Persoalan Interpolasi Polinom

Andi Y 1441177004007Adji W 1441177004008Septian P 1441177004165Rian R 1441177004196Surkuati 1441177004282Dasria 1441177004339Kelas 3.E

PERSOALAN INTERPOLASI POLINOM

INTERPOLASI LINEAR

INTERPOLASI KUADRATIK

INTERPOLASI KUBIK

Persoalan Interpolasi PolinomPersoalan Interpolasi Polinom

Mempelajari berbagai metode interpolasi yang ada untuk menentukan titik-titik antara dari n buah titik dengan menggunakan suatu fungsi pendekatan tertentu.

Tentukan Polinom pn(x) yang menginterpolasi (melewati) semua titik-tik tersebut sedemikian rupa sehingga yi = pn(x) untuk i – 0, 1, 2, . . . ,n.

4

5

Interpolasi Linear / LanjarInterpolasi Linear / Lanjar

6

7

Tahun 2000 2010

Jumlah Penduduk 179.300 203.200

Contoh Soal

1. Perkirakan atau prediksi jumlah penduduk Gunungpati pada tahun 2005 berdasarkan

data tabulasi berikut:

Penyelesaian:

Dipunyai: x0 = 2000, x1 = 2010, y0 = 179.300, y1 = 203.200.

Ditanya: Prediksi jumlah penduduk Gunungpati pada tahun 2005.

Ingat :

�1ሺ�ሺ= �0 + (�1 − �0)(� − �0) �1 − �0

Misalkan � = 2005

�1ሺ2005ሺ= 179.300 + (203.200 − 179.300)(2005 − 2000) 2010 − 2000

�1ሺ1968ሺ= 191.250

Jadi, diperkirakan jumlah penduduk Gunungpati pada tahun 2005 adalah 191.250

orang.

8

Menentukan titik-titik antara 2 buah titik dengan menggunakan pendekatan fungsi garis lurus

9

Persamaan garis lurus yang melalui 2 titik P1 (x1,y1) dan P2 (x2,y2)

Sehingga diperoleh persamaan dari interpolasi linier :

10

Cari nilai y untuk titik x=2.1 yang berada di antara titik (1,1.5) dan (3,2.5)

Contoh Soal

11

Interpolasi KuadratikInterpolasi Kuadratik

12

13

14

15

16

Menentukan titik-titik antara 3 buah titik dengan menggunakan pendekatan fungsi kuadrat

3 titikyang diketahui: P1(x1,y1), P2(x2,y2) danP3(x3,y3)

Untuk memperoleh titik Q(x,y) digunakan interpolasi kuadratik :

17

Contoh penyelesaian Interpolasi Kuadratik :

Cari nilai y untuk titik x=2.5 yang berada di antara titik (1,5), (2,2) dan (3,3)

18

Misal diberikan empat buah titik data, (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2), dan (x3, y3). Polinom yang menginterpolasi keempat buah titik itu adalah polinom kubik yang berbentuk:

19

Interpolasi KubikInterpolasi Kubik

Interpolasi polynomial digunakan untuk mencari titik-titik antara dari n buah titik P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3), …, PN(xN,yN) dengan menggunakan pendekatan fungsi polynomial pangkat n-1:

Masukkan nilai dari setiap titik ke dalam persamaan polynomial di atas dan diperoleh persamaan simultan dengan n persamaan dan n variable bebas:

20

21

22

Secara umum, penentuan polinom interpolasi dengan cara yang diuraikan di atas kurang disukai, karena sistem persamaan lanjar yang diperoleh ada kemungkinan berkondisi buruk, terutama untuk derajat polinom yang semakin tinggi.

Metode polinom interpolasi yang banyak digunakan dalam komputasi numerik adalah: Interpolasi Langrange

Rumus :

23

Bentuk umum polinom Lagrange derajat ≤nuntuk (n + 1) titik berbeda adalah :

24

Contoh Soal

25

26

Dengan menggunakan polinom interpolasi p3 (x) itu kita dapat menaksir nilai fungsi di x = 0.5 sebagai berikut:

p3(0.5) = -2.604167(0.5 - 0.4)(0.5 - 0.8)(0.5 - 1.2) + 7.195789(0.5 - 0.0)(0.5 - 0.8)(0.5 - 1.2)-5.443021(0.5 - 0.0)(0.5 - 0.4)(0.5 - 1.2)

+ 0.943640(0.5 - 0.0)(0.5 - 0.4)(0.5 - 0.8) + 0.943640(0.5 - 0.0)(0.5 - 0.4)(0.5 - 0.8) = 0.877221

Sebagai perbandingan, nilai sejatinya adalahy = cos(0.5) = 0.877583

Jadi galatnya adalah : 0.877583 – 0.877221 = 0.000362