Interpolasi Newton

PRAKATA

Interpolasi polinomial adalah pencarian data titik-titik

dalam suatu koordinat kartesius jika diberikan sekumpulan berhingga

pasangan titik-titik (𝑥1, 𝑦1), (𝑥2, 𝑦2), … , (𝑥𝑛, 𝑦𝑛) tanpa

diketahui bentuk aturan fungsinya. Di dunia nyata, interpolasi dapat

digunakan untuk memperkirakan suatu fungsi, yang mana fungsi

tersebut tidak terdefinisi dengan suatu formula, tetapi didefinisikan

hanya dengan data-data atau tabel, misalnya tabel dari hasil

percobaan.

ii

Ada berbagai macam interpolasi polinomial berdasarkan

fungsinya, diantaranya adalah interpolasi linier, interpolasi kuadrat,

interpolasi newton dan interpolasi lagrange.

Pada buku ini dikemukakan mengenai interpolasi

polinomial newton dimana interpolasi polinomial newton ini

merupakan kelanjutan dari interpolasi polinomial linier dan

interpolasi polinomial kuadratik.

Buku ini disusun dan dikemas secara sistematis guna

memudahkan mahasiswa dalam penguasaan materi interpolasi

iii

polinomial Newton pada Mata Kuliah Metode Numerik. Dilengkapi

dengan Contoh soal , Latihan soal dan Pengerjaan menggunakan

program Turbo Pascal.

Penulis menyadari bahwa di dalam buku ini masih jauh

dari sempurna. Oleh karena itu, penulis mengharapkan adanya kritik

dan saran dari semua pihak untuk lebih menyempurnakan isi buku

ini. Namun penulis berharap semoga buku ini tetap dapat bermanfaat

bagi mahasiswa khususnya peminat metode numerik pada umumnya.

Penulis,

iv

DAFTAR ISI

PRAKATA

DAFTAR ISI

BAGIAN 1. INTERPOLASI POLINOMIAL NEWTON

BAGIAN 2. CONTOH SOAL

BAGIAN.3 RINGKASAN

BAGIAN. 4 LATIHAN SOAL

DAFTAR PUSTAKA

1

Secara umum, 𝑛 + 1 titik data, misalnya

(𝑥0, 𝑦0), (𝑥1, 𝑥1), … , (𝑥2, 𝑦2), dapat dicocokkan dengan

suatu polinomial berderajat 𝑛 yang mempunyai bentuk

𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1(𝑥 − 𝑥0) + 𝑎2(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1) + ⋯

+𝑎𝑛(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1) … (𝑥 − 𝑥𝑛−1).

Persamaan-persamaan yang digunakan untuk menghitung koefisien-

koefisien yaitu

interpolasi polinomial newton 3

Nilai fungsi berkurung siku dinamakan beda terbagi hingga dan

didefinisikan sebagai

Persamaan-persamaan di atas adalah rekursif, yaitu beda orde lebih

tinggi dihitung dengan mengambil beda dari orde lebih rendah.


Sebagai contoh, penghitungan koefisien-koefisien dalam polinomial

berderajat tiga dapat diperoleh secara berturut-turut mulai dari baris

kedua dalam tabel 1.1

Tabel 1.1: beda terbagi hingga untuk orde 3

𝑖 𝑥𝑖 𝑦𝑖

= 𝑓(𝑥𝑖) pertama kedua ketiga

0 𝑥0 𝑦(𝑥0) 𝑦[𝑥1, 𝑥0] 𝑦[𝑥2, 𝑥1, 𝑥0] 𝑦[𝑥3, 𝑥2, 𝑥1, 𝑥0]

1 𝑥1 𝑦(𝑥1) 𝑦[𝑥2, 𝑥1] 𝑦[𝑥3, 𝑥2, 𝑥1]

2 𝑥2 𝑦(𝑥2) 𝑦[𝑥3, 𝑥2]

3 𝑥3 𝑦(𝑥3)


Pada tabel di atas dilanjutkan sampai ke-n maka sehingga interpolasi

Newton menjadi


1. Hitung Taksiran 𝑦 = ln(𝑥) untuk 𝑥 = 2 dengan

menggunakan interpolasi kuadratik untuk data:

(1,0), (4,1.386294), (5,1.609438) dan

(6,1.791759)!

