INTERPOLASI LINEAR DAN KUADRATIK

Disusun guna memenuhi tugas kelompok mata kuliah Metode Numerik

Dosen Pengampu: Dr. Rochmad, M. Si

Disusun oleh:

1. Nur Fitri Amalia (4101410016)

2. Arin Ayundhita (4101410042)

3. Desfi meliasari (4101410044)

4. Latifah Darojat (4101410052)

5. Laurensia Dhika M (4101410063)

6. Cintya Hesriana P (4101410066)

JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG2012

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Di dalam pengertian matematika dasar, interpolasi adalah perkiraan suatu nilai

tengah dari suatu set nilai yang diketahui. Interpolasi dengan pengertian yang lebih

luas merupakan upaya mendefinisikan suatu fungsi dekatan suatu fungsi analitik yang

tidak diketahui atau pengganti fungsi rumit yang tak mungkin diperoleh persamaan

analitiknya. Masalah umum interpolasi adalah menjabarkan data untuk fungsi

dekatan, dan salah satu metode penyelesaiannya dinamakan Metoda prinsip

Substitusi. Dalam mata kuliah metode numerik ada materi Interpolasi linear dan kuadratik.

Materi ini dapat diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari.

Apabila y=f (x ) adalah suatu fungsi dengan nilai-nilai :

y0 untuk x0

y1untuk x1

y2 untuk x2

. .

. .

. .

yn untuk xn

y0 y1 y2 y3 y4 yn

x0 x1 x2 x3 x4 xn

Dan jika Φ ( x ) adalah fungsi sederhana sembarang sedemikian rupa sehingga

untuk variable x0 , x i , ……, xn memberikan nilai yang hampir sama dengan f (x), maka

bila f (x) digantikan oleh Φ (x) pada interval yang diketahui, hal ini disebut proses

interpolasi dan fungsi Φ (x) adalah rumus interpolasi untuk fungsi.

Fungsi Φ (x) dapat dinyatakan dalam berbagai bentuk persamaan. Apabila Φ (x)

dinyatakan sebagai fungsi polinomial P(x ), proses disebut interpolasi polinomial atau

parabolik, sedangkan bila Φ (x) dinyatakan dalam persamaan fungsi trigonometri,

proses disebut interpolasi trigonometri. Bila Φ (x) dinyatakan dalam fungsi

eksponensial, polynomial Legendre atau fungsi Bessel atau bentuk fungsi spesifik

lainnya, maka pemilihan bentuk fungsi tersebut didasarkan pada anggapan atau

perilaku data yang dianggap cenderung mempunyai pola fungsi-fungsi tersebut.

B. Permasalahan

Berdasarkan latar belakang tersebut, kami menyelesaikan masalah interpolasi

linear dan kuadratik pada metode numerik dengan menggunakan perhitungan manual

dan menggunakan bahasa pemrograman Visual Basic.

1. Bagaimana menyelesaikan masalah interpolasi linear dan kuadratik pada metode

numerik dengan menggunakan perhitungan manual?

2. Bagaimana menyelesaikan masalah interpolasi linear dan kuadratik pada metode

numerik dengan menggunakan bahasa pemrograman Visual Basic?

C. Tujuan

Tujuan pembuatan makalah ini adalah sebagai berikut:

1. Pemahaman penerapan metode numerik dalam cara kerja matematika untuk

menyelesaikan permasalahan matematis atau perhitungan.

2. Menyelesaiakan masalah interpolasi linear dan kuadratik dengan menggunakan

bahasa pemrograman pascal.

Y

X

(x0,y0)

(xn,yn)(x1,y1)

(x2,y2)

(x3,y3)

(a,pn(a))

(xn-1,yn-1)

(a,pn(a))

x = a x = a

BAB II

PEMBAHASAN

A. Persoalan Interpolasi Polinom

Mempelajari berbagai metode interpolasi yang ada untuk menentukan titik-titik

antara dari n buah titik dengan menggunakan suatu fungsi pendekatan tertentu. Diberikan

n + 1 buah titik berbeda, (x0,y0), (x1,y1), . . . , (xn,yn). Tentukan Polinom pn(x) yang

menginterpolasi (melewati) semua titik-tik tersebut sedemikian rupa sehingga yi = pn(x)

untuk i – 0, 1, 2, . . . ,n.

Nilai yi dapat berasal dari fungsi matematika f(x) (seperti ln x, sin x, fungsi Bessel

dan sebagainya) sedemikian sehingga yi = f(x). Atau yi berasal dari nilai empiris yang

diperoleh melalui percobaan atau pengamatan.

