7/21/2019 Interpolasi Dan Aproksimasi

1/5

Universitas Gadjah Mada 1

BAB 5

Interpolasi dan Aproksimasi

Interpolasi merupakan proses penentuan dan pengevaluasian suatu fungsi yang grafiknya

melalui sejumlah titik tertentu. Sebaliknya, pada aproksimasi grafik fungsi yang diperoleh

tidak harus melalui.

5.1 Interpolasi Polinomial

Fungsi polinomial berderajat n mempunyai bentuk

Untuk n = 1, diperoleh fungsi linear.

n = 2, diperoleh fungsi kuadratis.

n = 3, diperoleh fungsi kubik.

Bila diberikan dua buah titik (x0,y0) dan (x1,y1) denganx0x1, maka fungsi linear yang melalui

kedua titik tersebut adalah

Fungsi ini disebut fungsi interpotasi antara titik (x0,y0) dan (x1,y1).

Secara umum, bila terdapat n+1 titik data (x0,y0), (x1,y1), ..., (xn,yn) dengan semua xiberbeda,

maka fungsi interpolasinya adalah

dengan

5.2 Interpotasi beda terbagi Newton

Bila x1, x2 dan x3 adalah empat bilangan yang berbeda, maka didefinisikan : beda

terbagi orde satu(first order devided difference) adalah

beda terbagi orde dua(second order devided difference) adalah

7/21/2019 Interpolasi Dan Aproksimasi

2/5

Universitas Gadjah Mada 2

beda terbagi orde tiga(thirth order devided difference) adalah

Andaikan Pn(x) adalah polinomial yang menginterpolasi f(xi) pada titikxi,untuk i = 0, 1, 2,...,n, yang berarti

derajat Pn(x) n dan Pn(xi)=f(xi), 1.= 0,1, .............. ,n

dengan menggunakan definisi beda terbagi, maka :

Secara umum dikatakan sebagai rumus beda terbagi Newton :

5.3 Interpolasi Spline

Cara paling sederhana melakukan interpolasi adalah dengan membuat segmen-

segmen garis yang menghubungkan titik-titik interpolasi. Cara ini disebut interpolasi linear

sepotong-sepotong. Namun demikian hasil interpolasi ini tidak mulus.

Interpolasi Spline menghendaki kurva yang diperoleh mempunyai pola seperti

interpolasi linear dan kurva tersebut mulus. Untuk itu disyaratkan

I. Derivatif ke satu dan derivatif ke dua dari fungsi interpolasi tersebut kontinyu.

II. Harga derivatif ke satu tidak jauh berbeda antar titik interpolasi (Harga derivatif ke dua

sekecil mungkin)

Misal terdapat n buah titik interpolasi (xi, yi),i=1, ... ,n, x1< x2< ... < xndan a= x1, b = xn.

Fungsi interpolasi spline pada titik-titik ini adalah s(x) yang mempunyai sifat :

I. s(x) adalah polinomial berderajat 3 pada tiap interval [xj-1,xj] , untukj=2,3, ..., n

II. s(x), s'(x) dan s(x) bersifat kontinyu untuk a x b

III. s'(x1)=s'(xn)=0

Fungsi interpolasi spline interval xj-1x xjberbentuk :

dengan Mi= s" (xi)

7/21/2019 Interpolasi Dan Aproksimasi

3/5

Universitas Gadjah Mada 3

Penyederhanaan fungsi tersebut menghasilkan sistem persamaan linear

untuk j = 2,3,...,n-1.

Disamping itu, M1= Mn= 0 .

Sebagai contoh, akan ditentukan fungsi spline yang menginterpolasi data-data

Dari titik-titik tersebut dihasilkan sistem persamaan linear :

Selanjutnya diperoleh M2= M3= 0

Dengan demikian fungsi interpolasinya adalah :

5.4. Pencocokan kurva dengan regresi linear

Dalam pencocokan suatu fungsi pada data-data hasil pengukuran, semakin banyak

data maka kecermatan kurva yang dicocokkan semakin tinggi. Pendekatan terbaik adalah

meninjau fungsi dengan sedikit parameter bebas dan menentukan nilai parameter tersebut

sedemikian rupa sehingga simpangan fungsi dari titik-titik data adalah sekecil mungkin.

Fungsi linear didefinisikan sebagai

dengana dan b adalah konstanta yang akan ditentukan.

Simpangan garis dari masing-masing titik data didefinisikan oleh

dengan n adalahbanyak titik data.

Total kuadrat simpangan

7/21/2019 Interpolasi Dan Aproksimasi

4/5

7/21/2019 Interpolasi Dan Aproksimasi

5/5

Universitas Gadjah Mada 5

Umpan balik

1. Suatu alat memberikan respon terhadap masukan yang diberikan kepadanya sebagai

berikut :

input 0,5 1,0 2,0

output 0,47 9 0,84 1 0,90 9

Andaikan alat tersebut sebagai sebuah fungsi, gunakan interpolasi untuk menentukan

fungsi tersebut. Selanjutnya perkirakan output jika diberikan input Bandingkan untuk

berbagai macam interpolasi.

I. Diberikan data-data sebagai berikut :

x 0,0 0,2 0,4 0,7 0,9 1,0

y 1,016 0,768 0,648 0,401 0,272 0,193

entukan fungsi regresi potinom orde 2 untuk data-data tersebut. Selanjutnya

gunakan untuk memperkirakan nilai y bila x = 0,5