Penyelesaian :

Dik:

𝑥0 = 1, 𝑦0 = 0;

𝑥1 = 4, 𝑦1 = 1.386294 ;

𝑥2 = 6, 𝑦2 = 1.791759 ;

𝑥3 = 5, 𝑦3 = 1.609438 ;

𝑦[𝑥1, 𝑥0] =𝑦1−𝑦0

𝑥1−𝑥0=

1.386294−0

4−0


= 0.4620981

𝑦[𝑥2, 𝑥1] =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1=

1.791759−1.386294

6−4

= 0.2027326

𝑦[𝑥3, 𝑥2] =𝑦3−𝑦2

𝑥3−𝑥2=

1.609438−1.791759

5−6

= 0.1823216

Dilanjutkan pada beda terbagi kedua

𝑦[𝑥2, 𝑥1, 𝑥0] =𝑦[𝑥2,𝑥1]−𝑦[𝑥1,𝑥0]

𝑥2−𝑥0

=0.2027326 − 0.4620981

4 − 0

= −0.05187311


𝑦[𝑥3, 𝑥2, 𝑥1] =𝑦[𝑥3,𝑥2]−𝑦[𝑥2,𝑥1]

𝑥3−𝑥1

=0.1823216 − 0.2027326

5 − 4

= −0.02041100

Dilanjutkan pada beda terbagi ketiga

𝑦[𝑥3, 𝑥2, 𝑥1,𝑥0] =𝑦[𝑥3,𝑥2,𝑥1]−𝑦[𝑥2,𝑥1,𝑥0]

𝑥3−𝑥0

=−0.02041100 − (−0.05187311)

5 − 1

= 0.007865529


Sehingga diperoleh polinomial dengan interpolasi Newton yaitu:

𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1(𝑥 − 𝑥0) + 𝑎2(𝑥 − 𝑥0) +

𝑎2(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)+ 𝑎3(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)

= 0 + 0.4620981(𝑥 − 1) − 0.05187311(𝑥 − 1)(𝑥 − 4)

+0.007865529(𝑥 − 1)(𝑥 − 4)(𝑥 − 6)

Dengan mengambil 𝑥 = 2, diperoleh 𝑓(2) = 0.628767


Dengan menggunakan tabel diperoleh

n Xn F(xn) Pertama Kedua ketiga

0 1 0 0.462098 -0.0518731 0.0078654

1 4 1.386294 0.2027325 -0.0204115 −

2 6 1.791759 0.182321 − −

3 5 1.609438 − − −

Tabel 2.1 tabel beda terbagi hingga contoh soal 1


Sehingga di peroleh polinomial dengan interpolasi Newton diperoleh

𝑓(𝑥) = 0 + 0.4620981(𝑥 − 1) − 0.05187311(𝑥 − 1)(𝑥 − 4)

+0.007865529(𝑥 − 1)(𝑥 − 4)(𝑥 − 6)

𝑓(𝑥) = −0.85836 + 0.9888871𝑥 − 0.1383925𝑥2

+0.0078654𝑥3

Dengan mengambil 𝑥 = 2, diperoleh 𝑓(2) = 0.6287674


2. Konstruksikan fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 dari titik-titik

𝑥0 = 0.2, 𝑥1 = 0.3, 𝑥2 = 0.4 dengan menggunakan

interpolasi polinomial newton, lalu hitung 𝑓(3)!