Gambar 2.1 Interpolasi dan Ekstrapolasi

Setelah polinom interpolasi pn(x) ditemukan, pn(x) dapat digunakan untuk

menghitung perkiraan nilai y di x = a, yaitu y = pn(a). Bergantung pada letaknya, nilai

x=amungkin terletak dalam rentang titik-titik data (x0 < a < xn) atau di luar rentang titik-

titik data (a < x0 atau a>xn):

(i) Jika (x0 < a < xn) maka yk = p(a) disebut nilai interpolasi (interpoluted value)

(ii) Jika data (a < x0 atau a>xn) maka yk = p(xk) disebut nilai ekstrapolasi

(extrapolated value)

Y

X

(x0,y0)

(x1,y1)

Y

X

(x0,y0)

(x1,y1)

B. Interpolasi Linear

Interpolasi linear atau interpolasi lanjar adalah interpolasi dua buah titik dengan sebuah

garis lurus. Misal diberikan dua buah titik, (x0,y0) dan (x1,y1). Polinom yang

menginterpolasi kedua titik itu adalah persamaan garis lurus yang berbentuk:

P1(x) = a0 + a1x

Gambar 2.2 dan Gambar 2.3 memperlihatkan garis lurus yang menginterpolasi titik-titik

(x0,y0) dan (x1,y1).

Gambar 2.2 Interpolasi Linear

Gambar 2.3 Interpolasi Linear

Koefisien a0 dan a1 dicari dengan proses substitusi dan eliminasi. Dengan

mensubstitusikan (x0 , y0) dan (x1 , y1) ke dalam persamaan p1 (x )=a0+a1 x diperoleh

dua persamaan linear:

y0=a0+a1 x0 . . . . . (1)

y1=a0+a1 x1 . . . . . (2)

Dari dua persamaan diatas, dengan eliminasi diperoleh:

y0− y1=(a0+a1 x0 )−(a¿¿0+a1 x1)¿

y0− y1=a1 x0−a1 x1 ⇔ y0− y1=a1(x¿¿0−x1)¿

⇔ a1=y0− y1

x0−x1

Substitusikan nilai a1 ke dalam persamaan (1), diperoleh:

y0=a0+a1 x0 ⇔ y0=a0+(y0− y1

x0−x1

) x0

⇔ y0=a0+x0 y0−x0 y1

x0−x1

⇔ y0=a0+x0 y0−x0 y1

x0−x1

⇔ a0= y0−x0 y0−x0 y1

x0−x1

⇔a0=y0(x0−x1)−x0 y0+ x0 y1

x0−x1

⇔ a0=x0 y0−x1 y0−x0 y0+x0 y1

x0−x1

⇔ a0=x0 y1−x1 y0

x0−x1

Dengan melakukan manipulasi aljabar untuk menentukan nilai p1 (x )dapat dilakukan

sebagai berikut:

p1 (x )=a0+a1 x

Y

X

P1(x0,y0)

P2 (x1,y1)

(x,y)

p1 (x )=x1 y0−x0 y1

x1−x0

+y1 – y0

x1−x0

x

p1 (x )=x1 y0−x0 y1+xy1 – x y0

x1−x0

p1 (x )=x1 y0−x0 y1+xy1 – x y0+(x0 y0−x0 y0)

x1−x0

p1 (x )=x1 y0−x0 y 0−x0 y1+xy1 – x y0+x0 y0

x1−x0

p1 (x )= y0 ( x1−x0 )+ y1¿¿

p1 (x )= y0 ( x1−x0 )+( y¿¿1− y0)¿¿¿

p1 (x )= y0+( y¿¿1− y0)¿¿¿

Dalam menentukan persamaan dari interpolasi linear juga dapat dilakukan melalui cara

berikut:

Menentukan titik-titik antara dari 2 buah titik dengan menggunakan garis lurus.

Gambar 2.4 Interpolasi Linear

Persamaan garis lurus yang melalui 2 titik P1 (x0,y0) dan P2 (x1,y1) dapat dituliskan

dengan:

y− y0

y1− y0

=x−x0

x1−x0

Sehingga diperoleh persamaan dari interpolasi linear sebagai berikut:

y=y1− y0

x1−x0( x−x0 )+ y0

C. Algoritma dan Diagram Alir Interpolasi Linear

a. Algoritma Interpolasi Linear

1. Tentukan nilai x0 , y0 , x1 , dan y1 .

2. Periksa apakah x0=x1. Jika ya, maka kembali ke langkah 1 sebab nilai fungsinya

tidak terdefinisi dalam kondisi ini. Jika tidak, maka dilanjutkan ke langkah 3.

3. Masukkan nilai x.

4. Periksa apakah min {x0 , x1 }≤ x ≤ max {x0 , x1 }. Jika tidak, maka masukkan nilai x

yang lain. Jika ya, maka dilanjutkan langkah 5.

5. Hitung P= y0+(x−x0)y1− y0

x1−x0.

