Metode Numerik - Interpolasi

5/8/2018 Metode Numerik - Interpolasi - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/metode-numerik-interpolasi 1/55

(Menaksir nilai fungsi-x dari beberapa titik x diketahui)

Oleh

Dian Yayan Sukma, ST., MT.JTE FT-UR

2011



y Menentukan/menaksir nilai fungsi titik x daribeberapa titik x yang diketahui/diberikan.

y Metoda:

- Lagrange Interpolation Polynomial- Newton Interpolation Polynomial- Spline Interpolation



y Persamaan Lagrange:

p1 ( x)= L0( x). f ( x0) + L1( x). f ( x1)

y x = x0 : p1 ( x0)= f ( x0) L0( x0)=1 dan L1( x0)=0.

y x = x1 : p1 ( x1) = f ( x1) L0( x1)=0 dan L1( x1)=1.

y Persamaan Lagrange menjadi:

01

0

1

10

1

0,

x x

x x x L

x x

x x x L

!

!

1

01

0

0

10

1

1.. x f

x x

x x x f

x x

x x x p

!



y Jika diberikan tiga titik data x, penaksiran nilai fungsi -xmenggunakan persamaan Lagrange orde-2:

p1 ( x)= L0( x). f ( x0) + L1( x). f ( x1) + L2( x). f ( x2)

y Pengali Lagrange:

? A ? A

? A ? A

? A

? A10210

2

2

1010

2

1202

10

2

20120

2

1

2020

2

2101

201

21021

2

0

2121

2

2010

21

0

..

..

.

.

....

.

.

..

..

.

.

x x x x x x

x x x x x x

x x x x

x x x x x L

x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x L

x x x x x x

x x x x x x

x x x x

x x x x x L

!

!

!

!

!

!



y Jika diberikan N titik data x, penaksiran nilai fungsi -xmenggunakan persamaan Lagrange orde-n (n=N-1):

y Pengali Lagrange:

110

110

02010

21

00

0

.....

.........

....

!!

!!

nnnn

nn

nn

n

n

n

x x x x x x

x x x x x x

xl

xl x

x x x x x x

x x x x x x

xl

xl x

§!

!!n

k

k k nnnx f x x f x x f x x f x x p

0

1100.......



y Kesalahan perkiraan nilai dari fungsi-x merupakanselisih antara nilai fungsi-x sebenarnya f(x) dengan nilaipendekatan pn(x).

x p x f xenn

!



y Hitunglah nilai ln dari x=9,2 (4D) menggunakanmetoda Lagrange Interpolation Polynomial,

jika diketahui:

x0=9,0; f(x0)=2,1972x1=9,5; f(x1)=2,2513

x2=11,0; f(x2)=2,3979



Penaksiran nilai fungsi dari x=9,2 (ln(9,2)):

y f(9,2) = 2.219203484054995

y p2(9,2) = 2.219163429636708

y e2(9,2) = 0,000040054418286



6 8 10 12 14 16 18 0

0. 5

1

1. 5

2

2. 5

3Kurva Fungsi: f(x) dan P(x)

p f(x)

p P(x)

6 8 10 12 14 16 18 -60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40 Kurva Koefisien Lagrange

p L(0)

p L(1)

p L(2)



-Newtons Divided Difference Interpolation

-- Newtons Forward Difference Formula

-- Newtons Backward Difference Formula



y Persamaan Polynomial Newton orde-n:

pn( x) = pn-1( x) + gn( x)

gn( x) = pn( x) - pn-1( x)

y Polynomial gn(x);

gn( x) = an.(x-x0 ).(x-x 1 )(x-xn-1 )

y

Jika: pn( x)= f n; maka persamaan an menjadi:

110

1

....

!n

nn

n

x x x x x x

x p f a



y n=1:

y n=2:

? A10

01

01

01

01

1, x x f

x x

f f

x x

x p f a !

!

!

? A

? A

? A

? A ? A

? A210

02

1021

02

01

01

12

12

011202

01121201

011202

012112101201

011202

1020111101211202

011202

0000102001211202

011202

01020201

1202

01

010202

1202

100202

2

,,,,

..

..

..

....

....

,

x x x f x x

x x f x x f

x x

x x

f f

x x

f f

x x x x x x

f f x x f f x x

x x x x x x

f x x f x x f x x f x x

x x x x x x

f x f x f x f x f x f x f x f x

x x x x x x

f x f x f x f x f x f x f x f x

x x x x x x

f f x x f f x x

x x x x

x x f f x x f f

x x x x

x x f x x f f a

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

? A ? A ? A

0

101

0

,...,,...,,...,

x x

x x f x x f x x f a

k

k k

k k

!!

