BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · BAB INTERPOLASI D AN APR OKSIMASI POLINOMIAL Denisi Ruang...

38

Transcript of BAB - mtaufiknt.files.wordpress.com · BAB INTERPOLASI D AN APR OKSIMASI POLINOMIAL Denisi Ruang...

BAB �

Konsep Dasar

BAB �

Solusi Persamaan Fungsi

Polinomial

BAB �

Interpolasi dan Aproksimasi

Polinomial

��� Norm

De�nisi ����� �Norm vektor� Norm vektor adalah pemetaan dari suatu fungsi

terhadap setiap x � IRN yang disimbolkan dengan jjxjj sedemikian hingga memenuhi

sifat�sifat dibawah ini

�� jjxjj � � untuk x �� �� atau jjxjj � �� untuk x � �

�� jj�xjj � �jjxjj

�� jjx� yjj � jjxjj � jjyjj

��

BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL ��

Contoh

jjxjj� �

nXi��

jxij

jjxjj� �

� nXi��

jxij�

� �

� �Norm Euclid�

jjxjjp �

� nXi��

jxijp

� �

p

jjxjj� � max��i�n

jxij

De�nisi ����� �Norm matrik� Norm matrik adalah pemetaan dari suatu fungsi

terhadap setiap x � IRN�N yang disimbolkan dengan jjAjj sedemikian hingga

memenuhi sifat�sifat dibawah ini

�� jjAjj � � untuk A �� �� atau jjAjj � �� untuk A � �

�� jj�Ajj � �jjAjj

�� jjA�Bjj � jjAjj � jjBjj

� jjABjj � jjAjjjjBjj

Contoh

jjAjjF �

� nXi��

nXj��

jaijj�

� �

�Norm Frobenius�

jjAjjv � maxx���

jjAxjvjjxjjv

De�nisi ����� �Ruang Linier �RL�� Himpunan F dikatakan suatu ruang lini�

er bila operasi penjumlahan dan perkalian terdenisi didalamnya sehingga f � g �

F dan �f � �g � F untuk �f� g � F �

BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL ��

De�nisi ����� �Ruang Linier Norm �RLN�� F dikatakan ruang linier norm

bila F adalah merupakan RL dan terdapat fungsi norm sehingga

�� jjf jj � � untuk f �� �� atau jjf jj � �� untuk f � �

�� jj�f jj � �jjf jj

�� jjf � gjj � jjf jj � jjgjj

untuk semua f� g � F

��� Konsep Masalah dalam Aproksimasi

Misal f � F dan f �� P maka masalah dalam aproksimasi sebenarnya adalah

menentukan p� � P sedemikian hingga

jjf � p�jj � jjf � pjj� �p � P

kemudian p� dikatakan suatu aproksimasi terbaik terhadap f Hal ini dapat

digambarkan dalam diagram Venn berikut ini

pp*

P

Ff

Gambar �� Diagram aproksimasi

Beberapa fungsi aproksimasi p�x� untuk menghampiri fungsi f�x� dalam F �

C�a� b adalah sebagai berikut

BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL ��

� P � fp � p�x� � a� � a�x� � � � � anxn��g

� P � fp � p�x� �Pn

r�� ar�r� ar � �� �r � C�a� b g

� P � fp � p�x� �Pn

�arx

r

Pn�brxr

g

� P � fp � p�x� �Pn

r�� �re�rxg�

Sedangkan dalam F � IRN adalah P � fp � p�x� �Pn

r�� ar�r� ar � IRN � �rIR

Ng

Teorema ����� �Teorema Weirstrass� Misal f terdenisi dan terdifrensialkan

pada interval �a� b maka terdapat polinomial p�x� yang juga terdenisi dan ter�

difrensialkan pada interval tersebut sedemikian hingga untuk nilai � � � berlaku

jjf�x�� p�x�jj ��

dan �x � �a� b

Contoh

F � C�a� b dan f � F � tunjukkan bahwa berikut dibawah ini merupakan RLN

jjf jjp �

�Z b

a

jf�x�jpdx

� �

p

� � � p �

jjf jj� � maxa�x�b

jf�x�j

BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL �

��� Solusi Iteratif Untuk Sistem Linier Ax � b

Suatu sistem linier dapat digambarkan sebagai

a��x� � a��x� � � � � � a�nxn � b��

a��x� � a��x� � � � � � a�nxn � b��

a��x� � a��x� � � � � � a�nxn � b�� ���

annx� � an�x� � � � � � annxn � bn�

Bila A merupakan matrik yang memuat koe�sien variabel x�� x�� � � � � xn maka

sistem linier itu dapat direduksi sistem Ax � b Ada banyak metoda yang dapat

digunakan dalam menyelesaikan sistem ini Diantaranya metoda langsung dan

metoda iteratif Namun demikian sesuai dengan perkembangan hardware dan

software komputer solusi dengan metoda iteratif ini menjadi sangat populer dan

terus dikembangkan

Metoda langsung memanfaakan konsep invers dalam matrik sehingga sistem

Ax � b dapat diselesaikan melalui

A��Ax � A��b

x � A��b

Teknik ini dipandang tidak e�sien dan efektif� bahkan dimungkinkan suatu sistem

tidak dapat diselesaikan karena proses kalkulasi panjang yang harus dikerjakan�

yaitu berkenaan dengan penghitungan invers matrik A

Metoda iteratif menguraikan matrik A ini kedalam unsur matrik yang lebih

sederhana dan mudah dihitung oleh komputer Misal ADLU� dimana D

BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL ��

adalah matrik diagonal� L adalah negatif matrik segitiga bawah satu tahap dibawah

