Interpolasi Newton

of 47 /47

Transcript of Interpolasi Newton

Page 1: Interpolasi  Newton
Page 2: Interpolasi  Newton

PRAKATA

Interpolasi polinomial adalah pencarian data titik-titik

dalam suatu koordinat kartesius jika diberikan sekumpulan berhingga

pasangan titik-titik (π‘₯1, 𝑦1), (π‘₯2, 𝑦2), … , (π‘₯𝑛, 𝑦𝑛) tanpa

diketahui bentuk aturan fungsinya. Di dunia nyata, interpolasi dapat

digunakan untuk memperkirakan suatu fungsi, yang mana fungsi

tersebut tidak terdefinisi dengan suatu formula, tetapi didefinisikan

hanya dengan data-data atau tabel, misalnya tabel dari hasil

percobaan.

Page 3: Interpolasi  Newton

ii

Ada berbagai macam interpolasi polinomial berdasarkan

fungsinya, diantaranya adalah interpolasi linier, interpolasi kuadrat,

interpolasi newton dan interpolasi lagrange.

Pada buku ini dikemukakan mengenai interpolasi

polinomial newton dimana interpolasi polinomial newton ini

merupakan kelanjutan dari interpolasi polinomial linier dan

interpolasi polinomial kuadratik.

Buku ini disusun dan dikemas secara sistematis guna

memudahkan mahasiswa dalam penguasaan materi interpolasi

Page 4: Interpolasi  Newton

iii

polinomial Newton pada Mata Kuliah Metode Numerik. Dilengkapi

dengan Contoh soal , Latihan soal dan Pengerjaan menggunakan

program Turbo Pascal.

Penulis menyadari bahwa di dalam buku ini masih jauh

dari sempurna. Oleh karena itu, penulis mengharapkan adanya kritik

dan saran dari semua pihak untuk lebih menyempurnakan isi buku

ini. Namun penulis berharap semoga buku ini tetap dapat bermanfaat

bagi mahasiswa khususnya peminat metode numerik pada umumnya.

Penulis,

Page 5: Interpolasi  Newton

iv

DAFTAR ISI

PRAKATA

DAFTAR ISI

BAGIAN 1. INTERPOLASI POLINOMIAL NEWTON

BAGIAN 2. CONTOH SOAL

BAGIAN.3 RINGKASAN

BAGIAN. 4 LATIHAN SOAL

DAFTAR PUSTAKA

Page 6: Interpolasi  Newton
Page 7: Interpolasi  Newton

1

Secara umum, 𝑛 + 1 titik data, misalnya

(π‘₯0, 𝑦0), (π‘₯1, π‘₯1), … , (π‘₯2, 𝑦2), dapat dicocokkan dengan

suatu polinomial berderajat 𝑛 yang mempunyai bentuk

𝑦 = 𝑓(π‘₯) = π‘Ž0 + π‘Ž1(π‘₯ βˆ’ π‘₯0) + π‘Ž2(π‘₯ βˆ’ π‘₯0)(π‘₯ βˆ’ π‘₯1) + β‹―

+π‘Žπ‘›(π‘₯ βˆ’ π‘₯0)(π‘₯ βˆ’ π‘₯1) … (π‘₯ βˆ’ π‘₯π‘›βˆ’1).

Persamaan-persamaan yang digunakan untuk menghitung koefisien-

koefisien yaitu

Page 8: Interpolasi  Newton

interpolasi polinomial newton 3

Nilai fungsi berkurung siku dinamakan beda terbagi hingga dan

didefinisikan sebagai

Persamaan-persamaan di atas adalah rekursif, yaitu beda orde lebih

tinggi dihitung dengan mengambil beda dari orde lebih rendah.

