Bab 3 Interpolasi

22
Catatan Kuliah Metode Numerik BAB 3 Interpolasi 1. Beda Hingga 2. Interpolasi Linear dan Kuadrat 2. Interpolasi Linear dan Kuadrat 3. Interpolasi Beda-Maju dan Beda-Mundur Newton 4. Polinom Interpolasi Beda Terbagi Newton 5. Polinom Interpolasi Lagrange 1

description

Just wanna share what i have found on internet

Transcript of Bab 3 Interpolasi

Page 1: Bab 3 Interpolasi

Catatan Kuliah Metode Numerik

BAB 3

Interpolasi

1. Beda Hingga

2. Interpolasi Linear dan Kuadrat2. Interpolasi Linear dan Kuadrat

3. Interpolasi Beda-Maju dan Beda-Mundur

Newton

4. Polinom Interpolasi Beda Terbagi Newton

5. Polinom Interpolasi Lagrange

1

Page 2: Bab 3 Interpolasi

Catatan Kuliah Metode Numerik

1. Beda Hingga

Misalkan diberikan suatu tabel nilai-nilai numeris fj = f(xj) dari suatu fungsi f pada titik-titik yang berjarak sama,

x0, x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h, x3 = x0 + 3h, …

dengan h > 0 tetap.

Fungsi f(xi) bisa berupa hasil suatu rumus atau nilai yang diperoleh secaraempiris dari percobaan.

Beda-beda pertama dari fungsi f diperoleh dengan mengurangkan tiapBeda-beda pertama dari fungsi f diperoleh dengan mengurangkan tiapnilai fungsi f(x) untuk x berikutnya yang lebih besar dalam tabel.

Beda-beda kedua dari fungsi f diperoleh dengan mengurangkan tiap nilaibeda pertama dari fungsi f(x) untuk x berikutnya yang lebih besar dalamtabel.

Seterusnya sehingga dalam tabel beda, setiap beda dimasukan ke dalamkolom yang sesuai, ditengah-tengah antara elemen-elemen kolomsebelumnya dari mana beda itu dibangun. Titik (koma) desimal dan nolpemula dari beda-beda itu boleh dihilangkan.

2

Page 3: Bab 3 Interpolasi

Catatan Kuliah Metode Numerik

Terdapat tiga notasi untuk beda-beda yang terjadi dalam suatu tabel beda.

A. Beda-beda Pusat

Bentuk tabel beda-beda pusat sebagai berikut:

0

1

2

x

x

x

0

1

2

f

f

f

2

1

2

3

f

f

δ

δ

2

1

2

f

f

δ

δ −

2

1

3fδ −

x f(x) Beda

PertamaBeda Kedua

Beda Ketiga

3

2

1

0

x

x

x

2

1

0

f

f

f

2

3

2

1

2

f

f

δ

δ

1

2

0

f

f

δ

δ

2

1

32

mmm

fff −= ++

1

2

1δSecara umum diperoleh,

Indeks beda di kiri adalahrataan indeks beda di kanan

2

1

2

1

2

−+−=

mmm fff δδδ

Page 4: Bab 3 Interpolasi

Catatan Kuliah Metode Numerik

B. Beda-beda Maju

Bentuk tabel beda-beda maju sebagai berikut:

1

0

1

2

x

x

x

x

1

0

1

2

f

f

f

f

0

1

2

f

f

f

f

2

1

2

2

2

f

f

f

1

3

2

3

f

f

x f(x) Beda

PertamaBeda Kedua

Beda Ketiga

4

2

1

x

x

2

1

f

f

1f∆ 0

2f∆ 1−∆ f

mmm fff −=∆ +1

Secara umum diperoleh,

Beda-beda dengan indeks yang sama terletak pada garis yang miring ke bawah atau maju padatabelmmm fff ∆−∆=∆ +1