diagonal utama dan U adalah negatif matrik segiatiga atas satu tahap diatas di�

agonal utama maka sistem diatas dapat dinyatakan sebagai berikut

�D� L�U�x � b ���

Dx� �L�U�x � b

Dx � �L�U�x� b

x � D���L�U�x�D��b

x � D���L�U�x�D��b�

Misal J � D���L�U� maka secara iteratif dapat diformulasikan sebagai

xj�� � Jxj �D��b� ��

Metoda ini disebut metoda Jacobi

Untuk meningkatkan kecepatan tingkat konvergensi dari metoda Jacobi� dite�

tapkanlah suatu koe�sien redaman � � sebagai faktor akselerasi terhadap

metoda ini sedemikian hingga dapat disajikan dengan bentuk dibawah ini

xj�� ����� �I� J

�xj � D��b� ���

Metoda ini disebut metoda Jacobi teredam �damped Jacobi�

Bentuk lain dari penyederhanaan ��� adalah sebagai berikut

�D� L�x�Ux � b

�D� L�x � Ux� b

x � �D� L���Ux� �D� L���b

Misal G � �D� L���U maka secara iteratif dapat diformulasikan sebagai

xj�� � Gxj � �D� L���b ���

BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL ��

Metoda ini disebut metoda GaussSeidel

Metoda�metoda iteratif ini dihitung berdasarkan suatu nilai awal yang dalam

hal ini x�� kemudian dengan rumusan itu dilanjutkan perhitungan untuk x�� x�� � � �

sehingga diperoleh deret fxigni�� Deret ini akan konvergen terhadap nilai eksak

x Dapat dilihat disini bahwa proses penghitungan secara berulang terjadi se�

hingga dinamakan model solusi iteratif Untuk menghentikan proses pengulangan

ini� hasilnya harus dikon�rmasikan dengan toleransi � yang dalam hal ini dapat

ditentukan dari nilai dibawah ini

� � jjb� Axjj�

� � jjb� Axjj�

� � jjb� Axjj�

��� Fungsi�Fungsi Aproksimasi

����� Interpolasi dan Polinomial Lagrange

Polinomial Taylor yang sementara ini sudah cukup baik melakukan interpo�

lasi terhadap suatu fungsi masih memiliki kelemahan diantaranya kekurangaku�

ratan melakukan suatu aproksimasi Hal ini disebabkan polinomial ini melakukan

aproksimasi hanya berdasarkan satu titik tertentu Dengan demikian interpolasi

yang paling akurat hanya terjadi disekitar titik itu Oleh karena itu diperlukan

eksplorasi terhadap polinomial lainnya� polinomial Lagrange misalnya

Polinomial ini mengembangkan interpolasi terhadap suatu fungsi dibeberapa

titik terhubung� sehingga interpolasinya berdasarkan titik�titik yang telah diten�

tukan terlebih dahulu pada fungsi itu Semakin dekat jarak penentuan titik yang

BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL ��

satu dengan titik yang lainnya semakin akurat aproksimasinya Dengan kata lain

tingkat akurasinya ditentukan oleh kedekatan antara titik�titik �grid� pada fungsi

tadi

Teorema ����� �Polinomial Langrange ken� Jika x�� x�� x�� � � � adalah bi�

langan berbeda dan f adalah suatu fungsi yang terdenisi pada titik�titik ini�

maka ada dengan tungggal suatu polinomial p�x� berderajad paling besar n yang

memenuhi sifat�sifat berikut

f�x� � p�x�

dimana

pk�x� � f�x��Ln���x� � � � �� f�xn�Ln�n�x� �

nXk��

f�xk�Ln�k�x�

dan

Ln�k�x� �

nYi��

i��k

�x� xi�

�xk � xi�

untuk k������� � � � � n

Dalam hal ini Ln�k�x� dapat ditulis dngan Lk�x� bila dianggap rancu dengan

pengertian derajad n Polinomial Lagrange ini memenuhi sifat sebagai berikut�

Ln�k�xi� �

�����

� jika i �� k

� jika i � k

Contoh � Gunakan titik�titik x� � �� x� � ��� dan x� � � untuk menentukan

interpolasi polinomial kedua terhadap f�x� � ��x�

BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL ��

Solusi �

L��x� ��x� �����x� ��

��� ������� ��� �x� ����x� ��

L��x� ��x� ���x� ��

����� ������� ���

���x� ���x� �

L��x� ��x� ���x� ����

��� ����� �����

�x� ����x� �

jika f�x�� � f��� � ���� f�x�� � f����� � ���� f�x�� � f��� � ����� maka didapat

p��x� �

�Xk��

f�xk�Lk�x�

� �����x� ����x� ��� � ������x� ���x� �

� ����

�x� ����x� �

� �����x� ������x� ����

Interpolasi oleh p��x� terhadap f�x� dapat digambarkan dibawah ini

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

f(x)

p2(x)

