BAB II LANDASAN TEORI - · PDF filePada bab ini akan dibahas beberapa teori aljabar linier...

BAB II : LANDASAN TEORI 5

BAB II

LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa teori aljabar linier yang mendukung dalam

penurunan Teori Perron-Frobenius pada Bab III. Teori-teori yang akan dibahas

berupa subruang invarian, proyektor, indeks matriks, dekomposisi core-nilpotent,

serta norm dari vektor dan matriks. Teori tersebut merupakan teori yang mendukung

mengenai properti dari nilai karakteristik, matriks Jordan, dan Cesaro Summable.

Ketiga teori ini sangat erat kaitannya untuk mempelajari dan menurunkan Teori

Perron-Frobenius. Untuk selanjutnya, notasi yang digunakan dalam penulisan tugas

akhir ini merupakan notasi yang biasa digunakan dalam aljabar.

2.1 Subruang Invarian

Subruang invarian ini akan digunakan untuk menjabarkan dekomposisi core-

nilpotent pada Subbab 2.4. Namun, sebelum kita memasuki pada pembahasan

mengenai subruang invarian, kita akan mendefinisikan dulu mengenai matriks

perubahan basis secara singkat. Misalkan adalah operator linier pada V .

Misalkan pula dan adalah dua basis bagi V , maka matriks perubahan

basis dari ke diberikan oleh

A

B 'B

B 'B

[ ] [ ]1'

−=B

A P AB

P , dimana [ ] '=

BBP I

Teori Perron-Frobenius untuk Matriks Stokastik Madona Yunita (10103035)

BAB II : LANDASAN TEORI

Jika adalah basis baku untuk , maka kolom ke- pada [S n j ]SA adalah

[ ]( ) ∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = ⇒ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦j j j SS SeA A A A A .

Dengan kata lain, koordinat matriks terhadap adalah sendiri. Jadi, kita

peroleh bahwa

A S A

[ ] [ ]1 1− −= =B S

A P A P P AP , (2.1)

dimana [ ] [ ] [ ] [ ]( ) ( )1 2 1 2x | x | | x x | x | | x= = =… …n nBS S S SP I .

Selanjutnya, untuk suatu operator linier T pada ruang vektor V dan χ ⊆V ,

( ) ( ){ }x | xχ χ=T T ∈ adalah himpunan semua hasil peta yang mungkin dari

vektor di χ dibawah transformasi T . Perhatikan bahwa ( ) ( )=V RT T . Jika χ

adalah subruang dari V , akibatnya ( )χT adalah subruang dari V dan biasanya

( )χT tidak berhubungan dengan χ . Namun, dalam kasus-kasus tertentu

( )χT bisa merupakan subruang dari χ .

Definisi 2.1 Untuk suatu operator linier T pada V , subruang Vχ ⊆ disebut

subruang invarian dibawah T jika ( )χ χ⊆T .

Subruang invarian untuk operator linier sangat penting karena subruang

tersebut menghasilkan koordinat matriks representasi dari yang sederhana.

Untuk membuktikan hal ini, kita misalkan bahwa

T

T

χ dan γ adalah subruang

invarian dibawah . Misalkan pula T { }1 2x , x , , x rBχ = … dan

{ }1 2y , y , , yγ = … qB masing-masing merupakan basis bagi χ dan γ yang

merupakan himpunan bagian dari { }1 2 1 2x , x , , x , y , y , , yrB = … … q , yaitu basis

bagi V . Koordinat matriks terhadap basis adalah B


6


[ ] ( ) ( ) ( ) ( )( )1 1x x y y⎡ ⎤= ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦… …r qB B B B BT T T T T .

Karena setiap (x )jT berada pada χ , maka hanya buah vektor pertama pada

yang dapat merepresentasikan

r

B ( )x jT , sehingga untuk setiap 1, 2,....,j r=

( )1

x xr

j ij ii

T α=

=∑ dan ( )

1

x0

0

j

rjj B

T

α

α

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

⎡ ⎤ = ⎜ ⎟⎣ ⎦⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Karena setiap ( )y jT berada pada γ , maka hanya q buah vektor akhir pada

yang dapat merepresentasikan

B

( )y jT , sehingga untuk setiap 1, 2,....,=j q

( )1

y yβ=

=∑q

j ij ii

T dan ( )1

0

0y

β

β

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

⎡ ⎤ = ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

j B j

qj

T .

Jadi, kita peroleh

[ ]

11 1

1

11 1

1

0 0

0 00 0

0 0

α α

α αβ β

β β

×

×

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

… …

… …… …

… …

r

r rr r rB

q q

q qq

P 0T

0 Q q

,

dimana /χ

χ⎡ ⎤= ⎣ ⎦BP T dan /

γγ⎡ ⎤= ⎣ ⎦B

Q T .

Secara umum, pernyataan mengenai subruang invarian dan matriks representasi

tersebut diberikan oleh Teorema 2.2 berikut ini.


7


Teorema 2.2 Misalkan adalah operator linier pada ruang vektor V

berdimensi . Misalkan pula

T

n , ,...,χ γ Z adalah subruang V dengan

dimensinya masing-masing adalah dan basisnya adalah

. Selanjutnya, misalkan

1 2, ,...., kr r r

, ,....,χ γB B BZ =∑ iir n dan ....χ γ= ∪ ∪ ∪BZB B B

adalah basis bagi V . Subruang , ,...,χ γ Z invarian dibawah T jika dan hanya

jika [ ]BT mempunyai bentuk matriks diagonal blok

[ ]

1 1

2 2

0 0

0 0

0 0

×

×

×

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟== ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

……

…k k

r r

r r

B

r r

P

QT

R

dimana /χ

χ⎡ ⎤= ⎣ ⎦BP T , /

γγ⎡ ⎤= ⎣ ⎦B

Q T , dan [ ]/=B

R Tg

Z .

