*

MA1114 Kalkulus I

Nol = Bilangan yang menyatakan banyaknya elemen himpunan kosongMisal : A={Orang yang Istrinya 1000}Terdapat bilangan x mendekati 0 dari kiri/bawah/negatifTerdapat Bilangan x mendekati 0 dari kanan/atas/positifTerdapat Bilangan x menuju tidak berhingga atau x naik tidak berhinggaTerdapat bilangan x menuju minus tidak berhingga atau turun minus tidak berhingga

Bilangan tidak tertentu = bilangan yang diberi hasil apa saja akan bernilai benar

Bilangan tidak tertentu dimunculkan sebab sering dikacaukan antara bilangan tertentu dan tidak tertentu pada operasi hitung untuk bilangan 0, 1, dan

0 , , - , 0. , 00 , 0 , 1 0

*Pengertian limit secara intuisiPerhatikan fungsiFungsi diatas tidak terdefinisi di x=1, karena di titik tersebut f(x) berbentuk0/0. Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai f(x) jika x mendekati 1Dengan bantuan kalkulator dapat diperoleh nilai f(x) bila x mendekati 1, seperti pada tabel berikutxf(x)0.90.990.9991.11.011.0010.99991.00011?1.91.991.9991.99992.00012.0012.012.1

*2xxf(x)f(x)Secara grafikDari tabel dan grafik disampingterlihat bahwa f(x) mendekati 2jika x mendekati 1Secara matematis dapat dituliskanSebagai berikutDibaca limit dari untuk x mendekati1 adalah 2 Definisi(limit secara intuisi). Untuk mengatakan bahwa berarti bahwabilamana x dekat, tetapi berlainan dengan c, maka f(x) dekat ke L

* Contoh 1.2. 3.4. Ambil nilai x yang mendekati 0, seperti pada tabel berikutx10-1010-100?Dari tabel terlihat bahwa bila x menuju 0, sin(1/x) tidak menuju kesatu nilai tertentu sehingga limitnya tidak ada

MA1114 Kalkulus I

* Limit Kiri dan Limit KanancxJika x menuju c dari arah kiri (dari arahbilangan yang lebih kecil dari c, limit disebutlimit kiri,Jika x menuju c dari arah kanan (dari arahbilangan yang lebih besar dari c, limit disebutlimit kanan, cxHubungan antara limit dengan limit sepihak(kiri/kanan)notasinotasiJika maka tidak ada

MA1114 Kalkulus I

* Contoh Diketahui a. Hitungd. Gambarkan grafik f(x)JawabKarena aturan fungsi berubah di x=0, maka perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=0c. Hitungb. Hitung) Jika ada1.

*b. Karena aturan fungsi berubah di x=1, maka perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=1Karena Tidak adac. Karena aturan fungsi tidak berubah di x=2, maka tidak perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=2

*d.Untuk x 0Grafik: parabolaUntuk 0

*2. Tentukan konstanta c agar fungsimempunyai limit di x=-1Jawab Agar f(x) mempunyai limit di x=-1, maka limit kiri harus sama denganlimit kananAgar limit ada3 + c = 1 - cC=-1

*A. Diberikan grafik suatu fungsi f seperti gambar berikut . Cari limit /nilai fungsi berikut, atau nyatakan bahwa limit /nilai fungsi tidak ada.f(-3)f(-1)f(1)1.2.3.4.5.6.7.8.Soal Latihan

*Soal Latihan1. Diketahui : Hitung dan b. Selidiki apakah ada, jika ada hitung limitnya2. Diketahui, hitung ( bila ada ) : 3. Diketahui , hitung ( bila ada ) c. a.b.c.a.b.c.B.

*Sifat limit fungsiMisal (limit dari f , g ada dan berhingga)maka2.3.4.,n bilangan bulat positif5.bila n genap L harus positif1.

MA1114 Kalkulus I

* Prinsip ApitMisal untuk x disekitar c dan makaContoh Hitung Karena dan maka

MA1114 Kalkulus I

*Limit Fungsi TrigonometriContoh x 0 ekivalen dgn 4x 0

*Soal LatihanHitung1.2.3.4.5.

*Limit Tak Hingga dan Limit di Tak HinggaLimit Tak Hingga

Ctt :g(x) 0 dari arah atas maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x)positif. g(x) 0 dari arah bawah maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x)negatif.

MA1114 Kalkulus I

*Contoh Hitunga.b.c.Jawab a.,g(x)=x-1 akan menuju 0 dari arah bawah, karena x 1 dari kiri berarti x lebih kecil dari 1, akibatnyax-1 akan bernilai negatifSehingga b. akan menuju 0 dari arah atas, karena x -1 dari kiri berarti x lebih kecil dari -1, tapibilangan negatif yang lebih kecil dari -1 jika dikuadratkan lebih besar dari 1 sehingga bernilai positifSehingga

*c.danf(x)=sinxxJika x menuju dari arah kanan maka nilai sinx menuju 0 dari arahbawah(arah nilai sinx negatif)sehingga Karena

*Limit di Tak Hinggaa.jika atau f(x) mendekati L jika x menuju tak hinggaLxContoh HitungJawab = 1/2

MA1114 Kalkulus I

*jika atau f(x) mendekati L jika x menuju minus tak hinggab.LxContoh HitungJawab = 0

*Contoh Hitung Jawab :Jika x , limit diatas adalah bentuk ( )

MA1114 Kalkulus I

*Soal Latihan . Hitung1.2.3.4.5.6.