Gambar �� Interpolasi polinomial Lagrange p��x� terhadap f�x�

����� Difrensi Terpisah

Difrensi terpisah menyempurnakan interpolasi polinomial Lagrange dengan

mengekspresikan bentuk pn�x� dalam

pn�x� � a� � a��x� x�� � a��x� x���x� x�� � � � �

�an�x� x���x� x�� � � � �x� xn��� ���

BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL ��

dimana a�� a�� � � � � an adalah konstanta

Selanjutnya bila kita tentukan x � x� maka persamaan ��� menjadi

pn�x�� � a� � f�x�� f �x� � ���

dan x � x� maka

pn�x�� � a� � a��x� � x�� � f�x���

pn�x�� � f�x�� � a��x� � x�� � f�x���

sehingga

a� �f�x��� f�x��

x� � x� f �x�� x� � ���

dengan demikian dapat dikatakan

f �xi� xi�� �f �xi�� � f �xi

xi�� � xi���

dan

f �xi� xi��� xi�� �f �xi��� xi�� � f �xi� xi��

xi�� � xi����

sehingga difrensi terpisah ke k

f �xi� xi��� � � � � xi�k �f �xi��� xi��� � � � � xi�k � f �xi� xi��� � � � � xi��k���

xi�k � xi� ����

Dan terakhir persamaan ��� menjadi

pn�x� � f �x� � f �x�� x� �x� x�� � f �x�� x�� x� �x� x���x� x�� � � � �

�f �x�� x�� � � � � xn �x� x���x� x�� � � � �x� xn��� ����

BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL ��

Selanjuntya untuk

x � x� � sh

x � xi � �s� i�h atau h �x� xis� i

� i � �� �� �� � � � � n

maka

pn�x� � pn�x� � sh�

� f �x� � shf �x�� x� � s�s� ��h�f �x�� x�� x� � � � � � s�s� �� � � �

�s� �n� ���hnf �x�� x�� � � � � xn ���

nXk��

s�s� �� � � � �s� k � ��hkf �x�� x�� � � � � xk ����

Bukti

Pada suku kedua dari persamaan ��� h dapat diganti dengan h � x�x�s

� pada

suku ketiga h� dapat diganti dengan h � h �

�x�x�s

��x�x�s��

�begitu juga suku

keempat� kelima dan seterusnya

Sekarang kita nyatakan ���� dalam ekspresi

pn�x� � pn�x� � sh� �

nXk��

B s

k

�CA k�hkf �x�� x�� � � � � xk

dimana B s

k

�CA �

s�s� �� � � � �s� k � ��

k�

BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL �

Dan diperkenalkan difrensi langkah maju sebagai berikut

�f�xn� � f�xn���� f�xn�

f �x�� x� �f�x��� f�xn�

x� � x��

h� f�x��

f �x�� x�� x� �f �x�� x� � f �x�� x�

x� � x��

�h��

h� f�x���

h� f�x��

��

�h�� f�x��

sehingga

f �x�� � � � � xk ��

k�hk�k f�x�� ����

Substitusikan ini kedalam persamaan

pn�x� � pn�x� � sh� �

nXk��

B s

k

�CA k�hkf �x�� x�� � � � � xk

maka diperoleh bentuk

pn�x� � pn�x� � sh� �Pn

k��

B s

k

�CA�k f�x���

Formulasi ini disebut Difrensi Terpisah Langkah Maju Newton �NFDD� Untuk

mempermudah dapat disusun suatu tabel difrensi terpisah langkah maju seba�

gaimana tabel �

Selanjutnya bila urutan itu dibalik yaitu xn� xn��� xn��� � � � � x�� maka pn�x�

dapat dinyatakan dalam

pn�x� � a� � a��x� xn� � a��x� xn��x� xn��� � � � �

�an�x� xn��x� xn��� � � � �x� x�� ����

dimana a�� a�� � � � � an adalah konstanta

BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL �

x f�x� D T I D T II D T IIIx� f �x�

f �x�� x�

x� f �x� f �x�� x�� x� �f x��x��f x��x�

x��x�

f �x�� x� f �x�� x�� x�� x� �f x��x��x��f x��x��x�

x��x�

x� f �x� f �x�� x�� x� �f x��x��f x��x�

x��x�

f �x�� x� f �x�� x�� x�� x� �f x��x��x��f x��x��x�

x��x�

x� f �x� f �x�� x�� x� �f x��x��f x��x�

x��x�

f �x�� x� f �x�� x�� x�� x� �f x��x��x��f x��x��x�

x��x�

x� f �x� f �x�� x�� x� �f x��x��f x��x�

x��x�

f �x�� x� x� f �x�

Tabel �� Difrensi terpisah langkah maju

Misal kita tentukan x � xn maka persamaan ���� menjadi

pn�xn� � a� � f�xn� f �xn � ����

dan untuk x � xn�� maka

pn�xn��� � a� � a��xn�� � xn� � f�xn����

pn�xn��� � f�xn� � a��xn�� � xn� � f�xn����

sehingga

a� �f�xn���� f�xn�

xn�� � xn�

f�xn�� f�xn���

xn � xn�� f �xn� xn�� � ����

Dengan demikian persamaan ���� menjadi

pn�x� � f �xn � f �xn� xn�� �x� xn� � f �xn� xn��� xn�� �x� xn��x� xn��� � � � �

�f �xn� xn��� � � � � x� �x� xn��x� xn��� � � � �x� x�� ����

BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL �

Selanjutnya untuk

x � xn � sh

x � xn�i � �s� i�h atau h �x� xn�is� i

� i � �� �� �� � � � � n� �

maka

pn�x� � pn�xn � sh�

� f �xn � shf �xn� xn�� � s�s� ��h�f �xn� xn��� xn�� � � � � � s�s� �� � � �

�s� �n� ���hnf �xn� xn��� � � � � x� ����

nXk��

s�s� �� � � � �s� k � ��hkf �xn� xn��� � � � � x�

Bukti