Akibat 2.3 Misalkan adalah matriks T n n× , maka

1 1

2 21

0 0

0 0

0 0

×

×−

×

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜= ⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

……

…k k

r r

r r

r r

P

QD TD

R

⎟⎟ (2.2)

untuk suatu matriks nonsingular jika dan hanya jika D

( 1 2= … kD D D D ) dengan setiap kolom pada adalah span dari

subruang invarian dibawah T .

iD

Bukti. Berdasarkan persamaan (2.1), jika { }1 2, , , nB q q q= … adalah basis bagi

dan jika n ( 1 2= … nq q qQ ) adalah matriks yang memuat vektor di

pada setiap kolomnya, maka

B

[ ] 1−=B

T D TD . Bentuk persamaan (2.2) adalah

akibat langsung dari Teorema 2.2.


8


2.2 Proyektor

Pada subbab ini akan diuraikan beberapa sifat yang dimiliki oleh proyektor

yang diberikan oleh Teorema 2.4 berikut.

Teorema 2.4 Misalkan χ dan γ adalah ruang bagian komplementer dari V

sehingga untuk setiap v V∈ secara tunggal bisa dituliskan sebagai x y= +v

dimana x χ∈ dan y γ∈ . Operator linier tunggal didefinisikan sebagai

, yaitu proyektor pada

P

x=vP χ sepanjang γ , dan mempunyai sifat sebagai

berikut.

P

(a). adalah proyektor pada −I P γ sepanjang χ .

(b). ( ) ( ) χ= − =R NP I P dan ( ) ( ) γ− = =R NI P P .

(c). Jika atau , maka diberikan oleh nV = n P

[ ] [ ] 1| | −⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

I 0P X Y X Y

0 0,

dimana setiap kolom dari dan , masing-masing menyatakan basis

dari

X Y

χ dan γ . Formula lain untuk dapat dilihat pada Teorema 2.9. P

Bukti. Untuk (a), kita peroleh bahwa x y y= + = +v Pv

)v

. Akibatnya

. Jadi, y (= − = −v vP I P −I P adalah proyektor pada γ sepanjang χ . Untuk

(b) merupakan akibat dari definisi proyektor itu sendiri. Formula pada (c)

diperoleh dengan memisalkan Bχ dan Bγ sebagai basis bagi χ dan γ , maka

{ }1 2 1 2x , x ,...., x , y , y ,...., yrB B Bχ γ −= ∪ = n r adalah basis bagi V . Matriks P

relatif terhadap basis adalah B


9


[ ] [ ][ ][ ]

1 1

1

1

[ x ] | | [ x ] | [ y ] | | [ y ]

[x ] | | [x ] | [0] | | [0]

e | | e | 0 | | 0

−=

=

=

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

… …

… …

… …

B r B B n rB

B r B B B

r

r

P P P P P

I 00 0

B

Jika adalah basis baku, maka S [ ] [ ]1−=B

P Q PS

Q , dimana

[ ] [ ] [ ]1 1[x ] | | [x ] | [y ] | | [y ] |−= = =… …S r S S n r SBSQ I X Y .

Akibatnya, [ ] [ ] [ ] [ ] 11 | | −− ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠r

S B

I 0P Q P Q X Y X Y

0 0.

2.3 Indeks Matriks

Pada subbab ini akan diuraikan beberapa teorema yang berhubungan dengan

indeks dari suatu matriks yang menunjang dalam pembahasan mengenai matriks

Jordan.

Definisi 2.5 Bilangan bulat nonnegatif terkecil k yang memenuhi

( ) ( )⊕ =k kR NA A n disebut indeks dari . A

Akibat 2.6 Indeks dari matriks adalah bilangan bulat bulat nonnegatif

terkecil , maka pernyataan berikut ini benar.

A

k

(a). ( ) ( )1+=k kR RA A

(b). ( ) ( )1+=k kN NA A

Indeks matriks ini erat kaitannya mengenai matriks nilpoten. Suatu matriks

disebut nilpoten jika ×n nN 0=kN untuk suatu bilangan bulat positif. k

( )Indeks = kN adalah bilangan bulat terkecil sehingga . ini 0=kN ( )Indeks N


10


biasa disebut dengan indeks nilpotensi. Sebagai contoh, matriks

jika dipangkatkan maka akan diperoleh dan .

Jadi, Matriks N adalah matriks nilpoten dengan

0 1 00 0 10 0 0

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

N

2

0 0 10 0 00 0 0

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

N 3

0 0 00 0 00 0 0

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

N

( )indeks 3=N karena 3 0=N ,

tetapi . 2 0≠N

2.4 Dekomposisi Core-Nilpotent

Dengan teori dasar mengenai subruang invarian yang telah dibahas pada

Subbab 2.1, berikut ini adalah teorema yang menjelaskan mengenai salah satu

subruang yang invarian terhadap . Teorema ini akan digunakan untuk

pembuktian teorema selanjutnya mengenai dekomposisi core-nilpotent yang

diberikan pada Teorema 2.8.

A

Teorema 2.7 Misalkan ( )indeks=k A , maka ( )kR A dan adalah

subruang invarian terhadap .

( kN A )A

Bukti. ( invarian terhadap karena A ( )( ) ( ) (1+= =k kR R RA A A A)kR A )k

)

dan

invarian terhadap karena ( kN A A

( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )

1

1 1

x x untuk suatu

x 0 x

.

+

+ +

∈ ⇒ = ∈ =

⇒ = = ⇒ ∈

⇒ ⊆

k k

k k k

k k

N w w N

w N

N N

A A A A A

A A A

A A A

kN

Teorema 2.8 Jika ×n nA adalah matriks singular dengan indeks dimana k

( )rank =k rA , maka terdapat matriks nonsingular Q sehingga


11


1 ×− ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

r rC 0Q AQ

0 N

dimana adalah matriks nonsingular dan adalah matriks nilpoten

dengan indeks k . Dengan kata lain, serupa dengan matriks blok diagonal

yang memuat matriks nonsingular core dan matriks nilpoten. Matriks blok

diagonal tersebut dinamakan dekomposisi core-nilpotent dari .

×r rC N

A

2 2×

A

Bukti. Misal ( )|=Q X Y dimana kolom dari ×n rX dan × −n n rY merupakan basis

dari ( )kR A dan . Karena ( kN A ) ( )kR A dan ( )kN A merupakan subruang

invarian terhadap berdasarkan Teorema 2.7, maka dari Akibat 2.3, kita

peroleh bentuk

A

[ ]1 ×− ⎡ ⎤= = ⎢ ⎥

⎣ ⎦r r

B

C 0Q AQ A

0 N dengan dan

.

