3 0 M A R E T 2 0 1 2

PROGRAM LINIER

ASSALAMU’ALAIKUM WR WB

Buku Sumber

Bazara Mokhtar S. 1977. Linier Programing AndNetwork. John Willey.

Gass, SI. 1975. Linier Programing Methods andAplications. Tokyo: Mc. Graw-Hill InternationalBook Company.

Deskripsi

Pemahaman pengambilan keputusan secarakuantitabilitas bagi masalah-masalah yangmemenuhi persyaratan model optimalisasi linier.

1. Metode Grafik

2. MetodeSimplex

Metode GrafikMateri

Prasyarat

Persamaan garis

x

y

x = 3

3

y

x

5 Y=5

y

x

3

5

3x + 5y = 15

y

x

b

a

bx + ay = ab

5

3

4

6

y

x

Perpotongan dua buah garis

5x + 3y = 15

4x + 6y = 242x + 3y = 12

…i…ii

Persamaan I & ii di eliminasi:5x + 3y =152x + 3y = 123x = 3

x = 1

2.1 + 3y = 123y = 10

Y = 10/3

Perpotongan dua buah garis

5

3

4

6

3.6 . 118

y

x

X =

X = = 1

y = 4.5 (6 –3)5.6 - 4.3

3.6 (5-4)

5.6-4.3

Y =4.5.3

18= 10/3

Pertidaksamaan

y

x

X=0

Y=0

X ≥ 0

y

x

X ≤ 0

y

xY = 0

Y ≤ 0

y

x

5

2

5x + 2y = 10

5x + 2y ≥ 10

Tentukan HP dari 5x + 2y ≥ 10Jawab:

Langkah :1. Gambar garis 5x + 2y = 10

i. TP sb x maka y = 0(2,0)

ii. TP sb y maka x = 0(0,5)

2. Tentukan daerah Penyelesaian:Uji titikAmbil titik (3,0)5.3 +2.0 ≥ 1015 ≥ 10 (B)

y

x

Tentukanmodel matematikadari gambarberikut!

-3

9

HP

Langkah :1. Tentukan persamaan

garis9x - 3y = 9.(-3)3x – y = -9

2. Tentukanpertidaksamaan dg ujititik.ambil titik (0,7)3.0 – 7…. -9

-7 ≥ -9Maka pertidaksamaan:

3x – y ≥ -9

Cara menentukan HP

ax + by ≥ c

b > 0

b < 0

ax + by ≤ c

b > 0

b < 0

HP diatas garis

HP dibawah garis

HP dibawahgarisHP diatas garis

Atas garis

Bawah garis

Atas garis

Bawah garis

1. Gambar daerah pemecahan pertidaksamaan, jika x dan y bilanganbulat.(i) x - y ≤ 6(ii) 2x - 5y ≤10(iii) x ≥ 0 dan y ≥ 0

y

x

Penyelesaian :x - y ≤ 6x-y =6(0,-6) (6,0)2x-5y=10(0,-2) (5,0)

-6

65

-2

x - y =6

2x-5y=10

1. Gambar daerah pemecahan pertidaksamaan, jika x dan y bilanganbulat.(i) x - y ≤ 6(ii) 2x - 5y ≤10(iii) x ≥ 0 dan y ≥ 0

y

x

Penyelesaian :x - y ≤ 6x-y =6(0,-6) (6,0)2x-5y=10(0,-2) (5,0)

-6

65

-2

x - y =6

2x-5y=10HP

5

2

3

7

y

x

5x+2y=103x+7y=21

Y=0

Tentukan pertidaksamaa dari daerah tang diarsir di bawah!