6. Periksa apakah y0= y1. Karena jika sama, maka akan diperoleh P= y0.

7. Tulis hasil y=P.

Ya

Tidak

Tidak

Ya

Ya Tidak

MULAI

Input

Input

Tulis hasilTulis hasil

SELESAI

b. Diagram alir interpolasi linear

D. Contoh Soal

1. Perkirakan atau prediksi jumlah penduduk Gunungpati pada tahun 2005 berdasarkan

data tabulasi berikut:

Tahun 2000 2010

Jumlah Penduduk 179.300 203.200

Penyelesaian:

Dipunyai: x0 = 2000, x1 = 2010, y0 = 179.300, y1 = 203.200.

Ditanya: Prediksi jumlah penduduk Gunungpati pada tahun 2005.

Ingat :

p1 (x )= y0+( y¿¿1− y0)¿¿¿

Misalkan x=2005

p1 (2005 )=179.300+(203.200−179.300)¿¿

p1 (1968 )=191.250

Jadi, diperkirakan jumlah penduduk Gunungpati pada tahun 2005 adalah 191.250

orang.

2. Dari data ln(9.0) = 2.1972, ln(9.5) = 2.2513, tentukan ln(9.2) dengan interpolasi lanjar

sampai 5 angka bena. Bandingkan hasil yang diperoleh dengan nilai sejati

ln(9.2)=2.2192.

Penyelesaian:

Dipunyai:

x0=9.0 , y0=2.1972.

x1=9.5 , y1=2.2513 .

Ditanya : tentukan nilai ln(9.2) sampai 5 angka bena kemudian dibandingkan dengan

nilai sejati ln(9.2) = 2.2192.

Ingat:

p1 (x )= y0+( y¿¿1− y0)¿¿¿

Y

X

x0,y0

x1,y1

x2,y2

x2x1x0

y0

y1

y2

p1 (9.2 )=2.1972+(2.2513−2.1972)¿¿

p1 (9.2 )=2.21884

Galat = nilai sejati ln(9.2) – nilai ln(9.2) hasil perhitungan dengan metode interpolasi

linear

Galat = 2.2192 – 2.21884 = 3,6 x 10-4 .

E. Interpolasi Kuadratik

Misal diberi tiga buah titik data, ( x0 , y0 ) , ( x1 , y1 ) , dan( x2 , y2). Polinom yang

menginterpolasi ketiga buah titik itu adalah polinom kuadrat yang berbentuk:

p2 ( x )=a0+a1 x+a2 x2

Bila digambar, kurva polinom kuadrat berbentu parabola, seperti ditunjukkan dalam

Gambar 2.4 dan Gambar 2.5

Gambar 2.5 Interpolasi kuadratik.

Masih terdapat grafik berbentuk parabola yang lain, selain yang ditunjukkan pada

Gambar 2.5, namun harus diperhatikan bahwa untuk setiap nilai x i akan diperoleh

hanya sebuah nilai y i. Sehingga tidak mungkin kondisi grafiknya seperti Gambar 2.6

di bawah ini atau semacamnya.

Y

X

x0,y0

x1,y1

x2,y2

x2x1x0

y0

y1

y2

Gambar 2.6 Bukan Interpolasi Kuadratik.

Menyelesaikan Polinom p2(x ) ditentukan dengan cara berikut:

1. Substitusikan (x i , y i) ke dalam persamaan p2 ( x )=a0+a1 x i+a2 x i2 dengan i = 0, 1,

2. Diperoleh tiga persamaan dengan tiga buah parameter yang tidak diketahui

yaitu: a0 , a1 , dan a2:

a0+a1 x0+a2 x02= y0

a0+a1 x1+a2 x12= y1

a0+a1 x2+a2 x22= y2

2. Hitung a0 , a1 , dan a2 dari sistem persamaan tersebut dengan metode eliminasi

Gauss.

Selain menggunakan metode eliminasi Gauss, menentukan a0 , a1 , dan a2 dapat

ditentukan dengan cara sebagai berikut:

a) Hitung F01=y i+1− y i

x i+1−x i

, F12=y i+2− y i+1

y i+2− y i+1

, dan F012=F12−F01

x i+2−x i

b) Hitung P= y1+( x−xi ) F01+(x−x i)(x−x i+1) F012

F. Algoritma dan Diagram Alir Interpolasi Kuadratik

a. Algoritma Interpolasi Kuadratik

Untuk interpolasi kuadratik digunakan algoritma sebagai berikut :

1. Tentukan nilai x0 , y0 , x1 , y1 , x2 , dan y2 .

2. Periksa apakah x0<x1<x2. Jika tidak, maka kembali ke langkah 1 sebab nilai

fungsinya tidak terdefinisi dalam kondisi ini. Jika tidak, maka dilanjutkan ke

langkah 3.