1202

12

2. x x x x

x p f a

!

Secara umum dituliskan:



y Persamaan Newtons divided difference interpolation:

y Kesalahan:

? A

? A ? Ann

n

x x f x x x x x x x f x x x x

x x f x x f x p x f

,...,......,,..

,.

010

21010

1000

!}

x p x f xenn

!



y Hitunglah nilai ln dari x=9,2 (4D) menggunakanmetoda Newtons Devided Difference Interpolation,

jika diketahui:

x0=8,0; f(x0)=2,079442x1=9,0; f(x1)=2,197225

x2=9,5; f(x2)=2,251292

x3=11,0; f(x3)=2,397895



Penaksiran nilai fungsi dari x=9,2 (ln(9,2)):

y f(9,2) = 2.219203484054995

y p2(9,2) = 2.219163429636708

y e2(9,2) = 0,000040054418286



y Setiap titik x memiliki interval (jarak yang sama):

x0 , x 1=x0+h, x 2=x0+2h,, xn=x0+nh

y

Beda maju newton pertama: f j = f j+1 f j.

y Beda maju newton kedua: 2 f j = f j+1 f j.

y Beda maju newton ke-k :

nk f f f j

k

j

k

j

k ,...,3,2,1.

1

1

1 !((!(



y Beda maju Newton, k=1:

y Beda maju Newton k=2:

y Beda maju newton k=3:

y Beda maju newton ke-n:

? A 001

01

01

10

11, f

h f f

h x x

f f x x f (!!

!

? A ? A ? A 2

0

20101

01

12

12

02

1021

210

!.22

1

2

,,,,

h

f

h

f f h

h

x x

f f

x x

f f

x x

x x f x x f x x x f

(!

((!

!

!

? A ? A ? A? A ? A ? A ? A

3

03

3

02

12112

03

02

1021

13

2132

03

210321

3210

!.3.1.2.33

0

11

2

1

,,,,

,,,,,,,

h

f

h

f f

h

f f h f f hh

x x

x x

x x f x x f

x x

x x f x x f

x x

x x x f x x x f x x x x f

(!((!¹ º

¸

©ª

¨

((((!

¹¹ º

¸©©ª

¨

¹¹

º

¸©©ª

¨

!

!

? A010

.!.

1,...,, f

hn

x x x f n

nn(!



y Jarak nilai x terhadap nilai awal: x= x0+rh

r=(x-x0 )/h,

x-x0=rh;

x-x 1=x-(x0+h)=x-x0-h=rh-h=h(r-1) x-x 2=x-(x0+2h)=x-x0-2h=rh-2h=h(r-2)

x-xn-1=x-(x0+(n-1)h)=x-x0-(n-1)h=rh-(n-1)h=h(r-n+1)

y

Koefisien Newton:y (x-x0 )=h.r

y (x-x0 ). (x-x 1 )=h.r.h.(r-1)=h 2.r.(r-1)

y (x-x0 ). (x-x 1 )(x-xn-1 )=h.r.h(r-1)h(r-n+1)=hn.r.(r-1)(r-n+1)



y Persamaan Newton beda bagi:

y Persamaan Newton beda maju (dg subsitusi ) diperoleh:

disederhanakan menjadi:

? A ? A

? Ann

n

x x f x x x x

x x x f x x x x

x x f x x f x p x f

,...,...

...,,..

,.

010

21010

1000

!}

n

n

n

n

hn

f nr r r h

h

f r r h

h

f r h f x p x f

!..1...1.....

!.2.1.... 0

2

0

2

20

0

(

(

(!}

00

2

00.

!

1...1....