Pada suku kedua dari persamaan ���� h dapat diganti dengan h � xn�xn��s

pada suku ketiga h� dapat diganti dengan h � h �

�xn�xn��

s

��x�xn��s��

�begitu

juga suku keempat� kelima dan seterusnya

Sehingga kita memiliki ekspresi

pn�x� � pn�x� � sh� �

nXk��

����k

B �s

k

�CA k�hkf �xn� xn��� � � � � x�

dimana B s

k

�CA � ����k

s�s� �� � � � �s� k � ��

k�

Diperkenalkan juga bentuk difrensi langkah mundur

�f�xn� � f�xn�� f�xn���� n �

�kf�xn� � ���k��f�xn��� k �

BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL

maka

f �xn� xn�� �f�xn�� f�xn���

xn � xn���

h� f�xn�

f �xn� xn��� xn�� �f �xn� xn�� � f �xn��� xn��

xn � xn���

�h��� f�xn�

dan akhirnya

f �xn� xn��� � � � � x� ��

k�hk�k f�xn� ����

Substitusikan ini kedalam persamaan

pn�x� � pn�x� � sh� �

nXk��

����k

B �s

k

�CA k�hkf �xn� xn��� � � � � x�

maka diperoleh bentuk

pn�x� � pn�x� � sh� �Pn

k������k

B �s

k

�CA�k f�xn��

Formulasi ini disebut Difrensi Terpisah Langkah Mundur Newton �NBDD�

Dalam hal ini dapat pula disusun suatu tabel difrensi terpisah langkah mudur

sebagai berikut�

BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL �

x f�x� D T I D T II D T IIIx� f �x�

f �x�� x�

x� f �x� f �x�� x�� x� �f x��x��f x��x�

x��x�

f �x�� x� f �x�� x�� x�� x� �f x��x��x��f x��x��x�

x��x�

x� f �x� f �x�� x�� x� �f x��x��f x��x�

x��x�

f �x�� x� f �x�� x�� x�� x� �f x��x��x��f x��x��x�

x��x�

x� f �x� f �x�� x�� x� �f x��x��f x��x�

x��x�

f �x�� x� f �x�� x�� x�� x� �f x��x��x��f x��x��x�

x��x�

x� f �x� f �x�� x�� x� �f x��x��f x��x�

x��x�

f �x�� x� x� f �x�

Tabel �� Difrensi terpisah langkah mundur

Contoh � Suatu data diberikan dalam tabel berikut ini Tentukan interpolasi difrensi

x f�x��� ��������� ���������� ���������� ���������� ������

terpisal langkah maju p� terhadap data tersebut dan tentukan nilai aproksimasi

dari f������

BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL �

Solusi � Dengan menggunakan difrensi terpisah langkah maju didapatkan tabel

berikut ini

i xi f �xi FDD I FDD II FDD III FDD IV� �� ��������

��������� � �������� �������

��������� ��������� �� �������� ������� ��������

��������� �������� �� �������� �������

���������� �� ������

Sehingga formulasi dari NFDD adalah sebagai berikut

p��x� � ���������� ���������x� ����� ��������x� �����x� ��� � ���������

��x� �����x� ����x� ���� � ����������x� �����x� ����x� �����x� ����

Selanjutnya dapat ditentukan

f����� p������ � ���������

Gambar dibawah ini menunjukkan bagaimana p��x� menginterpolasi data f�x�

0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

p4(x)

Gambar � Approksimasi NFDD p��x�

BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL �

����� Interpolasi Splin Kubik

De�nisi ����� Fungsi f terdenisi pada interval �a� b dan diberikan himpunan

titik x�� x�� � � � � xn dimana a � x� x� � � � xn � b� maka interpolasi splin

kubik S untuk f adalah suatu fungsi yang memenuhi beberapa sarat berikut ini

�� S�x� adalah fungsi polinomial kubik� dinotasikan dengan Sj�x�� yang ter�

denisi pada subinterval �xj� xj�� untuk masing�masing j � �� �� � � � � n� �

�� S�xj� � f�xj� untuk setiap j � �� �� � � � � n

�� Sj���xj��� � Sj�xj��� untuk setiap j � �� �� � � � � n� �

� S �j���xj��� � S �j�xj��� untuk setiap j � �� �� � � � � n� �

�� S ��j���xj��� � S ��j �xj��� untuk setiap j � �� �� � � � � n� �

�� dan satu diantara sarat batas berikut terpenuhi

�a� S ���x�� � S ���xn� � � �sarat batas bebas atau alami�

�b� S ��x�� � f ��x�� dan S ��xn� � f ��xn� �sarat batas terikat�

Selanjutnya jika sarat batas bebas yang terjadi maka splin ini dinamakan Splin

Alami� dan sebaliknya bila sarat batas terikat yang terjadi maka disebut Splin

Terikat

Splin Kubik Alami

Untuk membangun splin kubik ini pertama kali kita tulis interpolasi plonomial

kubik

Sj�x� � aj � bj�x� xj� � cj�x� xj�� � dj�x� xj�

�� j � �� �� � � � � n� �����

BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL �

Untuk x � xj� maka

Sj�xj� � aj � f�xj� ���

dan untuk x � xj�� maka

aj�� � Sj���xj��� � Sj�xj��� � aj � bj�xj�� � xj� � cj�xj�� � xj�� � dj�xj�� � xj�

j � �� �� � � � � n� � Bila hj � xj�� � xj

aj�� � aj � bjhj � cjh�j � djh

�j � j � �� �� � � � � n� � ����

Sekarang dide�nisikan bn � S �n�x� dan turunan pertama ���� adalah

S �j�x� � bj � �cj�x� xj� � dj�x� xj��

sehingga

bj�� � S �j���xj��� � S �j�xj���� �lihat poin� � pada de�nisi�

� bj � �cjhj � djh�j � j � �� �� � � � � n� �� ����

Sekarang permisalkan c � S��n�x��

� dan turunan kedua dari ���� adalah

S ��j �x� � �cj � �dj�x� xj�

sehingga

cj�� � cj � djhj

dj ��cj�� � cj�

hj����

Substitusikan persamaan ini ke ����dan ���� didapat

aj�� � aj � bjhj � cjh�j �

�cj�� � cj�h�j

hj�

� aj � bjhj �h�j��cj � cj��� ����

BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL �

dan

bj�� � bj � �cjhj � �cj�� � cj�h

�j

hj�

� bj � hj�cj � cj��� ����

Ekspresikan persamaan ���� dalam bj dan kemudian reduksi indeknya satu kali

bj ��

hj�aj�� � aj��

hj��cj � cj���� ����

bj�� ��

hj���aj � aj����

hj��

��cj�� � cj�� ���

Reduksi juga indek dari persamaan ���� satu kali

bj � bj�� � hj���cj�� � cj� ���

Substitusikan ���� dan ��� ke ���

hj�aj�� � aj��

hj��cj � cj��� �

hj���aj � aj����

hj��

��cj�� � cj�

�hj��

��cj�� � cj��

Kelompokkan seluruh variabel c keruas kiri

hj��

��cj�� � cj�� hj���cj�� � cj��hj��cj � cj��� � �

hj�aj�� � aj�

��

hj���aj � aj���

�hj����cj�� � cj� � hj���cj�� � cj� � hj��cj � cj��� �

hj�aj�� � aj�

hj���aj � aj���

Dengan demikian diperoleh bentuk indek berurut dari koe�sien c

hj��cj�� � ��hj�� � hj�cj � hjcj�� �

hj�aj�� � aj��

hj���aj � aj���� ���

dimana j � �� �� � � � � n� �

BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL �

Splin kubik alami memenuhi kondisi S ���x�� � S ���xn� � �� dengan demikian

masing�masing j dapat diformulasikan sebagai berikut

j � �� c� � ��

j � �� h�c� � ��h� � h��c� � h�c� �

h��a� � a���

h��a� � a���

j � �� h�c� � ��h� � h��c� � h�c� �

h��a� � a���

h��a� � a��� �

j � n� �� hn��cn�� � ��hn�� � hn���cn�� � hn��cn �

hn���an � an���

hn���an�� � an����

j � n� cn � ��

Persamaan ini terdiri dari n persamaan dan n variable cj yang akan dicari� dengan

kata lain menyelesaikan persamaan ini adalah sama dengan menyelesaikan suatu

sistem linier Ax � b� dimana

A �

� �

� � � �

h� ��h� � h�� h�

� h� ��h� � h�� h�

hn�� ��hn�� � hn��� hn��

� � � �

������������������

BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL ��

dan

b �

� �

�h��a� � a���

�h��a� � a��

�h��a� � a���

�h��a� � a��

�hn��

�an � an�����

hn���an�� � an���

������������������

� x �

� �

c�

c�

c�

cn��

cn

������������������

Matrik A adalah matrik yang elemennya mendominasi diagonal sejajar dengan

diagonak utama �strictly diagonally dominant�� diluar itu nilainya nol Hal ini

membantu dalam melakukan kalkulasi untuk x Dengan menggunakan metoda

iteratif� sistem linier itu dapat diselesaikan dengan mudah

Algoritma splin kubik alami

INPUT n�x�� x�� � � � � xn� a� � f�x��� � � � � an � f�xn�

OUTPUT aj� bj � cj� dj � untuk j � �� �� � � � � n� ��Catatan � Sj�xj� �

aj � bj�x� xj� � cj�x� xj�� � dj�x� xj�

� untuk xj � x � xj����

Step � for i � �� �� � � � � n� � dan Set hi � xi�� � xi�

Step � for i � �� � � � � n� � dan Set

�i �

hi�ai�� � ai��

hi���ai � ai���

Step Set l� � ��Langkah ���� dan sebagian dari � adalah algoritma

untuk menyelesaikan sistem linier tridiagonal Ax � b�

�� � ��

z� � ��

Step � for i � �� �� � � � � n� �

BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL ��

set li � ��xi�� � xi���� hi���i���

�i � hi�li�

zi � ��i � hi��zi����li�

Step � Set ln � ��

zn � ��

cn � ��

Step � for j � n� �� n� �� � � � � �

set cj � zj � �jcj���

bj � �aj�� � aj��hj � hj�cj�� � �cj���

dj � �cj�� � cj���hj��

Step � OUTPUT�aj� bj� cj� dj � untuk j � �� �� � � � � n� ���

STOP

Contoh � Tentukan interpolasi splin kubik pada data berikut ini

xj aj � f�xj�� �� �� �

Solusi � Polinomial kubik dalam hal ini adalah

Sj�xj� � aj � bj�x� xj� � cj�x� xj�� � dj�x� xj�

��

dimana j � �� � � � � n � �� Karena n � maka j � �� �� dengan asumsi j � � �

BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL ��

c� � � dan j � � c� � � sehingga

A �

� �

� � � �

h� ��h� � h�� h� �

� h� ��h� � h�� h�

� � � �

����������

dan

b �

� �

�h��a� � a���

�h��a� � a��

�h��a� � a���

�h��a� � a��

����������� x �

� �

c�

c�

c�

c�

����������

Dengan memasukkan nilai hj dan aj dapatlah diperoleh matrik dan vektor sebagai

berikut

A �

� �

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

����������

dan

b �

� �

��

����������

BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL �

Dengan menyelesaikan sistem itu diperoleh vektor x sebagai berikut

x �

� �

c�

c�

c�

c�

�����������

� �

����

�����

����������

Sedang bj dan dj dapat dihitung dengan menggunakan rumus ������ dan �������

Hasil selengkapnya dapat dilihat dalam tabel berikut

xj aj bj cj dj� � �� � ������� � �� ��� ��� �� ���� ������ � � � �

Grak dibawah ini menunjukkan interpolasi splin kubik terhadap suatu data ����

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−1

0

1

2

3

4

5

S3(x)