/ ( )⎡= ⎣ kR XA

C A ⎤⎦

/ ( )⎡ ⎤= ⎣ ⎦kN YA

N A

Untuk menunjukkan bahwa nilpoten, misalkan N 1− ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

UQV

, dan tulis

( )1 |−⎡ ⎤ ⎡⎛ ⎞= = =⎢ ⎥ ⎢⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣

k kk k

k k

C 0 UA X 0UQ A Q A X YV0 N VA X 0

⎤⎥⎦

.

Akibatnya, dan 0=kN 1− ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

kk C 0

Q A Q0 0

. Karena berukuran dan kC r r×

( ) ( ) ( )1rank rank rank−= = =k kr A Q A Q kC . Hal ini menunjukkan bahwa

nonsingular akibatnya C juga nonsingular.

kC

Teorema 2.9 Misal ×n nA mempunyai indeks dengan k ( )rank =k rA .

Misalkan pula 1 ×− ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

r rC 0Q AQ

0 N dengan ( )|×= n rQ X Y dan 1− ×⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠n rUQ

V

adalah dekomosisi core-nilpotent, maka


12


(a). adalah proyektor pada 1−⎡ ⎤=⎢ ⎥

⎣ ⎦rI 0

Q Q0 0

XU ( )kR A sepanjang

. ( )kN A

(b). adalah proyektor pada sepanjang 1−

−

⎡ ⎤=⎢ ⎥

⎣ ⎦n r

0 0Q Q

0 IYV )( kN A

( )kR A .

Bukti. Karena ( )kR A dan ( )kN A adalah subruang komplememter dan karena

kolom dan masing-masing merupakan basis untuk subruang X Y ( )kR A dan

, maka berdasarkan Teorema 2.4(c) diperoleh

merupakan proyektor pada

( kN A )

=[ ] [ ] 1 1| | − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠rI 0 I 0

P X Y X Y Q Q XU0 0 0 0

( )kR A sepanjang ( )kN A . Selanjutnya,

merupakan proyektor

pada sepanjang

[ ] [ ] 1 1| | − −

−

⎛ ⎞⎛ ⎞− = = =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠n r

0 00 0I P X Y X Y Q Q YV

0 I0 I

( kN A ) ( )kR A .

2.5 Norm dari Vektor dan Matriks

Ukuran panjang dari suatu vektor disebut dengan norm. Untuk dimensi n , kita

definsikan norm- dari suatu vektor pada Definisi 2.10 berikut ini. p

Definisi 2.10 Untuk , norm- dari vektor 1≥p p x∈ n didefinisikan dengan

( )1/

1x

== ∑

pn pip i

x

Untuk , kita mengenalnya dengan istilah Euclidean norm di . 2=p n


13


Pada teorema berikut ini, kita akan melihat pembutikan dari Pertidaksamaan

Cauchy-Bunyakovskii-Schwarz (CBS) untuk kondisi dimana hanya persamaan

yang muncul dalam CBS tersebut (Teorema 2.11). Hal ini dibutuhkan karena

mendukung Teorema 2.12 yang akan bermanfaat dalam pembuktian salah satu

teorema di Bab III. CBS ini melibatkan hasil kali dalam dan norm.

Teorema 2.11 Misalkan , x, y Cn∈ x 0≠ , x,y x y= jika dan hanya jika

dimana y a= xx, yx, x

a = .

Bukti. Jika maka y a= x 2x,y x x ya= = . Sebaliknya, jika

x,y x y= maka

2 22 2

2 2

2

2

x y x,y 0, karena x,y y,x x,y maka

x y x,y y,x x,y0 y,y y,x ,dengan

x,xx

y, x y x, x y x y, x y x y

− = =

−= = −

= − − + − = − − = −

a a

a a a a a a

=

maka x y 0 y xa a− = ⇒ =

Teorema 2.12 Misalkan , vektor tak nol, x, y Cn∈ x y x y+ = + jika dan

hanya jika atau y a= x yx a= , untuk suatu . 0a >

Bukti. ( Misalkan , )⇒ x, y Cn∈

( ) ( )

( )

2 2

x y x y

x y x y

x x,y y,x y x 2 x y y

x 2Re x,y y x 2 x y y

+ = +

+ = +

+ + + = + +

+ + = + +


14


maka, ( )Re x,y x y= . Kita tahu bahwa ( )Re x,y x,y≤ , maka

( )x y Re x,y x,y x y= ≤ ≤ , maka x,y x y= . Dari Teorema 2.14

kita peroleh jika x,y x y= , maka y ax= , dimana x, yx, x

a = .

Selanjutnya, cukup dibuktikan bahwa bilangan real positif. Dengan

mensubtitusikan kedalam persamaan

a

y a= x x y x y+ = + , maka

( )( )( )

( )( )

22

2

1 1

1 1

1 1 1 2

1 2Re 1 2

Re

a a

a a

a a a a

a aa a aa

a a

+ = +

+ = +

+ + = + +

+ + = + +

=

Jadi, adalah bilangan real dan a ( )Re 0a a a= = ≥ . Karena dan y a= x y 0≠

maka akibatnya . 0a ≠ 0a >

( )⇐ Misal , maka y a= x

x y x x (1 )x (1 ) x , karena 0 maka

1 x x

x x

x y

a a a a

a

a

+ = + = + = + >

= +

= +

= +

Secara umum, misalkan , vektor tak nol, 1 2 px , x ,...., x C∈ n

1 1

x x= =

=∑ ∑p p

i ii i

jika

dan hanya jika untuk suatu { }1,2,....,∈i s x xπ=j j i dengan dan ≠i j 0π >j

untuk 1, 2,....,=j s .


15


Definsi 2.13 Unit p-sphere didefinisikan sebagai { }x / x 1p pS = = , untuk

. 1, 2,p = ∞

Sebagai contoh, unit 31-,2-, dan - di∞ ℜsphere adalah oktahedron, bola, dan

kubus secara berturut-turut. Kita bisa perhatikan bahwa oktahedron akan

termuat didalam bola dan kedua-duanya akan termuat didalam kubus.