!2

1. f

n

nr r r f

r r f r f x p x f n

n(

(

(!}



y Kesalahan:

x p x f xenn

!



y Hitunglah nilai cosh dari x=0,56 (6D) menggunakanmetoda Newtons Forward Devided DifferenceInterpolation,

jika diketahui:x0=0,5; f 0=1,127626

x1=0,6; f 1=1,185465

x2=0,7; f 2=1,255169

x3=0,8; f 3=1,337435



Penaksiran nilai fungsi dari x=0,56 (f(0,56)=cosh(0,56)):

y f(0,56) = 1,160940782072458

y p2(0,56) = 1,160944839565795

y e2(0,56) = 0,000004057493336873108



y Setiap titik x memiliki interval (jarak yang sama):

x0 , x-1=x0-h, x-2=x0-2h,, x-n=x0-nh

y

Beda mundur newton pertama: f j = f j f j-1.

y Beda mundur newton kedua: 2 f j = f j f j-1.

y Beda mundur newton ke-k :

nk f f f j

k

j

k

j

k ,...,3,2,1

1

11 !��!�

��



y Beda mundur Newton, k=1:

y Beda mundur Newton k=2:

y Beda maju newton k=3:

y Beda mundur newton ke-n:

? A 010

10

10

01

11, f

h f f

h x x

f f x x f �!!

!

? A ? A ? A 2

0

21021

21

10

10

20

1201

012

!.2.2

1

.2

,,,,

h

f

h

f f h

h

x x

f f

x x

f f

x x

x x f x x f x x x f

�!

��!

!

!

? A ? A ? A? A ? A ? A ? A

3

03

3

12

022110

30

31

2312

20

1201

30

123012

0123

!.3.1.2.33

11

.2

1

,,,,

,,,,,,,

h

f

h

f f

h

f f h f f hh

x x

x x

x x f x x f

x x

x x f x x f

x x

x x x f x x x f x x x x f

�!��!¹ º

¸

©ª

¨�

�

�

�

!

¹¹ º

¸©©ª

¨

¹¹ º

¸©©ª

¨

!

!

? A001

.!.

1,...,, f

hn x x x f

n

nnn�!



y Jarak nilai x terhadap nilai awal: x= x0+rh

r=(x-x0 )/h,

x-x0=rh;

x-x-1=x-(x0-h)=x-x0+h=rh+h=h(r+1) x-x-2=x-(x0-2h)=x-x0+2h=rh+2h=h(r+2)

x-x-(n-1)=x-(x0-(n-1)h)=x-x0+(n-1)h=rh+(n-1)h=h(r+n-1)

y Koefisien Newton:

y (x-x0 )=h.r

y (x-x0 ). (x-x-1 )=h.r.h.(r=1)=h 2.r.(r+1)

y (x-x0 ). (x-x-1 )..(x-x-(n-1) )=h.r.h(r+1)..h(r+n-1)=hn.r.(r+1)..(r+n-1)



y Persamaan Newton beda bagi:

y Persamaan Newton beda maju (dg subsitusi ) diperoleh:

disederhanakan menjadi:

? A ? A

? Ann

n

x x f x x x x

x x x f x x x x

x x f x x f x p x f

,...,...

...,,..

,.

010

21010

1000

!}

n

n

n

n

hn

f nr r r h

h

f r r h

h

f r h f x p x f

!..1...1.....

!.2.1.... 0

2

0

2

20

0

�

�

�!}

00

2

00.

!

1...1....

!2

1. f

n

nr r r f

r r f r f x p x f n

n�

�

�!}



y Kesalahan:

x p x f xenn

!



y Hitunglah nilai cosh dari x=0,56 (6D) menggunakanmetoda Newtons Backward Devided DifferenceInterpolation,

jika diketahui:x-3=0,5; f(x0)=1,127626

x-2=0,6; f(x0)=1,185465

x-1=0,7; f(x1)=1,255169

x0=0,8; f(x2)=1,337435



Penaksiran nilai fungsi dari x=0,56 (f(0,56)=cosh(0,56)):

y f(0,56) = 1,160940782072458

y p2(0,56) = 1,160944839565795

y e2(0,56) = 0,000004057493336873108



Cubic Polynomial



y Suatu f ungsi f(x) terdefenisi pada interval a x b,dimana partisi (1) diberik an, pada bagian partisitersebut k 0 dan k n mer u pak an d ua bilangan yangdiberik an. Kemudian hanya ada satu dan hanya satu cubic spline terhadap (1) dan memenuhi (2) dan (3).

y (1) a =x0 < x 1 < ... < xn = b

y (2) g(x0 ) = f(x0 ) = f 0 , g(x 1 ) = f(x 1 ) = f 1 ,..., g(xn ) = f(xn ) = f n ,

y (3) g(x0 ) = k 0 , g(xn ) = k n.



y S pline Interpolation: pendekatan menggunakanpersamaan cubic polynomial orde rendah (max orde 3)untuk setiap selang/interval datanya.

y

Jika diberikan n titik data, maka kurva dibentuk olehn-1 persamaan cubic polynomial orde rendah.

y Setiap persamaan cubic polynomial memilikikoefisien yang berbeda-beda satu sama lain.

y

Setiap persamaan cubic polynomial berlaku untukinterval: xi p j(x) xi+1.

y Semua persamaan cubic polynomial k ontinu padasetiap titik batas interval persamaannya.



y Persamaan cubic polynomial orde-3 yang memenuhiteorema cubic splines:

y

? A ? A

1

22

1

2

1

2

1

22

1

2

1

2

...