Gambar �� Approksimasi spline kubik S��x�

BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL ��

��� Solusi Iteratif Integral Terbatas

Teknik numeris untuk menghitung integral tertentu yang dikenal sebagai Inte�

grasi Numeris dibutuhkan untuk menyelesaikan atau menghitung nilai integral di�

mana fungsi yang diintegralkan tidak mempunyai antiturunan yang eksplisit atau

fungsi yang antiturunannya tidak mudah ditentukan Suatu metoda yang cukup

dasar sekali adalah metoda numeris kuadratur Metoda ini menggunakan rumus

jumlahPn

i�� aif�xi� untuk menghitung nilai approksimasi terhadapR b

af�x�dx

Interpolasi fungsi approksimasi metoda ini didasarkan atas pemilihan dan

pengembangan interpolasi polinomial Lagrange karena polinomial ini dianggap

merupakan fungsi approksimasi yang terbaik p� Prosedur penurunannya diawali

dengan menentukan himpunan titik�titik berbeda x�� � � � � xn dari interval �a� b �

selanjutnya mengintegralkan polinomial Lagrange dan suku kesalahan pemeng�

galannya dalam interval �a� b

Pn�x� �

nXi��

f�xi�Li�x�

Z b

a

f�x�dx �

Z b

a

nXi��

f�xi�Li�x�dx�

Z b

a

nYi��

�x� xi�fn�����x��

�n� ���dx

nXi��

aif�xi� ��

�n� ���

Z b

a

nYi��

�x� xi�fn�����x��dx�

dimana ��x� � �a� b untuk setiap x dan

ai �

Z b

a

Li�x�dx untuk setiap i � �� �� �� � � � � n�

Dengan demikian secara umum formula kuadratur numeris itu adalah

Z b

a

f�x�dx

nXi��

aif�xi��

BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL ��

dengan kesalahan

E�f� ��

�n� ���

Z b

a

nYi��

�x� xi�f�n������x��dx�

Metoda ini dipandang terlampau sederhana dan tidak cukup akurat untuk

mengatasi permasalahan yang lebih komplek Bila kita cermati formulasi kesala�

hannya maka rumusan ini digeneralisasi dari pengembangan aproksimasi deret

Taylor yang belum diekpansi� sedangkan disadari bahwa akurasi deret Taylor

yang belum terekspansi level akurasinya rendah dan penetapan fungsi aproksi�

masinya hanya berdasarkan pada pengambilan satu titik sampel Metoda lain

yang dipandang lebih akurat adalah aturan Trapesium dan Simpson Aturan ini

dikembangkan dari perluasan interpolasi polinomial Lagrange kesatu dan kedua

pada himpunan titik�titik sampel Misal kita notasikan x� � a� x� � b� h � b� a

dan polinomial Lagrange linier

P��x� ��x� x��

�x� � x��f�x�� �

�x� x��

�x� � x��f�x���

maka Z b

a

f�x�dx �

Z x�

x�

��x� x��

�x� � x��f�x�� �

�x� x��

�x� � x��f�x��

�dx

��

Z x�

x�

f �����x���x� x���x� x��dx� ��

Jika �x� x���x� x�� tidak berubah tanda dalam interval �x�� x� maka teorema

nilai �weighted mean� untuk integral dapat diterapkan dalam suku kesalahannya

sehingga diperolehZ x�

x�

f �����x���x� x���x� x��dx � f �����

Z x�

x�

�x� x���x� x��dx

� f �����

�x�

�x� � x��

�x� � x�x�x

�x�x�

� �h�

�f ������

BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL ��

Sebagai konsukwensinya �� akan menjadi

Z b

a

f�x�dx �

��x� x��

��x� � x��f�x�� �

�x� x���

��x� � x��f�x��

�x�x�

�h�

��f �����

�x� � x�

��f�x�� � f�x�� �

h�

��f ������

Dengan demikian untuk h � x� � x� kita mendapatkan rumus berikut ini

Aturan Trapesium

R b

af�x�dx � h

��f�x�� � f�x�� �

h�

��f ����� ���

Rumus ini disebut aturan Trapesium karena jika f adalah susatu fungsi posi�

tif� makaR b

af�x�dx dapat diapproksimasikan dengan luas dari trapesium seba�

gaimana digambarkan dalam Gambar �

f

P_1

a=x_0 b=x_1

y

x

Gambar �� Aturan Trapesium

Bila kita perhatikan rumus diatas� dapatlah disimpulkan bahwa aturan Trape�

sium itu akan memberikan solusi eksak terhadap sebarang fungsi yang turunan

keduanya adalah sama dengan nol �sebarang polinomial berorder satu atau ku�

rang�� karena suku kesalahan trapesium ini meliputi f �� Dengan kata lain aturan

Trapesium dikatakan berorder satu� dan suku kesalahan pemenggalannya adalah

suatu fungsi O�h�� Dari sisi ini kita dapat mengatakan bahwa aturan Trapesium

BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL ��

juga tidak cukup akurat untuk menyelesaikan persoalan�persoalan yang sangat

