. Menyelesaikan limit fungsi trigono bentuk ( ) Solve the form trigono limit function ( )

Limit bentuk ( ) dapat diselesaikan dengan mengubahnya ke bentuk

Limit shapes ( ) can be solved by turning them into shape

contoh soal (Example) :






Tentukan nilai dari limit berikut (Determine the value of the following limits):

=

=2 cos

c. Menyelesaikan limit fungsi trigonometri bentuk (0. ) dapat diselesaikan dengan

mengubahnya ke bentuk .

complete limit of trigonometric functions (0. ) can be solved by turning them into

shap .

Contoh soal (Example)::

1. =

2.

== oOo ==






LATIHAN SOALPRACTICE PROBLEMS

Pilihlah salah satu jawaban yang paling benar!Choose one of the most correct answers

1. Nilai(Value) =…

A. –B. –C.D. 1E.

2. Nilai (Value ) =A. 0B. 1C. 2D. 3E. 6

3. Nilai (Value) =

…A. 0B.

C.

D.E.

4 Nilai (Value)

= A.

B.

C.

D.E. 0

5 Jika(if) f (x) = maka (then)

f (x) = …A. 0B. C. –2 D.E. 2

6. Nilai (Value) = …

A. 1B.C.D.

E

7. Nilai (Value) = ...

A. 0B. 5C. 6,5D. 8E. ∞

8 Nilai (Value) adalah …A. –

B. –C. 0D.

E.

9 Nilai (Value) = …

A. 0B.C. 1D. 2E.

10 Nilai (Value) =

A. 2B. 0C. –1 D. –2 E. -3

11 Nilai i (Value)

adalah …A. 0B. 1C. 2D. 4






E. 812 Nilai (Value) (3x – 2) –

= …A. 0B. –C. –1D. –

E. –13. Nilai (Value) =

…A. B. 8C. 6D. 2E. 0

14 Nilai (Value) = …A. 1B. 0C. –1D.

E.


A. 0B. 1C. 3D.

E.

16 Nilai (Value) =..

A.

B.

C.D. 0E. 1

17 Nilai (Value)

…

A. 0B. 1C. 2D. 3E. 4


A. –B. 0C.D. 1E. 4

19 Jika (if)f(x) = x2 – 1, maka(then)

= …

A. 0B. 1C. 2D. 2xE. x3

20 Jika(if)f(x) = , maka (then)

= …

A.

B.

C.

D.

E

Mengapa Cina Sangat Berprestasi Dalam Olimpiade Matematika Internasional?






Sejak pertama kali mengikuti Olimpiade Matematika Internasional (International Mathematical Olympiad) tahun 1985 di Joutsa, Finlandia sampai dengan IMO tahun 2008 di Madrid, Spanyol, siswa-siswa sekolah menengah dari Cina telah berhasil mengumpulkan 101 medali emas, 26 perak dan 5 perunggu. Bandingkan dengan Indonesia yang sampai sekarang baru berhasil mendapat 3 medali perak dan 12 perunggu sejak pertama kali ikut IMO tahun 1988 di Canbera, Australia.Faktor-faktor apa saja yang menyebabkan siswa-siswa Cina menjadi sangat luar biasa dalam IMO? Yang paling utama adalah sistem pendidikan di Cina yang dapat membuat siswa sangat tertarik dengan matematika dan dapat mengidentifikasi siswa-siswa yang potensial dalam bidang tersebut. Dalam hal inilah Cina sangat unggul.

Guru-guru matematika di Cina tidak memerlukan banyak pelatihan dalam pengembangan profesinya, tetapi mereka sangat spesialis dan mau bekerja keras dalam mendalami profesinya. Faktor lain yang sangat berpengaruh adalah banyak sekali guru matematika di Cina yang menggemari dan menggeluti kompetisi matematika. Cina mempunyai jaringan pelatih khusus untuk kompetisi matematika di seluruh negeri yang dapat mengidentifikasi dan membimbing siswa-siswa yang berbakat matematika.Setiap tahun lebih dari 10 juta siswa sekolah menengah di Cina yang berpartisipasi dalam kompetisi matematika. Menurut Zuming Feng (team leader tim IMO Amerika Serikat) yang dilahirkan dan dibesarkan di Cina sebelum berimigrasi ke Amerika Serikat, di Cina terdapat banyak sekali guru matematika sekolah menengah di Cina yang mengabdikan profesinya khususnya dalam kompetisi matematika.Kemampuan matematika yang mendalam juga menjadi syarat dalam ujian masuk perguruan tinggi di Cina. Soal ujian tersebut selalu terdiri dari tiga atau lima soal matematika yang berbentuk pembuktian. Sebagai akibatnya siswa-siswa Cina sudah terbiasa menghadapi soal-soal matematika level olimpiade. Faktor terakhir adalah sistem pembinaan yang sangat keras untuk menghadapi IMO. Meskipun tidak melalui model pelatihan jangka panjang, siswa-siswa yang mewakili Cina di IMO paling sedikit harus melewati sepuluh tes yang selevel dengan IMO

Why China Very Good Achievement in International Mathematical Olympiad?






Since the first following the International Mathematical Olympiad (International Mathematical Olympiad) 1985 in Joutsa, Finland up to the IMO in 2008 in Madrid, Spain, high school students from China have managed to collect 101 gold medals, 26 silver and 5 bronze. Compare with Indonesia, which until now only managed to get 3 silver and 12 bronze medals since it first joined the IMO in 1988 in Canberra, Australia. What factors are causing Chinese students become extraordinary in the IMO? The main thing is the education system in China that can make students very interested in mathematics and to identify students with potential in the field. In this the Chinese are very superior. Mathematics teachers in China do not require much training in the development of his profession, but they are very specialist and willing to work hard in studying his profession. Another very influential factor is a lot of math teachers in China who enjoyed math and wrestle competition. China has a network of special coaches for math competitions around the country who can identify and guide students who are gifted in mathematics.




Limit Fungsi

Documents

Transcript of Limit Fungsi