2

Page 5: Bab 3 Interpolasi

Catatan Kuliah Metode Numerik

Algoritma Beda-beda maju

Diberikan xj,

Untuk k = 1, 2, …, n lakukan

untuk m = 0, 1, …, n – k, lakukan

njxfff jjj ...,,2,1,0),(0

===∆

m

k

m

k

m

kfff

1

1

1 −

+

−∆−∆=∆

C. Beda-beda Mundur

Bentuk tabel beda-beda mundur sebagai berikut:

5

Bentuk tabel beda-beda mundur sebagai berikut:

2

1

0

1

2

x

x

x

x

x

2

1

0

1

2

f

f

f

f

f

2

1

0

1

f

f

f

f

∇ −

2

2

1

2

0

2

f

f

f

2

3

1

3

f

f

x f(x) Beda

PertamaBeda Kedua

Beda Ketiga

Page 6: Bab 3 Interpolasi

Catatan Kuliah Metode Numerik

mmm fff −=∇ −1

Secara umum diperoleh, Beda-beda dengan indeks yang samaterletak pada garis yang miring ke atasatau mundur pada tabel

mmm fff ∇−∇=∇ −1

2

Kaitan dari ke tiga notasi beda-beda di atas adalah :

22

nm

n

nm

n

m

nfff

+−∇=∆=δ

Contoh 3.1

6

Contoh 3.1

Nilai dan beda dari f(x) = 1/x, x = 1 (0.2) 2, 4D

x f(x) Beda

PertamaBeda Kedua

Beda Ketiga

Beda Keempat

0.2

8.1

6.1

4.1

2.1

0.1

5000.0

5556.0

6250.0

7143.0

8333.0

0000.1

556

694

893

1190

1667

138

199

297

477

61

98

180

37

82

Catatan, bila ditetap-

kan x0 = 1.6, maka di-

peroleh

-0.0893

2

1−= fδ1−∆= f

0f∇=

Page 7: Bab 3 Interpolasi

Catatan Kuliah Metode Numerik

2. Interpolasi linear dan Kuadrat

Diberikan tabel nilai suatu fungsi f(x), seringkali untuk mencari nilai-nilaif(x) untuk nilai x diantara nilai-nilai x yang muncul dalam tabel tersebut.

Masalah untuk memperoleh nilai f(x) demikian disebut Interpolasi.

Nilai-nilai f(x) yang ditabulasikan dan digunakan dalam proses ini disebutnilai-nilai pivotal.

Metode interpolasi biasanya didasarkan pada asumsi bahwa disekitar nilaix yang dipertanyakan, fungsi f(x) dapat dihampiri oleh polinom p(x), yang x yang dipertanyakan, fungsi f(x) dapat dihampiri oleh polinom p(x), yang nilainya pada x tersebut merupakan hampiran dari nilai fungsi f(x).

Interpolasi linear

7

Iterpolasi linear adalah metode interpolasi yang paling sederhana. Kurva fungsi f dihampiri dengan suatu talibusur pada dua nilai tabulasi yang berdekatan x0 dan x1.

Hampiran f pada x = x0 + rh adalah

x0 x1

f(x)

f0

f1h

x

rh)()()(

0101ffrfxpxf −+=≈

00 frf ∆+=

Dimana : 10,0 ≤≤−

= rh

xxr

p1(x)

Page 8: Bab 3 Interpolasi

Catatan Kuliah Metode Numerik

Interpolasi linear sering digunakan untuk menghitung tabel logaritma danfungsi trigonometri.

Interpolasi linear akan memberikan hasil yang baik selama nilai-nilai x dalam tabel sedemikian dekatnya sehingga talibusur-talibusurmenyimpang dari kurva f(x) cukup kecil, katakanlah kurang dari ½ satuanangka terakhir dalam tabel untuk setiap x diantara x0 dan x1.