komplek memandang rendahnya order dari aturan ini sehingga tetap dibutuhkan

aturan lainnya Salah satu metoda yang cukup terkenal adalah aturan Simpson

Aturan Simpson didapat dari mengintegralkan polinomial Lagrange kedua

dalam batas �a� b dengan beberapa titik x� � a� x� � b dan x� � a � h� untuk

h � �b�a��

� lihat Gambar � Polinomial Lagrange kedua disajikan dalam

P��x� ��x� x���x� x��

�x� � x���x� � x��f�x�� �

�x� x���x� x��

�x� � x���x� � x��f�x��

��x� x���x� x��

�x� � x���x� � x��f�x��

Sehingga

Z b

a

f�x�dx �

��x� x���x� x��

�x� � x���x� � x��f�x�� �

�x� x���x� x��

�x� � x���x� � x��f�x��

��x� x���x� x��

�x� � x���x� � x��f�x��

�dx

Z x�

x�

�x� x���x� x���x� x��

�f ������x��dx�

f

P_1

a=x_0 b=x_2

y

xx_1

Gambar �� Aturan Simpson

Sebagaimana aturan Trapesium� penentuan orde aturan Simpson juga dapat

dilihat dari suku kesalahannya Suku kesalahan rumus ini hanya sampai pada

suku kesalahan O�h�� yaitu hanya meliputi f ��� sehingga aturan Simpson yang

BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL ��

diturunkan dari interpolasi Lagrange hanya berorder dua Versi yang lebih baik

dari aturan Simpson order dua ini adalah aturan yang diturunkan dari ekspansi

polinomial Taylor ketiga f terhadap x� Misalkan masing�masing x � �a� b ada

bilangan ��x� � �x�� x�� maka ekspansi Taylor

f�x� � f�x�� � f ��x���x� x�� �f ���x��

��x� x��

� �f ����x��

��x� x��

�f ������x��

���x� x��

dan

Z x�

x�

f�x�dx �

�f�x���x� x�� �

f ��x��

��x� x��

�f ���x��

��x� x��

� �f ����x��

���x� x��

�x�x�

��

��

Z x�

x�

f ������x���x� x���dx ���

Karena �x� x��� tidak pernah bernilai negatif pada interval �x�� x� � maka teori

nilai �Weighted Mean� untuk integral akan menjadi

��

Z x�

x�

f ������x���x� x���dx �

f �������

��

Z x�

x�

�x� x���dx

�f �������

����x� x��

����x�

x�

untuk sebarang �� � �x�� x��

Sementara kita tahu bahwa h � x� � x� � x� � x�� sehingga

�x� � x��� � �x� � x��

� � �x� � x��� � �x� � x��

� � �

�x� � x��� � �x� � x��

� � �h� dan �x� � x��� � �x� � x��

� � �h�

Sebagai konsukwensinya persamaan ��� dapat ditulis sebagai

Z x�

x�

f�x�dx � �hf�x�� �h�

f ���x�� �

h�

��f ������� ���

BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL ��

Disisi lain kita memiliki ekspresi

f�x� � h� � f�x�� � f ��x��h��

�f ���x��h

� ��

�f ����x��h

� ��

��f �������h

f�x� � h� � f�x�� � f ��x��h��

�f ���x��h

� ��

�f ����x��h

� ��

��f ��������h

dimana x��h ��� x� �� x��h Dan bila kita jumlahkan kedua ekspansi

Taylor ini

f�x� � h� � f�x� � h� � �f�x�� � f ���x��h� �

���f �������� � f ��������� h

Sederhanakan untuk f ���x�� didapat

f ���x�� ��

h��f�x� � h�� �f�x�� � f�x� � h� �

h�

���f �������

�f ��������� � ���

Teorema nilai tengah mengatakan bahwa untuk f ��� � C�x�� h� x�� h maka

f ������ ��

��f �������� � f ��������� �

Dengan demikian kita dapat menulis ��� sebagai

f ���x�� ��

h��f�x� � h�� �f�x�� � f�x� � h� �

h�

��f ������� ���

untuk sebarang � � �x� � h� x� � h� Pada akhirnya ��� dapat ditulis dengan

mengganti f ���x�� dengan persamaan ��� adalah

Z x�

x�

f�x�dx � �hf�x�� �h�

��

h��f�x��� �f�x�� � f�x��

�h�

���f �������

��

h�

��f �������

�h�

�f�x�� � �f�x�� � f�x�� �

h�

��

��

f ��������

�f �������

BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL ��

Dan ingat sekali lagi bahwa kita dapat mengganti ekspresi �� dan �� dengan

� � �x�� x�� sehingga aturan Simpson secara umum adalah

Aturan Simpson

R x�

x�f�x�dx � h

��f�x�� � �f�x�� � f�x�� �

h�

�f ������ ���

Secara de�nitif perbincangan order itu dapat ditafsirkan sebagai barometer

keakuratan suatu teknik approksimasi Semakin tinggi order itu berarti semakin

luas ekspansi suku kesalahannya� akibatnya kesalahan pemenggalan semakin ke�

cil Sebagaimana dijelaskan dalam Burden dan Faires de�nisi derajad keakuratan

dapat dijelaskan sebagai berikut�

De�nisi ����� �Derajad keakuratan atau presesi� Derajad keakuratan atau

presesi dari formulasi kuadratur adalah bilangan bulat positif terbesar n sedemikian

