Limit fungsi

LIMIT FUNGSI ALJABAR

AdaptifHal.: 2 LIMIT FUNGSI

LIMIT FUNGSI:

Mendekati hampir, sedikit lagi, atau

harga batas .

Untuk lebih jelas perhatikan contoh berikut :

Perhatikan fungsi berikut f(x) = 2x + 1, dengan x € R . Kita akan menentukan f(x) dengan x ber

Limit fungsi aljabar


Limit fungsi:Suatu limit f(x) dikatakan

mendekati a {f(x) a} sebagai suatu limit.Bila x mendekati a {x a}Dinotasikan Lim f(x) = a x a



Langkat-langkah mengerjakan limit fungsi(supaya bentuk tak tentu dapat dihindari)adalah ….1. Subtitusi langsung.2. Faktorisasi.3. Mengalikan dengan bilangan sekawan.4. Membagi dengan variabel pangkat

tertinggi.



Berapa teorema limit:

Bila Lim f(x) = A dan Lim g(x) = B x a x a

Maka 1. Lim [k.f(x)] = k Lim f(x)

x a x a = k. A

2. Lim [f(x)+g(x)] = Lim f(x) + Lim g(x) x a x a x a

= A + B




3. Lim {f(x) x g(x)} x a x a = Lim f(x) x Lim g(x) x a x a = A x B

4.

B

A

xg

xf

xg

xf

LimLim

Limax

ax

ax

==

→

→

→ )(

)(

)(

)(


[ ] n

n

ax

n

ax

Axfxf LimLim =

=

→→)()(

5.

6.

Axfn

ax

nn

axLimxfLim ==

→→)()(



Soal latihan:1. Nilai dari Lim 3x adalah…. x 2

a. 1b. 2c. 3d. 4

e. 6



Pembahasan 1:

Lim 3x = 3(2)x 2

= 6

Pembahasan 2:

Lim 3x = 3 Lim Xx 2 x 2 = 3(2) = 6



Jawab:1. Nilai dari Lim 3x adalah…. x 2

a. 1b. 2c. 3d. 4

e. 6



2. Nilai dari Lim (2x+4) adalah…. x 2

a. -2b. 2c. 4d. 6e. 8



Pembahasan: Lim (2x+4) = 2(2) + 4 x 2

= 4 + 4 = 8



3. Nilai dari Lim [6x-2x] adalah…. x 3

a. -6b. 8c. 12d. 14e. 16



Pembahasan 1:

Lim [6x-2x] = Lim 4x = 4(3) = 12X 3 x 3

Pembahasan 2:

Lim [6x-2x] = Lim 6x – Lim 2xX 3 x 3 x 3

= 6(3) – 2(3) = 18 – 6 = 12



Limit fungsi bentuk

Jika f(x) = (x-a).h(x) g(x) = (x-a).k(x)Maka:

)().(

)().(

)(

)(

xkax

xhax

xg

xfLimLim

axax −−=

→→

0

0

)(

)(

)(

)(

ak

ah

xk

xhLim

ax

==→



Limit Fungsi Bentuk

Jika diketahui limit tak hingga (~)Sebagai berikut:

Maka:1. R= 0 jika n<m2. R= a jika n=m 3. R= ~ jika n>m

~~

Rrqxpx

cbxaxmm

nn

xLim =

++++++

−

−

→ ...

...

~1

1



Limit Fungsi Bentuk (~ - ~)a.

1. R= ~ jika a>p2. R= 0 jika a=p3. R= -~ jika a<p

[ ] RqpxbaxLimx

=+−+→~



b.

1. R= ~ jika a>p

2. jika a=p

3. R= -~ jika a<p

[ ] RrqxpxcbxaxLimx

=++−++→

22

~

a

qbR

2

−=



Soal latihan:4. Nilai dari

adalah….

a. 3 d.b. 2c. 1 e. -2

xxx

xxxLimx 22

4323

24

0 −−+−

→

2

1−



Pembahasan:

Jika 0 didistribusikan menghasilkan ~(bukan solusi) sehingga soal diselesaikan dengan cara faktorisasi

0

0

0.200.2

0.40.30

22

43

23

24

23

24

0

=−−+−=

−−+−

→ xxx

xxxLimx



Maka:

[ ][ ]

22

4

200

400

22

43

22

43

22

43

2

3

0

2

3

0

23

24

0

−=−

=−−+−=

−−+−=

−−+−=

−−+−

→

→

→

xx

xx

xxx

xxx

xxx

xxx

Lim

Lim

Lim

x

x

x



Soal latihan:4. Nilai dari

adalah….

a. 3 d.b. 2c. 1 e. -2

xxx

xxxLimx 22

4323

24

0 −−+−

→

2

1−



5. Nilai dari

adalah…. 6

42

2

2 −+−

→ xx

xLimx

5

3.

5

4.

1.

c

b

a

1.5

2.

−e

d



Pembahasan:

6

42

2

2 −+−

→ xx

xLimx

5

4

32

22

3

2

2

=++=

++=

→ x

xLimx

)3)(2(

)2)(2(

2 +−+−=

→ xx

xxLimx



5. Nilai dari

adalah…. 6

42

2

2 −+−

→ xx

xLimx

5

3.

5

4.

1.

c

b

a

1.5

2.