Galat untuk iterpolasi linear adalah

Taksiran galat tersebut adalah :

)()()()()( 0101 xfffrfxfxpx −−+=−=ε

2

2

8

1)( Mhx ≤ε

Dimana f(x) mempunyai turunan kedua pada dan f’’(x) terbatasdengan

Interpolasi kuadrat

8

10xxx ≤≤

2)('' Mxf ≤

Pada interpolasi kuadrat, kurva fungsi f diantara x0 dan x2 = x0 + 2h dengan parabola kuadrat yang melalui titik-titik (x0, f0), (x1, f1), (x2, f2) sehingga mendapatkan rumus yang lebih teliti.

dimana,

)2(2

)1()()()( 0120102 fff

rrffrfxpxf +−

−+−+=≈

0

2

002

)1(f

rrfrf ∆

−+∆+=

20,0 ≤≤−

= rh

xxr

Page 9: Bab 3 Interpolasi

Catatan Kuliah Metode Numerik

Contoh 3.2

Diketahui nilai ln 9.0 = 2.1972 dan nilai ln 9.5 = 2.2513. Tentukan nilai ln 9.2.

Jawab

Diperoleh r = 0.2 / 0.5 = 0.4, sehingga

ln 9.2 = ln 9.0 + 0.4 ( ln 9.5 – ln 9.0)

= 2.1972 + 0.4 ( 2.2513 – 2,1972)

= 2.2188 (eksak sampai 3D)

Contoh 3.3Contoh 3.3

Diketahui nilai ln 9.0 = 2.1972, ln 9.5 = 2.2513 dan nilai ln 10.0 = 2.3026.

Tentukan nilai ln 9.2.

Jawab

Diperoleh r = 0.2 / 0.5 = 0.4, sehingga

ln 9.2 = ln 9.0 + 0.4 ( ln 9.5 – ln 9.0)+ (1/2)(0.4)(-0,6)(ln 10.0-(2)(ln 9.5)+ln 9.0)

= 2.197 + 0.4 ( 2.251 – 2,197) +(-0.12)(2.3026 – (2)2.2513 + 2.1972)

= 2.2192 (eksak sampai 4D)

9

Page 10: Bab 3 Interpolasi

Catatan Kuliah Metode Numerik

3. Interpolasi Beda Maju dan Beda Mundur Newton

Hampiran lebih teliti diperoleh bila menggunakan polinom yang derajatnya

lebih tinggi.

Polinom pn(x) berderajat n ditentukan secara tunggal oleh n+1 nilai xi, i = 0, 1,

2, …, n, yang berlainan, sedemikian sehingga diperoleh,

pn(x0) = f0 , pn(x1) = f1, …, pn(xn) = fn

dengan f(x0) = f0 , f(x1) = f1, …, f(xn) = fn

Polinom ini diberikan dalam rumus interpolasi beda-maju Newton:Polinom ini diberikan dalam rumus interpolasi beda-maju Newton:

10

Dimana : nrh

xxr ≤≤

−= 0,0

00

2

00!

)1)...(1(...

!2

)1()()( f

n

nrrrf

rrfrfxpxf

n

n ∆+−−

++∆−

+∆+=≈

0

0

fs

rs

n

s

=∑

=

!

)1)...(2)(1(

s

srrrr

s

r +−−−=

adalah koefisien-koefisien binomial dari pn(x)

Page 11: Bab 3 Interpolasi

Catatan Kuliah Metode Numerik

Bukti.

Akan ditunjukkan bahwa pn(xk) = fk untuk k = 0, 1, 2, …, n.

Tetapkan terlebih dahulu r = k, sehingga diperoleh x = x0 + rh = x0 + kh = xk.

dan

Pembuktian secara induksi,

(i). Untuk k = 0 maka f = f , sehingga rumus benar untuk k = 0.

00

2

00 ...2

fk

kf

kfkff

k

k ∆

++∆

+∆+=

0

0

fs

ks

k

s

=∑

=

)( knk xpf =

11

(i). Untuk k = 0 maka f0 = f0, sehingga rumus benar untuk k = 0.

(ii). Misalkan rumus benar untuk k = q, yaitu

maka akan ditunjukkan benar untuk k = q +1.

