Interpolasi Newton

1

BAB 12BAB 12

Interpolasi

2

Apakah Interpolasi ??

Masih ingat dengan metode pengurung untuk mencari akar??

False Position/Regula Falsi (hal 123) Interpolasi Linier

3

Yang kita pelajari sekarang:

1. Interpolasi Linier (orde 1)2. Interpolasi Kuadratik (Orde 2)3. Interpolasi Kubik (Orde 3) hingga

Interpolasi Orde ke-n (Interpolasi Newton)

4. Interpolasi Lagrange

Interpolasi PolinomialInterpolasi Polinomial

nn xaxaxaaxf 2

210

4

Jadi, jika ada n titik data (x1, y1), (x2, y2), … (xn, yn)

Jumlah titik data = n+1,

Dengan n=orde polinom

Dua titik data : Garis (Pol. Orde-1)

Tiga titik data : Kuadratik (Pol. Orde-2)

Empat titik data : Kubik (Polinomial orde-3)

n+1 titik data : Polinomial orde-n

bagaimana mencari solusi persamaan tersebut, sangat tergantung pada berapa nilai n (berapa jumlah titik data = n+1 yang diketahui)

Interpolasi LinearInterpolasi Linear

001

0101 xx

xx

xfxfxfxf

5

Diketahui: Dua titik(x1, y1), (x2, y2)

Ditanya :Garis yang melewati 2 titik tersebut

Contoh: 12.1: Taksirlah berapa Ln 2 dengan interpolasi linier pada rentang ln 1=0 dan ln 6=1,7917595

f(x) = ln x

x0 = 1 dan x1 = 6: f1(2) = 0.3583519

Ulangi lagi untuk rentang ln 1=0 dan ln 4= 1.3862944

x0 = 1 dan x1 = 4 f1(2) = 0.4620981

ln 2 = 0.6931472

Kesimpulan :Semakin kecil intervalnya semakin baik hasil interpolasi!

Diturunkan dari pendekatan segi tiga sebangun (hal. 323)

IInterpolasinterpolasi Kuadratis Kuadratis

02

01

01

12

12

201

01100 xx

xx

xfxf

xx

xfxf

bxx

xfxfbxfb

1020102 xxxxbxxbbxf

6

Diketahui: Tiga titik(x1, y1), (x2, y2), (x3,y3)

Ditanya: kuadratis f2(x) = a0 + a1x + a2x2 yang melewati ke-3 titik diatas

Contoh 12.2 : , Taksirlah nilai Ln 2 pada 3 titik data: (1, 0), (4, 1.386294), (6, 1.791759)

b0 = 0

b1 = (1.386294 – 0)/(4 – 1) = 0.4620981

b2 = [(1.791759 – 1.386294)/(6-4) – 0.4620981]/(6-1)

= -0.0518731

f2(2) = 0.5658444

ln 2 = 0.6931472

IInterpolasi Polynomialnterpolasi Polynomial Newton Newton

011

011

00

xxxxfb

xxfb

xfb

nnn ,,,

,

110102010 nnn xxxxxxbxxxxbxxbbxf ...

ji

jiji xx

xfxfxxf

,

ki

kjjikji xx

xxfxxfxxxf

,,

,,

7

Diketahui: n titik (x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn) (yi = f(xi), i=1,2,…,n)

Ditanya: fn(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn yang melewati n titik tersebut.

dengan

0

02111011

,...,,,...,,,,...,,

xx

xxxfxxxfxxxxf

n

nnnnnn

Rekursif!

Contoh Contoh IInterpolasi Polynomial Newtonnterpolasi Polynomial Newton

2103102102010 xxxxxxbxxxxbxxxxbxxbbxf n

182.065

791759.1609438.1,203.0

46

386294.1791759.1,462.0

14

0386294.1, 231201

xxfxxfxxf

020045

203018200520

16

46202030123012 .

..,,.

..,,

xxxfxxxf

8

Diketahui: (1, 0), (4, 1.386294), (6, 1.791759), (5, 1.609438) (dari fungsi ln x)

Ditanya: Perkirakan ln 2 dengan interpolasi Newton orde ke-3

f3(2) = 0.629

008015

)0520(02000123 .

..,,,

xxxxf

Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004 Ahmad Dedi Affdani

Contoh Contoh IInterpolasi Polynomial Newtonnterpolasi Polynomial Newton

9

x0x1

x3

x2

Perkiraan Error Perkiraan Error Polynomial Newton Polynomial Newton

1

1

1

1

n

ii

n

n xxn

fR

!

n

n

n xxxxxxxxn

fR

210

1

1 !

nnnnn xxxxxxxxxxxxfR 210011 ,,,,

10

110102010 nnn xxxxxxbxxxxbxxbbxf ...