−e

d



6. Nilai dari

adalah ….

a. -6 d. 16b. 2 e. 32c. 10

182

6342

2

~ −−−+

→ xx

xxLimx



Pembahasan 1:

182

6342

2

~ −−−+

→ xx

xxLimx

2

2

222

2

222

2

182

634

182

634

xx

xx

xxx

xx

xxx

xx

+−

−+=

+−

−+=



Pembahasan 1:

002

004

~1

~8

2

~6

~3

4

2

2

+−−+=

+−

−+=

22

4 ==



Pembahasan 2:

Perhatikan bahwa pangkat diatas samadengan pangkat bawah sehingga p = q(p dibagi q)

182

6342

2

~ −−−+

→ xx

xxLimx

22

4 ===q

pL

LIMIT FUNGSI ALBAJAR


6. Nilai dari

adalah ….

a. -6 d. 16b. 2 e. 32c. 10


182

6342

2

~ −−−+

→ xx

xxLimx


7. Nilai dari

adalah….

a. -3 d. 0b. -2 e. 1c. -1

}124624{~

22 −+−+−→

xxxxLimx



Pembahasan:

2.2

4

42

22

2

−=−−=−=a

qbR

14

4 −=−=



7. Nilai dari

adalah….

a. -3 d. 0b. -2 e. 1c. -1

}124624{~

22 −+−+−→

xxxxLimx



8. Nilai dari

adalah….

a. -4 d. 4b. 0 e. 8c. 2

2

2

)14(

)28(

~ +−

→ x

xLimx

Limit fungsi sljabar


Pembahasan:

1816

43264

)14(

)28(2

2

~2

2

~ +++−=

−−

→→ xx

xxLim

x

xxx

Lim

416

64 ==



8. Nilai dari

adalah….

a. -4 d. 4b. 0 e. 8c. 2

2

2

)14(

)28(

~ +−

→ x

xLimx



xx

xxLim

ox 22

2

+−

→

9. Nilai dari

adalah….

a. -~ d. 0 b. -2

c. e. 2

1−2

1



Pembahasan:

)2(

)1(

2 02

2

0 +−=

+−

→→ xx

xx

xx

xxLimLimxx

2

1

20

10

2

1

0

−=+−=

+−=

→ x

xLimx



xx

xxLim

ox 22

2

+−

→9. Nilai dari

adalah….

a. -~ d. 0b. -2

c. e. 2

1− 2

1



2523

124634

22

~ ++−−+−

→ xxx

xxxLimx

2

1−

2

1

10. Nilai dari

adalah….

a. d. 2

b. 0 e. 3

c.



Pembahasan:

PerhatikanPangkat tertinggi diatas 3Pangkat tertinggi dibawah 4Jadi n < mNilai R = 0

2523

124634

22

~ ++−−+−

→ xxx

xxxLimx



2523

124634

22

~ ++−−+−

→ xxx

xxxLimx

2

1−

2

1

10. Nilai dari

adalah….

a. d. 2

b. 0 e. 3

c.



11. Nilai dari

adalah….

4133

12522

2

4 −−−+

−→ xx

xxLimx

13

11.

13

8.

13

5.

c

b

a

13

14.

13

12.

e

d



Pembahasan:

4133

12522

2

4 −−−+

−→ xx

xxLimx

)4)(13(

)4)(32(

4 +−+−

−→ xx

xxLimx

1)4(3

3)4(2

13

32

4 −−−−=

−−

−→ x

xLimx

13

11

13

11 =−−=



74

10422

2

~ +−+

→ x

xxLimx

2

1−

2

1

12. Nilai dari

adalah….

a. d. -1

b. 0 e. -6

c.



Pembahasan:

Pangkat diatas = Pangkat dibawahMaka

74

10422

2

~ +−+

→ x

xxLimx

2

1

4

2 =



12. Nilai dari

adalah….

a. d. -1

b. 0 e. -6

c.

74

10422

2

~ +−+

→ x

xxLimx

2

1−

2

1



Limit Fungsi Trigonometri

ax→1. Bentuk lim f(x) = f(a)

Contoh :Tentukan nilai lim sin 2x.

4

π→x

Jawab :

Lim sin 2x = sin 2 = sin = 1

4

π2

π

4

π→x



2. Bentuk lim , dengan f(a) = 0 dan g(a) = 0ax→

( )( )xgxf

Contoh :Tentukan nilai dari :

x

x

cos

2sinlim

2

π→x

Jawab :

4

π→x4

π→x4

π→x21.2

2sin2sin2lim

cos

cossin2lim

cos

2sinlim ===== π

xx

xx

x

x

xxx cossin22sin =

xx 2sin212cos −=

Ingat !!!



3. Bentuk ataux

xsinlim

x

xtanlim0→x 0→x

Catatan :

1.

2.

1sin

limsin

lim ==x

x

x

x

1tan

limtan

lim ==x

x

x

x

Secara umum

b

a

ax

ax

b

a

bx

ax

b

a

bx

ax ===sin

tanlim,

tanlim,

sinlim

0→x

0→x

0→x

0→x 0→x

0→x

0→x



Contoh 1 :Tentukan nilai limit fungsi trigonometri berikut!

x

xax 2

8sinlim.

0→

Jawab :

x

xbx 4sin

3tanlim.

0→

44.12

8.

8

8sinlim

2

8sin.

00===

→→ x

x

x

xLima

xx

4

3.

4sin

4.

3

3tanlim

4sin

3tanlim.

00 x

x

x

x

x

xb

xx →→=

4

3

4

3.1.1 ==

20

2cos1lim.

x

xcx

−→



2

2

020

)sin21(1lim

2cos1lim.

x

x

x

xc

xx

−−=−→→

2

2

0

sin2lim

x

xx→

=

2

0

sin.2lim

=

→ x

xx

2

0

sinlim.2

=

→ x

xx

21.2 2 ==



Contoh 2 :

Tentukan nilai darix

xx sin

12coslim

−→π

x

x

x

x

x

xxxx sin

sin2lim

sin

1)sin21(lim

sin

12coslim

22 −=−−=−→→→ πππ

00.2sin2)sin2(lim =−=−=−=→

ππ

xx

Jawab :

Limit fungsi

Documents

Transcript of Limit fungsi