INTERPOLASI - · PDF fileInterpolasi Linear 0 1 0 1 0 2 0 x x x f x f x f Diketahui: Dua...

INTERPOLASI

Tujuan

Interpolasi berguna untuk memperkirakan nilai-nilai

tengah antara titik data yang sudah ditentukan dan tepat.

Interpolasi mempunyai orde atau derajat.

Macam Interpolasi

Interpolasi Linear

Interpolasi Kuadratik

Interpolasi Kubik

Interpolasi Polinomial

Interpolasi Beda Terbagi Newton

Interpolasi Lagrange

Interpolasi Kubik Spline

Interpolasi

Proses Interpolasi dari dua sampai

lima titik data

Perbedaan Interpolasi dan

Ekstrapolasi

Interpolasi Linear

0

01

0102 xx

xx

xfxfxfxf

Diketahui: Dua titik(x1, y1), (x2, y2)

Ditanya: Garis yang melewati 2 titik tersebut

Contoh: f(x) = ln x

x0 = 1 dan x1 = 6:

f2(2) = 0.3583519

x0 = 1 dan x1 = 4

f2(2) = 0.4620981

ln 2 = 0.6931472

Semakin kecil intervalnya semakin baik hasil interpolasi!

Merupakan bentuk paling sederhana dari interpolasi, yang

menghubungkan 2 titik data dengan garis lurus

f1(x) menyatakan bahwa ini adalah polinomial orde pertama.

)()()(

)()(

)()()()(

0

0

0101

0

01

0

01

xxxx

xfxfxfxf

xx

xfxf

xx

xfxf

Persamaan

interpolasi linear

Kemiringan garis

merupakan

pendekatan terhadap

turunan pertama

Interpolasi Linear

Interpolasi Linear

Interpolasi Linier

Derajat/orde 1 memerlukan 2 titik

x f(x)

1 4,5

2 7.6

3 9.8

4 11.2

Berapa f(x = 1,325) = ?

Memerlukan 2 titik awal :

x = 1

x = 2

Interpolasi Kuadratis

02

01

01

12

12

201

01100

xx

xx

xfxf

xx

xfxf

bxx

xfxfbxfb

1020102 xxxxbxxbbxf

Diketahui: Tiga titik(x1, y1), (x2, y2), (x3,y3)

Ditanya: kuadratis f2(x) = a0 + a1x + a2x2 yang melewati ke-3 titik diatas

Contoh: f(x) = ln x

Titik data: (1, 0), (4, 1.386294), (6, 1.791759)

b0 = 0

b1 = (1.386294 – 0)/(4 – 1) = 0.4620981

b2 = [(1.791759 – 1.386294)/(6-4) – 0.4620981]/(6-1)

= -0.0518731

f2(2) = 0.5658444

ln 2 = 0.6931472



x = 1 f(x = 1) = . . . .

x = 2 f(x = 2) = . . . .

x = 3 f(x = 3) = . . . . f (x = 1,325) = ?

Interpolasi Kuadratis


Diketahui: n titik data (x1, y1), (x2, y2), … (xn, yn)

Ditanya :a0, a1, …, an sehingga

Dua titik data : Garis

Tiga titik data : Kuadratik

Empat titik data :Polinomial tingkat-3

…

n titik data :Polinomial tingkat-n

nn xaxaxaaxf 2

210

022

1

02222212

01122111

ayaxaxax

ayaxaxax

ayaxaxax

nnnnnn

nn

nn

...

...

...

Adakah cara yang lebih baik untuk menyelesaikan persamaan diatas?

Interpolasi Kubik


Interpolasi derajat/orde ke-n

memerlukan n+1 titik

Semakin tinggi orde yang digunakan untuk interpolasi

hasilnya akan semakin baik (teliti).


TEKNIK INTERPOLASI

Interpolasi Linier

Cara:

menghubungkan 2 titik dengan sebuah garis lurus

Pendekatan formulasi interpolasi linier sama dengan

persamaan garis lurus.

0

01

0101 xx

xx

xfxfxfxf

Interpolasi Linier

Prosentase kesalahan pola interpolasi linier :

ganl_perhitunHarga_hasi

narnyaHarga_sebeganl_perhitunHarga_hasiε t

Interpolasi Linier (Contoh 1)

Diketahui suatu nilai tabel distribusi ‘Student t’ sebagai

berikut :

t5% = 2,015

t2,5% = 2,571

Berapa t4% = ?


Penyelesaian

x0 = 5 f(x0) = 2,015

x1 = 2,5 f(x1) = 2,571

x = 4 f(x) = ?

Dilakukan pendekatan dengan orde 1 :

0

01

0101 xx

xx

xfxfxfxf

237,22374,2

5455,2

015,2571,2015,2


Diketahui:

log 3 = 0,4771213

log 5 = 0,698700

Harga sebenarnya:

log (4,5) = 0,6532125 (kalkulator).