...

.21..

.21..

!

j j j j

j j j j

j j j j j

j j j j j j

x x x xck

x x x xck

x xc x xc x f

x xc x xc x f x p



y Nilai konstanta c j:

y Nilai konstanta h:

y Nilai konstanta c j menjadi:

j j x xh ! 1

j j

j x x

c

!1

1

h x xc

j j

j

11

1

!

!



y Persamaan cubic polynomial sebagai fungsi-x:

y

? A

? A2

1

2

1

2

1

32

1

2

11

2

1

2

1

32

2

1

2

2

1

2

1

3

2

1

2

1

2

1

1

2

11

2

1

3

2

...2.2..

...2.2..

..2

.2.2..4

..2.41.2

..

..2

.2.2..4

..2.41.2

..

j j j j j j j j j

j j j j j j j j j

j j j j

j j j j j j

j j j j j

j j

j j j j

j j j j j j

j j j j j

j j j

x x x x x x x x x xck

x x x x x x x x x xck

x xc x

x x xc x xc

x xc xc xc

c x f

x xc x

x x xc x xc

x xc xc xc

c x f x p

¼¼

¼¼

½

»

¬¬

¬¬«

¼¼

¼¼

½

»

¬¬

¬¬«

!



y Turunan-1 Persamaan cubic polynomials sebagaifungsi-x:

y

? A ? A2

11

22

1

1

2

112

2

2

1

1

2

2

1

1

2

11

1

2

2

.2.423..

.2.243..

2.2..4

..4.81.6..

2.2..4

..4.82.6..'

j j j j j j j

j j j j j j j

j j j j j j

j j j j j

j j

j j j j j j

j j j j j

j j j

x x x x x x xck

x x x x x x xck

x xc x xc

x xc xc xcc x f

x xc x xc

x xc xc xcc x f x p

¼¼

½

»

¬¬«

¼

¼

½

»

¬

¬«

!



y Turunan-2 cubic polynomial sebagai fungsi-x:

y Turunan-3 cubic polynomial sebagai fungsi-x:

? A ? A

? A ? A j j j j j j j j

j j j j j j j

j j j j j j j j

x x xck x x xck

xc xc xcc x f

xc xc xcc x f x p

426..246..

.4.81.12..

.4.82.12..

1

2

11

2

1

2

1

1

2

!

? A ? A1

2

1

3

1

22

1

33

.6.12

.6.6.12.12

!!

j j j j j j

j j j j j j j j j

k k c x f x f c

k ck c x f c x f c x p



y Persamaan cubic polynomial ke- j berlaku untukinterval: x j p j(x) x j+1:

y Perlu ditinjau persamaan dan turunannya pada titik x j

dan x j+1.y Lakukan dengan subsitusi nilai x x j dan x x j+1

dimana: j = 0, 1, 2, ..., n

y Tinjau titik batas tersebut menggunakan persamaan:

- p j( x) p j( x j) dan p j( x j+1)- p j( x) p j( x j) dan p j( x j+1)

- p j( x) p j( x j) dan p j( x j+1)

- p j( x)

p j( x j) dan p j( x j+1)



y Dengan penyederhanaan persamaan terkait, diperoleh:

- p j( x j) = f ( x j) = f j dan p j( x j+1) = f ( x j+1) = f j+1

- p j( x j) = k j dan p j( x j+1) = k j+1

- p j( x j) = - 6c j2 f ( x j) + 6c j2 f ( x j+1) - 4c jk j 2c jk j+1

= 6c j2[ f ( x j+1) - f ( x j)] - 2c j[2k j + k j+1]

p j( x j+1) = 6c j2f(x j) - 6c j

2f(x j+1) + 2c jk j + 4c jk j+1

= 6c j2[ f ( x j) - f ( x j+1)] + 2c j[k j + 2k j+1]

- p j( x j) = 12c j3[ f ( x j) - f ( x j+1)] + 6c j

2[k j + k j+1]