hingga formula itu eksak untuk xk� dimana k � �� �� � � � � n ����� � ����

Dengan de�nisi ���� ini ditambah kenyataan besarnya order pada masing�

masing aturan� maka aturan Trapesium dan Simpson masing�masing mempunyai

derajad presesi satu dan tiga Maka dapatlah disimpulkan bahwa aturan Simp�

son akan lebih cepat konvergen dibandingkan aturan Trapesium Artinya aturan

Simpson dimungkinkan lebih akurat pendekatannya dalam menghitung nilai in�

tegral untuk jumlah iterasi yang sama dari kedua aturan tersebut

BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL ��

Latihan Tutorial �

� Buktikan bahwa jjf jj � maxa�x�bjf�x�j merupakan norm pada C�a� b

� JikaA � IRN�N �A � AT danA de�nit positif matrik� yakni xTAx � � un�

tuk seberang vektor x� maka buktikan bahwa jjxjjA � �xTAx��

� merupakan

norm pada IRN

Mana diantara berikut ini merupakan norm

�a� dalam IR�� jjxjj � maxfjx�j� �jx�j� �jx�j� jx�jg

�b� dalam IRN � jjajj � max��x�� jPn

k�� akxk��j

� Nyatakan teorema aproksimasi Weirstrass untuk f � C�a� b Selanjutnya

tunjukkan bahwa untuk jjgjjp �

�R b

aw�x�jg�x�jpdx

� �

p

dimana � � p � �

dan diberikan � � �� maka �N � N��� dan polinomial pN�x� sedemikian

hingga

jjf � pN jj � K�

p ��

untuk sebarang konstanta K � �

� Gunakan interpolasi polinomial Lagrange derajad satu� dua dan tiga untuk

menentukan nilai aproksimasi dari masing�masing dibawah ini

�a� tentukan nilai dari f����� bila diketahui f����� � ��������� f���� �

��������� f����� � �������� dan f����� � ��������

�b� tentukan nilai dari f������ bila diketahui f����� � ������������ f����� �

����������� f���� � ���������� dan f����� � ����������

BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL ��

�c� tentukan nilai daricos ����� bila diketahui cos ����� � ������� cos ��� �

������ cos ����� � ����� dan cos ���� � ������

� Tentukan fungsi aproksimasi Lagrange untuk menginterpolasi fungsi berikut

�a� f�x� � e�x cos x� x� � �� x� � ��� x� � ���

�b� f�x� � sin ln x� x� � ���� x� � ���� x� � ���

�c� f�x� � cosx� sin x� x� � �� x� � ����� x� � ���� x� � ���

�d� f�x� � e�x cos x� x� � �� x� � ��� x� � ���

� Suatu data disajikan dalam tabel dibawah ini maka tentukan

x �� �� �� �� ��f�x� ������ ������ ������ ������ ������

�a� nilai dari f������ dengan menggunakan NFDD

�b� nilai dari f������ dengan menggunakan NBDD

� Polinomial berderajad empat p�x� memenuhi sifat ��p��� � �����p��� �

�� dan ��p��� � � dimana �p�x� � p�x� ��� p�x� Hitung ��p����

� Perbincangan aproksimasi lebih luas banyak dikaitkan dengan interpolasi

terhadap suatu fungsi f dengan fungsi aproksimasi p Selanjutnya akurasi

interpolasi itu diukur dari kedekatan antara f dan p� secara matematis

ditulis dengan jjf � pjj �dibaca � norm�f�p�� Sebutkan de�nisi norm ini�

baik vektor ataupun matrik Kemudian dengan pemahaman akan norm ini

sebutkan apa sebenarnya inti permasalahan �konsep masalah� dalam

aproksimasi itu Jika kita memilih fungsi aproksimasi p tentunya kita pilih

BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL �

fungsi yang terbaik Dalam hal ini ada beberapa fungsi aproksimasi yang

dapat digunakan untuk menginterpolasi fungsi f itu� sebutkan nama

nama fungsi aproksimasi tersebut Salah satu fungsi aproksimasi yang

�eksibel adalah splin kubik Dengan data dibawah ini tentukan fungsi

aproksimasi splin kubik untuk menginterpolasi data f�xj� dimana xj �

�� �� �

xj aj � f�xj�� �� �� �

�� Gunakan splin kubik untuk menginterpolasi fungsi�fungsi berikut ini

�a� f�x� � x ln x� dan tentukan f����� dan f ������

�b� f�x� � sin�ex � ��� dan tentukan f����� dan f ������

�c� f�x� � x cosx� �x� � x� �� dan tentukan f������ dan f �������

�� Splin kubik alami S pada interval ��� � dide�nisikan sebagai

S�x� �

�����

S��x� � � � �x� x� jika � � x ��

S��x� � a� b�x� �� � c�x� ��� � d�x� ��� jika � � x ��

tentukan nilai dari a� b� c� dan d

�� Berikut ini disajikan konstruksi automobile� gunakan splin kubik untuk

menginterplosi permukaan atas automobile tersebut

� Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan dan jarak tertentu pada saat ter�

tentu t� sebagaimana digambarkan dalam tabel berikut Selanjutnya

BAB �� INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL ��

x_0 x_1x_2

x_3 x_4

x_5

...

x_n

Gambar �� Konstruksi automobile

Waktu �jam� � � � �Jarak �km� � ��� � �� ��Kecepatan �� �� �� �� ��

�a� gunakan splin kubik untuk mempridiksikan jarak yang ditempuh mobil

dan kecepatan pada saat mobile melaju selama �� jam

�b� Tentukan kecepatan maksimum dari laju mobil tersebut