(i) 5x+2y=10b=+, HP diatas garis maka tanda ≥5x+2y≥10

(ii) 3x+7y=21b=+, HP dibawah garis, makatanda ≤3x+7y≤21

(iii)HP diatas sb x maka y≥0

Jadipertidaksamaannyaadalah:5x+2y≥103x+7y≤21y≥0

Gambarlah daerah penyelesaian

dari |x + 3| < 4 dan |y + 3| < 4 !

dijadikan kembang gula lagi dengan lebel sendiri; denganperhitungan kembang gula dengan label baru akan lebih laku jikamemuat paling sedikit 4 kg coklat, paling sedikit 6 kg karamel, dan paling sedikit 6 kg gula. Harga jenis A adalah Rp 100.000,00 per kg dan jenis B Rp 150.000,00 per kg. Berapa banyak dari tiapjenis harus dicampur supaya biaya serendah-rendahnya?Buatlah model matematika dari masalah di atas.

Banyaknya coklat yang dipergunakan untukmembuat kembang gula adalah .Coklattersedia lebih dari 4 kg. Dengan demikiandiperoleh hubungan ≥ 4 atau 20x + 20y ≥ 400 atau x + y ≥ 20

100

2020 yx

100

2020 yx

Banyaknya karamel yang dipergunakan untukmembuat kembang gula adalah . Karameltersedia paling sedikit 6 kg. Dengan demikiandiperoleh hubungan ≥ 6 atau 20x + 60y ≥ 600 atau x + 3y ≥ 30

100

6020 yx

100

6020 yx

Banyaknya gula yang dipergunakan untukmembuat kembang gula adalah .Gula tersedia paling sedikit 6 kg.Dengan demikian diperoleh hubungan≥ 6 atau 60x + 20y ≥ 600 atau 3x+ y ≥ 30

100

2060 yx

100

2060 yx

Karena yang dibuat adalah kembang gula makax dan y bilangan bulat dan tak mungkinnegatif. Dengan demikian x ≥ 0 dan y ≥ 0Tujuan dari membuat permen adalah agarbiaya 100.000x + 150.000y paling kecil atau

minimum.

Dengan demikian model matematika dari masalah di atasadalah:Carilah x dan y sehingga meminimumkan f = 100.000x + 150.000 y, dengan kendala :

x + y ≥ 20 x+3y ≥ 30

3x + y ≥ 30 x ≥ 0 y ≥ 0

f = 100.000x + 150.000 y disebut fungsi tujuan atau fungsiobyektif juga sering disebut fungsi sasaran.

Ibu akan membuat roti spiku dan rotidonat . Untuk membuat roti spikudibutuhkan 200 gram tepung dan 25gram mentega, sedangkan roti donatdibutuhkan 100 gram tepung dan 50gram mentega. Ibu ingin membuatroti sebayak-banyaknya, tetapi ibuhanya mempunyai 4 kg tepung dan1,2 kg mentega. Berapa roti spikudan roti donat yang harus dibuat ibuagar diperoleh roti sebanyak-

banyaknya?Buatlah model matematikanya.

Nilai Optimum

Untuk memperoleh nilai optimum

(maksimum atau minimum) dari fungsi

obyektif dengan kendala-kendala tertentu

dapat kita lakukan dengan menggambar

daerah penyelesaian layak yaitu daerah yang

titik-titiknya merupakan himpunan

penyelesaian dari sistem pertidaksamaan

linier.

Example :Tentukan nilai maksimum dari permasalahanyang model matematikanya sebagai berikut.

Mencari x1 dan x2 yang memaksimumkan f = 4x1 + 3x2,

dengan kendala

3x1 + 4x2 ≤12

7x1 + 2x2 ≤ 14

x1 ≥ 0

x2 ≥ 0

3x1 + 4x2 =12

(0,3) (4,0)

7x1 + 2x2 = 14

(0,7) (2,0) 7

3

2 4

HP

X= 2. 4 (7 – 3)