+=

−+

s

q

s

q

s

q 1

1Pada rumus ini, mempunyai koefisien sehingga

00

2

00 ...210

fq

qf

qf

qf

qf

q

q ∆

++∆

+∆

+

=

qqq fff ∆+=+1

00

2

00 ...210

fq

qf

qf

qf

qq

++∆

+∆

+

= 0

1

0

3

0

2

0 ...210

fq

qf

qf

qf

qq+

++∆

+∆

+∆

+

0f

s∆

0

1

0

2

0011

1...

2

1

1

1

0

1f

q

qf

qf

qf

qf

q

q

+

+ ∆

+

+++∆

++∆

++

+=

Page 12: Bab 3 Interpolasi

Catatan Kuliah Metode Numerik

Galat yang terlibat dalam interpolasi maju Newton adalah

Dengan adalah turunan ke-(n+1) dari fungsi f dan t terletak dalam

interval yang titik-titik ujungnya adalah nilai terkecil dan terbesar dari nilai-nilai

x0, x1, …, xn, x.

)1( +nf

)())...(()!1(

1)()()(

)1(

0 tfxxxxn

xfxpxn

nn

+−−

+=−=ε

Algoritma Rumus Interpolasi Beda-maju Newton

Diberikan xj = x0 + jh, j = 0, 1, 2, … dan nilai-nilai fungsi yang berpadanan

12

j 0

yaitu . Juga diberikan nilai

Tetapkan

Hitung

Untuk k = 0, 1, 2, …, sampai penghentian, lakukan

Periksa untuk penghentian

)(0

jjj xfff ==∆ x̂

00 )ˆ( fxp =

h

xxr 0

ˆ −=

0

1

11

)ˆ()ˆ( fk

rxpxp

k

kk

+

+ ∆

++=

Page 13: Bab 3 Interpolasi

Catatan Kuliah Metode Numerik

Contoh 3.4

Memakai nilai-nilai dari tabel berikut

xi 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4

f(xi) 1.414214 1.449138 1.483240 1.516575 1.549193

Terapkan rumus interpolasi beda maju Newton untuk mencari f(2.05) dan

f(2.15).

Jawab

a. Untuk x = 2.05, tetapkan x0 = 2.0 sehingga r = 0.05 / 0.1 = 0.5

)33()2)(1(

)2()1(

)()05.2()05.2( −+−−−

++−−

+−+=≈ ffffrrr

fffrr

ffrfpf

b. Untuk x = 2.15, tetapkan x0 = 2.1 sehingga r = 0.05 / 0.1 = 0.5

13

431782.1

)464(!4

)3)(2)(1(

)33(!3

)2)(1()2(

!2

)1()()05.2()05.2(

01234

01230120104

=

+−+−−−−

+

−+−−−

++−−

+−+=≈

fffffrrrr

ffffrrr

fffrr

ffrfpf

466268.1

)33(!3

)2)(1()2(

!2

)1()()15.2()15.2( 01230120103

=

−+−−−

++−−

+−+=≈ ffffrrr

fffrr

ffrfpf

Page 14: Bab 3 Interpolasi

Catatan Kuliah Metode Numerik

Sedangkan rumus untuk interpolasi beda mundur Newton adalah:

Dimana : nrh

xxr ≤≤

−= 0,0

00

2

00!

)1)...(1(...

!2

)1()()( f

n

nrrrf

rrfrfxpxf

n

n ∇+−−

++∇−

+∇+=≈

0

0

fs

rs

n

s

=∑

=

)1)...(2)(1( srrrrr +−−−=

adalah koefisien-koefisien binomial dari pn(x)

14

!ss=

adalah koefisien-koefisien binomial dari pn(x)

Rumus interpolasi lain yang menggunakan beda hingga adalah rumus Everett

Rumus ini melibatkan beda-beda hingga tingkat genap. Rumus Everett yang

paling sederhana adalah:

1

2

0

2

10!3

)1()1(

!3

))(1)(2()1()( f

rrrf

rrrrffrxf δδ

−++

−−−++−≈

Dimana : 10,0 ≤≤−

= rh

xxr

Page 15: Bab 3 Interpolasi

Catatan Kuliah Metode Numerik

Untuk membuat penerapannya mudah, tabel-tabel fungsi biasanya menyerta-

kan beda-beda kedua yang diperlukan. Galatnya adalah

dimana x0 – h < t < x0 + 2h

Contoh 3.5

Memakai nilai-nilai dari tabel berikut

xi f(xi)

1.2 3.3201 333

1.3 3.6693 367

if2δ

)(4

1)()()(

)4(4tf

rhxfxpx n

+−=−=ε

1.3 3.6693 367

Terapkan rumus Everett untuk mencari f(1.24).

