INTERPOLASI LINIER

A. Tujuan Praktikum

1. Dapat memahami Interpolasi linier.

2. Dapat mengaplikasikan interpolasi tersebut dalm berbagai permasalahan yang

diberikan dengan menggunakan program komputer.

B.Dasar Teori

Interpolasi linier adalah interpolasi yang menggunakan sarana garis lurus melalui dua

buah titik (xo,fo) dan (x1,f1) ditunjukan oleh persamaan berderajat satu

P1 (x )=f 0+( x−x0 ) f [ x0 , x1 ] dengan f [ x0 , x1 ] adalah beda terbagi pertama yang didefenisikan

sebagai f [ x0 , x1 ]=f 1−f 0

x1−x0

Gambar. Interpolasi Linier

C. Algoritma

Masukan : xi,f(xi),x ; i = 1,2,…,n

keluaran : ilinier

Langkah-langkah

1. Untuk i = 1,2, masukan xi dan f(xi)

2. Beda terbagi : = f (x2)−f (x1)

x2−x1

3. Ilinier : = f(x1) + Beda terbagi x ( x – x1)

D. Flowchart

E. Hasil Praktikum

Tulis Hasil Taksiran

y(1)+(((y(2)-y(1))/(x(2)-x(1)))*(x(3)-x(1)))

Baca x,x0,x1

Mulai

Selesai

F. Kesimpulan

Interpolasi merupakan suatu pendekatan numerik yang perlu dilakukan,di dalam

interpolasi linier misalkan kita mempunyai m buah data x,dan tiap-tiap x memiliki

pasangan harga y,yang merupakan fungsi x,dengan perkataan lain y = f(x).Untuk suatu

harga x.Dengan x terletak diantara dua nilai x yang ada pada himpunan data,misalnya

xk < x < xk+1

Interpolasi linear untuk meramalkan nilai y = f(x) dapat dilakukan dengan

menganggap bahwa yk dan yk+1 dihubungkan oleh suatu garis lurus. Secara

geometric,peramalan garis L yang menghubungkan titik (xk,yk) dengan titik (xk+1,yk+1)

dapat dinyatakan oleh persamaan

y= yk+yk +1− yk

xk +1−xk

(x−xk )

Sehingga

y= yk+yk +1− yk

xk +1−xk

(x−xk )

Dengan demikian hasil yang diperoleh akan benar ( exact ),bilamana f(x) memang

merupakan fungsi linear. Jika f(x) bukan merupakan fungsi linear,maka

y= yk+yk +1− yk

xk +1−xk

(x−xk )

Akan merupakan pendekatan dari nilai sebenarnya,sehingga dengan demikian kan

terdapat kesalahan ( galat ) antara y yang dinyatakan oleh persamaan

y= yk+yk +1− yk

xk +1−xk

(x−xk )

Dengan nilai yyang sebenarnya.

BAB VI

INTERPOLASI BEDA TERBAGI NEWTON

A. Tujuan Praktikum

1. Dapat memahami Interpolasi beda terbagi newton.

2. Dapat mengaplikasikan interpolasi beda terbagi newton tersebut dalam berbagai

permasalahan yang diberikan dengan menggunakan program komputer.

B. Dasar Teori

Kita perhatikan interpolasi linier yang membuat hampiran suatu titik dari dua titik

yang diberikan.Dari grafik diatas terlihat sekali bahwa interpolasi linier mempunyai

kemungkinan galat yang sangat besar untuk kurva yang tidak linier.

Untuk itu akan dibahas Interpolasi newton yang bias membuat hampiran suatu titik

dari banyak titik yang diberikan

Secara umum,Interpolasi Newton dapat dituliskan sebagai :

F(x) = fo + (x - xo)f[xox1] + (x - xo) (x – x1) f[xo,x1,x2] + ∙∙∙+(x - xo) ∙∙∙(x-xn-1)f[xo, ∙∙∙,xn]

Rumus newton sahih untuk simpul-simpul berjarak sama sebarang seperti yang

mungkin terjadi dalam praktek, dalam percobaan atau pengamatan atau seperti

diinginkan seseorang.