28 - 6

X = 2. 4. 4

22

X = 16/11

Y = 21 . 2

22

Y = 21/11

F(0,3)= 4.0+3.3= 9F(0.0) = 4.0+3.0=0F(2,0)= 4.2+3.0 = 8F(16/11, 21/11)= 4.16/11 + 3. 21/11=127/11

Jadi nilai maksimum = 127/11 diX1 = 16/11 dan x2 = 21/11

x1

x2

Sebuah pesawat terbang mempunyai kapasitas tempat duduk

tidak lebih dari 48 orang. Setiap penumpang kelas utama dapat

membawa bagasi seberat 60 kg dan kelas ekonomi 20 kg,

sedangkan pesawat tersebut mempunyai kapasitas bagasi tidak

lebih dari 1440 kg. Apabila harga tiket untuk kelas utama Rp

100.000,00 sedang untuk kelas ekonomi Rp 50.000,00 per

orangnya, tentukan banyak penumpang disetiap kelas agar hasil

penjualan tiket maksimum?

Penyelesaian :

Misal kelas utama : x

kelas ekonomi: y

Model matematika

x + y ≤ 48………..i

60x + 20y ≤ 1440

3x + y ≤ 72………ii

x≥0 , y≥0 …………iii

Dengan tujuan

: 20

f = 100.000x + 50.000y

x + y = 48

(0,48) (48,0)

3x + y = 72

(0,72) (24,0)

HP

y

72

24

48

48

Titik potong kedua garisx + y = 48

3x + y = 72-2x = -24

x = 1212 + y = 48

y = 36Tp (12,36)

AB

C

f(0,48)=100.000 (0) + 50.000(48)F(12,36)=100.000(12) + 50.000(36)F(24,0) = 100.000(24) + 50.000 (0)

f (x,y) = 100.000x + 50.000y

=2.400.000=

3.000.000= 2.400.000(Maksimum)

Penghasilan maksimum sebesar Rp 3.000.000,00dicapai jika diisi 12 penumpang kelas utama dan 36kelas ekonomi

x

x + y = 48

3x + y = 72

Sebuah rumah sakit memerlukan 150 unit kaloridan 130 unit protein untuk setiap pasienperharinya. Apabila setiap kg daging sapimengandung 500 unit kalori dan 200 unit protein, sedang 1 kg ikan basah mengandung 300 unit kaloridan 400 unit protein dengan harga masing-masingper kg nya Rp 2.500,00 dan Rp 2.000,00. Tentukanbiaya minimal untuk kebutuhan 100 pasien rumahsakit tersebut setiap harinya?

Penyelesaian :Kalori Protein Harga /kg

Daging (x) 500 200 2.500

Ikan basah(y)

300 400 2.000

Jumlah 15.000 13.000

Model Matematika :Kendala :500x + 300Y ≥ 15.0005x + 3y ≥ 150 ……………i200x + 400y ≥ 13.0002x + 4y ≥ 130 …………..iiX ≥ 0 , y ≥ 0 ………..iiiFungsi tujuanF = 2.500x + 2.000y

y

50

30

32,5

65

A

B

C xMenggambar grafik5x + 3y = 150(0,50) (30,0)2x + 4y = 130(0,32 ½) (65,0)

(15,25)5x + 3y = 150

2x + 4y = 130

HP(0,50)

(65,0)

Nilai minimum akan dicapai :F = 2.500x + 2.000yF(0,50) = 2.500(0)+ 2.000(50)=100.000F(15,25)= 2.500(15) + 2.000(25)= 87.500F(65,0) = 2.500(65) + 2.000(0) = 162.500

(Minimum)

Nilai minimum dicapai dititik B sejumlah Rp 87.500,00 untukpembelian 15 kg daging dan 25 kg ikan basah.