Jawab

Untuk x = 1.24, tetapkan x0 = 1.2 sehingga r = 0.04 / 0.1 = 0.4

15

4556.3

0021.00021.04598.3

)0367.0(6

)6.0)(4.0)(4.1(

)0333.0(6

)4.0)(6.0)(6.1()6693.3)(4.0()3201.3)(6.0()24.1(

=

−−=

−+

−++≈f

Page 16: Bab 3 Interpolasi

Catatan Kuliah Metode Numerik

4. Polinom Interpolasi Beda terbagi Newton

Misalkan diberikan x0, x1, x2 ,…, xn dengan jarak sembarang.

Polinom pn(x) berderajat n melalui titik-titik (x0, f0), (x1, f1), …, (xn, fn) dengan

fj = f(xj) diberikan oleh rumus interpolasi beda terbagi Newton:

Melibatkan beda-beda terbagi, yang secara iteratif didefinisikan sebagai,

],...,,[))...((...

],,[))((],[)()()(

1010

210101000

nn

n

xxxfxxxx

xxxfxxxxxxfxxfxpxf

−−−++

−−+−+=≈

Melibatkan beda-beda terbagi, yang secara iteratif didefinisikan sebagai,

16

01

0110

)()(],[

xx

xfxfxxf

−=

02

1021

210

],[],[],,[

xx

xxfxxfxxxf

−=

0

11021

10

],...,,[],...,,[],...,,[

xx

xxxfxxxfxxxf

k

kkk

−= −

.................

Jika xk = x0 + kh berjarak sama, maka bentuk rumus di atas samadengan rumus interpolasi bedamaju Newton.

Page 17: Bab 3 Interpolasi

Catatan Kuliah Metode Numerik

Algoritma Polinom Beda terbagi Newton.

Masukan : n, xi, i = 0, 1, .., n ; f(xi), i = 0, 1, .., n

x, Epsilon

Langkah-langkah :

)( 00 xfb ←

1;0 ←← faktorbpbagi

lakukanniUntuk ,...,,2,1←

)(xfb ←

Catatan:b0, b1, b2,… menyatakanf(x0), f[x0,x1], f[x0,x1,x2]

17

)( ii xfb ←

lakukaniijUntuk ,0...,,2,1 −−←

ji

jj

jxx

bbb

−←

+1

).(1−−← ixxfaktorfaktor

faktorbsuku .0

sukupp bagibagi +←

SelesaimakaEpsilonsukuJika ≤

Page 18: Bab 3 Interpolasi

Catatan Kuliah Metode Numerik

Contoh 3.6

Diberikan pasangan nilai x0 = 1, f(x0) = 0; x1 = 4, f(x1) = 1.3862944;

x2 = 6, f(x2) = 1.7917595; x3 = 5, f(x3) = 1.6094379;

a. Buat tabel beda terbagi dari data tersebut.

b. Gunakan tabel beda terbagi di atas dalam menerapkan rumus interpolasi

beda terbagi Newton dengan x = 2

Jawab

a. Tabel beda terbaginya adalah

i xi f[ , ]f(xi) f[, ,] f[, , ,]

b.