Setelah kita mengenal norm vektor, selanjutnya kita akan membahas mengenai

norm matriks. Norm matriks ini digunakan untuk membantu dalam pembuktian

beberapa teorema di Bab III. Misalkan 2 1

4 2−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦A . Dengan menguraikan

elemen dari menjadi empat elemen dari suatu vektor, norm Euclidean pada

, maka kita bisa menuliskan

A4

( ) ( )1/ 22 22 22 1 4 2⎡ ⎤ 5= − + + + − =⎣ ⎦A .

Ini merupakan salah satu cara sederhana untuk mendefinisikan norm matriks

dan hal ini biasa disebut dengan norm Frobenius. Norm Frobenius dari matriks

ini didefinisikan oleh ×∈ m nA2

,=∑ ij

i jA a . Secara umum, norm matriks

merupakan suatu fungsi yang memenuhi sifat-sifat seperti yang ada pada

definisi berikut ini.

Definsi 2.14 Norm matriks adalah suatu fungsi ∗ dari himpunan matriks

kompleks ke bilangan real yang memenuhi sifat-sifat berikut ini.

(a). 0 0≥ = ⇔danA A 0=A

(b). untuk setiap konstanta α α α=A A

(c). + ≤ +A B A B

(d). ≤AB A B


16


Norm Frobenius memenuhi Definisi 2.14 diatas. Selain itu, kita bisa

mendefinisikan norm matriks selain norm Frobenius dengan cara norm matriks

tersebut dibangkitkan (induced) dari vektor seperti pada teorema berikut ini.

Teorema 2.15 Vektor x∈ p , ,=p m n membangkitkan norm matriks pada

dengan mendefinisikan ×m n

x 1max x

==A A , untuk ×∈ m nA dan 1x ×∈ n .

Hal ini dikenal dengan norm matriks induced.

Bukti. Karena x 1

max x=

A memenuhi Definisi 2.14, maka x 1

max x=

A adalah

norm matriks dari . A

Toerema 2.16 Norm matriks yang dibangkitkan dari vektor norm-1 dan norm-

didefinisikan sebagai berikut. ∞

(a). 1

1 1x 1max x max

== = =∑ ijj i

a nilai absolut jumlah kolom terbesarA A .

(b). x 1max x max

∞∞ ∞== = =∑ ijj i

a nilai absolut jumlah baris terbesarA A .

Bukti (a) . Untuk setiap dengan x1

x 1= , pertidaksamaan segitiga

menghasilkan

1x x

maks maks .

∗= = ≤ =

⎛ ⎞⎛ ⎞≤ =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ ∑∑ ∑∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

i ij j ij j j iji i j i j j i

j ij ijj jj i i

a x a x x a

x a a

A A


17


Bentuk persamaan diatas dapat diperoleh karena jika ∗kA adalah kolom dengan

jumlah absolut terbesar, tulis x = ke dan perhatikan bahwa 1

1=ke dan

1 1maks∗= = ∑k k j i

e aA A ij .

Bukti (b). Untuk setiap dengan x x 1∞= ,

i ix maks maks maks

∞= ≤ ≤∑ ∑ ∑ij j ij j ijij j

a x a x aAj

.

Bentuk persamaan diatas dapat diperoleh karena jika ∗kA adalah baris dengan

jumlah absolut terbesar dan jika adalah vektor dimana x

x , untuk setiap 1, jika 0 maka

1, jika 0 x maks

∗

∗

⎧ = ≤≥⎧ ⎪= ⎨ ⎨− <⎩ = =⎪⎩

∑ ∑∑ ∑

i ij j ijj jkjj

kjk kj i ijj j

a x a iax

a a a

A

A,

maka x∞=1 dan x maks x maks∗∞

= = ∑i i i ijjaA A .

2.6 Properti dari Nilai Karakteristik

Misalkan 1 2 3, , ,..., sλ λ λ λ adalah nilai-nilai karakteristik yang berbeda dari

sebarang matriks . Himpunan nxnA { }1 2 3( ) , , ,...,σ λ λ λ λ= sA disebut spektrum

dari , yaitu himpunan semua nilai karakteristik dari . Selain itu, kita

mengenal istilah yang disebut dengan spectral radius

A A

( )( )ρ A dari matriks ,

yaitu

A

(1

( ) max )ρ λ≤ ≤

= ii sA . Spectral radius ini merupakan lingkaran terkecil dalam

bidang kompleks yang memuat semua nilai karakteristik dari matriks . A

Misalkan , maka kita mempunyai beberapa istilah lain seperti nilai

karakteristik simple dan nilai karakteristik semisimple. Jika

( )λ σ∈ A

( )ma 1λ = maka λ

disebut dengan nilai karateristik simple. Nilai karakteristik yang memenuhi


18


( ) ( )λ λ=ma mg disebut dengan nilai karateristik semisimple. Selanjutnya,

berikut ini diberikan definisi indeks dari suatu nilai karakteristik.

Definisi 2.17 Indeks nilai karakteristik λ dari matriks ∈ nxnA didefinisikan

sebagai indeks dari matriks ( )λ−A I yang memenuhi sifat pada Akibat 2.6.

Dengan kata lain, ( )λindeks adalah bilangan asli terkecil sehingga

pernyataan berikut ekivalen.

k

(a). ( )( ) ( )( )1λ λ +− = −k kR RA I A I

(b). ( )( ) ( )( )1λ λ +− = −k kN NA I A I

Teorema 2.18 Misalkan ∈ nxnA , maka ( )ρ ≤A A , untuk setiap norm

matriks.

Bukti. Misalkan adalah sebarang pasangan karakteristik dari maka ( , xλ ) A

[ ]x | x | ..... | x 0=nxn

X ≠ dan λ =X AX mengakibatkan

λ λ= = ≤X X AX A X . Jadi λ ≤ A untuk setiap , artinya ( )λ σ∈ A

( )ρ ≤A A .

Teorema 2.19 Misalkan ∈ nxnA , maka untuk setiap norm matriks berlaku

( ) 1limρ→∞

=kk

kA A .

Bukti. Perhatikan bahwa ( ) ( )ρ ρ= ≤k kA A Ak (berdasarkan Teorema 2.18).