C. Algoritma

Masukan : n,xi,f(xi),z,epsilon ; i = 1,2,…,n

Keluaran : perkiraan bagi (pbagi)

Langkah-langkah

bo : = f(xo) pbagi :=bo faktor :=i

Untuk i :=1,2,…,n lakukan

bi := f(xi)

untuk j :=i-1,…,0 lakukan

b j=b j+1−b

x i−x j

faktor := faktor ∙ (z – xi-1)

suku :=bo∙faktor

pbagi := pbagi + suku

Jika |suku|≤ epsilon ,selesai

D. Flowchart

F. Hasil Praktikum

Baca Data : n

Mulai

For i= 2: n

Baca a(i),y(i),y(j),a(j)

Baca y(i)

P = stirling

Tulis hasil P

Selesai

G.Kesimpulan

Interpolasi suatu fungsi atau beberapa data beberapa kali,dan tiap kali derajat polinom dan

jumlah data ditambah.Didalam masalah galat nilai dari metode ini masih konsisten dari taksiran

galat.

BAB VII

INTERPOLASI LAGRANGE

A. Tujuan Praktikum

1. Dapat memahami Interpolasi Langrange beserta keuntungan dan kerugiannya.

2. Dapat mengaplikasikan Interpolasi Langrange tersebut dalam berbagai

permasalahan yang diberikan dengan menggunakan program komputer.

B. Dasar Teori

Bila diberikan titik-titik (xo,fo), (x1,f1), . . .,(xn,fn) maka didefinisikan rumus

Interpolasi Langrange sebagai berikut :

f ( x )=Ln ( x )=∑k=0

n lk (x)lk (xk )

f k

Dimana lo(x) = ( x – x1 ) ( x – x2 ) . . . ( x – xn )

C. Algoritma

Masukan : n,xi,f(xi),x ; i:= 0,1,2,. . .,n

Keluaran : perkiraan langrange (plag)

Langkah-langkah

1. Plag := 0

2. Untuk i := 0,1,2 , …,n

3. Jika j ≠ I,faktor := factor. x−x j

xi−x j

4. Plag :=plag + faktor . f(xi)

D. Flowchart

Mulai

E. Listing Program

#include <stdio.h>

#include <math.h>

#define maks 1000

int n, i, j;

double x[maks], y[maks], temp, p=0, temp2=1.0, a;

double f (double x){

return(cos(x));

}

main(){

printf("========== Polinom Lagrange ===========\n");

printf("Masukkan nilai x yang dicari : "); scanf("%lf", &a);

printf("Masukkan derajat polinom : "); scanf("%d", &n);

for(i=0; i<=n; i++){

printf("x[%d] : ", i); scanf("%lf", &x[i]);

y[i]=f(x[i]);

}

for(i=0; i<=n; i++){

temp2=1.0;

Baca Data : n

For I : 1: n

Baca x(i),y(i)

Baca x

Tulis hasil P

Selesai

P = Langrange (x)

for(j=0; j<=n; j++){

if(j!=i){

temp2*=(a-x[j])/(x[i]-x[j]);

}

}

p+=temp2*y[i];

}

printf("Polinom lagrange : %lf\n", p);

printf("y(x) : %lf\n", f(a));

printf("Error : %lf\n", fabs(p-f(a)));

}

0utput Program Interpolasi Lagrange

F. Kesimpulan

Dalam interpolasi lagrange variable bebas dalam formulanya tidak perlu berjarak

sama dan tidak diperlukan perbedaan fungsi,sehingga hasil yang diperoleh tidak dapat

diperiksa ketelitiannya,karena formulanya diyatakan dua hubungan variable maka

berlaku juga,dalam formula lagrange,jika variable bebas mempunyai jarak interpolasi

terlalu besar,hasil menjadi kurang akurat.

Kesimpulan Akhir

Secara umum, penentuan polinomial dengan cara tsb kurang disukai, karena

mempunyai kemungkinan yang jelek terutama untuk derajat polinomial yang semakin

tinggi.

Polinom Lagrange kurang disukai dalam praktek karena :

Jumlah komputasi yang dibutuhkan untuk satu kali interpolasi adalah besar.

Interpolasi untuk nilai x yang lain memerlukan jumlah komputasi yang sama

karena tidak ada bagian komputasi sebelumnya yang dapat digunakan.

Bila jumlah titik data meningkat atau menurun, hasil komputasi sebelumnya

tidak dapat digunakan. Karena tidak ada hubungannya antara pn-1(x) dan pn(x)

pada polinom Lagrange

Jadi yang paling disukai disini ADALAH INTERPOLASI NEWTON