Page 9: Interpolasi  Newton

interpolasi polinomial newton 4

Sebagai contoh, penghitungan koefisien-koefisien dalam polinomial

berderajat tiga dapat diperoleh secara berturut-turut mulai dari baris

kedua dalam tabel 1.1

Tabel 1.1: beda terbagi hingga untuk orde 3

𝑖 π‘₯𝑖 𝑦𝑖

= 𝑓(π‘₯𝑖) pertama kedua ketiga

0 π‘₯0 𝑦(π‘₯0) 𝑦[π‘₯1, π‘₯0] 𝑦[π‘₯2, π‘₯1, π‘₯0] 𝑦[π‘₯3, π‘₯2, π‘₯1, π‘₯0]

1 π‘₯1 𝑦(π‘₯1) 𝑦[π‘₯2, π‘₯1] 𝑦[π‘₯3, π‘₯2, π‘₯1]

2 π‘₯2 𝑦(π‘₯2) 𝑦[π‘₯3, π‘₯2]

3 π‘₯3 𝑦(π‘₯3)

Page 10: Interpolasi  Newton

interpolasi polinomial newton 5

Pada tabel di atas dilanjutkan sampai ke-n maka sehingga interpolasi

Newton menjadi

Page 11: Interpolasi  Newton
Page 12: Interpolasi  Newton

interpolasi polinomial newton 7

1. Hitung Taksiran 𝑦 = ln(π‘₯) untuk π‘₯ = 2 dengan

menggunakan interpolasi kuadratik untuk data:

(1,0), (4,1.386294), (5,1.609438) dan

(6,1.791759)!

Penyelesaian :

Dik:

π‘₯0 = 1, 𝑦0 = 0;

π‘₯1 = 4, 𝑦1 = 1.386294 ;

π‘₯2 = 6, 𝑦2 = 1.791759 ;

π‘₯3 = 5, 𝑦3 = 1.609438 ;

𝑦[π‘₯1, π‘₯0] =𝑦1βˆ’π‘¦0

π‘₯1βˆ’π‘₯0=

1.386294βˆ’0

4βˆ’0

Page 13: Interpolasi  Newton

interpolasi polinomial newton 8

= 0.4620981

𝑦[π‘₯2, π‘₯1] =𝑦2βˆ’π‘¦1

π‘₯2βˆ’π‘₯1=

1.791759βˆ’1.386294

6βˆ’4

= 0.2027326

𝑦[π‘₯3, π‘₯2] =𝑦3βˆ’π‘¦2

π‘₯3βˆ’π‘₯2=

1.609438βˆ’1.791759

5βˆ’6

= 0.1823216

Dilanjutkan pada beda terbagi kedua

𝑦[π‘₯2, π‘₯1, π‘₯0] =𝑦[π‘₯2,π‘₯1]βˆ’π‘¦[π‘₯1,π‘₯0]

π‘₯2βˆ’π‘₯0

=0.2027326 βˆ’ 0.4620981

4 βˆ’ 0

= βˆ’0.05187311

Page 14: Interpolasi  Newton

interpolasi polinomial newton 9

𝑦[π‘₯3, π‘₯2, π‘₯1] =𝑦[π‘₯3,π‘₯2]βˆ’π‘¦[π‘₯2,π‘₯1]

π‘₯3βˆ’π‘₯1

=0.1823216 βˆ’ 0.2027326

5 βˆ’ 4

= βˆ’0.02041100

Dilanjutkan pada beda terbagi ketiga

𝑦[π‘₯3, π‘₯2, π‘₯1,π‘₯0] =𝑦[π‘₯3,π‘₯2,π‘₯1]βˆ’π‘¦[π‘₯2,π‘₯1,π‘₯0]

π‘₯3βˆ’π‘₯0

=βˆ’0.02041100 βˆ’ (βˆ’0.05187311)

5 βˆ’ 1

= 0.007865529

Page 15: Interpolasi  Newton

interpolasi polinomial newton 10

Sehingga diperoleh polinomial dengan interpolasi Newton yaitu:

𝑓(π‘₯) = π‘Ž0 + π‘Ž1(π‘₯ βˆ’ π‘₯0) + π‘Ž2(π‘₯ βˆ’ π‘₯0) +

π‘Ž2(π‘₯ βˆ’ π‘₯0)(π‘₯ βˆ’ π‘₯1)+ π‘Ž3(π‘₯ βˆ’ π‘₯0)(π‘₯ βˆ’ π‘₯1)(π‘₯ βˆ’ π‘₯2)

= 0 + 0.4620981(π‘₯ βˆ’ 1) βˆ’ 0.05187311(π‘₯ βˆ’ 1)(π‘₯ βˆ’ 4)