Kita peroleh ( ) 1ρ ≤

kkA A . Sekarang perhatikan bahwa

untuk setiap

( )( )( )/ 1ρ ρ ε+ <A A

0ε > maka


19


( ) ( )( )lim 0 lim 0

ρ ε ρ ε→∞ →∞

⎛ ⎞= ⇒ =⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

k k

kk k

AAA A

.

Akibatnya terdapat bilangan bulat positif sehingga N ( )( )/ 1ρ ε+ <kkA A

untuk setiap , maka k N≥ ( )( )1/ρ ε< +

kkA A untuk setiap k dan N≥

( ) ( )1/ρ ρ≤ <

kkA A A ε+ untuk . Karena pertidaksamaan ini berlaku

untuk setiap

k N≥

0ε > , maka ( )1lim ρ→∞

=kk

kA A .

Teorema 2.20 Misalkan ×∈ n nA dan misalkan A menyatakan matriks

dengan elemennya adalah ija . Untuk matriks , ×∈ n nB C , definisikan ≤B C ,

yaitu untuk setiap i dan . Jika <ij ijb c j ≤A B maka ( ) ( ) ( )ρ ρ ρ≤ ≤A A B .

Bukti. Ketaksamaan segitiga memberikan ≤ kkA A untuk setiap bilangan

bulat positif. Selanjutnya,

k

≤A B mengakibatkan ≤k kA B . Dengan

menggunakan Teorema 2.19, maka

( ) ( ) ( )

1/1/ 1/

1/ 1/1/lim lim lim

ρ ρ ρ

∞ ∞∞

∞ ∞ ∞

∞ ∞∞ ∞

→∞ →∞ →∞

= ≤ ≤

⇒ ≤ ≤

⇒ ≤ ≤

⇒ ≤ ≤

kk k k

kk kkk k

k kk k kk

k k k

A A A B

A A B

A A A

A A B

2.7 Matriks Jordan

Bentuk Jordan dari ∈ nxnA diperoleh dengan menggunakan dekomposisi

core-nilpotent yang akan diuraikan berikut ini. Misalkan, ( )1λ σ∈ A dan

, maka terdapat matriks nonsingular sehingga ( )1indeks λ = k1 1X


20


( )1

111 1

1

λ− ⎛ ⎞− = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

L 0X A I X

0 C, (2.3)

dimana adalah matriks nilpoten dengan indeks dan adalah matriks

nonsingular. Hal ini tidak menjadi masalah andaikan pada blok diagonal

pertama adalah ataupun pada (2.3). Untuk kasus ini, kita posisikan blok

nilpoten berada pada pada blok diagonal pertama. Berdasarkan hasil dari

matriks nilpoten maka terdapat matriks nonsingular sehingga

1L 1k 1C

1L 1C

1Y

( )( )

( )1

1

1 1

2 111 1

1

0 00 0

0 0

λλ

λ

−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

……

… t

NN

Y L Y

N

yang merupakan matriks blok diagonal yang memiliki sifat-sifat sebagai

berikut.

(a). Setiap blok di ( )1 1λN mempunyai bentuk . ( )1

0 1

10

λ∗

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

N

(b). Terdapat ( ) ( )( )1 1dim dim λ= = −t NL A 1I buah blok pada ( )1 1λN .

(c). Banyaknya blok berukuran ×i i dengan bentuk ( )1λ∗N dalam ( )1 1λN

adalah ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 12 1λ λ λ−= − +i i i iv r r r λ+

⎟

dimana

. ( ) ( )( )1 1λ λ= − iir rank A I

Selanjutnya, adalah matriks nonsingular dan 11 1

⎛ ⎞= ⎜

⎝ ⎠

Y 0Q X

0 I

( ) ( )111 1 1

1

λλ− ⎛ ⎞

− = ⎜⎝ ⎠

NQ A I Q

0 C ⎟0

atau ekivalen dengan


21


( ) ( )1 1 111 1

1 1 1

λ λ λλ

− +⎛ ⎞ ⎛= =⎜ ⎟ ⎜+⎝ ⎠ ⎝

AN I 0 J

Q Q0 C I 0 A

⎞⎟⎠

0

1

. (2.4)

Matriks ( ) ( )1 1λ λ λ= +J N I pada (2.4) mempunyai bentuk blok diagonal

( )

( )( )

( )1

1 1

2 11

1

0 00 0

0 0

λλ

λ

λ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

……

… t

JJ

J

J

dengan ( ) ( )1 1 1λ λ λ∗ ∗= +J N I .

Matriks ( )1λJ disebut dengan segmen Jordan yang berkorespondensi dengan

nilai karakteristik 1λ dan setiap blok ( )1λ∗J yang termuat di ( )1λJ disebut

dengan blok Jordan yang berkorespondensi dengan nilai karakteristik 1λ .

Struktur segmen Jordan ini diturunkan dari struktur Jordan yang

berkorespondensi dengan matriks nilpoten . 1L

Setiap blok Jordan mempunyai bentuk

( ) ( )

1

1 1 1

1

1

1

λ

λ λ λ

λ

∗ ∗

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

J N I .

Terdapat ( ) ( )( )1 1dim dim λ= = −t NL A 1I buah blok Jordan pada segmen

( )1λJ . Banyaknya blok Jordan ( )1λ∗J berukuran ×i i dalam ( )1λJ adalah

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 12 1λ λ λ− += − +i i i iv r r r λ dimana ( ) ( )( )1 1λ λ= − iir rank A I .

Nilai karakteristik yang berbeda untuk adalah A ( ) { }1 2, ,....,σ λ λ λ= sA , maka

nilai karakteristik yang berbeda untuk 1λ−A I adalah

( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2 1 3 10, , ,...., 1σ λ λ λ λ λ λ− = − − −sA I λ . Karena nilai karakteristik

untuk adalah nol maka kita peroleh bahwa 1L

( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2 1 3 1 1, ,....,σ λ λ λ λ λ λ= − − −sC . Jadi spektrum untuk 1 1 1λ= +A C I


22


pada (2.4) adalah ( ) { }1 2 3, ,....,σ λ λ λ= sA . Hal ini berarti proses dekomposisi

core-nilpotent diatas bisa diulang untuk 1 2λ−A I untuk mendapatkan matriks

nonsingular sehingga 2Q

( )212 1 2

2

λ− ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

JQ A Q

0 A0

dimana ( ) { }2 3 4, ,....,σ λ λ λ= sA .

