Interpolasi Polinom

Matematika II (Terapan)

FTP – UB

Interpolasi

• Metode untuk menentukan nilai di antara dua nilai yang telah ditentukan, dimana suatu interpolasi itu menghubungkan data-data yang sudah ada.

• Ekstrapolasi

– Metode prediksi terhadap titik-titik yang akan muncul dimana adanya perluasan data di luar data yang tersedia, tetapi tetap mengikuti pola dari data yang tersedia

Perbedaan Interpolasi dan Ekstrapolasi

x0 x1 x

f(x)

L(x)

Interpolasi Linier

Interpolasi Kuadratik

x0 x1 x

f(x)

x2 h h

L(x)

Interpolasi Kubik

x0 x1 x

f(x)

x2 h h

L(x)

x3 h

Interpolasi Newton

8

Interpolasi Linear

001

0101 xx

xx

xfxfxfxf

Diketahui: Dua titik(x1, y1), (x2, y2)

Ditanya :Garis yang melewati 2 titik tersebut

Contoh: f(x) = ln x

x1 = 1 dan x2 = 6:

f1(2) = 0.3583519

x1 = 1 dan x2 = 4

f1(2) = 0.4620981

ln 2 = 0.6931472

Semakin kecil intervalnya semakin baik hasil interpolasi!

9

Interpolasi Kuadratik

02

01

01

12

12

201

01100

xx

xx

xfxf

xx

xfxf

bxx

xfxfbxfb

1020102 xxxxbxxbbxf

Diketahui: Tiga titik(x1, y1), (x2, y2), (x3,y3)

Ditanya: kuadratik f2(x) = a0 + a1x + a2x2 yang melewati ke-3 titik di atas

Contoh: f(x) = ln x

Titik data: (1, 0), (4, 1.386294), (6, 1.791759)

b0 = 0

b1 = (1.386294 – 0)/(4 – 1) = 0.4620981

b2 = [(1.791759 – 1.386294)/(6-4) – 0.4620981]/(6-1)

= -0.0518731

f2(2) = 0.5658444

ln 2 = 0.6931472

10

Interpolasi Polinomial Newton

011

011

00

xxxxfb

xxfb

xfb

nnn ,,,

,

110102010 nnn xxxxxxbxxxxbxxbbxf ...

ji

jiji

xx

xfxfxxf

,

Diketahui: n titik (x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn) (yi = f(xi), i=1,2,…,n)

Ditanya: fn(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anx

n yang melewati n titik tersebut.

dengan

ki

kjji

kjixx

xxfxxfxxxf

,,,,

0

02111011

,...,,,...,,,,...,,

xx

xxxfxxxfxxxxf

n

nnnnnn

Rekursif!

11

Contoh Interpolasi Polinomial Newton

2103102010 xxxxxxbxxxxbxxbbxfn

182.065

791759.1609438.1,203.0

46

386294.1791759.1,462.0

14

0386294.1, 231201

xxfxxfxxf

020045

203018200520

16

46202030123012 .

..,,.

..,,

xxxfxxxf

Diketahui: (1, 0), (4, 1.386294), (6, 1.791759), (5, 1.609438) (dari fungsi ln x)

Ditanya: Perkirakan ln 2 dengan interpolasi Newton orde ke-3

f3(2) = 0.629

008015

)0520(02000123 .

..,,,

xxxxf

12

Contoh Interpolasi Polinomial Newton

x0 x1

x3

x2

13

Perkiraan Error Polinomial Newton

11

1

1

n

ii

n

n xxn

fR

!

n

n

n xxxxxxxxn

fR

210

1

1 !

110102010 nnn xxxxxxbxxxxbxxbbxf ...

Jika f(x) dinyatakan oleh deret Taylor , error setelah terms ke-n adalah:

Untuk suatu polinomial Newton orde ke-n, Hubungan untuk error scr analogi:

Tapi kita tidak tahu apakah itu f(x)! Sebagai suatu perkiraan untuk error, bisa kita

gunakan

nnnnn xxxxxxxxxxxxfR 210011 ,,,,

(Ingat: fn+1(x) = fn(x) + Rn)