+0.007865529(π‘₯ βˆ’ 1)(π‘₯ βˆ’ 4)(π‘₯ βˆ’ 6)

Dengan mengambil π‘₯ = 2, diperoleh 𝑓(2) = 0.628767

Page 16: Interpolasi  Newton

interpolasi polinomial newton 11

Dengan menggunakan tabel diperoleh

n Xn F(xn) Pertama Kedua ketiga

0 1 0 0.462098 -0.0518731 0.0078654

1 4 1.386294 0.2027325 -0.0204115 βˆ’

2 6 1.791759 0.182321 βˆ’ βˆ’

3 5 1.609438 βˆ’ βˆ’ βˆ’

Tabel 2.1 tabel beda terbagi hingga contoh soal 1

Page 17: Interpolasi  Newton

interpolasi polinomial newton 12

Sehingga di peroleh polinomial dengan interpolasi Newton diperoleh

𝑓(π‘₯) = 0 + 0.4620981(π‘₯ βˆ’ 1) βˆ’ 0.05187311(π‘₯ βˆ’ 1)(π‘₯ βˆ’ 4)

+0.007865529(π‘₯ βˆ’ 1)(π‘₯ βˆ’ 4)(π‘₯ βˆ’ 6)

𝑓(π‘₯) = βˆ’0.85836 + 0.9888871π‘₯ βˆ’ 0.1383925π‘₯2

+0.0078654π‘₯3

Dengan mengambil π‘₯ = 2, diperoleh 𝑓(2) = 0.6287674

Page 18: Interpolasi  Newton

interpolasi polinomial newton 13

2. Konstruksikan fungsi 𝑓(π‘₯) = π‘π‘œπ‘  π‘₯ dari titik-titik

π‘₯0 = 0.2, π‘₯1 = 0.3, π‘₯2 = 0.4 dengan menggunakan

interpolasi polinomial newton, lalu hitung 𝑓(3)!

Penyelesaian: di susun tabel beda terbagi hingga

Page 19: Interpolasi  Newton

interpolasi polinomial newton 14

n Xn F(xn) Pertama Kedua ketiga

0 0,2 0,999993 -0,000076 -0,000155 0,000017

1 0,3 0,999986 -0,000107 -0,00015 βˆ’

2 0,4 0,999976 -0,000137 βˆ’ βˆ’

3 0,5 0,999962 βˆ’ βˆ’ βˆ’

Tabel 2.2 tabel beda terbagi hingga contoh soal 2

Page 20: Interpolasi  Newton

interpolasi polinomial newton 15

Diperoleh polinomial Newton orde ketiga:

𝑦 = 0.999993 βˆ’ 0.000076(π‘₯ βˆ’ 0,2)

βˆ’ 0.000155(π‘₯ βˆ’ 0.2)(π‘₯ βˆ’ 0.3)

βˆ’ 0.000017(π‘₯ βˆ’ 0.2)(π‘₯

βˆ’ 0.3)(π‘₯ βˆ’ 0.4)

karena itu, nilai 𝑦 untuk π‘₯ = 3 yaitu

𝑦 = 0.999993 βˆ’ 0.000076(3 βˆ’ 0,2)

βˆ’0.000155(3 βˆ’ 0.2)(3 βˆ’ 0.3)

βˆ’0.000017(3 βˆ’ 0.2)(3 βˆ’ 0.3)(3 βˆ’ 0.4)

= 0.998942

Page 21: Interpolasi  Newton

interpolasi polinomial newton 16

Dengan menggunakan Program Pascal

Uses crt;

Var x,x0,x1,x3,y,y0,y1,y2,y3,a0,a1,a2,a3,b2,b1,b21,b12,b11: real

Begin

Clrscr;

Writeln;

Write (β€˜ masukkan nilai x0 = β€˜);readln(x0);

Write (β€˜ masukkan nilai x1 = β€˜);readln(x1);

Page 22: Interpolasi  Newton

interpolasi polinomial newton 17

Write (β€˜ masukkan nilai x2 = β€˜);readln(x2);

Write (β€˜ masukkan nilai x3 = β€˜);readln(x3);

Write (β€˜ masukkan nilai y0 = β€˜);readln(y0);