Proses tersebut terus diulangi sedemikian rupa sehingga semua nilai

karakteristik hilang dan diperoleh matriks nonsingular sP sehingga

( ) ( ) ( )( )11 2diag , ,....,λ λ λ− = =

s sP AP J J J J s . Setiap ( )λ jJ adalah segmen

Jordan yang memiliki ( )( )dim λ= −jt N A Ij buah blok Jordan. Matriks J

disebut dengan bentuk Jordan dari . Struktur Jordan dari didefinisikan

sebagai banyaknya segmen Jordan di beserta dengan banyaknya dan ukuran

dari blok Jordan untuk setiap segmen. Berikut ini merupakan ringkasan dari

bentuk Jordan yang telah diuraikan diatas.

A A

J

Teorema 2.21 Untuk setiap ×∈ n nA dengan nilai karakteristik yang berbeda

( ) { }1 2, ,....,σ λ λ λ= sA , terdapat matriks nonsingular sehingga P

( )( )

( )

1

21

0 00 0

0 0

λλ

λ

−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

……

… s

JJ

P AP J

J

(a). disebut matriks Jordan yang mempunyai satu buah segmen Jordan J

( )λ jJ untuk setiap nilai karakteristik ( )λ σ∈j A .

(b). Setiap segmen ( )λ jJ terdiri atas ( )( )dim λ= −jt N A Ij buah blok

Jordan ( )λ∗ jJ seperti yang dideskripsikan berikut ini.


23


( )

( )( )

( )

1

1

0 0

0 0

0 0

λ

λλ

λ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

…

…

…j

j

jj

t j

J

JJ

J

dengan ( )

1

1

λ

λ

λ

∗

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

j

j

j

J .

(c). Ukuran blok Jordan terbesar adalah ×j jk k dimana ( )λ=j jk indeks .

(d). Banyaknya blok Jordan ×i i dalam ( )λ jJ diberikan oleh

( ) ( ) ( ) ( )1 12λ λ λ− += − +i j i j i j i jv r r r λ dimana ( ) (( )λ λ= −i

i j jr rank A I) .

Teorema 2.22 ( ) 1λ =Indeks jika dan hanya jika λ adalah nilai karakteristik

semisimple. Dengan kata lain ( ) ( )λ λ=mg ma .

Bukti. jika dan hanya jika untuk setiap blok Jordan berukuran

, yang akan terjadi jika dan hanya jika banyaknya vektor karakteristik yang

berkorespondensi dengan

( )Indeks 1λ =

1 1×

λ untuk sehingga P 1− =P AP J sama banyaknya

dengan blok Jordan. Hal ini sama saja dengan mengatakan bahwa

( ) ( )mg maλ λ= atau λ adalah nilai karakteristik semisimple.

Selanjutnya, kita akan melihat fungsi pada matriks blok Jordan. Misalkan

dengan 1−= ∈ nxnA PJP { }1 2 3( ) , , ,...,σ λ λ λ λ= sA dan

( ) ( ) ( )( 1 2, ,..., )λ λ= sdiagJ J J J λ adalah bentuk Jordan dari dimana setiap

segmen Jordan

A

( )λ jJ adalah matriks blok diagonal yang memuat satu atau

lebih blok Jordan. Dengan kata lain, kita bisa menuliskan suatu segmen Jordan

sebagai berikut


24


( )

( )( )

( )

1

2

0 0

0 0

0 0

λ

λλ

λ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

…

…

…j

j

jj

t j

J

JJ

J

dengan ( )

1

1

λ

λ

λ

∗

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

j

j

j

J .

Kita ingin mendefinisikan ( )f J menjadi

( )( )( )

( )( )

1λ

λ

⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦s

f

ff

J

JJ

dengan ( )( ) ( )( )*λ λ

⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

j jf fJ J .

Untuk mendefinisikan tersebut, kita cukup bekerja pada ( )( * )λ jf J . Agar

notasi yang ada tidak membingungkan dalam proses pengerjaan, maka kita

dapat sederhanakan dengan memisalkan *

1

1

λ

λ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

J yang

merupakan blok Jordan berukuran k k× . Jadi kita dapat mendefinisikan ( )f J

dari . ( )*f J

Misalkan adalah fungsi yang dapat diekspansi dengan deret Taylor

disekitar

:f →

λ maka untuk suatu , 0r >

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3'' '''' ....

2! 3!f f

f z f f z z zλ λ

λ λ λ λ λ= + − + − + − + ,

dimana z rλ− < . Maka,

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3* * * *

'' '''' ....

2! 3!λ λ

λ λ λ λ λ= + − + − + − +f f

f f fJ I J I J I J I

Namun, karena * λ= −N J I adalah matriks nilpoten dengan indeks , maka

deret ini menjadi deret berhingga,

k


25


( )( ) ( )1

*0 !

λ−

=

=∑ik

i

i

ff

iJ N (2.5)

artinya hanya nilai dari ( ) ( ) ( ) ( )1, ' ,..., kf f fλ λ − λ yang terdefinisi dan

0 1

10

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

N , 2

0 0 1

10 0

0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

N ,…., . 1

0 0 1

00

−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

kN

Jadi, representasi ( )*f J pada (2.5) bisa dituliskan seperti pada teorema

berikut ini.

Teorema 2.23 Untuk blok Jordan berukuran dengan nilai

karakteristik

*J k k×

λ . Suatu fungsi ( )f z dimana ( ) ( ) ( ) ( )1, ' ,..., kf f fλ λ λ− ada

maka bisa dituliskan sebagai berikut. ( )*f J

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

1

*

'''

2! 1 !1

'''12!'

λ λλ λ

λλ λ

λ

λλ λ

λ

−⎡ ⎤⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

kf ff f

kf f

f f f

f ff

J

Teorema 2.24 Misal 1−=A PJP untuk suatu matriks nonsingular. Misalkan

pula,

P

( )( )

( )

111

1 2| | | , , dan λ

λ

−

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

… s

s

=

s

QJP P P P J P

J Q


26


Definisikan . Jika =i iG PQi ( )indeksi ik λ= maka adalah proyektor pada iG

( )( )λ− ikiN A I sepanjang ( )( )λ− ik

iR A I .