Penyelesaian: di susun tabel beda terbagi hingga


n Xn F(xn) Pertama Kedua ketiga

0 0,2 0,999993 -0,000076 -0,000155 0,000017

1 0,3 0,999986 -0,000107 -0,00015 −

2 0,4 0,999976 -0,000137 − −

3 0,5 0,999962 − − −

Tabel 2.2 tabel beda terbagi hingga contoh soal 2


Diperoleh polinomial Newton orde ketiga:

𝑦 = 0.999993 − 0.000076(𝑥 − 0,2)

− 0.000155(𝑥 − 0.2)(𝑥 − 0.3)

− 0.000017(𝑥 − 0.2)(𝑥

− 0.3)(𝑥 − 0.4)

karena itu, nilai 𝑦 untuk 𝑥 = 3 yaitu

𝑦 = 0.999993 − 0.000076(3 − 0,2)

−0.000155(3 − 0.2)(3 − 0.3)

−0.000017(3 − 0.2)(3 − 0.3)(3 − 0.4)

= 0.998942


Dengan menggunakan Program Pascal

Uses crt;

Var x,x0,x1,x3,y,y0,y1,y2,y3,a0,a1,a2,a3,b2,b1,b21,b12,b11: real

Begin

Clrscr;

Writeln;

Write (‘ masukkan nilai x0 = ‘);readln(x0);





Write (‘ masukkan nilai y0 = ‘);readln(y0);




Writeln;

Write(‘masukkan taksiran x = ‘);readln(x);


a0 :=y0;

a1 :=(y1-y0)/(x1-x0);

a2 :=(((y2-y1)/(x2-x1))-((y1-y0)/(x1-xo)))/(x2-x0);

b1 :=(y1-y0)/(x1-x0);

b11 := ((y2-y1)/(x2-x1));

b2 :=(b11-b1)/(x2-x0));

b12 :=((y3-y2)/(x3-x2));

b21 :=((b12-b11)/(x3-x1));


a3 :=((b21-b2)/(x3-x0));

y :=a0+a1*(x-x0)+a2*((x-x0)*(x-x1))+a*3((x-x0)*(x-x1)*(x-

x2));

writeln;

write (‘hasil taksiran y adalah : ‘,y:0:6);

readln;

end.


Gambar 2.1 formula turbo interpolasi polinomial newton


Gambar 2.2 formula turbo interpolasi polinomial newton


Gambar 2.3 Contoh soal no.1 menggunakan program turbo pascal


Gambar 2.4 Contoh soal no.2 menggunakan program turbo pascal


Bagian 3. Ringkasan

Secara umum, 𝑛 + 1 titik data, misalnya

(𝑥0, 𝑦0), (𝑥1, 𝑥1), … , (𝑥2, 𝑦2), dapat dicocokkan deengan

suatu polinomial berderajat 𝑛 yang mempunyai bentuk

𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1(𝑥 − 𝑥0) + 𝑎2(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1) + ⋯

+𝑎𝑛(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1) … (𝑥 − 𝑥𝑛−1).


Persamaan-persamaan yang digunakan untuk menghitung koefisien-

koefisien yaitu


1. Titik data 𝑥0 = 1, 𝑥1 = 4 dan 𝑥2 = 6 digunakan untuk

memperkirakan 𝑙𝑛 2 dengan fungsi parabola. Sekarang dengan

menambah titik ke empat yaitu 𝑥3 = 5 dengan nilai 𝑓(𝑥3 =

5) = 1.6094379, hitung 𝑙𝑛 2 dengan interpolasi

polinomial orde tiga.

2. Kontruksikan fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 dari titik-titik titik

𝑥₀ = 1,5 , 𝑥1 = 2, 𝑥₂ = 2,5 menggunakan interpolasi

newton?

3. Diberikan data.

Year 1891 1901 1911 1921 1931

population 46 66 81 93 101

Populasi di tahun 1895?