18

i xi f[ , ]f(xi) f[, ,] f[, , ,]

3

2

1

0

5

6

4

1

6094379.1

7917595.1

3862944.1

0

1823216.0

2027326.0

4620981.0

0204109.0

0518731.0

−007865.0

5658444.0)0518731.0)(42)(12()4620981.0)(12(0)2()2( 2 =−−−+−+=≈ pf

6287687.0)007865.0)(62)(42)(12()2()2()2( 23 =−−−+=≈ ppf

Page 19: Bab 3 Interpolasi

Catatan Kuliah Metode Numerik

5. Polinom Interpolasi Lagrange

Metode interpolasi lain dalam kasus nilai pivotal x0 ini didasarkan kepada

rumus interpolasi Lagrange n + 1 titik,

dengan,

i

n

i ii

in f

xl

xlxLxf ∑

=

=≈0 )(

)()()(

))...()(()( 210 nxxxxxxxl −−−=

))...()(()( 201 nxxxxxxxl −−−=

))...()()...()(()( xxxxxxxxxxxl −−−−−=

.................

Dalam hal ini terlihat bahwa untuk x = xi, maka

Rumus Interpolasi Lagrange dapat juga ditulis dalam bentuk

dengan

19

))...()()...()(()( 1110 niii xxxxxxxxxxxl −−−−−= +−.................

))...()(()( 110 −−−−= nn xxxxxxxl

iini fxLxf =≈ )()(

i

n

i

in fxxlxLxf ∑=

=≈0

),()()(

−∏=

≠ji

j

iji

xx

xxxxl ),(

Page 20: Bab 3 Interpolasi

Catatan Kuliah Metode Numerik

Algoritma Polinom Interpolasi Lagrange

Masukan : n, xi, i = 0, 1, .., n ; f(xi), i = 0, 1, .., n ; x

Langkah-langkah :

lakukanniUntuk ,...,,2,1←

lakukannjUntuk ,...,,1,0←

0←plag

1←faktor

− xx

Contoh 3.7

Diberikan pasangan nilai x dan f(x) berikut:

Gunakan Interpolasi Lagrange untuk menghitung f(9.2).

20

)(. ixffaktorplagplag +←

−←≠

ji

j

xx

xxfaktorfaktormakaijJika .

X 9.0 9.5 10.0 11.0

f(x) 2.19722 2.25129 2.30259 2.39790

Page 21: Bab 3 Interpolasi

Catatan Kuliah Metode Numerik

Jawab

Dalam hal ini diperoleh,

Sehingga

)0.11)(0.10)(5.9()(0 −−−= xxxxl

)0.11)(0.10)(0.9()(1 −−−= xxxxl

)0.11)(5.9)(0.9()(2 −−−= xxxxl

)0.10)(5.9)(0.9()(3 −−−= xxxxl

ii f

xl

lLf ∑=≈

3

3)(

)2.9()2.9()2.9(

21

i

i ii xl∑

=0

3)(

3

33

3

2

22

2

1

11

1

0

00

0

)(

)2.9(

)(

)2.9(

)(

)2.9(

)(

)2.9(f

xl

lf

xl

lf

xl

lf

xl

l+++=

39790.200000.3

04800.030259.2

50000.0

10800.025129.2

37500.0

28800.019722.2

0000.1

43200.0+

−++

−=

21920.2= (Eksak sampai 5D)

Page 22: Bab 3 Interpolasi

Catatan Kuliah Metode Numerik

Masalah pencarian x untuk f(x) yang diberikan dikenal sebagai interpolasibalikan / invers.

Jika fungsi f terdiferensialkan dan df/dx tidak nol dekat titik dimanainterpolasi balikan harus diperhitungkan, balikan x = F(y) dan y = f(x) adasecara lokal didekat nilai f yang diberikan dan mungkin terjadi bahwa F dapat dihampiri dalam lingkungan itu dengan suatu polinom yang derajatnya agak rendah. Kemudian jalankan interpolasi balikan denganmembuat tabulasi F sebagai suatu fungsi y dan menerapkan metode-metode interpolasi yang langsung pada F.

Jika df/dx = 0 dekat atau pada titik yang diinginkan, kemungkinan bergunauntuk memecahkan p(x) = f dengan iterasi. Dalam hal ini, p(x) adalahpolinom yang menghampiri f(x) dan f adalah nilai yang diberikan.

22