Bukti. Perhatikan bahwa ( )λ λ= −i iL J iI merupakan matriks nilpoten dengan

indeks , tetapi ik ( )λ λ−i iJ I j nonsingular jika i ≠ , maka

( )

( )

( )

1

1 1

λ λ

λ λ

λ λ

− −

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− = − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

i

i i i

s i

J I

A I P J I P P L P

J I

adalah matriks core-nilpotent seperti yang telah diuraikan pada Teorema 2.8

dengan mengurutkan nilai karakteristik sehingga matriks blok nilpoten

berada pada blok diagonal paling bawah. Berdasarkan Teorema 2.9(b) maka,

adalah proyektor pada

iL

=i i iPQ G ( )( )λ− ikiN A sepanjang ( )( )λ− ik

iR A .

2.8 Limit dari Matriks

Berikut ini terdapat dua teorema yang menyatakan mengenai limit dari suatu

matriks berdasarkan nilai spectral radius dari matriks tersebut.

Teorema 2.25 Misalkan ∈ nxnA dan ( )ρ A adalah spectral radius, maka

jika dan hanya jika lim 0→∞

=k

kA ( ) 1ρ <A .

Bukti. Misal ( )⇒ ( ,v)λ adalah pasangan karakteristik untuk . Karena A

λ=kvA kv , maka

( )lim lim lim lim 0λ λ→∞ →∞ →∞ →∞

= = =k k k k

k k k kv v v vA A = .


27


Karena , maka 0v ≠ lim 0k

kλ

→∞= , akibatnya 1λ < . Karena hal tersebut berlaku

untuk sebarang nilai karakteristik, maka ( ) 1ρ <A .

( )⇐ Jika adalah bentuk Jordan untuk , maka 1− =P AP J A

1 1− −∗

⎛ ⎞⎜= = ⎜⎜ ⎟⎝ ⎠

k k kA PJ P P J P⎟⎟ dimana 1

( )λ

λλ

∗

⎛ ⎞⎜= ⎜⎜ ⎟⎝ ⎠

iJ ⎟⎟ merupakan

blok Jordan di . Selanjutnya, jika dan hanya jika untuk

setiap blok Jordan. Jadi, kita hanya perlu membuktikan bahwa maka

J 0→kA 0∗ →kJ

0∗ →kJ

( ) 1ρ <A . Dengan menggunakan fungsi ( ) = nf z z pada Teorema 2.28 dengan

syarat bahwa untuk 0⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

kj

>j k , maka,

( ) ( ) ( )( )

( )( )

1 2 11 2 1

11

22

11

λ λ λ λ

λ λ

λ

λ λ

λ

∗

− − − +−

−

−

−

×

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

…k k k k k k k mm

k k k

k k k

k k k

km m

J .

Berdasarkan elemen diagonalnya, jelas bahwa jika maka . Jadi 0∗ →kJ 0λ →k

1λ < , artinya ( ) 1ρ <A .

Sekarang kita akan melihat li ada tetapi nilainya tak nol. Sebelumnya, kita

tahu bahwa ada jika dan hanya jika ada untuk setiap blok Jordan.

Jika

m→∞

k

kA

lim→∞

k

kA *lim

→∞

k

kJ

1λ = dengan 1λ ≠ (yaitu, ie θλ = , 0 2θ π< < ) maka diagonal dari blok

Jordan, yaitu kλ , nilainya akan terus berubah dan hal ini akan membuat

tidak mempunyai limit. Jika (* dankJ )A 1λ = , maka


28


*

11 1

11

×

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

k

m m

k km

kJ

mempunyai limit jika dan hanya jika 1=m , artinya 1λ = adalah nilai

karakteristik semisimple. Tetapi 1λ = bisa ada sebanyak buah sehingga

terdapat blok Jordan dengan bentuk

p

p [ ]* 1 11=

xJ . Akibatnya, ada jika

dan hanya jika bentuk Jordan untuk mempunyai bentuk

, dimana

lim→∞

k

kA

A

1− ⎡= = ⎢

⎣ ⎦pxpI 0

J P AP0 K

⎤⎥ ma(1)=p dan ( ) 1ρ <K . Berikut ini teorema

yang menyajikan eksistensi dari limit suatu matriks yang dipangkatkan dengan

suatu bilangan tertentu seperti yang telah diuraikan diatas.

Teorema 2.26 Untuk matriks ×∈ n nA , ada jika dan hanya jika lim→∞

k

kA

(a). ( ) 1ρ <A , atau

(b). ( ) 1ρ =A , dimana 1λ = adalah satu-satunya nilai karakteristik pada

lingkaran satuan dan 1λ = adalah semisimple.

2.9 Cesaro Summable

Misal { }αn adalah barisan yang konvergen ke α . Misalkan pula terdapat

barisan lain, yaitu { }μn yang berkorespondensi dengan { }αn dimana

1 1μ α= , 12 2

2α αμ += , ….. , 1 2 .... n

n nα α αμ + + +

= .

Barisan { }μn ini disebut dengan barisan Cesaro yang berkorespondensi dengan

{ }αn . Jika lim nnμ α

→∞= , maka { } 1n n

α ∞

= disebut Cesaro Summable ke α . Dengan


29


kata lain, kekonvergenan mengakibatkan summability tetapi summability tidak

mengakibatkan kekonvergenan. Sebagai contoh, perhatikan barisan

{ }1,0,1,0,.... . Barisan ini tidak konvergen, tetapi memiliki summability ,

yang merupakan nilai rata-rata dari

1/ 2

{ }0,1 .

Teorema 2.27 Jika { } 1n nα ∞

= konvergen ke α maka { } 1n n

μ ∞

= konvergen ke α

dimana 1 2 .... nn n

α α αμ + + += .