= p j( x j+1)



y Fungsi persamaan cubic splines dikatakan kontinu, jikaturunan kedua dari persamaan cubic polynomial j-1 samadengan turunan kedua dari persamaan cubic polynomial j di titik x j. P j-1( x j) = p j ( x j)

P j-1( x j) = 6c j-12[ f ( x j-1) - f ( x j)] + 2c j-1[k j-1 + 2k j]

p j( x j) = 6c j2[ f ( x j+1) - f ( x j)] - 2c j[2k j + k j+1]

P j-1( x j) = p j( x j)

6c j-12[ f ( x j-1)- f ( x j)] + 2c j-1[k j-1+2k j]= 6c j

2[ f ( x j+1)- f ( x j)] - 2c j[2k j+k j+1]

3c j-12[ f ( x j-1)- f ( x j)] + c j-1[k j-1+2k j]= 3c j

2[ f ( x j+1)- f ( x j)] - c j[2k j+k j+1]

c j-1k j-1 + 2(c j-1+c j)k j + c jk j+1 = 3{c j-12[ f ( x j)- f ( x j-1) ]+ c j

2[ f ( x j+1)- f ( x j)]}



f ( x j) - f ( x j-1) = � f j dan f ( x j+1) - f ( x j) = � f j+1

c j = 1/(x j+1 - x j ) = 1/h dan c j-1 = 1/(x j x j-1 ) = 1/h

y Persamaan menjadi:

(1/h)k j-1 + (4/h)k j + ( 1/h)k j+1 = ( 3/h2)(� f j + � f j+1)

k j-1 + 4k j + k j+1 = (3/h)(� f j +� f j+1)

k j-1 + 4k j + k j+1 = (3/h)( f j+1 f j-1)



y Diberikan dari persamaan cubic polynomial:

p j( x) = a j0 + a j1( x-x j) + a j2( x- x j)2 + a j3( x- x j)

3

untuk: x j x x

j+1dimana: j= 0,1,2,...,n-1

Jika diketahui

x: x0, x 1, x 2,...

, xnmaka akan ada :

p0( x), p 1( x), p 2( x),..., pn-1( x)



y Diberikan dari persamaan cubic polynomial:

p j( x) = a j0 + a j1( x-x j) + a j2( x- x j)2 + a j3( x- x j)

3

p j( x j) = a j0

a j0 = p j( x j) = f j p j ( x) = a j1 + 2a j2( x- x j) + 3a j3( x- x j)2

p j ( x j) = a j1 a j1 = p j ( x j) = k j

p j( x) = 2a j2 +6

a j3( x- x j) p j( x j) = 2a j2 a j2 =(3/h 2)( f j+1- f j)(1/h)(k j+1+2k j)

p j( x) = 6a j3 a j3 =(2/h 2)( f j- f j+1)+(1/h 2)(k j+1+k j)



y Tentukan k 0 dan k n:

k 0= f 0 dan k n = f n.

y Tentukan koefisien persamaan cubic spline(a j0, a j1, a j2, a j3), untuk j=0,1,...,n-1

y Bentuk persamaan cubic splines:

±±°

±±¯

®

ee

ee

ee

!

nnnx x x x p

x x x x p

x x x x p

x g

11

211

100

,

...

,

,



y Jika di tentukan N buah titik data, yaitu dari x0,..., xn;maka akan ada n buah persamaan cubic spline( p0( x), pn-1( x)), bagaimana cara penyelesaiannya..?

y Tujuan akhir dari metoda ini adalah mencaripersamaan cubic spline yang terdiri dari persamaancubic polynomial tiap partisinya:

±±°

±±¯

®

ee

ee

ee

!

nnnx x x x p

x x x x p

x x x x p

x g

11

211

100

,

...

,

,



y Dari soal nantinya diketahui:

x0, x 1,..., xn; x0, x 1,..., xn; f 0 dan f n.

y Perhitungan dimulai dengan menentkan konstanta

k: k 0, k 1,.., k n; untuk dua partisi (tiga titik data)dapat dilakukan dengan subsitusi langsung. Tetapiuntuk >3data sebaiknya menggunakan aturancramer (penyelesaian dengan operasi matrik).

y k 0= f 0 dan k n= f n.



y Dibutuhkan N persamaan untuk mendapatkan N variabel k :

j=0: k 0 = f 0 j=1: k 0+4k 1+k 2 =(3/h)( f 2 f 0)

... ... ... j=n-1: k n-2+4k n-1+k n =(3/h)( f n f n-2)

j=n: k n = f n.

y Susun dalam bentuk matrik:

¼¼¼¼¼¼

½

»

¬¬¬¬¬¬«

!

