Regresi dan interpolasi

REGRESI DAN INTERPOLASI

Di Buat Oleh : Hamidatul Aminah3515 100 043Riva Dianita 3515 100 048Istiqomah 3515 100 050Kartika Tamara 3515 100 095

MATERI YANG DIBAHAS

Hamidatul Aminah Riva Dianita Istiqomah Kartika Tamara

Regresi

REGRESI NON LINIER

REGRESI LINIER

InterpolasiPENGERTIAN INTERPOLASI

INTERPOLASI LINIERCONTOH SOAL

CONTOH SOAL

REGRESI LINIERRegresi merupakan alat ukur yg digunakan untuk mengetahui ada tidaknya

korelasi antarvariabel.

Analisis regresi lebih akurat dlm analisis korelasi karena tingkat perubahan suatu variabel thd variabel lainnya dpt ditentukan). Jadi pada regresi, peramalan atau perkiraan nilai variabel terikat pada nilai variabel bebas lebih akurat pula.

Regresi linier adalah regresi yang variabel bebasnya (variabel x) berpangkat paling tinggi satu. Utk regresi sederhana, yaitu regresi linier yg hanya melibatkan dua variabel (variabel X dan Y).


PERSAMAAN REGRESI LINEAR DARI Y TERHADAP X

Y = a + bxKeterangan :

Y= variabel terikat

X= variabel bebas

A= intersep / konstanta

B= koefisien regresi / slop

Persamaan regresi linear di atas dpt pula dituliskan dlm bentuk

xxxyY

2


MENCARI NILAI A DAN B• Rumus 1

• Pendekatan matriks22

22

2

)())(())(())((

)())(())(())((

XXnYXXYnb

XXnXYXXYa

XYXYn

AXXYXY

AXXXn

A

AAb

AAa

XYY

ba

XXXn

2212

21

2

detdet

detdet

))(())((det))(())((det

))(())((det

2

21

2

XYXYnAXYXXYA

XXXnA


• Persamaan Linier 2 Variabel

• Rumus Ii

_____

22

.

)())(())(())((

XbYa

XXnYXXYnb

)()()()( 2

XbnaYXbXaX


CONTOH SOALBerikut ini data mengenai pengalaman kerja dan penjualan

X=pengalaman kerja (tahun)

Y=omzet penjualan (ribuan)

Tentukan nilai a dan b (gunakan ketiga cara)!

Buatkan persamaan regresinya!

Berapa omzet pengjualan dari seorang karyawan yg pengalaman kerjanya 3,5 tahun

X 2 3 2 5 6 1 4 1Y 5 8 8 7 11 3 10 4


Penyelesaian :X Y X2 Y2 XY2 5 4 25 103 8 9 64 242 8 4 64 165 7 25 49 356 11 36 121 661 3 1 9 34 10 16 100 401 4 1 16 4

24 56 96 448 198

78563

824 ______

YX

25,3576768

752.4376.5)24()96)(8(

)198)(24()96)(56(2

a

a

25,1576768

344.1584.1)24()96)(8(

)56)(24()198)(8(2

b

b

Cara 1.

Cara 2.

25,119224025,3

192624

240)24)(56()198)(8(det624)198)(24()96)(56(det

192)2424()96)(8(det19824568

961982456

9624248

19856

9624248

2

1

21

ba

AAA

AAA

ba


Cara 3

a. Dari ketiga cara pengerjaan tersebut diperoleh nilai a = 3,25 dan nilai b = 1,25

b. Persamaan regresi linearnya adalah Y=3,25+1,25X

c. Nilai duga Y, jika X=3,5 adalah Y=3,25+1,25X

Y=3,25+1,25(3,5)

=7,625

25,3)3(25,17

25,1576768

344.1548.1)24()96)(8(

)56)(24()198)(8(2

aa

b

b


Koefisien Determinasi (R2)

6696,0016.86600.57

)448)(192()240(

)136.3584.3()576768()344.1584.1(

))56()448(8()24()96(8())56)(24()198)(8((

))()(()()(()))(())(((

22

22

22

22

2222

22

R

R

R

YYnXXnYXXYnR

Nilai determinasi (R2) sebesar 0,6696, artinya sumbangan atau pengaruh pegalamanKerja terhadap naik turunnya omzet penjualan adalah sebesar 66,96%. Sisanya 33,04%Disebabkan oleh faktor lain yang tidak dimasukkan dalam model.