Write (β€˜ masukkan nilai y1 = β€˜);readln(y1);

Write (β€˜ masukkan nilai y2 = β€˜);readln(y2);

Write (β€˜ masukkan nilai y3 = β€˜);readln(y3);

Writeln;

Write(β€˜masukkan taksiran x = β€˜);readln(x);

Page 23: Interpolasi  Newton

interpolasi polinomial newton 18

a0 :=y0;

a1 :=(y1-y0)/(x1-x0);

a2 :=(((y2-y1)/(x2-x1))-((y1-y0)/(x1-xo)))/(x2-x0);

b1 :=(y1-y0)/(x1-x0);

b11 := ((y2-y1)/(x2-x1));

b2 :=(b11-b1)/(x2-x0));

b12 :=((y3-y2)/(x3-x2));

b21 :=((b12-b11)/(x3-x1));

Page 24: Interpolasi  Newton

interpolasi polinomial newton 19

a3 :=((b21-b2)/(x3-x0));

y :=a0+a1*(x-x0)+a2*((x-x0)*(x-x1))+a*3((x-x0)*(x-x1)*(x-

x2));

writeln;

write (β€˜hasil taksiran y adalah : β€˜,y:0:6);

readln;

end.

Page 25: Interpolasi  Newton

interpolasi polinomial newton 20

Gambar 2.1 formula turbo interpolasi polinomial newton

Page 26: Interpolasi  Newton

interpolasi polinomial newton 21

Gambar 2.2 formula turbo interpolasi polinomial newton

Page 27: Interpolasi  Newton

interpolasi polinomial newton 22

Page 28: Interpolasi  Newton

interpolasi polinomial newton 23

Gambar 2.3 Contoh soal no.1 menggunakan program turbo pascal

Page 29: Interpolasi  Newton

interpolasi polinomial newton 24

Page 30: Interpolasi  Newton

interpolasi polinomial newton 25

Gambar 2.4 Contoh soal no.2 menggunakan program turbo pascal

Page 31: Interpolasi  Newton
Page 32: Interpolasi  Newton

interpolasi polinomial newton 27

Bagian 3. Ringkasan

Secara umum, 𝑛 + 1 titik data, misalnya

(π‘₯0, 𝑦0), (π‘₯1, π‘₯1), … , (π‘₯2, 𝑦2), dapat dicocokkan deengan

suatu polinomial berderajat 𝑛 yang mempunyai bentuk

𝑦 = 𝑓(π‘₯) = π‘Ž0 + π‘Ž1(π‘₯ βˆ’ π‘₯0) + π‘Ž2(π‘₯ βˆ’ π‘₯0)(π‘₯ βˆ’ π‘₯1) + β‹―

+π‘Žπ‘›(π‘₯ βˆ’ π‘₯0)(π‘₯ βˆ’ π‘₯1) … (π‘₯ βˆ’ π‘₯π‘›βˆ’1).

Page 33: Interpolasi  Newton

interpolasi polinomial newton 28

Persamaan-persamaan yang digunakan untuk menghitung koefisien-

koefisien yaitu

Page 34: Interpolasi  Newton
Page 35: Interpolasi  Newton

interpolasi polinomial newton 30

1. Titik data π‘₯0 = 1, π‘₯1 = 4 dan π‘₯2 = 6 digunakan untuk

memperkirakan 𝑙𝑛 2 dengan fungsi parabola. Sekarang dengan

menambah titik ke empat yaitu π‘₯3 = 5 dengan nilai 𝑓(π‘₯3 =

5) = 1.6094379, hitung 𝑙𝑛 2 dengan interpolasi

polinomial orde tiga.

2. Kontruksikan fungsi 𝑓(π‘₯) = π‘π‘œπ‘  π‘₯ dari titik-titik titik

π‘₯β‚€ = 1,5 , π‘₯1 = 2, π‘₯β‚‚ = 2,5 menggunakan interpolasi

newton?

3. Diberikan data.

Year 1891 1901 1911 1921 1931

population 46 66 81 93 101

Populasi di tahun 1895?