Seorang alumni SMA mendapat jatah merakit sepeda

dan sepeda motor. Karena jumlah pekerja terbatas,

alumni SMA hanya dapat merakit sepeda paling banyak

120 unit tiap bulan dan sepeda motor paling sedikit 10

unit dan paling banyak 60 unit. Pendapatan dari tiap unit

sepeda sebesar Rp. 40.000,00 dan tiap unit sepeda

motor Rp. 268.000,00. Berapa pendapatan maksimum

tiap bulan kalau kapasitas produksi dua jenis 160 unit.

a) Rumuskan fungsi obyektif!

b) Rumuskan kendala

c) Gambarlah daerah layaknya

Misal banyaknya sepeda yang dirakit adalah x buah

banyaknya sepeda motor yang dirakit adalah y

• Fungsi obyektifnya adalah f = 40.000x + 268.000y

Kendala• 10≤ y ≤ 60•0 ≤ x ≤ 120•x + y ≤ 160• x ≥ 0, y ≥ 0

•10≤ y ≤ 60•0 ≤ x ≤ 120•x + y ≤ 160• x ≥ 0, y ≥ 0

Y=10

Y=60

X=120

160

160 x

y

X+y=160

A B

C

DE

HP

Gambar daerah pemecahan sistem pertidaksamaan, Diperoleh daerah tertutup

ABCDE dengan A(0,10), B(120,10), C(120,40), D(100,60) dan E(0,60)

Untuk titik A(0,10) diperoleh f = 2.680.000

Untuk titik B(120,10) diperoleh f = 7.480.000

Untuk titik C(120,40) diperoleh f = 15.520.000

Untuk titik D(100,60) diperoleh f = 20.080.000

Garis selidik

Tentukan nilai x

dan y yang

memaksimumkan f

= 4x + 3y dengan

kendala

3x + 4y ≤12

7x + 2y ≤ 14

x ≥ 0

y ≥ 0

3

4

7

2

•

•

• x

y

3x + 4y =127x + 2y = 14

Program Linier Bulat

Menentukan nilai optimum (maksimum atauminimum) dari fungsi obyektif dengan kendala-kendala tertentu dapat dilakukan denganbantuan garis selidik atau menentukan titik sudutdalam daerah penyelesaian. Adakalanyapengganti variabel harus bernilai bulat, bagaimana cara menyelesaikan?

Example:Setiap semester sebuah agen mobilmemesan dagangan dari pusat berupamobil sedan dan van. Kantor pusatmengharuskan agen untuk memesan sedanpaling sedikit 20% dari seluruh pesanan.Ditempat agen, luas ruang pamer (showroom) dan gudang hanya cukup untuk 10mobil sedan saja atau 15 mobil van saja.Dari hasil penjualan , satu mobil sedan dansatu mobil van berturut-turut memberikankeuntungan 5 juta rupiah dan 3,5 jutarupiah. Jika dalam 1 semester mobilyangdipesan agen habis terjual, berapakahbanyak mobil yang sebaiknya dipesan agen

Penyelesaian:Misal banyak mobil sedan : S

banyak mobil van : VSyarat dari pusat dapat ditulisS ≥ 1/5 (s + v)4s – v ≥ 0Untuk merumuskan kendala luas tempat, misalkanL = luas ruang pamerLs = luas lantai bagi 1 unit SLv = luas lantai bagi 1 unit VTerdapat hubunganL=10 Ls

L = 15 Lv

Luas total yang diperlukan :SLs + VLv ≤ L3S + 2V ≤ 30Laba total yang harus dimaksimumkan adalah:5S + 3,5V (dalam jutaan rupiah)

atau

Ls = 1/10 LLv = 1/15 L

Perumusan masalah yang terjadiMencari S dan V yang memenuhi:4S – V ≥ 03S + 2V ≤ 30S ≥ 0V ≥ 0Dan memaksimumkanF = 5S + 3,5V

(0,15)

(10,0)

•

• •

•

•

•

•

• •

• •

•

•

•••• ••

•••••

• • •

•

•

•

•

• ••

••

•

•

•

•

•• •

•

•

••

•

•

•

•

V

S• • • • • • • • ••

3S + 2V = 30

4S – V = 0

Gampaaanng!,

Berani latihan !

Selanjutnya… ?

Nantikan materi

berikutnya…!