Interpolasi Newton

download Interpolasi Newton

of 20

  • date post

    24-Dec-2015
  • Category

    Documents

  • view

    22
  • download

    8

Embed Size (px)

description

interpolasi ialah sebagai berikut yang di jelaskan sebgaia berikut yang dimana apanya

Transcript of Interpolasi Newton

  • *BAB 12Interpolasi

  • *Apakah Interpolasi ??Masih ingat dengan metode pengurung untuk mencari akar??False Position/Regula Falsi (hal 123) Interpolasi Linier

  • *Yang kita pelajari sekarang:Interpolasi Linier (orde 1)Interpolasi Kuadratik (Orde 2)Interpolasi Kubik (Orde 3) hingga Interpolasi Orde ke-n (Interpolasi Newton)Interpolasi Lagrange

  • Interpolasi Polinomial*Jadi, jika ada n titik data (x1, y1), (x2, y2), (xn, yn)Jumlah titik data = n+1, Dengan n=orde polinom

    Dua titik data: Garis (Pol. Orde-1)Tiga titik data: Kuadratik (Pol. Orde-2)Empat titik data: Kubik (Polinomial orde-3)n+1 titik data: Polinomial orde-nbagaimana mencari solusi persamaan tersebut, sangat tergantung pada berapa nilai n (berapa jumlah titik data = n+1 yang diketahui)

  • Interpolasi Linear*

    Diketahui: Dua titik(x1, y1), (x2, y2)Ditanya:Garis yang melewati 2 titik tersebutContoh: 12.1: Taksirlah berapa Ln 2 dengan interpolasi linier pada rentang ln 1=0 dan ln 6=1,7917595f(x) = ln x x0 = 1 dan x1 = 6: f1(2) = 0.3583519Ulangi lagi untuk rentang ln 1=0 dan ln 4= 1.3862944 x0 = 1 dan x1 = 4 f1(2) = 0.4620981ln 2 = 0.6931472Kesimpulan :Semakin kecil intervalnya semakin baik hasil interpolasi!Diturunkan dari pendekatan segi tiga sebangun (hal. 323)

  • Interpolasi Kuadratis*

    Diketahui: Tiga titik(x1, y1), (x2, y2), (x3,y3)Ditanya:kuadratis f2(x) = a0 + a1x + a2x2 yang melewati ke-3 titik diatasContoh 12.2 : , Taksirlah nilai Ln 2 pada 3 titik data: (1, 0), (4, 1.386294), (6, 1.791759)b0 = 0b1 = (1.386294 0)/(4 1) = 0.4620981b2 = [(1.791759 1.386294)/(6-4) 0.4620981]/(6-1) = -0.0518731

    f2(2) = 0.5658444ln 2 = 0.6931472

  • Interpolasi Polynomial Newton *

    Diketahui: n titik (x1, y1), (x2, y2), , (xn, yn)(yi = f(xi), i=1,2,,n)Ditanya:fn(x) = a0 + a1x + a2x2 + + anxn yang melewati n titik tersebut.denganRekursif!

  • Contoh Interpolasi Polynomial Newton*

    Diketahui: (1, 0), (4, 1.386294), (6, 1.791759), (5, 1.609438) (dari fungsi ln x)Ditanya:Perkirakan ln 2 dengan interpolasi Newton orde ke-3f3(2) = 0.629

    Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004Ahmad Dedi Affdani

    Contoh Interpolasi Polynomial Newton*x0x1x3x2

  • Perkiraan Error Polynomial Newton *

    Jika f(x) dinyatakan oleh deret Taylor , error setelah terms ke-n adalah: Untuk suatui polinomial Newton orde ke-n, Hubungan untuk error scr analogi:Tapi kita tidak tahu apakah itu f(x)! Sebagai suatu perkiraan untuk error, bisa kita gunakan(Ingat: fn+1(x) = fn(x) + Rn)

  • Perkiraan Error, Orde, dan Titik data *xf(x) = ln x1041.3861.7921.6091.099

    1.50.4052.50.9163.51.253Perkiraan Error polynomial Newton fk(x) pada ln 2: k = 1,2,,7xf(x) = ln x3.51.2532.50.9161.50.40531.0991.6091.792

    41.38610

  • Polinomial Interpolasi Lagrange*

    denganContoh:

    Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004Ahmad Dedi Affdani

    Interpretasi Grafis Polynomials Lagrange *L0f(x0)L1f(x1)L2f(x2)

    Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004Ahmad Dedi Affdani

    Interpolasi Inverse*

    Bagimana inverse-nya:Keduanya tidak ekuivalen dalam hal keakuratan interpolasi!

    Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004Ahmad Dedi Affdani

    Extrapolasi*

    Hasil interpolasi yang paling akurat bisanya diperoleh ketika yang tidak diketahui berada dekat di tengah-tengah titik basis!

    Untuk ekstrapolasi, yang tidak diketahui berada di luar jangkauan titik basis; jadi perlu perhatian lebih!

    Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004Ahmad Dedi Affdani

    Masalah-2 dalam Interpolasi Polinomial*

    Derajat interpolasi polinomial sama dengan jumlah-n titik data. Jadi jikan=1000

    titik data, maka kita akan mempunyai polinomial orde-1000 Polinomial berorde tinggi (saat n > 5) dapat menampakkan ciri erratik dan sangatrentan dengan instabilitas numerik. Polinomial berorde tinggi seringkali menginterpolasi titik diluar jangkauan titik data yang tepat karena adanya overshoot.

    Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004Ahmad Dedi Affdani

    Interpolasi Spline*Ide: Gunakan polinomial orde rendah (k 3) untuk menginterpolasi sekumpulan datatitik dan hubungkan polinomial interolsai ini dengan halusPapan Drafting: menggunakan tali yang tipis dan fleksibel (disebut spline)untuk menggambarkan kurva yang halus melalui sekumpulan titik.Tiap bagian interpolasi akhir melengkung antar 2 titik yang berdekatan Titik data adalah polinomial derajat 3Contoh

    Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004Ahmad Dedi Affdani

    Interpolasi Spline Kuadratis*Diketahui:n+1 Titik data (xi, yi) untuk i=0,1,,nDitanya: polynomials derajat-2 n fi(x) = aix2 + bix + ci sedemikian sehingga1. fi(x) menginterpolasi dua titik (xi-1, yi-1) dan (xi, yi), dan2. fi(x) dan fi-1(x) punya turunan yang sama pada xi-1.

    Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004Ahmad Dedi Affdani

    Turunan Quadratic Spline *fi-1(xi-1) = ai-1xi-12 + bi-1xi-1 + ci-1 = yi-1

    fi(xi-1) = aixi-12 + bixi-1 + ci = yi-12.f1(x0) = a1x02 + b1x0 + c1 = y0fn(xn) = anxn2 + bnxn + cn = yn(the 1st derivative at the interior knots must be equal)

    fi-1(xi-1) = 2ai-1xi-1 + bi-1 = 2aixi-1 + bi = fi(xi-1)

  • Contoh of Quadratic Spline *