SELISIH TAKSIR STANDAR(STANDAR DEVIASI) Angka indeks yg digunakan utk mengukur ketepatan

suatu penduga atau mengukur jumlah variasi titik-titik observasi di sekitar garis regresi.

Jika semua titik observasi berada tepat pada garis regresi, selisih taksir standar sama dengan nol. Menunjukkan pencaran data.

Selisih taksir standar berguna mengetahui batasan seberapa jauh melesetnya perkiraan dalam meramal data.


RUMUS

2)'(

2)'(

2

./

2

./

nYXSeSS

ataun

YYSeSS

xyyx

yxxy

Keterangan :Sy/x = Sx/y = Selisih taksir standarY = X = nilai variabel sebenarnyaY’ = X’= nilai variabel yang diperkirakan n = jumlah frekuensi


CONTOH :

• Hubungan antara variabel X dan variabel Y

a. Buatkan persamaan regresinya

b. Tentukan nilai duga Y, jika X = 8

c. Tentukan selisih taksir standarnya

X 1 2 3 4 5 6Y 6 4 3 5 4 2


PENYELESAIAN

X Y X2 Y2 XY1 6 1 36 62 4 4 16 83 3 9 9 94 5 16 25 205 4 25 16 206 2 36 4 1221 24 91 106 75

621)5,0(

624

.

5,0105

54)21()91(6

)24)(21()75(6)()(

))(()(

2

22

a

XbYa

b

b

XXnYXXYnb


a. Persamaan garis regresinya:Y’ = 5,75 – 0,5 x

b. Nilai duga Y’, jika X=8Y’ = 5,75 – 0,5 (8)

Y’ = 1,75

c. Selisih taksir standarX Y Y' Y-Y' (Y-Y')2

1 6 5.25 0.75 0.56252 4 4.75 -0.8 0.56253 3 4.25 -1.3 1.56254 5 3.75 1.25 1.56255 4 3.25 0.75 0.56256 2 2.75 -0.8 0.5625

5.375

2,126

375,52

)'(

/

2

/

xy

xy

S

nYYS


REGRESI NON LINIER• DEFINISI : regresi/trend non linier adalah regresi

yang variabel- variabelnya ada yang berpangkat. Bentuk grafik regresi non linier adalah berupa lengkungan. Bentuk-bentuk regresi non linier antara lain regresi kuadratis atau parabola dan regresi eksponensial.


REGRESI NON LINIER

• Regresi nonlinear Y atas X berbentuk lengkungan

A. Parabola kuadratis dengan persamaan

B. Parabola kubis dengan persamaan

C. Logaritmis dengan persamaan :

D. Hiperbola dengan persamaan :

baXY

32 dXcXbXaY

2cXbXaY

bXaY

1


PENGERTIAN INTERPOLASI


PENGERTIAN DAN TUJUAN INTERPOLASIPENGERTIANInterpolasi adalah proses pencarian dan penghitungan nilai suatu fungsi yang grafiknya melewati sekumpulan titik yang diberikan. Titik – titik tersebut dapat diperoleh dari hasil eksperimen dalam sebuah percobaan atau diperoleh dari suatu fungsi yang diketahui.


Interpolasi adalah proses menemukan dan mengevaluasi sebuah fungsi yang grafiknya melalui beberapa

titik yang sudah diberikan. Fungsi yang dievaluasi paling banyak berupa polinomial.

Permasalahan dapat dijelaskan sebagai berikut :

Diberikan n+1 titik data yang berupa pasangan bilangan : (x0,y0), (x1,y1), … , (xnyn) dengan x0, x1, … , xn

semuanya berlainan. Akan dicari suatu polinom pn(x) yang pada setiap xi mengambil nilai f yang diberikan

yaitu :

pn(x0) = f0, pn (x i)= fi, …, pn(xn)= fn

Yang mempunyai derajat n atau kurang. Pn disebut penginterpolasi. Nilai – nilai xi sering disebut

simpul.

Nilai fi bisa berupa nilai – nilai fungsi matematis (tetapi nilai f(x) tidak di ketahui) atau nilai yang

diperoleh dari percobaan atau pengamatan. Polinom pn(x) digunakan untuk mendapatkan nilai- nilai

aprokmasi f(x) yang tidak dilakukan pengukuran.