Harga yang dihitung dengan interpolasi:

log (4,5) = 0,6435078

%51,1%1006435078,0

6532125,06435078,0

t

Contoh :

Jarak yang dibutuhkan sebuah kendaraan untuk berhenti

adalah fungsi kecepatan. Data percobaan berikut ini

menunjukkan hubungan antara kecepatan dan jarak

yang dibutuhkan untuk menghentikan kendaraan.

Perkirakan jarak henti yang dibutuhkan bagi sebuah

kendaraan yang melaju dengan kecepatan 45 mil/jam.

Contoh :

maka untuk mencari nilai x=45 maka,

Example

The upward velocity of a rocket is given as a function of time

in Table. Find the velocity at t=16 seconds using linear

splines.

t v(t)

s m/s

0 0

10 227.04

15 362.78

20 517.35

22.5 602.97

30 901.67

Table : Velocity as a

function of time

Figure : Velocity vs. time data

for the rocket example

Interpolasi Linier

Pendekatan interpolasi dengan derajat 1, pada

kenyataannya sama dengan mendekati suatu harga

tertentu melalui garis lurus.

Untuk memperbaiki kondisi tersebut dilakukan sebuah

interpolasi dengan membuat garis yang menghubungkan

titik yaitu melalui orde 2, orde 3, orde 4, dst, yang sering

juga disebut interpolasi kuadratik, kubik, dan yang

berikutnya disebut dengan polinomial.

Interpolasi Kuadrat

F(x) = ax2 + bx + c

Interpolasi Kuadrat

Titik-titik data (x1,y1) (x2,y2) (x3,y3)

Hitung a, b dan c dari sistem persamaan tersebut

dengan Metode Eliminasi Gauss

Interpolasi Kuadrat (Versi lain)

))((

))((

))((

))((

))((

))((

2313

213

3212

31

2

3121

32

1xxxx

xxxxy

xxxx

xxxxy

xxxx

xxxxyy

Untuk memperoleh titik baru Q (x,y)


Interpolasi orde 2 sering disebut sebagai interpolasi

kuadratik, memerlukan 3 titik data.

Bentuk polinomial orde ini adalah :

f2(x) = a0 + a1x + a2x2

dengan mengambil:

a0 = b0 – b1x0 + b2x0x1

a1 = b1 – b2x0 + b2x1

a2 = b2


Sehingga

f2(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1)

dengan

Pendekatan dengan

kelengkungan

Pendekatan dengan

garis linier

012

02

01

01

12

12

2

01

01

011

00

,,

,

xxxfxx

xx

xfxf

xx

xfxf

b

xxfxx

xfxfb

xfb

Interpolasi Kubik

f3(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1) + b3(x-x0)(x-x1)(x-x2)

dengan:

0123

03

0121233

012

02

01

01

12

12

02

01122

01

01

011

00

,,,],,[],,[

,,],[],[

,

xxxxfxx

xxxfxxxfb

xxxfxx

xx

xfxf

xx

xfxf

xx

xxfxxfb

xxfxx

xfxfb

xfb


Secara umum:

f1(x) = b0 + b1(x-x0)

f2(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1)

f3(x) = b0 + b1(x-x0)

+ b2(x-x0)(x-x1)

+b3(x-x0)(x-x1)(x-x2)

…

fn(x) = b0 + b1(x-x0)

+ b2(x-x0)(x-x1)

+b3(x-x0)(x-x1)(x-x2)

+ …

+bn(x-x1)(x-x2)…(x-xn-1)


Dengan:

b0 = f(x0)

b1 = f[x1, x0]

b2 = f[x2, x1, x0]

…

bn = f[xn, xn-1, xn-2, . . . ., x0]


(Contoh 3)

Hitung nilai tabel distribusi ‘Student t’

pada derajat bebas dengan = 4%, jika diketahui:

t10% = 1,476 t2,5% = 2,571

t5% = 2,015 t1% = 3,365

dengan interpolasi Newton orde 2 (a) dan orde 3 (b)!


(Contoh 3a)

Interpolasi Newton Orde 2: butuh 3 titik

x0 = 5 f(x0) = 2,015

x1 = 2,5 f(x1) = 2,571

x2 = 1 f(x2) = 3,365

b0 = f(x0) = 2,015

02

01

01

12

12

2xx

xx

xfxf

xx

xfxf

b

222,055,2

015,2571,2

01

011

xx

xfxfb

077,051

55,2

015,2571,2

5,21

571,2365,3


(Contoh 3a)

f2(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1)

= 2,015 + (-0,222) (4-5) + 0,077 (4-5)(4-2,5)

= 2,121


(Contoh 3b)