Page 36: Interpolasi  Newton

interpolasi polinomial newton 31

4. Di berikan runtun sebagai berikut:

π‘₯ 2.00 4.00 5.00 8.00

𝑦= 𝑓(π‘₯)

0.50 0.25 0.2 0.125

5. Find 𝑓(2) π‘Žπ‘›π‘‘ 𝑓(4)

π‘₯ 0 1 2 3

𝑦= 𝑓(π‘₯)

1 2 1 10

Page 37: Interpolasi  Newton

interpolasi polinomial newton 32

Page 38: Interpolasi  Newton

interpolasi polinomial newton 33

DAFTAR PUSTAKA

Triadtmojo, bambang. 2003. Metode numerik dilengkapi dengan

program komputer. Yogyakarta: Bettaofset

https://aimprof08.wordpress.com/2012/09/13/interpolasi-

newton/

http://www.slideshare.net/mobile/yuniechan/interpolasi-

lagrange-dan-newton

Page 39: Interpolasi  Newton

34

Biografi Penulis

Ratih Vihafsari, Gadis ceriaholic ini dilahirkan di

kota Semarang, Jawa Tengah. Pada hari ke-23 di bulan Agustus

tahun 1995. Dulunya kalem, kemarin polos, percayalah semua

berubah setelah negara api padam. Akrab di sapa teteh,

panggilan yang berakar dari SD Negeri 001 – SMP Negeri 4-

Page 40: Interpolasi  Newton

35

SMA Negeri 1 Tarakan – Sekarang . Motto hidup : do or die , cause YOLO !

Page 41: Interpolasi  Newton

36

Mailani, lahir pada tanggal 23 Mei 1992, tepatnya di

Lidung Kemenci, Indonesia. Wanita yang kelak akan

jadi guru ini telah menyelesaikan jenjang

pendidikan sekolah di SMP 001 Mentarang dan

SMAN 1 Malinau kota.Hingga kini masih aktif

menjalani pendidikan di perguruan tinggi negeri Universitas Borneo Tarakan

jurusan pendidikan Matematika.

Page 42: Interpolasi  Newton

37

Siti Fauziah (24 Agustus 1992) lahir di Tarakan, Kalimantan Timur,

Indonesia. Dilahirkan dari perpaduan seorang ibu yang sangat

menghargai kejujuran dan seorang ayah yang tak kenal batas dalam

hal kesabaran.

Gadis pemuja jus avokad dan penyuka hujan ini selalu bermimpi memiliki rumah

unik dengan taman luas lengkap dengan rumah dan taman khusus untuk kucing-

Page 43: Interpolasi  Newton

38

kucing yang akan jadi peliharaannya. Cintanya pada hujan juga menumbuhkan

harapan besar pada dirinya untuk memiliki rumah impian di bawah langit kota

hujan (Bogor).

Page 44: Interpolasi  Newton

39

Merry, wanita yang selalu disapa princess laut oleh

sahabat-sahabatnya ini lahir di Berau pada tanggal 20

Mei 1994. Suku Bajau dengan berpegang teguh pada

agama Islam. Merry dengan hoby voly, yoga,

badminton, dan renang memiliki prinsip bahwa

β€œsehat itu anggun”. Telah menyelesaikan sekolah

dasar di SD 06 Tanjung Batu Kecamatan Pulau Derawan, sekolah menengah di SMPN

3 Pulau Derawan dan SMKN 3 Kabupaten Berau.

Page 45: Interpolasi  Newton

40

Anugrah, kerap disapa Nugrah, lahir di Tarakan,

Kalimantan-Indonesia pada 19 Desember 1994. Hobi

futsal, dan sangat menikmati hobi tersebut saat bermain

bersama teman-teman. Menurut Nugrah hidup mewah itu

adalah kesederhanaan, karena sederhanya makanan

favoritnya yaaahhhh makanan yang biasa dimakan aja.

Punya cita-cita yang sama seperti anak-anak lain, tapi

tetap mulia, yaitu ingin membahagiakan kedua orang tua.

Page 46: Interpolasi  Newton

41

Dullah, Lahir di Bulungan pada tanggal 21 di bulan

Maret di tahun 1993. Lelaki beragama islam ini merupakan

mahasiswa aktif di perguruan tinggi negeri Universitas

Borneo Tarakan, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan di jurusan

Pendidikan Matematika.

Page 47: Interpolasi  Newton

42