Bukti. Jika { }nα barisan yang konvergen ke α maka untuk setiap 0ε >

terdapat bilangan bulat positif sehingga N / 2nα α ε− < untuk setiap

dan terdapat bilangan real

n N≥

β sehingga nα α β− < untuk setiap . Akibatnya,

untuk setiap n N

n

≥

( ) ( )1 2

1 1

1 1

.... 1

1 12 2

α α αμ α α α α α α

β ε βα α α α

= = +

= = +

+ + +− = − = − + −

−≤ − + − < + ≤

∑ ∑

∑ ∑

N nn

n kk k N

N n

k kk k N

n nN n N N

n n n n nε

+

k

Jika cukup besar maka n2

Nnβ ε≤ , sehingga nμ α ε− < . Jadi barisan

{ }nμ konvergen ke α . Hal ini berlaku pula untuk vektor dan matriks dengan

mensubtitusikan ∗ dengan norm vektor dan norm matriks.

Kita katakan matriks ×n nA konvergen jika ada dan matriks

summable jika ada. Seperti dalam bilangan, jika

konvergen ke G maka summable ke G . Untuk menganalisis bahwa

lim→∞

k

kA A

( 2 1lim ... /−

→∞+ + + + k

kkI A A A )

A A A


30


summable adalah dengan memperhatikan bahwa summable jika dan hanya

jika bentuk Jordan untuk juga summable. Dengan kata lain

setiap blok jordan di summable. Akibatnya, tidak mungkin summable

jika

A1−=J P AP A

∗J J A

( ) 1ρ >A , karena jika 1λ

λ∗

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

J adalah blok Jordan dengan 1λ > ,

maka setiap elemen diagonal dari ( )2 1lim ... /−∗ ∗ ∗→∞

+ + + + k

kkI J J J adalah

( ) ( )2 11 ... 1 1 1 1,1 1

k k k

kk k k

λ λ λ λδ λλ λ

−+ + + + ⎛ ⎞ ⎛−= = =⎜ ⎟ ⎜− −⎝ ⎠ ⎝ k

λ ⎞− ⎟

⎠

)

. (2.6)

Nilai dari akan menjadi tidak terbatas jika . Dengan kata lain,

kita bisa membatasi

( , kδ λ k →∞

( ) 1ρ ≤A untuk menjadi summable. Jika A ( ) 1ρ <A

maka konvergen (dan summable juga) ke nol. Jadi, kita hanya perlu

membuktikan untuk kasus

A

( ) 1ρ =A , dimana nilai karakteristiknya terletak

pada lingkaran satuan dalam bidang kompleks. Jika dimana ( )λ σ∈ A

1, 1λ λ= ≠ dan jika ( )indeks 1λ > maka terdapat blok Jordan

1λ

λ∗

⎡ ⎤⎢= ⎢⎢ ⎥⎣ ⎦

J ⎥⎥ yang ukurannya lebih besar dari 1 1× . Setiap elemen pada

superdiagonal pertama dari ( )2 1... /−∗ ∗ ∗+ + + + k kI J J J adalah turuan /δ λ∂ ∂

dari (2.6). Turunan ini akan berosilasi tidak terbatas jika . Dengan kata

lain, tidak summable jika terdapat nilai karakteristik

k →∞

A 1λ ≠ pada lingkaran

satuan dan ( )indeks 1λ > .

Jika 1λ = dan ( )indeks 1λ > , maka tidak summable karena elemen pada

superdiagonal pertama dari

A

( )2 1...lim

−∗ ∗ ∗

→∞

+ + + + k

k kI J J J

adalah


31


( ) ( )1 2 ... 1 1 12 2

+ + + − − −= = →

k k k kk k

∞ .

Akibatnya, jika ingin ditunjukkan bahwa summable dan memiliki nilai

karakteristik

A

λ sehingga 1λ = , maka haruslah ( )indeks 1λ = .

Jika λ adalah nilai karakteristik untuk dimana A 1λ = , blok Jordan 1 1×

yang berkorespondensi dengan λ akan summable, karena (2.6) akan

mengakibatkan

( )2 1 1 11 ... 0, untuk 1, 111, untuk 1

kk

k kk

λλ λ λ λ λλ

λ

− ⎧ ⎛ ⎞+ + + + − → =⎪ ⎜ ⎟= −⎨ ⎝ ⎠⎪ =⎩

≠

maka,

( ) [ ] ( )[ ] ( )

2 1 1 1

1 1

1 , jika 1 dan indeks 1 ...

lim 0 , jika 1, 1 dan indeks 10, jika 1

λ λλ λ λλ

− ×∗ ∗ ∗

×→∞

⎧ = =+ + + + ⎪= = ≠ =⎨

⎪ <⎩

k

k kI J J J

Akibatnya, jika summable maka bentuk Jordan untuk adalah A A

1 00×− ⎡ ⎤

= = ⎢ ⎥⎣ ⎦

p pIJ P AP

C, dimana ( )ma 1p λ= = .

Nilai karakteristik untuk adalah C 1λ < atau 1λ = , 1λ ≠ dengan

( )indeks 1λ = , maka C summable ke 0, akibatnya summable ke .

Misalkan dan

J ×⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

p pI 00 0

( )1 2|=P P P 11

2

− ⎛ ⎞= ⎜⎜⎝ ⎠

QP Q ⎟⎟ , maka

( )

2 12 11

111 2 1 1

2

......

0 0|

0 0 0 0

−−−∗ ∗ ∗

× ×−

⎛ ⎞+ + + ++ + + += ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤

→ = =⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠

kk

p p p p

k kI J J JI A A A P P

QI IP P P P P QQ = G


32


Berdasarkan Teorema 2.9(b) maka G adalah proyektor pada

sepanjang

( )−N I A

( )−R I A . Berikut ini adalah ringkasan singkat dalam Teorema 2.28

mengenai Cesaro Summable yang telah dijelaskan sebelumnya.

Teorema 2.28 ×∈ n nA disebut Cesaro Summable jika dan hanya jika

(a). ( ) 1ρ <A , atau

(b). ( ) 1ρ =A dengan setiap nilai karakteristik pada lingkaran satuan

bersifat semisimple.

Jika ada, limit Cesaro, yaitu

( )2 1...lim

−

→∞

+ + + +=

k

k kI A A A

G

merupakan proyektor pada ( )−N I A sepanjang ( )−R I A .


33

BAB II LANDASAN TEORI - · PDF filePada bab ini akan dibahas beberapa teori aljabar linier...

Documents

Transcript of BAB II LANDASAN TEORI - · PDF filePada bab ini akan dibahas beberapa teori aljabar linier...