Secara khusus terdapat 2 macam pengertian untuk interpolasi, yaitu :

Interpolasi : x terletak di antara simpul – simpul yang ada

Ektrapolasi : x tidak terletak di antara simpul – simpul biasanya kurang cermat

Interpolasi dan ekstrapolasi digunakan untuk memprediksi suatu nilai dalam suatu fungsi yang belum

diketahui, dimana fungsi itu bersifat kontinyu dalam interval tertentu


INTERPOLASI


PERBEDAAN INTERPOLASI DAN EKSTRAPOLASI


MACAM – MACAM INTERPOLASI POLINOMIAL

Ada beberapa macam interpolasi, yaitu sebagai berikut :

a. Interpolasi Linier

b. Interpolasi Kuadratik

c. Interpolasi Beda Terbagi Newton

d. Intepolasi Lagrange


x0 x1x

f(x)

L(x)

Interpolasi Linier


INTERPOLASI LINIERInterpolasi linear merupakan interpolasi yang diperoleh dengan cara menghubungkan dua titik yang mengapit daerah yang akan dicari interpolasinya.Interpolasi linear atau interpolasi lanjar adalah interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis lurus. Misal diberikan dua buah titik, (x0,y0) dan (x1,y1). Polinom yang menginterpolasi kedua titik itu adalah persamaan garis lurus yang berbentuk:


Garis lurus yg menginterpolasi titik – titik (x0,y0) dan (x1,y1)


Koefisien dan dicari dengan proses substitusi dan eliminasi. Dengan mensubstitusikan dan ke dalam

persamaan diperoleh dua persamaan linear:

. . . . . . . (1)

. . . . . . . (2)

Dari dua persamaan diatas, dengan eliminasi diperoleh :

Substitusikan nilai ke dalam persamaan (1), diperoleh:


Dengan melakukan manipulasi aljabar untuk menentukan nilai

dapat dilakukan sebagai berikut:


⇔


Dalam menentukan persamaan dari interpolasi linear juga dapat dilakukan melalui cara

berikut:

Menentukan titik-titik antara dari 2 buah titik dengan menggunakan garis lurus.

Gambar. Interpolasi Linier

Persamaan garis lurus yang melalui 2 titik P1 (x0,y0) dan P2

(x1,y1) dapat dituliskan dengan:

Sehingga diperoleh persamaan dari interpolasi linear sebagai

berikut:


Algoritma Interpolasi Linear

1. Tentukan nilai

2. Periksa apakah . Jika ya, maka kembali ke langkah 1 sebab nilai fungsinya tidak

terdefinisi dalam kondisi ini. Jika tidak, maka dilanjutkan ke langkah 3.

3. Masukkan nilai .

4. Periksa apakah . Jika tidak, maka masukkan nilai yang lain. Jika ya, maka

dilanjutkan langkah 5.

5. Hitung .

6. Periksa apakah . Karena jika sama, maka akan diperoleh .

7. Tulis hasil .


Contoh Soal 11. Perkirakan atau prediksi jumlah penduduk Purworejo pada tahun 2005

berdasarkan data tabulasi berikut:

Tahun 1990 2000Jumlah Penduduk

187.900 205.700


Penyelesaian:Dipunyai: x0 = 1990, x1 = 2000, y0 = 187.900, y1 = 205.700.Ditanya: Prediksi jumlah penduduk Gunungpati pada tahun 1995.Ingat :

Misalkan

Jadi, diperkirakan jumlah penduduk Purworejo pada tahun 1995 adalah 196.800 orang.

Tahun 1990 2000Jumlah Penduduk

187.900 205.700


Contoh Soal 3

Jarak yang dibutuhkan sebuah kendaraan untuk berhenti adalah fungsi kecepatan. Data percobaan berikut ini menunjukkan hubungan antara kecepatan dan jarak yang dibutuhkan untuk menghentikan kendaraan.

Perkirakan jarak henti yang dibutuhkan bagi sebuah kenderaan yang melaju dengan kecepatan 45 mil/jam.


Maka untuk mencari nilai x=45 maka,


Dari data ln(9.0) = 2.1972, ln(9.5) = 2.2513, tentukan ln(9.2)

dengan interpolasi linier sampai 4 desimal. Bandingkan hasil

yang diperoleh dengan nilai sejati ln(9.2)=2.2192.

Contoh Soal 2


Dipunyai:.

Ditanya : tentukan nilai ln(9.2) sampai 5 angka bena kemudian dibandingkan dengan nilai sejati ln(9.2) = 2.2192.Ingat:

Galat = nilai sejati ln(9.2) – nilai ln(9.2) hasil perhitungan dengan metode interpolasi linear

Galat = 2.2192 – 2.21884 = 3,6 x 10-4 .


Alhamdulillah….


Regresi dan interpolasi

Engineering

Transcript of Regresi dan interpolasi