¼¼¼¼

½

»

¬¬¬¬«

¼¼¼¼

½

»

¬¬¬¬«

n

n

f

f f h

f f h

f

k

k

k

'

23

12

0'

1

0

3

3

...

1000

1410

0141

0001



y Selesaikan dengan aturan Cramer:

¼¼¼

¼

½

»

¬¬¬

¬«

¼¼¼¼¼¼

½

»

¬¬¬¬¬¬«

!

¼¼¼

¼

½

»

¬¬¬

¬«

¼¼¼¼¼¼

½

»

¬¬¬¬¬¬«

!

1000

1410

0141

0001

100

1310

03

41

001

;

1000

1410

0141

0001

100

1430

013

1

001

23

12

0

2

23

12

0

1

nn f

f f h

f f h

f

k f

f f h

f f h

f

k



y Menentukan koefisien a dari po(x), p 1(x),..pn-1(x):

po(x): a00 = f 0 a02 =(3/h 2)( f 1- f 0)(1/h)(k 1+2k 0)

a01 = k 0 a03 =(2/h 2)( f 0- f 1)+(1/h 2)(k 1+k 0)

p 1(x): a 10 = f 1 a 12 =(3/h 2)( f 2- f 1)(1/h)(k 2+2k 1)

a 11 = k 1 a 13 =(2/h 2)( f 1- f 2)+(1/h 2)(k 2+k 1)...

pn-1(x): a(n-1)0 = f n-1 a(n-1)2 =(3/h 2)( f n- f n-1)(1/h)(k n+2k n-1)

a(n-1)1 = k n-1 a(n-1)3 =(2/h 2)( f n- f n-1)+(1/h 2)(k n+k n-1)

po(x)= a00 + a01 ( x- x0) + a02 ( x- x0)2+ a03 ( x- x0)3

p 1(x)= a 10 + a 11 ( x- x 1) + a 12 ( x- x 1)2+ a 13 ( x- x 1)

3

...

pn-1(x)= a(n-1)0 + a(n-1)1 ( x- xn-1) + a(n-1)2 ( x- xn-1)2+ a(n-1)3 ( x- xn-1)

3



Interpolasi-lah f ( x)= x4 pada interval -1 x 1 dengan cubic spline g(x) terhadp partisi x0=-1, x 1=0,

x 2=1 dan memenuhi kondisi g(-1) = f (-1), g(1)= f (1).



y f 0 = -4 dan f 2 = 4

y Lebar interval: h= x 1 - x0 = 0 (-1) = 1

y Jumlah partisi: n=2

p0( x) = a00 + a01( x- x0)+a02( x- x0)2+a03( x- x0)3 -1 x 0 p 1( x) = a 10 + a 11( x- x 1) + a 12( x- x 1)

2 +a 13( x- x 1)3 0 x 1

y Konstanta k :

k 0 = f 0 = -4 dan k 2 = f 2 = 4

k 0+4k 1+k 2=(3/h)( f 2 f 0) =(3/1)(1-1)=0

-4 + 4k 1 + 4 = 0

k 1 = 0



y Koefisien p0:

a00 =f 0 = 1

a01 =k 0 = -4

a02 = (3/h 2 )(f 1-f 0 )-(1/h)( k 1+2k 0 )=3.(0-1)-1.(0-8)=5a03 = (2/h 3 )(f 0-f 1 )+(1/h 2 )( k 1+k 0 )=2.(1-0)+1.(0-4)=-2

y Koefisien p 1:

a 10 =f 1 = 0

a 11 =k 1 = 0

a 12 = (3/h 2 )(f 2-f 1 )-(1/h)( k 2+2k 1 )=3.(1-0)-1.(4-0)=-1

a 13 = (2/h 3 )(f 1-f 2 )+(1/h 2 )( k 2+k 1 )=2.(0-1)+1.(4+0)=2



-1 . 5 -1 -0 .5 0 0 .5 1 1 . 5 -0.2

0

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

1

1 .2

K

¡

¢ £

¤

¥

¦ §

¨ ©

£ ¥ p

¥

¦

£ ¥ S pl ̈

¥

§

I ¥

t

¡

p

l £

t ̈ ¥

C

b ̈c

ly

¥ m

¨ £ l

p

p

Metode Numerik - Interpolasi

Documents

Transcript of Metode Numerik - Interpolasi