4. Di berikan runtun sebagai berikut:

𝑥 2.00 4.00 5.00 8.00

𝑦= 𝑓(𝑥)

0.50 0.25 0.2 0.125

5. Find 𝑓(2) 𝑎𝑛𝑑 𝑓(4)

𝑥 0 1 2 3

𝑦= 𝑓(𝑥)

1 2 1 10


DAFTAR PUSTAKA

Triadtmojo, bambang. 2003. Metode numerik dilengkapi dengan

program komputer. Yogyakarta: Bettaofset

https://aimprof08.wordpress.com/2012/09/13/interpolasi-

newton/

http://www.slideshare.net/mobile/yuniechan/interpolasi-

lagrange-dan-newton

https://aimprof08.wordpress.com/2012/09/13/interpolasi-newton/

https://aimprof08.wordpress.com/2012/09/13/interpolasi-newton/

http://www.slideshare.net/mobile/yuniechan/interpolasi-lagrange-dan-newton

http://www.slideshare.net/mobile/yuniechan/interpolasi-lagrange-dan-newton

34

Biografi Penulis

Ratih Vihafsari, Gadis ceriaholic ini dilahirkan di

kota Semarang, Jawa Tengah. Pada hari ke-23 di bulan Agustus

tahun 1995. Dulunya kalem, kemarin polos, percayalah semua

berubah setelah negara api padam. Akrab di sapa teteh,

panggilan yang berakar dari SD Negeri 001 – SMP Negeri 4-

35

SMA Negeri 1 Tarakan – Sekarang . Motto hidup : do or die , cause YOLO !

36

Mailani, lahir pada tanggal 23 Mei 1992, tepatnya di

Lidung Kemenci, Indonesia. Wanita yang kelak akan

jadi guru ini telah menyelesaikan jenjang

pendidikan sekolah di SMP 001 Mentarang dan

SMAN 1 Malinau kota.Hingga kini masih aktif

menjalani pendidikan di perguruan tinggi negeri Universitas Borneo Tarakan

jurusan pendidikan Matematika.

37

Siti Fauziah (24 Agustus 1992) lahir di Tarakan, Kalimantan Timur,

Indonesia. Dilahirkan dari perpaduan seorang ibu yang sangat

menghargai kejujuran dan seorang ayah yang tak kenal batas dalam

hal kesabaran.

Gadis pemuja jus avokad dan penyuka hujan ini selalu bermimpi memiliki rumah

unik dengan taman luas lengkap dengan rumah dan taman khusus untuk kucing-

38

kucing yang akan jadi peliharaannya. Cintanya pada hujan juga menumbuhkan

harapan besar pada dirinya untuk memiliki rumah impian di bawah langit kota

hujan (Bogor).

39

Merry, wanita yang selalu disapa princess laut oleh

sahabat-sahabatnya ini lahir di Berau pada tanggal 20

Mei 1994. Suku Bajau dengan berpegang teguh pada

agama Islam. Merry dengan hoby voly, yoga,

badminton, dan renang memiliki prinsip bahwa

“sehat itu anggun”. Telah menyelesaikan sekolah

dasar di SD 06 Tanjung Batu Kecamatan Pulau Derawan, sekolah menengah di SMPN

3 Pulau Derawan dan SMKN 3 Kabupaten Berau.

40

Anugrah, kerap disapa Nugrah, lahir di Tarakan,

Kalimantan-Indonesia pada 19 Desember 1994. Hobi

futsal, dan sangat menikmati hobi tersebut saat bermain

bersama teman-teman. Menurut Nugrah hidup mewah itu

adalah kesederhanaan, karena sederhanya makanan

favoritnya yaaahhhh makanan yang biasa dimakan aja.

Punya cita-cita yang sama seperti anak-anak lain, tapi

tetap mulia, yaitu ingin membahagiakan kedua orang tua.

41

Dullah, Lahir di Bulungan pada tanggal 21 di bulan

Maret di tahun 1993. Lelaki beragama islam ini merupakan

mahasiswa aktif di perguruan tinggi negeri Universitas

Borneo Tarakan, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan di jurusan

Pendidikan Matematika.

Interpolasi Newton

Education

Transcript of Interpolasi Newton