3. Masukkan nilai x.

4. Periksa apakah min {x0 , x1 , x2 }≤ x≤ max {x0 , x1 , x2 }. Jika tidak, maka masukkan

nilai x yang lain. Jika ya, maka dilanjutkan langkah 5.

5. Hitung F01=y1− y0

x1−x0

, F12=y2− y1

x2−x1

, dan F012=F12−F01

x2−x0

6. Hitung P= y1+( x−xi ) F01+( x−xi ) (x−x i)F012

7. Periksa apakah F012=0. Jika ya, maka persamaan yang dihasilkan linear. Jika

tidak maka persamaan yang dihasilkan merupakan persamaan kuadrat.

8. Tulis hasil y=P.

Ya

Tidak

Tidak

Ya

Ya Tidak

MULAI

Input

Input

Tulis hasilTulis hasil

Ket: Fungsi linear

SELESAI

b. Diagram Alir Interpolasi Kuadratik

G. Contoh Soal

1. Diberikan titik ln(8.0) = 2.0794, ln(9.0) = 2.1972, dan ln(9.5) = 2.2513. Tentukan

nilai ln(9.2) dengan interpolasi kuadratik.

Penyelesaian:

Dipunyai: x0=8.0 , y0=2.0794

x1=9.0 , y1=2.1972

x2=9.5 , y2=2.2513

Ditanya : Tentukan nilai ln (9.2).

Sistem persamaan yang terbentuk adalah:

a0+8.0 a1+64.00 a2=2.0794

a0+9.0 a1+81.00 a2=2.1972

a0+9.5 a1+90.25 a2=2.2513

Untuk perhitungan secara manual, sistem persamaan diselesaikan dengan metode

eliminasi Gauss dengan langkah sebagai berikut:

Matriks yang terbentuk dari persamaan

a0+8.0 a1+64.00 a2=2.0794

a0+9.0 a1+81.00 a2=2.1972

a0+9.5 a1+90.25 a2=2.2513

adalah:

(11189

9.5

6481

90.25

2.07942.19722.2513) R 21(−1)

R 31(−1)(10081

1.5

6417

26.25

2.07940.11780.1719)

R 12(−8)R 32(−1.5)(100

010

−7217

0.75

1.1370.1178

−0.0048) R 31( 10.75

)(100

010

−72171

1.1370.1178

−0.0064 )R 13(72)

R 23(−17)(100

010

001

0.67620.2266

−0.0064)

Menggunakan metode Eliminasi gauss menghasilkan

a0=0.6762 , a1=0.2266 , a2=−0.0064 .

Polinom kuadratnya adalah: p2 ( x )=a0+a1 x+a2 x2

p2 (9.2 )=0.6762+0.2266 . (9.2 )+−0.0064 .(9.2)2

p2 (9.2 )=2.2192

Untuk perhitungan dengan program, diperoleh hasil sebagai berikut.

2. Dalam suatu eksperimen fisika pergerakan sebuah benda pedat berbentuk

parabola. Dengan data sebagai berikut

t (detik) Y (m)

5 2,01

6,5 2,443

8 2,897

Dengan menggunakan interpolasi kuadratik perkirakan ketinggian bola

pada saat t = 7 detik.

Penyelesaian:

Dipunyai data pergerakan suatu benda padat:

t (detik) Y (m)

5 2,01

6,5 2,443

8 2,897

Dengan menggunakan interpolasi kuasratik akan diprediksi ketinggian bola saat t =

7 detik.

Sistem persamaan lanjar yang terbentuk adalah:

a0+5,0 a1+25,00 a2=2,01

a0+6,5 a1+42,25 a2=2,443

a0+8,0 a1+64,00 a2=2,897

Penyelesaian sistem persamaan dengan menggunakan metode eliminasi Gauss

[1 5 251 6,5 42,251 8 64

2,012,4432,897]R 2 , R1 (−1 )

R 3 , R 1 (−1 ) [1 5 250 1,5 17,250 3 39

2,010,4430,887 ]R 2( 1

1,5 )¿

[1 5 250 1 11,50 3 39

2,010,288670,887 ]R 1, R 2 (−5 )

R 3 , R 2 (−3 )[1 0 −32,50 1 11,51 0 4,5

0,566670,28867

0,021 ]R 3 ( 14,5 )

[1 0 −32,50 1 11,51 0 1

0,566670,288670,00467 ]R 1 , R 3(32,5)

R 2, R 3(11,5)[1 0 00 1 01 0 1

0,717330,235

0,00467 ]Diperoleh : a0=0,71733 , a1=0,235 , a2=0,00467

Sehingga Polinom Kuadratnya adalah:

p2 ( x )=0,71733+0,235 x+0,00467 x2

Sehingga p2 (7 ) = 2,588

Jadi,diprediksi, pada t = 7 detik tinggi bola 2,588 m.