Jika f(x) dinyatakan oleh deret Taylor , error setelah terms ke-n adalah:

Untuk suatui polinomial Newton orde ke-n, Hubungan untuk error scr analogi:

Tapi kita tidak tahu apakah itu f(x)! Sebagai suatu perkiraan untuk error, bisa kita gunakan

(Ingat: fn+1(x) = fn(x) + Rn)

Perkiraan Perkiraan Error, Orde, dan Titik data Error, Orde, dan Titik data

11

x f(x) = ln x1 04 1.3866 1.7927 1.6098 1.0991.5 0.4052.5 0.9163.5 1.253

Perkiraan Error polynomial Newton fk(x) pada ln 2: k = 1,2,…,7

x f(x) = ln x3.5 1.2532.5 0.9161.5 0.4053 1.0995 1.6096 1.7924 1.3861 0

PolinomialPolinomial IInterpolasinterpolasi Lagrange Lagrange

n

ij

j ji

ii xx

xxxL

0

101

00

10

11:linear xf

xx

xxxf

xx

xxxf

2

1202

101

2101

200

010

212 2

:order-2nd xfxxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxxf

12

dengan

i

n

iin xfxLxf

0

Contoh:


Interpretasi Grafis Interpretasi Grafis Polynomials Lagrange Polynomials Lagrange

13

2211002 xfLxfLxfLxf

L0f(x0)

L1f(x1)

L2f(x2)


IInterpolasi Inversenterpolasi Inverse

14

x

x

y

Interpolated point of (xc, f(xc))

Interpolated curve

true curve

fn(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn interpolasi yc = fn(xc)

Bagimana inverse-nya:

fn(y) = a0 + a1y + a2y2 + … + anyn interpolasi xc = fn(yc)

Keduanya tidak ekuivalen dalam hal keakuratan interpolasi!


ExtrapolaExtrapolasisi

15

Hasil interpolasi yang paling akurat bisanya diperoleh ketika yang tidak diketahui berada dekat di tengah-tengah titik basis!

Untuk ekstrapolasi, yang tidak diketahui berada di luar jangkauan titik basis; jadi perlu perhatian lebih!


Masalah-2 dalam Interpolasi PolinomialMasalah-2 dalam Interpolasi Polinomial

16

• Derajat interpolasi polinomial sama dengan jumlah-n titik data. Jadi jikan=1000

titik data, maka kita akan mempunyai polinomial orde-1000

• Polinomial berorde tinggi (saat n > 5) dapat menampakkan ciri erratik dan sangat rentan dengan instabilitas numerik.

• Polinomial berorde tinggi seringkali menginterpolasi titik diluar jangkauan titik data yang tepat karena adanya overshoot.


IInterpolasi Splinenterpolasi Spline

17

Ide: Gunakan polinomial orde rendah (k ≤ 3) untuk menginterpolasi sekumpulan data titik dan hubungkan polinomial interolsai ini dengan halus

Papan Drafting: menggunakan tali yang tipis dan fleksibel (disebut spline)untuk menggambarkan kurva yang halus melalui sekumpulan titik.Tiap bagian interpolasi akhir melengkung antar 2 titik yang berdekatan Titik data adalah polinomial derajat 3 Contoh


IInterpolasi Spline nterpolasi Spline KuadratisKuadratis

18

Diketahui: n+1 Titik data (xi, yi) untuk i=0,1,…,n

Ditanya: polynomials derajat-2 n fi(x) = aix2 + bix + ci sedemikian sehingga

1. fi(x) menginterpolasi dua titik (xi-1, yi-1) dan (xi, yi), dan

2. fi(x) dan fi-1(x) punya turunan yang sama pada xi-1.


TurunanTurunan Quadratic Spline Quadratic Spline

19

1. fi-1(xi-1) = ai-1xi-12 + bi-1xi-1 + ci-1 = yi-1

fi(xi-1) = aixi-12 + bixi-1 + ci = yi-1

2n – 2 persamaan

2. f1(x0) = a1x02 + b1x0 + c1 = y0

fn(xn) = anxn2 + bnxn + cn = yn

2 persamaan

3. (the 1st derivative at the interior knots must be equal)

fi-1’(xi-1) = 2ai-1xi-1 + bi-1 = 2aixi-1 + bi = fi’(xi-1)n– 1 persamaan

Contoh of Quadratic Spline Contoh of Quadratic Spline

20

Interpolasi Newton

Documents

Transcript of Interpolasi Newton