Interpolasi Newton Orde 3: butuh 4 titik

x0 = 5 f(x0) = 2,015

x1 = 2,5 f(x1) = 2,571

x2 = 1 f(x2) = 3,365

x3 = 10 f(x3) = 1,476


(Contoh 3b)

b0 = f(x0) = 2,015

b1 = -0,222 f[x1,x0]

b2 = 0,077 f[x2,x1,x0]

007,0

5

077,0043,0

510

077,05,210

5,21

571,2365,3

110

365,3476,1

3

b


(Contoh 3b)

f3(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1) + b3(x-x0)(x-x1)(x-x2)

= 2,015 + (-0,222)(4-5) + 0,077 (4-5)(4-2,5) +

(-0,007)(4-5)(4-2,5)(4-1)

= 2,015 + 0,222 + 0,1155 + 0,0315

= 2,153

Contoh Interpolasi Polynomial Newton

2103102102010 xxxxxxbxxxxbxxxxbxxbbxfn

182.065

791759.1609438.1,203.0

46

386294.1791759.1,462.0

14

0386294.1, 231201

xxfxxfxxf

020045

203018200520

16

46202030123012 .

..,,.

..,,

xxxfxxxf

Diketahui: (1, 0), (4, 1.386294), (6, 1.791759), (5, 1.609438)

Ditanya: Perkirakan x = 2 dengan interpolasi Newton orde ke-3

f3(2) = 0.629

008015

)0520(02000123 .

..,,,

xxxxf

Divided Differences (Beda Terbagi)

0

1102110

02

1021210

01

0110

],...,,[],...,,[],...,,[

............

DDorder Second],[],[

],,[

DDorder first ][][

],[

DDorder zeroth )(][

xx

xxxfxxxfxxxf

xx

xxfxxfxxxf

xx

xfxfxxf

xfxf

k

kkk

kk

Tabel Beda Terbagi

x F[ ] F[ , ] F[ , , ] F[ , , ,]

x0 F[x0] F[x0,x1] F[x0,x1,x2] F[x0,x1,x2,x3]

x1 F[x1] F[x1,x2] F[x1,x2,x3]

x2 F[x2] F[x2,x3]

x3 F[x3]

n

i

i

j

jin xxxxxFxf0

1

0

10 ],...,,[)(

Tabel Beda Terbagi

f(xi)

0 -5

1 -3

-1 -15

ix x F[ ] F[ , ] F[ , , ]

0 -5 2 -4

1 -3 6

-1 -15

Tabel Beda Terbagi

0 -5

1 -3

-1 -15

iyixx F[ ] F[ , ] F[ , , ]

0 -5 2 -4

1 -3 6

-1 -15

Dua kolom pertama adalah kolom data titik

Kolom ketiga adalah beda orde pertama

Kolom berikutnya adalah beda orde kedua, dst.

Tabel Beda Terbagi

0 -5

1 -3

-1 -15

iyixx F[ ] F[ , ] F[ , , ]

0 -5 2 -4

1 -3 6

-1 -15

201

)5(3

01

0110

][][],[

xx

xfxfxxf

Tabel Beda Terbagi

0 -5

1 -3

-1 -15

iyixx F[ ] F[ , ] F[ , , ]

0 -5 2 -4

1 -3 6

-1 -15

611

)3(15

12

1221

][][],[

xx

xfxfxxf

Tabel Beda Terbagi

0 -5

1 -3

-1 -15

iyixx F[ ] F[ , ] F[ , , ]

0 -5 2 -4

1 -3 6

-1 -15

4)0(1

)2(6

02

1021210

],[],[],,[

xx

xxfxxfxxxf

Tabel Beda Terbagi

0 -5

1 -3

-1 -15

iyixx F[ ] F[ , ] F[ , , ]

0 -5 2 -4

1 -3 6

-1 -15

)1)(0(4)0(25)(2 xxxxf

f2(x)= F[x0]+F[x0,x1] (x-x0)+F[x0,x1,x2] (x-x0)(x-x1)

Bandingkan!

x y

1 0

2 3

3 8

x y

2 3

1 0

3 8

Apa yang dapat disimpulkan?

1

)2)(1(1)1(30)(

2

2

x

xxxxP

x Y

1 0 3 1

2 3 5

3 8

x Y

2 3 3 1

1 0 4

3 8

1

)1)(2(1)2(33)(

2

2

x

xxxxP

],,[],,[],,[ 012021210 xxxfxxxfxxxf

Urutan titik tidak akan mempengaruhi hasil beda terbagi

Bandingkan!

TERIMA KASIH

INTERPOLASI - · PDF fileInterpolasi Linear 0 1 0 1 0 2 0 x x x f x f x f Diketahui: Dua...

Documents

Transcript of INTERPOLASI - · PDF fileInterpolasi Linear 0 1 0 1 0 2 0 x x x f x f x f Diketahui: Dua...