INTERPOLASI

Untuk menaksir nilai antara (intermediate values) diantara titik-­titik data yang tepat, umumnya yang dipakai adalah interpolasi Polinum

nn xaxaxaxaaxf ....)( 3

32

210

Interpolasi polinum yang paling populer adalah Interpolasi polinum beda-­terbagi Newton. Interpolasi ini terbagi menjadi bebeeapa metode sesuai dengan versi orde yang dipakai yaitu :

orde pertama : Interpolasi linierorde kedua : Interpolasi kwadratorde ketiga : Interpolasi kubik

Interpolasi Linier Interpolasi kuadrat

Interpolasi kubik

Bentuk Interpolasi yang paling sederhana dengan menghubungkan dua titik data dengan garis lurus.

)()()()()( 001

0101 xx

xxxfxfxfxf

f(x1)

f1 (x)

f(x0)

x x1x0

Taksirlah ln2 dengan memakai Interpolasi Linier jika digunakan data ln 1 = 0 , ln 6 = 1,7917595, dan ulangi dengan ln 4 = 1,3862944

%3,3346209813,0)12(14

03862944,10)2( )(

%3,483583190,0)12(16

07917595,10)2( )(

1

1

r

r

fb

fa

0 21 54 63

f(y)

x

nilai sejati

nilai taksiran

f(x) = ln x

Pendekatan yang digunakan untuk Interpolasi linier di atas kurang tepat karena kurva lengkung dihampiri oleh kurva lurus. Yang lebih tepat adalah dengan menggunakan 3 titik data sehingga bisa didekati dengan kurva. Bentuk umum Polinum yang lebih cocok untuk masalah ini adlah sebagai berikut :

))(()()( 1020102 xxxxbxxbbxf

Atau dengan mengumpulkan suku-­sukunya :

22102 )( xaxaaxf

Dengan : a0 = b0 b1x0 + b2x0x1a1 = b1 b2x0 b2x1a2 = b2

Untuk x = x0 maka persamaan (1) menjadi :b0 = f(x0)

Subtitusi persamaan (2) ke dalam 1 untuk x = x1, maka :

01

011

)()(xx

xfxfb

Dengan cara yang sama subtitusi (2) dan (3) ke dalam pers (1) untuk x = x2 , maka

02

01

01

12

12

2

)()()()(

xxxx

xfxfxx

xfxf

b

Hitung ln 2 pada contoh di atas dengan Interpolasi Kuadrat

x0 = 1 f(x0) = 0x1 = 4 f(x1) = 1,3862944x2 = 6 f(x2) = 1,7917595

051873116,016

46209813,046

3862944,17917595,1

2b

46209813,014

3862944,11b

Jawabbo=f(x0)=0

subtitusikan nilai tersebut pada persamaan 1 , maka :

f2(x) = 0 + 0,46209813(x-­1) 0,051873116 (x-­1)(x-­4)

untuk x = 2, maka

f2(2) = 0,56584436

0 21 54 63

f(y)

x

nilai taksiran kuadrat

nilai sejati

analisis di atas bisa ditulis dalam bentuk umum untuk menyatakan polinum orde n sampai n+1fn(x) = b0 + b1(x-­x0) + ...........+ bn (x x0)(x x1)........(x xn)dengan :

b0 = f (x0)b1 = f (x1,x0)b2 = f(x2,x1,x0)bn = f (xn,xn-­

dengan catatan bahwa perhitungan fungsi dalam kurung adalah beda terbagi hingga/pembagian beda hingga.

Beda terbagi hingga pertamaji

jji xx

xfxfxxf

)()(, 1

Beda terbagi hingga keduaki

kjjikji xx

xxfxxfxxxf

)(,,

Beda terbagi hingga ke n

0

02111011

,....,,,.....,,,,.......,,

xxxxxfxxxf

xxxxfn

nnnnnn

i xi f(xi) Pertama kedua K etiga

0 x0 f(x0) f[x1,x0] f[x2,x1,x0] f[x3,x2,x1,x0]

1 x1 f(x1) f[x2,x1] f[x3,x2,x1]

2 x2 f(x2) f[x3,x2]

3 x3 f(x3)

Jika dimasukkan dalam pers. umum maka :

),...,[)).....()((.......],,[))((],[)()()( 01110012100100 xxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxf nnnn

Polinom Interpolasi beda terhingga Newton

x0 = 1x1 = 4x2 = 6x3 = 5

f(x3) = 1,6094379

Hitung ln(2) dengan interpolasi polinum orde 3

f3 (x) = b0 + b1(x x0 ) + b2 ( x x0 )(x x1) + b3 (x x0)(x x1)(x x2)

beda-­beda terbagi pertama :

18232160,065

7917595,16094375,1],[

20273255,046

3862944,17917595,1],[

46204813,014

03862944,1],[

23

12

01

xxf

xxf

xxf

Beda-­beda terbagi kedua :

020410950,045

20273255,018232160,0],,[

051873116,016

46209813,020273255,0],,[

123

012

xxxf

xxxf

Beda-­beda terbagi ketiga:

0078655415,015

)0518731116,0(020410950,0],,,[ 0123 xxxxf

subtitusikan ke dalam persamaan umum orde 3

f3(x) = 0 + 0,4620981(x 1) 0,051873116 (x 1)(x 4) + 0,0078655415 (x 1)(x 4)(x 6)

f3 (2) = 0,62876869 1 = 9,3%

SsTtOoPp